Przegląd teorii Przegląd teorii elektromagnetyzmuelektromagnetyzmu

ciąg dalszyciąg dalszy

Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2

2

Pole prądów zmiennychPole prądów zmiennychW tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne występują jednocześnie

Gęstość prąduprzewodzenia przesunięcia

Jm = *M – gęstość prądu „magnetycznego” (V/m2Wb/m2/s Vs/m2/s) * - rezystywność magnetyczna (/m), M - wektor magnetyzacji (A/m).

dtdze

t

BE

Prawo Faraday’a

t

t

ρ

e

m

v

DJH

JBE

BD

0

3

Ekwiwalentna postać całkowa

L Se

L Sm

S

vv

S

dt

d

dt

d

d

dvd

SDJlH

SJBlE

SB

SD

0

4

Relacje konstytutywne, określające zależność pól od środowiska

W regionach opisanych równaniami Maxwell’a zakłada się, że pola są:•jednoznaczne•ograniczone•ciągłe względem przestrzeni i czasu wraz ze swymi pochodnymi

Środowisko jest liniowe jeżeli σ, i μ są niezależne od E i H. Jest jednorodne jeśli σ, i μ nie są funkcjami zmiennych przestrzennych. Jest izotropowe jeśli σ, i μ są niezależne od kierunku.

Relacje konstytutywne

ΗΒ μΕD

EJEJ

m

e*

5

Równania Maxwell’a uzupełniają dwa inne, podstawowe równania:równanie siły Lorentz’a

gdzie F jest siłą działającą na cząsteczkę z ładunkiem Q poruszającą się z prędkością u w polu elektromagnetycznym,

i równanie ciągłości

które wyraża zachowawczość (niezniszczalność) ładunku elektrycznego. Równanie ciągłości daje się wywnioskować z równań Maxwella, ale nie jest osobliwością EM. W mechanice płynów gdzie J odpowiada prędkości a masie, równanie ciągłości wyraża zachowanie masy.

Siła Lorentz’a

tv

J

BuEF Q

6

Warunki graniczneWarunki graniczne

Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ1, 1, μ1) and (σ2,2,μ2) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwell’a.

Oznaczmy: an12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2, indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.

7

Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy. Składowa styczna H jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy.Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku S na powierzchni granicznej.

Oto te równania:

021

21

21

21

nn

Snn

tt

tt

BBDD

KHHEE

0

0

1221

1221

1221

1221

n

Sn

n

n

aBBaDD

KaHHaEE

Na granicy

8

Równania Maxwell’a to sprzężone równania różniczkowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu. Środowisko liniowe, izotropowe, nieruchome, wolne od źródeł (J = 0, v = 0).

Równanie falowe E

ponieważ J = 0,

ponieważ ρv = 0, E = 0

9

Równanie falowe H

Są to równania ruchu fal EM w środowisku nieprzewodzącym. Prędkość propagacji fal:

W próżni u 3108 m/s

Każdy z wektorów pola ma trzy skalarne składowe: Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz.

Każda składowa spełnia skalarne równanie falowe

10

Jeżeli = 0, to równanie falowe w dielektryku:

2

22

tt

HHH

Ogólne równanie falowe

2

22

t

HH

Jeżeli pominiemy prądy przesunięcia (małe w stosunku do prądu przewodzenia) otrzymamy równanie falowe w przewodniku:

t

HH 2

Ogólne równanie falowe

11

Potencjały skalarne Potencjały skalarne

μ

e

VgradVgrad

HE

00

EH

rotrot Pola bezwirowe i potencjalne

constzyxV ,,Równanie powierzchni ekwipotencjalnej

z

y

y

x

HH

dzdy

HH

dydx

Spełnia równanie Laplace’a

Równania linii sił ( do pow. ekwipot.)

zV

Hy

VH

xV

H zyx

02 V

12

00 BAAB divrotdivrot

Potencjały elektrodynamiczne

Vgradt

Vgradrott

rotrot

Vgradrott

rott

rot

AE

AE

ABE

0

Potencjały elektrodynamiczne A i V są funkcjami współrzędnych i czasu.

vDJH

t

rot

AH rot1

vEEA

t

rotrot 1

13

tVgrad

ttVgrad

divgrad

2

2

2

AvAAA

AAA 2 divgradrotrot

By uniknąć wieloznaczności A należy dobrać div A

Dla pól elektromagnetycznych – warunek Lorentz’a:

VtVdiv

A

warunek Lorentz’a

14

tVgrad

ttVgrad

VtVgrad

2

2

2

AvA

AV

tVdiv

A

tVgrad

ttVgrad

gradVtVgrad

2

2

2

AvA

A

vAAA

tt 2

22 Równanie d’Alamberta

Równanie d’Alamberta

15

t

AA 2

Dla przewodników (pominięte ładunki i prąd przesunięcia):

tV

tVV

2

22

Równanie skalarne d’Alamberta

v

vρρ ED Vgrad

t

AE

VtVdiv

A VVgraddiv 2warunek Lorentz’a

Vgraddivdivt

div

AE

Równanie skalarne d’Alamberta

16

W polach magnetostatycznych i wolnozmiennych warunek:

0Adiv

JA 202 A

W dielektrykach

2

22

tVV

17

Gdzie R jest odległością punktu źródłowego od punktu pola, nawiasy kwadratowe oznaczają że v i J są określone w czasie R()1/2

wcześniejszym niż dla którego A i V są zdeterminowane.

Rozwiązanie całkowe Potencjały „opóźnione”

sqr()= 3,333·10-9 s

Potencjały „opóźnione”

18

V

xxV r

dVjAr

dV44

jA

Ogólne rozwiązanie równania Poissona ma postać :

AH rotdV

dWm 21

Energię można obliczyć korzystając z potencjału wektorowego.

jH

H AH A

H AAHH A

rot

divrotdV

dWrot-rotdiv

m

21

21

Rozwiązanie równania Poissona

19

SV

VVm

dSdVdiv

dVdivdVW

HAH A

H AjA21

21

Jeżeli powierzchnia S rozciągnięta do , to całkowanie po S daje w wyniku 0, bo A w jest równe 0. Ostatecznie

V

m dVW jA21

V

V Aj LI Wd21

212

V

V AjI

Ld 2

1 V

VAjII

M d21

121

Energia i potencjał

20

Strumień magnetyczny można obliczyć z zależności:

LSS

rotΦ dlAdSAdSB

dl

ds

L

S

B

A

B = rotA

Strumień magnetyczny

21

Elektryczny potencjał wektorowy

TJT

J

rotrotdiv

div

0

0

0

THJH

rotrot

0Vgradrot

Vgrad TH

VVgraddivdivdiv 2 TH

Z I-szego prawa Kirchoffa i tożsamości różniczkowej

wynikaJednocześnie

22

Przy = const div H = 0bo div B = 0, więc

TdivV 2

Metoda wprowadzona w roku 1977 przez Carpentera znana jest pod nazwą „T – ” (V).

Odznacza się dobrą dokładnością w obliczeniach 3D.

23

Wektor Hertza PWektor Hertza P

dtc AP 2Służy do opisu przebiegów falowych wielkiej częstotliwości.

Wyznacza się go z równania falowego:

2

2

22 P1P

tc

trot

crot

tc

P1AB

P1A

2

2

2

2

2

P1P

AE

P

tcdivgrad

tgradV

divV

24

Tensor naprężeń Maxwella

Sprowadza objętościowe siły Lorentza do sił powierzchniowych

V S

nL dSdV TfF

Tn – wektor siły powierzchniowej, rzut tensora Maxwellana normalną do powierzchni ciała.TP

nHHnEEnT 22

21 HE

POgólnie

BJEfBuEFL

L

QSiła LorentzaGęstość obj. siły

25

jidlajidla

ji

μHεEHμHEεET

ij

ijjijiij

10

3,2,1,21 22

Elementy tensora Maxwella

3

1jjiji dSTdF

Składowa dFi siły dF przekazywanej przez element powierzchni dSi

wektora dS

26

Całkowita magnetyczna siła działająca na ciało o objętości V i powierzchni S

Całkowity moment sił magnetycznych działający na ciało o objętości V i powierzchni S

22

21

21 HHH 2T

PZ ogólnego wzoru wynika, że moduł gęstości siły powierzchniowej pola magnetycznego ( = const)

S

dsBHnnHBnBH21F

n – wektor normalny do S skierowany na zewnątrz.

S

dsBHnrnHBrnBHr21T

27

Wyrażenie jest słuszne dla pól magnetostatycznych, nieustalonych i harmonicznych, z tym że dla pól harmonicznych (prądów sinusoidalnych) znaczenie siły i momentu jest inne.W tym ostatnim przypadku siła składa się z części średniej w czasie i części oscylacyjnej, natomiast moment z części średniej w czasie i wartości szczytowej.

Podobnie wyrażone są siły i momenty pola elektrostatycznego:

S

S

dsDEnrnEDrnDEr21T

dsDEnnEDnDE21F

28

Pola harmonicznePola harmoniczne

Gdzie: Fm (r) = Fm(x, y, z) jest fazorową (zespoloną, wykładniczą) postacią F(r, t) – amplitudą zespoloną.ω jest prędkością kątową (rad/s) sinusoidalnego

wzbudzenia

Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadek ogólny dowolnej zmienności pola EM w czasie. W wielu praktycznych sytuacjach, szczególnie dla niskich częstotliwości, potrzebne jest rozwiązanie stanu ustalonego pola EM wytwarzanego przez prądy sinusoidalne. Takie pole zwane sinusoidalnym lub harmonicznym zmienia się z pulsacją ω. Dowolnie zależne od czasu pola F(x, y, z, t) lub F(r, t) mogą być wyrażone jako: tj

m ertr FF Re,

29

Użycie fazorowej postaci pozwala zastąpić różniczkowanie mnożeniem przez j

Równania Maxwell’a dla sinusoidalnego stanu ustalonego:

Wielkości pola EM w postaci fazorowej mogą być wyrażone jako: tj

m

m

m

m

e

tttt

(r)B(r)H(r)D(r)E

)B(r,)H(r,)D(r,)E(r,

tjtj

ejt

e

memm

mmmm

m

vm

jj

ρ

DJHJBE

BD

0bo ejt upraszcza się

30

Zastępując różniczkowanie po czasie, mnożeniem juzyskuje się wektorowe równanie falowe dla amplitud zespolonych lub skalarne równanie falowe dla składowych pola.

gdzie k (stała propagacji)

Założenie sinusoidalności skutkuje eliminacją z równań Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy jako jeden z elementów pełnego spektrum z wszystkimi składnikami szeregu Fouriera. Innymi słowy pola niesinusoidalne mogą być wyrażone jako:

det tjm ,Re, rFrF

022 kNp. dla dielektryka (v = 0 = J)

22

u

fu

k

31

i przechodzi w równanie Poisson’a

g2

kiedy k = 0 (tzn. = 0 – pole statyczne),

lub w równanie Laplace’a

02

gdy k = 0 = g.

Jeżeli ρV 0 J, równanie falowe przyjmuje ogólniejszą formę

gk 22

32

tjm

tjm

tjm

tjmtj

m

tjmm

ejjejte

tee

e

HH

HHH

HH

2

22

2

22

tt

HHH

jj

Dla harmonicznego pola magnetycznego

Ogólne równanie falowe

mmm jj HHH 22

harmoniczne pole magnetyczne

33

mmm

tjm

tjmtj

m

tjmm

etee

e

HHH

HHH

HH

222

22

22

2

22

t

HH

22

u

fu

Dla harmonicznego pola magnetycznego w dielektrykuharmoniczne pole w

dielektryku

34

mmm

tjm

tjmtj

m

tjmm

j

ejtee

e

HHH

HHH

HH

22

2

t

HH 2

Dla harmonicznego pola magnetycznego w przewodniku

22

1212

1

fkk

kjj

harmoniczne pole w przewodniku

35

Głębokość wnikania - odległość liczona w głąb przewodnika na jakiej amplituda pola zmniejszy się e razy w stosunku do wartości na powierzchni.Długość fali

2

2

z

Jm

metal

pow

ietrz

e

y

Esmx

Głębokość wnikania

36

tjmm e EE

Dla miedzi:mH104

mS1058 7

06

mm94,0mm5,9Hz5000

mm4,9mm59Hz50

mm8,29mm187Hz5

f

f

fwięc

mm EE 22

Identyczne równania można wyprowadzić dla Em i Jm

mmmm JJEJ 22 tjmm e JJ

37

Twierdzenie Poyntinga

Moc elektromagnetyczna P wpływająca do zamkniętej przestrzeni o powierzchni A równa jest całce składowej normalnej wektora Poyntinga Sn po całej powierzchni A.

ttnA

nA

HESdASdP HESAS

Twierdzenie Poyntinga jest stosowane do obliczania mocy czynnej, biernej i pozornej dopływającej do badanego obszaru.

Wektor Poyntinga S określa moc i kierunek strumienia mocy EM przechodzącej przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu energii.

Twierdzenie Poyntinga

38

Moc może być czynna bierna i pozorna, więc również wektor T może być czynny, bierny i pozorny.Przy sinusoidalnej zmienności składowych pola E i H zespolony wektor S

em

As

*mmqps

WWjPd

j

221

AS

HESSS

A

*mmm

A

*mm

mA

*mmm

A

dWdP

WjPdWjPd

AHEAHE

AHEAS

Im41Re

21

2212

Dla f 50 Hz We 0

39

EvHEEJEHHE

22

22 t

rotrot

EvHEEHE

HEEHHE

22

222

tdiv

div rotrot

VVVA

AV

dVdVdVt

d

ddVdiv

EvEHEAS

HES

AHEHE

222

22

Z równań Maxwell’a

Z twierdzenia Greena

EvEJHE

EDt

rot

t

BHEH rot

40

Moc dostarczona na zwiększenie energii

magnetycznej i elektrycznej

VVVA

dVdVdVt

d EvEHEAS 222

22

Straty mocy od prądów wirowych

Moc związana z pracą mechaniczną

dostarczoną ładunkom

swobodnym.