Prueba de Bondad y Ajuste

Seminario: Uso de Minitab-13 para pruebas de Bondad de Ajuste

INTRODUCCION AL MINITAB

1.1 Entrando a MINITAB:Elegir la secuencia START - Program - Minitab 13

1.2 Ventanas de MINITAB: Al ingresar al programa aparece la pantalla

principal de MINITAB. En la parte superior se encuentra la Barra de Menús que

contiene las opciones FILE, EDIT, MANIP, CALC, STAT, GRAPH, EDITOR, WINDOW y HELP. Inmediatamente debajo aparece una barra de íconos que

se usan para ejecutar rápidamente ciertas operaciones, como: abrir un archivo,

guardar un trabajo, imprimir, etc. Finalmente aparecen las ventanas principales:

SESSION y WORKSHEET.

La ventana de WORKSHEET es similar a una hoja de cálculo, pero no es una

hoja de cálculo.

La ventana de SESSION contendrá todos los comandos y los resultados de

ejecutarlos. Los comandos aparecen automáticamente como resultado de haber

elegido opciones de los menús, o por entrada manual del usuario.

Departamento de Ingeniería IndustrialUPR-RUM

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Hay otra ventana que también aparece en la pantalla principal de MINITAB:

Project Manager, que contiene toda la información referente al proyecto. En

History se almacenan todos los comandos que se han ejecutado en la sesión de

trabajo. También se tiene información sobre las hojas de trabajo y las gráficas

almacenadas.

1.3 Barra de Menús:

La barra de menús contiene 9 entradas: File, Edit, Manip, Calc, Stat, Graph, Editor, Window y Help. Cada una de ellas tiene más opciones. Algunas

opciones al lado tienen diferentes símbolos. Si al lado de la opción aparece el

símbolo, entonces al elegir esta opción aparecerá un submenú de alternativas.

Si la opción termina con tres puntos (...) entonces aparece una ventana de

diálogo de la siguiente manera:


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2. El menú File

Contiene opciones que sirven para manipular las hojas de trabajo y para guardar

e imprimir el contenido de las ventanas de MINITAB. Al oprimir File aparecerá la

siguiente pantalla:

Proyecto: es el trabajo completo con todas las

opciones que se han realizado. Las gráficas, la

hoja de trabajo, la sesión de información, y todas

las demás pantallas donde se recolecta la

información realizada.

El menú File contiene las siguientes opciones:

NEW Abre un nuevo proyecto o una nueva

hoja de trabajo.

OPEN PROJECT Abre un proyecto que ya fue grabado

SAVE PROJECT Guarda el proyecto en el cual se está trabajando

SAVE PROJECT AS Guarda un proyecto con un nombre específico.


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PROJECT DESCRIPTION Edita una descripción del proyecto.

OPEN WORKSHEET Abre una Hoja de Trabajo que ya fue guardada.

QUERY DATABASE (ODBC) Llama a los datos guardados en una

Base de Datos.

SAVE CURRENT WORKSHEET Guarda una hoja de trabajo.

SAVE CURRENT WORKSHEET AS Guarda una hoja de trabajo con un

nombre específico.

CLOSE WORKSHEET Cierra una hoja de trabajo.

OPEN GRAPH Abre una gráfica de MINITAB.

SAVE WORKSHEET AS Guarda el contenido de la hoja de trabajo.

OTHER FILES Llama datos en otro tipo de archivos.

PRINT WORKSHEET Imprime el contenido de una hoja de trabajo.

PRINT SETUP Cambia la configuración de la impresora.

EXIT permite salir de MINITAB.

Al final del menú FILE aparecen las últimas hojas que se han utilizado y pueden

ser activadas si se las selecciona.

PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE

Con mucha frecuencia no se conoce la distribución de probabilidad de la variable

aleatoria en estudio, digamos X, y se desea probar la hipótesis de que X sigue una

distribución de probabilidad particular. Por ejemplo, podría ser de interés probar la

hipótesis de que X sigue una distribución normal, una exponencial, etc.

Existen dos procedimientos para realizar pruebas de bondad de ajuste que son los más

conocidos. El primero se basa en una técnica gráfica muy útil llamada gráfica de probabilidad y el segundo procedimiento se basa en la distribución Chi-cuadrada.


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1. GRAFICA DE PROBABILIDAD

La gráfica de la probabilidad es un método gráfico para determinar sí los datos

se ajustan a una distribución hipotética basada en un examen visual subjetivo de los

datos; el procedimiento general es muy simple y puede efectuarse con rapidez.

El procedimiento es el siguiente:

i. Se grafica la probabilidad de los datos en estudio, usando Minitab-13 se

procede a ingresar los datos requeridos en la hoja de trabajo (worksheet)

luego se selecciona: Graph>Probability Plot:

ii. Luego en la ventana de diálogo que aparece, se especifica dónde se

encuentran los datos a graficar, haciendo doble clic en la variable de interés,

se establece luego el tipo de distribución que se desea probar, y luego se va

a Options, para poder especificar en la próxima ventana el nivel de

confianza, e identificar la gráfica con un título. Se da OK y luego se ejecuta

una gráfica de probabilidad.


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iii. Luego de tener desarrollada la gráfica de probabilidad, según el tipo de

distribución que se desea probar, se analiza la misma bajo el siguiente

criterio: sí todos los puntos graficados caen aproximadamente sobre la línea de probabilidad de la gráfica, entonces el modelo hipotético es apropiado, sí los puntos graficados se desvían de modo significativo entonces el modelo hipotético no es apropiado, y posteriormente se

sigue probando con los demás gráficos de probabilidad.

iv. A continuación dos gráficos de probabilidad para poder establecer la prueba

de bondad y ajuste en el ejemplo.


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Respuesta: Los datos siguen una distribución Normal

Respuesta: Los datos analizados no siguen una distribución Exponencial


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1. PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE DE LA CHI CUADRADA

El procedimiento de prueba de la Chi-cuadrada es un método analítico, requiere

una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria x. Estas n observaciones se

arreglan en histogramas de frecuencias, teniendo k intervalos de clase (donde ).

Sea Oi la frecuencia observada en el i-ésimo intervalo de clase. De la distribución de

probabilidad hipotética, se calcula la frecuencia esperada en el i-ésimo intervalo de

clase, identificada como Ei, La estadística de prueba es la siguiente:

Puede demostrarse que sigue aproximadamente una distribución Chi cuadrada con

k-p-1 grados de libertad, donde k es el número de intervalos, p representa el número de

parámetros de la distribución hipotética, estimados por medio de estadísticas de la

muestra. Esta aproximación se mejora cuando n aumenta. Se rechaza la hipótesis de

que x se ajusta a la distribución hipotética, si .

El procedimiento para establecer la prueba utilizando Minitab -13 es el siguiente:

1. Ingreso de datos y cálculos de media y desviación estándar: del mismo

modo que en el caso anterior, se ingresan los datos en la hoja de trabajo

(“worksheet”), de estos datos que viene a ser la muestra de la variable aleatoria

x, se calcula la media y la desviación estándar siguiendo las siguientes

secuencias: calc >column statistic> mean y calc>column>standard desviation, respectivamente, tal como se puede apreciar en la ventana que se

muestra a continuación.


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2. Histogramas de frecuencia: Para realizar un histograma de frecuencia se

sigues la siguiente secuencia: graph > histogram >options >frecuency >cutpoint ># intervals 10. Para mostrar las frecuencias en la gráfica, ingresar a

<Annotation> <Data labels> y activar <show data labels> Ademas en <

<Annotation> ingresar a <Title..> para colocar un título.


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De este modo se obtiene la siguiente gráfica.

3. El siguiente paso es ingresar los valores de frecuencia observada y los intervalos. Como se puede apreciar de la figura anterior, Minitab -13 muestra

estos valores en el histograma de frecuencia, pero es necesario ingresarlos

manualmente a la hoja de trabajo.

4. Cálculo de probabilidad para los límites superior e inferior de los intervalos. Para esto se sigue la siguiente secuencia: calc>probability distribution> <Normal> se especifica la media y desviación estándar halladas

anteriormente en los espacios que correspondan así como la columna en donde

se requiere que se almacenen los resultados, previamente se elige la

distribución a la cual se ajustan los datos. En el ejemplo se escogió la

distribución normal. Este procedimiento se muestra en la siguiente pantalla.


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5. Cálculo de los valores esperados: para esto se escoge el menú de

calc>calculator; y se ingresa la fórmula según se muestra en la siguiente

pantalla.

Es importante notar que si los valores esperados tienen valores numéricos menores

que 5.0, entonces debemos hacer una nueva agrupación, para lo cual se tomarán

aquellos valores menores que 5 y se suman. En el ejemplo de 10 intervalos se


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reduce a 7. Los tres primeros se reducen a uno y los dos últimos también se

agrupan. Luego el primer intervalo va desde 7.25 hasta 8.75 y el séptimo va desde

11.25 hasta 12.25. Con estos nuevos intervalos se repite el procedimiento anterior y

se obtienen nuevos valores esperados. Además se estiman dos 2 parámetros (la

media y la desviación estándar). Por tanto los grados de libertad para calcular el

valor Chi crítico es de 4, (g.l = 7-2-1 = 4)

6. Cálculo de la estadística Chi-cuadrada: Luego se sigue la secuencia

siguiente: Calc>Calculator; y se define los parámetros que aparecen a

continuación. El valor obtenido es de 4.187.

7. Cálculo del valor Chí-crítico: Este valor también se puede obtener de las

tablas de distribución Chi-cuadrada que se encuentran en los libros, pero

Minitab-13 lo provee de la siguiente manera: Calc>Probability distribution>Chi square>Inverse cumulative probability >imput constant: 0.95>OK, el

resultado correspondiente aparece en la ventana de “Session”, y es igual a:


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8. Cálculo del valor p: En primer lugar se establece el valor de k, para tal efecto

se realiza lo siguiente: Calc>Probability Distributions> Chi-square; se

selecciona Cumulative Probability >. En Degrees of freedom se establece

(# grados de libertad) <Input column> y se establece el lugar a almacenar el

valor en la celda que contendrá k en Optional storage tal como se puede

apreciar en la siguiente gráfica.


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9. Finalmente se calcula el valor p: Para esto se sigue la siguiente secuencia:

Calc> Calculator> storage result, se establece donde se desea almacenar el

resultado, y se escribe la ecuación siguiente en Expression: (1-k), como se

puede apreciar en el siguiente diagrama.

10. Resultados:

Como en el resultado de la prueba de Chi-cuadrada , o

como se estableció en la parte teórica , entonces se acepta la hipótesis

nula H0.

Por otro lado, como el p-value=0.38 > 0.05, no hay evidencia suficiente para

rechazar H0.


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