Pružnost a plasticitacvičení 5.

Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

zI

M

y

y

x =σx

napětí normálové

σhor

M

Průřezová charakteristika pro normálová

napětí za ohybu je moment setrvačnosti Iynebo z něj odvozený modul průřezu

Mezní stav únosnosti – posouzení:

M

kddov

ff

==:obecně

M

yk

yddov

ff:ocel

==

y

Ed

y

Edmax

W

Me

I

M==

ydovdovRd W.e

IM ==

EdRd M M

Posouzení únosnosti

Únosnost prutu při ohybu:

x

-

+

-

y

neutr.osa

z σdol

zehor

/Mmax /= MEd

3y

y me

IW =

ohýbaný nosník: My → σx

Vz → τxz

edol

y

y

y

y

max,xW

Me

I

M==

x

tažená

tlačená

tažená

tlačená

tažená

tlačenávlákna

Normálová napětí při ohybu

Posouzení napětí

h

l

x

ehor

edol

xy

z

e

IW

y

y =

Deformace = průhyb a úhel natočení - více v dalších cvičeních

hor,y

y

horW

M−=

Modul průřezu: [m3]

3bh12

1I =

4

r

64

dI

44 =

=

4a12

1I =

Moment setrvačnosti Iy - jednoduché obrazce - tabulky

- složené obrazce - výpočet

2bh6

1W = 33

4

r

32

dW

=

=

3a6

1W =

dol,y

y

dolW

M=

[m4] [m4][m4]

[m3] [m3][m3]

1.) Určení polohy těžiště vzhledem k

Výpočet průřezových charakteristik – viz. Stavební statika!!!220

16

T1

T2

T

228

110 z T

10

160

y

z

y

z 2z 1

2.) Vzdálenost těžiště jednotlivých obrazců od celkového těžiště:

=−=

=−=

110

228

2

1

T

T

zz

zz

2222

322

2111

311

12

1

12

1zhbhbzhbhbI y +++=

3.) Momenty setrvačnosti vzhledem k těžištním osám

Výpočet průřezových charakteristik – viz. Stavební statika!!!220

16

T1

T2

T

228

110 z T

10

160

y

z

z 2z 1

==

==

d

ydy

h

yhy

e

IW

e

IW

,

,

4.) Průřezový modul ke krajním vláknům.

Příklad 1Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních

vláknech prostého nosníku. Průřez nosníku je tvořen svařovaným T-profilem.

l = 6 m

1) Statický rozbor → průběhy N,V,M

2) Určit Mmax =MEd

3) Průřezové charakteristiky (Wyd, Wyh~σxd, σxh)

4) Vlákna tažená x tlačená

gk = 7 kNm-1 stálé zatížení, γG=1,35

qk = 1 kNm-1 nahodilé zat., γQ=1,5pk = gk+qk

pd = gd+qd

pásnice

(160 x 16)

stojina

(10 x 220)

T

Příklad 1Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních

vláknech prostého nosníku. Průřez nosníku je tvořen svařovaným T-profilem.

l = 6 m

gk = 7 kNm-1 stálé zatížení, γG=1,35

qk = 1 kNm-1 nahodilé zat., γQ=1,5pk = gk+qk

pd = gd+qd pásnice

(160 x 16)

stojina

(10 x 220)

T

V

M

Příklad 1

dy,

Eddmax,

W

M=

hy,

Edhmax,

W

M=

Určete velikost maximálního normálového napětí v horních a dolních

vláknech prostého nosníku. Průřez nosníku je tvořen svařovaným T profilem.

eh

ed

h

y

hy,e

IW =

d

y

y,de

IW =

T

+

+

-

Pozor znaménko!!

neutr.osa→ σx = 0

A

NN =

l = 6 m

pd = 10,95kNm-1

Fd = 60kN

N

V

M

Tneutr.osa

dy,

EdM

dmax,W

M=

hy,

EdM

hmax,W

M−=

NM

celkové +=

Průběhy napětí po výšce průřezu v místě Mmax

K danému spojitému rovnoměrnému zatížení přidejte osovou sílu Fd = 60kN

(A=4760mm2).

Příklad 1 – kombinace účinků

Příklad 2

nut,y

nut,y

max,Ed

yd WW

Mf =

skut,yydRd WfM =

Navrhněte a posuďte ocelový nosník z válcovaného IPN profilu.

qk = 7,5 kNm-1

6 1,5

1) Výpočet reakcí Ra, Rb

2) Průběh V, M

3) Stanovení Mmax= MEd

4) Nutný průřezový modul Wy,nut.

5) Průřezový modul Wy,skut

6) Maximální únosnost v ohybu MRd

7) Posouzení

Wy,skut z tabulek

EdRd MM

Fe 360/S235

γM=1, γQ=1,5

2 extrémy!

σa,horní = MPa

σa,dolní = MPa

σv poli,horní = MPa

σv poli,dolní = MPa

Příklad 3Navrhněte a posuďte ocelový nosník kruhového průřezu, γM=1.

Spočítejte napětí v krajních vláknech nad levou podporou σa, a v místě Mmax

v poli.

qk = 1,25 kNm-1 (nahodilé zat., γQ=1,5 )

Fe430 / S275

3 0,5132

d.πWWWW

3

hdzy ====

tažená

tlačená

tlačená

tažená

(Raz=4,92kN, Rbz=3,52kN, xn=1,625 zleva)

Příklad 4 úkol (průřezová charakteristika)

Posuďte ocelový nosník zatížený podle obrázku, γM=1, γQ=1,5, γG=1,35.

2

qk = 5 kNm-1

(stálé zat.)

UPN 160

Fe360 / S235

IPN 240

2 2

Fk= 18 kN Fk (nahodilé zat.)

Mmax= MEd

Iy=7,36.10-5m4

Wyh=5,342.10-4m3, Wyd=4,391.10-4m3

MEd=84,4kNm MRd=103,2kNm

Příklad 5 úkol (průřezová charakteristika)

Název: Návrh a posudek plnostěnného ohýbaného nosníku

Navrhněte a posuďte nosník zatížený nahodilým zatížením podle obr.

Nosník má průřez , je z oceli Fe360 / S235.

l = 5,1 m

qk= 3,0 kNm-1

Q= 1,5

M0= 1

MEd=7,51kNm

Wynut pro2U=3,195.10-5m3

Wynut pro1U=1,6.10-5m3

→UPN80 (nejmenší v Tab)

MRd=12,5kNm

vyhoví

Příklad 6 úkol nepovinný

1m1m

bF1

q

a F2

a1 , c1 -horní hrana

a3 , c3 -osa prutu

c5 -dolní hrana

b2 , c2 -horní čtvrtina

b4 , c4 -dolní čtvrtina

50

10

0

z

y

gd = 10 kNm-1

F1d = 7,5 kN

F2d = 10 kN

místo c je v Mmax

U daného nosníku vyřešte:

•Statický rozbor

•Průběhy N, V, M

•Hodnoty napětí v daných bodech (včetně názvu a jednotek) od všech

vnitřních sil, které jsme dosud probírali

•Normálová napětí sečtěte

•Průběhy napětí vykreslete a vyznačte počítanou hodnotu

•Vyznačte polohu neutrálné osy ve všech třech místech a, b, c

•Zadané body: a1, a3, b2, b4, v místě c (Mmax) ve všech úrovních 1-5

x