PROMETNA (TRANSPORTNA) MREŽA

dr. sc Ljupko Šimunović, dipl. ing.

Fakultet prometnih znanosti, Zagreb

Zavod za gradski promet

travanj 2015.

SADRŽAJ

Osnovne definicije

Uvod u teoriju grafova

Prikazivanje mreža (graf, skupovi, matrični oblici)

Eulerov graf

Hamiltonov graf

Povezanost i dostupnost mreže

Kapacitet mreže (raspodjela prometa na mreži, optimalni

put)

UVOD

POJAM PROMETNE MREŽE

Prometna mreža je prostorno distribuiran sustav na kojemu se odvijaju

prometno - transportni procesi

Temeljna funkcija mreže je omogućiti sigurno, učinkovito, ekološki i

troškovno prihvatljivo premještanje ljudi, roba i informacija od izvorišta j

do odredišta k.

Transportni entiteti ulaze na pristupnom dijelu mreže i izlaze na

odredišnom dijelu

prometna mreža i

tokovi

i k

jki qQ

j k

transportna usluga

ulaz prometnog

entiteta u mrežu

izlaz prometnog

entiteta iz mreže i k

jki qQ

j, k: Ci Πjk

gdje je:

Q - prometni tok na mreži

qjk - izvorišno-odredišni promet

Ci- kapacitet i-tog toka mrežnog elementa

Πjk - put od izvorišta do odredišta kroz

prometnu mrežu

DIJELOVI MREŽE

Prometna (transportna) mreža predstavlja skup čvorova i

linkova na kojima se odvija prometno transportna djelatnost

Čvorovi

Čvorovi “V” se još nazivaju i vrhovi (eng. vertex, node)

Čvorovi su mrežni elementi u kojima se: koncentriraju,

propuštaju i usmjeravaju, križaju, slijevaju ili odlijevaju prometni

tokovi vozila (vlakova, zrakoplova, brodova, informacija,

podatkovnih paketa), obavlja naplata karata, skladištenje,

informiranje korisnika itd.

Čvorovi: gradovi, raskrižja, aerodromi, željeznički kolodvori,

autobusni kolodvori, pošte, robni terminali, računala

DIJELOVI MREŽE

Linkovi

Linkovi - međusobno povezuju čvorove u prometnoj mreži i

služe za fizički transport bez dodatnih usluga

Linkovi/veze “E” se nazivaju: grane, bridovi ili lukovi grafa ( eng.

edge)

Primjeri linkova/grana: ulice, ceste, plovni putovi, zračni putovi,

željezničke pruge

POOPĆENI STRUKTURNI MODEL PROMETNE MREŽE

U sustavskom opisu, mreža se predstavlja općim izrazom

tsMERMEPM

,,

gdje je: PM - prometna mreža

ME - mrežni element

R - relacije

s, t - prostorno-vremenski okvir promatranja

upravljanje mrežom

linkovi

pristuppristup

čvorišta

dodatne funkcionalnosti

Pristupni dio mreže čine mjesta s kojih prometni entiteti ulaze (terminali, garaže, parkirališta, stajanke

zrakoplova,poštanski ormarić, pretplatničke parice, radiokanali..)

Dodatne funkcionalnosti naplata karata, informacije, privremeno skladištenje roba, špediterske usluge..

Upravljanje otklanjanje incidentnih situacija,reguliranje prometa, održavanje mreže, izgradnja kapaciteta

U transportnom sustavu terminali su na pristupnim dijelovima gdje ulaze-izlaze putnici odnosno gdje se utovara-istovara roba u vozila ili kontejnere (aerodromi, luke, polazni kolodvori..)

U cjevovodnom transportu terminal je mjesto gdje se supstrat (npr. nafta) ulijeva ili izlijeva

U tk prometu terminal je telefon, faks, računalo..

Obavljaju “dodatne funkcionalnosti” (izdavanje i naplata voznih karata, informiranje, čekaonice, skladištenje robe, špedicija..)

FORMALNI OPIS PROMETNE MREŽE

PODJELA PROMETNIH MREŽA

prometne mreže

prema "mediju"

prometovanja

cestovne

prometne

mreže

željezničke

prometne

mreže

vodne

prometne

mreže

zračne

prometne

mreže

telekomunikacijske

prometne

mreže

"posebne"

prometne

mreže

Podjela

prometnih

mreža prema

"mediju"

prometovanja

PODJELA PROMETNIH MREŽA

Prema otvorenosti za korisnike, razlikujemo:

javne mreže

zatvorene (privatne) mreže

virtualne privatne mreže

Prema prostornom obuhvatu, razlikujemo: lokalne/mjesne mreže

regionalne mreže

nacionalne mreže

međunarodne mreže

globalne mreže

Prema načinu vođenja prometa i upravljanja prometnim entitetima, razlikujemo:

prometne mreže bez centraliziranog nadzora i vođenja

prometne mreže s djelomičnim nadzorom i samostalnim upravljanjem prometnih entiteta

prometne mreže s centraliziranim automatiziranim vođenjem

TK MREŽA- PODJELA

Prema ustrojstvu mreže

stalne (većina mreža)

privremene ili «ad hoc» (npr. za potrebe vojske)

Prema uporabi

javna (većina mreža; naplaćuje se! Npr. T-Mobile, VIP i sl.)

namjenska (npr. CARNet)

privatna (npr. mreža bankomata u bankama Zg. banke)

Prema području (računalne mreže)

lokalna mreža – LAN (eng. Local Area Network) mreža na malom

prostoru soba, zgrada, kampus

gradska mreža – MAN (eng. Metropolitan Area Network)

globalna mrežaširokog područja – WAN (eng. Wide Area Network)

povezuje države, kontinente

TK MREŽA - VRSTE

Prema tehnologiji:

analogne

digitalne

Prema grupi primatelja:

unicast – jedan predajnik (čvor) šalje informaciju jednom prijemniku (čvoru)

broadcast šalje se ista informacija od jednog čvora do svih ostalih korisnika (prijenos radija i televizije je primjer broadcastinga)

multicast - je metoda slanja paketa od jednog ili više čvorova (pošiljatelja) do nekoliko različitih odredišta -primatelja (npr. članovima određene grupe)

anycast - je komunikacija između jednog pošiljatelja i najbližeg od nekoliko prijemnika u skupini

Multicast rutiranje u VANET mobilnoj ad hoc mreži

V2V

VANET - vehicular networks

V2V I V2I KOMUNIKACIJA

Wi-Fi, Wireless-Fidelity je bežična mreža gdje se podaci imeđu dva ili više prijemnika

(računala) prenose pomoću radio frekvencija (RF) i odgovarajućih antena. Domet nekoliko

stotina metara i brzina do 54 Mbps

WiMAX je bežična tehnologija koja omogućava širokopojasni bežični pristup Internetu uz

upotrebu radio frekvencijskog spektra od 3,5 GHz i 26 GHz (veći domet signala od WiFi - do

50 km i veća brzina 70 Mbps)

WiMAX - bežični produžetak

internet priključka

SVOJSTVA MREŽE

Kompleksnost mreže ne može se dekomponirati na dijelove, a da se ne

izgubi dio njenih sustavskih (relacijskih) svojstava

Robusnost (fault tolerance) mreže otpornost na ispade ili prekide.

Pokazatelji:

linijske povezanosti (edge-connectivity)

čvorišne povezanosti (vertex-connectivity)

Primjeri nerobusne i robusne mreže s pokazateljima (linijska povezanost)

a) nerobusna

x

w

u

yx

vub) robusnab) robusna

AKTIVNA MJERA ZA POBOLJŠANJE ROBUSTNOSTI

TERMINI/NAZIVLJE

Termini iz engleskog jezika:

- korisnik (user);

- pretplatnik (subscriber)

- potrošač (customer)

- Isporučitelj (shipper) cilj minimiziranje troškova

- prijevoznik (carrier) cilj maksimiziranje prihoda

- pristup (access)

- mreža (network)

- prespajanje (switching)

- usmjeravanje (routing)

MATEMATIČKA ANALIZA PROMETNE MREŽE – TEORIJA GRAFOVA

Svaku mrežu možemo matematički opisati preko teorije grafova

i analitički preko matrica

Grafom se mogu opisivati realni sustavi, kao što su gradovi

povezani cestama, rafinerije i potrošači spojeni naftovodima,

plinovodi, električni sklopovi, ali i apstraktni objekti kao što su:

baze podataka, tok računalnog programa, prikaz aktivnosti u

projektu, socijalni odnosi, hijerarhija u radnoj organizaciji

Teorija grafova jedna je od grana matematike koja nalazi veliku

primjenu u prometnim znanostima, elektrotehnici, ekonomiji.

Glavni razlog za široku primjenu teorije grafova je u jasnom

geometrijskom predstavljanju mreže pomoću crteža ili grafa

PROMETNA (REALNA) MREŽA PRIKAZANA POMOĆU GRAFA

Realna mreža Predstavljena grafom

SUSJEDNI VRHOVI I GRANE

Za dva čvora u i v grafa kažemo da su susedni ako su spojeni

granom, ako postoji link e od u do v koji ih spaja.

Za grane e i f kažemo da su susjedne ako imaju zajednički

čvor, ako postoji vrh “u” u tom grafu koji je njima zajednički.

Kažemo da su čvor “v” i grana “e” incidentni ili susedni ako

grana e počinje odnosno završava se u čvoru v odnosno ako je

v jedan od čvorova u uređenom paru čvorova koji čine link e ili

ukoliko je v jedna od krajnjih točaka linka

STUPANJ ČVORA.

Broj susjednih čvorova za čvor x se naziva stupnjem čvora x.

Stupanj čvora x može se definirati i brojem grana koje se stječu u tom čvoru npr. [npr. deg (x) = 5]

Ulazni stupanj čvora u orjentiranoj mreži predstavlja broj grana koji ulaze u taj čvor

Izlazni stupanj čvora u orjentiranoj mreži definira se kao broj grana koji izlaze iz tog čvora

Pod stupnjem čvora u neorjentiranoj mreži podrazumijeva se broj grana koji povezuju čvor s ostalim čvorovima u mreži

Stupanj grafa je broj čvorova promatranog grafa

STUPANJ ČVORA

Čvor X ima peti stupanj deg (x) = 5

STUPANJ ČVORA

T: Zbroj stupnjeva u svih čvorova uvijek je paran broj i jednak je dvostrukom broju grana.

Pošto svaka grana u grafu posjeduje dvije krajnje točke, svaka grana doprinosi sa 2 sumi stupnjeva čvorova i ta suma mora biti jednaka dvostrukom broju grana. Prema tome suma stupnjeva svih čvorova mora biti paran broj.

Primjer:

Koliko grana ima graf s 10 čvorova, ako je svaki stupnja šest ?

1

2n

i

i

d e

A D

C

B

STUPANJ ČVORA

U proizvoljnom grafu bez petlji, postoji paran broj čvorova neparnog stupnja .

Ovaj stav zove se, u literaturi i Lema o rukovanju. Odnosno, u svakom društvu broj osoba koje su se rukovale neparan broj puta je paran broj. Ovde broj osoba koje su se rukovale predstavljaju čvorove grafa.

TEORIJA GRAFOVA

Jedan od najstarijih problema vezanih uz teoriju grafova upravo

je iz područja prometa, poznat pod nazivom: Zadatak o

kenigsberškim mostovima

KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI

U 17. stoljeću postojalo je sedam mostova na rijeci Pregel u

istočnopruskom gradu Königsbergu (današnji Kalinjgrad u Rusiji)

Građani tog grada su pokušavali šetnjom prijeći put od svoje kuće,

tako da svaki od sedam mostova prijeđu točno jednom i da se vrate

kući.

Zadatak je pronaći put između obala (A i B) i otoka (C i D) tako da

se preko svakoga mosta prođe samo jednom.

C

A

B

D

KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI

Kako to nisu uspijevali, pitali su Eulera je li to uopće moguće

Euler je gornju skicu sveo na nešto što se danas zove graf

multigraf

KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI

Sustav mostova je prikazan pomoću grafa

Obale su označene s A i B, a otoci s C i D te predstavljaju vrhove

grafa.

Mogući putovi (mostovi) između obala i otoka prikazani su linijama, koje

spajaju parove vrhova. To su grane ili bridovi grafa

• Švicarski matematčar Leonhard Euler 1736. godine je dokazao da traženi

put ne postoji

• Euler je rezonirao ovako: ukoliko željeni put postoji, tada svaki put kad

neki vrh posjetimo pomoću jedne grane, druga grana bi morala služiti za

napuštanje tog vrha

• To znači da bi svaki vrh trebao imati paran broj grana (svakom granom se

smije proći samo jedanput)

B

CD

EULEROV (OJLEROV) GRAF

Eulerov graf je graf koji se može nacrtati ne podižući olovku s

papira.

Zatvoreni obris koji sadrži sve grane grafa G naziva se Eulerov

ciklus

T: Graf G je Eulerov graf ako je povezan i svi čvorovi su parnog

stupnja.

Eulerov put je put koja sadrži sve grane iz grafa G tačno

jedanput (ne mora biti zatvoren).

Graf koji ima Eulerov put se zove polueulerov graf.

T: Graf ima Eulerov put ako povezan i sadrži najviše 2 čvora

neparanog stupnja.

EULEROV GRAF

Primjer:

Jedan Eulerov graf i jedan koji to nije.

Prvi graf je Eulerov graf

npr. abcdbeca

svi čvorovi su parnog stupnja.

Drugi graf je samo Eulerov put ,

npr : cabcdba i

ima tačno 2 čvora neparnog stupnja.

a

c

b

d e ad

b

c

EULEROV GRAF

Primjer:

Dani su grafovi:

Prikazani graf je Eulerov put, npr : caecba ( ima točno 2 čvora

neparnog stupnja)

Drugi graf je Eulerov graf, npr : abdca (svi čvorovi su parnog

stupnja)

Treći graf nije Eulerov

a

c

b

e ad

b

c

a

c

b

e

KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI

Problem Kenisberških mostova se ne može svesti na Eulerov oblik

jer graf ima stupnjeve čvorova 5, 3, 3, 3 pa samim time se zaključuje

da je nemoguće svaki most preći samo jedanput, a da se vratimo u

početnu tačku

Kako to ovdje nije slučaj, tražena šetnja nije moguća.

Eulerovi putevi su važni za organizaciju poslova u većim gradovima

na primjer, za raznošenje pošte, naplate računa i slično.

Poštar će najracionalnije raznijeti poštu ako svaku ulicu obiđe točno

jedanput

HAMILTONOVI GRAFOVI

Vilijem Hamilton je 1859.godine postavio problem pod nazivom

put oko svijeta

Cilj je bio obići gradove svijeta i vratiti se u polazni.

Hamilton - treba proći kroz sve čvorove grafa točno jednom (

tako da se kroz jednu granu prolazi najviše jedanput)

Hamiltonova ciklus - je zatvoren put koji sadrži sve čvorove

grafa.

Graf koji ima Hamiltonov ciklus zove se Hamiltonov graf.

Hamiltonov put u grafu G je put koji sadrži sve čvorove iz grafa

G ( ne mora biti zatvoren)

Graf koji ima Hamiltonov put se zove poluhamiltonov graf

Primjer:

Hamiltonov graf.

Hamiltonov ciklus je napr: abcdea, pa je u pitanju Hamiltonov

graf.

U definiciji Eulerovih i Hamiltonovih grafova postoji sličnost.

Međutim Eulerov graf je u potpunosti određen Eulerovim

teoremom, dok za Hamiltonove grafove to nije slučaj. Nije

riješen potreban i dovoljan uvjet Hamiltonovog grafa.

Grafovi s čvorovima stupnja 1 ne mogu biti Hamiltonov ciklus,

U H. ciklusu svaki čvor je susjedan sa dvije grane u ciklusu.

a b

c

d

e

Primjer:

Je li zadani graf Hamiltonov

Hamiltonov graf je zatvoren ciklus

Hamiltonov put (ne mora biti zatvoren) je npr: ecab, pa je u

pitanju polu Hamiltonov graf.

a b

ce

Primjer:

Je li zadani graf Hamiltonov put ili H graf?

Nema ni Hamiltonova ciklusa ni puta pa nije Hamiltonov put niti

graf.

a b

ce

d

Odrediti o kojim se grafovima radi

ab

dc

a) istovremeno Ojlerovi i Hamiltonovi

b) jesu Ojlerovi, a nisu Hamiltonovi

c) nisu Ojlerovi, a jesu Hamiltonovi

d) nisu ni Ojlerovi, ni Hamiltonovi.

PROBLEM KINESKOG POŠTARA

Poštar mora obići sve ulice u određenom dijelu grada i na kraju dana vratiti se u poštu

Koji je najkraći put kojim treba proći kroz mrežu da kroz sve grane prođe minimalno jedanput i da se vrati u čvor iz kojeg se krenulo (kineski matematičar Kwan Mei Ko)

Veza Euler-ova tura - podrazumijeva ciklus kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi točno jedanput

Eulerov put - je put kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi točno jedan put pri čemu se put ne završava u čvoru iz kojeg je počeo

Problem se može primijeniti na vozila za pranje ulica, čišćenje snijega, sakupljanje smeća, autobuse s učenicima

PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA

Trgovački putnik želi obići određeni broj gradova Kojim redoslijedom će krenuti tako da obiđe svaki grad samo

jedanput, da se po obilasku vrati u početni grad i da pri tome pređe najmanje moguće rastojanje

Ukupan broj ruta trgovačkog putnika (od kojih treba izabrati najkraću) je jednak

Kad želi napustiti početni čvor susreće se s dilemom u koji od (n-1) gradova se uputiti. U sljedećem koraku treba se odlučiti za preostalih (n-2) gradova

Ukupan broj ruta je jednak (n-1) x (n-2) ...3 x 2 x 1 S problemom trgovačkog putnika susrećemo se pri obavljanju

distribucije sakupljanja transportnih entiteta (brodovi, zrakoplovi, autobusi ostavljaju ili preuzimaju robu i putnike)

2

!1n

MATEMATIČKA DEFINICIJA GRAFA

Graf je uređeni par dva skupa (V, E) .

G = (V, E)

Elementi skupa V nazivaju se čvorovi

Elementi skupa E predstavljaju veze između pojedinih čvorova.

Veze se nazivaju grane, bridovi, lukovi ili linkovi grafa

V - skup čvorova (vrhova)

E – skup grana (bridova, lukova ili linkova) grafa

PRIMJERI GRAFOVA

Graf se sastoji od čvorova/vrhova (na slici označeni točkama A,

B, C itd.) i linkova/bridova koji te vrhove povezuju

PRIKAZIVANJE GRAFA

Grafove se može prikazati, osim grafički i pomoću skupova (u

skupovnom obliku)

({1, 2, 3}, {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)})

Grafički prikaz

Skupovni prikaz

Napomena: Obeležavanje čvorova nema značaja za strukturu grafa, tako da se često i ne obeležavaju. Izomorfni grafovi su u stvari isti grafovi, ali različito nacrtani

A B

CD

1 2

34

PRIKAZIVANJE GRAFA

Primjer:

a) Dan je skup

b) Dan je skup

c) Dan je skup

TEŽINSKI GRAF ILI MREŽA

Težinski graf ili mreža je prošireni graf na kojemu se svakoj grani

dodaje težina ili ponder.

Ponderi su realni nenegativni brojevi pridruženi svakoj grani (cij –

troškovi grane, uij – kapacitet grane, vrijeme, udaljenost..)

Također se svakom čvoru i može dodijeliti numerička karakteristika

b(i).

Kad je b(i) > 0, čvor se naziva izvornim, a kad je b(i) < 0, čvor se

naziva ciljem, a kad je b(i) = 0, čvor i je tranzitni čvor

TEŽINSKI GRAF

Težinski graf je graf u kome nas ne zanimaju samo čvorovi i

grane već i mogućnosti stizanja iz tačke A u tačku B i to na

najbolji mogući način.

Najbolji način zavisi od problema koji treba rešiti, to je najkraći

put, nekada najjeftiniji, najsigurniji, put na kome se troši

najmanje energije i sl.

Iz tih razloga svakoj grani se dodjeljuje realan broj, njegova

težina, odnosno mjera.

Ako želimo, na primjer, naći najkraći put između gradova težina

je udaljenost, ili cijena avionske karte koja spaja udaljene

gradova i sl.

Težina ne mora biti pozitivan broj, ali uobičajeno je da se takav

koristi

TEŽINSKI GRAF ILI MREŽA

Pr.2. Ako se promatranim cestama pridruže udaljenosti među

vrhovima, dobit će se mreža s ponderima; realnim brojevima i

funkcijom koja cesti pridružuje udaljenost među mjestima koja

spaja.

OSNOVNE DEFINICIJE

Ako postoji veza između vrhova vi i vj onda postoji veza i između vrhova vj i vi . Kod tih grafova bridovi se obično crtaju kao linije bez strelica pri čemu se podrazumijeva da postoji veza u oba smjera

Primjer: ako su sve ceste u nekom mjestu dvosmjerne radi se o neorijentiranom grafu

Graf G = (V, R) je neorijentirani ili neusmjeren graf ako je relacija R simetrična tj. ako vrijedi:

OSNOVNE DEFINICIJE

Graf G = (V, R) je orijentirani ili usmjeren graf ako je relacija R

asimetrična tj. ako vrijedi:

• Kod orjentiranih grafova iz činjenice da postoji veza između vrhova vi i vj

slijedi da ne postoji veza i između vrhova vj i vi . Kod tih grafova bridovi se

obično crtaju kao linije sa strelicom koja je usmjerena u smjeru u kojem je

uspostavljena veza između dva vrha

Primjer: Skup svih jednosmjernih ulica u Zagrebu primjer je orijentiranog grafa

OSNOVNE DEFINICIJE

Jednosmjerne veze se uvijek crtaju sa strelicom, dok se dvosmjerne veze mogu crtati na različite načine:

linijom bez strelica

linijom sa strelicama na obje strane

dvjema linijama sa suprotno orijentiranim strelicama

OSNOVNE DEFINICIJE

Za grafove koji nisu ni orjentirani ni neorjentirani kažemo da su mješoviti

Kod mješovitog grafa između dva vrha mogu postojati kako jednosmjerne tako i dvosmjerne veze

• Primjer: skup svih cesta u Zagrebu nije ni orjentiran ni neorijentiran graf

PLANARNI GRAFOVI

Planarni grafovi su oni grafovi koji se mogu nacrtati u ravnini, a da im se grane ne sijeku, osim u čvorovima.

On dijeli ravninu na na više konačnih zatvorenih dijelova i jednu beskonačnu.

Primjer planarnog grafa je mreža puteva ako se isključe nadvožnjaci, odnosno prometne petlje.

Ojerov teorem: Povezan planarni graf dijeli ravninu na f=e-v+2 oblasti.

Primjer:

planarani grafove

Ovi grafovi dijele ravninu na f=6-4+2=4 oblasti.

A AB B

C C

D

D

PROSTI GRAF I MULTIGRAF

Graf je jednostavan ili prost ako nema ni jednu petlju i niti

koje dvije grane ne spajaju isti par čvorova.

Ako su u grafovima dopuštene višestruke grane (dva

čvora spajaju više različitih grana), uključujući i višestruke

petlje onda govorimo o multigrafovima

Multigraf je graf kod kojega između dva čvora a i b postoji

više od jedne grane, koje polaze iz a, i završavaju u b.

B

A

C D

E

B

A

C D

E

MULTIGRAF

REGULARAN GRAF

Graf je regularan ako su svi čvorovi istog stupnja

Regularan graf (svi čvorovi su stupnja 2)

SUSJEDNI ČVOROVI I STUPANJ ČVORA

U grafu na slici čvorovi a i c su susjedni, kao i grane ab,

ad i ac.

Čvorovi a i f nisu susjedni, kao ni grane ac i bf.

Čvorovi b, c, d su stupnja 2, a čvorovi a i f stupnja 3.

PODGRAF

Podgraf nekog grafa dobiva se ako se izdvoje neki vrhovi i oni lukovi grafa koji

ih povezuju G1 = (W, R)

Podgraf grafa G = (V,B) je graf G1 = (V1,B1) takav da je

Pr. Neka graf predstavlja kartu cesta Hrvatske. Karta svih cesta u Dalmaciji je

podgraf toga grafa

G1= (W,R) ima W = {1,2,3,4}

R = {(1,2), (1,3), (2,4), (4,4)}

BBiVV 11

PARCIJALNI GRAF I PODGRAF

Parcijalni graf ima iste vrhove kao i graf, a lukovi su samo neki od lukova

zadanog grafa G2 = (V, Q)

Primjer: na karti svih cesta Hrvatske izdvoje se autoceste Hrvatske

Parcijalni podgraf dobijemo ako se izdvoje neki vrhovi i neki lukovi

G3 = (W, Q)

Primjer: na karti cesta Dalmacije izdvoje se autoceste

POVEZANOST GRAFA

Graf je povezan ako postoji put između bilo koja dva različita čvora.

Prvi od grafova sa slike je povezan, a drugi je nepovezan

F

D

G

H

I K

A

BC

OSNOVNE DEFINICIJE

Graf G = (V,R) je povezan ako postoji prosti put između bilo koja dva čvora,

odnosno ako za svaka dva vrha vi i vj postoji ili put od vrha vi do vj ili od vj do vi (ako

se ne mogu povezati, ne postoji put – nepovezan)

Strogo (jako) povezan graf je graf u kojem postoji put između čvora vi i vj i put od

čvora vj do vi (između svaka dva čvora ima više disjunktnih putova -A i B nemaju zajedničkih elemenata)

U slučaju neorjentiranih grafova termini „povezan” i „jako povezan” graf su

ekvivalentni

a) povezani graf ( multigraf) b) nepovezani graf s tri komponente

v1 v2 v3

v6

v4

v5

v7

(lR1)

(lR2)

Primjeri povezanoga i nepovezanoga grafa

OSNOVNE DEFINICIJE

Put je je niz grana grafa s osobinom da je kraj k-te grane u nizu,

početak iduće k+1 grane.

Put je niz grana koje su međusobno povezane. Počinje i

završava vrhom

Duljina puta jednaka je broju lukova/grana u putu koji određuju put-čine putanju, odnosno broj vrhova u putu umanjen za 1

PROSTI PUT

Ukoliko se pojedine grane pojavljuju u putu samo jedanput, put se naziva prostim (simple path)

Elementarni put je put put koji najviše jednom prolazi kroz svaki

vrh/čvor grafa, svi vrhovi u nizu koji opisuju put su različiti (svaki

čvor u putu pojavljuje se samo jedanput)

PETLJA

Graf oblika {a, a} se naziva petlja (grana grafa koja polazi

iz jednog čvora i završava u istom čvoru, spaja čvor sa

samim sobom).

Petlja je kružni put koji ima samo jedan luk

OSNOVNE DEFINICIJE

Lanac, u grafu bez petlje je niz lukova koji se nadovezuju jedan na drugi bez obzira na njihovu orijentaciju

Ciklus je lanac koji počinje i završava u istom čvoru

Ciklus je graf koji se dobija od puta, dodavanjem grane koja spaja krajeve puta. Ciklus: AafbcdA, AdhA

Kružni put kod usmjerenog grafa je ciklus u kome su lukovi vežu jedan na drugi s obzirom na smjer kretanja (kod neusmjerenog grafa jednak je ciklusu)

OSNOVNE DEFINICIJE

Drvo (stablo) je povezani graf sa n čvorova (n>1) i n-1 grana i ne

sadrži petlju/ciklus (ne završava u istom vrhu u kojem počinje). Stablo

je graf u kome su svaka dva čvora povezana točno jednom stazom

Između svih parova čvorova u drvetu postoje odgovarajući putovi

Ni jedan od putova u drvetu ne počinje i ne završava u istom čvoru

Stablo sa sedam čvorova i šest grana

PRESTAVLJANJE GRAFOVA

Grafovi se mogu koristiti za rješavanje mnogih praktičnih problema.

Takve probleme rjlšavamo pomoću računara.

Potrebno je na odgovarajući način predstaviti grafove.

Jedan od uobičajenih načina je pomoću:

liste susjedstva,

matrice incidencije i

matrice susjedstva.

LISTA SUSJEDSTVA

Za svaki čvor grafa G=(V,E) lista susjedstva sadrži sve čvorove koji su susedni s

njime u G,

Primjer:

Grafu sa slike odgovara sljedeća lista susjedstva

.

,l v V u v E b

a

c

d

, ,

,

,

lu

b c da

ab

a dc

a cd

Analitički prikaz prometne mreže

Vizualno predočavanje i opisivanje strukture, elemenata i svojstava prometne mreže

Matrica povezanosti (susjedstva) čvorova pokazuje postoje li između čvorova izravni linkovi, ako postoje tada element matrice ima 1, ako ne 0.

Matrica incidencije opisuje incidentnost čvorova i linkova, ako link izlazi iz čvora vrijednost matrice je 1, ako ulazi u čvor -1, ako ne izlazi/ulazi u čvor 0.

Matrica topologije pokazuje povezanost čvorova, elementi matrice pokazuju broj linka između čvorova

B

D

C

A

Prometna mreža

ulazni

tok

pristup

1

2

4

3 5

Okruženje

l1 l2 l3 l4 l5

A 1 1 1 0 0

B 0 0 1 1 0

C 0 -1 0 1 1

D 1 0 0 0 1

0 3 2 1

3 0 4 0

0 4 0 5

1 0 5 0

Matrica

povezanosti

(susjedstva)

čvorovaMatrica incidencije

Matrica

topologije

A B C D

A 0 1 1 1

B 1 0 1 0

C 0 1 0 1

D 1 0 1 0

(Broj

linka)

MATRIČNI PRIKAZ GRAFA

Grafove možemo predstavljati i u matričnom obliku.

Matrica susjedstva (eng. adjacency matrix) A grafa sa N čvorova je kvadratna matrica reda N.

Elementi matrice A su

MATRICA INCIDENCIJE

Za slučaj neorjentiranog grafa elementi matrice incidencije

Ova matrica u svakom redu ima točno dva elementa jednaka 1,

a svi ostali elementi su 0.

Graf G Matrica incidencije Matrica susjedstva

MATRICA INCIDENCIJE

Matrica incidencije G je matrica koja ima onoliko redova

koliko graf ima čvorova i onoliko kolona koliko graf ima

grana.

Ona se definira različito za slučaj orijentiranog i

neorijentiranog grafa.

Ako je graf orijentiran tada je

Primjeri

matrica susjedstva

matrica incidencije

MATRICA TOPOLOGIJE

STUPANJ POVEZANOSTI MREŽE

Često korišten pojam “Dobro povezana mreža linija javnog gradskog prometa ili slabo povezana mreža”

Indeksi su kvantitativni pokazatelji povezanosti čvorova mreže

Korišteni parametri

v – broj čvorova

emax – maksimalni broj grana,

emax= 3(v-2)

indeks je odnos broja grana u

mreži e i maksimalnog broja grana

emax

23max

v

e

e

e

KVANTITATIVNI POKAZATELJI POVEZANOSTI ČVOROVA MREŽE

α indeks

e-broj grana u drvetu e = v-1 kad je broj grana u mreži e veći od v-1

c-broj ciklusa u mreži

cmax –maksimalni broj ciklusa u mreži

c = e -(v-1)=e-v+1

Maksimalni broj ciklusa cmax jednak je maksimalnom broju grana koje je moguće dodati minimalno povezanoj mreži

Minimalno povezana mreža sadrži emin grana. Dodavanjem cmax grana dobija se mreža koja sadrži emax grana

emin+cmax =emax

Odnosno cmax=emax – emin =3 (v-2)-(v-1) =2v-5

Kao mjera povezanosti mreže koristi se i α indeks koji se definira kao odnos broja ciklusa c i maksimalnog broja ciklusa cmax

52

1

minmax

min

max

v

ve

ee

ee

c

c

KVANTITATIVNI POKAZATELJI POVEZANOSTI ČVOROVA MREŽE

β indeks

Kao jednostavna mjera stupnja povezanosti mreže može se koristiti i β indekskoji predstavlja odnos između broja grana i broja čvorova mreže

Primjer. Izračunajte indeks y povezanosti čvorova mreže sa slikev

e

Max broj grana emax =3(v-2) =27

23max

v

e

e

e

63.027

17a

37.027

10b

Mreža ga ima 63% a mreža Gb 37% povezanost u odnosu na maksimalnu povezanost

MJERENJE DOSTUPNOSTI ČVORA

Dostupnost čvora - mogućnost da korisnici dođu u određeni čvor ili da iz njega dođu u druge čvorove

Prikazivanje dostupnosti čvora

Stupanjem čvora - u (neorijentiranoj) mreži to je broj grana koje povezuju čvor s ostalim čvorovima u mreži

Geografskom dostupnosti G(i) – ona predstavlja prosječno najkraće rastojanje između čvora “i” i svih ostalih čvorova mreže, nešto savršeniju mjeru dostupnosti čvora

dij – duljina najkraćeg puta između čvora i i čvora j

gij – geografska dostupnost

N

j

jixiD1

,)(

N

d

iG

N

j

ji

1

,

)(

Xij - grana koja povezuje čvor i s čvorom j

PRIMJER RAČUNANJA DOSTUPNOSTI ČVORA

Primjer za transportnu mrežu na slici izračunati stupnjeve čvorova i geografsku dostupnost

T.1. Matrica povezanosti T.2. stupanj čvora

stupanj čvora

T.3. Matrica duljina najkraćih rastojanja

T.4. Geografska dostupnost

Sume najkraćih rastojanja između

pojedinih čvorova i svih ostalih čvorova

Prema T.2 čvorovi A i E imaju jednake stupnjeve čvora.

Prema T.4. ova dva čvora imaju različitu geografsku

dostupnost. Zaključak čvor A ima bolju dostupnost od

čvora E

RAČUNANJE GUSTOĆE MREŽE

Pod gustoćom prometne mreže ρ podrazumijeva se odnos

ukupne duljine grana mreže L i ukupne površine prostora S na

kome je mreža postavljena

Ukazuje na razinu razvijenosti prometne infrastrukture

2km

km

S

L

Gustoća prometne mreže

TOKOVI NA MREŽI

Ukupan tok “f” kroz mrežu jednak je zbroju tokova koji izlaze iz

izvora, odnosno zbroju tokova koji ulaze u cilj

Ukupan tok od izvora ka cilju moguće je usmjeriti/razliti duž

različitih putova u mreži

Vrijednost maksimalnog toka kroz mrežu koja ima jedan izvor i

jedan cilj jednaka je najmanjoj vrijednosti kapaciteta svih

mogućih rezova/presjeka mreže

Presjek/rez mreže predstavlja skup grana čijim uklanjanjem bi

se određeni skup čvorova u potpunosti razdvojio od ostalih

čvorova mreže

Ovaj rezultat je poznat pod nazivom teorem o maksimalnom

toku i minimalnom rezu

ji

tjxisxf ,,

Propusna moć mrežne može se odrediti prema pravilu "minimalnog

reza – maksimalnog toka"

Pravilo minimalnog reza – maksimalnog toka kaže da je propusnost između

izvorišne (j) i odredišne ( k ) točke neke mreže jednak kapacitetu minimalnog

reza:

minimalni rez znači kombinaciju mrežnih elemenata čijim bi se uklanjanjem

uzrokovao prekid veze između j i k, a da zbroj kapaciteta bude minimalan.

j

C1 = 1000 C4 = 2000

C2 = 2000 C5 = 1000

C3 = 500

Cjk

ul = 2500jizl = 2500

[PE/ jed . vrem.]

PROPUSNOST MREŽNE STRUKTURE KOJU ČINI VIŠE SERIJSKIH I PARALELNO POVEZANIH MREŽNIH ELEMENATA

PROPUSNOST MREŽNE STRUKTURE KOJU ČINI VIŠE SERIJSKIH I PARALELNO POVEZANIH MREŽNIH ELEMENATA

a za prikazani primjer je:

5443253121

CC ,CCC ,CCC ,CC minjk

PR

em.][PE/jed.vr 3000 1000 2000 C C

vrem.][PE/jed. 4500 2000 500 2000 C C C

vrem.][PE/jed. 2500 1000 500 1000 C C C

vrem.][PE/jed. 3000 2000 1000 C C

54

432

531

21

- između navedenih četiriju kombinacija (načina) prekida mreže, minimalni rez nastaje

pri uklanjanju kapaciteta C1, C3 i C5.

- tražena propusnost mreže (maksimalni tok) jednaka je zbroju kapaciteta koji čine

minimalni rez, tj. iznosi 2500 [PE/jed.vrem.]

RAZDIOBA MREŽNIH TOKOVA PRI MAKSIMALNOJ PROPUSNOSTI

Za veličinu prometnog toka 0 ≤ φul ≤ 1000 cijeli tok se može usmjeriti na kraći put preko C2 i C5 ili preko C1 i C4

Za tokove 1000 ≤ φul ≤ 2000 treba koristiti oba puta, dok za veličinu toka 2000 ≤ φul ≤ 2500 treba koristiti i kapacitet C3 za preraspodjelu tokova

RAZINA USLUŽNOSTI-LOS

86

Level of Service

Kvaliteta prometnih uvjeta na cesti iz vozačke perspektive

Koristi se za određivanje broja prometnih trakova na cesti

Oznake od A do F

LOS je veći na ravnom nego na brdovitom terenu

Podizanje Los-a:

povećanjem broja trakova

proširenjem broja trakova

udaljavanjem bočnih opstrukcija

87

LOS A

Uvjeti slobodnog toka

Vozila nisu ometana

drugima u prometnim

toku

Mogućnost slobodnog

manevriranja

88

LOS B

Tok razumno slobodan

Manevriranje malo

ograničeno

Fizička i psihička razina

vozačeva komfora visoka

89

LOS C

Protoka na granici forsiranog

Sloboda manevra osjetno je

ograničena

Teže mijenjanje prometnih

trakova

Mogućnost formiranja repova

90

LOS D

Brzine se počinju smanjivati s

povećanjem protoka

Sloboda manevriranja

značajno smanjena

Vozači doživljavaju fizičku i

psihološku nelagodu

Čak i sitni incidenti mogu

dovesti do čekanja

91

LOS E

Dostignut kapacitet

Zgusnut prometni tok

Poremećaji, kao što su promjene

voznih traka mogu uzrokovati šok

val koji se širi uzvodno

92

LOS F

Forsirani ili prisilni tok

Događa se kada:

prometna nezgoda uzrokuje privremeno smanjenje kapaciteta

na mjestima ponavljajućih zagušenja, kao što je spajanje ili rqazdvajanje segmenata ceste

protok (potražnja) premašuje kapacitet

Levels of Service (LOS)

A Free Flow

Freedom of Choice

B Stable Flow (I)

Choice slightly affected

by others

C Stable Flow (II)

Choice significantly

affected by others

D High Density Flow

Freedom to maneuver

severely restricted

E At or Near Capacity

Unstable operations

(small changes = large

effects)

F Breakdown Flow

traffic approaching

exceeds traffic exiting

From: Route 228 Improvement Project – Pennsylvania DOT

Lj. Šimunović

travanj 2014.

HVALA NA POZORNOSTI