El Quinto Postulado de Euclides

• Euclides, para las numerosas generaciones que se han nutrido de su substancia, ha sido quizá menos un profesor de geometría que un profesor de lógica. (Brunschvig)

• En matemática, ninguna afirmación falsa puede ocultarse o hacerse invisible, pues las demostraciones deben seguir siempre el hilo de la intuición pura y avanzar a través de una síntesis siempre evidente. (Kant)

Quinto Postulado P5: Si una línea recta incidente sobre dos líneas rectas

hace ángulos internos por un mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas prolongadas indefinidamente se encuentran por el lado en que están los ángulos menores que dos ángulos rectos.

Definición 23

• Def. 23: líneas rectas paralelas son líneas rectas coplanares que prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran en ninguno de los dos

• No implica unicidad de las paralelas, ni equidistancia

Quinto postulado

Antecedente: una recta transversal incide sobre otras dos y determina ángulos menores que dos ángulos rectos

Consecuente: las dos rectas se encuentran al prolongarlas por el lado de la recta incidente en que están los ángulos menores que dos rectos

• Contraposición: Si las rectas no se encuentran (paralelas), los ángulos no son menores que dos rectos.

Unicidad de las paralelas

• Caso límite: los ángulos determinados son iguales a dos rectos

• Implícitamente definición 23 y postulado 5 implican la unicidad de la paralela.

• Demostrar el quinto postulado equivale a mostrar que la recta incidente forma ángulos internos iguales a dos rectos.

• Def 23 y p5 restringen el paralelismo a equidistancia. La definición 23, dado p5 pierde generalidad.

Intentos de (y avances en la) demostración del quinto postulado

Ptolomeo (85-165)

Proclo (410-485)

Omar Jayam (1050(?)-1123)

Nasir Edin (1210-1274)

Giordano Vitale (1633-1711)

Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733)

Paralelismo como equidistancia• Proclo atribuye la concepción de las rectas paralelas como rectas

equidistantes a Posidonio (si no hay equidistancia, no hay paralelismo):

Tal es el concepto euclidiano de paralelismo; pero Posidonio dice que dos rectas son paralelas cuando estando situadas en un plano, no se acercan ni se alejan, siendo iguales las perpendiculares trazadas desde los puntos de una a la otra, mientras que las rectas que hacen cada vez menores esta perpendiculares se inclinan una sobre otra; y como la perpendicular basta para definir las alturas de las áreas y las distancias entre rectas, cuando las perpendiculares son iguales también lo son distancias entre las rectas, pero cuando hay mayores y menores, las rectas se acercan en el lado en que están las perpendiculares más pequeñas.

Proclo• Proclo, en sus comentarios, criticó el quinto postulado del siguiente modo: Debe

ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se puso a resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmación" de que puesto que cuando las rectas son prolongadas más y más, alguna vez se cortarán parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al carácter especial de los postulados

• Se sentía incómodo con la noción de paralelismo como equidistancia. Paradoja de Gémino: las asíntotas también son paralelas en cuanto no se encuentran por más que se prolonguen según la def. 23 pero no lo son en el sentido de Posidonio

Problema: demostrar el quinto postulado directa o indirectamente

Ptolomeo

• Ptolomeo: trató de demostrar el quinto postulado usando los otros 9 axiomas y los teoremas del 1 al 28 que no dependen del quinto postulado

• Teorema: si las rectas son paralelas, los ángulos internos son iguales a dos rectos

Ptolomeo• Como los ángulos internos del mismo lado de la secante son, necesariamente, iguales,

menores o mayores que 2 rectos, sean AB y GD 2 paralelas cortadas por la recta HZ. Digo que esta recta no forma ángulos internos del mismo lado de ella que valgan más de 2 rectos. En efecto, si los ángulos formados por las rectas AZ y ZH, GH y HZ son mayores que 2 rectos, los formados por BZ y ZH, DH y HZ serían menores que 2 rectos, y como también son mayores que 2 rectos, porque las rectas AZ y GH no son más paralelas que las ZB y HD, resulta que si la recta que incide sobre las AZ y GH forma ángulos internos mayores que 2 rectos, la que incide sobre ZB y HD también forma ángulos internos mayores que 2 rectos; pero, estos ángulos internos también son menores que 2 rectos, lo cual es imposible; y del mismo modo demostraría que la secante forma ángulos internos menores que 2 rectos; luego, si los ángulos internos no son mayores ni menores que dos rectos, tienen que ser iguales a dos rectos.

Ptolomeo• H 1: los ángulos son mayores a dos rectos

• H 2: los ángulos son menores a dos rectos

• Conclusión: los ángulos internos por el otro lado de la transversal son al mismo tiempo menores y mayores que dos rectos (contradicción)

• T: no son mayores ni menores luego son iguales a dos rectos.

• Error de Ptolomeo: el argumento de que dos rectas de un lado de la transversal no son más paralelas que dos rectas del otro lado de la transversal presupone la unicidad de la paralela

Demostración de Proclo• El mismo Proclo dio una demostración del quinto

postulado suponiendo el axioma de Aristóteles: si dos rectas que forman un ángulo, a partir de un punto se prolongan al infinito, el intervalo entre ambas se puede hacer mayor que toda magnitud finita, luego la distancia entre las rectas puede hacerse mayor que cualquier magnitud finita dada prolongando suficientemente las rectas.

• Dadas dos rectas paralelas m y l. Suponer que n es distinta de m y que corta a m en P. Sea Q el pie de la perpendicular desde P a l. Veamos que n corta a l. Si n coincide con la recta PQ, n corta a l. Si n no coincide con la recta PQ una de las semirectas de n la PY está entre la semirecta PQ y una semirecta de m. Sea X el pie de la perpendicular de Y hasta m. Ahora si Y se desliza hasta el final de n, el segmento XY crece indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante, en algún momento deberá cruzar l

Omar Jayam

Primero en estudiar el problema del quinto postulado utilizando los denominados cuadriláteros de Saccheri. Jayam construyó cuadriláteros con lados iguales y dos ángulos rectos en la base y mostró que si los lados perpendiculares a la base son iguales, los ángulos posteriores a los de la base son iguales. Demostró también que el bisector perpendicular de la base es bisector perpendicular del lado opuesto a la base.

Cuadriláteros de Saccheri

H: cuadrilátero ABCD con AC = BD, A=B=1 ángulo recto

T: D=C

El postulado de Euclides

es equivalente a decir que

D y C son rectos

Nesir Edin• Prueba el quinto postulado a condición de que se acepte la siguiente

premisa: si dos líneas rectas r y s son la una perpendicular y la otra oblicua aun segmento, AB, las perpendiculares trazadas de s hacia r son menores que AB por el lado en que s forma un ángulo agudo con AB y mayores que AB por el lado en que s forma un ángulo obtuso con AB.

Giordano Vitale

Demostró el siguiente teorema: sea ABCD un cuadrilátero cuyos ángulos A y B son rectos, cuyos lados AD y BC son iguales y tal que HK es una perpendicular trazada desde el punto H del lado DC hasta el punto k de la base AB del cuadrilátero, entonces, los ángulos en C y en D son iguales, cuando el segmento HK es igual al segmento AD, los ángulos en C y en D son rectos y CD equidista a AB

Teorema de Vitale

• H: • ABCD es un cuadrilátero• <A y <B son rectos• AD =BC• H es un punto en CD, K en AB• HK es perpendicular• T: <D=<C• Si HK = AD, entonces <D=<C= 1 recto• CD equidista de AB

Teorema de Vitale

• Demostración

• Proposición Justific.

a. Unir A con C, B con D (H, p1)

b. AB=AB, AD=BC, <A=<B (H,a)

c. ABD=ABC (b.t4)

d. AC=BD (c.)

e. AC=BD, AD=BC, DC=DC (d, H)

f. ACD=BCD (e, t8)

g. <D=<C (f.)

John Wallis: • Propuso un nuevo postulado que

supuso más plausible que el quinto postulado (por medio del primero probó el segundo)

• Postulado de Wallis: para cualquier figura existe una figura semejante de magnitud cualquiera.

• Con ello podía deducir la existencia de un cuadrilátero en el que la suma de ángulos es igual a 4 ángulos rectos de donde habría podido deducir el quinto postulado

Saccheri Euclides vindicado de toda mancha

o conato geométrico mediante el cual se establecen los verdaderos primeros principios de toda la geometría

• 23 definiciones

• 4 postulados

• Negación del postulado 5

• 28 proposiciones libro I

• Hipótesis de la infinitud de la recta

• Hipótesis de la continuidad de la recta

• Postulado de Eudoxio-Arquímedes

Cuadriláteros de Saccheri

Proposición I: si un cuadrilátero tiene dos ángulos consecutivos en A y en B rectos y los lados AD y BC desiguales entonces de los ángulos en C y en D es mayor el adyacente al lado menor, es menor el adyacente al lado mayor, si los lados son iguales, entonces los ángulos son iguales.

Cuadriláteros de Saccheri

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Hipótesis de Saccheri

• El postulado de Euclides es equivalente a decir que los ángulos iguales C y D son rectos. Saccheri consideró dos alternativas las tres alternativas posibles:

• H del ángulo recto: C=D=1 recto (HR)

• H del ángulo agudo: C=D<1 recto (HA)

• H del ángulo obtuso: C=D>1 recto (HO)

• Con base en estas H y los 9 axiomas de Euclides supuso que HA y HO debían conducir a contradicciones, demostrando la verdad de HR

Saccheri• Saccheri demostró una serie de teoremas tratando de encontrar

la contradicción al asumir la HA y HO, sin embargo aunque encontró afirmaciones contrarias a la experiencia, no encontró contradicciones conceptuales.

• Con respecto a sus predecesores avanzó en la demostración del p5 al considerar que desde el punto de vista puramente lógico no se podía excluir el examen de ninguna de las posibilidades (HA, HO y HR) aunque dos de ellas (HA y HO) parecieran contraintuitivas.

• Sin embargo, sus prejuicios lo condujeron a formular la

• Proposición XXXIII: La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque repugna a la naturaleza de la línea recta.

Conclusiones• Klügel presentó en 1763 como disertación de la

universidad de Göttingen “una recensión de los principales intentos para demostrar la teoría de las paralelas” donde examina más de treinta demostraciones del quinto postulado concluyendo que tales demostraciones son insuficientes y sugiriendo:

• “sería posible, sin duda, que rectas que no se cortan, diverjan… que tal cosa sea un contrasentido lo sabemos no por rigurosas consideraciones ni en virtud de claros conceptos de líneas rectas y curvas, sino más bien, mediante la experiencia y el juicio de nuestros ojos”

Conclusiones

• Esta evolución desde la geometría euclidiana a la no euclidiana cuyo transito se produjo a través de los intentos de demostración del p5 contribuyó a que los matemáticos privilegiaran finalmente como criterio de validez racional la consistencia conceptual (consistencia lógica) a pesar de lo contraintuitivas que pudieran ser sus conclusiones sobre la correspondencia exacta entre las proposiciones matemáticas y la experiencia

• ¿Son independientes los juicios de la lógica y la matemática (las relaciones conceptuales) de la información perceptual y la experiencia sensible?