PYTHAGORE !VOUS AVEZ DIT THEOREME DE PYTHAGORE

ACTIVITE PREPARATOIRE

Construire un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 7 cm et AC = 4 cm

Mesurer la longueur BC : BC 8 cmCalculer BC2 et AB2 + AC2 :

BC2 64 cm2

AB2 + AC2 = 49 + 16 = 65 cm2BC2 AB2 + AC2

C

A B

CLIQUEZ ICI : GEOPLANW

UTILITE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Le théorème de PYTHAGORE permet de déterminer la longueur du coté d’un triangle rectangle connaissant la longueur des deux

autres cotés.

A

B

C

UTILITE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Exemple :

soit le triangle ABC rectangle en A,

si je connais les longueurs AC et BC,

je vais pouvoir déterminer la longueur AB.

A

B

C

L’HYPOTENUSE ?

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

C’est toujours le côté le plus long.

BC est l’hypoténuse

A

B

C

ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Si un triangle ABC est rectangle en A

Alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.

A

B

C

ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Si un triangle ABC est rectangle en A

Alors : BC2 = BA2 + AC2

A

B

C

APPLICATION 1

Soit le triangle ABC rectangle en B.

On donne AB = 4 cm et BC = 3 cm

Calculer AC.C

A B

APPLICATION 1

C

AB = 4 cm

BC = 3 cmAC = ?

A B

APPLICATION 1

Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE on

peut écrire :

AC2 = AB2 + BC2

C

AB = 4 cm

BC = 3 cmAC = ?

A B

APPLICATION 1

AC2 = AB2 +BC2

AC2 = 42 + 32

AC2 = 16 + 9

C

AB = 4 cm

BC = 3 cmAC = ?

A B

APPLICATION 1

AC2 = 25

C

AB = 4 cm

BC = 3 cmAC = ?

A B

APPLICATION 1

AC2 = 25

AC = 25

C

AB = 4 cm

BC = 3 cmAC = ?

A B

APPLICATION 1

AC2 = 25

AC = 25

AC = 5 cm

C

AB = 4 cm

BC = 3 cmAC = ?

A B

APPLICATION 2

Soit le triangle ABC rectangle en B.

On donne AB = 3 cm et AC = 7 cm.

Calculer BC. AB

C

APPLICATION 2

AB = 3 cm

AC = 7 cmBC = ?

AB

C

AB = 3 cm

BC = ?

APPLICATION 2

Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE :

AC2 = AB2 + BC2

AC = 7 cm

AB

C

AB

C

AB = 3 cm

BC = ?

APPLICATION 2

AC2 = AB2 + BC2

72 = 32 + BC2

49 = 9 + BC2

49 - 9 = BC2

40 = BC2

BC2 = 4O

AC = 7 cm

AB

C

AB = 3 cm

BC = ?

APPLICATION 2

AC2 = AB2 + BC2

72 = 32 + BC2

49 = 9 + BC2

49 - 9 = BC2

40 = BC2

BC2 = 4O

BC = 40

AC = 7 cm

AB

C

AB = 3 cm

BC = ?

APPLICATION 2

AC2 = AB2 + BC2

72 = 32 + BC2

49 = 9 + BC2

49 - 9 = BC2

40 = BC2

BC2 = 4O

BC = 40

BC 6,32 cm

AC = 7 cm

APPLICATION 3

Soit la grue ci dessous :

détermination de la longueur du tirant d’une grue

C

A

BD

APPLICATION 3

Soit la grue ci dessous :

détermination de la longueur du tirant d’une grue

C

A

BD

On donne AD = 3 m, CD =2 mBC = 12,5 mCALCULER AB

APPLICATION 3

C

A

BD3 m

2 m 12,5 m

AB = ?

On calcule d’abord AC

C

A

D

3 m

2 m

AC = ?

APPLICATION 3

Le triangle ACD est rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore :

AD2 = DC2 + AC2

C

A

D

3 m

2 m

AC = ?

APPLICATION 3

AD2 = DC2 + AC2

32 = 22 + AC2

9 = 4 + AC2

C

A

D

3 m

2 m

AC = ?

APPLICATION 3

9 - 4 = AC2

5 = AC2

AC2 = 5

C

A

D

3 m

2 m

AC = ?

APPLICATION 3

9 - 4 = AC2

5 = AC2

AC2 = 5

AC = 5

C

A

D

3 m

2 m

AC = ?

APPLICATION 3

9 - 4 = AC2

5 = AC2

AC2 = 5

AC = 5

AC 2,24 m

APPLICATION 3

Le triangle ACB est rectangle en C, on peut utiliser le théorème de Pythagore :

AB2 = BC2 + AC2

A

C B

5 m

12,5 m

APPLICATION 3

AB2 = BC2 + AC2

AB2 = 12,52 +5

AB2 = 156,25 + 5

AB2 = 161,25

A

C B

5 m

12,5 m

AB = ?

APPLICATION 3

AB2 = BC2 + AC2

AB2 = 12,52 +5

AB2 = 156,25 + 5

AB2 = 161,25

AB = 161,25

A

C B

5 m

12,5 m

AB = ?

APPLICATION 3

AB2 = BC2 + AC2

AB2 = 12,52 +5

AB2 = 156,25 + 5

AB2 = 161,25

AB = 161,25

AB 12,7 m

A

C B

5 m

12,5 m

AB = ?

POUR EN SAVOIR PLUS

Pour démontrer le théorème de Pythagore on peut utiliser la méthode suivante :

Soit deux carrés de cotés différents placés comme indiqué sur la figure ci-contre :

POUR EN SAVOIR PLUS

La surface du carré bleu est :

a b

c

POUR EN SAVOIR PLUS

La surface du carré bleu est :

S = c2

a b

c

POUR EN SAVOIR PLUS

Cette surface peut également se calculer à l’aide de l’aire du carré gris et celles des quatre triangles de cotés a,b,c.

a

b c

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré gris :a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré gris :

(a + b)2 =

a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré gris :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré gris :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Surface des quatre triangles :

a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré gris :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Surface des quatre triangles :

4(ab)2 =

a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré gris :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Surface des quatre triangles :

4(ab)2 = 2ab

a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Surface du carré bleu :

S = a2 + b2 + 2ab - 2ab

S = a2 + b2

a

b c

b

POUR EN SAVOIR PLUS

Conclusion :

a2 + b2 = c2

a

b c

b