Przekształcenia wykresów funkcji

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

PRZEKSZTACENIA WYKRESW FUNKCJICaa zabawa z przeksztacaniem wykresw funkcji sprowadza sie do nastepujacego pyta-nia: w jaki sposb zmieni sie wzr funkcji jezeli dokonamy przeksztacenia jej wykresu?Oczywiscie odpowiedz zalezy od tego, jakie przeksztacenie mamy na mysli.

Przesuwanie wykresw

Jest prosta zaleznosc miedzy przesunieciem wykresu funkcji, a zmiana jej wzoru. Zanimjednak przejdziemy do szczegw wyjasnijmy, ze przesuniecie wykresu o m jednostek wzduzosi oznacza przesuniecie wykresu o m jednostek w kierunku strzaki na osi jezeli m > 0, orazo |m| jednostek w przeciwnym kierunku jezeli m < 0.

Przesuniecie wykresu funkcji o 2 jednostki wzduz osi Ox i o 3 jednostki wzduzosi Oy oznacza przesuniecie wykresu o 2 jednostki w prawo i o 3 w d.

Zeby sie nie pogubic, osobno przedstawimy kazda z trzech mozliwych konfiguracji.1. Przesuniecie wykresu o q jednostek wzduz osi Oy. Jest to zdecydowanie najprostszasytuacja: wzr funkcji y = f (x) po przesunieciu bedzie mia postac

y = f (x) + q.

Mam nadzieje, ze nie budzi to watpliwosci: dodanie do wzoru funkcji liczby q > 0 sprawia,ze kazda wartosc funkcji jest wieksza o q, czyli wykres przesuwa sie o q jednostek do gry.Jezeli natomiast q < 0 to wartosci sie zmniejszaja, czyli przesuwamy w d.

Pierwszy wykres przedstawia parabole y = x2 + 3, a drugi parabole y = x2 3.

-2.5 +1 +2.5 x-1

+1

+5

+10

y

-2.5 +1 +2.5 x

-5

-1

+1

+5

y

y=x2

y=x2

y=x -32

y=x +32

Obie parabole powstaja przez przesuniecie paraboli y = x2 o 3 jednostki: pierwszado gry, a druga w d.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


2. Przesuniecie wykresu o p jednostek wzduz osi Ox. Tym razem wzr funkcji y = f (x)po przesunieciu bedzie mia postac

y = f (x p).

Wyjasnijmy krtko skad wzia sie minus w nawiasie.Zastanwmy sie jak narysowac wykres funkcji y = f (x 3). W punkcie x = 3 mamy

wartosc f (0), w punkcie x = 4 mamy wartosc f (4 3) = f (1), itd.: w punkcie x zaznaczamywartosc f (x 3). To oznacza, ze wszystkie wartosci funkcji f , czyli cay wykres, zostayprzesuniete o 3 jednostki w prawo. Oczywiscie myslimy analogicznie, gdy zamiast 3 jest p.

Pierwszy wykres przedstawia parabole y = (x 3)2, a drugi parabole y = (x+ 3)2.

-5 -1 +3 +5 x-1

+1

+5

+10y

-5 -1 +5 x-1

+1

+5

+10y

-3y=(x-3)2 y=(x+3)2

y=x 2y=x 2

Obie parabole powstaja przez przesuniecie paraboli y = x2 o 3 jednostki: pierwszado prawo, a druga w lewo.

3. Przesuniecie wykresu o wektor [p, q]. W zasadzie jest to poaczenie dwch poprzednichsytuacji: przesuniecie wykresu o wektor [p, q] to dokadnie to samo, co jednoczesne przesu-niecie o p jednostek wzduz osi Ox i q jednostek wzduz osi Oy. Mamy wiec wzr przesu-nietej funkcji:

y = f (x p) + q.



Pierwszy wykres przedstawia parabole y = (x + 3)2 + 2, a drugi paraboley = (x 3)2 2.

2

-5 -1 +5 x-1

+1

+5

+10y

-5 -1 +5 x-1

+1

+5

+10y

2y=x y=x y=(x+3) +22

y=(x-3) -22

Obie parabole powstaja przez przesuniecie paraboli y = x2: pierwsza o wektor[3, 2], a druga o wektor [3,2].

Odbicia wykresw

Rozpocznijmy od najprostszej sytuacji.

Wykres funkcji y = f (x) powstaje z wykresu y = f (x) przez odbicie wzgle-dem osi Ox.

Podobnie jest odbiciem wzgledem osi Oy.

Wykres funkcji y = f (x) powstaje z wykresu y = f (x) przez odbicie wzgle-dem osi Oy.

Mam nadzieje, ze powyzsze wzory wydaja sie wam dosc oczywiste, jezeli jednak tak nie jest,to sprbujcie pomyslec w jaki sposb narysowac wykresy funkcji y = f (x) i y = f (x),jezeli umiecie liczyc wartosci funkcji y = f (x) (czyli znacie jej wykres).



Pierwszy wykres przedstawia funkcje y = (2x + 1), a drugi

y = 2x + 1 =(

12

)x+ 1.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

yy=2 +1x

y=-(2 +1)x

y=2 +1xy=0,5 +1x

Oba wykresy powstaja przez odbicie wykresu funkcji y = 2x + 1: pierwszy wzgle-dem osi Ox, a drugi wzgledem osi Oy.

Jezeli wykonamy oba powyzsze odbicia na raz, to otrzymamy symetrie wzgledem poczatkuukadu wsprzednych.

Wykres funkcji y = f (x) powstaje z wykresu y = f (x) przez symetrie wzgle-dem punktu (0, 0).

Na lewym obrazku narysowany jest wykres funkcji y = (2x + 1) = 0, 5x 1,ktry powstaje z wykresu funkcji y = 2x przez symetrie wzgledem poczatku uka-du wsprzednych.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y=-2 -1xy=-0,5 -1x

y=2 +1x y=2 +1x

y=-0,5 -1xPrawy obrazek pokazuje, ze symetria wzgledem poczatku ukadu wsprzednychto dokadnie to samo, co wykonanie odbicia wzgledem osi Ox, a potem wzgledemosi Oy (kolejnosc tych odbic nie ma znaczenia).



Zozenia z wartoscia bezwzgledna

Jak zwykle zaczynamy od najprostszej sytuacji.

Wykres funkcji y = | f (x)| powstaje z wykresu y = f (x) przez odbicie czesciznajdujacej ponizej osi Ox do gry.

Powyzsze sformuowanie jest dosc niezreczne, ale powinno byc jasne, o co chodzi: punktywykresu, ktre sa powyzej osi Ox pozostaja na swoim miejscu, a punkty, ktre sa ponizej osiOx, odbijamy wzgledem tej osi (czyli wedruja do gry).

Na ponizszym obrazku narysowalismy wykresy: wielomianu y = 0, 1x3 2x orazfunkcji y = |0, 1x3 2x|.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

yy=f(x) y=|f(x)|

Jezeli natomiast wstawimy wartosc bezwzgledna do srodka funkcji y = f (x), czyli zajmu-jemy sie funkcja postaci y = f (|x|) to sytuacja jest odrobine ciekawsza. Zauwazmy, ze jezelix > 0 to nowo otrzymana funkcja niczym sie nie rzni od funkcji y = f (x) (bo wtedy|x| = x), czyli na prawo od osi Oy wykresy obydwu funkcji beda identyczne. Jezeli nato-miast x < 0 to mamy f (|x|) = f (x), czyli wykres na lewo od osi Oy powstaje przez odbicieprawej czesci wykresu y = f (x) wzgledem tej osi.

Wykres funkcji y = f (|x|) powstaje z wykresu y = f (x) przez pozostawieniefragmentu wykresu na prawo od osi Oy bez zmian, oraz przez odbicie tej czesciwykresu wzgledem osi Oy.



Na ponizszym obrazku narysowalismy wykresy: funkcji wykadniczej y = 2x orazfunkcji y = 2|x|.

-5 -1 +5 x-1

+1

+5

+10y

y=2

-5 -1 +5 x-1

+1

+5

+10yx y=2|x|

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Nie bjmy sie sformuowania przesuniecie o wektor [p, q]. Tego rodzaju zwrot nalezy trakto-wac jako synonim do przesuniecie o p jednostek wzduz osi Ox i o q jednostek wzduz osi Oy.

-5 -1 +3 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

[-6,3]



2

Dlaczego we wzorze na przesuniecie funkcji o wektor [p, q]

y = f (x p) + q

sa rzne znaki przy p i q? Powd jest taki, ze wzr ten powinnismy zapisac w postaci

y q = f (x p).W takiej formie nie ma rznicy miedzy osiami Ox i Oy:

przesuniecie o k jednostek wzduz osi powoduje odjecie k od literki odpowiada-jacej tej osi.

Tego rodzaju myslenie bardzo sie przydaje, gdy wkraczamy w swiat geometrii analityczneji zaczynamy przesuwac obiekty bardziej skomplikowane niz wykresy funkcji.

Okrag (x a)2 + (y b)2 = r2 powstaje z okregu x2 + y2 = r2 przez przesuniecieo wektor [a, b].

3

O ile nie powinniscie miec problemu z zapamietaniem wzoru na przesuniecie wykresu funk-cji wzduz osi Oy, to wzr na przesuniecie wzduz osi Ox zwykle sprawia problemy. Jestprosty sposb na ustalenie jak ten wzr powinien wygladac: wystarczy wybrac jedna liczbez dziedziny, powiedzmy x = 0 i sprawdzic, czy przesunieta funkcja przyjmuje w przesu-nietym punkcie wartosc f (0).

Chcemy napisac wzr jaki otrzymamy przesuwajac funkcje f (x) = log x o 3 jed-nostki w lewo. Powiedzmy, ze wiemy, ze do x trzeba dodac, albo odjac 3, ale niepamietamy, jak to ma byc dokadnie.Ustalamy jedna liczbe z dziedziny, powiedzmy x = 1. W takim razie po przesu-nieciu o trzy jednostki w lewo bedziemy miec liczbe x = 1 3 = 2 i wartoscprzesunietej funkcji w tym punkcie musi byc rwna f (1). Widac zatem, ze wzry = log(x + 3) bedzie OK, a wzr y = log(x 3) jest zy (bo po podstawieniux = 2 mamy f (5)).

4

Opisujac rzne przeksztacenia wykresw, zaczynalismy od przeksztacenia i mwilismy wjaki sposb zmienia sie wzr funkcji. Na og jednak bedziemy musieli uzywac tej wiedzyod konca, tzn. majac dany wzr funkcji bedziemy sie starali ustalic, jakie przeksztaceniadoprowadziy do powstania tego wzoru.



Wyznaczmy zbir wartosci funkcji y = 3x+1x3 .Jezeli zapiszemy wzr funkcji w postaci

y =3x 9+ 10

x 3 = 3+10

x 3,to widac, ze jest to funkcja y = 10x przesunieta o wektor [3, 3]. Zbir wartosci funk-cji y = 10x jest rwny R \ {0} (bo jest to najzwyklejsza hiperbola). Zatem zbioremwartosci danej funkcji jest R \ {3} (szkicujemy wykres).

-10 -2 +10 x

-10

-2

+2

+10

y

y=

y=3+

x10

x10-3

5

Pisalismy o podstawowych przeksztaceniach wykresw, ale w zadaniach mamy na ogkilka przeksztacen zastosowanych na raz. Zwykle najwieksza trudnosc sprawia ustaleniejakie (oraz w jakiej kolejnosci) przeksztacenia nalezy wykonac, aby otrzymac dany wzrfunkcji.

Naszkicujmy wykres funkcji y = 3+

2 x.Najpierw szkicujemy funkcje y =

x, potem przesuwamy ten wykres o dwie jed-

nostki w lewo (mamy y =

x + 2), nastepnie odbijamy ten wykres wzgledem osiOy (mamy y =

x + 2 = 2 x), a na koniec przesuwamy o 3 jednostki w gre.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y= 2-x

y=3+ 2-x

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y= x+2 y= x



6

Zdarza sie, ze podany wzr funkcji trzeba lekko przeksztacic zanim stanie sie jasne w jakisposb naszkicowac wykres funkcji.

Jezeli zapiszemy wzr funkcji y = 3 log 10x w postaciy = 3 (log 10 log x) = 2+ log x

to widac, ze jest to zwyky logarytm y = log x przesuniety o dwie jednostki w gre.

Jezeli zapiszemy wzr y = 3x5x2 w postaci

y =3x 6+ 1

x 2 = 3+1

x 2.to widac, ze jest to zwyka hiperbola y = 1x przesunieta o wektor [2, 3].

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y



Sprbujmy naszkicowac wykres funkcji y = x2 4|x|+ 2.Wiemy jak narysowac wykres postaci y = f (|x|), ale tu mamy wartosc bezwzgled-na tylko przy x. Mozemy jednak skorzystac ze wzoru x2 = |x|2 i dany wzr funkcjizapisac w postaci

y = |x|2 4|x|+ 2.Jest to wiec funkcja postaci y = f (|x|) dla

f (x) = x2 4x + 2 = (x 2)2 2.Rysujemy zatem parabole y = x2 przesunieta o wektor [2,2], zostawiamy jej ka-waek na prawo od osi Oy i odbijamy go wzgledem tej osi.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

7Pamietajmy, ze przy wiekszosci operacji na wykresach, dziedzina otrzymanej funkcji jestinna niz dziedzina funkcji, od ktrej wystartowalismy.

Dziedzina funkcji y = log(x + 1) jest przedzia (1,+), a dziedzina funkcji y =log(|x|+ 1) jest zbir liczb rzeczywistych R.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y=log(x+1)

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y=log(|x|+1)

8Wspomnijmy jeszcze o dwch, w miare prostych, przeksztaceniach wykresu. Niech k > 0.



Wykres funkcji y = k f (x) powstaje z wykresu y = f (x) przez rozciagnieciewzduz osi Oy ze wspczynnikiem k.

Podobnie jest z osia Ox, ale tym razem sciskamy.

Wykres funkcji y = f (k x) powstaje z wykresu y = f (x) przez scisniecie wzduzosi Ox ze wspczynnikiem k.

Wykres funkcji y = 2 sin x jest sinusoida rozciagnieta dwukrotnie w pionie tak, zezbir wartosci to przedzia 2, 2.

-2 - + x

-2

-1

+1

+2

y

-2 - + x-1

+1

y

y=2sin(x)

y=sin(x)

y=sin(2x) y=sin(x)

Natomiast wykres funkcji y = sin 2x jest sinusoida scisnieta dwa razy wzduz osiOx.

Kilka sw komentarza. Po pierwsze rozciaganie ze wspczynnikiem k jest prawdziwym roz-ciaganiem, o ile k > 1. Jezeli natomiast k < 1 to sciskamy zamiast rozciagac. Podobnie dlasciskania ze wspczynnikiem k.

Druga sprawa to pytanie, dlaczego znowu jest inna regua dla osi Ox niz dla osi Oy?Odpowiedz jest dokadnie taka sama, jak w przypadku przesuniec wykresu: reguki bedaidentyczne, jezeli wzr zapiszemy w bardziej symetrycznej postaci

k1y = f (k2x).

Przy takim wzorze, wykres jest sciskany ze wspczynnikami k1 i k2 wzduz osi Oy i Ox.Jezeli jednak przeniesiemy k1 na prawa strone, zeby miec wzr postaci y = . . ., to k1 zamienisie na 1k1 i sciskanie zamieni sie na rozciaganie.

9Inna wazna transformacja wykresu funkcji jest symetria wzgledem prostej y = x. W pierw-szej chwili moze sie wydawac, ze nie jest to specjalnie ciekawe przeksztacenie, ale jest onowazne, bo odpowiada mu bardzo prosta zmiana wzoru:

Krzywa x = f (y) powstaje z wykresu y = f (x) przez odbicie wzgledem prostejy = x.



Innymi sowy we wzorze zamieniamy x na y i odwrotnie. Celowo napisalismy wyzej krzywax = f (y), a nie funkcja, bo na og rwnanie x = f (y) nie opisuje funkcji.

Sprbujmy narysowac krzywa opisana rwnaniem x = y2 2y + 3.Problemem sa oczywiscie zamienione role x-a i y-ka. Wiemy juz jednak, ze wystar-czy narysowac wykres funkcji

y = x2 2x + 3 = (x 1)2 + 2,a nastepnie odbic go wzgledem prostej y = x. Funkcje kwadratowa zapisalismy odrazu w postaci kanonicznej, aby byo widac, ze jest to funkcja y = x2 przesunieta owektor [1, 2]. Teraz bez problemu szkicujemy obrazek.

-1 +5 +10 x-1

+1

+5

+10y y=x -2x+32

x=y -2y+32

Czytelnicy, ktrzy syszeli o funkcji odwrotnej, powinni skojarzyc, ze opisane powyzej prze-ksztacenie zamienia funkcje na funkcje odwrotna (jezeli istnieje).

Jaka funkcje otrzymamy odbijajac wykres y = 10x wzgledem prostej y = x?

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y x

y=log(x)

y=10

Sprawdzmy zamieniamy we wzorze x z y-kiem i wyliczamy y.

x = 10y / log()log x = log (10y) = y.

Zatem odbity wykres to y = log x. Dokadnie taki jest sens stwierdzenia, ze funkcjalogarytmiczna y = log x jest odwrotna do funkcji wykadniczej y = 10x.



10Skadajac ze soba przesuniecia i odbicia wykresw wzduz osi, mozna poradzic sobie z sy-metria wykresu wzgledem dowolnej prostej postaci y = m lub x = m.

Sprbujmy wyprowadzic wzr funkcji, ktrej wykres jest symetryczny do wykresu funk-cji y = f (x) wzgledem prostej y = m. Pomys jest nastepujacy: najpierw przesuwamywszystko o m jednostek wzduz osi Oy dzieki temu nasza os symetrii staa sie osia Ox.Potem robimy odbicie wzgledem osi Ox i przesuwamy wszystko z powrotem o m jednostekwzduz osi Oy. Daje nam to wzr

y = ( f (x)m) + m = f (x) + 2m.Podsumujmy to stwierdzeniem

Wykres funkcji y = f (x) + 2m powstaje z wykresu y = f (x) przez odbiciewzgledem prostej y = m.

Postepujac w peni analogicznie, ale zamieniajac os Oy na os Ox otrzymamy wzr na syme-trie wzgledem prostej x = m

Wykres funkcji y = f (x + 2m) powstaje z wykresu y = f (x) przez odbiciewzgledem prostej x = m.

Napiszmy wzr funkcji, ktra otrzymamy odbijajac wykres y = x2 4x + 2 wzgle-dem prostej x = 1. Liczymy

y = (x 2)2 4(x 2) + 2 = x2 + 4x + 4+ 4x + 8+ 2 == x2 + 8x + 14 = (x + 4)2 2.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y=x +8x+142 y=x -4x+22

x=-1

11O jakich przeksztaceniach wykresw nic nie napisalismy? o obrotach. Powd jest taki,ze wyprowadzenie wzorw w tym przypadku wymaga znacznie wiekszej pomysowosci inaturalnym jezykiem, w jakim sie to robi, sa wsprzedne biegunowe, lub tez liczby zespolo-ne. Poniewaz oba te zagadnienia zbyt daleko odbiegaja od gwnego nurtu tego poradnika,podamy tylko koncowy wynik.



Krzywa y cos x sin = f (y sin + x cos ) powstaje z wykresu y = f (x)przez obrt dookoa punktu (0, 0) o kat .

Obrcmy parabole y = x2 o kat = 45. Otrzymamy zatem krzywa

22

y

22

x =

(2

2y +

22

x

)2/ 2 = (

2)2

2(y x) = (y + x)2.

Oczywiscie nie widac tego goym okiem, ale otrzymane rwnanie opisuje interesu-jaca nas obrcona parabole.

-10 -5 -1 x-1

+1

+5

+10y


Documents

Przekształcenia wykresów funkcji