12
PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 Zoran BRUJ/C 1. UVOD Kod vitkih pritisnutih elemenata rezultati dimenzionisanja saglasno uticajima prvog reda, naicesce, nisu zadovoliavaiuce tacnosti i ostaju na strani nesigurnosti. Granicna nosivost i, uopste, ponasanie ovakvih elemenata je bitno odredeno deformacijom, zbog cega njihov proracun mora da obuhvati sve fenomene koji doprinose povecanlu deformacije elementa/konstrukcije. Pri tome prosta analiza saglasno teoriji drugog reda, kojom se uslovi ravnoteze analiziraju na deformisanom elementu mora biti dopunjena i efektima vremenskog povecanja deformacije usled tecenja betona, kao i, neizbeznirn, geometrijskim imperfekcijama elementa. Zbog nelinearnih karakteristika ponasanja celika i betona armiranobetonskog elementa, problem je i materijalno nelinearan, sto mora simultano obuhvaceno analizom. Proracun vitkih elemenata je primarno opredeljen horizontal nom pornerljivoscu konstrukcije. Kod potpuno horizontal no nepomerljive konstrukcije (idealizovan slucaj) uticaji na krajevima stubova su, prakticno, nezavisni od deformacije konstrukcije, a dec stuba koji je .osetljiv" na uticaje drugog reda je lociran u njegovom sredisnlern delu. Efekti drugog reda jednog elementa ne uticu na susedne elemente. Ovo ornoqucava da se, kod ovakvih konstrukcija, efekti vitkosti analiziraju nezavisno na izolovanom elementu - lokalni efekti vitkosti. Cesta je, tada, situacija u kojoj su uticaji na krajevima stuba (uticaji prvog reda) merodavni za dimenzionisanje izdvojenog elementa. Kod horizontalno pomerljivih konstrukcija krajevi stubova se, redovno, nalaze unutar .osetliivoq" dela stuba na uticaje drugog reda, cirne njihova promena utice na preraspodelu uticaja na nivou cele konstrukcije. Zbog ovoga, tretman izolovanih elemenata, u ovom slucaiu, ne rnoze dati dovoljno tacne rezultate. Efektivitkosti moraju Adresa autora: mr Zoran Brujic, dipl, ing. grad. Fakultet tehnickih nauka, Univerzitet u Novom Sadu, Trg Dositeja Obradovica 6, Novi Sad 50 PRETHODNO SAOPSTENJE UDK: 624.032.001.14.012.35/.36(083.74)(4) = 861 biti analizirani na nivou konstrukcije - globalni eiekti vitkosti. Tacan proracun bi podrazumevao analizu konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju, princip superpozicije opterecen]a ne moze biti primenjen, zbog cega je svaka kombinacija opterecenia sluca] za sebe, tj. zahteva poseban proracun. Algoritamska postavka ovakvog resenja nije sporna, no proracun vee i jednostavnih konstrukcija na taj nacin je u toj meri zahtevan da danasnji racunari ne obezbeduju resenje u prihvatljivom vremenu. Praktican proracun vitkih elemenata/konstrukcija, zbog navedenog, mora biti zasnovan na aproksimativnim proracunskirn modelima, a odqovarajucim standardima se definisu aproksimativni postupci. Medutim, zajednicka karakteristika vodecih standarda za proracun betonskih konstrukcija je skroman tretman vitkih elemenata - za brojne prakticne situacije nije moquce pronaci odqovaraiuci, standardima definisana, proracunski postupak. Predstandard Evrokoda 2 [4] (u daljem tekstu ENV1992) je, takode, ostavio brojne nedoumice, a za ne mali broj prakticnih situacija projektant je bio upucen na opste metode. Objavljivanjem standarda Evrokod 2, 2004. godine [3] (u daljem tekstu EN1992), uvedene su brojne novine u proracun betonskih elemenata i konstrukcija uopste, pa i u oblasti vitkih elemenata. Proracun vitkih elemenata je znatno preciznije definisan, iako su dalja detaljnija uputstva jos uvek neophodna. 1.1 Duztna izvijanja (efektivna duzlna) stuba Pod duzinorn izvijanja stuba se podrazumeva razmak nultih tacaka momenata savijanja drugog reda, odnosno tacaka infleksije. Ona je pokazatelj osetljivosti elementa na poprecne deformacije usled uticaja aksijalnih sila, a moze se predstaviti kao umnozak stvarne duzine stuba (faktorom efektivne duzlne - k) izrazom lo = k -L. Za stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor efektivne duzine nalazi se u granicama od 0.5 k 1.0 , dok je MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2

Zoran BRUJ/C

1. UVOD

Kod vitkih pritisnutih elemenata rezultatidimenzionisanja saglasno uticajima prvog reda,naicesce, nisu zadovoliavaiuce tacnosti i ostaju na straninesigurnosti. Granicna nosivost i, uopste, ponasanieovakvih elemenata je bitno odredeno deformacijom,zbog cega njihov proracun mora da obuhvati svefenomene koji doprinose povecanlu deformacijeelementa/konstrukcije. Pri tome prosta analiza saglasnoteoriji drugog reda, kojom se uslovi ravnoteze analizirajuna deformisanom elementu mora biti dopunjena iefektima vremenskog povecanja deformacije usledtecenja betona, kao i, neizbeznirn, geometrijskimimperfekcijama elementa. Zbog nelinearnihkarakteristika ponasanja celika i betonaarmiranobetonskog elementa, problem je i materijalnonelinearan, sto mora simultano obuhvaceno analizom.

Proracun vitkih elemenata je primarno opredeljenhorizontal nom pornerljivoscu konstrukcije. Kod potpunohorizontal no nepomerljive konstrukcije (idealizovanslucaj) uticaji na krajevima stubova su, prakticno,nezavisni od deformacije konstrukcije, a dec stuba koji je.osetljiv" na uticaje drugog reda je lociran u njegovomsredisnlern delu. Efekti drugog reda jednog elementa neuticu na susedne elemente. Ovo ornoqucava da se, kodovakvih konstrukcija, efekti vitkosti analiziraju nezavisnona izolovanom elementu - lokalni efekti vitkosti. Cestaje, tada, situacija u kojoj su uticaji na krajevima stuba(uticaji prvog reda) merodavni za dimenzionisanjeizdvojenog elementa.

Kod horizontalno pomerljivih konstrukcija krajevistubova se, redovno, nalaze unutar .osetliivoq" delastuba na uticaje drugog reda, cirne njihova promenautice na preraspodelu uticaja na nivou cele konstrukcije.Zbog ovoga, tretman izolovanihelemenata, u ovom slucaiu,ne rnoze dati dovoljno tacne rezultate. Efektivitkosti moraju

Adresa autora:mr Zoran Brujic, dipl, ing. grad.Fakultet tehnickih nauka, Univerzitet u Novom Sadu,Trg Dositeja Obradovica 6, Novi Sad

50

PRETHODNO SAOPSTENJEUDK: 624.032.001.14.012.35/.36(083.74)(4) = 861

biti analizirani na nivou konstrukcije - globalni eiektivitkosti. Tacan proracun bi podrazumevao analizukonstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efektimaterijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasitida, u ovom slucaju, princip superpozicije opterecen]a nemoze biti primenjen, zbog cega je svaka kombinacijaopterecenia sluca] za sebe, tj. zahteva posebanproracun. Algoritamska postavka ovakvog resenja nijesporna, no proracun vee i jednostavnih konstrukcija nataj nacin je u toj meri zahtevan da danasnji racunari neobezbeduju resenje u prihvatljivom vremenu.

Praktican proracun vitkih elemenata/konstrukcija,zbog navedenog, mora biti zasnovan naaproksimativnim proracunskirn modelima, aodqovarajucim standardima se definisu aproksimativnipostupci. Medutim, zajednicka karakteristika vodecihstandarda za proracun betonskih konstrukcija jeskroman tretman vitkih elemenata - za brojne prakticnesituacije nije moquce pronaci odqovaraiuci, standardimadefinisana, proracunski postupak. PredstandardEvrokoda 2 [4] (u daljem tekstu ENV1992) je, takode,ostavio brojne nedoumice, a za ne mali broj prakticnihsituacija projektant je bio upucen na opste metode.Objavljivanjem standarda Evrokod 2, 2004. godine [3] (udaljem tekstu EN1992), uvedene su brojne novine uproracun betonskih elemenata i konstrukcija uopste, pa iu oblasti vitkih elemenata. Proracun vitkih elemenata jeznatno preciznije definisan, iako su dalja detaljnijauputstva jos uvek neophodna.

1.1 Duztna izvijanja (efektivna duzlna) stuba

Pod duzinorn izvijanja stuba se podrazumeva razmaknultih tacaka momenata savijanja drugog reda, odnosnotacaka infleksije. Ona je pokazatelj osetljivosti elementana poprecne deformacije usled uticaja aksijalnih sila, amoze se predstaviti kao umnozak stvarne duzine stuba

(faktorom efektivne duzlne - k) izrazom lo =k -L. Za

stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor efektivne

duzine nalazi se u granicama od 0.5 ~ k ~ 1.0 , dok je

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

Page 2: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

za stubove sa pomerljivim krajevima njegova vrednostnajmanje 1.0. Ukoliko se na neki nacin proceni duzinaizvijanja stuba koji je sastavni dec neke konstrukcije,

dalji proracun se rnoze sprovesti na izdvojenom zglobnovezanom zarneniujucern stubu duzine 1

0,

~ kA

EclsJIs1+Ecl S2 /ls2

+ ~O.5·EeIB2/lB2B3 B4 (- \

IX = 1.0 B IX = 0 Ecls2/ In + Eel.n / IS]\

kB\

EelB3/ In3\\

~\\ &\\

B1 A B2 \\

a. = 0.5 \

8

~ (- Me_5lika 1. Odredivanje faktora ka l b - koeficijenata krajeva stuba 52 [4]; Izvijeni oblici stuba

U praksi se za odredivanje efektivne dufine izvijanjastubova, uobicajeno, koriste nomogrami, a na osnovu

sracunatih k; -koeficijenata krajeva stuba (Slika 1a),

kojima se uvodi stepen ukljestenja kraja stuba u okolneelemente konstrukcije. S obzirom na slozenost inepreciznost primene nomograma i nernoqucnostnjihove upotrebe u okviru racunarskih programa, cestose koriste formule za priblizno odredivanje faktoraefektivne duzine stuba. U EN1992, u tom smislu, dati susledeci izrazi (razlikuju se u odnosu na izraze date upredstandardu) za ukrucene, odnosno, neukruceneelemente:

10 .: (1+ ka J.(I+ k

b J'2 0.45+ ka 0.45+kb

(3)

gde je NH - kriticna sila koja odgovara savojnoj

krutosti EI neisprskalog preseka. Ovaj izraz nemaopsti karakter, zbog cega je njegova primena oqranieenasamo na navedene situacije.

Vitkost stuba, u geometrijskom smislu, predstavljarelativizovanu duztnu izvijanja elementa poluprecnikorn

inercije bruto betonskog preseka - i: A, = [oli .Treba naglasiti da ovako definisane duzina izvijanja i

vitkost mogu biti odredene samo za jedan pravac, cimese pretpostavlja analiza jednoosno savijanih elemenataiii nezavisna analiza u svakom od pravaca.

I=l.max{ 1+ 10·kakb ;(1+2.kaJ.(1+2.khJ},

o ~+~ 1+~ 1+~

Treba primetiti i razliku u predlogu za sracunavaniekoeficijenata krajeva stuba (Slika 1b, (1), (2)). Ukoliko unekom od cvorova a iii b , susedni stub doprinosi

rotaciji kraja stuba, relativna krutost EI / I uprethodnom izrazu predstavlja zbir relativnih krutosti dvastuba. Dodatno, prilikom sraeunavanja ovihkoeficijenata, treba obuhvatiti i efekte isprskalosti.pripadajucih" greda, osim ukoliko se ne dokaze da ugranicnom stanju loma prsline izostaju.

Za elemente sa promenljivom normalnom silom iiipromenljivog preseka, duzlna izvijanja rnoze bitiodredena standardnim izrazom za dufinu izvijanja:

(4)

redukcioni faktor usled visine

B; =eo .ai' .am' X~ a" = YJi ~ 1,

am =~O.5'(1+ Xz),

1.2 Geometrijske imperfekcije i efekti tecenja

S obzirom da bitno opredeljuju deformacijuelementalkonstrukcije, uticaji geometrijskih imperfekcija itecenia betona moraju biti obuhvaceni proracunorn vitkihelemenata.

Pod geometrijskim imperfekcijama sepodrazumevaju rnoquca odstupanja geometrijepolozaia sile, a vezuju se za tolerancije izvodenja. Uproracun se uvode preko odgovarajucih dodatnihekscentriciteta, dodatnih nagiba iii fiktivnog poprecnoqopterecenia.

Prema EN1992, osnovna velicina vezana zaimperfekciju je dodatni nagib ose elementa iiikonstrukcije:

elementalkonstrukcije, am - redukcioni taktor zavisan

od broja vertikalnih ukrucujucih elemenata (m ), a eo [e

osnovna vrednost nagiba. Predlozena vrednost za eo je

(1 )

(2)

k =~.EIalb M [

k =~.EIalb M [

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2 51

Page 3: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

0.005. Duzina I u prethodnom izrazu se za izdvojenielement usvaja jednaka duzini samog elementa (tada je im =1), dok se za analizu sistema za ukrucenje usvajakao visina zgrade. Prilikom analize efekata nameduspratnim dijafragmama koje prenose horizontalno

cpterecenie, duzma I je spratna visina, a m je brojvertikalnih elemenata sprata koji ucestvuju u prijemuhorizontalne sile. Za izdvojene elemente se uvek rnoze

koristiti ~ = ()o.

Na osnovu ovako sracunatoq nagiba, za izdvojeneelemente uticaj imperfekcija rnoze biti obuhvacen kao

dodatni ekscentricitet ei (pogodno samo za staticki

odredene elemente) iii, opstne, preko dodatnog

poprecnoo opterecenla Hi (Slika 2a, b):

(5)

gde se K usvaja 1.0 za neukrucene elemente, a 2.0 zaukrucene.

N.H,,-i ~

Slika 2. Geometrijska imperfekcija: a), b) Ukruceni izdvojeni elementi, c) Konstrukcije, d), e) Meausoretne ikrovne dijafragme

gde je qJ - osnovna vrednost koeficijenta tecenja,

M - moment savijanja prvog reda za kvazi-OEqp

permanentnu kombinaciju opterecenia, a M OEd

moment savijanja prvog reda za proracunskukombinaciju opterecenja, Ukoliko je odnosa momenatapromenljiv, rnoze biti sracunat za presek samaksimalnim momentom, iii se moze koristiti srednja

Za konstrukcije, efekti nagiba mogu se prikazatipoprecnirn silama, koje se apliciraju zajedno sa ostalimdejstvima (Slika 2c, d, e).

Za razliku od preovladuiuceq koncepta u ENV1992,gde su efekti tecen]a mogli biti tretirani kao efekti prvogreda i, time biti nezavisno tretirani u odnosugeometrijsku nelinearnost (bar za izdvojene elemente), uEN1992 se efekti tecenja .pridruzuiu" uticajima drugogreda. Konceptualno, rec je 0 znacajno] izmeni, iako netreba ocekivati i znacajnu izmenu rezultata proracuna.Efekti tecenja se u proracun uvode zajedno sa efektimatrajnosti delovanja opterecen]a preko efektivnogkoeficijenta tecenia: '

qJef = tp-M OEqp / M OEd '

H a -;n· q -I

H:II

(EJ)H

"' ... '" .. --

(6)

vrednost. Konscen]e momenata savijanja prvog redadaje konzervativne rezultate u odnosu na ukupnemomente.

2. KRITERIJUMI ZANEMARENJA EFEKATAVITKOSTI

2.1 Globalni efekti vitkosti

lako potpuno horizontalno nepomerljive konstrukcijene postoje, zbog potrebe da se proracun ucine prakticnoprihvatljivim, kod najveceq broja konstrukcija u praksiglobalni efekti vitkosti mogu biti zanemareni. Naime,postavljanjem generalnog kriterijuma kojim efekti drugogreda mogu biti zanemareni ukoliko njihov uticaj nerezultira razlikom vecorn od 10% (zajednicka odredbaprakticno svih aktuelnih normativa, Slika 3) u odnosu nauticaje prvog reda (mereno po pomeranju cvorova),najveci broj regularnih konstrukcija zgradarstva sakorektno projektovanim vertikalnim elementima zaukrucen]e rnoze biti svrstan u kategoriju horizontalnonepomerljivih konstrukcija.

52

Slika 3. Klasifikacija konstrukcija: a) ukrucen« nepomerljiva; b) ukrucena pomerljiva; c) neukrucene,Jfi nepomerljiva; d) neukrucene pomerljiva

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

Page 4: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

Kako bi ispitivanje ovako postavljenog kriterijumaodredivanja pomerljivosti konstrukcije podrazumevalonjen prethodni tretman kao horizontalno pomerljive, to jeneophodno postaviti .Iednostavnlle" kriterijume cijimzadovoljenjem ce i pomenuti kriterijum biti zadovoljen.Prema PBAB87, CEB-FIP90 iii ENV1992, konstrukcijase rnoze smatrati prakticno nepomerljivom ako suelementi koji je ukrucuiu u horizontalnom pravcurelativno simetricno rasporedeni po osnovi objekta, i akonjihova krutost na savijanje zadovoljava sledece uslove:

gde je Nv Ed - ukupno vertikalno opterecenje (ne samo

dec opterecenia koji se prenosi elementima zaukrucenie), NV,BB - nominalna vrednost globalne kriticne

sile, q- koeficijent kojim se obuhvata broj spratova,

promena krutosti, stepen ukljestenja u osnovi i

distribucija opterecenia, a LN -suma savojnih krutosti

elemenata za ukrucenie, kojom je potrebno obuhvatiti iuticaj isprskalosti elemenata. U nedostatku preciznijihprocena rnoze biti usvojeno u funkciji proracunske

vrednosti modula etastlcnostl za beton (Ecd ):

• ukupna vertikalna sila raste za priblizno jednakuvrednost po svakom spratu.

U slucajevirna kada elementi za ukrucenie imajuznacajne globalne srnicuce deformacije i/ili rotacije,preciznija uputstva se daju u Aneksu 0, koji imainformativni karakter.

Za elemente kod kojih nije izrazena smicucadeformacija, kakvi su na primer puni zidovi za ukrucenie,globalni efekti drugog reda se mogu zanemaritiproracunorn ukoliko je zadovoljeno:

(7)n~3

za

zaL'~Fj~Ib soz-m.»

L.~Fj~Ib ~O.6

gde je L - ukupna visina deformabilnog, delakonstrukcije, mereno od nivoa "uktiestenia'' za

horizontalna dejstva (vetar, seizmika); F; - zbir

eksploatacionih vertikalnih opterecenia: n - broj

spratova konstrukcije i Eblb - suma krutosti svih

vertikalnih elementa za ukrucen]e. Evrokodom 2 iz 1992.dozvoljava se tretman ukrucenih konstrukcijazgradarstva kao nepomerljivih ukoliko su vertikalnielementi za ukrucenle projektovani tako da su sposobnida sami prime kompletno horizontalno opterecenie. UEN1992 daje se modifikovan izraz:

Konstanta 0.31 u (8) rnoze biti duplirana (0.62) uzdokaz izostajanja prslina u vertikalnim elementima zaukrucenle, za granicno stanje loma. I prethodni izraz seodnosi na regularne konstrukcije, sto je dodatnoprecizirano sledecim odredbama:

• konstrukcija je priblimo simetricna (torzioni efektimogu biti zanemareni),

• globalne srnicuce deformacije su zanemarljive (kaokod sistema za ukrucenje koji se uglavnom sastoje odsrnicucih zidova bez veliki otvora),

• elementi za ukrucen]e su kruto ukliesteni u osnovi,tj. rotacije su zanemarljive,

• krutost elemenata za ukrucenie je pribliznokonstantna po visini,

r; ~O.31 nn+1.6

(8)(10)

Uz dokaz izostajanja prslina kod elementa zaukrucenie u granicnom stanju loma, konstanta 0.4 u

prethodnom izrazu rnoze biti duplirana. Za koeficijent qdaje se sledeci izraz u funkciji broja spratova (ns ):

q=7.8 . n~ . 1 ,k =!!.-. EI (11)n\. +1.6 1+0.7 .k M L

gde je k relativna fleksibilnost ukliestenja, EI je

odredeno izrazom (10), a (J je rotacija koja odgovara

momentu M .

II

I

I

I

F~ :---.. :

IIIIIII

F-,.;h12

Slika 4. Globalne savojne i emtcuce deformacije 0/r i r) i krutosti (EI is)

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2 53

Page 5: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

Prema PBAB 87, EC2-1992 i CEB-FIP 90, zagranicnu vrednost vitkosti kojom se odvajaju vitki od

kratkih elemenata se daje Agr = 25 . Prema ENV1992 i

CEB-FIP, uticaj intenziteta aksijalne sile se obuhvatapreko bezdimenzionalne aksijalne sile n , H£)sledecinacin:

cirne je za male intenzitete aksijalne sile, kada i efektivitkosti ne dolaze do izrazaja, povecana granica vitkosti.

U [2] je ovaj kriterijum analiziran sa stanovistaispunjenja opsteq kriterijuma, pri cernu je opsf kriterijummodifikovan tako da pretpostavlja 10-procentnopovecanie kolicine potrebne armature. Na narednoj slici(Slika 5) je prikazan zbirni rezultat ove analize. Jednojvrednosti normalne sile, za poznat - minimalni ­procenat armiranja preseka odgovara maksimalnimoment savijanja koji presek opterecen zadatomnormalnom silom rnoze da primi. Za ovaj par moment­aksijalna sila odredena je vitkost stuba koja prouzrokujeprocentualno povecanje armature od, tacno, 10%. Kadase ovakav proracun ponovi za niz vrednosti relativne

normalne sile dobija se dijagram Agr (n), koji je

prikazan na narednim slikama za dve vrednostiminimalnog procenta armiranja. Zakljucak analize bi bionekonzervativnost postavljenog kriterijuma, ali trebaimati na umu cinienicu da je rec 0 specificno]interpretaciji opsteq kriterijuma.

Za elemente za ukrucen]e sa izrazenorn srnlcucorndeformacijom, globalni efekti drugog reda se moguproracunorn zanemariti ukoliko je zadovoljeno:

R17 < 0 1. 17 - 0 1. Y,BB"vs« - . l'Y,B -. R ~

1+ Y,BBRY,BS

gde je FY,B - globalna krtticna sila kojom se

obuhvata simultano i savijanje i smicanje, a Fy BB

FY,BS - globalna krlticna sila za cisto savijanje (9)

smicanje, respektivno. Ova druga moze biti sracunata

kao zbir srnicucih krutosti elemenata za ukrucenje S,Slika 4. Pri tome se preporucuie redukcija srnicucekrutosti na isti nacin kao i kod savojne (10).

2.2 Lokalni efekti vitkosti

Lokalni efekti vitkosti, za izdvojene elemente, mogubiti zanemareni proracunorn ukoliko zadovoljavaju opstikriterijum 0 10-procentnom povecanju uticaja prvogreda. Opet je neophodno postavljanje odqovarajucihkriterijuma cijim bi se zadovoljenjem smatrao zadovoljeni prethodni, opsti, kriterijum. Faktori kojima je .osetljlvost"elementa u najveco] meri odredena su njegova vitkost,intenzitet aksijalne sile i distribucija momenata savijanjaduz elementa, sto je i razlog zbog kojeg se kriterijumirnoqucnosti zanemarenja efekata drugog redapostavljaju po ovim velicinarna.

Agr =max {25,15/~},

n = NEd 1( Aefed) , (13)

~-~-~-------,---- - - -------- ------n - bezdimenzionalna normalna sila

40

50

60

o0.0-0.1-0.2-04 -0.3-0.5

Il uk =0.6%

-"--,I

II

II

/I

--------------------------'---__ 15~,., ./A- J;; ~ :5"./

./

-0.6-0.7-0.8-0.9

EuroCode2p=10%

11... = 1.0%

-1.0

Slika 5. Promena granice vitkosti u zavisnosti od nivoa aksijalnog ooterecenie, EC2-1992

Ovim se uvazava cinienica da se realna vitkostelementa smanjuje za linearno promenljivu distribuciju

momenta. Za najpovoljniji sluca] (Mol =-M02),

granica vitkosti je 75, a analize ponasanja ovakvihelemenata [2] daju cak odredenu konzervativnost ovakopostavljenog kriterijuma, Slika 6.

Izraz (13) odgovara najnepovoljnijoj - konstantnoj ­distribuciji momenta savijanja duz elementa. Elementbez momenata savijanja, kao i poprecno opterecenelement se takode svrstava u ovu grupu. Za elemente salinearno promenljivom distribucijom momenta savijanja(elementi bez poprecnoq opterecenia duz elementa)granica vitkosti se uvecava faktorom koji zavisi ododnosa momenata savijanja krajeva elementa

(M011 M 02' gde je M 02 veci po apsolutnoj vrednosti):

IL rA '(2_ M o1/ ).gr fir /M

02

(14)

54 MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

Page 6: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

~~_=-----+--_~~ 020

0.15

0.10

0.05

-0.20-0.40-0.60-0.80-1.00it'-~-""""---'-----'----.....----"""'-_----I 0.00

0.00-1.20

Slika 6. Promena nosivosti stuba sa promenom vitkostiza MOl =-M02

U PBAB87 i DIN1045 (vrednosti u zagradama) nezahteva se proracun drugog reda izdvojenog elementa

ni ako je ispunjen neki od sledecih uslova (e l ­

ekscentricitet prvog reda aksijalne sile):

zgradarstva, ovim stavom im se daje znatno vecapaznia.

3. PRORACUN EFEKATA VITKOSTI

2.3 Efekti tecenja

Prema EN1992, efekti tecenia mogu se zanemaritiukoliko su ispunjena sledeca tri uslova:

gde je M 0 Ed / NEd - ekscentricitet aksijalne sile prvog

reda, a h je visina poprecnoq preseka u odqovaraiucernpravcu. Za razliku od ENV1992, gde su efekti tecenjamogli prakticno uvek biti zanemareni kod konstrukcija

Ovim se obuhvata doprinos armature u elementu (OJ- rnehanicki koeficijent armiranja), no uticaj nivoaaksijalnog opterecenia izostaje, za sta je tesko pronaeiopravdanje. U situacijama kad se odreduje potrebnakollcina armature (nije poznata njena kolicina - OJ nije

definisano) preporucuje se upotreba OJ = 0.1, cime seovaj kriterijum svodi na (14).

3.1 Opsti metod

Opsti metod podrazumeva analizu konstrukcije uzsimultano ukhucivan]e efekata materijalne i geometrijskenelinearnosti. Pretpostavlja se primena standardnogbilinearnog radnog dijagrama za celik, te radnogdijagrama za analizu, Slika 7, kod kojeg se koriste

proracunske vrednosti fed umesto t;E - E / 'V umesto E preporucenocd - em I eE em

YcE =1.2 (10).

Efekti tecenja se mogu uvesti u proracun dodatnommodifikacijom radnog dijagrama za beton faktorom

1+ (fJeI I gde se efektivnim koeficijentom tecenia (fJef

obuhvata i uticaj trajnosti delovanja opterecenia (6).

U EN1992 daju se znatno preciznija i kompletnijauputstva za proraeun efekata krutosti u odnosu naprethodna izdanja. Ovo se, pre svega, odnosi naproracun globalnih efekata izvijanja i, u manjoj meri, naproracun biaksijalno savijanih vitkih elemenata.Klasifikovane se tri su osnovna metoda analize:

1. Opsti metod, koji bazira na nelinearnoj analizidrugog reda;

2. Analiza drugog reda zasnovana na nominalnojkrutosti;

3. Metoda zasnovana na proceni (predvidanju)krivine.

Opsti metod je referentni metod koji se rnoze koristitiza verifikaciju drugih metoda. Metode 2 i 3 su, kaopriblizne, koncipirane konzervativno. Pri tome, metod 2moze biti koriscen i za izdvojene elemente i zakonstrukciju u celini, dok je metod 3 pogodan uglavnomza izolovane elemente. Medutim, uz pravilnupretpostavku 0 raspodeli krivine, metod 3 rnoze bitikoriscen i za konstrukciju u celini. Predvidena jernoqucnost proracuna i drugim metodama krozNacionalne anekse (dokumente) standarda.

(17)

(16)

eJd~3.5(15)

eJd ~3.5·A/75(70)za

zaA~75(70)

A> 75(70)

Ideja ovako postavljenih uslova je da se kod stubovakoji su dominantno izlozeni savijanju (na racun pritiska)izbegne dopunski proracun, Medutim, analiza ovihkriterijuma [2] je pokazala njihovu izlisnost, s obzirom dasu njima izuzeti uglavnom nerealni slueajevi (izuzetnovisoki procenti armiranja).

U EN1992 daje se modifikovan kriterijum (14):

Ago =2S o(m+Oo9l{ 2-M~J,

OJ = A.~f)'d ~ 0.05 .~fed

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2 55

Page 7: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

to (MPa) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90

f.::.t;;l.~ 15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 ss 105,MPa}

fem 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98{MPa}

E,,, 27 29 30 31 32 34 35 36 37 38 39 41 42 44(GPa)

i" (%oj -1.8 -1.9 -2.0 -2,1 -2,2 -2.25 -2.3 -2.4 -2,45 -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,8

f",(%o) -:3,.5 -3.2 -3,0 -2.8 -28 -2.8

Stika 7. Radni dijagram za anatizu konstrukcije

Drugi izraz za k2 se primenjuje ukoliko vitkost nije

definisana.Kao alternativa, ukoliko je obezbeden geometrijski

procenat armiranja od najmanje 1%, mogu se primenitisledeci izrazi:

Zbog svog opsteg karaktera ovakav postupak rnozebiti primenjen uvek (i za konstrukciju u celini i zaizdvojene elemente), ali treba imati na umukompleksnost ovakve analize na nivou cele konstrukcije(videti 1). Zbog toga, ovaj postupak, pre svega, trebashvatiti kao referentni za verifikaciju drugih, a njegovaprakticna primena ce biti omoqucena tek sa pojavomznatno brzih raeunara.

k2 =n .0.30:::; 0.20 . (20)

3.2 Analiza bazirana na nominalnim krutostima(21 )

Za izdvojene elemente, prakticno, ukupanproracunski moment savijanja, koji ukliucu]e efekte

drugog reda (M Ed ), rnoze biti sracunat uvecanjern

momenta savijanja prvog reda ( M OEd) na sledeci nacin:

Za staticki neodredene konstrukcije, dodatno morajuproracunorn biti obuhvaceni i efekti isprskalostielemenata. U tom smislu se predlaze primenakonzervativnog sracunavanja nominalnih krutosti na baziefektivnog modula elasticnosti, sto odgovara potpunoisprskalom elementu:

Ideja metode proracuna koja bazira na nominalnimkrutostima elemenata je da se analiza konstrukcijezadrzi na nivou linearne veze izmedu napona i dilatacija,a da se efekti materijalne nelinearnosti uvedu u proracunputem odqovaraiuce redukcije krutosti elemenata. Poredmaterijalne nelinearnosti, redukcijom krutosti trebaobuhvatiti i efekte tecenja i isprskalosti elemenata.Rezimirano, nominalne krutosti elemenata se odredujuna nacin koji ornoqucava da rezultuluci ukupni momentkoji proizilazi iz analize moze biti koriscen za proracunpoprecnoq preseka na dejstvo momenta savijanja iaksijalne sile.

Za procenu nominalne krutosti vitkog pritisnutogelementa proizvoljnog poprecnoq preseka rnoze bitikoriscen sledeci model:

e; .e] = Ecd / ( 1+ fPef ) . (22)

gde je (, - moment inercije betonskog poprecnoq

preseka, E,\. - proracunska vrednost rnodula elasticnosti

celika za armiranje, l, - moment inercije armature za

teztsnu osu betonskog preseka, K; - faktor kojim se

obuhvataju uticaji isprskalosti preseka i tecenia, a K,\. ­faktor kojim se obuhvata doprinos celika za armiranje.

Ukoliko je geometrijski procenat armiranja veci od0.2%, za staticki odredene konstrukcije preporuceno je:

gde je P - koeficijent koji zavisi od distribucije

momenata savijanja prvog i drugog reda (Co = 8 za

konstantnu distribuciju momenta savijanja duz stuba,

Co =9.6 za parabolicnu, Co = 12 za sirnetricnu

trougaonu distribuciju), NEd - proracunska vrednost

aksijalne sile, a N B - kriticna sila sracunata za

nominalnu krutost. Dodatno uproscenie je rnoqucepostici opravdanom aproksimacijom P=1:

(24)

(19)

(18)

56 MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

Page 8: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

Ukoliko ne postoji rnoqucnost izdvojenog tretmanapojedinih elemenata, na nivou konstrukcije globalniefekti drugog reda se mogu uvesti u analizu putemuvecanih, fiktivnih, horizontalnih sila (aproksimativnip - t:a postupak):

krajevima mogu biti zamenjeni ekvivalentnim momentom(ekscentricitetom) prvog reda:

eo = 0.6· e02 +0.4· eOI ~ 0.4· e02 iii

3.3 Metodkoji bazirana nominalnoJ krlvini

gde su FH,OEd - horizontalne sile prvog reda, FV,Ed ­

ukupno vertikalno opterecenie, Fv B - kriticna sila za

nominalnu krutost, a FH,lEd - fiktivne horizontalne sile

koje daju jednake momente savijanja kao i vertikalno

opterecenie Nv ,Ed koje deluje na deformisanoj

konstrukciji. Drugi izraz se koristi kada FV,B nije

definisano.

Metod procene nominalne krivine je pogodan zaanalizu izdvojenih elemenata. lako se u EN1992 navodida je rnoquca primena metoda i za konstrukciju u celini,treba primetiti da je, u tom slucaiu, potrebno poznavanjeduzlne izvijanja elemenata. U tom slucaju, ovo odgovarageneralnom stavu kojim se analiza svodi na izdvojenielement ukoliko postoji moquenost odredivanja dufineizvijanja elementa. Zato, primena metoda nominalnekrivine, ostaje prakticno oqranicena na analizuizdvojenih elemenata.

Ovim metodom se odreduje nominalan moment

drugog reda (M 2 ) baziran na ugibu i zavisan od duzine

izvijanja i procenjene maksimalne krivine, kojim seuvecava odqovarajuci moment savijanja prvog reda

(MOEd ). Ovakav koncept odgovara, ranije

imenovanom, konceptu totalnog ekscentriciteta:

(27)

(28)

II = cyd / (0.45· d) ,Iro

(29)

1/ =K .K . IIlr r rp Iro'cyd = L;/e,

Momenti na krajevima se uzimaju sa stvarnim

znacima, pri cernu je 1M 021 ~ 1M011.Ekscentricitet drugog reda e2 se rnoze odrediti

prefpostavljajuci deformisani izvijeni oblik elementa, u

funkciji maksimalne krivine (1/ r ) i duzine izvijanja (/0

) :

gde je K,. - korekcioni faktor zavisan od intenziteta

aksijalne sile, Krp - faktor kojim se obuhvata uticaj

tecenia, cYd - proracunska dilatacija celika na granici

razvlacenja, a d - statlcka visina preseka. Koeficijent

K,. je definisan na sledee nacin:

1 I~ 1 2e2 =-.-=0.1._./0

,

r C r

Faktor c je zavisan od distribucije krivine duzelementa. Za sinusnu distribuciju krivine njegova

vrednost je c = 1[2, dok konstantnoj krivini duz

elementa odgovara c = 8 . Opravdanomaproksimacijom za elemente konstantnog poprecnoq

preseka se rnoze smatrati c = 10. Treba primetiti da c

zavisi od ukupne krivine, dok je Co (23) funkcija krivine

samo prvog reda.

Krivina 1/ r, u prethodnom izrazu, rnoze bitiprocenjena na sledeci nacin:

(25)

iiiF- FH,OEd

H Ed-, 1- FV,Ed / FV,B

FF

- H,OEdH Ed-

, 1- FH,lEd / FH,OEd

M Ed =M OEd +M2 =MOEd +

+ NEd' ez =NEd' (eo + ea + e2 ) • (26)K,. nil -n < 1 -1--=---- - , nil - + OJ,

nil -nbal

(30)

U odnosu na ENV1992, treba primetiti odredenerazlike u konceptu pribliznog odredivanja ekscentriciteta

gde je sa n obelezena relativna aksijalna sila, nbal ­

re/ativna aksijalna sila kojoj odgovara maksimalnanosivost preseka (prlblizno rnoze biti usvojena kao 0.4),

nil - maksimalna relativna vrednost aksijafne sile koja

odgovara centricno pritisnutom preseku. Koeficijent Krp:

Moment savijanja drugog reda je prikazan kaoproizvod proracunske aksijalne sile i odgovarajuceg

ekscentriciteta ove sile drugog reda (e2 ). Presek se

dimenzlonise za uticaj aksijalne sile i uvecanoq,

proracunskoq, momenta M Ed' Momentom savijanja

prvog reda moraju biti obuhvaceni i uticaji geometrijskih

imperfekcija. Sa eo i ea su obelezeni ekscentriciteti

prvog reda, odnosno, sfucajni ekscentricitet us/edgeometrijskih netacnostt.

Za stubove bez poprecnog opterecenia,u ciljupojednostavljenja, razlicltl momenti prvog reda na

K rp =1+P.({Jef ~ 1,

P=0.35+ t; /200-,1,/150. (31 )

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2 57

Page 9: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

drugog reda. Ranije, ekseentrieitet usled tecenla je,ukoliko je uopste postojala potreba njegovogobuhvatanja proracunorn, imao karakter ekseentrieitetaprvog reda, cirne tecenie nije utiealo na ekseentrieitetdrugog reda. Dodatno, izbacen je koefieijent zavisan od

vitkosti elementa pri odredivanju ez. Naime, umesto

koefieijenta K r , koriscen je koefieijent K], kojim se, za

male vitkosti, redukovala maksimalna krivina:

500

10

~i = 0.2

: J:i=O.O

.... ~.=O.6

~i.;.=--+----+---""'"'!_::----------

k

o .L- ---'-__......:-__--:- _

o

300

EuroCGde 2 ~:----"''----M400 -- - - - - - -- -- ~ - - - --- -- -;- - - - - - - - - - - - - - - - - -- -- -- -iJ-=-Q's - --i

11 = -q.3 ......:.-;---+----t....",

(32)K] = )../20-0.75 ~ 1.0.

4. DVOOSNO SAVIJANI ELEMENTI

Stika 8. Karakteristican oblik m - n - K veze,izdvajanje modet-stuba i odredivanje ravnoteie

spolj'asnjeg i unutrasnjeg ekscentriciteta

Biaksijalno savqaru pritisnuti elementi su sastanovista proracuna znatno zahtevniji od jednoosnosavijanih elemenata. Opstirn metodom datim u 0,saglasno definisanim prineipima, analizira sekonstrukeijalelement uz pretpostavku simultanogdelovanja svih relevantnih uticala. Hezultuiuct utieaji su,izrnedu ostalog, poslediea i geometrijske i materijalnenelinearnosti i, u opstern slucaju, mogu se koristiti zadimenzionisanje dvoosno savijanih elemenata. Medutim,vee je istaknuta prakticna Iimitiranost primene opsteqpostupka. Ova primedba je validna vee na nivouizdvojenog elementa. Sa druge strane, koneepti datiprlbliznirn postupeima za jednoosno savijane elementeovde, uglavnom, ne mogu biti primenjeni. Kao kljucniproblem u tom smislu se izdvaja nernoqucnostdefinisanja duzine izvijanja koso savijanog vitkogelementa.

Cak je i izdvajanje elemenata, kada je odqovaraiucirnkriterijumima to ornoquceno, cesto diskutabilno. Naime,rnoquce su situaeije u kojima je element u jednompraveu element sa horizontalno nepomerljivim, a u

ko

spoljasnii ekscentricitet(e,jd- k)

k'o

iunutrasuji ekscentricitet(m/n - k veza)

I

m'/n+---~"""'.

Utisak je da su obe izmene na mestu. Uvodenjem

koefieijenta K, obezbeden je simultan tretman tecenia

betona i geometrijske nelinearnosti, sto, fizicki, i jestesluca], a odredba (32) je irnplicirala dvostrukoobuhvatanje efekata geometrijske nelinearnosti.

Zadrzan je nacin odredivanja krivine 1/'0' koji je i

ranije izazvao protivrecne komentare. Cinjeniea je da jeproeena krivine ovim ostala prilicno gruba i upitne fizickepozadine, a njen utieaj je linearan na momente savijanjadrugog reda. Moguee opravdanje za ovo, verovatno,treba traziti u rezultatima eksperimentalnih ispitivanja, teu potrebi obuhvatanja i drugih, ignorisanih, efekata [1].Tacniju proeenu krivine preseka je rnoquce obezbeditiprimenom model-stub postupka, koji bazira na poznatojvezi izmedu momenta savijanja, aksijalne sile i krivinepoprecnoq preseka - m - n - K vezi (bezdimenzionalnioblik). Karakterisncan oblik ove veze, za jednu vrednostnormalne sile prikazan je na slici (Slika 8a). Ociglednisu lomovi dobijenih krivih u trenueima dostizanjadilataeije u gornjoj i donjoj armaturi koja odgovara granieirazvlacenja cellka. Otud je uobicajena proracunskaaproksimaeija ovih dijagrama trilinearnim.

Model-stub postupak bazira na izdvajanju konzolnogstuba (Slika 8b) kao polovine ouzine izvijanjaposmatranog stuba za koji se pretpostavlja da je usledutieaja prvog i drugog reda pretrpeo deformaeiju u obliku

sinusnog polutalasa (c =;rz :::: 10). Ukoliko se pravatotalnog bezdimenzionalnog ekscentriciteta

e] +ez ( K) postavi na m - n - K dijagram

(prethodno sveden na lsti red bezdimenzionalnosti),presek dve linije daje rezultujuce ravnotezno stanje(Slika 8e). Sluca] za koji prava spoljasnjegekseentrieiteta tangira krivu unutrasnieq ekseentrieiteta,odgovara minimumu potrebne armature. Treba primetitida, kako samo krajnje tacke krive unutrasnieqekseentrieiteta odgovara granicnom stanju lomapreseka, se ravnoteza uspostavlja, u opstem slucaju, zastanje u kojem ni jedan od preseka stuba nije dostigaoqranicno stanje. Time rnoze biti uveden termin granicnostanje stuba, koje ne korespondira sa granicnim stanjemloma kriticnoq preseka.

Primena, ovako definisanog, model-stub postupkapretpostavlja da se pocetnlrn ekseentrieitetom obuhvateutieaji prvog reda i geometrijskih imperfekeija. U skladusa promenjenim koneeptom u tretmanu efekata tecenia,tecen]e betona, sada, utice na nagib prave spoliasnieqekseentriciteta, a ne na njegovu polaznu tacku navertikalnoj osi.

58 MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

Page 10: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

drugom sa pomerljivim cvorovima. Ovo, kao i razlicitikonturni uslovi u dva pravea iii izostajanje pojedinihgreda jednog pravea, cini da se duzlne izvijanja dvapravea, u opstem slucaiu, ne poklapaju. Za pos/edieuovo moze imati potrebu izdvajanja niza elemenata iiikonstrukeijske podceline.

Na narednoj sliei su prikazani rezultati analizebazirane na opstern metodu, pri cernu su zanemareniefekti tecenja. U oba slucaia analiziran je stubpravougaonog popreenoq preseka, iste duzine i nacinaarmiranja. U prvom slucaju zadata je konstantnadistribueija momenta savijanja u oba pravea, a u drugom

linearno promenljiva. Nekoliko zakliucaka je ocigledno:izvijena osa elementa je, u opstern slucaju, prostornakriva, duztne izvijanja se, u opstem slucaju, ne poklapajuza dva pravea, efekti drugog reda menjaju pravaepomeranja tacaka sistemske linije...

Sa druge strane, primetno je da projekeijedeformisane ose na glavne ravni oblikom u potpunostiodgovaraju oblieima koji bi se dobili analizom jednoosnosavijanog stuba. Zbog toga je razumljiva teznja da seproracun biaksijalno savijanih stubova uprosti na naelnkoji bi obezbedio nezavisnu analizu za svaki od pravaea.

,

~LfOrmisana osa

p~gled od gore

, 1- -:.,

deformisanaqsapogled od go~.--

~7y

Slika 9. Deformisani.stub i momenti savijanja drugog reda za dva distribucije momenta

Prema EN1992, odvojen proracun za svaki odglavnih pravaca, ignorisuci dvoosni karakter savijanja,rnoze biti koriscen kao prvi korak detaljnije analize. Uslueajevirna kada je zadovoljeno:

ne zahteva se dodatna analiza. Koriscene oznake suobjasniene slikom (Oa). Dakle, ukoliko je zadovoljenuslov (33), dozvoljava se nezavisna analiza svakog odpravaea - uvecanie momenata savijanja prvog reda zasvaki od pravaea nezavisno. Grafiekl, uslov (33) jeprikazan na slici. Sivom povrsinom je obelezena zonanapadne tacks sile pritiska koja obezbeduje moqucnostnezavisnog tretmana dva pravea.

Rec je 0 elementima koji su dominantno savijani okojedne od osa, te je, sigurno opravdano i tretirati ih kaotakve. Medutim, ovim je pokriven relativno uzak decukupnog domena polozaia napadne taeke aksijalne sile(Db).

Ukoliko prethodni uslov nije zadovoljen neophodno jei zadovoljenje sledeceq kriterijuma:

gde su M Ed,xly proracunski momenti oko

odqovaraiucih osa u koje je ukliueen i nominalni

momenat drugog reda, M Rd,xly - momenti nosivosti u

odqovarajucern praveu, a eksponent a se usvaja

a = 2.0 za kruzne preseke, a za pravougaone presekernoze imati vrednost izmedu 1.0 i 2.0, zavisno od nivoaaksijalnog opterecenia.

Proracunski momenti savijanja, ocigledno, mogu bitiposlediea nezavisnih analiza za dva pravea, a kriterijum(34) predstavlja grubu aproksimaeiju interakeione povrs],te i nije direktno vezan za problem izvijanja elernenta.Osim toga, oblik u kojem je dat podrazumeva proverunosivosti preseka poznatog naclna armiranja i kolicinearmature,

(34)(Mf<.lJx)O +(MEdy JO ~ 1.0,M Rdx M Rdy

(33)e /h-Y-~0.2 iliez/b

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2 59

Page 11: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

ez-- .. y

~"~--~:H --- I- -_.-.. _._....::i::;:.-J-.;;:~::::.:> __._._.:>_.... _-

+y

Slika 10. Definicija ekscentricitet i zone napadne tacke sile pritiska koje omoquceveiu odvojen prorecun dvapravca

5. ZAVRSNE NAPOMENE I KOMENTARI

Standardom Evrokod 2 iz 2004. godine, proracunvitkih AB elemenata je obraden na znatno sistematicnl] ilogicniji nacin u odnosu na predstandard.

Opst: kriterijumi, a za pojedine od njih ranije nijepostojala nikakva aproksimativna alternativa, kojima seproblem resava uz najvisu tacnost koju obezbedujuuobicajene proracunske pretpostavke su prakticnoneupotrebljivi vee na nivou izdvojenih elemenata. Razlogovome je obimnost numerieke analize koja ih prati. Utom smislu, ovi postupci se prepoznaju kao referentni injima se verifikuju pribliini.

Kriterijumi kojima je ornoquceno zanemarenjeglobalnih efekata vitkosti su pregledno i konzistentnodati, a domen konstrukcija na koje oni mogu bitiprimenjeni je prosiren (na primer neregularnekonstrukcije), cime je resena jedna od nedoumica koja jeostavljena predstandardom. Kriterijumi zanemarenjalokalnih efekata izvijanja su neznatno modifikovani, bezznacajnijeg uticaja na rezultate proracuna. Izostavljanjedupliranog uticaja vitkosti, u ovoj analizi, cini postupakprakticne analize logicnijim sa fizickog aspekta.

Postupak proracuna koji bazira na nominalnojkrutosti je, verovatno, zarnislien kao univerzalnoaproksimatlvno resen]e kada je proracun celinekonstrukcije neophodan. lako resenie nije novina (ustlcnorn obliku egzistira u nekim vodecim svetskimstandardima, a i u predstandardu se daju naznake), uEN1992, ovi postupci su upadljivo naqlaseni, Utisak je

6. L1TERATURA

[1] Alendar, V., Aeie, M. [1995]: Granicna stanjanosivosti usled deformacije konstrukcije (izvijanje),Jugoslovensko savetovanje: Evrokodovi ijugoslovensko gradevinsko konstrukterstvo,Gradevinski fakultet Univerziteta u Beogradu,Zbornik radova - Posebna izlaganja: EC2:Proracun betonskih konstrukcija, Beograd 14 - 16.jun 1995, str. 171 - 199.

[2] Brujie, Z. [2001]: Granicna nosivost vitkiharmiranobetonskih stubova, Magistarski rad,Univerzitet u Novom Sadu, Fakultet tehnickihnauka, Novi Sad, 2001, 134 str.

60

da je ovakav nacin proracuna usvojen kao .nuzno zlo",kojim se nastojao pokriti prethodnim izdanjima skoroignorisan problem horizontalno pomerljivih konstrukcija.

lako domen primene postupaka koji se zasnivaju nanominalnoj krutosti nije oqranicen samo na pomerljivekonstrukcije, za izdvojene elemente je logicniji postupakproracuna koji bazira na proceni nominalne krivine injene distribucije. Najznacajnija novina vezana za ovepostupke je tretman efekata tecen]a, kojima je dat"status" efekata drugog reda.

S obzirom da qranicno stanje elementa ne mora daodgovara i dostignutom granicnom stanju nosivostikriticnog preseka, i dalje je upitna opravdanostpostupaka kojima se dirnenzlonisu kriticni preseci nauvecane uticaje prvog reda, iii, pak na uticaje dobijeneanalizom koja ukljucuje efekte drugog reda. Odnavedenih, samo je postupkom rnoquce ravnoteze ­model-stub postupkom uvazena ova cinjenica. Trebaprimetiti da njeno zanemarenje nije na strani sigurnosti.lako je izvesno da se znacajnija nekonzervativnostproracuna ostvarena na taj nacin odnosi na vrlo retkeprakticne situacije, utisak je da [e .Jzqubljsna" fizickapozadina proracuna.

Proracun biaksijalno savijanih elemenata nijedoziveo ocekivane i neophodne dopune. I dalje bazirana nezavisnoj analizi za dva odvojena pravca, te seignorise meduzavisnost simultanog deformisanja.Nedovoljno jasno je definisana rnoqucnost izolovanogtretmana pojedinih dvoosno savijanih stubova.

[3] Eurocode 2: Design of Concrete Structures - Part1: General Rules and Rules For Buildings,EN 1992-1, European Committee forStandardization, 2004, 230 str.

[4] Evrokod 2: Proracun betonskih konstrukcija - Deo1: Opsta pravila i pravila za proracun zgrada,ENV 1992-1-1:1991, Gradevinski fakultetUniverziteta u Beogradu, 1994, 348 str.

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 {200S} 1-2

Page 12: PRORACUN AS ELEMENATA PREMA STANDARDU EVROKOD 2 · konstrukcije kojom bi se simultano obuhvatili efekti materijalne i geometrijske nelinearnosti. Treba naglasiti da, u ovom slucaju,

REZIME

PRORACUN VITKIH AB ELEMENATA PREMASTANDARDU EVROKOD 2

Zoran BRUJIC

Proracun vitkih armiranobetonskih elemenata seizdvaja iz ustaljenog nacina proraeuna AS elemenata.Kako je ponasanie i nosivost ovakvih elemenataznacajno opredeljeno deformacijom, svi relevantni efektikoji doprinose povecaniu deformacija moraju bitiobuhvaceni proracunorn. Sa druge strane, razumljiva jeteznja za pojednostavljenjem proracuna i njegovimsvodenjem na principe i stepen kompleksnosti kojipostoji kod proraeuna ostalih elemenata.

Standardima za projektovanje betonskih konstrukcijaovaj problem je dugo bio zapostavljen, a za brojneprakticne situacije, sem uopstenih, nije bilo preciznihpreporuka. Ovo se pre svega odnosi na analizuglobalnih efekata izvijanja, te na proracun biaksijalnosavijanih pritisnutih elemenata.

Glavninom rada se daje prikaz i analiza odredabastandarda Evrokod 2 iz 2004. godine. Poseban akcenatje dat odredbama koje predstavljaju izmenu iii novinu uodnosu na predstandard. Postupci proraeuna, domeninjihove primene i, posebno, moqucnosti zanemarenjaefekata vitkosti su ovim standardom jasno klasifikovani iobradeni. Zamerka i dalje stoji kad je ree 0dimenzionisanju biaksijalno savijanih elemenata, gde [e,ako se izuzmu opsti postupci, niz praktlcnih situacijaignorisano iii predvida primenu vrlo grubih aproksimacija.

MATERIJALII KONSTRUKCIJE 48 (2005) 1-2

SUMMARY

DESIGN OF SLENDER RC ELEMENTS ACCORDINGTO EUROCODE 2 STANDARD

Zoran BRUJIC

Design of slender reinforced concrete elementsdiffers from usual way of design of other elements. Sincebehavior of slender elements is significantly determinedby deflections, it is necessary to introduce into accountall relevant effects which contribute theelement/structural deformation. On the other hand, thereis a reasonable aspiration to simplify the designprocedures and to reduce them at the same principlesand complexity level which exist in usual design.

This problem was disregarded. through standardsdefining the design of concrete elements and structures,and for a lot of real situations, except general ones,there were no precise suggestions. Mainly this is thecase in calculation of global slenderness effects and indesign of biaxially bended elements.

Review and analysis of design procedures given instandard Eurocode 2 from 2004. are mainly given in thispaper. Differences and provisions not existed in pre­standard are especially stressed out. Designprocedures, fields of their application and, specially,possibilities to neglect slenderness effects are clearlyclassified and treated. Objection is still valid for design ofbiaxially bended slender elements, where, excludinggeneral approaches, there are no satisfactory solutions.

61