Raciocínio Lógico PF: Agente de Polícia Federal - 2014 ...docs.aprovaconcursos.com.br/.../sgc_pf_2014_ag_policia_raciocinio... · O Curso de Raciocínio Lógico preparatório terá

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Professor Fabiano Vieira Raciocínio Lógico p/ PF: Agente de Polícia Federal

Aulas 01 a 28

Raciocínio Lógico – PF: Agente de Polícia Federal - 2014

Professor: Fabiano Vieira

Aulas 01 a 28

Aulas 01 a 16



Aulas 01 a 28

RACIOCÍNIO LÓGICO

Introdução

Seja bem-vindo (a) ao curso de raciocínio lógico!!!

O Curso de Raciocínio Lógico preparatório terá como base a linha de ação dos concursos

públicos.

Na primeira parte, o raciocínio lógico proposicional, trabalharemos com metodologia pautada no

objetivo de que o aluno possa assimilar de maneira prática o que muitas vezes parece-nos abstrato no

estudo do raciocínio lógico. Através de exemplos práticos e exercícios, nosso material visa assimilação

rápida e eficaz de conteúdo. Assim traremos o raciocínio lógico, trazendo do abstrato para o prático, para

o cotidiano, dentro da vivência do aluno.

Na segunda parte, onde engloba o raciocínio lógico matemático, ou matemática quantitativa,

estudaremos o princípio de contagem, também de uma forma mais prática, entendendo não “fórmulas”,

mas a “forma” de tratar a matéria, sob a ótica dos princípios multiplicativo e aditivo. Entenderemos de

forma simples e direta o que são arranjos, combinações e permutações.

Na sequência, estudaremos probabilidades sob a ótica CESPE, na qual pauta-se em situações

hipotéticas.

Para finalizar, estudaremos aritmética, geometria e álgebra linear, que engloba matrizes,

determinantes e sistemas lineares.



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PLANO DE AULAS*

Aula Tema da aula

Aula 01 Apresentação do Curso. Proposições e conectivo negação

Aula 02 Conectivos: conjunção, disjunções e implicação lógica

Aula 03 Conectivo: dupla implicação e exercícios de fixação dos valores lógicos

Aula 04 Negações da conjunção de disjunção inclusiva – leis de Morgan

Aula 05 Negação da implicação e da dupla implicação

Aula 06 Equivalências lógicas

Aula 07 Tautologia, contradição e contingência

Aula 08 Argumentos lógicos - Parte I

Aula 09 Argumentos lógicos - Parte II, Quantificadores lógicos - Parte I

Aula 10 Quantificadores lógicos - Parte II e negações de quantificadores

Aula 11 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte I

Aula 12 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte II

Aula 13 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte III

Aula 14 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte IV

Aula 15 Probabilidade – Parte I

Aula 16 Probabilidade – Parte II

Aula 17 Probabilidade – Parte III, Operações com conjuntos - Parte I

Aula 18 Operações com conjuntos - Parte II

Aula 19 Operações com conjuntos - Parte III

Aula 20 Cálculos aritméticos – Parte I

Aula 21 Cálculos aritméticos – Parte II

Aula 22 Cálculos aritméticos – Parte III

Aula 23 Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte I

Aula 24 Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte II

Aula 25 Geometria – parte I

Aula 26 Geometria – parte II

Aula 27 Geometria – parte III

Aula 28 Geometria – parte IV

* O Plano de Aulas pode sofrer alterações no decorrer do curso.



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RACIOCÍNIO LÓGICO PROPOSICIONAL

Introdução:

O Raciocínio Lógico Proposicional (denominaremos apenas por RLP), como o próprio nome

propõe, trata das proposições lógicas. Tal estudo engloba a identificação de proposições lógicas;

conectivos lógicos e suas regras; negações e equivalências de proposições compostas; tautologia,

contradição e contingência e; por fim, argumentos lógicos.

Para que tal conteúdo seja assimilado com maior eficácia e velocidade, há necessidade de que,

em cada tópico, haja o esforço do aluno em memorizar, através de revisão de material, as conclusões de

tais tópicos, essenciais para o trabalho com o próximo tópico. Assim, o estudo do raciocínio lógico é

cumulativo.

Valorações Lógicas

Na matemática têm-se infinitos valores possíveis para cada expressão, mas no raciocínio lógico

temos somente dois valores, o verdadeiro e o falso.

Dizemos que algo é VERDADEIRO quando ACONTECE, e dizemos que algo é FALSO quando

NÃO ACONTECE.

Vejamos alguns exemplos:

1) O professor Fabiano Vieira é professor de raciocínio lógico do Aprova Concursos. Verdadeiro.

Por quê? Porque acontece, ou seja, porque é isto mesmo.

2) O professor Fabiano Vieira é professor de direito tributário do Aprova Concursos. Falso. Por

quê? Porque não acontece.

Proposições lógicas – identificação e codificação

Proposições lógicas são frases afirmativas que aceitam verdadeiro ou falso como resposta, ou

como julgamento. Desta forma, a proposição lógica, em primeiro lugar, deverá afirmar algo. Além disso,

além de afirmar algo, este algo deve ser de tal forma afirmado que seja possível emitir o julgamento

verdadeiro ou falso.

Para fins de simbologia, podemos relacionar uma proposição lógica com uma letra do alfabeto

como A, B, C, D ou P, Q, R, S ou p, q, r, s, etc. Vejamos o exemplo:

1) A: João é rico

B: Maria é estudiosa.

Desta forma, poderemos não mais trabalhar com frases longas, mas somente com letras, o que

facilita em muito o que chamamos de cálculo proposicional, que nada mais é do que a determinação de

Verdades ou Falsidades das sentenças lógicas – proposições lógicas.



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Sentenças que não são proposições lógicas – identificação

Então, há frases que não aceitam verdadeiro ou falso como julgamento, não sendo, portanto,

proposições lógicas. Vamos ver alguns exemplos mais comuns?

Exemplo 1) “Qual seu nome?”

Perceba que não é possível responder ou julgar como verdadeiro ou falso, pois não é uma

afirmação, é um questionamento. Ficaria até mesmo estranho a pessoa fazer esta pergunta e alguém

responder VERDADEIRO ou FALSO. Desta forma, frases interrogativas não são proposições lógicas.

Exemplo 2) “Viva!!!”; “Que Bom!”; “Legal!”; “Que jogador fenomenal!”

Frases exclamativas não são proposições lógicas, pois não cabe, após o enunciado das mesmas,

emitir julgamento VERDADEIRO ou FALSO.

Exemplo 3) “Faça seu trabalho bem feito”; “Eu quero este tópico lido ainda hoje”.

Perceba que são ORDENS ou PEDIDOS, o que não possibilita julgamento Verdadeiro ou Falso. O

máximo que possibilita é disser “Sim, senhor”, “não senhor”.

Desta forma, as ORDENS não são proposições lógicas.

Atenção: Cuidado com as ordens, pois muitas vezes pensamos que são proposições lógicas e

não são.

Exemplo 4) “Esta frase é falsa”; “A frase nesta linha é verdadeira”.

Estas eu as chamo de inexistentes. E isto por quê? Porque não existe efetivamente uma frase

para emitir VERDADEIRO ou FALSO. Vejamos:

“Esta frase é falsa”. Mas, que frase? “Esta frase”. Qual? “Esta”. Perceba que não há frase de fato.

Além disso, tais sentenças, em geral, dão valor a si mesmas. Quando emitem valor falso, caímos

em um paradoxo. Por exemplo: “Esta frase é falsa”. Se dissermos Verdadeiro, então é verdadeiro que é

falsa? Afinal, é verdadeira ou falsa? Se dissermos que é Falsa; então é falsa que é falsa, logo é

verdadeira. Afinal, é falsa ou verdadeira?

Desta forma, tais sentenças não são proposições lógicas.

Exemplo 5) “X é positivo”; “Y é um número par”.

Nestes casos nós temos incógnitas, ou seja, variáveis. Variável é toda letra que pode assumir um

valor numérico. Assim, não podemos julgar como Verdadeiro ou Falso pelo simples fato que não

dispomos de determinação do valor de X ou de Y ou, pelo menos, seu período de extensão. Dependerá

do valor de X e de Y serem definidos para que seja possível emitir tais julgamentos.

Desta forma, como foi apresentada, as variáveis encontram-se livres, o que caracteriza como

Sentença Aberta. Assim, tal situação não se caracteriza como proposição lógica.



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Certamente que, uma vez definida a variável, torna-se possível emitir Verdadeiro ou Falso como

julgamento. Por exemplo: “X é positivo, se X < 0”. Podemos dizer FALSO, pois para X menor que zero ele

é negativo e não positivo. Se podemos emitir o julgamento FALSO, é porque esta sentença é proposição

lógica.

Concluindo, temos que entender que, se ao olhar uma sentença, não houver condições de julgar

como Verdadeiro ou Falso, não é proposição lógica.

Exemplos:

1) Uma bela árvore.

2) Não sei como julgar esta questão.

3) 4 + 9

4) Juntos outra vez.

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivos ou conectores lógicos são elementos que conectam as proposições, como seu próprio

nome diz. Tais conectivos, ao unirem-se com as proposições, causam um efeito em particular, o que

caracteriza o conectivo, o que chamamos de Regras de Conectivos. Vamos analisar, para cada

conectivo, a expressão que o caracteriza, a simbologia utilizada, o diagrama lógico que o descreve e, por

fim, sua regra através de exemplo prático.

A base de todo RLP é compreender, memorizar e aplicar as regras dos conectivos em cada seção

abordada neste estudo.

Assim como as proposições lógicas podem ser descritas por letras, os conectivos lógicos

possuirão símbolos para indicar sua presença. Por exemplo: Considerando como P e Q as proposições

“João é alto” e “Maria é baixa”, respectivamente, teremos que a expressão P ^ Q significa “João é alto e

Maria é baixa”. O conectivo conjunção “e” é indicado pelo símbolo “^”.

As proposições do exemplo anterior “João é alto” e “Maria é baixa” são chamadas de proposições

simples ou átomos. Quando as unimos com conectivos, passam a ser proposições compostas ou

moléculas.

Algumas bancas como, por exemplo, o CESPE, em algumas questão expressa “...considerando

que R significa a expressão ‘João não é alto’...”. Uma vez que a banca expressa “...considerando...”,

vamos considerar. Assim, quando virmos R, entenderemos “João não é alto”. Além disto, a mesma banca

já indicou que podemos simbolizar “João não é alto e Maria é baixa” como P. Caso a banca indicar ou

perguntar se é possível indicar como P expressões com “e” ou “ou”, entendamos que é possível.

Veremos tais casos mais adiante. Por ora basta entendermos que tanto as proposições quanto os

conectivos serão expressos de modos mais resumidos visando facilitar o cálculo proposicional, que é a

determinação das valorações Verdadeiro ou Falso das proposições, sejam simples ou compostas.



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Conectivo Negação

Percebemos a presença de tal conectivo quando, na proposição, houver um elemento de

negação. Assim ele aparece em frases como “João não é alto”, “Não chove”, “Nenhum homem é imortal”,

“Ana e Pedro nunca foram ao shopping juntos”, “Não é verdade que há cão voador”, “É falso que há cão

voador”, “Nem Ana, nem Pedro foram ao shopping”. Nesta última entendamos que há duas negações e o

conectivo “e”, pois a enunciar “Nem Ana, nem Pedro foram ao shopping”, entendemos que Ana não foi ao

shopping e Pedro não foi a shopping.

Os símbolos utilizados para expressar este conectivo são “ ~ ” ou “⌐”. Assim, seja “A” a proposição

“João é alto”; então ~A significa “João não é alto”.

O diagrama lógico descritivo da negação será o seguinte:

Se no diagrama oval tivermos o grupo das pessoas que estudam para concursos, fora dele

teremos as pessoas que não estudam para concursos.

Se no diagrama oval tivermos o grupo das pessoas que não são bondosos, fora dele teremos as

pessoas bondosas.

Assim, se dentro é sim, fora e não e, se dentro é não, fora é sim. Desta forma, a negação é o

AVESSO; ou seja, a regra da negação é inverter o valor lógico anteriormente dado.

~ V = F e ainda ~ F = V

A dupla negação

Quando negamos uma proposição duas vezes consecutivas, obtemos a mesma proposição.

Assim, se dissermos que “não temos nenhum dinheiro”, em raciocínio lógico indica que possuímos algum

dinheiro, pois não temos nenhum. O mesmo acontece com a expressão “Maria não tem nenhuma

vontade”; é indicativo, em raciocínio lógico, que ela possui vontade.

Tal interpretação dá-se exclusivamente quando a banca organizadora elabora uma questão

fazendo a relação entre a dupla negação e a interpretação segundo o raciocínio lógico. Demais situações

onde aparecem tais expressões, interpretaremos como o fazemos segundo o senso comum, onde a

dupla negação possui a forma de um reforço da própria negação.

Tabela-verdade – conceito e preenchimento.

A tabela-verdade é um elemento utilizado amplamente no RLP, pois vem em nosso auxílio quando

temos alguma dúvida e queremos saber a VERDADE. Esta tabela descreve todas as possibilidades, ou

seja, tudo o que pode acontecer com determinada situação.



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Suponha que A e B correspondem respectivamente às proposição simples “João é alto” e “Maria é

baixa”, respectivamente. Vamos montar a tabela-verdade para estas duas proposições.

Primeiramente temos que determinar quantas linhas terá nossa tabela-verdade. O número de

linhas corresponde ao número de possibilidades de acontecimentos.

Para A teremos duas possibilidades, podendo ser Verdadeiro ou Falso. Para B teremos

igualmente 2 possibilidades. Assim, para formar uma tabela-verdade para A e B, teremos 2 x 2 = 4

possibilidades, ou seja, 4 linhas na tabela-verdade.

Ainda tais possibilidades, ou número de linhas da tabela, podem ser expressar por 2n, onde “n”

indica o número de proposições.

Então iremos descrever as 4 possibilidades conforme a tabela abaixo.

A B

V V Aqui descreve que João é alto e Maria é baixa

V F Aqui descreve que João é alto e Maria não é baixa

F V Aqui descreve que João não é alto e Maria é baixa

F F Aqui descreve que João não é alto e Maria não é

baixa Perceba que a tabela descreve todas as possibilidades.

Como ficaria uma tabela com três proposições lógicas A, B e C? Como há duas possibilidades

para cada uma destas proposições simples, teremos 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades. Mas, como montaremos

tal tabela-verdade de uma forma rápida e prática? Eu sempre indico que se “pense nas metades”. Vamos

ver?

A metade de 8 é 4, então dividiremos A com 4 verdadeiros e 4 valores falsos. Para a proposição

B, pensamos na metade de 4 que é 2, logo dividiremos B com 2 verdadeiros e 2 falsos na sequência.

Então basta, com C, pensar na metade de 2. Se B foi dividido de 2 em 2, C o será de 1 em 1. Então

teremos a seguinte tabela:

A B C

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F



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O que importa, para que uma tabela-verdade esteja completa, é que existam todas as

possibilidades, independentemente da ordem na qual foi montada. Eu indico para “pensar nas metades”

somente para fazer mais rapidamente a tabela.

Desta forma, poderemos comprovar que, ao negar uma proposição duas vezes consecutivas,

obteremos a mesma proposição, ou seja, a dupla negação de uma proposição possui valores lógicos

idênticos, sendo dita como equivalente à própria proposição. Na tabela a seguir, tal condição é

demonstrada pelas colunas com valores em negrito.

A B ~A ~(~A)

V V F V

V F F V

F V V F

F F V F

Conectivo Conjunção

Este conectivo indica que elementos acontecem juntos, aconteceram juntos, um acontece e outro

também acontece, etc.

Ocorre em proposições compostas unidas pela partícula “e” ou similar, indicando que ambos

elementos acontecem.

Exemplos:

1) João é alto e Maria é baixa;

2) João é alto, mas Maria é baixa;

3) João é algo, porém Maria é baixa;

Podem ser utilizados outros termos como “entretanto”, “contudo”, etc.

O diagrama de conjuntos indica eventos independentes, nos quais há a possibilidade de

acontecimento de ambos eventos.

Exemplo:

1) João já viajou para Argentina e para Bolívia.

A: Viajar para Argentina B: Viajar para Bolívia

João está aqui, no grupo dos que já viajaram para Argentina e Bolívia. Na intersecção.



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Dessa forma, o conectivo conjunção indica a intersecção dos conjuntos. O símbolo lógico utilizado

será “^”, que é parecido com o símbolo da intersecção matemática (∩). Assim, para a proposição

composta A e B, simboliza-se A ^ B.

A regra deste conectivo, devido ser este a intersecção dos conjuntos, indica que a conjunção só

acontece quando ambos acontecem. Quando dizemos que João viajou para Argentina e Bolívia, estamos

expressando que ele viajou para ambos lugares, ou seja, ambos são verdadeiros. Se um dos termos for

falso, já não poderemos dizer que João viajou para a Argentina e Bolívia.

Desta forma, a tabela-verdade deste conectivo será a seguinte:

A B A ^ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Resumo: O “e” só será verdadeiro se ambos os termos forem verdadeiros (V^V = V). Se houver

um termo falso, o “e” já será falso, independentemente do valor lógico do outro elemento (F ^ .... = F).

Conectivos Disjunções

Há dois tipos de disjunções: a inclusiva e a exclusiva. Uma inclui a possibilidade do acontecimento

da intersecção, a outra exclui tal possibilidade.

A disjunção inclusiva possui a partícula “...ou...”, enquanto que a exclusiva é expressa pela

partícula “ou...ou...”. Estudaremos cada uma isoladamente.

Conectivo Disjunção Inclusiva

Expressa pela partícula “...ou...”, inclui a possibilidade da ocorrência de ambos elementos.

Exemplo:

1) Quem já viajou para Argentina ou para Bolívia deve comparecer à Polícia Federal.

Quem viajou somente para a Argentina, deve comparecer. Quem viajou somente para Bolívia,

deve comparecer. Quem viajou para ambos países, deve comparecer. Logo, uma vez que se trata de

eventos independentes, este conectivo indica a união dos conjuntos. Tanto é que seu símbolo () é

parecido com o da união de conjuntos matemáticos (U).



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A: viajou para Argentina B: viajou para Bolívia

União dos conjuntos: Pessoas que viajaram para Argentina ou Bolívia

Em análise, para que o evento com a partícula “...ou...” aconteça, basta que um deles aconteça.

Desta forma, se um dos termos forem verdadeiros, o “...ou...” já será verdadeiro. Só não acontecerá o

“...ou...” quando ambos forem falsos. No exemplo, só não há necessidade de comparecer à Polícia

Federal a pessoa que não viajou para estes lugares. Assim, só será falso quando ambos são falsos.

Desta forma, a tabela-verdade descritiva deste conectivo será a seguinte:

A B AvB

V V V

V F V

F V V

F F F

Resumo: O “...ou...” será verdadeiro se houver pelo menos um verdadeiro (V v... = V). Somente

será falso se ambos forem falsos (F v F = F).

Conectivo Disjunção Exclusiva

Expressa pela partícula “ou...ou...”, este exclui a possibilidade da ocorrência de ambos elementos.

Exemplo:

1) Ou bebo leite ou como manga.

O que isso quer dizer? Se bebo leite, não como manga. Se não bebo leite, como manga.

Não é possível que ambos aconteçam e também não é possível que ambos não aconteçam.

Desta forma, só será verdadeiro se houver valores distintos. Uma vez que o símbolo para este

conectivo será v . Com isto, a tabela-verdade será a seguinte:

L M LvM

V V F

V F V

F V V

F F F

Resumo: O “ou...ou...” será verdadeiro somente para valores contrários. Valores idênticos serão

falsos.



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Conectivo Implicação Lógica – Condicional

Este conectivo é expresso por partículas que indicam condição.

Considerando as proposições C e P como “João foi a Curitiba” e “João foi ao Paraná”,

respectivamente, teremos este conectivo indicado como C P que pode ser expresso por “Se João foi a

Curitiba, então foi ao Paraná”; “Se João foi a Curitiba, foi ao Paraná”; “Como João foi a Curitiba, foi ao

Paraná”; “Quando João vai a Curitiba, vai ao Paraná”; “Caso João vá a Curitiba, irá ao Paraná”, entre

outros.

Ainda é possível que a banca organizadora inverta os termos. Assim CP pode estar expressa

de forma invertida quando diz-se “João foi ao Paraná, se foi a Curitiba”. Desta forma, a partícula “se” ou

similar (caso, quando, como,..) indicará o primeiro elemento da implicação.

O diagrama de conjuntos é descrito como

P

C

O diagrama indica que ir a Curitiba, implica logicamente em ir ao Paraná. Ainda podemos

entender que ao sabermos que alguém vai a Curitiba, podemos CONCLUIR que irá ao Paraná. Assim, a

implicação pode ser vista como uma conclusão.

Ir a Curitiba, entende-se que vai ao Paraná; mas ir ao Paraná não implica ir a Curitiba. Assim, a

implicação é como uma via de mão única.

Na implicação lógica há duas condições, sendo uma SUFICIENTE e outra NECESSÁRIA.

Supondo ainda nosso exemplo: quando uma pessoa diz que vai a Curitiba, é suficiente para

compreender que vai ao Paraná. Mas, para que uma pessoa vá a Curitiba, é necessário ir ao Paraná.

Desta forma, o primeiro termo da implicação é a condição suficiente, enquanto que o segundo termo é

condição necessária; ou seja, o termo anterior símbolo é condição suficiente, e o posterior é condição

necessária.

Para facilitar, basta pensar na bússola, cuja agulha aponta para o NORTE e tem como outro pólo

o SUL

( S N) (Suficiente Necessária).

Com isto, a implicação do exemplo pode ainda ser expressa como “João ir a Curitiba é condição

suficiente para ir ao Paraná”, ou ainda, “João ir ao Paraná é condição necessária para ir a Curitiba”

Analisando a regra deste conectivo, a única situação cujo acontecimento é impossível, é que uma

pessoa diga que viajou a Curitiba e não viajou ao Paraná. Isto é impossível, pois ir a Curitiba é suficiente

para concluir que irá ao Paraná. Então teremos a seguinte tabela-verdade:



Aulas 01 a 28

C P CP

V V V É possível a pessoa ir a Curitiba e ir ao Paraná

V F F É impossível a pessoa ir a Curitiba e não ir ao Paraná

F V V É possível a pessoa não ir a Curitiba e ir ao Paraná

F F V É possível a pessoa não ir a Curitiba e não ir ao Paraná

Conclusões e Resumo:

A única forma da implicação ser falsa é quando temos V F = F. Assim, como conseqüência, se

tivermos Falso no primeiro termo, já teremos que a implicação será verdadeira, independentemente do

valor lógico da condição necessária (F ... = V). Da mesma forma, quando o segundo termo for

verdadeiro, a implicação também será verdadeira, independentemente do valor lógico da condição

suficiente ( ... V = V).

Conectivo Dupla Implicação Lógica – Bi-condicional

Este conectivo indica que os termos são idênticos, ou seja, o acontecimento do primeiro acarreta

o acontecimento do segundo e vice-versa. É uma via de mão dupla.

Considerando C e E como “João viajou para Curitiba” e “João viajou para a Capital Ecológica”,

respectivamente, então teremos como C ↔ E, significa “João foi a Curitiba se e somente se foi à Capital

Ecológica”; “João foi a Curitiba se e só se foi à Capital Ecológica”.

Equivale a dizer que “Se João foi a Curitiba, então foi à Capital Ecológica e se João foi a Capital

Ecológica, então foi a Curitiba”

O diagrama de conjuntos para tal situação, visto que os termos são idênticos, será um só

diagrama para ambos os termos.

C = E

Assim, ambos elementos indicam duas condições lógicas. Ambos são condições suficiente e

necessária.

Desta forma, poderíamos até mesmo expressar tal conectivo sob a forma “João ir a Curitiba é

condição suficiente e necessária para ir à Capital Ecológica” ou ainda “João ir à Capital Ecológica é

condição suficiente e necessária para ir a Curitiba”.

Com isto, temos que este conectivo só será verdadeiro quando ambos os termos forem idênticos.

É possível ir a Curitiba e ir à Capital Ecológica e ainda é possível não ir a ambas. O que não pode é dizer

que foi a uma e não foi a outra.



Aulas 01 a 28

Ao perceber o conectivo dupla implicação, podemos perguntar sobre os termos: São Idênticos?

Se sim, verdadeiro; se não, falso.

Desta forma, a tabela-verdade deste conectivo será a seguinte:

C E C ↔

E

V V V

V F F

F V F

F F V

Resumo: A dupla implicação só é verdadeira quando se tem elementos com valores idênticos.

Será falsa nos demais.

RESUMÃO DAS REGRAS DOS CONECTIVOS

CONECTIVO TERMO MAIS USADO REGRA CONCLUSÃO

Negação ...não... ~V = F ~F = V

(avesso)

Conjunção ... e ... V^V=V F^....=F

Disjunção Inclusiva ... ou ... V˅...=V F˅F=F

Disjunção Exclusiva Ou ... ou ... Valores distintos = V Valores idênticos =F

Implicação Lógica Se ...., então .... V F = F F ...=V ... V = V

Dupla Implicação

Lógica

... se e somente se ... Valores idênticos =V Valores distintos = F



Aulas 01 a 28

NEGAÇÕES E EQUIVALÊNCIAS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Para o melhor entendimento deste tópico, é importante que o resumão acima descrito já esteja

memorizado, pois o entendimento das negações e equivalências também se dá com o entendimento das

regras dos conectivos.

Uma proposição é a negação de outra quando os valores de sua coluna da tabela-verdade são

exatamente o avesso. Uma proposição é equivalente quando possui os mesmos valores lógicos.

Quando a banca solicita o equivalente da negação, trata-se da própria negação, pois esta palavra

EQUIVALENTE quer dizer: “o mesmo que...”, “mesmo valor lógico de...”, “pode ser expressa por...”.

Assim, além do entendimento do mesmo valor lógico, podemos entender que a expressão “Como

João foi a Curitiba, foi ao Paraná” é equivalente a “Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná”.

Leis de Morgan – negação da conjunção de disjunção inclusiva

A negação de (A ^ B) será ~(A ^B), que é equivalente, segundo Morgan, a (~A˅~B). Similarmente,

a negação de (A˅B) tem como negação ~(A˅B) que é equivalente a (~A^~B).

Na prática, podemos entender através de um exemplo. Suponha que A seja “João viajou para

Argentina” e B seja “João viajou para Bolívia”. Suponha ainda que João nunca tenha saído do Brasil.

Assim, se perguntar a João se ele já viajou para Argentina “ou” Bolívia, ele dirá NÃO, ou seja, ~(A˅B). O

que ele está dizendo? Está dizendo que não viajou para Argentina “e” não viajou para Bolívia (~A^~B).

Podemos ver que isto realmente é verdade na tabela-verdade. Vide itens em negrito.

A B ~A ~B A˅B A^B ~(A˅B) (~A^~B) ~(A^B) (~A˅~B)

V V F F V V F F F F

V F F V V F F F V V

F V V F V F F F V V

F F V V F F V V V V

Negação da Disjunção Exclusiva

Se uma pessoa disser que “ou bebe leite ou come manga”, a negação seria “Se bebe leite, come

manga e se não bebe leite, não come manga” [(LM)^(~L~M) que nada mais é que “bebe leite se e

somente se come manga” (L ↔M).

Facilmente entendemos pelo resumão que a disjunção exclusiva é a negação da dupla-

implicação. Logo, a negação da dupla-implicação será a disjunção exclusiva.

Ainda teremos como negação da disjunção exclusiva, no exemplo, o termo [(LM)^(~L~M), que

equivale à dupla-implicação.



Aulas 01 a 28

Negação da Implicação Lógica

Consideremos o exemplo onde C e P são respectivamente “João foi a Curitiba” e “João foi ao

Paraná”, onde a implicação será “Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná”. A única situação

impossível, que não acontece, é o fato de dizer que “João foi a Curitiba ‘e’ não foi ao Paraná”. Perceba o

conectivo desta última expressão: será o “e”.

Assim, a negação de A B será ~(A B) que é equivalente a A ^ ~B.

Importante salientar que a negação de um conectivo não recai nele mesmo, sendo válido também

para a implicação lógica.

NOMENCLATURAS DAS PROPOSIÇÕES

Dependendo da disposição dos valores verdadeiro ou falso das proposições, elas podem ser

classificadas como:

Tautologia – Quando uma proposição sempre é verdadeira, o que acarreta que toda sua coluna

na tabela-verdade possui somente valores Verdadeiros.

Contradição – Oposto à anterior, diz-se de uma proposição que sempre é falsa, o que acarreta

que toda sua coluna na tabela-verdade possui somente valores Falsos.

Contingência – Diz-se da proposição que possui valores mesclados na tabela verdade.

Como determinar se uma proposição é tautologia, contradição ou contingência, sem o uso da

tabela-verdade? Há duas formas: Através da relação entre as proposições que a compõem, caso houver

relação de negação ou equivalência, ou através do que chamo de teste lógico. Este, caso afirmar que

uma proposição é tautologia, por exemplo, seja no enunciado ou em alternativas, podemos tentar que

seja falso. Se for possível ser falso, tautologia não será. Poderá até ser contradição ou contingência, mas

tautologia certamente não será.

Para determinar através da análise dos termos que compõem a proposição, através de negações

ou equivalências, deveremos analisar os termos compostos como um todo, compreendendo que uma

proposição, mesmo composta, pode ser verdadeira ou falsa.

Se tivermos uma proposição unida com sua negação através de algum conectivo, temos que

entender que, quando uma proposição for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Vide quadro a

seguir.

PROPOSIÇÃO CONECTIVO NEGAÇÃO RESULTADO NOMENCLATURA

V ^ F F CONTRADIÇÃO

F ^ V F

V ν F V TAUTOLOGIA

F ν V V

V F V TAUTOLOGIA

F

V V



Aulas 01 a 28

V F F CONTINGÊNCIA

F V V

V ↔ F F CONTRADIÇÃO

F ↔ V F

Similarmente acontece quando unimos uma proposição com seu equivalente, sendo que, neste

caso, quando uma proposição for verdadeira, seu equivalente também o será; quando a proposição for

falsa, seu equivalente também o será. Vide quadro a seguir.

PROPOSIÇÃO CONECTIVO EQUIVALENTE RESULTADO NOMENCLATURA

V ^ V V CONTINGÊNCIA

F ^ F F

V ν V V CONTINGÊNCIA

F ν F F

V V F CONTRADIÇÃO

F

F F

V V V TAUTOLOGIA

F F V

V ↔ V V TAUTOLOGIA

F ↔ F V

Não se trata de decorar os quadros, mas estes somente servem para informar que é possível

determinar tais nomenclaturas sem o uso de tabela-verdade.

Veja o exemplo a seguir:

1) (A ^B) ^ (~A ν ~B)

Uma vez que temos uma proposição unida com sua negação pelo conectivo “e”, quando a

proposição for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Em ambos os casos, o resultado será

falso. Assim, temos uma contradição. Vamos verificar pela tabela-verdade?

A B ~A ~B A ν B A^B (~Aν~B) (A ^B) ^ (~A ν~B)

V V F F V V F F

V F F V V F V F

F V V F V F V F

F F V V F F V F



Aulas 01 a 28

Outra forma de avaliar é quando uma questão afirma que uma proposição é, por exemplo, uma

tautologia. Esta afirmação pode estar na própria questão, como se dá no caso que questões de Certo e

Errado, ou ainda estar nas alternativas.

Uma vez que a banca afirma ser uma tautologia, podemos fazer o teste lógico tentando falsificar a

proposição. Caso conseguirmos falsificar, tautologia não será. Quando afirmar que é uma contradição,

tentaremos o oposto, tornar verdadeiro.

Pelo exemplo a seguir explicarei melhor a situação:

1) A (A ν B). Vamos verificar se pode ser tautologia. Então tentaremos falsificar esta proposição.

Para que a implicação seja falsa, temos de ter o primeiro termo verdadeiro e o segundo termo

falso. Mas perceba que, ao colocar o primeiro termo verdadeiro “A”, teremos um segundo termo com o

“A” também verdadeiro. Assim teremos obrigatoriamente o termo (A ν B) verdadeiro, independentemente

do valor de B. Logo teremos V V que será Verdadeiro. Desta forma, tentamos falsificar e não

conseguimos. Uma vez que não foi possível falsificar a proposição, concluímos que sempre será

verdadeira, ou seja, será uma Tautologia.

Em último caso, poderemos montar a tabela-verdade, até porque esta serve para mostrar a

verdade que não enxergamos.

ARGUMENTOS LÓGICOS

Argumentos lógicos são encadeamentos lógicos de proposições dadas como base, chamadas

premissas, juntamente com a conclusão das mesmas. As premissas são valoradas como verdadeiras

somente para efeito de raciocínio de encadeamento lógico. Caso a conclusão, a partir desta

determinação, for verdadeira, ou seja, a conclusão ser derivada com certeza das premissas, o argumento

é válido. Caso a conclusão for falsa ou puder ser verdadeira ou falsa, o argumento será dito inválido ou

não-válido.

Importa ressaltas que as premissas são dadas como verdadeiras somente para efeito de

raciocínio de encadeamento lógico, não que sejam verdadeiras de fato.

Por exemplo:

Premissa 1: Todo cão é animal

Premissa 2: Todo animal é verde

Conclusão: Logo, todo cão é verde

Se considerarmos as premissas 1 e 2 como verdadeiras para determinar a validade ou não do

argumento, veremos que o conjunto cão estará contido no conjunto animal e este último no conjunto

verde. Assim, realmente teremos que todo cão é verde. Assim sendo, considerando verdadeiras as

premissas, entendemos que a conclusão sai como encadeamento das premissas, sendo, portanto, um

argumento válido.



Aulas 01 a 28

Mas se considerarmos a realidade dos fatos, vemos que a premissa 1 é verdadeira e a premissa 2

é falsa e, por causa da premissa falsa, teremos uma conclusão falsa segundo a realidade dos fatos. Mas,

o argumento é válido.

Assim, a validade real das premissas ou conclusão não determina validade ou não de

argumentos. A determinação da validade ou não é avaliada somente a partir do encadeamento lógico e,

para isso, supomos verdadeiras as premissas para avaliar tal encadeamento.

Os argumentos sempre possuem um ponto de partida, sendo aquele ponto de onde poderemos

valorar com certeza alguma proposição simples e faremos o encadeamento das demais. Em último caso,

poderemos supor a conclusão falsa e avaliar se conseguimos, a partir da falsidade da conclusão, as

premissas verdadeiras. Se conseguirmos, o argumento é inválido, se não conseguirmos, o argumento é

válido. É um teste lógico para argumentos.

Quando temos uma premissa isolada, esta é o melhor ponto de partida.

Exemplo:

1) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma

bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,

a) não viajo e caso.

b) viajo e caso.

c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.

d) compro uma bicicleta e não viajo.

e) compro uma bicicleta e viajo.

Teremos

Premissa 1: C ν B (V)

Premissa 2: V ν ~ C (V)

Premissa 3: P ν ~ B (V)

Premissa 4: ~ P (V)

Neste exemplo, o nosso ponto de partida será a P4. Para que esta seja verdadeira, ~ P deve ser

verdadeiro. Assim, P será falso. Com P falso, pela P3 concluiremos que ~B deve ser verdadeiro para que

esta premissa seja verdadeira. Com ~ B, teremos que B é falso. Assim, na P1 teremos que C deve ser

verdadeiro, já que B é falso. Sendo C verdadeiro, ~C será falso. Então, na P2 teremos obrigatoriamente

V verdadeiro.

Todos os valores estão determinados:

Caso? (V) sim. Compro uma bicicleta? (F) não. Viajo? (V) sim. Vou morar em Pasárgada? (F) não.

Com estes valores determinados, a alternativa correta será aquela que conduz a um argumento

válido, ou seja, a conclusão seja verdadeira a partir das premissas dadas. Das alternativas, somente a

“b)” será verdadeira.



Aulas 01 a 28

Vamos ver outro exemplo com outro ponto de partida.

2) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti

disposto, logo podemos concluir que...

a) Se estudei, então me senti disposto.

b) Senti-me disposto e me alimentei bem

c) Estudei se e somente se não obtive boas notas.

d) Não obtive boas notas ou me alimentei bem

e) Senti-me disposto ou estudei.

Teremos

Premissa 1: E B (V)

Premissa 2: A D (V)

Premissa 3: E ^ ~ D (V)

O ponto de partida será na P3, onde temos o conectivo “e”. Neste, ambos os termos devem ser

verdadeiros. Assim E será verdadeiro e ~D será verdadeiro, o que acarreta que D será falso.

Com E verdadeiro, na P1 concluímos que B será verdadeiro. Com D falso, na P2 concluímos que

A será falso.

Todos os valores estão determinados:

Estudo? (V) sim. Obtenho boas notas? (V) sim. Alimentei-me bem? (F) não. Senti-me disposto?

(F) não.

Com estes valores, teremos que somente a alternativa “e) ” será verdadeira, ou seja, será uma

conclusão que conduz a um argumento válido.

Veremos agora um exemplo onde faremos o teste lógico.

3) A partir das proposições “Se um policial não tem informações precisas ao tomar decisões, então o

policial toma decisões ruins” e “Se o policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então

o policial tem informações precisas ao tomar decisões”, é correto inferir que “O policial que tenha tido

treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é uma proposição

verdadeira.

Como os termos “o policial teve treinamento adequado” e “ se dedicou nos estudos” sempre

aparecem juntos, simbolizarei esta proposição que seria A ^ B apenas por P.

Assim teremos:

Premissa 1: ~I R (V)

Premissa 2: P I (V)

Conclusão: P ~ R

Este argumento será válido? Vamos ver se a conclusão pode ser falsa. Se puder, não será válido.

Assim, para P ~ R falsa, teremos P verdadeiro que deverá acarretar ~ R falsa. Vamos ver se é

possível termos P verdadeiro e ~R falsa, mesmo com as premissas verdadeiras.



Aulas 01 a 28

Com P verdadeira, na P2 teremos I verdadeiro. Assim ~I é falso. Então pela P1, poderemos ter

qualquer valor para R que já deixa a P1 verdadeira. Assim, R pode ser verdadeira ou falsa. Desta forma,

~R pode ser falsa ou verdadeira. Assim, o argumento é inválido, pois pode ter conclusão falsa.

QUANTIFICADORES LÓGICOS

Temos por quantificadores lógicos o UNIVERSAL e o PARTICULAR. O universal é percebido

quando temos a partícula TODO, cujo símbolo é , enquanto que o particular é percebido quando temos

termos como “algum”, “alguns”, “existe”, “existe algum”, “existe pelo menos um”, etc; cujo símbolo é .

Quando temos argumentos lógicos contendo quantificadores, devemos resolvê-los

preferencialmente por diagramas de conjuntos.

Simbolizamos o universal da seguinte forma:

Todo A é B

B

A

Simbolizamos o particular da seguinte forma:

Algum C é D

C D

O segredo das questões com quantificadores lógicos é expressar via diagramas o que a questão

indica no texto, percebendo todas as possibilidades e não garantindo situações além das garantidas no

texto.

Exemplo:

1) Um casal tem vários filhos, dentre eles algumas crianças gostam de legumes e também de verduras,

sendo que nenhum dos que gostam de doce gostam de verdura. Portanto, dentre essas crianças, é

verdade que:

a) Alguém que gosta de legumes, gosta de doce.

b) Alguém que gosta de legumes, não gosta de doce.

c) Alguém que gosta de doce não gosta de legumes.



Aulas 01 a 28

d) Ninguém que gosta de doce, gosta de legumes.

Temos que desenvolver diagramas, de tal forma, que contemple todas as possibilidades e, ao

mesmo tempo, não afirme nada mais do que já está afirmado no texto.

A partir da afirmação “Algumas crianças gostam de legumes e também de verduras”, teremos o

seguinte diagrama:

L V

Agora, considerando a próxima afirmação “...nenhum dos que gostam de doce gostam de

verdura...”, teremos várias possibilidades para o diagrama de doce. O que importa é que este não possui

conexão com verdura. Mas todas as posições abaixo descritas não podem ser garantidas. Pode ser

qualquer uma delas.

L V

A única coisa que podemos afirmar é que há pessoas que gostam de legumes que não gostam de

doce. Quais? Aquelas pessoas que gostam também de verduras.

NEGAÇÕES DE QUANTIFICADORES LÓGICOS

Quando afirmamos que algo não total, é porque é parcial. Quando afirmamos que algo não é

parcial, é porque é total. Assim a negação do todo recai no existe algum e vice-versa. É o contraditório.

A regra básica é mudar o quantificador, mudando a posição da negação. Além disso, é entender

que o SUJEITO da sentença não muda, mudando somente o PREDICADO.

Por exemplo: Se alguém diz que “todo homem é careca”. Uma pessoa pode não concordar e

negar dizendo “Nem todo homem é careca”. O que ela está dizendo? Está dizendo que existe algum ou

alguns homens que não são carecas. Assim, basta trocar a posição da negação e mudar o quantificador

lógico.

Importa não esquecer que a negação da negação torna-se o próprio elemento.

doce

doce

doce



Aulas 01 a 28

Por exemplo: “Não existe homem que não seja mortal”. Está dizendo que todo homem é mortal,

pois o “não existe” recai em “todo não”; o não mortal permanece. Assim teremos que “todo homem não

não é mortal”, resultando em “todo homem é mortal”.



Aulas 01 a 28

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

PRINCÍPIO DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA

Chamamos princípio de contagem à parte da matemática que se utiliza das quantidades para

determinar o número de possibilidades dos acontecimentos. Para isto, trabalhamos com os princípios

multiplicativo e aditivo.

Deste tópico surgem as permutações, arranjos e combinações.

Alguns termos são essenciais para a compreensão do processo lógico deste tema, são eles:

“e” – Este termo, quando surge em encadeamento sucessivo, indica multiplicação. Em conjuntos,

significa intersecção de conjuntos.

“ou” – Este termo, quando surge como indicação de outra possibilidade, indica soma. Em conjuntos, em

eventos independentes, significa união de conjuntos.

Tais termos são utilizados da mesma forma no estudo das probabilidades.

Identificação das quantidades envolvidas

O primeiro passo é entender que neste processo trabalhamos com quantidades para determinar

número de possibilidades. Para isto nos utilizamos dos termos descritos.

Por exemplo: Dispondo das letras vogais e dos algarismos ímpares do sistema de numeração,

quantas placas de veículos com 3 letras e 4 algarismos podemos fabricar com as seguintes

especificações:

1) Contendo 3 letras e 4 algarismos.

* Quando não há especificação quanto a termos repetidos, entendemos que é possível haver repetições *

Desta forma, a placa terá

Letra vogal e letra vogal e letra vogal e algarismo ímpar e algarismo ímpar e algarismo ímpar e algarismo

ímpar

Como são 5 vogais: A, E, I, O e U – são 5 letras possíveis para qualquer vaga de letra vogal

5 x 5 x 5

Quanto aos algarismos ímpares – 1,3,5,7,9 – São igualmente 5 algarismos ímpares disponíveis para

cada posição de algarismo ímpar, o que, juntamente com as letras, ficaremos com

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5.

Assim teremos 15.625 placas distintas que podemos formar com tal configuração.

2) Contendo 3 letras distintas e 4 algarismos distintos.

* Com tal especificação, impede qualquer repetição. Desta forma, se utilizou uma letra em uma posição,

não pode dispor dela para outra. Sempre vai reduzindo o número. *

5 x 4 x 3 x 5 x 4 x 3. Teremos estes valores, pois tal distinção deve-se às letras e aos algarismos,

segundo enunciado.



Aulas 01 a 28

Assim, teremos 3.600 placas distintas que podemos formar com letras e algarismos distintos, dispondo

das letras vogais e dos algarismos ímpares.

Exemplo: Dispondo de dois sinais distintos, traço e ponto, quantos sinais distintos podem ser

formados utilizando-se de até 3 sinais?

Até 3 sinais, indica que podemos utilizar um, dois ou três sinais. Então teremos

___ ou ____ e ____ ou ____ e ____ e ____

Para cada espaço, podemos utilizar qualquer um dos dois sinais (traço e ponto), assim teremos

2 ou 2 x 2 ou 2 x 2 x 2 = 2 + 4 + 8 = 14 sinais. Estes podem ser verificados na sequencia a seguir:

. - . . - - . - - . . . . . . - . - . . - - - . . - . - - - . - - -

FATORIAL (!)

O fatorial é um operador que nos auxilia em cálculos que envolvem TROCA. Pensou em TROCA

(permuta), pensou em FATORIAL.

Exemplo: Três pessoas sentar-se-ão em três cadeiras. De quantas formas distintas este evento pode se

dar?

Podemos pensar... Para a primeira pessoa, há 3 cadeiras disponíveis, para a segunda, 2 cadeiras

disponíveis e para a última pessoa, uma cadeira disponível. Assim teremos 3 x 2 x 1 = 6 formas distintas.

Podemos também pensar: São 3 pessoas que podem TROCAR de lugar = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Assim, este operador define uma multiplicação regressiva a partir do número que aparece antes

do operador “!” até finalizar em 1. Assim 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120; 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3! = 3 x 2 x 1

= 6 ; 2! = 2 x 1 = 2 ; 1! = 1. Por convenção 0! = 1.

Divisão de Fatoriais

Quando dividimos fatoriais, podemos fazer com que o fatorial maior chegue até o menor e

simplifica-se este último. Assim 5! / 3! = 5 x 4 x 3! / 3! = 5 x 4 = 20.

“Tanto faz a troca”

A fim de trabalhar com um processo lógico de raciocínio, instituí este termo para indicar uma

forma de excluir as possibilidades de repetições desnecessárias ou não desejadas em nosso cálculo. Tal

termo indicará para nós a operação de DIVISÃO, tendo no denominado um FATORIAL (TROCA).

Com esta metodologia, poderemos avaliar de forma lógica e prática as combinações e

permutações com repetição.



Aulas 01 a 28

ANAGRAMAS

Sem letras repetidas – Permutação

Podemos interpretar o anagramas como “letras que trocam de lugar”. Quando não há letras

repetidas nas letras-base, basta fazer a pura permutação.

Exemplo: Tomando por base a palavra TROCA, quantos anagramas podemos formar:

1) Começando por vogal.

Teremos duas possibilidades para a primeira letra ( A ou O). Restam 4 posições, a letras para trocar de

lugar (4!)

Assim teremos 2 x 4! = 2 x 4 x x 2 x 1 = 48 anagramas

2) Iniciando por vogal e terminando por consoante.

Devemos analisar primeiramente os casos específicos.

Teremos 2 letras possíveis para serem a primeira e 3 letras possíveis para ser a última. Restarão 3 letras

que podem trocar de lugar.

2 x 3! X 3 = 2 x 3 x 2 x 1 x 3 = 36 anagramas

A permutação é simbolizada por P. Assim, a permutação de 3 elementos, ou seja, 3 elementos

que TROCAM de lugar, é 3! e pode ser simbolizada por P3.

Com letras repetidas – Permutação com repetição

Quando temos palavra com letras repetidas, haverá, ao se pensar em anagramas, situações de

anagramas repetidos. Por exemplo: tomando por base as letras da palavra REPETE, podemos observar

que haverá trocas repetidas. Assim, para calcular o número de anagramas distintos, podemos pensar:

São 6 letras que trocam de lugar, mas TANTO FAZ A TROCA de 3 letras E. Sim, pois, se trocarmos

apenas tais letras, permanece a palavra REPETE.

Então, com este raciocínio, teremos 6! / 3! = (6 x 5 x 4 x 3!) / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 anagramas

distintos.

Podemos ainda calcular o número de repetições que acontecem pensando em “todas as

possibilidades menos a quantidade de anagramas distintos”. No caso em questão será 6! – 120 = 720 –

120 = 600 repetições.

Podemos ainda pensar: quantas vezes aparecerá a palavra REPETE? Basta deixar as outras

letras em suas posições, o R, P e T e pensar nas trocas das 3 letras E. São 3 letras E que trocam de

lugar. Será 3! = 6 vezes, nas 720 mudanças, aparecerá a palavra REPETE.

Podemos simbolizar este exemplo 6! / 3! como sendo permutação com elementos repetidos, da

seguinte forma:



Aulas 01 a 28

Arranjos

Dispomos de arranjos nos casos onde termos AB são distintos de BA. Isto ocorre em senhas, em

placas de veículos, etc; sendo que, além deste fato, ainda os termos envolvidos devem admitir somente

letras ou números distintos, onde os algarismos vão decrescendo no cálculo.

Exemplo: Dispondo das vogais, quantos códigos de 3 letras distintas podemos fazer?

As vogais: A,E,I,O,U. Como são 3 letras distintas que compõem o código, teremos 5 x 4 x 3 = 60 códigos

distintos com letras distintas. Mas porque fiz questão de colocar “códigos distintos com letras distintas”?

Somente para destacar que sempre serão códigos distintos que resultam dos cálculos, mesmo que

possibilitasse repetições. Pois se fosse possível repetição, o código 112 é diferente de 121. Há repetição,

porém são códigos distintos.

Mas no caso dos arranjos, vale somente para situações onde os componentes dos códigos ou

senhas são distintos. Logo, 5 x 4 x 3 será “Arranjo de 5, 3 a 3” que pode ser simbolizado por A5,3 ou .

Podemos expressar o arranjo através de uma fórmula, onde “n” é o numero disponível de

elementos e o “p” é o número de elementos para ser formados.

Pelo raciocínio lógico, ao visualizar, por exemplo a multiplicação 10 x 9 x 8 x 7 , já podemos

identificar um arranjo de 10 (o primeiro número) 4 a 4 ( número de vagas, número de algarismos que

multiplicam).

Combinações

A combinação ocorre quando elementos AB significam o mesmo que BA. Isto acontece em

grupos, equipes, comissões, etc. Assim vemos que “tanto faz a troca” da ordem das duas letras, pois é o

mesmo elemento.

Exemplo: 5 médicos e 8 enfermeiros devem formar equipes com dois médicos e três enfermeiros

cada.

Note que o “tanto faz a troca” aparecerá por situação distinta: ser médico, ser enfermeiro; pois tanto faz a

troca da ordem dos nomes dos dois médicos, pois é a mesma dupla de médicos na grande equipe;

também tanto faz a troca da ordem dos nomes dos três enfermeiros, pois é o mesmo trio de enfermeiros

na grande equipe.

Assim teremos [(5 x 4) / 2!] x [ (8 x 7 x 6) / 3! ]

Veja que a combinação pode ser identificada quando há algarismos em multiplicação de forma

decrescente, tendo no denominador um número em fatorial igual ao número de vagas.

Assim, no exemplo, temos combinação de 5, 2 a 2 multiplicado por combinação de 8, 3 a 3.



Aulas 01 a 28

A combinação de 5, 2 a 2 pode ser simbolizada por C5,2 ou ou ainda

A fórmula da combinação é a seguinte:

Ainda há a combinação com repetição, onde há o número “n” de elementos disponíveis e o

número “p” de vagas, ou de elementos a escolher. A diferença é que estes elementos “p” admitem a

possibilidade de repetição.

Para tal, necessitamos utilizar uma fórmula, que é a seguinte:

CR m,p = C m+p-1, p

PROBABILIDADES

Probabilidade é a relação (Razão = divisão) entre uma parte específica e um total, seja ele geral

ou específico. Assim, trata-se de um valor relativo, uma espécie de comparação de uma parte menor com

uma maior.

Bem como no princípio de contagem, na probabilidade também há os seguintes termos:

“e” – Este termo, quando surge em encadeamento sucessivo, indica multiplicação. Em conjuntos,

significa intersecção de conjuntos.

“ou” – Este termo, quando surge como indicação de outra possibilidade, indica soma. Em conjuntos, em

eventos independentes, significa união de conjuntos.

Além destes, há alguns termos que fazem com que o espaço amostral seja reduzido, ou seja, será

reduzido o total a considerar, não mais sendo o total geral, mas um total específico. Tais termos são:

...considerando que..., ...sabendo que..., ...tendo em vista que... , etc.

Uma vez que a probabilidade é a relação entre valores que exprimem quantidades, podemos

também resolver as probabilidades pensando em princípio de contagem, onde o numerador indica a

quantidade específica solicitada e o denominador a quantidade total geral ou específica.

Uma vez que os termos “e” e “ou” são, em se tratando de conjuntos, respectivamente, a

intersecção e a união de conjuntos, quando há a possibilidade de intersecção entre eles, ou seja, para

eventos ditos independentes, teremos que:



Aulas 01 a 28

P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A∩B)

Isto indica que, ao somarmos A e B, somaríamos duplamente sua intersecção, então teremos que

extrair uma intersecção.

Tal teoria pode ser estendida para maiores quantidades de conjuntos em eventos independentes.

Desta forma, por exemplo, em quatro conjuntos:

P(A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) – 1 x (soma da intersecção de apenas 2 conjuntos)

– 2 x (soma da intersecção de apenas 3 conjuntos) – 3 x (intersecção de 4 elementos)

O segredo das probabilidades está em justamente determinar as partes específicas e a total. O

cálculo pauta-se apenas em efetuar a divisão destes termos.

Probabilidade em Urnas

Em urnas dispomos de eventos exclusivos, pois retirar uma bola azul é plenamente exclusivo de

retirar uma bola verde, pois não há bolas azuis e verdes ao mesmo tempo. Assim, não há a intersecção

de conjuntos, o que determina que o termo “ou” significa pura SOMA.

Quando da retirada de bolas sucessivas de uma urna, poderemos ter os termos “com reposição”

ou “sem reposição”, o que significa, respectivamente, que a bola retirada deve ser devolvida (o que faz

com que permaneça o total de bolas na urna) e em outra significa que a bola retirada não é devolvida (o

que faz com que se reduza o total a cada retirada).

Atenção especial deve ser dada quando há retiradas sucessivas e independe da ordem de

retirada, o que dobra a probabilidade. Por exemplo: Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 pretas. Ao se

retirar duas bolas sucessivamente e sem repetição, qual a probabilidade de que as duas bolas retiradas

tenham cores distintas? Percebamos que poderemos retirar uma bola branca e outra preta ou vice-versa,

o que dobra a probabilidade. Assim teremos 2/5 x 3/4 x 2 = 12/20 = 6/10 = 60%.

A B



Aulas 01 a 28

Probabilidade em Dados de Jogo.

A forma mais rápida de se determinar a probabilidade em dados de jogo é colocando todas as

possibilidades. Depois de exprimir todas as possibilidades, faz-se a probabilidade como sucessão.

Importa ressaltar que podemos ter dados não-viciados, onde a probabilidade de retirar qualquer

número de 1 a 6 é a mesma, a saber: 1/6. Ainda podemos ter dado viciado, onde a probabilidade de se

retirar algum número é maior que outros, o que deverá ser expresso no texto da questão. Mas a forma de

solução é a mesma.

Exemplo:

1) Supondo o lançamento de 2 dados, qual a probabilidade de que nos dois lançamentos a soma

dos resultados seja 5?

Vamos exprimir as possibilidades para soma 5: (1,4)(2,3)(3,2)(4,1). Para cada um destes quatro a

probabilidade será 1/6 x 1/6 = 1/36. Como são 4 vezes que tal situação se repete, teremos 1/36 x 4 =

4/36 = 1/9

2) Supondo o lançamento de 3 dados, qual a probabilidade de que no segundo lançamento saia o

número 2, sabendo que a soma dos resultados seja 5?

Como expressa “sabendo que”, temos que expressar todas as possibilidades para a soma 5 em 3

lançamentos, são elas: (1,1,3) (1,3,1)(3,1,1)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2) . Perceba que há 2 possibilidades onde o

número 2 saiu no segundo lançamento. Assim, a probabilidade será 2/6 = 1/3

Probabilidade em Moedas.

Assim como nos dados, a melhor forma de determinar é expressando as possibilidades descritas

no problema e sabendo que a probabilidade de sair cara é 1/2, bem como coroa; salvo se a moeda for

viciada.

Probabilidade em Cartas.

Nas cartas, parte-se do princípio de um baralho com 52 cartas, contendo 4 naipes de 13 cartas

cada.



Aulas 01 a 28

CONJUNTOS

Há vários problemas que podem envolver conjuntos, desde os que expressam relações entre

conjuntos, entre elementos e conjuntos, até situações onde há quantidades distribuídas nas diversas

partes dos conjuntos.

Dados os conjuntos A={1;2;3} B={2;4} e C={3} , vamos determinar algumas relações entre

conjuntos e entre elementos e conjuntos.

Entre conjuntos, podemos ter as relações “contém”, “não contém”, “está contido”, “não está

contido”. Ainda podemos ter “união”, “intersecção”, “diferença” e “complementar”.

A partir dos conjuntos dados, veremos tais relações.

A união com B, ou seja, (A U B)={1;2;3;4}

A intersecção com B, ou seja, (A ∩ B)={2}. Observe que (B ∩ C) = { } ou ф, que é conjunto

vazio.

O conjunto A contém o conjunto C, ou seja, A C. Da mesma forma, C está contido em A, ou

seja, C A.

Ainda podemos simbolizar “não contém” e “não está contido”, respectivamente, como e .

A diferença entre conjuntos expressa os elementos que há em um conjunto, excluindo aqueles

que há no outro. Por exemplo, A – B ={1;3} . O elemento “2” não faz parte, pois está também em B e se

quer excluir tais elementos. Disto decorre que, quando temos um conjunto contido em outro, como o C

está contido em A, chama-se complementar de C em A os elementos A – C={1;2}, pois é o que falta a C

para ser A.

Além de tais relações, temos as relações entre elementos e conjuntos, onde teremos pertence e

não pertence, simbolizados, respectivamente, por “Є” e “ ”.

Importa ressaltar que, em se tratando de conjuntos numéricos, poderemos expressá-los em reta

horizontal numérica, considerando como “bola aberta” a situação onde exclui tal número e “bola fechada”

quando inclui tal número. Exemplo: A={ x Є / 1< x ≥ 6} . Lê-se “x pertence aos números naturais, tal

que, x é maior que 1 e menor ou igual a 6”. Desta forma, trata-se do seguinte conjunto A={2;3;4;5;6}.

Caso tal intervalo fosse dos números Reais, simbolizaríamos com uma reta numérica com bola

aberta em 1 e bola fechada em 6. No intervalo, faríamos um simbolismo indicando que todos os números

de tal intervalo incluem-se no conjunto.

Quantidades e conjuntos

Quando há problemas que envolvem quantidades localizadas nos espaços dos conjuntos, só

temos de ter cuidado com os termos “somente”, “apenas”, etc... Estes termos indicam que há exclusão de

algum conjunto ou parcela dele.

1 6



Aulas 01 a 28

No exemplo a seguir poderemos indicar tais situações.

Supondo que o diagrama acima indique o número de pessoas entrevistadas quanto a utilização

dos produtos A, B e C.

O número de pessoas que usam A e B são 4, mas o número de pessoas que usam SOMENTE A

e B são 3. Ou seja, este somente, exclui o uso do C.

O número de pessoas que não Usam o produto C são 9 + 3 + 11 + 15 = 38 pessoas

O número de pessoas que usam apenas um produto são 11 + 9 + 13 = 33 pessoas.

O número de pessoas que usam pelo menos dois produtos são 3 + 1 + 5 + 7 = 16 pessoas.

Desta forma é que indicamos as quantidades com os termos “somente”, “apenas”, etc.

DICA: Quando não for dada a intersecção dos conjuntos, chamemos de “x” e analisemos passo a

passo até determinar os devidos valores.

A=18 B=22

C=26

9

1

3

5 7

11

13

+ 15



Aulas 01 a 28

PROBLEMAS ARITMÉTICOS

NÚMEROS PRIMOS

Os números primos ou fatores primos são a base dos outros números em sistema multiplicativo.

Podemos desmembrar qualquer outro número tendo como base os fatores primos. Estes, são aqueles

divisíveis somente por 1 e por si mesmo, sendo que o 1 não é primo.

Desta forma, são primos {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31, 37, 41, 43, 47, etc...}

Com base nos fatores primos, avaliamos o Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O Mínimo Múltiplo Comum aparece em situações nas quais se possui valores distintos e se quer

um valor maior que seja múltiplo ao mesmo tempo de cada elemento dado. Em se tratando de tempo,

aparece em múltiplo comum de tempo, ou seja, quando há um encontro e se quer saber quando haverá

novo encontro. Se quisermos o próximo encontro, será o MMC; se quiser outro encontro, poderá ser

qualquer outro múltiplo comum, que pode ser calculado multiplicando-se o MMC.

Exemplo:

Numa estação rodoviária, sai um ônibus para uma cidade A, a cada 30 minutos, e um ônibus para

uma cidade B, a cada 50 minutos. Os ônibus saem juntos pela primeira vez às 6 horas da manhã. A

próxima saída conjunta ocorre às:

Trata-se do MMC entre 30 minutos e 50 minutos. Isto porque se quer saber o próximo encontro.

30,50 Dividindo por 2

15, 25 Dividindo por 3



1,1

Desta forma, o MMC será 2 x 3 x 5² = 150 minutos, que será 2horas e 30 minutos

Assim, se saíram às 06:00h, sairão novamente às 08:30h. E continuarão a sair novamente de

2h30min a 2h30min.

MÁXIMO DIVISOR COMUM

O cálculo do Máximo Divisor Comum aparece quando temos lotes grandes e com quantidades

distintas e se quer dividir em partes menores, sendo que estas pequenas partes devem conter a mesma

quantidade e o mesmo tipo de elemento. Será o MDC quando se pedir qual o maior número de

elementos em cada pequena parte ou qual o menor número de partes, o que reporta a ter o máximo de

elementos por pequena parte.

Importante observar que só se utiliza um fator primo que seja divisor comum.



Aulas 01 a 28

Exemplo:

Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outro, com

432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo

as seguintes instruções:

- todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;

- cada pacote deve ter um único tipo de boletim.

Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é

336, 432 Dividir por 2, pois é divisor comum





7, 9

O MDC será 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3 = 48. Como o MDC foi feito entre boletins, então são 48

boletins por pacote, o que resultará 7 pacotes do boletim tipo A, cujo total são 336, e 9 pacotes do tipo B,

cujo total são 432.

Assim haverá 48 boletins por pacote, o que acarreta um mínimo de 16 pacotes utilizados.

PROPORÇÕES

Quando se fala em proporções, fala-se de uma forma de análise onde a forma real resulta da

proporção multiplicada por um fator comum das partes. Por exemplo: Se A e B são proporcionais,

respectivamente, a 2 e 3, teremos que A está para B assim como 2 está para 3. Daí já vamos entender

que B terá uma quantidade maior do que A, pois assim o é na proporção.

Caso a soma real de A e B for 15, como a soma proporcional é 5 (2 + 3), então há entre o

proporcional e o real uma multiplicação por 3, pois 5 x 3 = 15. Isto que dizer que o real é três vezes maior

que o proporcional. Assim o será para as partes. Assim A será 2 x 3 = 6 e B será 3 x 3 = 9. Perceba que

6 + 9 = 15.

Então a proporção se dá nas partes, na soma dos termos e na subtração dos termos.

Ainda, tendo A está para B assim como 2 está para 3. Como 2 + 3 = 5, então a parcela de A será

2/5 do total, enquanto que B será 3/5 do total.

Proporcionalidade Direta e Inversa

Quando, por exemplo, divide-se algum dinheiro em partes proporcional ao valor investido; temos

que quem investe mais recebe mais e quem investe menos recebe menos. É proporcional, ou

diretamente proporcional às partes.



Aulas 01 a 28

Quando, por exemplo, divide-se um prêmio de forma inversa às faltas na empresa; quem falta

menos ganha mais e quem falta mais ganha menos. É inversamente proporcional.

Em termos numéricos, o inverso de 2 será 1/2. Assim, se um valor for dividido de forma

inversamente proporcional às faltas e se Ana tiver 2 faltas, o valor proporcional de Ana será 1/2 .

Para a divisão proporcional ou inversamente proporcional, utilizamos o mesmo raciocínio:

Passo 1: Somamos as partes proporcionais, sejam diretas ou inversas.

Passo 2: Verificar de quanto temos que multiplicar o proporcional para chegar ao real.

Passo 3: Este fator de multiplicação é comum ao total e a todas as partes.

REGRA DE TRÊS

A regra de três, seja direta ou inversa, seja simples ou composta, parte do princípio da análise de

proporcionalidade que há entre as grandezas, que são os termos quantificados (que recebem

quantidade).

Se há algum local a se colocar “setas”, este lugar é ao lado das grandezas. Os números apenas

obedecerão a regra que as grandezas indicarão.

A regra de três seguirá os seguintes passos:

Passo 1: Escolher uma grandeza para isolar do lado esquerdo da igualdade. Esta será nossa

referência. Grandezas boas para comparação são as que executam serviço: operários, funcionários,

máquinas, etc. Não há necessidade de ser quem possui “x”.

Passo 2: Colocar os valores conforme o texto. Caso houver grandezas como horas e minutos,

trabalharemos com a menor grandeza que, neste caso, será minutos.

Passo 3: Simplificar “dentro da coluna” os números colocados. Caso houver o mesmo número

acima e abaixo na mesma grandeza, indicará que esta grandeza não entrará no raciocínio. É como se ela

não existisse.

Passo 4: Sem se preocupar com os números, imaginemos a grandeza de referência aumentando

e comparemos UMA A UMA, separadamente, para avaliar se, com o suposto aumento da grandeza de

referência, a outra aumentará (diretamente proporcional) ou reduzirá (inversamente proporcional).

Passo 5: Agora é só fazer os números obedecerem a indicação das setas. Caso for diretamente

proporcional, escrevemos como aparece. Se for inversamente proporcional, inverteremos os termos na

fração resultante.

Somente a grandeza de referência deve ficar do lado esquerdo da igualdade.

MATRIZES E DETERMINANTES

Matrizes são compostos que possuem elementos indicativos de linha em que se encontra (i) e

coluna (j).



Aulas 01 a 28

Exemplo: Uma matriz A2x3 (2 linhas e 3 colunas) pode ser expressa por

a11 a12 a13

a21 a22 a23

Desta forma, poderemos ter matrizes com apenas uma linha (matriz linha), apenas uma coluna

(matriz coluna), bem com matrizes quadradas (número de linhas igual ao número de colunas).

Matriz Transposta

A matriz transposta é a que possui linhas e colunas invertidas em relação à matriz original. Se na

matriz original temos algum valor em a23 , na matriz transposta tal valor estará no termo a32.

Uma forma prática de montar a matriz transposta é considerar a matriz como um objeto. Fazer

uma rotação no sentido horário. Depois fazer um giro em um eixo imaginário central.

Vejamos um exemplo:

1 2 3

4 5 6

Girando sob forma horária...

4 1

5 2

6 3

Girando em eixo central...

1 4

2 5

3 6

Esta é a matriz transposta.

Operações entre matrizes

As operações de soma e subtração devem ser efetuadas com matrizes com mesmo número de

linhas e colunas. A soma ou subtração deve ser feita termo a termo, ou seja, cada um com seu

correspondente.



Aulas 01 a 28

O produto entre matrizes só poderá ser executado se o número de colunas da primeira matriz for

igual ao número de linhas da segunda matriz.

O produto se dá da seguinte forma:

1) Produto da primeira linha pela primeira coluna, termo a termo, depois efetua-se a soma. O

resultado será o termo da primeira linha e primeira coluna.

2) O termo da primeira linha e segunda coluna dá-se multiplicando termo a termo a primeira linha

pela segunda coluna. Depois soma-se os termos, e assim sucessivamente.

DETERMINANTES

Os determinantes são números que estão relacionados com matrizes quadradas. É o resultado do

produto de diagonais principais (analizando de cima para baixo e da esquerda para direita), mantendo o

sinal do produto; com o produto de diagonais secundárias (de cima para baixo e da direita para

esquerda), mudando o sinal do produto. Depois, basta efetuar a soma dos resultados.

Para uma matriz 3 por 3, para fazer o cálculo do determinante, deve-se repetir as duas primeiras

colunas do lado direito da matriz. Desta forma teremos 3 diagonais no sentido principal e 3 no sentido

secundário.

Propriedades dos Determinantes

O determinante será zero quando:

* Uma matriz conter todos os elementos de uma linha ou coluna igual a zero

* Quanto houver igualdade de elementos de linha ou coluna

* Quando linhas ou colunas tiverem valores proporcionais

OBSERVAÇÃO: Ao multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha ou coluna, o

determinante ficará multiplicado ou dividido pelo mesmo valor.

Exemplo: Se multiplicarmos a primeira linha por 2 e dividirmos a segunda coluna por 3, o

determinante ficará multiplicado por 2/3



Aulas 01 a 28

O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Tendo por “n” a ordem da matriz, ou seja, se n=3 a matriz é 3x3; se n=4 a matriz é 4x4. Com base

nisto, se multiplicarmos uma matriz por um valor “V”, teremos que det(VxA) = Vn x det(A).

Além disso, det(Ax)=[det(A)]x

GEOMETRIA

GEOMETRIA PLANA – Através de fórmulas há a determinação dos valores das áreas e

perímetros dos POLÍGONOS e da CIRCUNFERÊNCIA.

A base do cálculo de volumes da geometria espacial é o cálculo da área das figuras planas.

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das

medidas dos catetos.

Os triângulos retângulos que mais caem em prova são os triângulos proporcionais aos triângulos

3,4 e 5 e ainda 5, 12 e 13.

A = πR²

C = 2πR

A = L²

Per = 4L

A = B x h

Per = 2x(B + h)

A = B x h

A = B x h/2

A = L²√3/4

A = (B+b)xh/2



Aulas 01 a 28

Por exemplo:

Se um triângulo retângulo possuir catetos com valores 9 e 12, podemos perceber que este é 3

vezes maior que o 3,4 e 5, pois 3 x 3 = 9 e 4 x 3 = 12. Logo, a hipotenusa será 5 x 3 = 15.

GEOMETRIA ESPACIAL

Quando temos figuras cujas áreas da base e do topo são iguais (com exceção do círculo), tendo

apenas uma distância separando-as, chamamos de prismas. O prisma leva o nome de sua base. Por

exemplo: um prisma triangular indica que a base e o topo são triângulos.

Para o cilindro e os prismas, o volume é o produto entre a área da base e a altura.

Além dos volumes, temos a área superficial, que é a soma das áreas das faces das figuras

espaciais.

O volume das pirâmides serão 1/3 dos volumes das figuras que as originaram.

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Raciocínio Lógico PF: Agente de Polícia Federal - 2014 ...docs.aprovaconcursos.com.br/.../sgc_pf_2014_ag_policia_raciocinio... · O Curso de Raciocínio Lógico preparatório terá