Raciocínio Lógico

RACIOCNIO LGICO

Didatismo e Conhecimento 1

RACIOCNIO LGICO

Prof. Sonia Maria Pontelli TamoyoGraduada em Matemtica; Complementao Pedaggica; Atividade no Estado e Escolas particulares por 25 anos

CONJUNTOS NUMRICOS E OPERAES.

A descoberta do nmero no aconteceu de repente, nem foi uma nica pessoa a responsvel por essa faanha. O nmero surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisa. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os ns de uma corda, marcas num osso... Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeioando at dar origem ao nmero.

Temos os seguintes conjuntos numricos:

- Conjunto dos nmeros Naturais (N)

- Conjunto dos nmeros Inteiros (Z)

- Conjunto dos nmeros Racionais (Q)

- Conjunto dos nmeros Irracionais ( I )

- Conjunto dos nmeros Reais (R)

Conjunto dos nmeros naturais N

So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero. representado pela letra maiscula N.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }

O zero corresponde ausncia de unidades. A sucesso dos nmeros naturais comea pelo zero e cada nmero obtido acres-centando-se uma unidade ao anterior. No existe o maior nmero natural, ou seja, a sucesso dos nmeros naturais infinita. Se ex-cluirmos o zero teremos um novo conjunto: o conjunto dos nme-ros naturais no nulos, que se indica por N .

N = {1, 2, 3, 4, 5...}

Na sucesso de nmeros naturais, dois ou mais nmeros que se seguem so chamados consecutivos. Ex: 7 , 8 e 9 so nmeros naturais consecutivos.

Todo nmero natural tem um antecessor, com exceo do zero, que o menor nmero natural. Todo nmero natural tem um sucessor. Ex : O sucessor de 8 9; o antecessor de 19 18.

O conjunto formado por 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... chamada con-junto dos nmeros naturais pares. O conjunto formado por 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... chamada conjunto dos nmeros naturais mpares.

Operaes fundamentais com nmeros naturais

Adio

A primeira operao fundamental na Matemtica a adio. Esta operao nada mais que o ato de adicionar algo. reunir todos os valores ou totalidades de algo.

A adio chamada de operao. A soma dos nmeros chama-mos de resultado da operao.

Ex: 10 + 5 = 15

10 e 5 so as parcelas; 15 a soma ou resultado da operao de adio. A operao realizada acima denomina-se, ento, ADIO.

A adio de dois ou mais nmeros indicada pelo sinal +.

Subtrao

A subtrao o ato ou efeito de subtrair algo. diminuir al-guma coisa. O resultado desta operao de subtrao denomina-se diferena ou resto.

Ex : 9 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtrao.Os nmeros 9 e 5 so os termos da diferena 9-5. Ao nmero

9 d-se o nome de minuendo e 5 o subtraendo.

Multiplicao

a ao de multiplicar. Denomina-se a operao matemtica, que consiste em repetir um nmero, chamado multiplicando, tantas vezes quantas so as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro nmero que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicao a adio de parcelas iguais, onde o produto o resultado da operao multiplicao; e os fato-res so os nmeros que participam da operao.

5 . 8 = 40 onde 5 e 8 so os fatores e 40 o produto .

Diviso

o ato de dividir ou fragmentar algo. a operao na matemtica em que se procura achar quantas vezes um nmero contm em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.


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diviso d o nome de operao e o resultado chamado de Quociente.

1) A diviso exataVeja: 8 : 4 igual a 2, onde 8 o dividendo, 2 o quociente,

4 o divisor, 0 o restoA prova do resultado : 2 x 4 + 0 = 8

2) A diviso no-exataObserve este exemplo: 9 : 4 igual a resultado 2, com resto

1, onde 9 dividendo, 4 o divisor, 2 o quociente e 1 o resto.A prova do resultado : 2 x 4 + 1 = 9 Potenciao

uma multiplicao de fatores iguais

Ex 1:

Base = 2Expoente = 4Potncia = 16 [Resultado da operao]L-se: Dois elevado quarta potncia.

Ex 2: 53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)Base=5Expoente = 3Potncia = 125 [Resultado da operao]L-se: Cinco elevado terceira potncia.

Potncias especiais:

1. O nmero um elevado a qualquer nmero sempre igual a 1

Ex: 1 5 = 1

2. Zero elevado a qualquer nmero sempre igual a zero. Ex: 0 6 = 0

3. Qualquer nmero (diferente de zero) elevado a zero sem-pre igual a 1.

Ex: 5 0 = 1

4. Potncias de base 10 igual a 1 seguido de tantos zeros quanto estiver indicando no expoente.

Ex: 10 4 = 10000 ( 4 zeros pois o expoente 4)

5. Qualquer nmero elevado a 1 igual a ele mesmo. Ex: 8 1 = 8

Radiciao

Observe os termos da radiciao:

Onde : n = representa o termo da radiciao chamado Radical. o

ndice. X = representa o termo da radiciao chamado de radicando. Temos que radiciao de nmeros naturais a operao

inversa da potenciao. Observe abaixo :

Em termos mais precisos, dado um nmero natural a denomi-nado radicando e dado um nmero natural n denominado ndice da raiz, possvel determinar outro nmero b, denominado raiz ensima de a, representada pelo smbolo , tal que b elevado a n seja igual a a.

Este o smbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical.

Ex: 25 = 5 porque 5 2 =5.5=25273 = 3 porque 3 3 = 3.3.3=27325 = 2 porque 2 5 = 2.2.2.2.2=32

Expresses Numricas

Para resolver uma expresso numrica efetuamos as opera-es obedecendo a seguinte ordem:

1) Potenciao e radiciao na ordem em que aparecem2) Multiplicao e diviso na ordem em que aparecem3) Adio e subtrao na ordem em que aparecem.

H expresses em que aparecem os sinais de associao que devem ser eliminados na seguinte ordem:

1) ( ) parnteses2) [ ] colchetes3) { } chaves

Ex: Resolver a expresso:[(5 - 6.2).3 + (13 7) : 3] : 5 == [(25 6.4).3 + 6 : 3] : 5 == [(25 24).3 + 36 : 3 ] : 5 == [1.3 + 12] : 5 == [3 + 12 ] : 5 == 15 : 5 = 3


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Problemas

1. Um carro faz 11 quilmetros com um litro de combustvel. A distancia entre a cidade A e a cidade B de 691 quilmetros. Quantos litros de combustvel so necessrios para esse carro ir e voltar e circular mais 103 quilmetros?

a) 135 litros de combustvel b) 155 litros de combustvel c) 62,5 litros de combustvel d) 270 litros de combustvel e) 153 litros de combustvel

2. Calcule o valor da expresso numrica: 75 (21 8 + 18) -19 + 4. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA.

a) 18b) 29c) 32d) 44e) 50

3. Na diviso de n por d, o quociente igual a 8 e o resto igual a 1. Se n - d = 85, ento n igual a

a) 107.b) 104.c) 102d) 98.e) 97

Respostas

1. 691+691+103=14851485 : 11 = 135 litrosResp: Alternativa A

2. 75 (21 8 + 18) -19 + 4 75 (13+ 18) -19 + 4 75 31 19 + 4 79 50 29 Alternativa B

3. N o dividendo e d o divisorNuma diviso temos a propriedade: dividendo = divisor . quo-

ciente + restoN = d . 8 + 1 (1)N d = 85N = 85 + d (2)

Pelo mtodo da comparao igualamos (1) e (2) d.8 + 1 = 85 + d8d d = 85 17d = 84D = 84/7D = 12

Substituindo o valor de d em (2)N = 85 + 12N = 97Resp : Alternativa E

Conjunto dos nmeros inteiros: Z

o conjunto formado pelos nmeros inteiros positivos, zero e nmeros inteiros negativos. O conjunto Z uma ampliao do conjunto N.

Z= {...-3,-2,-1,0,1,2,3...

Nmeros opostos ou simtricos

So nmeros com o mesmo valor absoluto e sinais contr-rios.

Ex: +4 e -4 so nmeros opostos ou simtricos. Adio e subtrao de nmeros inteiros

Para juntar nmeros com sinais iguais, adicionamos os valo-res absolutos e conservamos o sinal

Quando os nmeros tm sinais diferentes, subtramos os valores absolutos e conservamos o sinal do maior.

Ex: +5+7 = +12 -5 -7 = -12 +5 7 = -2 -5 +7 = +2

Multiplicao e diviso de nmeros inteiros

Para multiplicar ou dividir nmeros inteiros efetuamos a ope-rao indicada e usamos a regra de sinais abaixo:

+ + = + Sinais iguais, resultado positivo- - = + + - = - Sinais diferentes, resultado negativo- + = - Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6 ) = +5 (-3) . (-6 ) = +18 (- 20) : (-5 ) = +4 (+8) . (-3 ) = -24 (+18) : (-3 ) = -6 (-6 ) . (+5 ) = -30 ( - 15) : (+5) = -3

Potenciao e radiciao de nmeros inteiros

Potenciao uma multiplicao de fatores iguais.Ex: 2 3 = 2.2.2=82 a base, 3 o expoente e 8 a potncia

Estamos trabalhando com nmeros inteiros, portanto pode aparecer base negativa e positiva.

Ex: (+3) 2 = (+3) . (+3) = +9 (+2 ) 3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8 (-2 ) 2 = (-2 ) . (-2 ) = +4 (-2 ) 3 = (-2 ) . (-2 ) . (-2) = -8

Se a base positiva o resultado sempre positivo.Se a base negativa e o expoente par o resultado positivo[.Se a base negativa e o expoente impar o resultado ne-

gativo

Importante: Todo nmero elevado a zero sempre igual a 1


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Raiz quadrada de um nmero quadrado perfeito um nmero posRaiz quadrada de um nmero quadrado perfeito um nmero positivo cujo quadrado igual ao nmero dado.

Ex: 25 =5 , pois 25 =25

OBS:1. Para multiplicar 3 ou mais nmeros inteiros, multiplicamos

os valores absolutos de todos os nmeros e contamos os sinais ne-gativos. Se os nmeros de negativos forem impar e resultado ter sinal negativo, se for par o resultado ser positivo.

Ex: (-3).(-5).(+2).(-1) = -30 3 negativos(impar), resul-tado negativo.

(-2).(-3).(+6).(-1).( -2) = +72 4 negativos(par), re-sultado positivo.

2. Para eliminar parnteses usamos a mesma regra de sinais da multiplicao e da diviso.

Ex: -(+4) = -4 -(-5) = +5

Expresses Numricas em Z

Para resolver uma expresso numrica devemos obedecer a seguinte ordem:

1) Resolver as potenciaes e radiciaes na ordem em que aparecem

2) Resolver as multiplicaes e divises na ordem em que elas aparecem

3) Resolver as adies e subtraes na ordem em elas apa-recem



Exerccios

1. Calcule as operaes indicadas:

a) (+8) + (-6) (-3) (-2)Resoluo+8 -6 +3 +2 = +13 - 6 = +7

b) -(-3) . (-5) + (-4)Resoluo+3. (-5)-4 = -15 4 = -19

c) (+55) : (-5) + (-5) . ( -2) Resoluo-11+(+10) = -11+10 = -1

2. Quais so os nmeros inteiros entre -2 e 1 incluindo esses dois?

Resoluo-2,-1,0,1

3. Calcule as potncias e resolva as operaes: (-5) 1 - [(-2) 5 :4-7] + (-1) 379 . (-5) 2 Resoluo -5-[-32:4-7]+(-1).(+25) -5-[-8-7]+(-25) -5-[-15]-25 -5+15-25 +10-25 -15

Conjunto dos nmeros racionais: Q

Os nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como 12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridi-cas.

Os racionais so representados pela letra Q.Todo nmero racional pode ser escrito na forma b

a, com a

ZbZ , e b 0 Um mesmo nmero racional pode ser representado por dife-

rentes fraes, todas equivalentes entre si.

Ex: ...42

21

63

42

21

=

=

=== Um nmero racional pode ser representado por um nmero

decimal exato ou peridico.

Ex: 5,021= 75,0

43

= 75 ...333,0

31= (dzima peridica)

Todos os nmeros inteiros pertencem aos racionais.

Adio e subtrao com nmeros fracionrios

Para adicionar ou subtrair nmeros racionais na forma de fra-o devemos observar os seus denominadores. Se os denomina-dores so iguais, efetuamos as operaes e conservamos o mesmo denominador. Se os denominadores so diferentes, reduzimos ao mesmo denominador usando o mmc e depois procedemos como no caso anterior.

Ex: 1. 37

38

31

=+

2. 43

56 =

2015

2024

=

209 ( o mmc entre 5 e 4 20)

Multiplicao e diviso com nmeros fracionrios

Para multiplicar nmeros racionais na forma de frao, de-vemos multiplicar os numeradores, multiplicar os denominadores, usar a regra de sinais quando necessrio e quando possvel fazer a simplificao.

Ex: 73.

54

= 35

12(nesse caso o resultado uma frao irre-

dutvel, pois no pode ser simplificada)


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42

45

47

=

= 2

1 (nesse caso o resultado foi simplificado divi-

dindo o numerador e o denominador por 2)

Para dividir nmeros racionais na forma de frao, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, usando tambm a regra de sinais e a simplificao do resultado quando possvel.

Ex: 32:

53

=23.

53

= 10

9

=

=

=

1210

32.

45

23:

45

65

Potenciao e radiciao com nmeros fracionrios

Resolver uma potenciao de frao calcular a potncia do numerador e do denominador de acordo com o expoente.

Ex: 499

73 2 +

=

(elevamos o numerador -3 e o denomina-

dor 7 ao expoente 2, lembrando que nmero negativo elevado a

expoente par d resultado positivo)

Extrair a raiz quadrada de uma frao encontrar a raiz do numerador e do denominador.

Ex: 43

169

169

==

Nmeros Decimais

Os nmeros decimais exatos e as dzimas peridicas tambm pertencem ao conjunto Q .

Adio e subtrao com decimais

Na adio ou subtrao com decimais devemos escrever as parcela colocando vrgula embaixo de vrgula, e resolver a ope-rao.

Ex: 4,879 + 13,14 Parcelas13 , 140 Acrescentamos o zero para completar casas de-

cimais.+4 , 87918 , 019 Soma total

Multiplicao e diviso com decimais

Na multiplicao de nmeros decimais, multiplicamos os n-meros sem considerar a vrgula e colocamos a vrgula no resultado contando as casas decimais dos dois fatores

Ex: 2,35 x 4,3 = 10,105 (no resultado temos 3 casas decimais pois so 2 casas no fator 2,35 e uma casa no fator 4,3)

Na diviso igualamos as casas decimais, cortamos as vrgulas e resolvemos a diviso .

Ex: 1,4 : 0,05 Igualamos as casas decimais 1,40 : 0,05 Cortamos as vrgulas 140:5 Resolvemos a diviso 140:5 = 28

Potenciao e radiciao com decimais

Para elevar um nmero decimal a um expoente dado, procede-mos como a potncia com nmero inteiro, respeitando a regra de sinais da multiplicao .

Lembrar que potenciao uma multiplicao de fatores iguais.

Ex: (3,2) 3 = (3,2) . (3,2) . (3,2) = 32,768

Para calcular a raiz quadrada de um nmero decimal podemos transforma-lo em uma frao e depois calcular.

Ex: 16,0 =

10016

=

104

= 0,4

Expresses Numricas em Q

Para resolver uma expresso numrica devemos obedecer a seguinte ordem:

1) Resolver as potenciaes e radiciaes na ordem em que aparecem

2) Resolver as multiplicaes e divises na ordem em que elas aparecem

3) Resolver as adies e subtraes na ordem em elas apa-recem



Problemas

1.Calcule o valor de cada expresso a seguir:

a) 22

61

35

b) (-0,6) 3 + (-1,5) 2

c)

163:

21

278.

23 32

d) (1,1) 3 .2-(-0,2) 3 +3

2. Uma garota, caminhando rapidamente, desenvolveu uma velocidade de aproximadamente 5,2 km/h. Nessas condies, se caminhar 18,72 quilmetros, ela demorar quantos horas?

3. O nmero racionalX = (-0,62) : (-3,1) . (-1,2) + 0,4 2Est compreendido entre dois nmeros inteiros a e b consecu-

tivos. Determine os nmeros a e b


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4. Encontre o valor dos radicais:

a) 12181

b) -196225

5. Encontre o valor das expresses:

a) 251.

65:

32

b)

6. A cidade de Peixoto de Azevedo tem aproximadamente 19.224 habitantes.

Se um tero da populao composta de jovens, pode-se dizer que:

a.) o nmero de jovens superior a 7.000 b.) o nmero de jovens igual a 648 c.) o nmero de jovens est entre 6.000 e 7000d ) o nmero de jovens inferior a 5.000 e.) o nmero de jovens igual a 6.480

Respostas

1. a) 22

61

35

4113699

361100361

925

361

925

b) (-0,6) 3 + (-1,5) 2

- 0,216 + 2,25 2,034

c)

163:

21

278.

23 32

163:

81

278.

49

316.

81

10872

2416

10872

+

216144

216144

+

= 0

d)(1,1) 3 .2-(-0,2) 3 +31,331 . 2 ( -0,008) + 31,331.2+0,008+32,662+0,008+35,67

2. 18,72 : 5,2 = 3,6Resp: 3,6 horas ou 3 horas e 36 minutos

3. x = (-0,62) : (-3,1) . (-1,2) + 0,4 2 X = 0,2 . (-1,2) + 0,4 2X= -0,24 + 0,4 2X= -2,24 + 0,4X= -1,84 um n que est entre -1 e -2 x = -1,84 os nmeros a e b so -2 e -1

4. a) 119

b) 1415

5. a) 2.51.

65:

32

251.

56.

32

27512

7515012

75138

2546

b)

67.2

43.

31

67.2

123

67.

12243

67.

1227


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72189

simplificando por 9

821

6. 1/3 de 192241/3. 19224 = 6408Alternativa C

Conjunto dos nmeros irracionais- I

formado pelos nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exemplo de nmero irracional o nmero (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265 . Atualmente, supercomputadores j con-seguiram calcular bilhes de casas decimais para o . Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 .

Ex: 0,234156578... 2 = 1,4142135... = 3,14159265...

Conjunto dos nmeros reais: R

O conjunto dos nmeros reais contm os nmeros racionais (naturais, inteiros e fracionrios) e os nmeros irracionais e re-presentado pela letra R.

OBS: Quando relacionamos elementos e conjuntos usamos os smbolos (pertence) ou (no pertence) e quando relaciona-mos conjunto com conjunto usamos os smbolos (est contido) ou (no est contido).

Ex: 2 Z -2 N N Z I Q

RAZES E PROPORES;

Razo e proporo

Razo entre dois nmeros no nulos a e b o quociente entre esses dois nmeros. Em uma razo do tipo b

a, o primeiro termo , o

a, o antecedente , e o segundo termo, o b, chamado consequente.

Ex: Numa pesquisa indica que no Rio de Janeiro h 12 gatos para cada 10 ratos.

Indica-se : onde 12 o antecedente e 10 o consequente.

Os termos a e d so os extremos e b e c so os meios.

Proporo uma igualdade entre duas razes.A proporo

dc

ba= lida como a est para b assim como c

est para d

Propriedades das propores

1 propriedade (propriedade fundamental):

Em uma proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Ex: 8 . 3 = 2 . 12

2 propriedade: Em toda proporo, a soma ou diferena dos dois primeiros termos est para o primeiro(ou para o segundo) ter-mo, assim como a soma ou diferena dos dois ltimos est para o terceiro(ou para o quarto) termo.

3 propriedade: Em toda proporo, a soma(ou diferena) dos antecedentes est para a soma(ou diferena) dos consequentes, as-sim como cada antecedente est para o seu consequente .

Problemas resolvidos

1. A razo da idade de Paulo para a idade de Ana de , e a soma das duas idades 58. Quais so as idades?

Resoluo: e P + A = 58

Pela 2 propriedade temos:

P + A = 58 P + 28 = 58 P = 30

Resposta: Paulo tem 30 ano e Ana tem 28 anos.2. Determine as medidas dos ngulos internos de um tringulo

sabendo que elas so proporcionais aos nmeros 10, 12 e 14 e que a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo 180.


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Resoluo:

Resposta: Os ngulos medem 50 , 60 e 70

Problemas1. Aplicando as propriedades das propores, vamos determi-

nar os nmeros a e b de acordo com a seguintes condies:

2. Numa sala de aula h 21 alunos entre homens e mulheres. A razo do n de homens para o n de mulheres de 3 para 4. Quantos homens e quantas mulheres h nessa sala?

3. A diferena entre as quantias que Karina e Cristina tm de 200 reais. Sabendo que a razo entre a quantia de Karina e a quantia de Cristina de 7 para 5. Calcule as duas quantias.

4. Em uma quitanda o n de mas est para 5 assim como o n de bananas est para 3. Sabendo que entre mas e bananas so 120, determine quantas so as mas e as bananas.

5. Para fazer uma limonada, misturamos suco de limo com gua na razo de 2 para 5. Quantos litros de suco de limo e quantos litros de gua sero necessrios para fazer 42 litros de limonada?

6. Sabendo que a massa do cubo est para 5 assim como a mas-sa da esfera est para 4 e que as duas juntas pesam 36 gramas, calcu-le quantos gramas tem cada um.

7. Um time de basquete disputou em um campeonato 81 parti-das, entre as quais o n de vitrias est para o n de derrotas assim como 7 est para 2. Quantas partidas esse time venceu no campe-onato?

Respostas 1. a) a = 60 e b = 48 b) a= 180 e b = 126 c) a = 45 e b = 35 d) a = 121 e b = 662. 9 homens e 12 mulheres3. Karina tem 700 e Cristina tem 5004. 75 mas e 45 bananas5. l2 litros de limo e 30 litros de gua6. cubo pesa 20 gramas e esfera pesa 16 gramas7. venceu 63 partidas

Diviso proporcional

A diviso proporcional muito usada em situaes relacio-nadas matemtica financeira, contabilidade, administrao, na diviso de lucros e prejuzos proporcionais a valores investidos.

Ex: 1. Manuela, Jose e Alberto resolveram formar uma so-ciedade e abriram uma empresa que, ao fim de um ano deu lucro de R$ 660 000,00. Para abrir a empresa Manuela investiu R$ 40 000,00, Jos R$ 50 000,00 e Alberto R$ 30 000,00. Como esse lucro dever ser dividido entre os scios para que cada um receba uma quantia proporcional ao investimento inicial?

Resoluo: M, J e A so as quantias que os scios devem receber .

5,5120000660000

300005000040000300005000040000==

++++

===AJMAJM

5,540000

=M

, logo M=R$ 220 000,00

5,550000

=J logo J=R$ 275 000,00

5,530000

=A

logo A=R$ 165 000,00

Resposta: Manuela receber R$ 220 000,00: Jose receber R$ 275 000,00 e Alberto receber R$ 165 000,00

Ex: 2. Um professor tem 171 figurinhas para distribuir aos quatro alunos que menos faltaram durante o semestre. Para ser jus-to, a diviso dever ser feita de forma inversamente proporcional ao nmero de faltas de cada um. Joo faltou 4 vezes, Ana faltou 3, Marcos faltou 2 e Cintia faltou 2. Quanto deve receber cada aluno?

Resoluo: Sejam J, A, M e C as quantias que cada um deve receber.

1219171

21

21

31

41

====CMAJ

4J=3A=2M=2C=1084J=108J=273A=108A=36 Resposta: Joo recebeu 27 figurinhas, Ana recebeu 36, Mar-

cos recebeu2M=108 54 e Cintia 54.M=542C=108C=54

Problemas propostos

1. Decidi dividir R$ 247,00 entre meus dois filhos de modo proporcional s suas idades. O mais velho tem onze anos e o mais novo tem oito. Quantos reais devo dar a cada um?


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2. Trs profissionais com a mesma capacidade de trabalho, devem executar uma tarefa por R$ 1800,00. O primeiro deles, po-rm, trabalhou apenas trs dias, o segundo, quatro, e o terceiro trabalhou 5 dias. Para que o pagamento seja justo quanto dever receber cada um?

3. Trs trabalhadores devem dividir 1200 reais referentes ao pa-gamento de um servio realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias res-pectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcio-nal ao nmero de dias trabalhados. Quanto dever receber cada um?

4. Dois ambulantes obtiveram R$ 1560,00 pela venda de cer-tas mercadorias. Esta quantia deve ser dividida entre eles em par-tes diretamente proporcionais a 5 e 7 respectivamente. Quanto ir receber cada um?

5. Os trs jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador iro receber um prmio de R$ 3340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiao referente a cada um deles respectivamente?

6. Para estimular a frequncia s aulas, um professor resolveu distribuir a ttulo de premio aos alunos, 60 CDs para suas 3 clas-ses, repartidas em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas ocorridas durante o ms em cada uma das classe. Aps esse perodo, ele constatou que houve 8, 12 e 24 faltas totais respecti-vamente nas classes A, B e C. Quantos CDs devem ser entregues para cada classe?

Respostas dos problemas propostos

1. 143 reais para o mais velho e 104 reais para o mais novo.

2. O primeiro receber 450 reais, o segundo 600 reais e o ter-ceiro 750 reais.

3. O que trabalhou 2 dias recebeu 240 reais, 3 dias recebeu 360 reais e por 5 dias 600 reais.

4. 910 proporcional a 7 e 650 proporcional a 5.

5. 5 faltas recebeu 1540 reais, 7 faltas 1100 reais e 11 faltas 700 reais.

6. Classe A 30 CDs, classe B 20 CDs e classe C 10 CDs.

PORCENTAGEM, JUROS E TAXAS.

Porcentagem

Diariamente jornais, TV, revistas apresentam notcias que envolvem porcentagem; em um passeio pelo comrcio de nossa cidade vemos cartazes anunciando mercadorias com desconto e em boletos bancrios tambm nos deparamos com porcentagens.

A porcentagem de grande utilidade no mercado financeiro, pois utilizada para capitalizar emprstimos e aplicaes, expres-sar ndices inflacionrios e deflacionrios, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatstica possui parti-cipao ativa na apresentao de dados comparativos e organiza-cionais.

frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00O funcionrio recebeu um aumento de 10% em seu salrio.Significa que em cada R$100 foi dado um aumento de R$10,00As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesi-

mais ou taxas percentuaisPorcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percen-

tual a um determinado valor. representado por uma frao de denominador 100 ou em nmero decimal.

Ex: 25% = 10025 = 0,25 =

41 (frao irredutvel)

Importante: Fator de Multiplicao.

Se h um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 30%, multi-plicamos por 1,30, e assim por diante. Veja:

Acrscimo Fator de Multiplicao11% 1,1115% 1,1520% 1,2065% 1,6587% 1,87

Ex: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser:

Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma de-cimal). Veja :

Desconto Fator de Multiplicao12% 0,8826% 0,7436% 0,6460% 0,4090% 0,10

Ex: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00


RACIOCNIO LGICO

Voc deve lembrar que em matemtica a palavra de indica uma multiplicao, logo para calcularmos 12% de R$ 540,00 de-vemos proceder da seguinte forma:

12% de 540 = 10012

. 540 = 1006480

= 64,8 ; logo 12% de R$ 540,00 R$ 64,80

Ou0,12 de 540 = 0,12 . 540 = 64,8 (nos dois mtodos encontra-

mos o mesmo resultado)Utilizaremos nosso conhecimento com porcentagem pra a re-

soluo de problemas.Ex: 1. Sabe-se que 20% do nmero de pessoas de minha sala

de aula so do sexo masculino. Sabendo que na sala existem 32 meninas, determine o nmero de meninos.

Resoluo: se 20% so homens ento 80% so mulheres e x representa o n total de alunos, logo: 80% de x = 32 0,80 . x = 32 x = 40

Resp: so 32 meninas e 8 meninos

2. Em uma fabrica com 52 funcionrios, 13 utilizam bicicle-tas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de funcionrios que utilizam bicicleta.

Resoluo: Podemos utilizar uma regra de trs simples.52 funcionrios .............................100%13 funcionrios ............................. x% 52.x = 13.10052x = 1300x= 1300/52x = 25%

Portanto, 25% dos funcionrios utilizam bicicletas. Podemos tambm resolver de maneira direta dividindo o n de

funcionrios que utilizam bicicleta pelo total de funcionrios 13 : 52 = 0,25 = 25%

Problemas

1. (Concurso de Agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de Indaiatuba-SP-2013)

Ao comprar um eletrodomstico em uma loja que estava dan-do 20% de desconto, o cliente ganhou um desconto de R$500,00. Qual era o preo do eletrodomstico e quanto foi pago por ele res-pectivamente.

a) R$2.720,00 e R$2.240,00b) R$1.900,00 e R$1.400,00c) R$2.500,00 e R$2.000,00d) R$3.500,00 e R$3.000,00

2. (Concurso de Agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de Indaiatuba-SP-2013)

Todo ms vem descontado na folha de pagamento de um tra-balhador o valor de 280,00 reais. Sabendo que o salrio bruto deste trabalhador de R$1.400,00, este desconto equivale a quantos por cento do salrio do trabalhador?

a) 5%b) 20%c) 2%d) 25%

3. O preo de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preo desta casa antes deste aumento?

4. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido poste-riormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

5. Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% das aulas ?

6. Um comerciante que no possuia conhecimentos de mate-mtica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensan-do que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?

7. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos por dia so de sabor morango. Quantos sorvetes de morango so vendidos por dia nessa sorveteria?

8. Numa eleio, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% dos votos do candidato que venceu. Os demais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram nessa eleio?

9. O professor Andre trabalha 150 horas por ms e ganha R$ 20,00 (vinte reais) por hora trabalhada. No mes que vem, ele vai ter um aumento de 25% sobre o valor da hora trabalhada. Quanto o professor Andre vai passar a receber em um ano de trabalho com o seu novo salario?

10. Tiago, Andre e Gustavo foram premiados em um bolodo Campeonato Brasileiro. Tiago vai ficar com 40% do valor total do premio enquanto Andre e Gustavo vo dividir o restante igualmen-te entre dois. Se Gustavo vai receber R$ 600,00, ento qual o premio total?

Respostas

1. Para resolver usamos uma regra de Trs simples e diretavalor %500 20 X 100Multiplicando em Cruz temos20 x = 500 . 10020 x = 50000X = 50000/20X = 2500O preo do eletrodomstico era 2500 reais e o valor pago foi

2000 reaisResp: Alternativa C

2. Para saber a porcentagem do desconto de maneira rpida dividimos o desconto pelo salrio bruto

280 : 1400 = 0,20 = 20%

Resp: Alternativa B


RACIOCNIO LGICO

3. 29166,67 reais4. 13,33%5. No mximo 8 aulas6. Prejuzo de 20 reais7. 75 sorvetes8. 7800 votos9. 45000 reais10. 2000 reais

Juros Simples

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicao financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma presta-o ou a quantia paga pelo emprstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Mas vamos entender como funciona a capitaliza-o no sistema de juros simples.

No sistema de capitalizao simples, os juros so calculados baseados no valor da dvida ou da aplicao. Dessa forma, o valor dos juros igual no perodo de aplicao ou composio da dvida.

A expresso matemtica utilizada para o clculo das situaes envolvendo juros simples a seguinte:

J = C . i . t, ondeJ = jurosC = capitali = taxa de juros ( na forma decimal)t = tempo de aplicao (ms, bimestre, trimestre, semestre,

ano...)M = C + JM = montante finalC = capitalJ = jurosEx: 1. Qual o valor do montante produzido por um capital

de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200i = 2% = 2/100 = 0,02 ao ms (a.m.)t = 10 mesesJ = C . i . tJ = 1200 . 0,02 . 10J = 240M = C + jM = 1200 + 240M = 1440Resp: O montante produzido ser de R$ 1.440,00.2. Determine o valor do capital que aplicado durante 14 me-

ses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.J = C . i . t2688 = C . 0,06 . 142688 = C . 0,84

C = 84,0

2688

C = 3200

Resp: O valor do capital de R$ 3.200,00.

Juros compostos

O regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro .Os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal para o clculo dos juros do perodo seguinte. Juros com-postos so muito usados no comrcio, como por exemplo, nos ban-cos. Os juros compostos so utilizados na remunerao das cader-netas de poupana, pois oferecem uma melhor remunerao. Po-pularmente o juro composto conhecido como juro sobre juro.

Para calcular juros compostos utilizamos as frmulas abaixo:M = C . (1 + i)tJ = M - C

Claudio empresta o capital inicial de R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos de 4% ao ms. Pedro prometeu pagar tudo aps 5 meses. Qual ser o valor que ele ter que pagar?

Para resolvermos esse problema de juros compostos usamos a seguinte frmula:

M = C . (1 + i)tM = MontanteC = Capital Iniciali = Taxa de jurost = Tempo

Usando a frmula para o problema de juro composto acima teremos:

M = ? ( o valor que queremos saber)C = R$ 4000,00i = 4% /100 = 0,04t = 5M = 4000 . (1 + 0,04)5M= 4000 . (1,04)5M= 4000 . 1,2165M= 4866Subtraindo o capital inicial do montante temos:J = 4866 4000 = 866Portanto, Pedro ter que devolver o valor de R$ 4866 (quatro

mil, oitocentos e sessenta e seis reais) para Fernando. Sendo R$ 866 de juros.

Propostos

1. Uma televiso custa 300 reais. Pagando vista voc ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televiso vista?

2. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preo de custo?

3. O preo de uma casa sofreu um aumento de 20%, pas-sando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preo desta casa antes deste aumento?

4. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido poste-riormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

5. Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% das aulas ?


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6. Um comerciante que no possuia conhecimentos de mate-mtica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensan-do que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?

7. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos por dia so de sabor morango. Quantos sorvetes de morango so vendidos por dia nessa sorveteria?

8. Numa eleio, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% dos votos do candidato que venceu. Os demais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram nessa eleio?

9. O professor Andr trabalha 150 horas por ms e ganha R$ 20,00 (vinte reais) por hora trabalhada. No ms que vem, ele vai ter um aumento de 25% sobre o valor da hora trabalhada. Quanto o professor Andr vai passar a receber em um ano de trabalho com o seu novo salario?

10. Tiago, Andr e Gustavo foram premiados em um bolo do Campeonato Brasileiro. Tiago vai ficar com 40% do valor total do premio enquanto Andr e Gustavo vo dividir o restante igual-mente entre dois. Se Gustavo vai receber R$ 600,00, ento qual o premio total?

11. Qual a taxa anual que R$ 13.000,00 esteve aplicado por 2

anos e rendeu R$5.980,00 de juros simples?a) 17%.b) 12%.c) 23%.d) 32%.

12. Temos uma dvida de R$ 1 000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Quanto pagaremos de juros, e quanto pagaremos no total (montante)?

13. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

14. Um capital aplicado a juros simples, triplicar em 5 anos se a taxa anual for de :

a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100%15. Qual o valor do juro simples sobre R$ 6000,00 que foram

aplicados por 4 meses a uma taxa de 3% ao ms?

16. Uma TV que custava R$ 4000,00 foi vendida em trs prestaes mensais e iguais, e o comprador pagou no total R$ 4480,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples aplicada?

Respostas:

1. 270 reais2. 2500 reais3. 29166,67 reais4. 13,33%5. No mximo 8 aulas

6. Prejuzo de 20 reais7. 75 sorvetes8. 7800 votos9. 45000 reais10. 2000 reais11. Alternativa C12. 160 reais de juros e 1160 reais no total13. 5000 reais14. Alternativa B15. 720 reais16. 4% ao ms

Taxas de juros

A taxa de juros um ndice utilizado em economia e finanas para registrar a rentabilidade de uma poupana ou o custo de um crdito. Chama-se taxa de juros aos diferentes tipos de ndice que se empregam na medida de rentabilidade das poupanas ou que se incorporam ao valor de um crdito.

A taxa de juros uma relao entre dinheiro e o tempo dado que podem beneficiar a um poupador que decide investir seu dinheiro em um fundo bancrio, ou seja, que se soma ao custo final de uma pessoa ou entidade que decide obter um emprstimo ou crdito. A taxa de juros calculada em porcentagem e com frequncia aplica--se de forma mensal ou anual

GRANDEZAS E MEDIDAS

Grandezas

Podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medi-do. O nmero de pessoas em um elevador, o seu peso e a sua altura so exemplos de grandezas.

Medir comparar duas grandezas, utilizando uma delas como modelo ou padro. Uma costureira, por exemplo, para obter as me-didas de uma pessoa utiliza uma fita mtrica, que lhe permite com-parar as medidas da pessoa com as da fita mtrica, que se baseia no metro como unidade de medida. Ela ento ir desenhar um molde e o ir utilizar como padro para o corte do tecido. As medidas deste molde sero ento uma grandeza que ser utilizada para fazer a rou-pa nas mesmas propores da pessoa.

Medidas

Para que uma medida seja completamente entendida, deve ser indicada por um nmero acompanhada de uma unidade de medida.

J conhecemos o metro, centmetro, o quilmetro. Mas exis-tem outras como a unidade de tempo e de medidas de rea.

Vrias so as situaes em que o ato de medir est presente, por exemplo:

- o prof. Mede o tempo que gastar em uma aula;- a dona de casa mede o peso dos ingredientes de uma receita;- a costureira mede o comprimento do tecido;Por um longo tempo o costume de se usarem partes do corpo

para efetuarem medidas foi muito comum, por exemplo: o p, o cbito, a jarda, o palmo...o que causava muita divergncia de me-dida.


RACIOCNIO LGICO

Para evitar problemas causado pela diversidade de unidades, foi criado na Frana, em 1799, o sistema mtrico decimal, que estabe-leceu trs medidas-padro: o metro, o litro e o quilograma. Essa padronizao facilitou algumas relaes entre os povos, principalmente as relaes comerciais. Em 1960, foi institudo um novo sistema de unidades de medida: o Sistema Internacional de Medidas (SI), que engloba outras unidades padro e que usado at hoje na maioria dos pases.

Padro: base de comparao determinada por um rgo oficial que a consagrou como modelo aprovado.

Unidade de medida de comprimento

Por determinao do SI a unidade de medida de comprimento o metro, abreviado por m.O metro pode tornar-se uma unidade inconveniente para medir, por exemplo, o comprimento de uma estrada ou a altura de uma formiga.Para se contornar mais problemas foram criados alguns mltiplos e submltiplos dessa unidade padro

quilmetro hectmetro decmetro Metro decmetro centmetro milmetrokm hm dam m dm cm mm1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Repare que cada unidade dez vezes maior que a unidade que a antecede.Esse sistema de medida chama-se decimal porque a transformao de uma unidade em outro feita multiplicando-se ou dividindo-se

uma delas por uma potncia de 10.Para transformar uma unidade de comprimento em outra imediatamente inferior, basta multiplica-la por 10Ex: 1,25 km = (1,25 . 10) hm = 12,5 hmPara transformar uma unidade de comprimento em outra imediatamente superior, basta dividi-la por 10.Ex: 328,5 cm = (328,5 : 10) dm = 32,85 dmPara adicionarmos ou subtrairmos medidas, as unidades devem ser iguais. Ento vamos determinar a seguinte soma em metros:S = 3,487 km + 7540 cmComo o problema quer a resposta em metros, faamos a transformao para metros:3, 487 km = (3,487 . 1000) m = 3487 m7540 cm = (7540 : 100) m = 75,40 mLogo: 3487 m + 75,40 m = 3562,40 mPara transformarmos uma unidade em outra inferior, basta deslocarmos a vrgula para a direita tantas casas forem as casas da transfor-

mao.Para transformarmos uma unidade em outra superior, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda tantas casas quantas forem as casas

da transformao.

Permetro

Chamamos de permetro de um polgono a soma dos comprimentos de todos os seus lados.O permetro indicado por 2p.O permetro de uma sala retangular de 4m por 6 m :2p = 4m + 4m + 6m + 6m = 20 mUnidade de medida de rea

A unidade padro de rea definida pelo SI o metro quadrado, ( m 2 ). definida como a superfcie plana ocupada por um quadrado de lado 1 metro.

O metro quadrado no uma boa unidade para se medir reas muito grandes, como a rea ocupada por uma floresta, ou para medir reas muito pequenas, como a superfcie de uma caixa de fsforo. Assim foram criados mltiplos e submltiplos dessa unidade padro:

Quilmetroquadrado

Hectmetroquadrado

Decmetroquadrado

Metroquadrado

Decmetroquadrado

Centmetroquadrado

Milmetroquadrado

km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2

1000000m 2 10000m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2


RACIOCNIO LGICO

Para transformarmos uma unidade em outra inferior, basta deslocarmos a vrgula para a direita o dobro de casas quantas fo-rem as casas da transformao.

Ex: 45 m 2 = 450000 cm 2

3,256 cm 2 = 325,6 mm 2

Para transformarmos uma unidade em outra superior, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda o dobro de casas quantas forem as casas da transformao .

Ex: 5432 cm 2 = 0,5432 m 2

456 m 2 = 0,0456 hm 2

Vamos calcular a rea de um retngulo em dm 2 que tenha 4m de base e 2m de altura.

A rea do retngulo calcula-se multiplicando a base pela al-tura.

A = 4m . 2m = 8m 2

8m 2 = 800 dm 2 , logo a rea de retngulo 800 dm 2 .

Unidade de medida agrria

Para medir grandes reas em terras, tais como chcara, stios e fazendas, so utilizadas unidades de medida agrria. A unidade padro de medida agrria o are, abreviado por a.

O are definido como a superfcie plana ocupada por um qua-drado cujo lado mede 10 metros de comprimento.

Os mais importantes mltiplos e submltiplos do are esto na tabela abaixo:

Hectare Are Centiareha a ca

10.000 m 2 100 m 2 1 m 2

Repare que cada unidade cem vezes maior que a unidade que a antecede

1 ha = 100 a1 a = 100 caPara transformarmos uma unidade em outra, basta deslocar-

mos a vrgula para a esquerda ou para a direita o dobro de casas quantas forem as casas da transformao .

Embora a unidade padro seja o are, no interior do Brasil muito comum encontrar como unidade agrria o alqueire, porm, por no ser uma medida padro, essa unidade varia de acordo com a regio

Alqueire paulista = 24.200 m 2

Alqueire Mineiro = 48.400 m 2

Alqueire nortista = 27.225 m 2

Problemas

1. Joo jardineiro e precisa colocar grama em toda a rea de um terreno retangular cujas dimenses so 3,2 m e 1,2 m. Sabendo que um metro quadrado de grama custa R$ 2,50, calcule quanto Joo vai gastar.

2. Se o permetro de um quadrado de 72 cm, qual a medi-da de cada lado desse quadrado?

3. Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca ter 5 fios de arame. Quantos metros de arame sero necessrios para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 12,00, qual ser o valor total gasto pelo fazendeiro?

4. (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaos de lazer reivindicam prefeitura mu-nicipal a construo de uma praa. A prefeitura concorda com a solicitao e afirma que ir constru-la em formato retangular de-vido s caractersticas tcnicas do terreno. Restries de natureza oramentria impem que sejam gastos, no mximo, 180 m de tela para cercar a praa. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponveis para a construo da praa:

Terreno 1: 55 m por 45 mTerreno 2: 55 m por 55 mTerreno 3: 60 m por 30 mTerreno 4: 70 m por 20 mTerreno 5: 95 m por 85 m

Para optar pelo terreno de maior rea, que atenda s restries impostas pela prefeitura, os moradores devero escolher o terreno

A) 1.B) 2.C) 3.D) 4.E) 5.

Respostas

1. R$ 9,60

2. Sabemos que o quadrado um quadriltero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o permetro por 4.

Assim,L = 72 4 = 18 cm

3. O total de arame gasto para contornar todo o terreno ser igual medida do permetro da figura. Como a cerca ter 5 fios de arame, o total gasto ser 5 vezes o valor do permetro. Clculo do permetro: 2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m Total de arame gasto: 5.420 = 2100 m de arame para fazer a cerca. Como cada metro de arame custa R$ 12,00, o gasto total com a cerca ser de: 2100.12 = R$ 25.200,00

4. Calculando o permetro de cada terreno temos:Terreno 1 200 mTerreno 2 220 mTerreno 3 180 mTerreno 4 180 mTerreno 5 360 mComo a prefeitura dispe de 180 metros de tela para cercar o

terreno, apenas o terreno 3 e 4 atendem restrio da prefeitura. Entre os dois terrenos temos que optar pelo de maior rea.


RACIOCNIO LGICO

Terreno 3 = 60 . 30 = 1800 mTerreno 4 = 70 . 20 = 1400 mResp. O de maior rea o terreno 3Alternativa C

Volume

Quando compramos leite ou suco, ou abastecemos o carro com combustvel, o preo desses produtos calculado de acordo com o volume que estamos adquirindo.

O volume pode ser entendido como o espao ocupado por um objeto. Quando trabalhamos com recipientes, como garrafas e copos, comum nos referirmos ao espao interno deles. Esse volume recebe a denominao de capacidade.

Para calcularmos o volume de um paraleleppedo, basta multiplicarmos as 3 dimenses.V = altura x largura x comprimentoTanto o volume de um objeto como sua capacidade podem ser medidos por meio de duas unidades padro, que estudaremos separada-

mente: o litro e o metro cbicoMetro cbico ( m 3 )

Pelo Sistema Internacional de Medidas ( SI ), o metro cbico a unidade padro de medida de volume. Ele definido como o espao ocupado por um cubo cujo comprimento da aresta um metro. Seu volume dado por: V= a 3

Os mltiplos e submltiplos do metro cbico esto na tabela abaixo:

Quilmetrocbico

Hectmetrocbico

Dacmetrocbico

Metrocbico

Decmetrocbico

Centmetrocbico

Milmetrocbico

km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3

1000000000m 3 1000000m 3 1000m 3 1m 3 0,001m 3 0,000001m 30,000000001m

3

Repare que cada unidade mil vezes maior que a unidade que a antecedePara transformarmos uma unidade em outra, basta deslocarmos a vrgula para a esquerda ou para a direita o triplo de casas quantas

forem as casas da transformao .

Ex: 32 m 3 = 0,000032 hm 3

0,00067 dam 3 = 670 dm 3

Unidade de tempo

A unidade padro de medida de tempo o segundo, abreviado por s.Os mltiplos do segundo so:

Hora Minuto Segundoh min s

3600 s 60 s 1 s

Usamos o sistema sexagesimal, que emprega a base sessenta. Os mltiplos do segundo se enquadram-se nesse sistema. Repare que cada unidade sessenta vezes maior que a unidade que a antecede.

1 h = 60 min1 min = 60 sPara transformar uma unidade em outra imediatamente superior, basta dividi-la por 60 e inferior basta multiplica-la por 60.Ex: 3h = 3 . 60 = 180 min52 min = 52 . 60 = 3120 s1020 s = 1020 : 60 = 17 min420 min = 420 : 60 = 7 h

Ao usarmos o sistema sexagesimal, cada grupo de 60 forma outra classe; ento, 60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Para adicionarmos unidades de tempo vamos tomar cuidado para posicionar hora embaixo de hora, minuto embaixo de minuto e segundo embaixo de segundo.


RACIOCNIO LGICO

Por exemplo:

1) Para adicionarmos 5h 12 min 37 s a 8 h 20 min 11 s, vamos colocar as unidades iguais uma embaixo da outra e depois adicionar os valores da mesma classe.

Hora minuto segundo5 12 378 20 11--------------------------------------------13 32 48

2) vamos adicionar 8h 19 min 58 s com 2 h 24 min 39 sHora minuto segundo8 19 582 24 39-------------------------------------------10 43 97Note que , na casa dos segundos, obtivemos 97 s e vamos

decompor esse valor em:97 s = 60 s + 37 s = 1 min + 37 sEnto, devemos retirar 60 s da classe dos segundos e acres-

centar 1 min na classe dos minutos.Logo a resposta fica: 10 h 44 min 37 sPara subtrair unidades de medida de tempo, o processo se-

melhante ao usado na adio.

Ex; vamos subtrair 4 h 41 min 44 s de 7 h 53 min 36 sHora minuto segundo7 53 364 41 44--------------------------------------------------

Perceba que a subtrao 36 s 44 s no possvel nos n-meros naturais, ento, vamos retirar 1 min de 53 min, transformar esse 1 min em 60 s e acrescenta-los aos 36 s. Assim:

Hora minuto segundo7 52 964 41 44------------------------------------------------3 11 52

Para multiplicarmos uma unidade de medida de tempo por um nmero natural, devemos multiplicar as horas, minutos e segundos Por esse nmero natural.

Ex: multiplicar 4 h 52 min 8 s por 64 h 52 min 8 sX 6--------------------------------------24h 312 min 48 s

Como 312 min maior que 1 hora, devemos descobrir quantas horas cabem em 312 minutos. Para isso basta dividir 312 por 60 onde o resultado 5 e o resto 12.

Ento 312 min = 5 h 12 min

Devemos ento acrescentar 5 h a 24 h = 29 h e o resultado fica

29 h 12 min 48 s

Problemas

1. Dois amigos partiram s 10h 32 min de Aparecida do Norte e chegaram a Ribeiro Preto s 16 h 8 min. Quanto tempo durou a viagem?

2. Joo nasceu numa tera feira s 13 h 45 min 12 s e Maria nasceu no mesmo dia, s 8 h 13 min 47 s. Determine a diferena entre os horrios de nascimento de Joo e Maria, nessa ordem.

3. Um passageiro embarcou em um nibus na cidade A s 14h 32 min 18s, esse nibus saiu da rodoviria desta cidade s 14h 55min 40s e chegou na rodoviria da cidade B s 19h 27min 15s, do mesmo dia. Quanto tempo o passageiro permaneceu no interior do nibus?

a) 05h 54min 09sb) 04h 05min 57sc) 05h 05min 09sd) 04h 54min 57s

Respostas

1. 5 h 36 min

2. 5 h 31 min 25 s

3. Vamos considerar o horrio de chegada na cidade B e o horrio que o passageiro entrou no nibus

19 h 27 min 15 seg14 h 32 min 18 segPara subtrair 18 de 15 no possvel ento emprestamos 1

minuto dos 27Que passa a ser 26 e no lugar de 15 seg usamos 15 +60(que

1 min). Ento75 18 = 57 segO mesmo acontece com os minutos. Vamos emprestar 1 hora

das 19 que passa a ser 18 e no lugar de 26 minutos usamos 26 + 60 ( que uma hora). Ento 86 32 = 54 minutos

Por fim 18 h 14 h = 4 horasResp. 4 horas 54 min e 57 seg.

SEQUNCIAS NUMRICAS E PROGRESSES.

Sequncia qualquer conjunto organizado de objetos, nme-ros ou eventos de qualquer natureza. Para representar uma sequencia escrevem-se os seus elementos numa lista pela sua ordem. Frequen-temente nos deparamos com situaes em que enumeramos elemen-tos de um conjunto seguindo uma determinada ordenao:

1. Da sucesso dos presidentes de um pas2. Da sequncia dos episdios de uma minissrie de TV.Repare que h dois aspectos importantes na sequncia: o tipo e

a ordem dos elementos. Todos os elementos de uma sucesso so do mesmo tipo (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma ordenao (por exemplo: primeiramente ocorre o primeiro epi-sdio da minissrie, depois o segundo episdio, depois o terceiro episdio...).


RACIOCNIO LGICO

Em matemtica, uma sequncia (ou uma sucesso) uma lista (conjunto) de nmeros (ou variveis que os representem). Formal-mente, a sequncia uma lista cuja ordem definida por uma lei, uma funo especfica.

Progresso aritmtica

Uma progresso aritmtica ( P. A.) uma sequencia numri-ca em que cada termo, a partir do segundo, igual soma do termo anterior com uma constante O nmero chamado de razo da PA.

Alguns exemplos de progresses aritmticas:1, 4, 7, 10, 13, ..., uma PA em que a razo (a diferena entre os

nmeros consecutivos) igual a 3. uma PA crescente.-2, -4, -6, -8, -10, ..., uma P.A. em que uma

PA decrescente.6, 6, 6, 6, 6, ..., uma P.A. com uma PA constante.Numa progresso aritmtica, a partir do segundo termo, o termo

central a mdia aritmtica do termo antecessor e do sucessor, isto

, a n = 2

11 + + nn aa

Frmula do termo geral de uma PAO n-simo termo de uma PA, representado por pode ser

obtido por meio da formula:

a1 o primeiro termoa n o ltimo termon o nmero de termosr a razo

Ex: 1. Numa PA de 7 termos, o primeiro deles 6, o segundo 10. Escreva todos os termos dessa PA.

6, 10, 14, 18, 22, 26, 302. Numa PA de 5 termos, o ltimo deles 201 e o penltimo

187. Escreva todos os termos dessa PA.145, 159, 173, 187, 2013. Numa PA de 8 termos, o 3 termo 26 e a razo -3. Escreva

todos os termos dessa PA.

32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11

4. Determinar o 21 termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

r = 4 a1 = 9 n = 21 a61 = ?

a61 = 9 + (21 1).4

a61 = 9 + 20.4 = 9 + 80 = 89

5. Determinar o nmero de termos da PA (4,7,10,...,136)

a1 = 4 an = 136 r = 7 4 = 3

an = a1 + (n 1).r

136 = 4 + (n 1).3

136 = 4 + 3n 33n = 136 4 + 33n = 135n = 135/3 = 45 termos

Soma dos termos de uma PA

Para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte frmula :

S n a soma dos termosn o nmero de termosa1 o primeiro termoa n o ltimo termo

Ex:

1. Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).

a30 = a1 + (30 1).r a30 = a1 + 29.r a30 = 4 + 29.5 = 149

Progresso geomtrica

Denominamos de progresso geomtrica, ou simplesmente PG, a toda sequncia de nmeros no nulos em que cada um deles, multiplicado por um nmero fixo, resulta no prximo nmero da sequncia. Esse nmero fixo chamado de razo da progresso e os nmeros da sequncia recebem o nome de termos da progresso.

Observe estes exemplos:

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 uma PG de 8 termos, com razo 2.

5, 15, 45,135 uma PG de 4 termos, com razo 3

Frmula do termo geral de uma progresso geomtrica.

an = a1 qn-1

Ex:

1. Determinar a razo da PG tal que:


RACIOCNIO LGICO

Formula da soma dos n primeiros termos de uma PG:

Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razo q, temos:

Se q = 1, ento Sn = n.a1

Se q 1 , ento S n = 1

)1(1

qqa n

Ou , se q 1 ento Sn= 1. 1

qaqan

Ex: 1. Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

Problemas

1. Dada a PA (a + b,5a b,...) determine seu 4 termo.


3. Determinar a razo da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3

4. Interpolar (inserir) cinco meios aritmticos entre 1 e 25, nes-sa ordem .

OBS: Interpolar (ou inserir) cinco meios aritmticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e ltimo termo igual a 25.

5. Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).

6. Calcule a soma dos mltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.

Obs: Mltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).O primeiro mltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 o

105.O ltimo mltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 o 294.

7. Numa PG, o 9 termo 180 e o 10 termo 30. Qual a razo dessa PG.

8. Determinar o 15 termo da progresso geomtrica (256, 128, 64,...).

9. Numa P.G. de quatro termos, o primeiro -4 e a razo 3. Determine o ltimo termo.

10. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ).

Respostas:

1. 13a 5b

2. 249

3. 71

4. (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)

5. 2310

6. 5586

7. 61

8.

9. -108

10. 728


RACIOCNIO LGICO

FUNES (PROPRIEDADES E APLICAES),

Funes de 1 e 2 grauDados dois conjuntos A e B no vazios, chama-se funo uma

relao R de A em B se e somente se para todo elemento x de A existe um nico correspondente y em B.

- Todo elemento de A tem imagem em B- Cada elemento de A s tem uma nica imagem em B

Funo de 1 grauChamamos de funo afim ou do 1 grau a qualquer funo de

R em R definida por y = ax + b, onde a e b so n reais e a no nulo. Ex: y = 2x + 3 O grfico de uma funo do 1 grau uma reta. O sinal do a determina se o grafico crescente ou decrescente.

Grfico de funo de 1 grau

O grfico de uma funo do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:Vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1: Como o grfico

uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua:

a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e liga-mos os dois com uma reta.

J vimos que o grfico da funo do 1 grau y = ax + b uma reta. O coeficiente de x, a, chamado coeficiente angular da reta e est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox.

Regra geral:A funo do 1 grau y = ax + b crescente quando o coeficiente

de x positivo (a > 0); A funo do 1 grau y = ax + b decrescente quando o coefi-

ciente de x negativo (a < 0)

O termo constante, b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordena-da do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Funo do 2 grau

Uma funo do 2 grau definida pela seguinte lei de formaoy = ax + bx + c ou y = ax + bx + c, onde a, b e c so nmeros

reais e a 0. Sua representao no plano cartesiano uma parbola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo.

Propriedades do grfico de y = ax2 + bx + c :1) se a > 0 a parbola tem um ponto de mnimo .

2) se a < 0 a parbola tem um ponto de mximo

3) o vrtice da parbola o ponto V(xv , yv) onde:

xv = - b/2a yv = - . /4a , onde . = b2 - 4ac

4) a parbola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x e x , que so as razes da equao ax2 + bx + c = 0 .


RACIOCNIO LGICO

5) a parbola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .

Exerccios

1. Determine os pontos de interseco da parbola da funo f(x) = 2x 3x + 1, com o eixo das abscissas.

2. Calcule o valor de k de modo que a funo f(x) = 4ax 4x k no tenha razes, isto , o grfico da parbola no possui ponto em comum com o eixo x

3. Calcule a raiz da funo y = 2x 9, esse o momento em que a reta da funo intersecta o eixo x.

Respostas1. No instante em que a parbola cruza o eixo das abscissas o

valor de y ou f(x) igual a zero. Portanto:f(x) = 02x 3x + 1 = 0

Os pontos de interseo so:x = 1 e y = 0 (1, 0)x = 1/2 e y = 0 (1/2,0)

2. < 0b 4ac < 0(4) 4 * 4 * (k) < 016 + 16k < 016k < 16k < 1 O valor de k para que a funo no tenha razes reais

deve ser menor que 1.

3. x = b/ax = (9)/2x = 9/2x = 4,5

EQUAES E INEQUAES.

Equao de 1 grau

As equaes do primeiro grau so sentenas abertas que po-dem ser representadas sob a forma de ax + b = 0, em que a e b so nmeros reais , com a 0 e x a varivel. Numa equao do 1 grau a expresso que est situado a esquerda do sinal de igual o 1 membro da equao e a expresso que est direita o 2 membro da equao. O elemento desconhecido de uma equao chamado de incgnita ou varivel.

Ex: x + 5 = 18 x + 5 o 1 membro 18 o 2 membro x a varivel ou incgnita

Para resolver uma equao do 1 grau isolamos no 1 mem-bro os termos que apresentam varivel e no 2 membro os termos que no apresentam varivel. Podemos mudar os termos de um membro para outro quando necessrio, porm usando a operao inversa, ou seja, o que est multiplicando passa dividindo e o que est dividindo passa multiplicando. O que est somando passa sub-traindo e o que est subtraindo passa somando.

Ex:

2x + 8 = 202x = 20 8 ( o n 8 passou subtraindo porque estava somando)2x = 12

x = 2

12 ( o n 2 que estava multiplicando passou dividindo)

x = 6 ( 6 o resultado, ou seja, a raiz da equao)

As equaes de 1 grau podem apresentar parnteses ou fra-es que devem ser trabalhadas usando contedos necessrios em cada caso at encontrar o resultado da varivel. Ex: Resolva a equao:


RACIOCNIO LGICO

Problemas

1. A idade de um pai igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos tem 60 anos.

2. O dobro de um nmero, diminudo de 4, igual a esse nmero aumentado de 1. Qual esse nmero?

3. O triplo de um nmero, menos 25, igual ao prprio nme-ro, mas 55. Qual esse nmero?

4. Dois quintos do meu salrio so reservados para o aluguel e a metade gasta com a alimentao, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual o meu salrio?

5. Um nmero mais a sua metade igual a 15. Qual esse nmero?

6. A diferena entre um nmero e sua quinta parte igual a 32. Qual esse nmero?

7. O triplo de um nmero igual a sua metade mais 10. Qual esse nmero?

8. O dobro de um nmero, menos 10, igual sua metade, mais 50. Qual esse nmero?

9. A diferena entre o triplo de um nmero e a metade desse nmero 35. Qual esse nmero?

10. Comprei 7,5 kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6 kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei de dinheiro para pagar a mercadoria?

Respostas

1. Filho 15 e o pai 45

2. 5

3. 40

4. Vamos representar o meu salrio com a letra x

Aluguel : 52 do salrio =

52 x

Alimentao : 21 do salrio =

2x

Gastos diversos : 45

aluguel + alimentao+gastos diversos igual ao slario

52

x + 2x

+ 45 = x

1010

1045054 xxx

=++

9x + 450 = 10x

9x 10 x = -450-x = -450 (-1)X = 450Resp: Meu salario 450 reais

5. 10

6. 40

7. 4

8. 40

9. 1410. Comprar 7,5 kg e receber 1,25 de troco o mesmo que

comprar 6 kg e receber 5,00 de troco, por isso vamos igualar formando uma equao de 1 grau. Vamos representar por x o valor do kg

7,5 . x + 1,25 = 6 . x + 57,5 x - 6x = 5 - 1,251,5 x = 3,75x = 3,75/1,5x = 2,50 ( preo por kg)

Para saber quanto dei de dinheiro, vamos substituir 2,50 no lugar do x na equao. Podemos escolher o 1 termo ou o 2 que o resultado ser o mesmo.

vou escolher o 2 membro6.x + 5 6. 2,50 + 5 =15 + 5 = 20Resp: 20 reais

Equao de 2 grau

Chama-se equao de 2 grau na incgnita x toda sentena aberta que pode ser escrita sob a forma: ax 2 + bx + c = 0, com a 0.

x a incgnita a, b, c so nmeros reais chamados coeficientes e a 0 c chamado termo independente da equao. ax 2 +bx + c = 0 a forma normal ou forma reduzida da

equao do 2 grau Ex: 1) 5x 2 +3x 20 = 0a = 5; b = 3; c = -20 2) 4n 2 +7n 2 = 0a = 4; b = 7; c = -2 3) 3x 2 + 9 = 0a = 3; b = 0; c = 9 4) 2m 2 -2m = 0a = 2; b = -2; c = 0 5) x 2 = 0a = 1 ; b = 0; c = 0

Nos exemplos 1 e 2 os coeficientes so todos diferentes de zero. Nesse caso, a equao do 2 grau chamada completa.


RACIOCNIO LGICO

No exemplo 3 o coeficiente b zero, no exemplo 4 o coefi-ciente c zero e no exemplo 5 os coeficientes b e c so iguais a zero. Nesses casos, as equaes do 2 grau so incompletas.

Razes da equao do 2 grau

Raiz (razes) de uma equao do 2 grau (so) o(s) elemento(s) do conjunto universo que tornam a igualdade ver-dadeira.

Ex: O n 2 raiz da equao x2

- 5x +6 = 0, pois, substituin-do x por 2 temos:

2 2 - 5.2 + 6 = 04 12 + 6 = 00 = 0O n 3 tambm raiz dessa equao, pois, substituindo x por

3, temos:3 2 - 5. 3 + 6 = 09 15 + 6 = 00 = 0Ao conjunto formando pelos nmeros 2 e 3 damos o nome

de conjunto soluo. Os nmeros 2 e 3 so as razes da equao.Chama-se conjunto soluo ou conj. Verdade, em um conjun-

to universo U, o conjunto cujos elementos so as razes da equao que pertenam a U.

Lembre-se:

- Conjunto universo o conjunto formado por todos os elementos pelos quais as incgnitas de uma equao podem ser substitudas.

- Razes de uma equao so os elementos do conjunto uni-verso que tornam a igualdade verdadeira.

- Conjunto soluo ou conjunto verdade o conjunto cujos elementos so as razes de uma equao.

Resolver uma equao do 2 grau significa encontrar suas ra-zes e determinar seu conjunto soluo.

Resoluo de uma equao do 2 grauEquao incompletaQuando c = 0

Para resolver uma equao do tipo ax 2 + bx = 0 devemos co-locar o fator comum em evidncia e em seguida usar a propriedade do produto nulo.

Ex: Resolver em R a equao x 2 - 4x = 0

A equao incompleta com c = 0. Colocamos o fator x em evidncia:

x ( x 4) = 0

O produto nulo quando pelo menos um dos fatores nulo, ento:

x = 0Oux 4 = 0, logo x = 4 S = { 0, 4 }

Quando b = 0

Para resolver uma equao da forma ax 2 + c = 0, devemos isolar a incgnita no primeiro membro da equao.

Ex: Resolver em R a equao 4x 2 - 81 = 0A equao incompleta com b = 0

4x 2 = 81

x 2 = 481

x = 481

x = 29

, logo S = {29,

29 }

Quando b = c = 0

Em uma equao da forma ax 2 = 0 a raiz ser sempre igual a zero.

Ex: Resolver em R a equao 3x 2 = 0S = { 0 }

Equao completa

As equaes do 2 grau completas podem ser resolvidas pela frmula de Bhskara:

x = a

b2

, sendo = b 2 - 4ac

a, b , c so os coeficientes da equao e o discriminante.O discriminante determina o nmero de razes de uma equa-

o.Quando: > 0 a equao possui 2 razes reais e diferentes = 0 a equao possui 2 razes reais e iguais < 0 a equao no possui razes reais

Ex: 1) Resolva em R a equao x 2 - 7x + 10 = 0Coeficientes: a = 1 b = -7 c = 10Discriminante: = b 2 - 4ac = (-7) 2 - 4. 1. 10 = 49 40 = 9 > 0 , logo a equao possui 2 razes reais e diferentes.

x = a

b2

=

1.29)7(

= 2

37

x = 52

37=

+

x = 22

37=

S = {5, 2}

2) Resolva em R a equao de 2 grau 9x 2 + 6x + 1 = 0coeficientes: a = 9 b = 6 c = 1


RACIOCNIO LGICO

Discriminante: = b 2 - 4ac = 6 2 - 4. 9. 1 = 36 36 = 0 = 0, logo a equao possui 2 razes reais e iguais ,ou seja,

apenas uma.Nesse caso no usamos o pois ele zero, portanto a fr-

mula fica

x = ab

2

x = 9.26

= 186

= 31

S = {31

}

3) Resolva em R a equao de 2 grau 2x 2 + 2x + 1 = 0Coeficientes: a = 2 b = 2 c = 1Discriminante: = b 2 - 4ac = 2 2 - 4. 2. 1 = 4 8 = - 4 < 0 , nesse caso no podemos continuar a resoluo pois

4 R, logo chegamos ao resultado : S = ( conjunto vazio)

Obs: Nem sempre a equao de 2 grau vem na sua forma normal para ser resolvida, em alguns caso temos que trabalhar aplicando outros contedos at chegar na sua forma reduzida, como nos exemplos abaixo:

1) Determine as razes da equao ( 2x + 1) 2 - ( x + 3) 2 = 3x 8Vamos comear aplicando a regra do quadrado da soma de

dois termos4x 2 +4x + 1 (x 2 +6x + 9) = 3x 84x 2 +4x + 1 - x 2 - 6x - 9 3x + 8 = 03x 2 + 5x = 0x (3x + 5) = 0x = 03x + 5 = 03x = 5

x = 35

, logo S = { 0, 35

}

2) Resolva em R a equao 11

31

4=

+

+ xxRepare que temos incgnita no denominador, ento devemos

estabelecer as condies de existncia da equao ( o denominador de uma frao deve ser sempre diferente de zero)

x + 1 0 x -1x 1 0 x 1O prximo passo efetuar todos os desenvolvimentos para

escrever a forma reduzida da equao.mmc = (x-1) (x+1)

)1)(1()1)(1(

)1()1()1(3)1(4

++

=+++

xxxx

xxxx

Eliminamos os denominadores

4(x-1) + 3(x+1) =(x+1) (x-1) aplicamos a propr. distributiva no 1 membro e a regra do produto da soma pela diferena de dois termos no 2 membro

4x 4 +3x + 3 = x 2 -1-x 2 +7x -1 +1 = 0

x 2 - 7x = 0 encontramos uma equao incompleta.x (x 7) =0x = 0 x -7 = 0 x=7 S = {0, 7}

Relao entre coeficientes e razes

Existem duas relaes muito importantes entre os coeficientes a, b, c de uma equao do 2 grau e suas razes

Soma das razes : x + x = ab

Produto das razes : x. x= ac

A expresso x 2 - Sx + P = 0 , em que S a soma das razes e P o produto, possibilita-nos escrever uma equao do 2 grau cujas razes so dois nmeros previamente conhecidos.

Ex: Escreva a equao do 2 grau cujas razes so 5 e 6.S = 5 + 6 = 11P = 5 . 6 = 30A equao x 2 - 11x + 30 = 0Podemos tambm encontrar as razes de uma eq. Sem resolv-

-la.Ex: Encontre as razes da equao x 2 -10x + 16 = 0As razes so 2 e 8, pois 2 + 8 = 10 e 2 . 8 = 16Usando a expresso x 2 - Sx + P = 0 x 2 -10x +16 = 0

Problemas

1. Subtramos 3 do quadrado de um n. Paralelamente, cal-culamos a soma de 7 com o triplo desse n e obtemos nos dois clculos o mesmo resultado. Qual o n?

2. Determine dois n naturais e consecutivos tais que a soma dos seus quadrados seja 85.

3. A soma de um n com seu quadrado 132. Qual esse n?

4. Achar 3 n consecutivos tais que o quadrado do menor igual a soma do maior com o do meio.

5. A metade do quadrado de um n inteiro somado com sua tera parte igual a 76. Que n esse?

6. Um n real tal que sua quinta parte ao quadrado mais dois igual a 3. Que n esse?

7. Achar 2 n pares consecutivos cujo produto 360.

8. O quadrado da metade de um n real mais o seu dobro igual a 40. Que n esse?

9. Num retngulo de lados x+1 e y-2 que o permetro 30cm e a rea

5 cm. Determine os valores de x e y.

Respostas:

1. 5 ou -2


RACIOCNIO LGICO

2. 6 e 7

3. 11 ou -12 4. 3, 4, 5 ou -1, 0, 1

5. 12

6. +5 ou -5

7. -20 e -18 ou 18 e 20

8. -4 + 4 11 ou -4 4 11

9. x = 4 e y = 12 ou x =9 e y = 7

Inequao do 1 grau

Inequaes do 1 grau so aquelas que podem ser representa-das sob a forma ax + b > 0 ( ou com as representaes , < , , ou ) em que a e b so nmeros reais, com a 0, e x varivel. Toda sentena aberta representada por uma desigualdade chama-se inequao. A resoluo desse tipo de inequao da mesma forma que se resolve uma equao do 1 grau, s que quando o x negativo no final da resoluo multiplica-se ambos os membros da inequao por (-1) e a o sentido se inverte, se > fica , se fica e se fica .

Conjunto universo o conjunto formado por todos os elementos pelos quais as incgnitas de uma inequao podem ser substitudas.

Conjunto soluo, ou conjunto verdade, o conjunto forma-do por todos os elementos que tornam a desigualdade verdadei-ra. Inequaes equivalentes so duas ou mais inequaes que possuem o mesmo conjunto soluo no vazio.

Ex: Resolva a inequao, sendo U = N3x + 8 > 5x 12x 5x > -12 82x > -20 ( -1)2x < 20 < 10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Se, o universo do exerccio anterior fosse o conjunto dos nmeros reais, qual seria o conjunto soluo da inequao? Re-soluo: No possvel explicitar, um a um, todos os nmeros reais menores que 10. Por isso, representa-se o conjunto soluo S simplesmente por S = {x R/ x < 10}.

Exerccios propostos

1. Resolva as seguintes inequaes, em :a) 2x + 1 x + 6 b) 2 - 3x x + 14c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x 7

2. Qual o menor nmero inteiro que soluo da inequa-o:

21

+

31x - 1 > -

21

31 x

3. Quais so em Z, as trs maiores solues da inequao

126

15 53 }

d) S = { xR / x > 98 }

2. x = 2

3. so 3, 2, 1

4. 21 anos

Uma inequao uma sentena matemtica expressa por uma ou mais incgnitas, que ao contrrio da equao que utiliza um sinal de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de desigualdade:

>: maior 2x 24x 2x > 2 122x > 14x > 14/2x > 7

Inequao-ProdutoQuando se trata de inequaes-produto, teremos uma desi-

gualdade que envolve o produto de duas ou mais funes. Portan-to, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada funo e obter a resposta final realizando a interseco do conjunto resposta das funes.


RACIOCNIO LGICO

Exemploa)(-x+2)(2x-3)0ax+bx+c0ax+bx+c


RACIOCNIO LGICO

S = {x R / 7/3 < x < 1}Exerccios

1) De acordo com o conjunto dos nmeros Reais, determine o valor de x na seguinte inequao produto: (2x + 1) (x + 2) 0.

2) Resolva, de acordo com os nmeros Reais, a inequao quociente dada por

3) Dada a inequao 2(x + 3) 4(x - 1), qual o menor nme-ro inteiro de trs algarismos que seja soluo?

4) Resolva:3(x+1)-3x+4

5) Qual a soluo da inequao:

6) (PUC-RJ)Quantas solues inteiras a inequao x + x - 20 0 admite?a) 2b) 3c) 7d) 10e) 13

7) O conjunto soluo da inequao x - 2x - 3 0 :a) {x R / -1 < x < 3}b) {x R / -1 < x 3}c) {x R / x < -1 ou x > 3}d) {x R / x -1 ou x 3}e) {x R / -1 x 3}

8) (FGV-SP) A receita mensal(em reais) de uma em-presa R=20000p -2000p, onde p o preo de venda de cada unidade(0p10).

a) Qual o preo p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$50000,00?

b) Para que valores de p a receita inferior a R$37500,00?

Respostas

1)

2)

1) 2x+64x-4-2x-10x5

Ento o menor nmero de trs algarismos o 100.

2) 3x+3-3x+42x4x2S{xR|x2}

3)


RACIOCNIO LGICO

x-3=0 x=3 x-5=0 x=5

Para valores x


RACIOCNIO LGICO

Temos 4 possibilidades para a primeira posio, 3 possibilida-des para a segunda posio, 2 possibilidades para a 3 posio e 1 possibilidade para a quarta posio.

Pelo princpio fundamental da contagem temos = 4. 3. 2. 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Arranjos

Os arranjos so caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. A ordem importante.

Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de dois elementos do conjunto B, so:

{(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6)}

Veja que cada arranjo diferente do outro. Portanto, so ca-racterizados:

Pela natureza dos elementos: (2,4) (4,8)Pela ordem dos elementos: (1,2) (2,1) Frmula para calcular arranjo simples: A n,p = n! (n p)!

Ex:Em um colgio, dez alunos candidataram-se para ocupar os

cargos de presidente e vice-presidente do grmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poder ser feita? Temos dez alunos disputando duas vagas, portanto, dez elementos tomados dois a dois.

Resp: um arranjo de 10 alunos tomados 2 a 2, onde n= 10 e p= 2

So 90 maneiras.

CombinaoEm uma festa de aniversrio ser servido sorvete aos convi-

dados. Sero oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado dever escolher dois entre os quatro sabores. Notemos que, no importa a ordem em que os sabores so escolhidos. Se o convidado escolher morango e chocolate {MC} ser a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente. Portan-to, na combinao os agrupamentos so caracterizados somente pela natureza dos elementos. A ordem no importante.

Formula para calcular combinao simples:C n,p = n! p!(n-p)!

Problemas propostos

1. (Concurso CREA/PR-2013) A fim de vistoriar a obra de um estdio de futebol para a copa de 2014, um rgo pblico or-ganizou uma comisso composta por 4 pessoas, sendo um enge-nheiro e 3 tcnicos.

Sabendo-se que em seu quadro de funcionrios o rgo dispe de 3 engenheiros e de 9 tcnicos, pode-se afirmar que a referida co-misso poder ser formada de _____ maneiras diferentes. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima.

A) 252B) 250C) 243D) 127E) 81

2. Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tenta-tivas dever fazer(no mximo) para conseguir abri-lo?

3. Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

4. 02 - Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos dis-tintos. Quantos tringulos podem ser construdos com vrtices nos 9 pontos marcados?

5. Quantas equipes diferentes de vlei podem ser escaladas, tendo disposio 10 meninas que jogam em qualquer posio?

6. Uma associao tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 so homens, e 4 so mulheres.

De quantas maneiras podemos formar uma comisso dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

7. Um nmero de telefone formado por 8 algarismos. Deter-mine quantos nmeros de telefone podemos formar com algaris-mos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.

8. Qual o nmero de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?

9. Otvio, Joo, Mrio, Lus, Pedro, Roberto e Fbio esto apostando corrida. Quantos so os agrupamentos possveis para os trs primeiros colocados?

Respostas

1. Combinao . Resp A2. As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio

teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Po-demos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo princpio funda-mental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que : A10,3 = 720

3. Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinao de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a frmula chegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

4. Resolvemos utilizando a formula da combinao porque a ordem dos vrtices dos tringulos no importa. uma combinao de 9 pontos tomados 3 a 3 . Resp: 84

5. A= {a1, a2, a3,..., a10} Onde, n=10 e p= 6, pois temos que uma equipe de vlei formada por 6 atletas. Logo, colocando os dados na frmula de combinaes simples, temos:


RACIOCNIO LGICO

Ou seja, podem ser formadas 210 equipes de vlei.

6. C6, 3 . C4, 2 Fazendo

Agora, multiplicamos os resultados: C6, 3 .C4, 2 = 6.20 = 120 maneiras de formar uma comisso com 3 homens e 2 mulheres.

7. O nmero 2 deve ser fixado na 1 posio e o 8 na ltima. Restaram, por tanto, 6 posies e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferen-cie dois nmeros de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6.

Usando a formula de arranjo: Podemos formar 40.320 nme-ros de telefones com os algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8.

8. Com se trata de anagrama devemos usar permutao. Resp: 40320

9. Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chega-da um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 cor-redores e queremos saber o nmero de possibilidades de chegada at a terceira posio, devemos calcular A7, 3:

Logo: 210 so os agrupamentos possveis para os trs primei-ros colocados.

Progresso aritmtica e progresso geomtrica

Sequncia qualquer conjunto organizado de objetos, nme-ros ou eventos de qualquer natureza. Para representar uma sequencia escrevem-se os seus elementos numa lista pela sua ordem. Frequen-temente nos deparamos com situaes em que enumeramos elemen-tos de um conjunto seguindo uma determinada ordenao:

1. Da sucesso dos presidentes de um pas;2. Da sequncia dos episdios de uma minissrie de televi-

so;Repare que h dois aspectos importantes na sequncia: o tipo e

a ordem dos elementos. Todos os elementos de uma sucesso so do mesmo tipo (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma or-denao (por exemplo: primeiramente ocorre o primeiro episdio da minissrie, depois o segundo episdio, depois o terceiro episdio...).

Em matemtica, uma sequncia (ou uma sucesso) uma lista (conjunto) de nmeros (ou variveis que os representem). Formal-mente, a sequncia uma lista cuja ordem definida por uma lei, uma funo especfica.

Progresso aritmtica

Uma progresso aritmtica ( P. A.) uma sequncia numrica em que cada termo, a partir do segundo, igual soma do termo anterior com uma constante O nmero chamado de razo da PA.

Alguns exemplos de progresses aritmticas:

1, 4, 7, 10, 13, ..., uma PA em que a razo (a diferena entre os nmeros consecutivos) igual a 3. uma PA crescente.

-2, -4, -6, -8, -10, ..., uma P.A. em que uma PA decrescente.

6, 6, 6, 6, 6, ..., uma P.A. com uma PA constante.

Numa progresso aritmtica, a partir do segundo termo, o termo central a mdia aritmtica do termo antecessor e do sucessor, isto , a n =

211 + + nn aa

Frmula do termo geral de uma PAO n-simo termo de uma PA, representado por pode ser

obtido por meio da formula:

a1 o primeiro termoa n o ltimo termon o nmero de termosr a razo

Ex: 1. Numa PA de 7 termos, o primeiro deles 6, o segundo 10. Escreva todos os termos dessa PA.

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30

2. Numa PA de 5 termos, o ltimo deles 201 e o penltimo 187. Escreva todos os termos dessa PA.

145, 159, 173, 187, 201

3. Numa PA de 8 termos, o 3 termo 26 e a razo -3. Escreva todos os termos dessa PA.

32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11

4. Determinar o 21 termo da PA (9, 13, 17, 21,...)r = 4 a1 = 9 n = 21 a61 = ?a61 = 9 + (21 1).4a61 = 9 + 20.4 = 9 + 80 = 89

5. Determinar o nmero de termos da PA (4,7,10,...,136)a1 = 4 an = 136 r = 7 4 = 3an = a1 + (n 1).r136 = 4 + (n 1).3136 = 4 + 3n 33n = 136 4 + 33n = 135 n = 135/3 = 45 termos


RACIOCNIO LGICO

Soma dos termos de uma PA

Para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte frmula :

S n a soma dos termosn o nmero de termosa1 o primeiro termoa n o ltimo termo

Ex:

1. Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).

a30 = a1 + (30 1).r

a30 = a1 + 29.r

a30 = 4 + 29.5 = 149

Progresso geomtrica

Denominamos de progresso geomtrica, ou simplesmente PG, a toda sequncia de nmeros no nulos em que cada um deles, multiplicado por um nmero fixo, resulta no prximo nmero da sequncia. Esse nmero fixo chamado de razo da progresso e os nmeros da sequncia recebem o nome de termos da progresso.

Observe estes exemplos:8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 uma PG de 8 termos, com

razo 2.

5, 15, 45,135 uma PG de 4 termos, com razo 3

Frmula do termo geral de uma progresso geomtrica.

Ex:

1. Determinar a razo da PG tal que:

Formula da soma dos n primeiros termos de uma PG:

Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razo q, temos:

Se q = 1, ento Sn = n.a1

Se q 1 , ento S n = 1)1(1

qqa n

Ou , se q 1 ento Sn= 1. 1

qaqan

Ex: 1. Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

Problemas 1. Dada a PA (a + b,5a b,...) determine seu 4 termo.


3. Determinar a razo da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3

4. Interpolar (inserir) cinco meios aritmticos entre 1 e 25, nes-sa ordem .


RACIOCNIO LGICO

OBS: Interpolar (ou inserir) cinco meios aritmticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e ltimo termo igual a 25.

5. Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).

6. Calcule a soma dos mltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.

Obs: Mltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).O primeiro mltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 o

105.O ltimo mltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 o 294.

7. Numa PG, o 9 termo 180 e o 10 termo 30. Qual a razo dessa PG.

8. Determinar o 15 termo da progresso geomtrica (256, 128, 64,...).

9. Numa P.G. de quatro termos, o primeiro -4 e a razo 3. Determine o ltimo termo.

10. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ).

Respostas:

Probabilidade

O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situaes, prevermos a possibilidade de oc

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Raciocínio Lógico