30
 A C B D O 63 cm 65 cm 56 cm 33 cm Exerc ice 1 : 1. Fai re un dessi n à l’éc hel le 1/1 0. Vo us lai sserez visibles les traits de construction. 2. Calculer x. 3. Démont rer q ue ABD e st rectan gle . Vo us  préciserez en quel point. 4. O est l e mil ieu de [AB]. Mo ntr er que OC = OD. Centres étrangers (Nice) Corri : 1. Dessin à l’échelle 1/10. 2. AB 2  = AC 2  BC 2  (Théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C)  65 2  = 63 2  x 2  x 2  = 4 225 – 3 969  x 2  = 256  x = 256  x = 14 (en cm) 3. AB 2  = 65 2  = 4 225 AD 2  BD 2  = 56 2  33 2  = 3 136  1 089 = 4 225  AB 2  = AD 2  BD 2 donc le triangle ABD est rectangle en D d’après la réciproque du théorème de Pythagore. 4. Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour mesure la moitié de la mesure de l’hypoténuse donc OC = AB 2  (dans le triangle ABC) et OD = AB 2  (dans le triangle ABD) donc OC = OD.  Théorème de Pythagore. Triangle rectangle A C A B A B D O

Pythagore.triangle Rectangle

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A

C

B

D

O

63 cm

65 cm

56 cm 33 cm

Exercice 1 :

1. Faire un dessin à l’échelle 1/10. Vous laisserez

visibles les traits de construction.

2. Calculer  x.

3. Démontrer que ABD est rectangle. Vous

 préciserez en quel point.

4. O est le milieu de [AB]. Montrer que OC = OD.

Centres étrangers (Nice)

Corrigé :

1. Dessin à l’échelle 1/10.

2. AB2 = AC2 BC2 (Théorème de Pythagore

dans le triangle ABC rectangle en C)

652 = 632  x2

x2 = 4 225 – 3 969 x2 = 256

 x = 256

 x = 14 (en cm)

3. AB2 = 652 = 4 225

AD2 BD2 = 562 332 = 3 136 1 089 = 4 225

AB2 = AD2 BD2 donc le triangle ABD est rectangle en D d’après la réciproque du théorème de

Pythagore.

4. Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour mesure la moitié de la

mesure de l’hypoténuse donc OC =AB

2(dans le triangle ABC) et OD =

AB

2(dans le triangle ABD)

donc OC = OD.

 

Théorème de Pythagore. Triangle rectangle

A

C

A

B

A

B

D

O

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Exercice 1 :

Soit un triangle ADE tel que

AD = 6,6 cm,

DE = 8,8 cm

AE = 11 cm.

B est le point du segment [AD]

tel que AB = 3 cm.

C est le point du segment [AE]

tel que (BC) soit parallèle à (DE).

Sur la figure ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées ; on ne demande pas de reproduire la

figure.

1. Calculer la longueur BC.

2. Montrer que le triangle ADE est rectangle.

3. Calculer la valeur, arrondie au degré, de l’angle DEA.

Centres étrangers (Bordeaux). Juin 2006

Corrigé :

AD = 6,6 cm,

DE = 8,8 cm

AE = 11 cm.

B est le point du segment [AD]

tel que AB = 3 cm.

C est le point du segment [AE]

tel que (BC) soit parallèle à (DE).

1. Dans le triangle ADE, B est un point de [AD], C est un point de [AE] et les droites (BC) et

(DE).sont parallèles, donc, d’après le théorème de Thalès : ABAD = BCDE

d ‘où3

6,6=

BC

8,8BC =

3 8,8

6,6BC = 4 (en cm)

2. AE2 = 112 = 121

AD2 DE2 = 6,62 8,82 = 43,56 77,44 = 121

donc AE2 = AD2 DE2 donc le triangle ADE est rectangle en D d’après la réciproque du théorème

de Pythagore.

3. cos DEA =DE

AEcos DEA =

8,8

11cos DEA = 0,8 DEA 37°

D E

A

B C

11 cm

   6 ,   6

  c  m

   3  c  m

8,8 cm

D E

A

B C

11 cm

   6 ,   6  c  m

   3

  c  m

8,8 cm

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PROBLEME

PARTIE 1

Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle ABCD de largeur AB = 9 cm et de

longueur BC = 12 cm.

1. Déterminer l’aire du triangle ACD.

2. Calculer AC.

Centres étrangers (Bordeaux). Juin 2006

Corrigé :

AB = 9 cm et BC = 12 cm .

1. Aire de ACD =AD CD

2

Aire de ACD = 12

92

Aire de ACD = 54 cm2 .

2. AC2 = AB2 BC2 (Théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B).

AC2 = 92 122 = 81 144 = 225

AC = 225 = 15 (en cm)

A D

B C

F

E

12 cm

   9  c  m

4 cm

A D

B C

F

E

12 cm

   9  c  m

4

cm

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Exercice 3 :

 La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

On ne demande pas de la reproduire.

Les points A, C et E sont alignés.

Les points B, C et D sont alignés.

Le triangle ABC est rectangle en B.

Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres.BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.

1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.

2. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

3. Calculer la longueur AB.

Ouest. Juin 2006

Corrigé :

BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.

1. CD2 DE2 = 9,62 42 = 92,16 16 = 108,16

CE2 = 10,42 = 108,16

CD2 DE2 = CE2 donc le triangle CDE est rectangle en D

d’après la réciproque du théorème de Pythagore

2. Le triangle ABC est rectangle en B donc (AB) est perpendiculaire à (BD).

Le triangle CDE est rectangle en D donc (DE) est perpendiculaire à (BD).

Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles donc (AB) et (DE) sont

 parallèles.

3. Les points A, C, E et les points B, C, D sont alignés, les droites (AB) et (DE) sont parallèles, donc

d’après le théorème de Thalès :

AB

DE =

BC

CD 

AB

4=

12

9,6 

AB =12 4

9,6

AB = 5 (en cm)

B

D

 A

E

C

B

D

 A

E

C

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Exercice 1 : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC = 3 et BC= 6.1. Faire la figure ; la compléter au fur et à mesure.

2. Calculer la valeur exacte de AB.

3. Calculer cos ACB ; en déduire la mesure en degrés de l’angle ACB.

4. Tracer la médiatrice du segment [BC] ; elle coupe la droite (AC) en E et la droite (AB) en O.

a. Démontrer que le triangle BEC est isocèle, puis qu’il est équilatéral.

 b. Démontrer que la droite (BA) est la médiatrice du segment [EC].

c. Citer deux transformations du plan par lesquelles le triangle BCO a pour image le

triangle BOE ; en préciser les éléments caractéristiques.Pondichéry. Avril 2006.

Corrigé :

1. Figure.

2. AB2 AC2 = BC2 (Théorème de Pythagore

dans le triangle ABC rectangle en A)

AB2 = 62 – 32

AB2 = 36 – 9

AB2 = 27

AB = 27

AB = 3 3.

3. cos ACB =AC

BC 

cos ACB =3

cos ACB = 0,5

d’où ACB = 60°.

4. a. Le point E appartient à la médiatrice de [BC] donc il est équidistant des points B et C.

Les segments [EC] et [EB] ont donc la même mesure, donc le triangle BEC est isocèle en E.

BEC est isocèle en E, donc les angles à la base BCE et EBC sont égaux.

BCE = 60° donc BCE = EBC = 60°.La somme des angles d’un triangle est égale à 180° donc :

BEC = 180° - ( EBC BCE ) = 180° - 60° 2 = 60°

Le triangle BEC a ses trois angles égaux donc il est équilatéral.

b. BAC est un triangle rectangle en A donc la droite (BA) est perpendiculaire à la droite (AC), donc

(BA) est la hauteur issue de B dans le triangle BEC. Dans un triangle équilatéral, les hauteurs sont aussimédiatrices donc (BA) est la médiatrice du segment [CE].

c. Le triangle BCO a pour image le triangle BOE

par la symétrie orthogonale d’axe (AB).

Le triangle BCO a aussi pour image le triangle BOE

par la rotation de centre O, d’angle 120°, dans le sens

des aiguilles d’une montre.B

C

E

OO

C

A B

C

E

 

O

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Exercice 2 :

1. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et BAC = 40°.

2. Calculer la longueur BC. (On donnera une valeur arrondie au millimètre).

3. a. Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ? Justifier.

 b. Tracer ce cercle.

4. En déduire la mesure de l’angle BOC.

Sud. Juin 2006

Corrigé :

1. Construire le triangle ABC :

2. tan BAC =BC

AC 

BC = AC tan BAC

BC = 5 tan 40°

BC 4,2 (arrondi au millimètre de 4,19… cm)

3. a. Le triangle ABC est rectangle en C donc

son cercle circonscrit a pour diamètre son

hypoténuse [AB].

Le centre O du cercle est donc le milieu de [AB].

 b. Tracer le cercle.

4. BOC est un angle au centre qui intercepte l’arc

 

BC.

L’angle BAC est inscrit dans le même cercle et intercepte le même arc BC donc la mesure de BOC

est double de la mesure de BAC, donc BOC = 80°.

PROBLEME.

Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm

et SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.

A B

S

C

D

E F

GH

C

A

B

OO

B

40°

   5  c  m

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Partie A

EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm.

1. a. Calculer EF.

b. Calculer SB.

2. a. Calculer le volume de la pyramide SABCD.

b. Donner le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à

la pyramide SEFGH.c. En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l’unité.

 Nord. Juin 2006

Corrigé :

Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm

et SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.

1.a Dans le triangle SAB, E est un point de [SA], F est un point de [SB] et les droites (EF) et (AB) sont

 parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :

 EF

AB=

SE

SA

 EF

9=

3

12 

EF =3 9

12= 2,25 (en cm).

 b. SB2 = SA2 AB2

(Théorème de Pythagore dans

le triangle SAB rectangle en A).

SB2 = 122 92

SB2 = 144 81

SB2 = 225

SB = 225 = 15 (en cm)

2.a. Volume d’une pyramide: V =Aire de la base hauteur 

3

Volume de SABCD :

9 9 12

3 = 324 (en cm3

)

b. Coefficient k de réduction : k =SE

SA=

3

12=

1

4

c. Le coefficient de réduction des longueurs étant k , le coefficient de réduction du volume est k 3.

k 3 =13

43 =1

64

Volume de SEFGH : 324 x1

64= 5,0625 (en cm3) soit 5 cm3 en arrondissant à l’unité.

A B

S

C

D

E F

G

 

H

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Exercice 2 :

Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que

SU = 3 cm.

1. Faire une figure.

2. Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.

3. Donner la valeur arrondie au dixième de l’angle STU.

4. En déduire une valeur approchée au dixième de SOU. Justifier votre réponse.

 Nord. Juin 2006

Corrigé :

1. Construire le cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm et U un point de ce

cercle tel que SU = 3 cm.

2. STU est inscrit dans le cercle avec

son côté [ST] pour diamètre, donc

STU est un triangle rectangle en U.

3. sin STU =SU

ST 

sin STU =3

7

STU 25,4 (arrondi de 25,37…)

 

4. SOU est un angle au centre et STU est un

angle inscrit. Ces deux angles interceptent

le même arc

 

SU, donc la mesure de l’angle

au centre est double de la mesure de l’angle inscrit.

SOU = 25,4° 2 = 50,8°

(l’arrondi est le même en prenant la valeur exacte de STU).

Exercice 1 :

L’unité de longueur est le cm.

1. Construire un triangle DNB tel que DN = 5, NB = 12 et BD = 13.

2. Démontrer que le triangle DNB est un triangle rectangle en N.

3. a. Calculer le sinus de l’angle DBN. Arrondir le résultat au millième.

 b. En déduire la mesure de l’angle DBN arrondie au degré près.

Polynésie. Juin 2006

OOTSSS

U

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Corrigé :

1. Construire un triangle DNB tel que DN = 5, NB = 12 et BD = 13.

2. DB2 = 132 = 169

DN2

BN2

= 52

122

= 25 144 = 169DB2 = DN2 BN2 donc le triangle DNB est un triangle rectangle en N, d’après la réciproque du

théorème de Pythagore.

3. a. sin DBN = ND

DB 

sin DBN =5

13 

sin DBN 0,385 (arrondi au millième de 0,384 6...)

b. DBN 23° (arrondi à l’unité de 22,6…)

Exercice 1 :

On considère la figure ci-contre qui n’est 

 pas réalisée en vraie grandeur.

Les points S, P, E, B sont alignés.

Les points N, P, C, M sont alignés.

Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.

On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm,

PB = 13,6 cm, PN = 9 cm.

1) Démontrer que le triangle PBM est rectangle.

2) En déduire la mesure de l’angle PBM arrondie au degré près.3) Calculer la longueur NS.

4) On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] telque PC = 3 cm.

Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?

Est. Juin 2006

N

S

B

M

P E

C

D BD B

 N

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Corrigé :

Les points S, P, E sont alignés.

Les points N, P, C, M sont alignés.

Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.

On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm,

PB = 13,6 cm, PN = 9 cm.

1) PB2 = 13,62 = 184,96

PM2 MB2 = 122 6,42 = 144 40,96 = 184,96

PB2 = PM2 MB2 donc le triangle PBM est rectangle en M d’après la réciproque du théorème de

Pythagore.

2) cos PBM =BM

PBcos PBM =

6,4

13,6PBM 62°

3) Le point N appartient à la droite (PM), le point S appartient à la droite (PB) et les droites (MB) et

(NS) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :

 NS

BM=

PN

PM 

 NS

6,4=

9

12NS =

6,4 9

12NS = 4,8 cm

4)PC

PM=

3

12=

1

4(ou 0,25)

PE

PB=

3,4

13,6=

1

4(ou 0,25)

donc PCPM = PEPB

Dans le triangle PBM, E est un point de [PB], C est un point de [PM] et les rapportsPC

PMet

PE

PBsont

égaux donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CE) et (MB) sont parallèles.

Exercice 2 :

la figure suivante n’est pas à reproduire ; elle n’est pas conforme aux mesures données.

On donne :

AB = 18 cm ; BC = 12 cm ;

BE = 7,5 cm ; BF = 5 cm ;

AE = 19,5 cm.

Les droites (FC) et (AE) sont parallèles.

a. Calculer FC.

 b. Montrer que ABE est un triangle rectangle.

c. Calculer la tangente de l’angle BAE.

F C

A E

B

N

S

B

M

P E

C

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d. En déduire la valeur arrondie au degré de l’angle BAE.

e. Une pyramide SABE a pour base le triangle ABE. Sa hauteur [SB] mesure 21 cm.

1. Calculer son volume V.

2. Une réduction S’A’B’E’ de cette pyramide est telle que sa hauteur [S’B’] mesure 7 cm.

Quel est le coefficient de réduction ?

En déduire le volume V’ de S’A’B’E’.

Antilles. Septembre 2005

Corrigé :

a. F est un point de (BE), C est un point de (AB) et les droites (FC) et (AE) sont parallèles,

donc d’après le théorème de Thalès :

 

FC

AE =

BC

AB donc

FC

19,5 =

12

18 

donc FC =19,5 12

18donc FC = 13 cm

 b. AE2 = 19,52 = 380,25

AB2 BE2 = 182 7,52 = 324 56,25 = 380,25

AE2 = AB2 BE2 donc le triangle ABE est rectangle en B d’après la réciproque du théorème de

Pythagore.

c. tan BAE =BE

AB

tan BAE =7,5

18

tan BAE 0,41666...

d. tan BAE =7,5

18d’où BAE 23° (arrondi à l’unité de 22,619…)

e. Pyramide SABE de base ABE et de hauteur 21 cm.

1. V =1

3

AB BE

2 21 =

1

3

18 7,5

2 21 =

1

3 67,5 21 = 472,5 (en cm3).

2. La pyramide S’A’B’E’ a pour hauteur 7 cm donc le coefficient de réduction est7

21donc

1

3 .

Le coefficient de réduction des longueurs étant k , le coefficient de réduction du volume

est k 3 donc1

27.

Volume V’ de S’A’B’E’ =1

27 472,5 = 17,5 (en cm3).

F C

A E

B

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Exercice 2 :

On sait que :

EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6 cm.

Les points E, O et C sont alignés.

Les triangles ENO et OCA sont

respectivement rectangles en E et C.La droite (AO) coupe la droite (NE) en S.

1) Montrer que la mesure de [AC] est 3 3 (en cm).

2) a) Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles.

b) Calculer les valeurs exactes de OS et ES.

3) Calculer ON sachant que NOE = 30°.

Arrondir au mm.

4) a) Calculer l’angle COA.

b) Démontrer que le triangle SON est rectangle.

Amérique du Nord. Juin 2006

Corrigé :

1) Montrer que la mesure de [AC] est 3 3 (en cm).

OA2 = AC2 OC2

(Théorème de Pythagore dans le triangle OAC rectangle en C)

AC2 = 36 9 AC2 = 27 AC = 9 3 AC = 3 3 (en cm)

2) a) Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles.Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.

Les droites (NS) et (AC) sont perpendiculaires à la même droite

(EC) donc elles sont parallèles

b) Calculer les valeurs exactes de OS et ES.

Les points A,O,S d’une part et les points C,O,E d’autre part

sont alignés, et les droites (AC) et (ES) sont parallèles donc,

d’après le théorème de Thalès :OS

OA

=OE

OC

=ES

AC

doncOS

6

=5

3

etES

3 3

=5

3

d’où :

OS =5 6

3=

30

3= 10 (en cm) et ES =

5 3 3

3= 5 3 (en cm)

3) Calculer ON sachant que NOE = 30°. Arrondir au mm.

cos NOE =OE

ONdonc ON =

OE

cos NOEd’où ON =

5

cos 30°ON 5,8 cm

4) a) Calculer l’angle COA.

cos COA =OC

OAcos COA =

3

6cos COA = 0,5 d’où COA = 60°

b) Démontrer que le triangle SON est rectangle.

Les angles AOC et EOS sont opposés par le sommet, donc ils sont égaux, donc EOS = COA = 60°.

 NOS = NOE + EOS = 30° 60° = 90° .

Le triangle SON a un angle droit donc le triangle SON est rectangle en O.

E C

A

 N

S

O

6 cm

5 cm 3 cm

30°

EC

A

 N

S

O

6 cm

5 cm 3 cm

 

30

EC

A

S

O

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Exercice 3 :

Sur la figure ci-dessous, les mesures ne sont pas respectées.

On considère un cercle C de diamètre HA = 9 cm.

Soit M un point du cercle C tel que MA = 5,3 cm

et T un autre point du cercle C .

1. Justifier que MAH est un triangle rectangle.

2. Calculer la mesure de l’angle MHA, arrondie à l’unité.

3. Déterminer la mesure de l’angle HTM, arrondie à l’unité.

Antilles. Juin 2006

Corrigé :

On considère un cercle C de diamètre HA = 9 cm.

Soit M un point du cercle C tel que MA = 5,3 cm

et T un autre point du cercle C .

1. Le triangle MAH est inscrit dans le cercle C avec

son côté [AH] pour diamètre, donc MAH est un

triangle rectangle en M.

2. sin MHA =AM

AHsin MHA =

5,3

9

d’où MHA 36° (arrondi à l’unité de 36,07…).

3. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires donc :

HAM = 90° - MHA HAM 90° - 36° 54° (ou somme des angles d’un triangle)

Les angles HAM et HTM sont inscrits dans le cercle C et interceptent le même arc

 

HM,

donc ils sont égaux donc HTM 54°.

Exercice 3 :

 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J) ; OI = OJ = 1 cm.

1. Placer les points A(3 ; 0), B(4 ; 3), C(-4,5 ; 0) et D(-6 ; -4,5).On admet que les points B, O, D sont alignés.

2. Donner sans justifier les longueurs OA et OC.

Montrer que OB = 5 cm et OD = 7,5 cm.

3. Prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].

Placer le point M. Tracer la droite (OM) ; elle coupe le segment [CD] en N.

5. La propriété de Thalès permet d’écrire : d’une partOC

OA=

CN

AM, d’autre part

OC

OA=

CD

AB.

Quels sont les deux triangles considérés dans le premier cas ? dans le deuxième cas ?

6. En utilisant les deux égalités précédentes et en remplaçant AB par 2 AM, prouver que N est le

milieu de [CD].

Amérique du Sud. Novembre 2005

 AH

M

T

 AH

M

T

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Corrigé :

1. Placer les points A(3 ; 0), B(4 ; 3), C(-4,5 ; 0) et D(-6 ; -4,5).

2. OA = 3 et OC = 4,5

[OB] est l’hypoténuse du triangle OBH rectangle en H dont les côtés de l’angle droit mesurent 3

cm et 4 cm, donc OB = 5 cm (théorème de Pythagore)

De même, [OD] est l’hypoténuse du triangle ODK rectangle en K donc :

OD2 = OK 2 DK 2. OD2 = 62+ 4,52 OD2 = 36 + 20,25 OD = 56,25 OD = 7,5

3.OB

OD=

5

7,5=

2

OA

OC=

3

4,5=

2

3donc

OB

OD=

OA

OC

Les points A, O, C et les points B, O, D sont alignés dans cet ordre et les rapportsOB

ODet

OA

OC

sont égaux, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de

Thalès.

4. M est le milieu de [AB] donc M a pour coordonnées ( xA  xB

2; yA  yB

2), donc

M(3 4

2;

0 3

2) M( 3,5 ; 1,5)

Placer les points M et N.

5. La propriété de Thalès permet d’écrire :

d’une part OCOA

= CNAM

, les triangles considérés étant OCN et OAM

d’autre partOC

OA=

CD

AB, les triangles considérés étant OCD et OAB.

 

6. En utilisant les deux égalités précédentes et en remplaçant AB par 2 AM, prouver que N est le

milieu de [CD].

 OC

OA=

CN

AMet

OC

OA=

CD

ABdonc

CN

AM=

CD

AB

 CN

AM=

CD

ABet AB = 2 AM, donc

CN

AM=

CD

2 AMdonc CD = 2 CN ou CN =

1

2CD.

C, N et D étant alignés dans cet ordre, on peut en déduire que N est le milieu de [CD].

O

 

J

 A

B

C

D

M

N

I H

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PROBLEME

 x est un nombre positif compris entre 0 et 10. Les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm2 .

Première partie

 La figure ci-contre est effectuée à main levée.

 Il s’agit de savoir s’il existe une valeur de x

 pour laquelle ABC est un triangle rectangle.

1. Calculer AB et AC lorsque x = 4.

Lorsque x = 4, ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse.

2. Développer et réduire ( x 7)2 et ( x 8)2. En déduire : AB2 – AC2 = 2 x 15.Quelle est la valeur de AB2 – AC2 lorsque x = 0, lorsque x = 10 ?

La valeur de BC2 dépend-elle du nombre x ?

3. Soit f la fonction constante : x 25 et g la fonction affine : x 2 x 15.

La représentation graphique de la fonction f est tracée dans le repère de la figure n° 1

de la feuille annexe.

Construire la représentation graphique de la fonction g dans ce même repère.

4. Nommer R le point d’intersection des représentations graphiques des fonctions f et g .

Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles, donner les coordonnées de R.

Lorsque x est égal à l’abscisse de R, ABC est un triangle rectangle ; en quel sommet et

 pourquoi ?

Deuxième partie

 Dans cette partie, x = 5. Le triangle ABC est alors rectangle en C ; il est représenté en réduction sur 

la figure n°2 de la feuille annexe.

1. Placer le milieu O de [AC] puis calculer l’aire de chacun des triangles ABC, BCO et ABO.

2. Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Quel est le rôle du point O pour le segment [BD] ? Pourquoi ?

Calculer l’aire du quadrilatère ABCD.

Troisième partie

 Dans cette partie, utiliser encore la figure n°2 de la feuille annexe.

1. Construire les points M et P tels que 

OM = 

OB

OC et 

BP = 

BO

BC.

2. Citer, sans justifier, les images des points B, O et D par la translation de vecteur  

OC.

Les points M, C et P sont-ils alignés ? Pourquoi ?

3. Construire l’image E de C par la translation de vecteur  

OC et tracer en vert l’image du

 parallélogramme ABCD par la translation de vecteur  

OC.

Quelle est l’aire du quadrilatère POME ? Pourquoi ?

A

C

B

5

8

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FEUILLE ANNEXE A JOINDRE A LA COPIE

Figure n°1 du problème

Sur l’axe des abscisses, 1 cm représente une unité.

Sur l’axe des ordonnées, 1 cm représente 5 unités.

Figure n°2 du problème

Amérique du Sud. Novembre 2005

2 4 6 8 10 12 140

10

20

30

40

C

B

A

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Corrigé :

Première partie

La figure ci-contre est effectuée à main levée.

Il s’agit de savoir s’il existe une valeur de x

 pour laquelle ABC est un triangle rectangle. 

1. Lorsque x = 4, AB = 12 et AC = 11.Si ABC était rectangle, il le serait en C puisque le plus grand côté [AB] serait alors l’hypoténuse.

Mais 122 = 144 et 112 52 = 121 25 = 146. 144 146

La relation de Pythagore n’est pas vérifiée donc ABC n’est pas un triangle rectangle.

2. AC2 = ( x 7)2 AC2 = x2 14 x 49 AB2 = ( x 8)2 = x2 16 x 64.

AB2 – AC2 = x2 16 x 64 - x2 - 14 x - 49. AB2 – AC2 = 2 x 15.

Lorsque x = 0, AB2 – AC2 = 15. Lorsque x = 10, AB2 – AC2 = 2 10 15 = 35.

La valeur de BC2 ne dépend pas du nombre x. Quelle que soit la valeur de x, BC2 = 52 = 25.

3. g ( x) = 2 x 15 est une fonction affine, représentée graphiquement par une droite ne passant pas par 

l’origine (ici par un segment puisque x est compris entre 0 et 10).Pour la tracer, je détermine deux deses points. g (0) = 15 et g (10) = 35. Cette droite passe donc par les points de coordonnées (0 ; 15) et

(10 ; 35).

4. Par lecture graphique : R(5 ; 25).

Quand x = 5,  f ( x) = g ( x) donc BC2 = AB2 – AC2 donc  AB2 = BC2 AC2 doncABC est rectangle en C .

 

Deuxième partie :

1. Placer le milieu O de [AC].

 x = 5 donc AC = 5 7 = 12, AB = 5 8 = 13 et BC = 5. OA = OC =AC

2 =12

2 = 6 (en cm)

Aire du triangle ABC :AC BC

2=

12 5

2= 30 (en cm2) Aire de BCO :

BC OC

2=

5 6

2= 15 (en

cm2)

Aire de ABO :OA BC

2=

6 5

2= 15 (en cm2)

2. Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales ont le même milieu donc O étant le milieu de

[AC] est aussi le milieu de [BD].

O est centre de symétrie du parallélogramme ABCD : le triangle ABC d’aire 30 cm2 a pour 

symétrique le triangle ADC de même aire. L’aire du quadrilatère ABCD est donc la somme des airesdes deux triangles, donc 60 cm2.

Troisième partie

1. Construire les points M et P tels que 

OM = 

OB

OC et 

BP = 

BO

BC.

2. Les images respectives des points B, O et D par la translation de vecteur  

OC sont M, C et P.

Les points B, O, D sont alignés et la translation conserve l’alignement donc les points M, C et P sont

alignés.

3. Construire l’image E de C par la translation de vecteur  

OC et tracer en vert l’image du

 parallélogramme ABCD par la translation de vecteur  

OC.

POME est l’image de ABCD par la translation de vecteur  

OC et la translation conserve les aires

donc le quadrilatère POME a la même aire que ABCD donc 60 cm2 .

A

7

C

B

5

8

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ANNEXE

Figure n°1 du problème

Figure n°2 du problème

2 4 6 8 10 12 140

10

20

30

40

5

25

C

B

AO

D

M

P

E

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Exercice 2 :IJK est un triangle tel que IJ = 9,6 cm, JK = 10,4 cm et IK = 4 cm.

1. Tracer le triangle IJK en vraie grandeur.

2. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en I.

3. Calculer la tangente de l’angle IKJ ; en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de

l’angle IKJ.

4. M est le point du segment [IJ] tel que IM = 7,2 cm ;

 N est le point du segment [IK] tel que IN = 3 cm.

a) Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles. b) Calculer la distance MN.

Ouest. Septembre 2005

Corrigé :

1. Tracer IJK en vraie grandeur.

2. KJ2 = 10,42 = 108,16

IK 2 IJ2 = 42 9,62

IK 2 IJ2 = 16 92,16

IK 2 IJ2 = 108,16

 

IK 2 IJ2 = KJ2 donc le triangle IJK est rectangle en I d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

3. tan IKJ =IK 

IJtan IKJ =

9,6

4tan IKJ = 2,4 d’où IKJ 67° (arrondi de 67,38..)

4. a)IM

IJ=

7,2

9,6= 0,75

IN

IK =

3

4= 0,75 donc

IM

IJ=

IN

IK 

Dans le triangle IJK, M est un point de [IJ], N est un point de [IK] et les rapportsIM

IJet

IN

IK sont

égaux,

donc les droites (MN) et (JK) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.

b) Dans le triangle IJK, M est un point de [IJ], N est un point de [IK] et (MN) est parallèle à (JK)

donc,

d’après le théorème de Thalès :MN

JK  =IN

IK  doncMN

10,4 =3

4 donc MN =3 10,4

4 = 7,8 (en cm)

K JK J

II

M

I

 N

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Exercice 2 :

Soit C le cercle de centre O et de rayon 4 cm.

[AB] est un diamètre du cercle C et M est un point de ce cercle tel que AM = 5 cm.

1. Faire une figure en respectant les dimensions données et la compléter au fur et à mesure.

2. Démontrer que AMB est un triangle rectangle.

3. Calculer sin MBA. En déduire la mesure de MBA arrondie au degré.4. Placer le point R milieu du segment [OB]. Tracer le symétrique de M par rapport à R, on

l’appelle P. Quelle est la nature du quadrilatère MBPO ? (Justifier)

5. En déduire que 

MO = 

BP.

6. Construire le point N tel que 

MN = 

MO

BP.

 Nord. Septembre 2005

Corrigé :

Soit C le cercle de centre O et de rayon 4 cm.

[AB] est un diamètre du cercle C.

M est un point de ce cercle tel que AM = 5 cm.

7. Tracer le cercle et placer les points A, B, O et M.

8. M appartient au cercle de diamètre [AB] donc le triangle AMB est rectangle en M.

9. sin MBA =AM

ABsin MBA =

5

sin MBA = 0,625 MBA 39°.

10. Placer R milieu de [OB] et P le symétrique de M par rapport à R.

P et M sont symétriques par rapport à R donc R est le milieu de [MP]. R est aussi le milieu de

[OB].

Le quadrilatère MBPO a ses diagonales de même milieu donc c’est un parallélogramme.11. MBPO est un parallélogramme donc les vecteurs

 

MO et 

BP sont égaux.

12. Construire N tel que 

MN = 

MO

BP.

OO

BAA

M

P N

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Exercice 2 :

1. Construire :

a. Un carré ABCD de centre O et de côté 3 cm.

 b. Le point E tel que 

OE = 

OA

OB.

c. Le point F, symétrique de O par rapport à C.

d. Le point G tel que 

CG = 

BO.

2. Démontrer que :

a. Les points O, F, G sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

 b. Le triangle OFG est rectangle en G.

Est. Septembre 2005

Corrigé :

1. Constructions :

a. carré ABCD de centre O et de côté 3 cm.

b. E tel que

 

OE =

 

OA

OB.c. F, symétrique de O par rapport à C.

d. G tel que 

CG = 

BO.

2.a. F est le symétrique de O par rapport à C donc

C est le milieu de [OF] et OC = CF.

Les diagonales d’un carré ont la même mesure

et se coupent en leur milieu donc OC = OB.

  

CG = 

BO donc CG = BO.

OC = OB et CG = BO donc OC = CG.

OC = CF = CG donc les points O, F, G sont situés

sur le cercle de centre C et de rayon OC.(Remarque : la diagonale du carré mesure 3 2 (Théorèmede Pythagore dans ADC) et le rayon du cercle est une

demi-diagonale donc il mesure3 2

2)

b. Le point G appartient au cercle de diamètre [OF] donc le triangle OFG est rectangle en G.

C

A

B

A B

CD

O

E

FG F

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Exercice 1 :

Le triangle ABC est rectangle en A.

On donne : AC = 6 cm AB = 8 cm

1. Tracer la médiane AM du triangle ABC.

2. Calculer, en cm, la longueur BC.

3. En déduire, en cm, la longueur AM.

4. Calculer cos ABC.

5. En déduire, en degrés, la valeur de l’angle ABC. Arrondir le résultat à l’unité.

ST Est. Septembre 2005

Corrigé :

Le triangle ABC est rectangle en A.

On donne : AC = 6 cm AB = 8 cm

6. Tracer la médiane AM du triangle ABC.

7. Calculer, en cm, la longueur BC.

BC2 = AB2 AC2 (théorème de Pythagore)

BC2 = 82 62

BC2

= 64 36BC2 = 100

BC = 100

BC = 10

8. En déduire, en cm, la longueur AM.

La médiane issue du sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle a pour mesure la moitié de la

mesure de l’hypoténuse.

AM =BC

2=

10

2= 5 (en cm)

9. cos ABC =AB

BCcos ABC =

8

10(ou 0,8) .

10. ABC 37°. (Arrondi à l’unité de 36,8…).

C

A

B

M

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Exercice 1 :  Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,I,J). L’unité de longueur est le cm.

1. Dans un tel repère, placer les points : A(3 ; 2) ; B(1 ; 2) ; C(3 ; 0).

2. Calculer la valeur exacte de AB.

3. a. Sachant que BC = 20, en déduire que ABC est un triangle isocèle.

b. Sachant de plus que AC = 40, prouver que ABC est un triangle rectangle.

4. Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC]. Placer M.

5. Construire le point D symétrique du point B par rapport au point M.

Calculer les coordonnées du point D.6. Prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

7. En déduire la nature exacte du quadrilatère ABCD.

 Nouvelle-Calédonie. Décembre 2005

Corrigé :

1. Placer les points A, B et C.

2. AB = ( xB

 xA)2 ( y

B y

A)2

AB = (1 3)

 

2 (2 (2))2

AB = (2)2 42

AB = 4 16

AB = 20

3. a. AB = BC = 20donc le triangle ABC est isocèle en B

b. AB2 BC2 = 20 20 = 40 AC2 = 40

donc AC2 = AB2 BC2 

donc le triangle ABC est rectangle en B

d’après la réciproque du théorèmede Pythagore.

4. M est le milieu de [AC] donc

 xM = xA  xC

2=

3 3

2= 0 et

 yM = yA  yC

2=

2 0

2= 1

donc M a pour coordonnées (0 ; 1). Placer M.5. Construire D symétrique de B par rapport à M.

D est le symétrique de B par rapport à M, donc M est le milieu de [BD] donc

 xM = xB  xD

2 et  yM = yB  yD

2

xM = xB  xD

2donc 0 =

1  xD

2d’où  xD = 1

yM = yB  yD

2donc 1 =

2  yD

22  yD = 2  yD = 4

D a donc pour coordonnées (1 ; 4).

6. M est le milieu de [AC] et M est le milieu de [BD] donc le quadrilatère ABCD a ses diagonales de

même milieu donc ABCD est un parallélogramme.

7. Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même mesure (AB = BC) donc ABCD estun losange.

Le losange ABCD a un angle droit (ABC est un triangle rectangle en B, question 3.b.) donc ABCD

est un carré.

O I

J

A

B

C

M

D

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Exercice 2 :

 L’unité de longueur est le millimètre.

Soit ABCH un trapèze rectangle en A et H.

(HB) et (BC) sont des droites perpendiculaires.

(Ce schéma n’est donné qu’à titre indicatif)

1. Construire la figure sachant que AH = 36 et AB = 48.

2. Calculer HB.

3. Calculer cos AHB.

4. En déduire la mesure de l’angle AHB, puis de l’angle BHC arrondies à 1° près.

 Nouvelle-Calédonie. Décembre 2005

Corrigé :

1. Construire la figure.

2. Dans le triangle AHB rectangle en A :

HB2 = AH2 AB2 (Théorème de Pythagore)

HB2 = 362 482

HB2 = 1296 2304HB2 = 3600

HB = 3600 = 60 (en mm)

3. cos AHB =AH

HBcos AHB =

36

60cos AHB = 0,6

4. cos AHB = 0,6 d’où AHB 53° (arrondi à l’unité de 53,13…)

BHC = 90° AHB BHC 90° 53° 37°

Suite pages suivantes

A B

H C

 

48

36

A B

H C

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Géométrie :

La figure ci-contre représente la façade d’un abri

du jardin pour four tahitien (fare ahima’a).

Il est composé de deux pans de toit en tôles et

d’une charpente métallique.

La figure n’est pas à l’échelle.

Dans tout le sujet A, l’unité de longueur est le

mètre.

1. Construire la figure à l’échelle1

100 

(1 cm représente 1 m) sachant que :

AC = 4 BC = 3 FE = 4 DF = 2 CF = 1 AG = CH = FI = EJ = 2,5

2. En utilisant le théorème de Pythagore, calculer la longueur AB.

3. Calculer la valeur de la tangente de l’angle DEF.

4. En déduire la valeur de l’angle DEF (valeur arrondie à l’unité).

5. Calculer la longueur totale des fers de la façade soit AE AG BH DI EJ.

ST Polynésie. Septembre 2005

Corrigé :

1. Construire la figure à l’échelle1

100 

Remarque : le sujet n’indique pas de

quelle longueur débordent les tôles

 par rapport à la charpente.

 

AC = 4 BC = 3

FE = 4 DF = 2

CF = 1

AG = CH = FI = EJ = 2,5

 

2. Dans le triangle ABC rectangle en C :

AB2 = AC2 BC2 (théorème de Pythagore)

AB2 = 42 32 AB2 = 16 9

AB = 25 = 5

3. Tan DEF =DF

FEtan DEF =

2

tan DEF = 0,5.

4. DEF 27° (arrondi à l’unité de 26,56..).

5. Longueur totale des fers de la façade : AE AG BH DI EJ = 9 2,5 5,5 4,5 2,5 = 24 m.

G J

A EC F

H I

B

D

G J

A EC F

H I

B

D

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PROBLEME

 Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,I,J). L’unité de longueur est le centimètre.

1. Déterminer la fonction affine f telle que f(4) = 2 et f(0) = 6.

2. En utilisant les points A(4 ; 2) et B(0 ; 6), tracer la représentation graphique de la fonction

affine f.3. Soit g la fonction affine définie par g( x) =

1

2 x 1.

a) Construire la droite (d) représentant graphiquement la fonction g.

 b) Montrer que C(4 ; 1) appartient à (d) et placer le point C.

4. Résoudre par le calcul le système suivant :

 y = 2 x 6

 y =1

2 x 1

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement le résultat.

5. Montrer que le point E(2 ; 2) est le milieu du segment [AB].

6. Calculer les valeurs exactes des longueurs AE, EC et AC.

Montrer que le triangle AEC est rectangle.

7. Construire le point F symétrique du point C par rapport à E.

Montrer que ACBF est un losange.

Polynésie septembre 2005.

Corrigé :

1. f est une fonction affine donc de la forme f( x) = a x b.

f(0) = 6 donc b = 6

f(4) = 2 et f(4) = 4a + 6 donc 4a 6 = 2 d’où 4a = 8 a = 2.

La fonction f est donc définie par f(x) = 2 x 6

2. Représentation graphique de f.

3. a) g( x) =1

2 x 1 est représentée par la droite (d) qui ne passe pas par l’origine. Pour la tracer, je

détermine deux de ses points : g(2) = 2 et g(8) = 5.

(d) passe par les points de coordonnées (2 ; 2) et (8 ; 5).

b) g(4) =1

2 (4) 1 = 2 1 = 1 donc le point C appartient à (d).

4.

 y = 2 x 6

 y =1

2 x 1

 

En remplaçant y par 2 x 6 dans la deuxième équation, on obtient : 2 x 6 =1

2

 x 1.

2 x 6 =1

2 x 1 2 x

1

2 x = 1 6

5

2 x = 5  x =

5

5

2

   x = 5 2

5   x = 2

d’où y = 2 2 6 = 2

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Vérification :

2 = 2 2 6 = 2

2 =1

2 2 1 = 1 1 = 2

Le couple solution du système est (2 ; 2)

Ce résultat est le couple de coordonnées du point d’intersection des représentations graphiques de f et g

( y = f( x) = g( x))

5. Calculons les coordonnées du milieu de [AB] :

   xA  xB

2= 4 0

2= 2  yA  yB

2= 2 6

2= 4

2= 2 Le point E(2 ; 2) est donc le milieu de [AB].

6. AE = ( xE  xA)2 ( yE  yA)2 = (2 4)2 (2 2)2 = (2)2 42 = 4 16 = 20

EC = ( xC  xE)2 ( yC  yE)2 = (4 2)2 ( 1 2)2 = (6)2 (3)2 = 36 9 = 45

AC = ( xC  xA)2 ( yC  yA)2 = (4 4)2 (1 2)2 = (8)2 12 = 64 1 = 65

AC2

= 65 AE2

EC2

= 20 45 = 65 donc AC2

= AE2

EC2

donc AEC est un triangle rectangle enE d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

7. Construction de F, symétrique de C par rapport à E.

F et C sont symétriques par rapport à E donc E est le milieu de [CF].

E est aussi le milieu de [AB] (question 5.)

Le quadrilatère ACBF a ses diagonales de même milieu donc ACBF est un parallélogramme.

AEC est un triangle rectangle en E (question 6.) donc [AB] et [CF] sont perpendiculaires.

Le parallélogramme ACBF ayant ses diagonales perpendiculaires est donc un losange.

O I

J

C

E

A

B

F

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Sujet A : activités géométriques. (Annexe page suivante)

1. Sur l’annexe 1, on a tracé un segment [AB] tel que AB = 84 mm.

a. A partir de ce segment, construire avec soin, sur l’annexe 1, un point C, en-dessous du

segment [AB], tel que AC = 112 mm et BC = 140 mm.

Laisser visibles les traits de construction.

 b. Construire, sur l’annexe 1, le triangle ABC.

2. Prouver que le triangle ABC est un triangle rectangle. Préciser l’angle droit.

3. a. Calculer sin ACB. b. En déduire, en degrés, la mesure de l’angle ACB, puis celle de l’angle ABC.

Arrondir le résultat à l’unité.

4. a. Placer sur la figure de l’annexe 1 le point E sur le segment [AB] tel que BE = 30 mm.

 b. Soit la droite (d) parallèle au côté [BC] et passant par le point E.

Cette droite coupe le segment [AC] au point K.

Tracer sur l’annexe 1 cette droite (d) et placer le point K.

5. Calculer la mesure du segment [AE].

6. Le triangle EAK est rectangle en A. On donne AE = 54 mm et AEK = 53°.

Calculer, en mm, la mesure du segment [AK]. Arrondir le résultat à l’unité.

7. Quelle est la nature du quadrilatère BEKC ? Justifier votre réponse.8. Calculer, en mm3, l’aire du quadrilatère BEKC si AE = 54 mm et AK = 72 mm.

Rappel : Aire d’un triangle :  A = B h

2

Série technologique. Sud. Juin 2006

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ANNEXE 1

(à rendre avec la copie)

Activités géométriques : questions 1.a. et 1.b

A

B

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Corrigé :

1. a. Construction du point C.

b. Construction du triangle ABC.

2. BC2 = 1402 = 19 600

AB2 AC2 = 842 1122

= 7 056 12 544= 19 600

BC2 = AB2 AC2 donc le triangle ABC est

rectangle en A d’après la réciproque du

théorème de Pythagore.

3. a. sin ACB =AB

BC 

sin ACB =84

140 

sin ACB = 0,6.

b. ACB 37° (arrondi à l’unité de 36,86…) .

Les angles aigus d’un triangle rectangle sont

complémentaires

donc ABC = 90° - ACB

= 90° - 37°

= 53°.

4. Placer E, tracer (d) et placer K.

5. AE = AB – BE

AE = 84 – 30AE = 54 (en mm)

6. Dans le triangle AEK rectangle en A :

tan AEK =AK 

AE 

AK = AE tan AEK 

AK = 54 tan 53°

AK  72 (en mm)

7. (d) est parallèle à (BC) donc (EK) est parallèle à (BC).Le quadrilatère BEKC a deux côtés parallèles donc c’est un trapèze.

8. Aire de BEKC = aire de ABC – aire de AEK 

=AB AC

2-

AE AK 

2

=84 112

2 – 

54 72

2

= 4 704 – 1 944

= 2 760 (en mm2)

A

BB

A

C

E