Quadro di riferimento delle prove Invalsi di Matematica · 3 Quadro di Riferimento delle prove INVALSI di Matematica Documento pubblicato il 30.08.2018 scelte didattiche. E ± proprio

QUADRODIRIFERIMENTODELLEPROVEDIINVALSIMATEMATICA

1. AchisirivolgeilQuadrodiRiferimento......................................................................................................2

2. Lefinalitaistituzionalieildisegnodellarilevazione.............................................................................4

3. Qualematematica:IndicazioninazionalieLineeGuida.......................................................................6

3.1LeIndicazioniperlascuoladell'infanziaedelprimociclodiistruzione...................................6

3.2.LeIndicazioniperlascuolasecondariadisecondogrado...............................................................8

3.3.LacontinuitanelleindicazionipericurricolienellacostruzionedelleproveINVALSI.....9

3.4.LeproveINVALSIelecompetenzematematiche..............................................................................11

4. Lastrutturadelleprove...................................................................................................................................14

4.1Lecaratteristichegeneralidelleproveeletipologiedelledomande........................................14

4.2Laproduzionedelledomandeedelleprove........................................................................................16

5.LeproveINVALSInelpanoramainternazionale........................................................................................20

AllegatoA‐TraguardieDimensioni....................................................................................................................23

AllegatoB‐Esempididomande...........................................................................................................................29

2 QuadrodiRiferimentodelleproveINVALSI diMatematicaDocumentopubblicatoil30.08.2018

1. AchisirivolgeilQuadrodiRiferimento.

QuestodocumentopresentailQuadrodiRiferimento(QdR)perlacostruzionedelleprovedimatematicaperilsistemadelleRilevazioniNazionalidell’INVALSI.

IlQdResplicitaiprincipalipuntidiriferimentoconcettuali,icollegamenticonleindicazionidi legge, le idee chiave che guidano la progettazione delle prove e alcune informazionisull’evoluzione degli strumenti messi in campo negli anni per migliorare il sistema delleRilevazioniNazionali.

Aquestopropositovaricordatochesitrattadiunquadrodiriferimentoperlavalutazioneenon per i curricoli, e quindi va collegato al quadro generale nel quale sono formulate leindicazioni per i curricoli della scuola italiana, che a loro volta hanno subito in questi anniun’evoluzionechelehaportateall’attualesistemazioneorganica.

IlQdR,coerentementeconilsistemadelleIndicazionidileggecheattraversovaridocumentiorientanoicurricoli, epensato inun’otticadistrettacontinuita tra leproveper leclassidelprimociclodiistruzione(classisecondaequintaprimariaeterzasecondariadiprimogrado)ele prove per le classi del secondo ciclo (classi seconda e quinta della scuola secondaria disecondogrado).

IlQdR epensato, inprimo luogo,peraiutaregli attoridel sistemascolastico (insegnanti,dirigenti,famiglie)ainterpretareirisultatiottenutidallesingolescuoleodallesingoleclassinelleprovedelleRilevazioniNazionali.Lacomparazionedeirisultatidelleproprieclassiodellapropria istituzionescolasticacongliesiticomplessividelleprove, interpretatialla lucedellaconoscenzadelcontestospecificoincuilapropriascuolaopera,puoservireperindividuareipunti di forza e di debolezza del percorso effettivamente realizzato in classe e delle sceltedidattiche effettuate; puo inoltre aiutare il coordinamento della progettazione didatticaall’internodellesingoleistituzioniscolastiche.

IlQdRpuoessereadoperatodairesponsabiliaidiversilivelli(Ministerodell’Istruzione,UfficiScolasticiRegionali,Dirigentiscolastici)comestrumentoperinterpretareirisultatidelsistemanel suo complesso, per poter adottare opportune strategie di intervento, per esempiorelativamenteallapredisposizionedi attivitaparticolaridi recuperoo rafforzamentoperglistudentiodipianidiformazioneinservizioperidocenti.

Il QdR, inoltre, puo offrire agli studenti e alle famiglie informazioni utili per capire ilsignificatodellavalutazionecomemomentocrucialedelpercorsoscolasticoecomemomentodiverificadelsistema.

IlQdRsirivolgeinfineallepersonechepropongonoiquesitieaigruppidilavorocheadiversilivellilielaborano,neseguonoipretestsulcampoesullabasedeirisultatidiessicompongonole prove. Indica i vari aspetti dell’apprendimentoda valutare e stabilisce un equilibrio tra idiversiambiti.Equindiunostrumentofondamentalenellafasepreparatoriadelleprove.

Tutte queste osservazioni portano a riflettere sull’importante effetto di ricaduta che ilcomplessodelleprovedelleRilevazioniNazionalihasull’interosistemascolasticoesullesue


scelte didattiche. E proprio in questo senso che un’attenta analisi dei risultati delle provesomministrate potra contribuire a fornire una guida per il miglioramento dell’offerta delsistemadiistruzionenelsuocomplessoediogniistituzionescolastica.

Finoal2017leprovesonostatetuttesomministrateinformatocartaceo,mentredal2018leprovedellascuolasecondariadiprimoesecondogradosonocomputerbased(identificateperbrevitadall’acronimoCBT,computerbasedtest)comeprevistodallanuovanormativa.Aspettispecifici della prova CBTdella classe quinta della scuola secondaria di secondo grado sonocontenutiinunappositodocumento:“LaprovaINVALSIdiMatematicaalterminedelsecondociclo di istruzione”, disponibile sul sito dell’INVALSI (https://invalsi‐areaprove.cineca.it/index.php?get=static&pag=materiale_informativo_sec_secondo_grado).


2. Lefinalitàistituzionalieildisegnodellarilevazione1

IlDecretolegislativon.62del13aprile2017(D.Lgs.n.62/2017)haintrodottoimportanticambiamenti nella valutazione degli studenti, coinvolgendo anche le prove INVALSI emodificandoneinpartel’impiantoelarelazionecongliesamidiStatoconclusividelprimoedelsecondociclod’istruzione.

Dall’anno scolastico 2017‐18 la prova dell’ultimo anno della scuola secondaria di primogrado(Grado82)nonfapiupartedell’esamediStatosuperandoilproblemadell’incidenzadelsuoesitosulvotofinaledell’allievo.Losvolgimentodellaprovaavvienenelmesediaprileederequisitoperl’ammissioneall’esamediStato.Ilsuoesitoeespressomedianteundescrittorequalitativo suuna scala crescentedi risultato (da livello1 a livello5)3 che e riportatonellacertificazione delle competenze dello studente. Si tratta di un’innovazione che consente didescrivereilrisultatodellaprovadiMatematicainterminidicompetenzeraggiuntedalsingoloallievo,conunadescrizionedichecosaeingradodifarerispettoaiTraguardidelleIndicazioninazionali4.Questasoluzioneconsenteallescuole,aglistudentieallefamigliediconoscereinmododirettoecomparabilequaleillivellodicompetenzaraggiuntodaciascunostudente.Cioavviene,pero,senzacreareinterferenzeconlavalutazionediscuolachedevetenerecontodielementichenonsonoosservabilimedianteunaprovastandardizzata.

L’impostazionenormativadellaprovaINVALSIdiMatematicaperl’ultimoannodellascuolasecondariadisecondogrado(Grado13) edel tuttosimileaquellodella terzasecondariadiprimogrado.LaprovadiMatematicadelGrado13eintrodottaapartiredall’a.s.2018‐19.

IlD.Lgs.n.62/2017stabiliscecheleprovedellascuolasecondaria(Grado8,10e13)sonocomputer based (CBT). La modalita di svolgimento determina anche un cambiamentodell’impianto delle prove: non piu lineari, cioe formate dalle stesse domande per tutti glistudenti,macompostedauncertonumerodiquesitidifferentiprovenientidaun’unicabancadidomande.Ogniprovaformatainquestomodocondivideconlealtrelastessadifficoltamediaelestessecaratteristichedicontenutieditipologiadiquesiti.Questodisegnoconsenteinoltrediintrodurre,entrocertilimiti,deglielementididifferenziazione,purmantenendol’unitarietadellaprova. In talmodo epossibile introdurrequesitimaggiormenteappropriatiperalcunefiliere specifichedell’istruzioneedella formazione secondariadi secondogrado, senzaperoperdereilvantaggiodirisultatifornitisuunascalaunica,quindidirettamentecomparabili.

L’art.4delD.Lgs.n.62/2017confermainoltrelapresenzadellaprovadiMatematicanelleclassi seconda e quinta primaria, realizzate in coerenza con le Indicazioni nazionali per ilcurricolo.

1Perunavisionecompletadellanormativadiriferimentosipuofareriferimentoaquestolinkhttp://www.INVALSI.it/INVALSI/istituto.php?page=normativa2Inquestodocumento,seguendol’usointernazionale,siindicacon“grado”(grade)l’annodiscolaritaapartiredallaprimaclassedellascuolaprimaria(grado1)3Idescrittorianaliticiesinteticisonoscaricabilida:https://invalsi‐areaprove.cineca.it/index.php?get=static&pag=Certificazione_competenze_Scuola_sec_primo_grado4http://www.indicazioninazionali.it/documenti_Indicazioni_nazionali/Indicazioni_Annali_Definitivo.pdf


LaFigura1schematizzaildisegnodellerilevazioniINVALSI,apartiredallalorointroduzioneavvenutainformaordinariadall’a.s.2007‐08.

Figura1:IldisegnodellerilevazioniINVALSI

Infine, ma non da ultimo, il D. Lgs. 62/2017 richiama esplicitamente il D.P.R. 80/2013,istitutivodelSistemaNazionalediValutazione,ribadendoilruolofondamentaledelleprovenelpiu ampio contesto dell’intero processo di valutazione e autovalutazione delle scuole e delsistemaeducativo.

L’inquadramentonormativodelleproveINVALSI,cosıcomeessesonostaterecentementeridisegnate,permettedi cogliere l’importanteruoloattribuitodal legislatorealla rilevazionedellecompetenzedibase,tralequaliquellematematicherivestonounruolofondamentale.

A.S. 2007‐08 A.S. 2008‐09 A.S. 2009‐10 A.S. 2010‐11 A.S. 2011‐12 A.S. 2012‐13 A.S. 2013‐14 A.S. 2014‐15 A.S. 2015‐16 A.S. 2016‐17 A.S. 2017‐18 A.S. 2018‐19GRADO 2GRADO 5GRADO 6GRADO 8 CBT CBT

GRADO 10 CBT CBT

GRADO 13 CBT


3. Qualematematica:IndicazioninazionalieLineeGuida

Le Indicazioni nazionali di ogni grado scolare richiamano piu volte, piu o menoesplicitamente,ilfattochelaMatematica,comedisciplina,coinvolgedueaspetti,strettamentecollegatitraloro:

unorivoltoallamodellizzazioneealleapplicazioniperleggere,interpretarelarealtaerisolvereproblemidellavitadituttiigiorni;

l’altro rivolto allo sviluppo interno, alla riflessione e alle speculazioni sugli stessiprodotticulturalidell’attivitamatematica.

Inoltre, nei vari gradi scolari compare il suggerimento di far riferimento a campi diesperienzadeglistudentiperdaresignificatoaglioggettimatematici.

Di tutto cio e quindi necessario tenere conto nella didattica della Matematica e nellavalutazionedeiprocessidiinsegnamento‐apprendimentoaognigradoscolare.

3.1LeIndicazioniperlascuoladell'infanziaedelprimociclodiistruzione

Nelle Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo diistruzione del 2012 e nelle Indicazioni nazionali e nuovi scenari del 20175 si dedica moltaattenzioneallaMatematicacomestrumentoperoperarenellarealtaesiinvitaesplicitamenteaevitarediridurreleconoscenzematematicheauninsiemediregoledaapplicareperrisolvereproblemistandardizzati.

PerquelcheriguardaleIndicazioninazionaliperilcurricolodellascuoladell’infanziaedelprimociclodiistruzionedel2012,nelparagrafoLaconoscenzadelmondo,specificoperlascuoladell'infanzia,sihaunesempiodicomeilriferimentoaesperienzeconcretepossacostituireunveicoloprivilegiatoper la formazionedei concettimatematicidibase: “Ibambini esploranocontinuamente la realta e imparano a riflettere sulle proprie esperienze descrivendole,rappresentandole,riorganizzandolecondiversicriteri.Pongonocosı lebasiperlasuccessivaelaborazionediconcettiscientificiematematicicheverrannopropostinellascuolaprimaria”.

Nella sezioneProfilodelle competenzeal terminedelprimo ciclodi istruzione si legge, inrelazione alle competenze che deve possedere uno studente che completa il primo ciclo diistruzione: “Le sue conoscenze matematiche e scientifico‐tecnologiche gli consentono dianalizzare dati e fatti della realta e di verificare l’attendibilita delle analisi quantitative estatistiche proposte da altri. Il possesso di un pensiero razionale gli consente di affrontareproblemi e situazioni sulla base di elementi certi e di avere consapevolezza dei limiti delleaffermazionicheriguardanoquestionicomplessechenonsiprestanoaspiegazioniunivoche”.

Nella sezione dedicata alle differenti discipline, alla voce Matematica, si scrive “Leconoscenze matematiche contribuiscono alla formazione culturale delle persone e dellecomunita, sviluppando le capacita di mettere in stretto rapporto il «pensare» e il «fare» e

5http://www.miur.gov.it/documents/20182/0/Indicazioni+nazionali+e+nuovi+scenari/


offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali,concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani. In particolare, la matematica dàstrumentiper la descrizione scientificadelmondoeper affrontareproblemi utili nella vitaquotidiana;contribuisceasvilupparelacapacitàdicomunicareediscutere,diargomentareinmodocorretto,dicomprendereipuntidivistaeleargomentazionideglialtri”.

Inoltre,semprenellastessasezione,sidicechealterminedelprimociclodiistruzione“ediestrema importanza lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica non ridotta a uninsiemediregoledamemorizzareeapplicare,mariconosciutaeapprezzatacomecontestoperaffrontareeporsiproblemisignificativieperesplorareepercepirerelazioniestrutturechesiritrovanoericorronoinnaturaenellecreazionidell’uomo”.

Piuavanti,neiTraguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolaprimariaescrittochelostudente“Sviluppaunatteggiamentopositivorispettoallamatematica,attraversoesperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che haimparato a utilizzare siano utili per operare nella realta”, affermazione che viene ripetuta,rafforzandola,neiTraguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolasecondariadiprimogrado:“Harafforzatounatteggiamentopositivorispettoallamatematica,attraversoesperienzesignificativeehacapitocomeglistrumentimatematiciappresisianoutiliinmoltesituazioniperoperarenellarealta”.

Per quel che riguarda le Indicazioni nazionali e nuovi scenari del 2017, nel paragrafo Ilpensieromatematicosiponeinparticolarel’attenzionesullastatistica“comedisciplinachesiserve della matematica per spiegare fenomeni e tendenze della natura, del mondo e dellasocieta [e che]puo essereutilizzata […]per avvicinaregli alunniallamatematicaealla suapotentecapacitadispiegareeinterpretareilmondo,conspiritocriticoeconilsupportodidatialle opinioni”. Nello stesso paragrafo, piu avanti, si fa riferimento alla matematica comedisciplina che permette di sviluppare competenze trasversali, in particolare quelleargomentative che inevitabilmente richiedono il riferimento, sempre piu consapevole edesplicito,conilprogrediredelpercorsoscolasticodellostudente,aunadimensioneteoricadelladisciplina: “Tali competenze sono rilevanti per la formazione di una cittadinanza attiva econsapevole, in cui ogni persona e disponibile all’ascolto attento e critico dell’altro e a unconfrontobasatosulriferimentoadargomentipertinentierilevanti.Inparticolarel’educazioneall’argomentazione puo costituire un antidoto contro il proliferare d’informazioni false oincontrollate”.

Infine le Indicazioninazionalienuovi scenari richiamano l’importanzadel Laboratorio diMatematica, gia esplicitamente dichiarata nelle Indicazioni del 2012: “Inmatematica, comenellealtredisciplinescientifiche,eelementofondamentaleillaboratorio[…]comemomentoincui l’alunno e attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta esperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, […] costruisce significati”. Le IndicazionisuggerisconoquindicheilLaboratoriosiaunambientediinsegnamento–apprendimentoincui possano concretizzarsi, a scuola, i due aspetti dellaMatematica come disciplina, quellorivoltoalleapplicazioniequellopiuattentoaglisviluppiteorici.


3.2.LeIndicazioniperlascuolasecondariadisecondogrado

AnchenelleIndicazioninazionaliperiLiceiidiversiaspettilegatiallamatematicaeallesueapplicazioni sono chiaramente ed esplicitamente richiamati nella sezione Linee generali ecompetenze:“lostudenteconosceraiconcettieimetodielementaridellamatematica,siainternialla disciplina in se considerata, sia rilevanti per la descrizione e la previsione di semplicifenomeni,inparticolaredelmondofisico”.Analogamente,nelleLineeGuidapergliIstitutitecnicie professionali, nel paragrafo relativo al primo biennio, Il raccordo tra l’area di istruzionegeneraleel’areadiindirizzo,siaccennaaquestiaspetti,purseinmodonondeltuttoesplicito:“L’assematematicogarantiscel’acquisizionedisaperiecompetenzechepongonolostudentenelle condizioni di possedere una corretta capacita di giudizio e di sapersi orientareconsapevolmente nei diversi contesti del mondo contemporaneo. Al termine dell’obbligod’istruzione,glistudentiacquisisconoleabilitanecessarieperapplicareiprincipieiprocessimatematicidibasenelcontestoquotidianodellasferadomestica,noncheperseguireevagliarelacoerenzalogicadelleargomentazioniproprieedaltrui”.Piuavanti,nelladeclinazionedegliobiettivispecificidisciplinaridelbiennio,allasezioneMatematica,siprecisa:“Nellasceltadeiproblemi, e opportuno fare riferimento sia adaspetti interni allamatematica, sia adaspettispecifici collegatiadambiti scientifici (economico, sociale, tecnologico)o,piu ingenerale,almondoreale”.

Anchenel trienniodelleLineeGuidapergli Istituti tecnicieprofessionali, nelparagrafo Ilraccordo tra ledisciplinedell’areageneraleedelleareedi indirizzo, si legge: “Lecompetenzematematico‐scientifiche contribuiscono alla comprensione critica della dimensione teorico‐culturaledeisaperiedelleconoscenzepropriedelpensieromatematicoescientifico.Lostudiodellamatematicapermettediutilizzarelinguaggispecificiperlarappresentazioneesoluzionedi problemi scientifici, economici e tecnologici e stimola gli studenti a individuare leinterconnessioni tra i saperi inquantopermettedi riconoscere imomenti significativinellastoria del pensiero matematico”. Analogamente, nella declinazione degli obiettivi specificidisciplinarideltriennio,allasezioneMatematica,siprecisa:“IldocentediMatematicaconcorreafarconseguire,alterminedelpercorsoquinquennale,iseguentirisultatidiapprendimentorelativialprofiloeducativo,culturaleeprofessionale:padroneggiareil linguaggioformaleeiprocedimentidimostratividellamatematica;possedereglistrumentimatematici,statisticiedelcalcolodelleprobabilitanecessariperlacomprensionedelledisciplinescientificheeperpoteroperarenelcampodellescienzeapplicate;collocare ilpensieromatematicoescientificoneigranditemidellosviluppodellastoriadelleidee,dellacultura,dellescopertescientificheedelleinvenzionitecnologiche”.

In tutti gliordinie i gradidi istruzionevi equindiunriferimentopiuomenoesplicitoa

considerare i campi di esperienza degli studenti che possono coinvolgere, soprattutto conl’avanzaredeigradidiistruzione,anchecontestiscolasticieprofessionali,comeoccasioneperla costruzione di significato degli oggetti matematici e, al tempo stesso, a considerare lamatematicasiacomestrumentoutilenellavitaconcretasiacomeunprodottoculturalecheriguardalespeculazionipiuliberedellospiritoumano.Diconseguenzaemergeun’immaginedella disciplina ben lontanada quella di insiemedi tecniche e regole fini a se stesse o utiliesclusivamenteasuccessivisviluppiinterni.Leindicazionicurricolariinvitanochiinsegnaadaiutareglistudentiadacquisireconsapevolezzadell’importanzadellerelazionitraMatematica


erealta,inmodocheemergaun’immaginedellaMatematicacomedisciplinanonsolodotatadiforteunita,maanchecomeretediprodotticulturaligeneratidaun’attivitadell’intellettoumanoinognitempoeinognicivilta.

3.3.LacontinuitànelleindicazionipericurricolienellacostruzionedelleproveINVALSI

Questoquadrodiriferimento,all’internodelqualesiesplicitanoleindicazionidileggepertuttiigradiscolastici,eallabasedeldisegnodelleprovedelsistemadelleRilevazioniNazionalidell’INVALSIenecostituisceilfondamentoconcettualeeoperativo.

Oltrealleconsiderazionigeneraliriportateneiprecedentiparagrafi, lediverse indicazioniper i curricoli entrano,piuomenoesplicitamente,neidettaglidei contenuti irrinunciabili edellecompetenzeessenzialicheglistudentidevonoconseguireinMatematicaalterminedeivaricicliscolastici.Talvoltalefinalitadell’insegnamento‐apprendimentodellaMatematicasonodichiarateesplicitamenteperpunti,interminidiobiettiviperl’apprendimento,diconoscenzeeabilitaoditraguardiperlosviluppodellecompetenze;altrevolte,comenelleIndicazioniperilicei,sonopresentiall’internodiundiscorsonarrativo,anchesearticolatoepuntuale.

Cio che, pero, caratterizza tutti i diversi gradi scolari, dalla scuola primaria alla scuolasecondaria,anchese,ovviamente,condiversaenfasiedettaglio,sonoiseguentipunti:

iquattroambitidicontenuto(chesolonellascuolaprimariasonotre,inquantogliambitiRelazioniefunzionieDatieprevisioniconcorronoacomporrel'unicoambitoRelazioni,datieprevisioni),talvoltaetichettaticondifferentidenominazioni,(peresempiol’ambitoNumeridelprimociclodiventa,nelleLineeguidaenelleIndicazioniperilicei,Aritmeticaealgebra,cosıcomeSpazioe figurediventaGeometria),machiaramente individuabilicomecampidicontenutospecifici;

lanecessitadiprogettarepercorsiche,nelconseguimentodeicontenutiirrinunciabili,nonperdanomaidivistalosviluppodicompetenzeilcuiraggiungimentoeineludibileperilpossessodiquellaculturamatematicacheaiutiapartecipareinmodoinformato,consapevoleecriticoallesceltesemprepiudelicatechelavitapubblicaimpone:- rappresentare oggetti matematici e relazioni fra essi, operare con queste

rappresentazioniepassaredall’unaall’altraoveopportuno;- argomentareutilizzandoleconoscenzeposseduteinmodopertinenteecoerente

con la tesi da sostenere, prestando attenzione agli artifici retorici utili aavvalorareespiegareleproprieargomentazioni;

- porsierisolvereproblemi;utilizzareecostruiremodellidescrittiviepredittiviindiversicontesti;

- sviluppareunatteggiamentopositivoversolaMatematica,imparandoavederlacomeprodottoculturalefortementeunitarioeoperativo;

l’invito a realizzare attivita di carattere laboratoriale, in particolare si precisa che enecessariocheglistudentiimparinoautilizzareletecnologieoggidisponibilialfinedicostruiresignificatideglioggettidistudiomediantel’esplorazionediambitidicontenuto


inambienticheconsentanodioperareconrappresentazionidiversificateericchedeglioggettimatematici;

l’opportunitadiprestaremaggioreattenzioneallasemanticapiuttostocheallasintassi:la raccomandazione, esplicita nelle Indicazioni per i Licei, e “Ferma restandol’importanzadell’acquisizionedelletecniche,sarannoevitatedispersioniintecnicismiripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo allacomprensionedeiproblemi.L’approfondimentodegliaspettitecnicisarastrettamentefunzionaleallacomprensioneinprofonditadegliaspetticoncettualidelladisciplina”;

la necessita di coerenza e continuita nello sviluppo dei percorsi di insegnamento eapprendimento,indispensabileperilraggiungimentodivereesolidecompetenzeeperpoter affrontare le necessarie discontinuita che caratterizzano ogni percorso diapprendimentosulunghiperiodi.

Nelle prove INVALSI compaiono in modo pervasivo e puntuale questi elementi checaratterizzano,nelleindicazionipericurricoli,lacontinuitafraicontenutipropostiperidiversigradiscolari:

innanzituttogliambitidicontenuto:quelliesplicitatinellediverseindicazionisonoglistessiambitineiqualisiarticolanoleprovediMatematica.Essicostituisconounprimoelemento di classificazione delle domande e di organizzazione della restituzione deirisultati;

in secondo luogo i Traguardi di competenza: quelli a cui le prove INVALSI fannoriferimentosonoglistessitraguardiesplicitatinelleIndicazioninazionaliperilcurricolodella scuola dell’infanzia e del primo ciclo di istruzione o costruiti da INVALSI per ilsecondociclo6.ITraguardidicompetenzasonoconsideratiunelementoineludibilenellaformulazionedelledomandeenellaelaborazionedelleproveecostituisconounaltroelementonellaclassificazionedelledomande;

infinegliaspettisemantici,l'argomentazione,lacoerenzaelacontinuitafraicontenutideidiversigradiscolarisonooggettodiattenzionecostantecomeparteessenzialedellavorodipreparazioneditutteleprove.

Oltre alla coerenza con le indicazioni curricolari le prove INVALSI presentano una fortecontinuitatraidiversigradiscolarichesicaratterizzaperdiversespecificita,fracuiricordiamo:

l’identitadeidiversi ambiti (Dati ePrevisioni,Numeri,Relazioni eFunzioni, SpazioeFigure);

letredimensioniConoscere,Risolvereproblemi,Argomentare(descrittenelparagrafo4)checontribuisconoadescriverelecompetenzematematichevalutatemedianteleproveINVALSI;

la presenza di Traguardi specifici per lo sviluppo delle competenze, traguardi che siarticolanoper integrazioneoriformulazionenelpassaggiodaungradoalsuccessivo,prefigurando quindi uno sviluppo diacronico della competenza matematicacaratterizzatodaunafortecontinuita,nonostanteleinevitabilidifferenzeespecificita

6Perlascuolasecondariadisecondogradononsonoprevisti,dallanormativavigente,Traguardiperlosviluppodelle competenze. Il gruppo di lavoro INVALSI ha individuato una serie di Traguardi per lo sviluppo dellecompetenzeindirettacontinuitaconiTraguardidellafinedelprimociclo(vediAllegatoA)


checontraddistinguonoognipercorsodiapprendimentochesi strutturasuun lungoperiodotemporale;

lapresenzadispecificicontenutimatematicicomuniedicompetenzeaessilegate.Inparticolare, senza la pretesa di essere esaustivi nell’elencazione, citiamo alcuneconoscenzeeabilitarichiesteperaffrontareiquesitiproposti,chesonopresentinelleprovedituttiigradiscolari:leggeredatirappresentatimediantetabelleediagrammi(abarre,circolari,ideogrammi);ordinarenumerieoperareconessi;utilizzareproprietadifigure geometriche; individuare e utilizzare rapporti di scala; utilizzare il linguaggiosimbolico.

Naturalmentelacontinuitainterminidicontenutispecificiediconoscenzeeabilitaaessilegate si caratterizza inmodonettamentepiumarcatonelpassaggiodaungrado scolare alsuccessivo,tantoeverochediversedomandedelleprovedelGrado5possonoessereutilizzateper leprovedelGrado8;allostessomodomoltedomandedelleprovedelGrado8possonoessereutilizzatepervalutarecompetenzedeglistudentidelGrado10ecosıvia.

Inparticolare,limitandociaconsiderareledomandedelleprovedeigradi8e10,osserviamoche,peresempio,alcunediquellerelativeaiconcettidipercentuale,relazionefunzionalefragrandezze, distribuzione statistica, area di una figura, rappresentazione polinomiale deinumeri,divisibilita,probabilita,trasformazionegeometrica,sonoassaisimilifraloro,tantodapoteresserepropostesianelleprovedelGrado8siainquelledelGrado10.

3.4.LeproveINVALSIelecompetenzematematiche

Come scritto esplicitamente anche nelle Indicazioni per il primo ciclo, “Il sistema divalutazionenazionalehailcompitodirilevarelaqualitadell’interosistemascolastico,fornendoalle scuole, alle famiglie e alla comunita sociale, al Parlamento e al Governo elementi diinformazione circa la salute e la criticita del nostro sistema di istruzione. L’Istituto divalutazione rileva e misura gli apprendimenti con riferimento ai traguardi e agli obiettiviprevisti dalle Indicazioni, promuovendo, altresı, una cultura della valutazione che scoraggiqualunque forma di addestramento finalizzata all’esclusivo superamento delle prove. Lapromozione,insieme,diautovalutazioneevalutazionecostituiscelacondizionedecisivaperilmiglioramentodellescuoleedelsistemadiistruzionepoicheunisceilrigoredelleprocedurediverificaconlariflessionedeidocenticoinvoltinellastessaclasse,nellastessaareadisciplinare,nellastessascuolaodoperantiinretecondocentidialtrescuole.Nell’aderireataleprospettiva,lescuole,alcontempo,esercitanolaloroautonomiapartecipandoallariflessioneeallaricercanazionalesuicontenutidelleIndicazionientrounprocessocondivisochepotracontinuareneltempo,secondolemodalitaprevistealmomentodellaloroemanazione,nellaprospettivadelconfrontoancheconlescuoleeisistemidiistruzioneeuropei”.

Emerge chiaramente, nel passo precedente, che solo l’azione coordinata del SistemaNazionalediValutazione(che,conlarilevazionee lamisuradegliapprendimenti,attraversoprove standardizzate, fornisce alle scuole informazioni sulle criticita del nostro sistema diistruzione)edellescuole(chedevonoavviareunariflessionesulleinformazionidicuientranoinpossessoperavviareazioniutiliamigliorarel’offertaformativa)puoconseguirel’obiettivo


di favorire l’insegnamento‐apprendimentodellamatematica e di raggiungere gli obiettivi interminiditraguardiperlecompetenze.

Inquestosensovasottolineatocheilriferimentoallediverseindicazionieintesoinsensoglobale enon solopuntuale. I diversidocumenti allabasedellapredisposizionedelleprove(Indicazioninazionaliperilprimociclo,IndicazioninazionaliperilsistemadeiLicei,LineeGuidaper l’Istruzione Tecnica e Professionale) contengono tutti un forte ed esplicito riferimento(derivante dalla loro comune origine dagli Assi culturali per l’obbligo di istruzione) allamatematica come elemento fondamentale per le competenze di cittadinanza e per lecompetenzeperlavita(Lifeskills).Ogniprovavienequindicostruitapensandononsoloagliapprendimentispecificidiquelgradoscolare,maancheallecompetenzegeneraliepermanentiche lo studente, in quello specifico grado scolare, dovrebbe aver acquisito grazie a tutto ilpercorsoprecedente.Leprovepossonoquindiconteneredomandecheaccertanoilpermanerediabilitaodiconoscenzeacquisiteingradiscolariprecedenti,lacuipadronanzaeessenzialeperl’eserciziodiquestecompetenze.

Quantoappenadettoefondamentaleperchiarirelimitiecompitidell’azionedelsistemadivalutazione, in particolare attraverso l’uso di prove standardizzate. Questo strumento, cherisulta particolarmente utile a dare informazioni su alcune criticita del sistema nel suocomplesso, e poco adatto a misurare il conseguimento di alcuni dei Traguardi per ilraggiungimento delle competenze elencati nelle Indicazioni. Per esempio mentre le provestandardizzate sono uno strumento utile per valutare i traguardi “Descrive, denomina eclassifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determinamisure” e “Riconosce equantifica,incasisemplici,situazionidiincertezza”,possonoesseremenoadeguateavalutarepienamenteun traguardo come “Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo leproprieideeeconfrontandosiconilpuntodivistadialtri”esonosicuramentenonadeguateavalutareiltraguardo“Sviluppaunatteggiamentopositivorispettoallamatematica”.

In questo senso le prove standardizzate non devono ne possono sostituirsi all’azionedell’insegnante per la valutazione degli studenti della propria classe: i risultati delle provepossonoessereutilizzaticomeunafralemolteinformazionidicuil’insegnantedeveentrareinpossesso per valutare dinamicamente le prestazioni dei propri studenti e certificare lecompetenzeraggiunte,manonpossonocostituirel’unicasorgentediinformazioninequellapiuimportanteperlavalutazionedelsingoloalunno,essenzialmentepertremotivi:

leprovestandardizzate,comegiadetto,nonpossonomisurarenetantomenovalutareil conseguimentodi traguardi caratterizzatida aspettimetacognitivi onon cognitivi,come per esempio “Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica,attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumentimatematici che ha imparato a utilizzare siano utili per operare nella realta”;analogamente,almenocomesonoattualmentestrutturate,leprovestandardizzatenonconsentonodivalutarelacompetenzaraggiuntadaglistudentinell’usoditecnologiepercostruiresignificatideglioggettidistudio;

leprovestandardizzatesonopocoadatteavalutarepienamente il conseguimentodicompetenze nel: produrre congetture; sostenere argomentazioni e dimostrazionicomplesse; porsi e risolvere problemi di una certa difficolta e complessita, che


richiedonodiversipassiperessereaffrontatierisolti;costruireeutilizzaremodellipersituazionicomplesse;

le prove standardizzate tendono a porre domande per le quali la correzione dellerisposteeindipendentedachilaeffettua;inaltriterminitendono,perquantopossibile,aeliminareognielementodisoggettivita.Invecelavalutazionechel’insegnantefadellecompetenze conseguite da uno studente non puo non essere soggettiva, dipendenteanchedafattorisocialieaffettivi,etesaancheapromuoverel’acquisizionestessadellecompetenze: tantopiu e soggettiva, tantopiu diventa adatta allo studente che vienevalutatoequindiriccaesignificativaperquellostudente.

D’altra parte la possibilita di avere informazioni su diversi aspetti dell’apprendimento,

confrontabiliconleinformazionisuglistessiaspettirelativeagruppidistudentisimilifralorocomebackgroundsocio‐economico‐culturaleocontestogeografico,eunostrumentoinmanoaogniinsegnantepervalutare(nelsensopiuampiodellaparola)inmodopiucompletoipropriallieviemigliorarecontinuamentelapropriaazionedidattica.LeproveINVALSIpossonoquindifornireimportantissimeinformazionidisistemaconcuil’insegnantesipuoconfrontareedicuisipuoavvalereperlavalutazioneindividuale.


4. Lastrutturadelleprove

4.1Lecaratteristichegeneralidelleproveeletipologiedelledomande

Le prove dimatematica delle Rilevazioni Nazionali dell’INVALSI, nella versione cartacea,sono costituite da fascicoli comprendenti domande che possono essere articolate in diversiitem.L’ordinedelledomandeedelleopzionidirispostapuovariare,condeterminativincoli,all’internodeidiversifascicolipresentatiaglistudenti.NellaversioneCBTsonocostituitedaformecomprendentidomandechepossonoesserearticolateindiversiitemprovenientidallabancacostituitaperlospecificogradoscolare.Ilnumerocomplessivodiitempuovariaredaunannoall’altroedaungradoall’altro.

Ogni domanda e costruita con un preciso scopo della domanda che definisce in modospecifico,ancheinterminidiconoscenze,checosasivuoleprincipalmentevalutareconquelladomanda.OgnidomandaeinoltreesplicitamentecollegataaunTraguardodicompetenza(sivedal’allegato6.1).

Leprovedimatematicasonocostituitedaquesitididiversecategorie:arispostachiusa,arisposta aperta univoca, a risposta aperta articolata, cloze, associazione. Queste categoriepossonopoipresentarsi,nelcasodelleproveCBT,attraversodiverseformediinterazioneconlostrumentodisomministrazione.

Laprimacategoriaconsiste inquesitiasceltamultiplachepresentanoquattroopzionidirisposta(trenelgrado2),unasoladellequaliecorrettaequesitiasceltamultiplacomplessacherichiedonoladeterminazionedelvalorediveritadialcuneproposizioni.

Iquesitia“rispostaapertaunivoca”sonodomandecherichiedono,peresempio,ilrisultatodiuncalcoloalgebricoonumerico.

I quesiti a “risposta aperta articolata” possono richiedere semplici argomentazioni,giustificazioni, sequenzedi calcoli. Per questi quesiti viene fornita una griglia di correzionearticolata,costruitainbaseallerisposteottenutenelpretest.Lagrigliadicorrezioneprevedeanchelacategoriadellerisposteaccettabili:rispostechenonsonopropriamentecorrettemadallequalisievincechelostudenteharispostoadeguatamente,considerandolospecificoscopodelladomanda.Questedomande,nelleprovecartacee,vengonocorrettedaisingoliinsegnanti;inveceperquantoriguardaleproveCBT,lacorrezioneeeffettuatacentralmentedall’INVALSI.

Iquesitiditipo“cloze”richiedonoilcompletamentodifrasi,calcolioespressionimediantel’utilizzodielementifornitineltesto.

I quesiti di tipo “associazione” richiedono di individuare la corrispondenza corretta fraelementididueinsiemidati.

Ladivisionedeicontenutimatematici inambiti eormaicondivisaa livellointernazionale:ognidomandaeclassificatainundeterminatoambito,cheesempredaconsiderarsisolocomel’ambitoprevalente(enonesclusivo)diriferimento.

Nella costruzione delle domande si tiene conto anche di una direzione trasversale aicontenuti,chesiriferisceaipossibiliprocessimessiinattoperrisponderealledomande.Questadirezionetrasversaleestatadefinitaapartiredalleindicazionicurricolarieinparticolarmodo


dai Traguardi per lo sviluppo delle competenze. Il gruppo di lavoro INVALSI sulle prove diMatematica ha quindi individuato un possibile raggruppamento secondo tre dimensionidenominate:Risolvereproblemi,Argomentare,Conoscere.Letredimensioniderivanoinoltredariflessionisuaspettiedelementisalientidelleattivitamatematicheesurisultatidellaricercaindidatticadellamatematica,nonchedaunaaccurataanalisidelleprovefinoaorasomministrateedeilororisultati.

RisolvereproblemieArgomentare

Lediverseattivitamatematichesipossonoaggregareattornoadueaspettiinrapportofraloro:larisoluzionediproblemi(interniallamatematicaoapplicativi)el’argomentazione,nellesuediversespecificazioniearticolazioni:dall’accertarelaragionevolezzadiun’affermazione,alvalidarla con riferimento a una teoria; dal controllare la correttezza di un risultato, algiustificarelasuaadeguatezzainrelazionealproblemaaffrontato.Ilrapportofralarisoluzionediproblemiel’argomentazionedipendedalfattochelacostruzionediun’argomentazioneeinmolticasiunaattivitadiautenticoproblemsolvinge,d’altraparte,ilproblemsolvingrichiedeingenereattivitadivalidazioneintermedieefinaliditipoargomentativo.Lacentralitaassuntadalproblem solving e dall’argomentazione nella formazione e nella ricerca educativa in campomatematico e stata anche una conseguenza di un dato storico inconfutabile: il fatto checalcolatrici e computermettono a disposizione notevoli risorse per svolgere inmodo assaiefficaceedeconomicotutteleattivitamatematicheditipoesecutivoeinsiemeevidenzianolanecessita di sviluppare competenze di decisione, di scelta e di controllo, che rimangonoprerogative umane. Nelle prove CBT vengono messi a disposizione strumenti di calcolospecificatamentepensatiperpoterproporredomandeilcuifocusedirettamentelavalutazionedell’argomentazioneedelproblemsolving.

Per quanto riguarda i problemi, e bene avere chiaro il fatto che attraverso le provestandardizzate e difficile accertare una competenza importante come l’orientarsi in unasituazione problematica fino a individuare il problema da affrontare (problemposing) ed eanche difficile accertare la capacita di affrontare un problema “grezzo” procurandosi i datinecessariperrisolverlo.Comegiadettoquestorappresentaunodeilimitiperlecompetenzeaccertabiliconleprovestandardizzate.

Per quanto riguarda la dimensione Argomentare la scelta dell’affermazione corretta el’individuazione della sua giustificazione tra quelle proposte e oggetto di valutazione nelleproveINVALSI.Piuarduoappareproporrequesiticherichiedonodiscegliere l’affermazionecorrettaediprodurreunagiustificazioneperessa.Ancorapiuarduo,pernondireimpossibileallostatoattualedielaborazionedelleprove,appareaccertare lacapacitadiprodurreepoigiustificareun’affermazioneapartiredaunquesitoapertodeltipo“ipotizzareeverificare”e,piuinparticolare,deltipo“congetturareedimostrare”.Questodeterminaunaltrolimiteperlecompetenze accertabili con le prove standardizzate nelle aree del Risolvere problemi edell’Argomentare.


Conoscere

Le due attivitamatematicheRisolvereproblemi eArgomentare richiedono conoscenze suoggettimatematicitradizionalmentedefiniticome“concetti”,segniesistemidisegni,algoritmie tecnichedi trattamento oltre alla capacita di farne uso stabilendo connessioni fra essi. Inquesto senso possiamo parlare di competenze strumentali al problem solving eall’argomentazionechedevonoessereaccertateproprioperquestocaratteredistrumentalitanecessariaallosvolgimentodicompitipiucomplessi.Glistudisuchecosasignificaecomesirealizza lapadronanzadeglioggettimatematicinellaricerca indidatticadellamatematicasisono sviluppati in parallelo, e spesso in interazione, con le ricerche nelle scienzedell’educazione. A partire dall’analisi delle competenze necessarie per affrontare compitiprofessionali specifici, condotta negli anni ‘70, le competenze sono state progressivamenteidentificate come “unita” di conoscenze e capacita e intenzione di farne uso per affrontarecompiti.Oggiriguardanoancheisistemidiformazione,inclusalascuola,chesonoinvestitidelcompitodisviluppareeaccertare,nelcasodellascuolaitalianadicertificare,competenzeenonsoloconoscenze.

Nel tentativodiraggrupparecompetenzenelle tredimensionidelConoscere,delRisolvereproblemiedell’Argomentareeinoltrenecessariotenercontodiunaspettotrasversalealletredimensioni, che riguarda l’attivita semiotica inMatematica. Il lavoromatematico si esercitaattraversosegniverbalienonverbali(espressionialgebriche,figuregeometriche,grafi,grafici,schemi, ecc.); essi sonopresenti, con funzioni specifichediverse,neiprocessi eneiprodottidell’attivitamatematica,nellavoroindividualeenell’interazionetralepersoneimpegnatenelrisolvereunproblema.L’attivitasemioticaassumetuttaviacaratteristicheassaidiversenelletredimensioniinsedediaccertamentodellecompetenze.Questediversitagiustificanolasceltadinonaggregaretraguardiecompetenzesecondounadimensionesemiotica(ilrappresentare)peraltropervasiva.LasomministrazioneCBTpermettediarricchirelatavolozzasemioticadelledomandechepossonovenireproposteaglistudenti,ancheavvicinandoleasituazionirealidiutilizzodellecompetenzematematicheincontestidiversi.

Durante le prove puo essere previsto (a seconda del grado e della modalita disomministrazione) l’usodella calcolatrice (a condizione che essa non sia quella dei telefonicellulariechenonsiacollegabileallareteinternetnedirettamentenemediantequalsiasialtrostrumento,contecnologiewirelesscomeBluetooth,Wi‐Fi,…)el’usodistrumentidadisegno(riga,squadra,compasso,goniometro).L’evoluzionedelleproveversolamodalitaCBTprevedeancheun’evoluzioneprogressivadeglistrumentiadisposizionedeglistudenti.NelleproveCBTlacalcolatriceeintegratanellostrumentodisomministrazione,cosıcomestrumentidieditingmatematico. E possibile cheper certe prove sia fornito un formulario. Per ogni prova vieneindicatoesplicitamenteiltempoadisposizione.

4.2Laproduzionedelledomandeedelleprove

Nelcomplessoilpercorsodiproduzionediunaprovaduradaidueaitreannieiniziaconlaproduzionedelledomandedapartedegliautori,chesonotuttiinsegnantiodirigentidelsistemanazionalediistruzione.Laformulazionedelledomandeavvieneindividualmenteeingruppo.


Nel processo di formulazione gli autori sono affiancati da esperti e per gli autori vengonoorganizzatiperiodicamenteseminaridiformazione.

Conledomandeprodottesonopreparateleproveperipretest.Leprovesonoassemblatedagruppi di lavoro, uno per ogni grado, composti da insegnanti, dirigenti, ricercatori, espertiINVALSI. I gruppi di lavoro procedono anche alla revisione linguistica e alla sistemazionegrafica.Ungruppodicoordinamento,costituitoanch’essodainsegnanti,dirigenti,ricercatori,esperti INVALSI, sovrintende alla coerenza complessiva del sistema delle prove, curando inecessaricollegamenticoncettualiverticalielacoerenzaconleIndicazioninazionalideidiversiordiniscolastici.

Ledomandesonocostruiteconl’obiettivodiesserechiaramentecompresenelloroscopo.Per questo e posta un’attenzione particolare ai diversi aspetti della loro formulazionelinguistica:inquestomodosicercadievitarecheunanonnecessariadifficoltaditipolinguisticorendamenoprecisal’informazionerestituitarelativaallacompetenzamatematica.

Perquanto riguardagli aspetti lessicali vengonoevitati accuratamente tutti i termini chehannounaconnotazioneregionaleodialettale;soprattuttonelleclassidellascuolaprimariailricorso a termini non presenti nel vocabolario di base e limitata ai casi strettamenteindispensabilie,quandonecessario,essivengonochiaritiodefiniti.Iterminitecnicispecificidellamatematicavengonoutilizzaticoerentementeconleconoscenzetecnico‐terminologichedelleclassitestate,evitandoitecnicismiinutili.Dalpuntodivistasintatticoledomandecercanodipreferireformesemplici,sempreconl’obiettivodellamassimachiarezzaeintelligibilitadeltestoeinparticolarmododellaconsegna.Unastrutturasintatticacomplessaegiustificatasoloquando e necessaria per esprimere una complessita di situazioni. I contesti scelti per ledomandepossonoessereditiposcientificoorelativiallacomuneesperienzadeglistudenti.Ingenerale i contesti devono essere significativi relativamente alla Matematica che vi vienecoinvolta.

Letabelleconidatiutilizzatenelledomandeprovengono,sepossibile,daverebasididati;possono essere eventualmente semplificate o adattate. Le immagini sono utilizzate quandocontengonoelementiimportantioinformazionioseaiutanol’allievo(soprattuttonellascuolaprimaria)aformarsiun’immaginementaledellasituazione.

Leprovesonocostruiteassemblandoinmanieraequilibratadomandeclassificateneidiversiambiti, nellediversedimensioni eper lequali i pretest abbiano indicato capacita di fornireinformazionisignificativelungotuttalascaladelleabilitadeglistudenti.

Lacostruzionedellaprovainformatocartaceodellascuolaprimaria

Perlascuolaprimariaifascicolidelleprove(somministratiinformacartacea)sonocompostidaunnumerovariabiledidomande.Leproveper ilGrado2sono formatedaunnumerodidomandeinferioreaquelleperilGrado5perevidentiragionichetengonocontodell’etadeglistudenti coinvolti e delle competenze che hanno sviluppato nel loro percorso scolastico. Ilnumero di domande puo variare da un anno all’altro relativamente alle caratteristiche deiquesitiscelti,mal’intervalloincuivariaecostante:perilgrado2ilnumerodidomandepuoesserecompresotra20e28(eilnumerodiitempuoesserecompresotra24e34),mentreper


ilGrado5 ilnumerodidomandepuoesserecompresotra30e40(e ilnumerodi itempuoesserecompresotra40e50).

InlineaconleIndicazioniNazionali,ledomandedelGrado2riguardanogliambitiNumeri,SpazioeFigure,DatiePrevisioni,eledomandedelGrado5Numeri,RelazionieFunzioni,SpazioeFigure,DatiePrevisioni.Lacomposizionedei fascicoliperlascuolaprimariamantieneunequilibrio tra gli ambiti di contenuto, a volte lasciando all’ambito Numeri uno spazioleggermentesuperiorerispettoaglialtri.

LacostruzionedellaprovainformatoCBTdellascuolasecondaria7

Per la scuola secondaria di primo e secondo grado la somministrazione delle prove informatoCBTrichiedeunadiversaimpostazionedeldisegnodellarilevazioneediconseguenzadelpretest.

Questanuovaimpostazionerichiedenondicostruireunaprovalineareugualepertutti,madicostruireunabancadiitemcheconsentadiaveretanteformediversedeltestassemblateinbaseaunaseriedivincoliopportunamentestabiliti. Infattinellerilevazionisulargascalainambitoeducativo,levariabiliindagatesonotipicamentediampiorespiroeilnumerodiitemrichiestiperpoterdescrivereillivellodipreparazionepossedutodaunallievoinunafasedelpercorsoscolasticoemoltoelevato.Nelcasodiscalearticolateinlivelli,inoltre,eopportunochecisiaunsufficientenumerodi itemperognunodei livellichesidovrannodescrivere inmodochesiapossibileesplicitarequellocheunostudenteconosceesafareaciascunlivello.

Inletteraturaledefinizionidiitembanksonomolteplici,piuomenorestrittive.Numerosiautoriconiltermineitembankintendonograndicollezionidiitemconunbuonfunzionamentodaunpuntodivistapsicometrico,deiqualisononoteleproprietamisuratorieesonoregistratelecaratteristicheconsideraterilevantiinfunzionedegliobiettiviprefissati.

IlmodellodiRasch,adottatodaINVALSI,fariferimentoaunadefinizionepiurestrittivadibanca (Choppin,1976), intesa come insiemeaccuratamente costruitodi item, calibrati sullastessascala,chesviluppano,definisconoe“quantificano”uncostruttocomune.

DaunabancadiitemsviluppatasecondoilmodellodiRaschpossonodunqueesserecreateforme del test che producono misure equivalenti e gli esiti conseguiti da soggetti cherispondono a sottoinsiemi di item tratti dalla stessa banca possono essere direttamenteconfrontati.Dunqueepossibileconfrontareirispondentiancheseilloropunteggiononderivadallostessotestodaformestrettamenteparalleledellostessotest.Tuttiirispondentietuttigliitem sono collocati su una stessa scala, che non e definita esclusivamente sulla base delsottoinsiemediitemacuiunsoggettoharispostodirettamente,madatuttigliitemchefannopartedellabanca.

L’interoprocesso,finoalladescrizionedeilivelli,erappresentatosinteticamenteinFigura2.

7 Tratto e adattato dal documento I livelli per la descrizione degli esiti delle prove INVALSI, https://invalsi‐areaprove.cineca.it/docs/2018/Livelli_INVALSI_g8.pdf,pagg.9‐13


Figura2:Dallabancadegliitemall’individuazioneedescrizionedeilivelliINVALSI2018

Costruzione di un ampio numero di item sulla base del

QdR Costruzione del catalogo delle domande

Disegno delle forme del pretest

Pretest

Prima versione della banca di

item

Test assembly per la rilevazione principale

Rilevazione principale

Analisi dei dati su campione INVALSI

Livelli


5.LeproveINVALSInelpanoramainternazionale

LeprincipaliindaginiinternazionalicherilevanocompetenzeeconoscenzediMatematicaconcui il quadrodi riferimento INVALSI condividediversi aspetti sono: l’indaginedella IEAdenominateTIMSS8(TrendsinMathematicsandScienceStudy)eTIMSSAdvancedel’indaginedell’OCSEdenominataPISA9(ProgrammeforInternationalStudentAssessment).

IlTIMSSsi rivolgeagli studentidelquartoedell’ottavoannodi scolarita e si svolgeogniquattroanni.L’indagineTIMSSAdvancedvalutaleprestazionideglistudentiall’ultimoannodiscuolasecondariasuperiorein“Matematicaavanzata10”einFisica.IlPISA,invece,sirivolgeaglistudentiquindicenni,sisvolgeogni3anniehaavutocomeambitoprincipalelaMatematicanel2003enel2012el’avradinuovonel2021.TuttequesteindagininonsiriferisconosoltantoallaMatematica,maanchealleScienzee,nel casodelPISA,anchealle competenzedi lettura,diproblemsolvingedifinancialliteracy.

IlTIMSSeilPISAindaganoillivellodiapprendimentodeglistudentiinMatematicasecondodueprospettivecompletamentediverse.

IlTIMSSutilizza il "curricolo",nelsensopiuampiodel termine,comeprincipaleconcettoorganizzatore per comprendere le strategie didattiche impiegate e individuare i fattori chepossonoinfluenzarnel'efficacia.Nell’indaginevengonousatetredistintenozionidicurricolo:curricoloprevisto,curricolorealizzatoecurricoloappreso.Partendodaquestomodello,TIMSSutilizza le prove per rilevare i livelli di rendimento degli studenti nei vari Paesi (curricoloappreso)inMatematica;tramiteiquestionari,TIMSSraccoglieinformazionidettagliatesulleopportunita di apprendimento offerte agli studenti (curricolo realizzato). Per mezzodell’Encyclopediaedelquestionariosuicurricoli,TIMSSmetteadisposizioneinformazionisullivellodipreparazionedeglistudentiinMatematicastabilitoeattesoalivellocentraleinciascunPaese(curricoloprevisto).

Leprovesonocostruitetenendocontodiduediversedimensioni:idominidicontenutoeidomini cognitivi. I domini di contenuto sono gli argomenti valutati inMatematica: numeri,geometria,algebra(soloperilgrado8)edatieprobabilita.I“dominicognitivi”sonodefinitinelTIMSScomeiprocessidipensierochecisiaspettaglistudentimettanoinattoogniqualvoltaessilavoranoconlaMatematica:

conoscenza (knowing): comprende fatti, concetti eprocedurechegli studentidevonoconoscere;

applicazione (applying): riguarda la capacitadegli studentidiapplicareconoscenzeeconcettiacquisitiperrisolvereproblemiorispondereadomande;

8Quadrodiriferimentodell’indagineTIMSS2015perlamatematica:http://timssandpirls.bc.edu/timss2019/frameworks/9Quadrodiriferimentodell’indaginePISA2012perlamatematica:http://www.INVALSI.it/INVALSI/ri/pisa2012/documenti/Matematica.pdf10L’Italiahapartecipatonel2015conuncampionedistudentidiLiceiScientificieIstitutiTecniciTecnologici


ragionamento (reasoning): va oltre la soluzione di problemi di routine per includeresituazionipocofamiliariaglistudenti,contesticomplessieproblemirisolvibiliindiversipassaggi.

E importante sottolineare che TIMSS valuta una serie di situazioni di problem solvingall'interno della Matematica, con circa due terzi dei quesiti che richiedono agli studenti diutilizzarel’applicazioneeilragionamento.Idominicognitivisonoglistessiperentrambiigradi,mailpesocheessihannoediversoneiduegradi.Rispettoalgrado4,ilgrado8poneun’enfasiminoresuldominiodellaconoscenzaeunamaggioresuquellodelragionamento.

L’indaginePISA,invece,hal’obiettivogeneralediverificarese,einchemisura,igiovanicheesconodallascuoladell’obbligoabbianoacquisitoalcunecompetenzegiudicateessenzialipersvolgereunruoloconsapevoleeattivonellasocietaepercontinuareadapprenderepertuttalavita.Quindi,ilPISA11noneinteressatoaidiversicurricoliscolastici,mavuoleindagarefinoachepuntoglistudentisianoingradodiutilizzarequantohannoappresoascuolaperrisolvereproblemi collegati alla vita quotidiana (literacy matematica). La definizione di literacymatematicaidentificailragionamentomatematicocomeunodeisuoiaspettifondamentali.IlcontributoapportatodalframeworkPISA2021,rispettoaquelliprecedenti,edievidenziarelacentralita del ragionamento matematico per il ciclo di problem solving e per la literacymatematicaingenerale.

Leprovesonocostruiteapartiredaquattrodiversiaspetti:

ilcontenutomatematico:quantita,spazioeforme,cambiamentoerelazionieincertezzaedati;

ilcontestonelqualeilquesitoesituato:personale,occupazionale,scientificoepubblico; i processi matematici che si riferiscono ai tre momenti fondamentali dell'attivita di

risoluzionediunproblema(processes),cioeaquellocheunindividuofapercollegareilcontestodiunproblemaallamatematicaequindiperrisolverlo:

- formulare (formulating): riconoscere ed identificare le opportunita diutilizzare la matematica in situazioni problematiche ed esprimere ilproblemacontestualizzatoinunaformamatematica

- utilizzare (employing): effettuare calcoli e manipolazioni e applicare iconcetti e i fatti che si conoscono per arrivare ad una soluzionematematicadiunproblemaformulatomatematicamente

- interpretare (interpreting): riflettere in modo efficace su soluzioni econclusioni matematiche, interpretandole nel contesto di un problemadellavitareale,edeterminareseirisultatioleconclusioniacuisiegiuntisianoragionevoli.

11Allabasedell'indagineOCSE‐PISAeladefinizionedimathematicalliteracy,chenelframeworkperl'indagine2021 e cosı esplicitata: “la capacita di un individuodi ragionarematematicamente edi formulare, utilizzare einterpretare lamatematica inunavarietadi contestidelmondoreale.Essa includeconcetti,procedure, fatti estrumentidellamatematicaperdescrivere,spiegareepredirefenomeni.Aiutagliindividuiariconoscereilruolochelamatematicahanelmondoeaformularegiudiziedecisionibenfondati,comerichiestoacittadinicostruttivi,impegnati e riflessivi del 21° secolo”. Cfr. PISA 2021 Framework, draft aprile 2018(https://www.oecd.org/pisa/pisa‐for‐development/PISA‐D‐Assessment‐and‐Analytical‐Framework‐Ebook.pdf).


leskillsdel21°secolosucuilaliteracymatematicasibasaesisviluppa(criticalthinking,creativity, research and inquiry, self‐direction, initiative, persistence, information use,systemthinking,communication,reflection).

L’articolazione dei contenuti in ambiti e ormai condivisa a livello internazionale ed einteressanteosservareilsostanzialeparallelismofralescelteoperatedall'Italiaapartiredaidocumentiprogrammaticielescelteoperatealivellointernazionale(OCSE‐PISA2021eTIMSS2019).

ARTICOLAZIONEDEICONTENUTI

SNV‐INVALSI PISA2021 TIMSS2019grado4 TIMSS2019grado8

Numeri

Spazioefigure

Datieprevisioni

Relazioniefunzioni

Quantita

Spazioeforme

Incertezzaedati

Cambiamentoerelazioni

Numero

Figuregeometricheemisure

Rappresentazionedati

Numero

Geometria

Datieprobabilita

Algebra

Perquantoriguardagliaspettiditipocognitivo,nonesisteperessiunparallelismocomequellopresentepericontenutiinquantolefinalitadellerilevazionisonodiverse.

EpossibilequindistabilirecollegamentitrailQdRINVALSIeiFrameworkdiTIMSSePISAchepermettonodiintegrarele informazionichelediverseindaginiforniscono.Infatti ilQdRINVALSI e fortemente legato alle Indicazioni nazionali e alle Linee Guida che contemplanosistematicamenteunaduplicevisionedellacompetenzamatematica:daunapartegliaspettidimodellizzazioneeleapplicazioniperleggere,interpretarelarealtaerisolvereproblemidellavita concreta, cosı come nel PISA, dall’altra i contenuti articolati per ambiti, i costrutticaratteristici e gli aspetti relativi allo sviluppo dei curricoli, cosı come per il TIMSS. Sia leindaginiinternazionalisialeproveINVALSIsistannoorientandoversounasomministrazioneCBT.


AllegatoA‐TraguardieDimensioni

Traguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolaprimaria

Codifica Dimensione

Simuoveconsicurezzanelcalcoloscrittoementaleconinumerinaturaliesavalutarel’opportunitadiricorrereaunacalcolatrice.

T1 1

Riconosceerappresentaformedelpianoedellospazio,relazioniestrutturechesitrovanoinnaturaochesonostatecreatedall’uomo.

T2 1

Descrive,denominaeclassificafigureinbaseacaratteristichegeometriche,nedeterminamisure,progettaecostruiscemodelliconcretidivariotipo.

T3 1

Utilizzastrumentiperildisegnogeometrico(riga,compasso,squadra)eipiucomunistrumentidimisura(metro,goniometro...).

T4 1

Ricercadatiperricavareinformazioniecostruiscerappresentazioni(tabelleegrafici).Ricavainformazionianchedadatirappresentatiintabelleegrafici.

T5 2

Riconosceequantifica,incasisemplici,situazionidiincertezza. T6 2Leggeecomprendetestichecoinvolgonoaspettilogiciematematici. T7 3Riescearisolverefaciliproblemiintuttigliambitidicontenuto,mantenendoilcontrollosiasulprocessorisolutivo,siasuirisultati.Descriveilprocedimentoseguitoericonoscestrategiedisoluzionediversedallapropria.

T8 2

Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee econfrontandosiconilpuntodivistadialtri.

T9 3

Riconosceeutilizzarappresentazionidiversedioggettimatematici (numeridecimali,frazioni,percentuali,scalediriduzione,...).

T10 1


Traguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolasecondariadiprimogrado

Codifica Dimensione

Si muove con sicurezza nel calcolo anche con i numeri razionali, nepadroneggialediverserappresentazioniestimalagrandezzadiunnumeroeilrisultatodioperazioni.

T1 1

Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le lororappresentazionienecoglielerelazionitraglielementi.

T2 1

Analizza e interpreta rappresentazioni di dati per ricavarne misure divariabilitaeprenderedecisioni.

T3 2

Riconosceerisolveproblemiincontestidiversivalutandoleinformazionielalorocoerenza.

T4 2

Spiegailprocedimentoseguito,ancheinformascritta,mantenendoilcontrollosiasulprocessorisolutivo,siasuirisultati.

T5 2

Confrontaprocedimentidiversieproduceformalizzazionichegliconsentonodipassaredaunproblemaspecificoaunaclassediproblemi.

T6 2

Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite (adesempiosautilizzareiconcettidiproprietacaratterizzanteedidefinizione).

T7 3

Sostieneleproprieconvinzioni,portandoesempiecontroesempiadeguatieutilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinionericonoscendoleconseguenzelogichediunaargomentazionecorretta.

T8 3

Utilizza e interpreta il linguaggio matematico (piano cartesiano, formule,equazioni,ecc.)enecoglieilrapportocollinguaggionaturale.

T9 1

Nelle situazioni di incertezza (vita quotidiana, giochi, ecc.) si orienta convalutazionidiprobabilita.

T10 2


12Perlascuolasecondariadisecondogradononsonoprevisti,dallanormativavigente,Traguardiperlosviluppodelle competenze. Il gruppo di lavoro INVALSI ha individuato una serie di Traguardi per lo sviluppo dellecompetenzeindirettacontinuitaconiTraguardidellafinedelprimociclo

Traguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolasecondariadisecondogrado12

Codifica Dimensione

Si muove con sicurezza nel calcolo numerico e simbolico; applicacorrettamente le proprieta delle operazioni con i numeri reali; realizzaordinamenti, calcola ordini di grandezza ed effettua stime numeriche eapprossimazioni.Risolveequazioniedisequazioni.

T1 1

Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le lororappresentazionienecoglie lerelazionitraglielementi.Utilizzaproprietadellefiguregeometricheeteoremiperilcalcolodilunghezze,areeevolumi.

T2 1

Rappresenta,elabora,analizzaeinterpretadati,anchecalcolandoindici,perdescriveresituazionieindividuarecaratteristichediunfenomenoodiunasituazione,eventualmenteanchealloscopodiprodurre ipotesieprenderedecisioni.

T3 2

Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazionipossedute,lelororelazioniconciochesivuoledeterminareelacoerenzaeplausibilitadelprocedimentorisolutivoedeirisultatitrovati.

T4 2

Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, confrontaprocedimentidiversieproduceformalizzazionichegliconsentonodipassaredaunproblemaspecificoaunaclassediproblemi.

T5 2

Riconosce,fradiverseargomentazioni,quellechesonoadeguateasostenereunadeterminatatesi;produceesempiecontroesempiutiliaconfermareoaconfutareunadeterminataaffermazione.

T6 3

Produceargomentazioniesplicitandolatesi,utilizzandoconoscenzeeformeargomentativepertinentiallatesioggettodiargomentazione.

T7 3

Comprendeeutilizzadiverseformedirappresentazione,passandodall’unaall’altraasecondadelleesigenze(grafica,numerica,simbolica,nellalinguanaturale).

T8 1

Riconosce, tra diversi modelli matematici proposti, quelli piu adeguati adescriveredeterminatesituazionioggettodiinteresse.

T9 2

Utilizza semplici modelli matematici dati per descrivere situazioni efenomenireali.

T10 2

Datiunasituazioneounfenomenorealiindividualevariabilisignificativeecostruisceunmodellomatematicoadeguatoarappresentarli.

T11 2

Esprime valutazioni e stime di probabilita in situazioni caratterizzate daincertezza.Esprimestimediprobabilitadieventi composti apartiredallaconoscenzadelleprobabilitadieventielementari.

T12 2


Latabellaseguenteriporta,affiancati,itraguardideidiversilivelliscolarialloscopodimostrarnelafortecontinuita.

TraguardialterminedellaScuolaPrimaria

TraguardialterminedellaScuolaSecondariadiPrimoGrado

TraguardialterminedellaScuolaSecondariadiSecondoGrado

1. Si muove con sicurezza nelcalcolo scritto ementale con inumeri naturali e sa valutarel’opportunitadiricorrereaunacalcolatrice.

1.Simuoveconsicurezzanelcalcoloanche con i numeri razionali, nepadroneggia le diverserappresentazioni e stima lagrandezzadiunnumeroeilrisultatodioperazioni.

1.Simuoveconsicurezzanelcalcolonumerico e simbolico; applicacorrettamente le proprieta delleoperazioni con i numeri reali;realizza ordinamenti, calcola ordinidi grandezza ed effettua stimenumeriche e approssimazioni.Risolveequazioniedisequazioni.

2. Riconosce e rappresentaformedelpianoedellospazio,relazioni e strutture che sitrovano in natura o che sonostatecreatedall’uomo.

2.Riconosceedenominaleformedelpiano e dello spazio, le lororappresentazioni e ne coglie lerelazionitraglielementi.

2.Riconosceedenominaleformedelpiano e dello spazio, le lororappresentazioni e ne coglie lerelazioni tra gli elementi. Utilizzaproprietadellefiguregeometricheeteoremi per il calcolo di lunghezze,areeevolumi.3. Descrive, denomina e

classifica figure in base acaratteristichegeometriche,nedetermina misure, progetta ecostruisce modelli concreti divariotipo.

4. Utilizza strumenti per ildisegno geometrico (riga,compasso, squadra) e i piucomuni strumenti di misura(metro,goniometro,ecc.).

5. Ricerca dati per ricavareinformazioni e costruiscerappresentazioni (tabelle egrafici). Ricava informazionianche da dati rappresentati intabelleegrafici.

3. Analizza e interpretarappresentazioni di dati perricavarne misure di variabilita eprenderedecisioni.

3. Rappresenta, elabora, analizza einterpreta dati, anche calcolandoindici, per descrivere situazioni eindividuare caratteristiche di unfenomeno o di una situazione,eventualmente anche allo scopo diprodurre ipotesi e prenderedecisioni.





6. Riconosce e quantifica, incasi semplici, situazioni diincertezza.

10. Nelle situazioni di incertezza(vita quotidiana, giochi, ecc.) siorienta con valutazioni diprobabilita.

12. Esprime valutazioni e stime diprobabilita in situazionicaratterizzatedaincertezza.Esprimestime di probabilita di eventicompostiapartiredalla conoscenzadelle probabilita di eventielementari.

8. Riesce a risolvere faciliproblemi in tutti gli ambiti dicontenuto, mantenendo ilcontrollo sia sul processorisolutivo, sia sui risultati.Descrive il procedimentoseguitoericonoscestrategiedisoluzionediversedallapropria.

4. Riconosce e risolve problemi incontesti diversi valutando leinformazionielalorocoerenza.

5. Spiega il procedimento seguito,ancheinformascritta,mantenendoilcontrollosiasulprocessorisolutivo,siasuirisultati.

4. Riconosce e risolve problemi incontesti diversi valutando leinformazioni possedute, le lororelazioni con cio che si vuoledeterminare e la coerenza eplausibilita del procedimentorisolutivoedeirisultatitrovati.5. Spiega il procedimento seguito,anche in forma scritta, confrontaprocedimenti diversi e produceformalizzazionichegliconsentonodipassare da un problema specifico aunaclassediproblemi.

9. Costruisce ragionamentiformulandoipotesi,sostenendole proprie idee econfrontandosi con il puntodivistadialtri.7.Leggeecomprendetestichecoinvolgono aspetti logici ematematici.

7. Produce argomentazioni in basealle conoscenze teoriche acquisite(peresempiosautilizzare i concettidi proprieta caratterizzante e didefinizione).8. Sostiene le proprie convinzioni,portando esempi e controesempiadeguati e utilizzandoconcatenazioni di affermazioni;accetta di cambiare opinionericonoscendoleconseguenzelogichediunaargomentazionecorretta.

6. Riconosce, fra diverseargomentazioni, quelle che sonoadeguate a sostenere unadeterminata tesi; produce esempi econtroesempiutili a confermareoaconfutare una determinataaffermazione.7. Produce argomentazioniesplicitando la tesi, utilizzandoconoscenze e forme argomentativepertinenti alla tesi oggetto diargomentazione.





10. Riconosce e utilizzarappresentazioni diverse dioggetti matematici (numeridecimali, frazioni, percentuali,scalediriduzione,ecc.).

9. Utilizza e interpreta il linguaggiomatematico (piano cartesiano,formule, equazioni, ...) e ne coglie ilrapportocollinguaggionaturale.

8. Comprende e utilizza diverseformedirappresentazione,passandodall’una all’altra a seconda delleesigenze (grafica, numerica,simbolica,nellalinguanaturale).

6. Confronta procedimenti diversi eproduce formalizzazioni che gliconsentono di passare da unproblema specifico a una classe diproblemi.

9. Riconosce, tra diversi modellimatematici proposti, quelli piuadeguati a descrivere determinatesituazionioggettodiinteresse.10. Utilizza semplici modellimatematici dati per descriveresituazioniefenomenireali.11. Dati una situazione o unfenomenorealiindividualevariabilisignificativeecostruisceunmodellomatematico adeguato arappresentarli.


AllegatoB‐EsempididomandeIquesiticheseguonosonostatisomministratinellerilevazionicartaceeoCBTdelServizio

NazionalediValutazionedegliultimiannievengonoquipresentaticonloscopodiesplicitareilcollegamentotrailQdReleprove.Sonostatisceltiesempidiquesitididiversiformati(sceltamultipla semplice, scelta multipla complessa, risposta univoca, risposta aperta articolata,cloze), appartenenti a ciascuna delle tre dimensioni (Conoscere, Risolvere problemi,Argomentare).Ogniquesitoviene inoltrepresentatoconunaclassificazionerelativaallesuecaratteristiche (Ambito, Scopo della domanda, Traguardi per lo sviluppo delle competenze,ObiettividiapprendimentodelleIndicazioninazionalieLineeGuida).

Conoscere

AlladimensioneConoscereafferisconoprevalentementequesitirelativiallapadronanzadiconcetti,metodi,algoritmieprocedimenti.Gliesempisceltiinteressanotuttil’ordinamentodeinumeri,inalcunicasirappresentatisullaretta,edesplicitanounacontinuitaverticalefragradiscolaridiversi.


Grado2–2016

Formato:Sceltamultipla

Rispostacorretta:a.Bb.

Ambito:Numeri

Scopodelladomanda:Posizionarenumerisullaretta,dallaposizionealnumeroedalnumeroallaposizione.

IndicazioniNazionali

Traguardo:Riconosceeutilizzarappresentazionidiversedioggettimatematici(numeridecimali,frazioni,percentuali,scalediriduzione,...).

Obiettivi:Leggere,scrivere,confrontarenumeridecimali,rappresentarlisullaretta,edeseguiresempliciaddizioniesottrazioni,ancheconriferimentoallemoneteoairisultatidisemplicimisure.


Grado5–2016

Formato:Rispostaunivoca

Rispostacorretta:

Ambito:Numeri

Scopodelladomanda:Conoscerelediverserappresentazionideinumeriesaperliposizionaresullarettadeinumeri.


Traguardo:Riconosceeutilizzarappresentazionidiversedioggettimatematici(numeridecimali,frazioni,percentuali,scalediriduzione,...).

Obiettivi:Rappresentareinumericonosciutisullarettaeutilizzarescalegraduateincontestisignificativiperlescienzeeperlatecnica.


Grado8‐2018(CBT)


Rispostacorretta:C

Ambito:Numeri

Scopodelladomanda:Muoversisullarettanumericadiquantitanonintere.


Traguardo:Simuoveconsicurezzanelcalcoloancheconinumerirazionali,nepadroneggialediverserappresentazioniestimalagrandezzadiunnumeroeilrisultatodioperazioni.

Obiettivi:Rappresentareinumericonosciutisullaretta.


Grado10–2018(CBT)

Formato:Sceltamultiplacomplessa

Rispostacorretta:F‐V‐F‐V

Ambito:Numeri

Scopodelladomanda:Determinareilvalorediveritadiimplicazionirelativeagliordinamenticonnumerirealisenzaconoscerneilvaloreesatto.

Traguardo:Simuoveconsicurezzanelcalcolonumericoesimbolico;applicacorrettamenteleproprietadelleoperazioniconinumerireali;realizzaordinamenti,calcolaordinidigrandezzaedeffettuastimenumericheeapprossimazioni.Risolveequazioniedisequazioni.

IndicazioniNazionalieLineeGuida:Ordinamentodeinumerielororappresentazionesuunaretta.Rappresentazionegeometrica[deinumeri]suunaretta.


Risolvereproblemi

GliesempisceltifannoriferimentoalladimensioneRisolvereproblemidescrittanelQdRneiquattroambiti(Numeri,Relazioniefunzioni,Spazioefigure,Datieprevisioni).

Grado2–2018


Rispostacorretta:3

Ambito:Numeri

Scopodelladomanda:Risolvereunproblemaastrutturamoltiplicativaconunvincolo.


Traguardo:Riescearisolverefaciliproblemiintuttigliambitidicontenuto,mantenendoilcontrollosiasulprocessorisolutivo,siasuirisultati.Descriveilprocedimentoseguitoericonoscestrategiedisoluzionediversedallapropria.


Grado5–2016


Rispostacorretta:

Ambito:Relazioniefunzioni

Scopodelladomanda:Interpretareerisolvereunproblemapresentatoattraversoimmagini.


Traguardo:Riescearisolverefaciliproblemiintuttigliambitidicontenuto,mantenendoilcontrollosiasulprocessorisolutivo,siasuirisultati.


Grado8–2018(CBT)


Rispostacorretta:B

Ambito:Spazioefigure

Scopodelladomanda:RisolvereunproblemasfruttandoleproprietadellefiguregeometricheeilteoremadiPitagora.


Traguardo:Riconosceerisolveproblemiincontestidiversivalutandoleinformazionielalorocoerenza.

Obiettivi:Risolvereproblemiutilizzandoleproprietàgeometrichedellefigure.


Grado10–2018(CBT)


Rispostacorretta:D

Ambito:Datieprevisioni

Scopodelladomanda:Calcolareunaprobabilitadaundiagrammaadalbero.

Traguardo:Esprimevalutazioniestimediprobabilitainsituazionicaratterizzatedaincertezza.Esprimestimediprobabilitadieventicompostiapartiredallaconoscenzadelleprobabilitadieventielementari.

IndicazioniNazionalieLineeguida:Significatodellaprobabilitaesuevariazioni.Semplicispazi(discreti)diprobabilita:eventidisgiunti,probabilitacomposta,eventiindipendenti.Nozionidiprobabilità,conesempitrattidacontesticlassicieconl’introduzionedinozionidistatistica.


Argomentare

Gli esempi scelti fanno riferimento alla dimensione Argomentare descritta nel QdR neiquattroambiti(Numeri,Relazioniefunzioni,Spazioefigure,Datieprevisioni).Afferisconoaquestadimensionequesitineiqualierichiestalasceltaolaproduzionediunaargomentazione,oilcompletamentodiunadimostrazione.

Grado2–2016


Rispostacorretta:C

Ambito:Numeri

Scopodelladomanda:Riconoscereun’affermazionecorrettarelativaadunasituazionediproblemaadditivo.


Traguardo:Leggeecomprendetestichecoinvolgonoaspettilogiciematematici.


Grado5–2017

Formato:Rispostaapertaarticolata

Rispostacorretta‐Peresempio:“Sı,sonod’accordoconGiuliapercheseservono5bottiglietteperriempire la vaschetta e la stessa quantita d’acqua e contenuta in 15 bicchieri, a ogni bottigliettacorrispondono3bicchieri”

Ambito:Relazioniefunzioni

Scopodelladomanda:Giustificareun’affermazionestabilendorelazionitradiverseunitadimisuranonconvenzionali.


Traguardo:Costruisceragionamentiformulandoipotesi,sostenendoleproprieideeeconfrontandosiconilpuntodivistadeglialtri.


Grado8–2018(CBT)


Rispostacorretta:A

Ambito:Datieprevisioni

Scopodelladomanda:Utilizzarelavisioneglobalediungraficoperscegliereun’affermazionerelativaall’andamentodiseriestoriche.


Traguardo:Produceargomentazioniinbasealleconoscenzeteoricheacquisite(adesempiosautilizzareiconcettidiproprietacaratterizzanteedidefinizione).


Grado10–2018(CBT)

Formato:Cloze

Ambito:Spazioefigure

Rispostacorretta:parallele‐Talete‐AM‐congruenti

Scopodelladomanda:Completareunadimostrazionedistinguendol’ipotesidallatesiescegliendolerelazioni,leimplicazionieleconoscenzedautilizzarefraquelleproposte.

Traguardo: Produce argomentazioni esplicitando la tesi, utilizzando conoscenze e formeargomentativepertinentiallatesioggettodiargomentazione.

Indicazioni Nazionali e Linee Guida: Il significato dei termini postulato, assioma, definizione,teorema,dimostrazione.Comprenderedimostrazioniesvilupparesemplicicatenededuttive.Concettidipostulato,assioma,definizione,teorema,dimostrazione.

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Quadro di riferimento delle prove Invalsi di Matematica · 3 Quadro di Riferimento delle prove INVALSI di Matematica Documento pubblicato il 30.08.2018 scelte didattiche. E ± proprio