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Quesiti matematica (indirizzo pni)

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  • Matematica PNI - Soluzione quesito 1Si ha un triangolo di lati a=2; b=3 e area A=3. Si vuole determinare il

    terzo lato c.Utilizzando la formula di Erone per il calcolo delle aree di un triangolo si

    ha:A =

    pp(p a)(p b)(p c)

    dove p il semiperimetro del triangolo.Da qui, moltiplicando e risolvendo rispetto alla c si trova l'equazione

    biquadratica:c4 26c2 + 169 = 0Da qui si ottengono le due soluzioni realip13 p13

    di cui l'unica ammissibilec =

    p13

    ||||||||||Matematica PNI - Soluzione quesito 2Si ha che la derivata della funzione F [x] = f(x) f(2x) in x=1 vale 5 e

    in x=2 vale 7.Si vuole trovare la derivata della funzione G[x] = f(x) f(4x) in x=1.Poich F

    0[x] = f

    0(x) 2f 0(2x) e si ha pure G0(x) = f 0(x) 4f 0(4x) otte-

    niamof 0(1) 2f 0(2) = 5

    f 0(2) 2f 0(4) = 7da cui, moltiplicando la seconda per due e sommando membro a membrof 0(1) 2f 0(2) + 2f 0(2) 4f 0(4) = 5 + 14e quindiG0(1) = f 0(1) 4f 0(4) = 19||||||||||||||||{Matematica PNI - Soluzione quesito 3Si cerca l'equazione della retta passante per il punto B(-6;-8 ) che abbia

    distanza massima dal punto A(2;-1).Chiamata r : y = mx + q la retta cercata, abbiamo, per l'appartenenza

    del punto B, che8 = 6m+ q (1)Ora dobbiamo imporre la massima distanza dal punto A di r. La distanza

    data da d = y0mx0qp1+m2

    dove y0 e x0 sono le coordinate del punto A.Dunque basta cercare i punti di massimo della funzione

    1

  • d = 12mqp1+m2

    = 78mp1+m2

    ottenuta tenendo conto della condizione (1)studiandone il segno della derivata

    d0=

    8p1+m2 (78m)2m2p1+m2

    1+m2

    Cos facendo si ottiene m = 87; q = 104

    7

    |||||||||||||||||{Matematica PNI - Soluzione quesito 4Di un tronco di piramide retta si sonoscono l'altezza h e i lati delle basi

    a e b.Si Cerca il volume V.Si ha per il volume di un tronco di piramide retto che il volume uguale aV = h

    3(A+ a+

    pA a)

    dove A e a sono le aree delle due basi, quindi nel nostro caso una sar a2

    e una b2

    ||||||||||||||{Matematica PNI - Soluzione quesito 5Se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura

    un corpo si allunga di una certa percentuale in tutte le le direzioni la suasupercie si accresce di proporzione doppia, per la legge di dilatazione lineare

    l = l0(1 + t)dove lambda il coeciente di dilatazione lineare, t la temperatura -

    nale del corpo (se supponiamo che parta da zero gradi centigradi (altrimentirappresenta la dierenza di temperatura), l la lunghezza nale ed l0 quellainiziale.

    Invece il suo volume accrescer in proporzione tripla per la legge di di-latazione termica cubica:

    V = a0(1 + t)bo(1 + t)co(1 + t) = V0(1 + 3t)dove a0; b0; c0 sono le dimensioni iniziali del corpo, e dove abbiamo trascu-

    rato 2 e 3.|||||||||||||||{Matematica PNI - Soluzione quesito 6Il numero pi piccolo che possiamo ottenere 1234567.Per ottenere il numero che occupa la settima posizione basta tener pre-

    sente che le permutazionipossibili delle ultime tre cifre (5, 6 e 7) sono 6.Quindi il numero immediatamente pi grande si otterr scambiando il postodel 4 e del 5 ed :

    1235467.Per quanto riguarda la 721 posizione teniamo presente che 6! = 720, e

    sarebbero tutte le permutazioni delle ultime sei cifre partendo sempre dal

    2

  • numero pi piccolo possibile 1234567.Quindi il numero che occupa la 721a posizione sar quello ottenuto inver-

    tendo l'1 ed il 2 e cio:2134567.|||||||||||||||||Matematica PNI - Soluzione quesito 7In un gruppo di 10 persone il 60probabilit che nessuna di essere abbia

    occhi azzurri?La risposta 13Infatti la probabilit che la prima persona considerata non

    abbia gli occhi azzurri :410

    essendo 4 le persone non dotate di occhi azzurri e 10 le persone totali.La probabilit che la seconda persona considerata non abbia gli occhi az-

    zurri :39

    Basta moltiplicare queste due probabilit ed otteniamo:430

    che corrisponde a 0,133333.|||||||||||||||||-Matematica PNI - Soluzione quesito 8Si mostri senza usare il Teorema di L'Hopital, che:limx!

    exp senxexp senx = 1

    Sappiamo dalla denizione di derivata che:f(x0)

    0 = limh!0f(x0+h)f(x0)

    h

    Quindi noi abbiamo la derivata della funzioneesenx

    nel punto x = Quindi basta calcolaref0() = esen cos = 1

    ||||||||||||||||{Matematica PNI - Soluzione quesito 9Gli irrazionali sono di pi dei razionali. La risposta deriva dal fatto che i

    numeri reali si possono vedere come unione di razionali e irrazionali. Poichsappiamo da Cantor che Q ed N sono equipotenti, mentre la potenza di R (lapotenza del continuo) superiore a quella di N, si ha come logica conseguenzache i numeri irrazionali devono essre di pi dei razionali perch valga:

    R = QSI.

    |||||||||||||||{

    3

  • Matematica PNI - Soluzione quesito 10Quesito 10Per stabilire per quali valori di K la funzione ammette due soluzioni reali

    e distinte nell'intervallo [0,3] ci rappresentiamo la funzionef(x) = x2(3 x)(A meno di eventuali essi il graco questo, non ci interessano).

    Dal graco notiamo che una la retta y=K avr due intersezioni distintecon la curva (appartenenti all'intervallo [0,3]) per valori di k che vanno da 0all'ordinata del massimo relativo (presente tra 0 e 3). Studiando la derivataprima della funzione troviamo il punto di massimo relativo x=2. Il massimosar M(2,4).

    Quindi per k appartenente all'intervallo [0,4).Posto k = 3 usiamo il metodo di bisezione per approssimare la maggiore

    delle radici della funzione:f(x) = x2(3 x) 3consideriamo che f(x) = 0 ha sicuramente la radice maggiore con x>2

    4

  • (punto di massimo relativo della funzione).Poniamo a0 = 2 e b0 = 3. Vediamo che f(2) = 1, ed f(3) = -3. Quando

    sono di segno oppostoconsideriamo an+1 =

    an+bn2

    ebn+1 = b

    n. (In caso contrario lascio inalterato a e modico b).Quindi la soluzione cercata sar sempre tra bn e an.an < x < bn.Quando an e bn cono uguali no alla seconda cifra decimale possiamo

    fermarci.Partendo da a0 = 2 e b0 = 3; no ad a4 = 11/4 e b4 = 45/16 troviamo

    2,75 < x < 2,81.

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