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Quarks & Leptons:An introductory Course in Modern Particle
Physics2018/5/16
subsection 2.1～2.4
Katsuya Sato
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
電子…spin↑(1/2)と↓(-1/2)の状態が存在
陽子(p)・中性子(n)…同じ核子、質量がほぼ等しい
→“核子”という粒子の状態という概念にする
=核子はp or nの状態をとる
→spinと同様にisospinという量子数を考えられる
電子のspinと核子のisospinの比較
名称 spin isospin
大きさ 𝑆 = 1/2 𝐼 = 1/2
磁気量子数 𝑀𝑆 = +1/2：↑ 𝐼3 = +1/2：p
𝑀𝑆 = +1/2：↓ 𝐼3 = +1/2：n
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
具体例：spin三重項(triplet)と一重項(singlet)
spinの場合
固有状態|𝑆,𝑀𝑆⟩1,1 =↑↑
1,0 =1
2(↑↓+↓↑)
1,−1 =↓↓
0,0 =1
2(↑↓−↓↑)
isospinの場合
固有状態|𝐼, 𝐼3⟩1,1 = 𝑝𝑝
1,0 =1
2(𝑝𝑛 + 𝑛𝑝)
1,−1 = 𝑛𝑛
0,0 =1
2(𝑝𝑛 − 𝑛𝑝)
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.1
角運動量の合成→ 𝑠1, 𝑚1 |𝑠2, 𝑚2⟩
spinに関する昇降演算子𝑆± = 𝑆1± + 𝑆2±
𝑆𝑖± 𝑠𝑗 , 𝑚𝑗 𝑠𝑘 , 𝑚𝑘 = 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑗 ∓𝑚𝑗 𝑠𝑗 ±𝑚𝑗 + 1 𝑠𝑗 , 𝑚𝑗 ± 1 𝑠𝑘 , 𝑚𝑘
𝑆± 𝑆,𝑀𝑆 = 𝑆 ∓𝑀𝑆 𝑆 ±𝑀𝑆 + 1 𝑆,𝑀𝑆 ± 1
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.1
・ 1,1 =1
2,1
2
1
2,1
2=↑↑
・𝑆− 1,1 = 1 + 1 1 − 1 + 1 1,1 − 1 = 2 1,0
・𝑆−1
2,1
2
1
2,1
2=
1
2+
1
2
1
2−
1
2+1
1
2,1
2−1
1
2,1
2+
1
2+
1
2
1
2−
1
2+1
1
2,1
2
1
2,1
2−1
.=1
2,1
2− 1
1
2,1
2+
1
2,1
2
1
2,1
2− 1 =↑↓+↓↑
∴ 1,0 =1
2(↑↓+↓↑)
・ 1,−1 =1
2, −
1
2
1
2, −
1
2=↓↓
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.1
・ 0,0 について0,0 = 𝑎 ↑↓ +𝑏 ↓↑
と書き、直交性の関係から
1,0 0,0 =1
2⟨↑↓ | + ⟨↓↑ | × (𝑎| ↑↓⟩ + 𝑏| ↓↑⟩) =
1
2(𝑎 + 𝑏) = 0
0,0 0,0 = 𝑎 2 + 𝑏 2 = 1∴ 𝑎 = 1, 𝑏 = −1
∴ 0,0 =1
2↑↓−↓↑
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.1
粒子の入れ替えに対して
1,1 =1
2,1
2
1
2,1
2=↑↑ →
1
2,1
2
1
2,1
2=↑↑= 1,1
1,0 =1
2↑↓+↓↑ =
1
2
1
2,1
2
1
2,−1
2+
1
2,−1
2
1
2,1
2→
1
2
1
2,−1
2
1
2,1
2+
1
2,1
2
1
2,−1
2=
1
2↑↓+↓↑ = 1,0
1, −1 =1
2, −
1
2
1
2, −
1
2=↓↓ →
1
2, −
1
2
1
2, −
1
2=↓↓= 1,−1
0,0 =1
2↑↓−↓↑ →
1
2−↑↓+↓↑ = − 0,0
1,1 , 1,0 , 1,−1 は対称的…Bose粒子(spinと統計性の関係)
1,1 は反対称的…Fermi粒子
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.2
Pauliの排他原理…複数個のFermi粒子は同一の量子状態をとることができない
Fermi粒子…spinがℏの半整数倍の粒子
e.g. quark, lepton, baryon(陽子、中性子)
Fermi粒子の場合、1回の粒子の入れ替えに対して(-1)の係数が伴う𝑃𝑖,𝑗𝜓 1,2,… , 𝑖, 𝑗, … = −1 𝜓 1,2,… , 𝑗, 𝑖, …
核子の系の状態が𝜓 = 𝜓𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝜓𝑠𝑝𝑖𝑛𝜓𝑖𝑠𝑜𝑠𝑝𝑖𝑛
で書け、今𝐿 = 0であるので𝜓𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒は粒子の入れ替えに対して係数は変化せず
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.2
同種2粒子系の場合
𝜓𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 1,2 = 𝜓𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 2,1 …対称
𝜓𝑠𝑝𝑖𝑛 1,2 = −1 𝑆+1𝜓𝑠𝑝𝑖𝑛 2,1 …反対称
𝜓𝑖𝑠𝑜𝑠𝑝𝑖𝑛 1,2 = −1 𝐼+1𝜓𝑖𝑠𝑜𝑠𝑝𝑖𝑛 2,1 …反対称
従って𝜓 1,2 = −1 𝑆+𝐼+2𝜓 2,1
核子はFermi粒子であるので𝜓 1,2 = −𝜓 2,1
故に
𝑆 + 𝐼 = 2𝑛 + 1；odd integer
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
核力におけるisospin不変性
・陽子と中性子の質量はほぼ同じ
・Einsteinのエネルギー公式：エネルギーと質量の等価
→isospin生成子とHamiltonianはほぼ交換可能
→ 𝐻𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔, 𝐼𝑎 ≃ 0
isospinの変換に対して核力が不変なのか？
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
具体例
質量数𝐴 = 6のHe, Li, Be
He…α+nn→|1, −1⟩
Li …α+np→1
2(|1,0⟩ + |0,0⟩)
Be…α+pp→|1,1⟩
α(𝐴 = 4He原子核)→𝐼=0
nn, np, pp部分の𝐼に依存
この理論通りに質量が観測された
(𝐼 = 1の部分において、
ppによる電磁相互作用, pnの質量差を考慮するとさらに綺麗に縮退していることがわかる)
核力のisospin不変性が成り立つ
SS2.1 Symmetries in Physics : An Example
Exercise2.3
状態|𝐼, 𝐼3⟩から状態|𝐼′, 𝐼3′ ⟩へ変化する際の散乱断面積は
𝜎~Σ𝐼 𝐼′, 𝐼3′ 𝐴 𝐼, 𝐼3
2
𝑝𝑝 = 1,1 , 𝑛𝑝 =1
2( 1,0 + |0,0⟩), 𝜋+𝑑 = |1, 𝐼3⟩, 𝜋
0𝑑 = |1, 𝐼3⟩ 𝐼3 = −1,0,1
𝜎 𝑝𝑝 → 𝜋+𝑑 ~ 1,1 𝐴 1,1 2 + 1,0 𝐴 1,1 2 + 1,−1 𝐴 1,1 2 = 𝐴 2
𝜎 𝑛𝑝 → 𝜋0𝑑 ~ ⟨1,1|𝐴
2(|1,0⟩+ 0,0 )
2+ ⟨1,0|
𝐴
2(|1,0⟩+ 0,0 )
2+ ⟨1,−1|
𝐴
2(|1,0⟩+ 0,0 )
2=
𝐴 2
2
∴𝜎 𝑝𝑝 → 𝜋+𝑑
𝜎 𝑛𝑝 → 𝜋0𝑑~2
𝜋+𝑑
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
・isospin→spin→全角運動量𝐽 ←rotationに対して不変
↳operationのひとつ
・rotation group…Lie group
↳任意のrotationは無限小のrotationで表される
・まずはrotation等のoperationについて
operationはその対称性によって定義の仕方で物理状態を変えないで場合がある
＝あるoperationはある物理系の遷移確率を不変に保つことができる
e.g. rotation(回転)…角運動量を保存
平行移動…運動量を保存
時間発展…エネルギーを保存
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
operationについて
“operationはある物理系の遷移確率を不変に保つことができる”
状態|𝜓⟩に対してrotation𝑅(operator𝑈)を作用させて状態|𝜓′⟩𝜓 → 𝜓′ = 𝑈|𝜓⟩
この物理系が、状態|𝜙⟩で観測される確率は
𝜙 𝜓 2 = 𝜙′ 𝜓′ 2 = 𝜙 𝑈†𝑈|𝜓2∴ 𝑈: UnitaryOperator
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
rotation
①軸を回転させ物理系を固定させる（受動的回転）
②軸を固定させ物理系を回転させる（能動的回転）
これらは
①で𝜃回転 ⇔ ②で−𝜃回転
の対応
このテキストでは②を採用
①
②
z軸について回転させた場合の①と②の比較
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
rotationのoperatorについてoriginalの位置𝑟,波動関数𝜓に対してrotation(by𝜃)したものを位置𝑟′,波動関数𝜓′
𝜓′(𝑟′) = 𝑈𝜓(𝑟′) , 𝑟′ = 𝑅𝑟 , 𝜓′ 𝑟′ = 𝜓 𝑟 = 𝜓(𝑅−1𝑟′)
・𝜓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝜓 𝑥′+𝜖𝑦′,𝑦′−𝜖𝑥′,𝑧′
=𝜓 𝑥′,𝑦′,𝑧′ +1
1!𝜖𝑦′
𝜕
𝜕𝑥′−𝜖𝑥′
𝜕
𝜕𝑦′𝜓 𝑥′,𝑦′,𝑧′ +
1
2!𝜖𝑦′
𝜕
𝜕𝑥′−𝜖𝑥′
𝜕
𝜕𝑦′
2
𝜓 𝑥′,𝑦′,𝑧′ +⋯
≃ 1−𝜖 𝜖𝑥′𝜕
𝜕𝑦′−𝜖𝑦′
𝜕
𝜕𝑥′𝜓 𝑟′
= 1−𝑖𝜖 𝑥′𝑝𝑦′ −𝑦′𝑝𝑥
′ 𝜓 𝑟′
𝐽3=𝑧:rotation生成演算子
∴ 𝑈 = 1 − 𝑖𝜖𝐽3
Δ𝑥 = 𝜖𝑦′
Δ𝑦 = −𝜖𝑥′
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
・rotation group…Lie group
↳任意のrotationは無限小のrotationで表される
角度𝜃だけ回転させるoperator𝑈(𝜃)はさきの無限小のrotationを無限回繰り返すことで表すことができる
無限小𝜖 → 𝜃/𝑁として
𝑈 𝜃 = lim𝑁→∞
1 − 𝑖𝜃
𝑁𝐽3
𝑁
= e−𝑖𝜃𝐽3
このrotation生成演算子𝐽3は𝐽𝑗 , 𝐽𝑘 = 𝑖휀𝑗𝑘𝑙𝐽𝑙
の関係がある
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.4
rotation operator 𝐽𝑘について
𝐽1 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦, 𝐽2 = 𝑧𝑝𝑥 − 𝑥𝑝𝑧, 𝐽3 = 𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥[𝐽1, 𝐽2] = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦 , 𝑧𝑝𝑥 − 𝑥𝑝𝑧
= 𝑦𝑝𝑧, 𝑧𝑝𝑥 − 𝑦𝑝𝑧, 𝑥𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦, 𝑧𝑝𝑥 + [𝑧𝑝𝑦, 𝑥𝑝𝑧]= 𝑦, 𝑧 𝑝𝑧𝑝𝑥 + 𝑧 𝑦, 𝑝𝑥 𝑝𝑧 + 𝑦 𝑝𝑧, 𝑧 𝑝𝑥 + 𝑦𝑧 𝑝𝑧, 𝑝𝑥 −⋯= 𝑦 𝑝𝑧, 𝑧 𝑝𝑥 − 0 − 0 + 𝑥 𝑧, 𝑝𝑧 𝑝𝑦= 𝑦 −𝑖 𝑝𝑥 + 𝑥 +𝑖 𝑝𝑦= 𝑖(𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥)= 𝑖𝐽3
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
𝑅𝑧 𝜃 =cos 𝜃 −sin 𝜃 0sin 𝜃 cos 𝜃 00 0 1
, 𝑅𝑥 𝜃 =1 0 00 cos 𝜃 −sin 𝜃0 sin 𝜃 cos 𝜃
, 𝑅𝑦(𝜃) =cos 𝜃 0 −sin 𝜃0 1 0sin 𝜃 0 cos 𝜃
cos 𝜃 ≃ 1 −𝜃2
2, sin 𝜃 ≃ 𝜃として𝑅𝑦 −𝜂 𝑅𝑥 −𝜖 𝑅𝑦 𝜂 𝑅𝑥 𝜖 を計算すると
1 −𝜖2𝜂2
2+𝜂4
4𝜖𝜂 −
𝜖3𝜂3
4−9
4𝜖2𝜂 +
3
8𝜖2𝜂3
−𝜖𝜂 1 −𝜖2𝜂2
2+𝜖4
4−𝜖𝜂2
2+𝜖3𝜂2
4𝜖2𝜂
2−𝜖2𝜂3
4
𝜖𝜂2
2+𝜖3𝜂2
4−𝜖3𝜂4
8+𝜖𝜂4
41 +
𝜖4
4+𝜂4
4+𝜖2𝜂4
4+𝜖4𝜂2
4+𝜖4𝜂4
4𝜖𝜂 = 𝜆として微小3次以上を無視すると
1 −𝜆2
2𝜆 0
−𝜆 1 −𝜆2
20
0 0 1
= 𝑅𝑧 −𝜆
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
ある任意の点𝑃0に対して𝑈𝑦 𝜂 𝑈𝑥 𝜖 をかけて回転移動させた点を𝑃1、𝑃1に対して𝑈𝑦 −𝜂 𝑈𝑥 −𝜖 をかけて回転させた点を𝑃2とする.また、𝑃0に対して𝑈𝑠かけて回転させると𝑃2であるようにする
𝑈𝑦 𝜂 𝑈𝑥 𝜖 𝑃0 = 𝑃1, 𝑈𝑦 −𝜂 𝑈𝑥 −𝜖 𝑃1 = 𝑃2, 𝑈𝑠𝑃0 = 𝑃2
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
rotation operator 𝐽𝑘について𝐽2 = 𝐽1
2 + 𝐽22 + 𝐽3
2
とすると𝐽2は各々のrotation operatorと可換でありCasimir operatorである𝐽2, 𝐽𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2,3
同時固有状態を|𝑗,𝑚⟩とすると
𝐽2 𝑗,𝑚 = 𝑗 𝑗 + 1 𝑗,𝑚 , 𝐽3 𝑗,𝑚 = 𝑚 𝑗,𝑚 𝑚 = −𝑗~𝑗
𝑈2 𝜃 𝑗,𝑚 = Σ𝑚′ 𝑗,𝑚′ 𝑈2 𝜃 𝑗𝑚 |𝑗,𝑚′⟩
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.5
仮定：𝐽2 𝑗,𝑚 = 𝑎 𝑗,𝑚 , 𝐽𝑧 𝑗,𝑚 = 𝑏|𝑗,𝑚⟩
・ 𝐽+, 𝐽− = 2𝐽𝑧, 𝐽𝑧, 𝐽± = ±𝐽±, 𝐽2, 𝐽± = 0
・𝐽𝑧𝐽± 𝑗,𝑚 = 𝐽𝑧, 𝐽± + 𝐽±𝐽𝑧 𝑗,𝑚 = ±𝐽± + 𝐽±𝐽𝑧 𝑗,𝑚 = 𝑏 + 1 |𝑗,𝑚⟩∴ 𝐽± 𝑗,𝑚 = 𝑐± 𝑗,𝑚 ± 1 …①
・ 𝑗,𝑚 𝐽+†𝐽+ 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝐽−𝐽+ 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝐽2−𝐽𝑧
2−𝐽𝑧 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝑎−𝑏2−𝑏 𝑗,𝑚∴ 𝑐+
2 = 𝑎−𝑏(𝑏+1)…②
・ 𝑗,𝑚 𝐽−†𝐽− 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝐽+𝐽− 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝐽2−𝐽𝑧
2+𝐽𝑧 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝑎−𝑏2+𝑏 𝑗,𝑚∴ 𝑐−
2 = 𝑎−𝑏(𝑏−1)…③
・ 𝑗,𝑚 𝐽𝑧2 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝐽2−𝐽𝑥
2−𝐽𝑦2 𝑗,𝑚 = 𝑗,𝑚 𝐽2 𝑗,𝑚 − 𝐽𝑥 𝑗,𝑚⟩|
2− 𝐽𝑦 𝑗,𝑚⟩|2 ≤ 𝑗,𝑚 𝐽2 𝑗,𝑚
∴𝑏2 ≤𝑎
𝑏にはとり得る値の制限がある→𝑏𝑚𝑎𝑥,𝑏𝑚𝑖𝑛とする
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.5
・𝐽𝑧 𝑗,𝑚𝑚𝑎𝑥 = 𝑏𝑚𝑎𝑥|𝑗,𝑚𝑚𝑖𝑛⟩, 𝐽𝑧 𝑗,𝑚𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑚𝑖𝑛|𝑗,𝑚𝑚𝑖𝑛⟩となる𝑚を仮定
①→𝐽+ 𝑗,𝑚𝑚𝑎𝑥 = 𝑐+ 𝑗,𝑚𝑚𝑎𝑥 + 1 → 0 ∴ ② → 𝑎 − 𝑏𝑚𝑎𝑥2 − 𝑏𝑚𝑎𝑥 = 0
①→𝐽− 𝑗,𝑚𝑚𝑖𝑛 = 𝑐− 𝑗,𝑚𝑚𝑖𝑛 − 1 → 0 ∴ ③ → 𝑎 − 𝑏𝑚𝑖𝑛2 + 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 0
𝑎 = 𝑏𝑚𝑎𝑥2 + 𝑏𝑚𝑎𝑥 = 𝑏𝑚𝑖𝑛
2 − 𝑏𝑚𝑖𝑛 ∴ 𝑏𝑚𝑖𝑛= −𝑏𝑚𝑎𝑥
・𝑏 → 𝑚, 𝑏𝑚𝑎𝑥 → 𝑗に書き換えて𝑎 − 𝑏𝑚𝑎𝑥2 − 𝑏𝑚𝑎𝑥 = 0及び①,②、①,③より
𝐽+ 𝑗,𝑚 = 𝑗(𝑗 +1)−𝑚 𝑚+1 𝑗,𝑚 + 1 …④
𝐽− 𝑗,𝑚 = 𝑗(𝑗 +1)−𝑚 𝑚−1 𝑗,𝑚 − 1 …⑤
SS2.2Symmetries and Groups : A Brief Introduction
Exercise2.5𝐽+𝐽− − 𝐽−𝐽+ 𝑗,𝑚
= 𝐽+ 𝑗 𝑗 + 1 − 𝑚 𝑚 − 1 𝑗,𝑚 − 1 − 𝐽− 𝑗 𝑗 + 1 𝑗 − 𝑚 + 1 𝑚 𝑗,𝑚 + 1
= 𝑗 𝑗 + 1 −𝑚 𝑚 − 12𝑗.𝑚 − 𝑗 𝑗 + 1 − 𝑚 + 1 𝑚
2𝑗,𝑚
= 2𝑚|𝑗,𝑚⟩∴ 𝐽𝑧 𝑗,𝑚 = 𝑚|𝑗,𝑚⟩
𝐽2 𝑗,𝑚 =1
2𝐽+𝐽− + 𝐽−𝐽+ + 𝐽𝑧
2 𝑗,𝑚
=1
2𝑗 𝑗 + 1 −𝑚 𝑚 − 1
2+ 𝑗 𝑗 + 1 − 𝑚 + 1 𝑚
2+𝑚2 |𝑗,𝑚⟩
= 𝑗 𝑗 + 1 |𝑗,𝑚⟩
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.6
𝑑𝑚′𝑚
1/2𝜃 = ⟨𝑗,𝑚′ e−𝑖𝜃𝐽2 𝑗,𝑚⟩
for𝑗 = 1/2
|𝑗,𝑚⟩を略して 𝑚 = + or|−⟩と記す
・𝐽+ + = 0, 𝐽+ − = + , 𝐽− + = − , 𝐽− − = 0
→ 𝐽+𝐽+, 𝐽−𝐽− = 0
・𝐽2 =1
2𝑖𝐽+ − 𝐽− → e−𝑖𝜃𝐽2 = Σ𝑘
−𝜃
2𝐽+−𝐽−
𝑘
𝑘!
・ 𝐽+ − 𝐽−2𝑛+1 = [ 𝐽+𝐽+ − 𝐽+𝐽− − 𝐽−𝐽+ + 𝐽−𝐽−
2]𝑛 𝐽+ − 𝐽−= −1 𝑛 𝐽+𝐽− + 𝐽−𝐽+
𝑛 𝐽+ − 𝐽−
元に戻る演算子
𝑓𝑘 𝜃
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.6
𝑘が奇数の場合…ket vectorの方は状態の±が入れ替わる(演算子𝐽𝑒𝑥𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒)+ 𝑓𝑘 𝜃 + , − 𝑓𝑘 𝜃 − = 0
𝑘が奇数の場合Σ𝑓𝑘 𝜃 =−𝜃/2 1
1!𝐽𝑒𝑥𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 −
−𝜃/2 3
3!𝐽𝑒𝑥𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒+
−𝜃/2 5
5!𝐽𝑒𝑥𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 −⋯
𝑘が偶数の場合… ket vectorの方は状態は入れ替わらない+ 𝑓𝑘 𝜃 − , − 𝑓𝑘 𝜃 + = 0
𝑘が偶数の場合Σ𝑓𝑘 𝜃 =−𝜃/2 0
0!−
−𝜃/2 2
2!+
−𝜃/2 4
4!−⋯
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.6
+ e−𝑖𝜃𝐽2 + = +−𝜃/2 0
0!−
−𝜃/2 2
2!+
−𝜃/2 4
4!− ⋯ + = cos
−𝜃
2= cos
𝜃
2
− e−𝑖𝜃𝐽2 − = −−𝜃/2 0
0!−
−𝜃/2 2
2!+
−𝜃/2 4
4!−⋯ − = cos
−𝜃
2= cos
𝜃
2
− e−𝑖𝜃𝐽2 + = − −−𝜃/2 1
1!−
−𝜃/2 3
3!+
−𝜃/2 5
5!… 𝐽𝑒𝑥 + = −sin
−𝜃
2= sin
𝜃
2
+ e−𝑖𝜃𝐽2 − = +−𝜃/2 1
1!−
−𝜃/2 3
3!+
−𝜃/2 5
5!… 𝐽𝑒𝑥 − = sin
−𝜃
2= −sin
𝜃
2
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.6
𝑑𝑚′𝑚
1/2𝜃 = 𝑗,𝑚′ e−𝑖𝜃𝐽2 𝑗,𝑚 , 𝑓𝑘 =
−𝜃2
𝐽+ − 𝐽−
𝑘
𝑘!for𝑗 = 1
𝑚 = 1,0,−1の状態を +1 , 0 , −1 と表す
𝐽+ −1 = 2 0 , 𝐽+ 0 = 2 +1 , 𝐽+ +1 = 0
𝐽− −1 = 0, 𝐽−|0⟩ = 2 −1 , 𝐽− +1 = 2|0⟩
𝐽+ − 𝐽−𝑘 → 𝐽+と𝐽−の順列で表され、各々の数を𝑛+, 𝑛−で表す
𝐽+𝐽− または(𝐽−𝐽+)の組みを ± で表す
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
Exercise2.6
・𝑑00について
𝑘は偶数𝑘 = 2𝑛で𝑛+ = 𝑛𝑦 = 𝑛である必要がある(𝑛 = 0,1,2, …)
𝐽+ +1 = 0, 𝐽− −1 = 0なので𝑓𝑘の 𝐽+ − 𝐽−𝑘で0にならない𝐽+, 𝐽−の順列は
± ± … ±
𝑛− = 𝑛個 → −1 𝑛, ± …𝑛個,[±]の選び方…2通り,演算子が掛かる度に 2倍される
→ 𝑓𝑘 = −1 𝑛−𝜃2
2𝑛
2𝑛 !2𝑛 × 2
2𝑛0 ⟨0| = −1 𝑛
−𝜃 2𝑛
2𝑛 !0 0 for 𝑛 = 0,1,2, …
∴ 𝑑00 = 0 Σ𝑘𝑓𝑘 0 = 0 Σ𝑛 −1 𝑛−𝜃 2𝑛
2𝑛 !0 0 0 = 1 −
−𝜃 2
2!+
−𝜃 4
4!− ⋯
= cos −𝜃 = cos 𝜃
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
・𝑑11, 𝑑−1−1について
𝑑11は𝐽+, 𝐽−の並び方が次の場合だけ0以外の値になる𝐽+ ± ± … ± 𝐽−
𝑘は偶数𝑘 = 2𝑛 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑛+ = 𝑛− = 𝑛, [±]は𝑛 − 1個→ 𝑛 ≥ 1
→ 𝑓𝑘 = −1 𝑛−𝜃2
2𝑛
2𝑛 !2𝑛−1 × 2
2𝑛0 ⟨0| =
1
2−1 𝑛
−𝜃 2𝑛
2𝑛 !0 0 for 𝑛 = 1,2, …
𝑛 = 0の時は0 1 0 = 1
∴ 𝑑11 = 0 1 + Σ𝑛≥11
2−1 𝑛
−𝜃 2𝑛
2𝑛 !0 0 0 = 1 +
1
2−
−𝜃 2
2!+
−𝜃 4
4!−⋯
= 1 +1
2−1 + cos −𝜃 =
1
21 + cos 𝜃
𝑑−1−1は、𝑑11の𝐽+, 𝐽−の並び方で±符号を反転しただけなので実質同じなので𝑑−1−1 = 𝑑11
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
・𝑑−11の場合
𝑑11の𝐽+,−の並び方で、一番左の𝐽+を𝐽−を入れ替えた𝐽+ ± ± … ± 𝐽− → 𝐽− ± ± … ± 𝐽−
を考える
この時、 𝑘は偶数𝑘 = 2𝑛 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑛+ = 𝑛 − 1, 𝑛− = 𝑛 + 1, [±]は𝑛 − 1個
これは𝑑11の𝑓𝑘で、𝑛 = 1,2, …の符号が変わることと同じなので
𝑑−11 = 0 1 − Σ𝑛≥11
2−1 𝑛
−𝜃 2𝑛
2𝑛 !0 0 0 = 1 −
1
2−
−𝜃 2
2!+
−𝜃 4
4!− ⋯
= 1 −1
2−1 + cos −𝜃 =¥frac{1}{2} 1 − cos 𝜃
・𝑑1−1の場合
𝑑−1−1の時と同様にして𝑑1−1 = 𝑑−11
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
・𝑑10について
𝑘は奇数𝑘 = 2𝑛 + 1(𝑛 = 0,1,2, …)で、𝐽±は以下のような並び方になる± ± … ± 𝐽+
𝑘 = 2𝑛 + 1, 𝑛− = 𝑛, ± …𝑛個であるので𝑓𝑘は
𝑓𝑘 = −1 𝑛−𝜃2
2𝑛+1
2𝑛 + 1 !2𝑛 × 2
2𝑛+11 ⟨0| =
1
2−1 𝑛
−𝜃 2𝑛+1
2𝑛 + 1 !1 0 for 𝑛 = 0,1,2, …
従って
𝑑10 = 11
2−1 𝑛
−𝜃 2𝑛+1
2𝑛 + 1 !1 0 0 =
1
2
−𝜃
1!−
−𝜃 3
3!+
−𝜃 5
5!−⋯
=1
2sin(−𝜃) = −
1
2sin 𝜃
・𝑑0−1は𝑑10と同じで、𝑑01, 𝑑−10は −1 𝑛 → −1 𝑛+1となり符号が変わる。すなわち𝑑10 = 𝑑0−1 = −𝑑01= −𝑑−10
SS2.2 Symmetries and Groups: A Brief Introduction
以上をまとめて
𝑗 = 1の場合
𝑑00 = cos 𝜃
𝑑11 = 𝑑−1−1 =1
21 + cos 𝜃
𝑑−11 = 𝑑1−1 =1
21 − cos 𝜃
𝑑01 = −𝑑10 = −𝑑0−1 = 𝑑−10 =1
2sin 𝜃
SS2.3 The Group SU(2)
𝑗 = 1/2の場合1
2, +
1
2=
10
,1
2, −
1
2=
01
と書ける
𝐽𝑥 =𝐽+ + 𝐽−
2, 𝐽− =
𝐽+ − 𝐽−2𝑖
, 𝐽± ∓ = ± , 𝐽± ± = 0, 𝐽𝑧 ± = ±|±⟩
𝐽+1 00 1
=0 10 0
, 𝐽−1 00 1
=1 00 0
, 𝐽𝑧1 00 1
=1
21 00 − 1
∴ 𝐽𝑥=1 =1
20 11 0
, 𝐽𝑦=2 =1
20 − 𝑖𝑖 0
, 𝐽𝑧=3 =1
21 00 − 1
generator𝐽𝑖はPauli行列𝜎𝑖を用いて
𝐽𝑖 =1
2𝜎𝑖, 𝜎1 =
0 11 0
, 𝜎2 =0 − 𝑖𝑖 0
, 𝜎3 =1 00 − 1
SS2.3 The Group SU(2)
generator𝐽𝑖はPauli行列𝜎𝑖を用いて
𝐽𝑖 =1
2𝜎𝑖, 𝜎1 =
0 11 0
, 𝜎2 =0 − 𝑖𝑖 0
, 𝜎3 =1 00 − 1
→ 𝑈 𝜃𝑖 = e−𝑖𝜃𝑖𝜎𝑖/2
この時Tr 𝜎 = Tr 𝜎1 + Tr 𝜎2 + Tr 𝜎3 = 0 + 0 + 1 − 1 = 0
det e𝑖𝜎 = e𝑖Tr 𝜎 = 1
U(2)…2次元Unitary行列をなす群 𝑈∗𝑈 = 𝑈𝑈∗ = 𝐼
SU(2)…Special Unitary Group : U(2)の中で行列式が1のUnitary行列をなす群
𝑈 = 𝑎 − ത𝑏𝑏 ത𝑎
SU(2)はgenerator𝐽𝑖と同じような代数に従う
SU(2)の1,2,3,…次元はそれぞれ𝑗 = 0,1
2, 1,…に対応する
SS2.3 The Group SU(2)
Exercise2.7
Exercise2.6の結果より
𝑑𝑚′𝑚
𝑗=1/2= 𝑚′ e−𝑖𝜃𝐽2 𝑚 =
𝑑++ 𝑑+−𝑑−+ 𝑑−−
=cos
𝜃
2−sin
𝜃
2
sin𝜃
2cos
𝜃
2
𝑚′ e−𝑖𝜃𝐽2 𝑚 = 𝑚′ e−𝑖𝜃𝜎2/2 𝑚 =1 00 1
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
1 00 1
=𝑎 𝑏𝑐 𝑑
∴ e−𝑖𝜃𝜎2/2 =cos
𝜃
2−sin
𝜃
2
sin𝜃
2cos
𝜃
2
= cos𝜃
2− 𝑖𝜎2 sin
𝜃
2
SS2.4 Combining Representation
2粒子系について
角運動量𝑗𝐴, 𝑗𝐵の合成系を 𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 ≡ |𝑗𝐴𝑚𝐴⟩|𝑗𝐵𝑚𝐵⟩と書き、
合成operatorを𝐽 = 𝐽𝐴 + 𝐽𝐵とする( 𝐽𝑗 , 𝐽𝑘 = 𝑖𝜖𝑗𝑘𝑙𝐽𝑙を満たす)
この時𝐽 𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 = 𝐽 𝐽 + 1 𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 , 𝐽3 𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 = 𝑀 𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵
𝐽 = 𝑗𝐴 − 𝑗𝐵 , 𝐽𝐴 − 𝑗𝐵 + 1,… , 𝑗𝐴 + 𝑗𝐵, 𝑀 = 𝑚𝐴 +𝑀𝐵
全角運動量の固有状態は基底の完全性を使って展開できる𝑗𝐴𝑗𝐵𝐽𝑀 = Σ𝑚𝐴
Σ𝑚𝐵𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 ⟨𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 𝐽𝑀 = Σ𝑚𝐴
Σ𝑚𝐵𝐶 𝑚𝐴𝑚𝐵; 𝐽𝑀 𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵
𝐶 𝑚𝐴𝑚𝐵; 𝐽𝑀 = ⟨𝑗𝐴𝑗𝐵𝑚𝐴𝑚𝐵 𝐽𝑀 :Clebsch-Gordan係数
SS2.4 Combining Representation
spin1
2の2つの粒子 → spin𝐽 = 1,0の合成表示で書ける
𝑗𝐴 = ±1
2, 𝑗𝐵 = ±
1
2の2 × 2通り 𝐽 = 1…三重項, 𝐽 = 0…一重項
2⊗ 2 3⊕ 1
spin1
2の3つの粒子系
2⊗ 2⊗ 2 = 3⊕ 1 ⊗ 2= 3⊗ 2 ⊕ 1⊗ 2= 4⊕ 2⊕ 2
実際、𝐿 =3
2…𝑀 =
3
2,1
2, −
1
2, −
3
2
𝐿 =1
2…𝑀 =
1
2, −
1
2(縮退)
