PROGRAMACIN DINAMICA

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADMICO PROFESIONAL INGENIERIA INDUSTRIAL

PROGRAMACIN DINAMICA

ALUMNOS :

CONDORE MESA , Jhonatan LAZARTE NUEZ ,Cristhian PERES LEYVA , Tania TUCNO RODRIGUEZ , Sheyla

ASESOR:FERNANDEZ LOPEZ SONIA

LIMA PER2015

INDICE.CAPITULO 1:MARCO TEORICO...02Introduccin...03Programacin dinmica...04Teorema de optimidad......04Caractersticas de la programacin dinmica...05Programacin Dinmica Determinstica..08Aplicacin de la Programacin Dinmica Determinstica.08Modelo de tamao de la fuerza de trabajo.09Modelo de la reposicin de equipo......10Programacin dinmica Probabilstica....12Aplicacin de la Programacin Dinmica Probabilstica...12Juego Aleatorio.............13

CAPITULO II:APLICACIN:...15Problema del camino ms corto de un grafo......16Modelo de la mochila/ Equipo de vuelo/ Carga de un contenedor19

Conclusiones26

CAPITULO I: MARCO TEORICO

IntroduccinEn el trabajo hemos visto la necesidad de investigar la solucin ptima de ciertos problemas que se nos plantean ha sido fuente de diversos estudiosos matemticos, como es el caso de Richard Bellman quien invento la programacin dinmica en 1953, con la finalidad de optimizar problemas complejos que pueden ser desglosados, es decir, descomponindolos en sub problemas de menor tamao y por consiguiente ms fciles de calcular.Generando as la solucin ms factible.La programacin dinmica, es una tcnica que le permite la resolucin de problemas que tratan de alcanzar determinados fines, a travs, de una serie de etapas o fases compuestas de diversos estados, de estos es necesario hacer una eleccin, de tal manera que se alcance la mxima efectividad global, tambin podemos decir, que es una tcnica matemtica que trata con la optimizacin de procesos de decisin. La optimizacin es por fases en vez de simultnea.

Programacin DinmicaLa programacin dinmica consiste en una tcnica que permite determinar de manera eficiente las decisiones que optimizan el comportamiento de un sistema que evoluciona a lo largo de una serie de etapas. En otras palabras, trata de encontrar la secuencia de decisiones que optimiza el comportamiento de un proceso politapico.La naturaleza del razonamiento que se debe realizar en programacin dinmica es muy diferente al de la programacin lineal. En programacin lineal, intenta describir una determinada situacin en trminos de un modelo matemtico determinado; una vez conocida la naturaleza de las variables de decisin, y expresadas la funcin objetivo y las restricciones en funcin de esas variables, la resolucin del modelo puede confiarse, sin mayores problemas, a un programa informtico. La programacin dinmica no admite una resolucin sistemtica de este tipo; ms que un modelo concreto, es una estrategia de resolucin comn a muchas situaciones en principio diferentes que se ha de modelizar. En contrapartida, las simplificaciones que en ocasiones deben realizarse en programacin lineal para poder resolver el modelo no son necesarias en programacin dinmica, que admite gran variedad de relaciones entre variables.

TEOREMA DE OPTIMIDAD.

Bajo la forma de un principio general: Una poltica es ptima, si en un periodo dado, cualesquiera que sean las decisiones que se tomen, constituyan una poltica optima teniendo en cuenta los resultados de las decisiones precedentes.Como lo podramos enunciar de la siguiente manera, Una poltica ptima solo puede estar conformada por sub polticas ptimas.Puede ser demostrado de la siguiente manera, Una sub poltica de la poltica optima, si esa sub poltica no es ptima, existe otra mejor, la cual completada con el resto de la poltica, permitir mejorar est, por lo tanto, nos dara otra poltica optima y por lo sealado, sera contrario a la hiptesis.

CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN DINAMICA.

Generalmente los problemas de programacin dinmica siguen un patrn para poder resolver este tipo de problemas, y llegar a la optimizacin de la solucin. Lo que generalmente se busca es identificar las etapas y relacionarlo con un problema conocido como lo es el problema de la diligencia.Las caractersticas de la programacin dinmica se emplean para formular e identificar la estructura de los problemas de este tipo.

A continuacin se presentarn estas caractersticas bsicas que distinguen a los problemas de programacin dinmica.

El problema se puede dividir en etapas que requieren una poltica de decisin en cada una de ellas. En muchos problemas de programacin dinmica, la etapa es la cantidad de tiempo que pasa desde el inicio del problema, en ciertos casos no se necesitan decisiones en cada etapa.

Cada etapa tiene un cierto nmero de estados asociados a ella. Por estado se entiende la informacin que se necesita en cualquier etapa para tomar una decisin ptima.

El efecto de la poltica de decisin en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con la siguiente etapa (tal vez de acuerdo a una distribucin de probabilidad).

El procedimiento de solucin est diseado para encontrar una poltica ptima para el problema completo, es decir, una receta para las decisiones de la poltica ptima en cada etapa para cada uno de los estados posibles.

Dado el estado actual, una poltica ptima para las etapas restantes es independiente de la poltica adoptada en etapas anteriores. (este es el principio de optimalizad para la programacin dinmica). En general en los problemas de PD, el conocimiento del estado actual del sistema expresa toda la informacin sobre su comportamiento anterior, y esta informacin es necesario para determinar la poltica ptima de ah en adelante.

El procedimiento de solucin se inicia al encontrar la poltica ptima para la ltima etapa. La poltica ptima para la ltima etapa prescribe la poltica ptima de decisin para cada estado posible en esa etapa. Se dispone de una relacin recursiva que indica la poltica ptima para la etapa dada la poltica ptima para la etapa (n+1). A pesar de esta caracterstica, los problemas que pueden ser atacados con la PD tienen otras dos propiedades adicionales:

Slo un nmero reducido de variables se debe conocer en cualquier etapa con el fin de describir al problema. En efecto, los problemas de la PD se caracterizan por la dependencia de los resultados derivados de decisiones sobre un nmero reducido de variables.

El resultado de una decisin en cualquier etapa altera los valores numricos de un nmero reducido de variables relevantes al problema. La decisin actual ni incrementa ni decremento el nmero de factores sobre los cuales depende el resultado. As, para la siguiente decisin en la secuencia, el mismo nmero de variables se considera (Hillier, 1991).

En un problema de PD una serie de decisiones se deben tomar en una secuencia dada. Cuando esto se cumple, una poltica ptima se debe perseguir. No importa cules fueron los estados y decisiones iniciales, las decisiones restantes constituirn una poltica ptima con respecto al estado resultante de la primera decisin.

Existen dos tipos de programacin dinmica la determinstica y la probabilstica.

PROGRAMACIN DINAMICA DETERMINISTICA.En este caso se profundiza sobre el enfoque de programacin dinmica en los problemas determinsticos, en donde el estado en la siguiente etapa est completamente determinado por el estado y la poltica de decisin de la etapa actual. El caso probabilstico en el que existe una distribucin de probabilidad para el valor posible del siguiente estado este se analizara ms adelante.

APLICACIN DE PROGRAMACIN DINAMICA DETERMINISTICA.

Algunas de las aplicaciones de programacin dinmica determinsticas son:Modelo de Volumen Carga Mochila.Modelo del tamao de la fuerza de trabajo.Modelo de Reposicin de Equipos.Modelo de Inversin.Modelo de Inventarios.Existen tres elementos importantes a tomar en cuenta, los cuales son bsicos para el modelo de Programacin Dinmica.Definicin de Etapas.Definicin de Polticas o Alternativas.Definicin de los Estados para cada etapa.De los tres elementos, la definicin del estado por lo comn es la ms sutil.Las aplicaciones que se presentan a continuacin muestran que la definicin de estado vara dependiendo de la situacin que se est modelando.Sin embargo, a medida que se presente cada aplicacin, resultar til considerar las siguientes preguntas:

Qu relaciones unen las etapas?Qu informacin se necesita para tomar decisiones factibles en la etapa actual, sin reexaminar las decisiones que se tomaron en las etapas anteriores?

La experiencia indica que la comprensin del concepto de estado se puede mejorar cuestionando la validez de la forma que dicta la intuicin.Se sugiere intentar una definicin de estado diferente que pueda parecer ms lgica y utilizarla en los clculos recursivos.Con el tiempo, se descubrir que las definiciones que se presentan en las siguientes aplicaciones proporcionan la forma correcta para resolver el problema.Mientras tanto, el proceso mental propuesto deber mejorar la comprensin del concepto de estado.

MODELO DEL TAMAO DE LA FUERZA DE TRABAJO.

En algunos proyectos de construccin, las contrataciones y los despidos se ejercen para mantener un nmero de empleados que satisfaga las necesidades del proyecto. Debido a que las actividades tanto de contratacin como de despido incurren en costos adicionales, cmo se debe mantener el nmero de empleados a todo lo largo de la vida del proyecto?Supngase que el proyecto se ejecutara durante el lapso de n semanas, y que la fuerza de trabajo mnima requiere en la semana i es . Sin embargo, de acuerdo con los parmetros de costos, podra ser ms econmico dejar que fluctu el tamao de la fuerza de trabajo. Como es la cantidad de trabajadores empleados en la semana i, en esa semana i se puede incurrir en dos costos: , el costo de mantener el exceso de personal; , el costo de contratar, trabajadores adicionales.Los elementos del modelo de programacin dinmica se definen como sigue:

La etapa i est representada por la semana i,

Las alternativas en la etapa el nmero de trabajadores representados por la semana i.

El estado en la etapa i esta representado por el nmero de trabajadores en la etapa (semana)

MODELADO DE REPOSICIN DE EQUIPO.

Mientras ms tiempo este en servicio una mquina, su costo de mantenimiento es mayor y su productividad menor. Cuando la mquina llegue a cierta antigedad ser ms econmico reemplazarla. Es as que entonces el problema se reduce a determinacin de la antigedad ms econmica de una mquina.Supngase que se estudia el problema de reposicin de la mquina durante un lapso de n aos. Al inicio de cada ao, se debe decidir si mantener la maquina en servicio por un ao ms o reemplazarla por una nueva. Sean r(t), c(t), los ingresos y el costos de operacin anuales, y s(t) el valor de recuperacin de una maquina con t aos de antigedad. El costo de adquisicin de una mquina nueva en cualquier ao es I.Los elementos del modelo de programacin dinmica son:

PROGRAMACIN DINAMICA PROBABILISTICA.

La programacin dinmica probabilstica (PDP) es una tcnica matemticamente til para la toma de decisiones interrelacionadas, se presenta cuando el estado en la siguiente etapa no est determinado por completo por el estado y la poltica de decisin de la etapa actual. En su lugar existe una distribucin de probabilidad para determinar cul ser el siguiente estado. Sin embargo, esta distribucin de probabilidad si queda bien determinada por el estado y la poltica de decisin en la etapa actual. Por consiguiente la diferencia entre la programacin dinmica probabilstica y la programacin dinmica determinstica (PDD) est en que los estados y los retornos o retribuciones en cada etapa son probabilsticos. La programacin dinmica probabilstica se origina en especial en el tratamiento de modelos estocsticos de inventarios y en los procesos markovianos de decisin. En este apartado se presentar algunos ejemplos generales, con objeto de hacer resaltar la naturaleza estocstica de la programacin dinmica.

APLICACIONES DE PROGRAMACIN DINAMICA PROBABILISTICA.Algunas de las aplicaciones de programacin dinmica probabilstica son:Un juego aleatorio.

Problema de inversin.

Maximizacin del evento de lograr una meta.JUEGO ALEATORIO.Es una variacin del juego de la ruleta rusa, se hace girar una rueda con marcas de n nmeros consecutivos: 1 a n, en su superficie. La probabilidad de que la rueda se detenga en el nmero i despus de un giro es pi. Un jugador paga $x por el privilegio de hacer girar la rueda un mximo de m giros. La recompensa para el jugador es el doble de la cantidad obtenida en el ltimo giro. Suponiendo que le jugador se repite (hasta con m giros cada vez) una cantidad razonablemente grande de veces, propone una estrategia optima para el jugador.

Se puede formular el problema como un modelo de programacin dinmica con las siguientes definiciones:La etapa i corresponde a la i-sima vuelta de la rueda, i = 1, 2, , mEn cada etapa hay dos alternativas: se gira la rueda una vez ms o se termina el juegoEl estado j del sistema en la etapa i es el nmero que se obtuvo la ltima vez que se gir la rueda, el cual est entre 1 y nSea fi(j) = Ingreso mximo esperado cuando el juego est en la etapa i (el giro) y que el resultado del ltimo giro fue jEn este caso se tiene que

Entonces, la ecuacin recursiva se puede escribir como sigue:

Los clculos comienzan con fm+1 y terminan con f1, de modo que hay m+1 etapas. Como f1(0) representa el rendimiento esperado de las m vueltas, as que el rendimiento esperado neto, Rn, es:

CAPTULO II:APLICACIN.

PROBLEMA DEL CAMINO MS CORTO DE UN GRAFO.Consideremos un grafo dirigido donde X es el conjunto de vrtices y A es el conjunto de arcos . Con cada arco viene asociada a una distancia El problema consiste en encontrar el camino ms corto entre el vrtice inicial dado 0 y un subconjunto de vrtices , (T podra ser un nico vrtice).El problema del comerciante, supngase que un comerciante de Madrid desea viajar a Praga realizando el viaje en tres etapas. En la primera tiene oportunidad de hospedarse en Marsella, Paris o Limoges, en la segunda lo har en Zrich, Mnich o Miln, para de ah trasladarse directamente a Praga. El comerciante desea saber dnde debe hospedarse en cada etapa para minimizar el trayecto del viaje. Las distancias en cada etapa son las siguientes:MARSELLAPARIS LIMOGES

MADRID9501120725

ZURICHMUNICHMILAN

MARSELLA500700350

PARIS430750800

LIMOGES600825570

PRAGA

ZURICH625

MUNICH325

MILAN750

Estos resultados los graficaremos para tener una visin ms amplia de lo que estamos representando.MARCELLAZURICH

MADRIDMUNICHPRAGAPARIS

LIMOGESMILAN

Estamos ante un problema de encontrar el camino ms corto en un grafo secuencial, (sin circuitos). En este caso, cada vrtice de G correspondiente a un par ordenado, como es (estado, etapa), y los estados asociados con la etapa i son los vrtices k de G para los cuales el camino ms largo entre 0 y k contiene exactamente i arcos. Para resolver el problema en este tipo de grafos podemos adaptar algn algoritmo.

ETAPA 3:

Se determina la trayectoria ms corta a Praga desde la ciudad donde empieza la tercera etapa.

ETAPA 2:

Se determina la trayectoria ms corta a Praga desde cada ciudad donde empieza la segunda etapa.

ETAPA 1:

Finalmente, para establecer la ruta optima:

Utilizando la Programacin Dinmica obtenemos la ruta optima que debe seguir el comerciante para minimizar la ruta.

MODELO DE LA MOCHILA / EQUIPO DE VUELO / CARGA DE CONTENEDOR.

El modelo de la mochila tiene que ver clsicamente con el hecho de determinar los artculos ms valiosos que un combatiente carga en una mochila. El problema representa un modelo de asignacin de recursos general en el cual se utilizan recursos limitados por varias actividades econmicas. El objetivo es maximizar el rendimiento total.La ecuacin recursiva (hacia atrs), se desarrolla para el problema general de asignar artculos a una mochila con capacidad de peso W. Sea la cantidad de unidades del artculo en la mochila, y defina como el ingreso unitario y el peso del artculo . El problema general se representa como:

Sujeto a:

Donde Entonces no negativos.Los 3 elementos del modelo son:

....

. .Defina Rendimiento mximo para las etapas Dado el estado La manera ms conveniente de construir la ecuacin recursiva es un procedimiento de dos pasos:

PASO 1:

Exprese como una funcin de , como sigue:

PASO 2:

Exprese como una funcin de para asegurar la consistencia con el laso izquierdo de la ecuacin recursiva. Por definicin, representa el peso utilizado en la etapa . Por lo tanto y la ecuacin recursiva apropiada se da como:

Ejercicio.

Un barco de 4 toneladas puede cargarse con uno o ms artculos. La siguiente tabla da el peso unitario, en toneladas y el ingreso unitario en miles de dlares, para el artculo . El objetivo es determinar la cantidad de unidades de cada artculo que maximizar el rendimiento total.

ARTICULOS ,

1231

2347

3114

Como el peso unitario y el peso mximo W son enteros, el estado asume solo valores enteros.

ETAPA 3:

El peso exacto a ser asignado a la etapa 3 (artculo 3) no se conoce con anticipacin, pero puede suponer uno de los valores 0, 1, 2, 3, 4 (Porque W=4 toneladas y tonelada).Una valor de es factible slo si . Por lo tanto se excluyen todos los valores no factibles (con ). El ingreso para el artculo 3 es 14. En consecuencia, la ecuacin recursiva para la etapa 3 es.

La tabla resume los clculos para la etapa 3:

SOLUCIN OPTIMA

00----00

1014---141

201428--282

30142842-423

4014284256564

ETAPA 2:

SOLUCIN OPTIMA

00+0=0-00

10+14=14-140

20+28=28-280

30+42=4247+0=47471

40+56=5647+14=61611

ETAPA 1:

SOLUCIN OPTIMA

00+0=0--00

10+14=14--140

20+28=2831+0=31-311

30+47=4731+14=45-470

40+61=6131+28=5962+0=62622

La solucin ptima se determina cuando W=4 toneladas, del estado 1, se da la alternativa optima ; es decir que en el barco se cargaran dos unidades del artculo 1. Est asignacin deja, para las etapas 2 y 3. De la etapa 2, da por resultado, lo cual deja unidades para la etapa 3. Luego a partir de la etapa 3. Por lo tanto la solucin ptima completa es, El rendimiento asociado a

En la tabla de la etapa 1, en realidad tenemos que calcular la fila solo para Porque est es la ltima etapa que se considerar. Sin embargo, se incluyen los clculos para para poder realizar el anlisis de la sensibilidad. Por ejemplo, Qu sucede si la capacidad del barco es de 3 toneladas en lugar de 4? La nueva solucin ptima puede determinarse como:

Por lo tanto la solucin ptima es de y el ingreso ptimo es de 47000 dlares.

EJERCICIO FINAL DE APLICACIN.Optimizacin de Recorrido.

Aqu tenemos un problema de optimizar un recorrido en el cual verificaremos la distancia desde Villa Rica hasta tingo Mara pasando por los siguientes puntos:PucallpaRioja Cajamarca HunucoTrujillo

Este ejercicio surge con la curiosidad de saber optimizar una ruta de viaje en las ciudades mencionadas, debido a que las rutas son altamente transitadas por turistas y visitantes a sus familiares entre otros.Vamos aplicar la programacin dinmica para encontrar el correcto camino a seguir ante nuestra problemtica.

Como siempre en la programacin dinmica empezaremos por el ltimo paso a tratar.ETAPA 3:

Se determina la trayectoria ms corta a Tarapoto desde la ciudad donde empieza la tercera etapa.

ETAPA 2:

Se determina la trayectoria ms corta a Pucallpa o Hunuco desde cada ciudad donde empieza la segunda etapa.

ETAPA 1:

Finalmente, para establecer la ruta optima:

(

Utilizando la Programacin Dinmica obtenemos la ruta ptima que debe seguir el comerciante para minimizar la ruta. Tarapoto, Rioja, Cajamarca, Trujillo.

CONCLUSIN.

Concluimos que la programacin dinmica es una verdadera estrategia de optimizacin, ms que una rutina, bajo la cual se consideran solamente partes del problema completo. Una ventaja que presenta la programacin dinmica, es que los errores que pueden cometerse al decidir sobre alguna de las partes del problema (una sub optimizacin), no impiden que se decida correctamente en los prximos pasos del problema. Otra ventaja de la programacin dinmica, reduce el nmero de variables sobre la que se debe examinar a un mismo tiempo.La programacin dinmica, es una estrategia de optimizacin recomendada cuando puede obtenerse un balance apropiado para la reduccin de la dimensionabilidad, de hecho, se puede hacer la observacin de que est tcnica de optimizacin se aplica favorablemente a sistemas con un gran nmero de componentes, y pocas variables de estado entre componentes.Se han presentado tambin, otras tcnicas de optimizacin, con el fin de mostrar la gran importancia que tiene hoy en da la optimizacin en los procesos industriales. De hecho, el seleccionar una u otra tcnica de optimizacin para resolver un problema dado, va a depender de las condiciones mismas del problema, y de los datos que se tengan en el mismo.