Promenades al©atoires : vers les cha®nes de .Promenades al©atoires : vers les cha®nes de Markov

  • View
    213

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Promenades al©atoires : vers les cha®nes de .Promenades al©atoires : vers les...

  • Promenades alatoires :

    vers les chanes de Markov

    Pierre Grihon(*)

    Cet article propose une mise en perspective de la notion de promenade ou de marchealatoire introduite dans le nouveau programme de spcialit de Terminale S. Ltudede marches alatoires simples nombre dtats(1) fini constitue dans ce programmeune voie dintroduction du calcul matriciel avec pour point dorgue une explicationsimple du principe de base des moteurs de recherche actuels(2). Il sera fait appel desnotions dalgbre linaire telles que le produit matriciel sous sa forme gnrale ou lesvaleurs et vecteurs propres qui dpassent bien sr le cadre du programme deTerminale.Le cadre gnral de ces problmes est celui des processus alatoires dont les chanesde Markov(3) sont lexemple qui sera dvelopp ici.

    1. Un premier exemple de processus alatoire

    Cet exemple sort du cadre strict du programme de spcialit mais paradoxalementson contexte est le plus simple dcrire. Un promeneur indcis ou fru deprobabilits(4) se dplace sur une droite gradue en partant de lorigine. Il jette unepice de monnaie et avance dun pas si elle donne pile et recule dun pas si elle donneface.Le nombre dtats de cette marche est infini.Voici une simulation de cette marche avec une pice quilibre : en abscisse lenombre de pas et en ordonne la position sur laxe.

    On peut observer quaprs tre revenu plusieurs fois en 0, le promeneur semble partirdfinitivement au loin En fait, on dmontre quil reviendra avec certitude uneinfinit de fois en 0, mais le nombre moyen de pas entre deux passages est infini

    Dossier : Matrices et suites 545APMEPno 501

    (*) pgrihon@free.fr(1) Pour un mobile qui se dplace, il sagit de ses positions possibles.(2) Bien entendu il ne sagit que dune approche de cette thorie dont le premier brevet a tenregistr en 1998.(3) Andre Markov (1856-1922) mathmaticien russe.(4) Ce problme est connu aussi sous le nom de marche de livrogne

  • 2. Un deuxime exemple de processus alatoire

    Un autre promeneur se dplace sur un quadrillage et chaque carrefour il choisit unedirection au hasard, mais en sinterdisant de passer deux fois sur un mme point.

    Ce type de marche alatoire est appele marche auto-vitante(5).Les deux types de processus voqus ci-dessus prsentent une diffrencefondamentale: le premier na pas de mmoire en ce sens que ltat futur ne dpendque de ltat prsent et le second a au contraire beaucoup de mmoireLes processus du premier type sont dits markoviens et on sintresse ici aux chanesde Markov qui en sont le cas discret. Si on considre celles nombre dtats fini onpeut utiliser des matrices.

    3. Lexemple des urnes dEhrenfest

    Cet exemple figure dans le programme(6). Il ne se prsente pas comme unepromenade mais on pourrait le transformer en marche sur un graphe.On considre deux urnes A et B et N particules. linstant initial n = 0, les Nparticules sont rparties dans A et B. chaque instant n 1, on choisit au hasardlune des particules et on la change durne.Ci-dessous une simulation o lurne A contient 15 particules au dpart et lurne B 0.En abscisse le nombre dchanges et en ordonne le nombre de particules dans A. Onpeut voir que lurne A se vide compltement puis remonte 15

    546 Dossier : Matrices et suitesAPMEPno 501

    (5) Lire ce sujet larticle de Wendelin Werner ladresse:http://www.mathom.fr/mathom/FeteDeLaScience/FS2007/Complements/Les%20chemins%20aleatoires.pdf(6)Voir aussi dans ce bulletin larticle de Kylie Ravera.

  • On note Xn

    la variable alatoire gale au nombre de particules dans A lissue du n-ime change. X

    npeut prendre les valeurs entires de 0 N: ces valeurs constituent les tats du

    processus. laide de la formule des probabilits totales, on obtient les (N + 1) formules dercurrence:

    (1)

    En effet, pour avoir k particules dans A lissue du (n + 1)-ime tirage, soit il y enavait (k - 1) avant et on en a rajout une provenant des (N - (k - 1)) de lurne B, soitil y en avait (k + 1) et on en a enlev une.Ces formules restent vraies pour les extrmes :

    Ce processus est une chane de Markov et cela se traduit par:

    qui en est la dfinition formelle.On peut traduire commodment les N + 1 relations (1) matriciellement en posant

    : Un+1 = MUn o M est la matrice carre dordre N + 1 dont

    chaque terme est une probabilit conditionnelle et dont la somme des coefficients dechaque colonne vaut 1. Une telle matrice est dite stochastique (ici en colonne). Onpeut remarquer que la somme des coefficients de U

    nvaut 1 galement.

    Dans le cas N = 3, on obtient .

    La premire ligne sobtient grce la relation et de mme

    pour les autres lignes.

    On peut avoir par exemple si A contient les 3 particules au dbut.

    P Xn+1

    = k( ) =N ! k +1

    NP X

    n= k !1( )+

    k +1

    NP X

    n= k +1( ) o 1" k " N !1

    P Xn+1

    = kn+1/ X

    n= k

    n( )!! X0 = k0( )( ) = P Xn+1 = kn+1 / Xn = kn( )( )

    Un=

    P Xn= 0( )

    !

    P Xn= N( )

    !

    "

    ###

    $

    %

    &&&

    M =

    0 1/ 3 0 0

    1 0 2 / 3 0

    0 2 / 3 0 1

    0 0 1/ 3 0

    !

    "

    ####

    $

    %

    &&&&

    P Xn+1

    = 0( ) =1

    NP X

    n= 1( ) dans ce cas P X

    n= !1( ) = 0( )

    P Xn+1

    = N( ) =1

    NP X

    n= N !1( ) dans ce cas P X

    n= N +1( ) = 0( )

    P Xn+1

    = 0( ) =1

    3P X

    n= 1( )

    U0=

    0

    0

    0

    1

    !

    "

    ####

    $

    %

    &&&&

    Promenades alatoires 547APMEPno 501

  • Lvolution long terme de ce processus repose sur un calcul de puissance de matricepuisque U

    n= MnU0.

    Le comportement asymptotique peut studier soit par ltude de la suite des

    puissances , soit directement sur la suite .

    Dans le cas prsent, si la suite converge, sa limite U est une matrice colonne

    de somme 1 qui vrifie lquation U = MU: U est donc un vecteur propre de M relatif la valeur propre 1. Si on note u

    kles coordonnes de U, on a les relations:

    On montre alors par rcurrence sur k que , puis, en utilisant la somme

    , on obtient et finalement . Les coordonnes de U

    forment donc la loi binomiale B(N,1/2).En fait la suite ne converge pas toujours (en particulier si la situation initiale

    est dterministe, cest--dire si la composition des urnes est donne et non alatoire),mais ses suites extraites et convergent. Cela tient au fait que le nombre

    Xn

    de particules dans A est troitement li la parit de n. Si par exemple X0 = 0,alors X2n est pair et X2n+1 est impair et dans ce cas on peut montrer que la limite de

    est gale et celle de

    La suite des puissances se comporte de la mme faon.

    4. Les matrices stochastiques

    Comme on la vu dans lexemple prcdent, les chanes de Markov sont lies uneclasse particulire de matrices : les matrices stochastiques. Leurs proprits sontprcieuses pour tudier la convergence ventuelle des processus.Une matrice stochastique selon les colonnes (respectivement selon les lignes) est unematrice lments positifs ou nuls et dont toutes les colonnes (respectivement toutesles lignes) ont une somme gale 1.De nombreux ouvrages privilgient les matrices stochastiques en ligne et donc lesproduits traduisant la chane de Markov font intervenir des matrices lignes du typeV

    n+1 = VnM.Il ny a pas de raison objective(7) pour privilgier cette criture mais plutt un certainnombre de raisons pdagogiques pour prfrer celle en colonnes:

    la traduction matricielle des quations dduites des probabilits totales donne

    uk=

    N

    k

    !"#

    $%&u0

    uk=

    N

    k

    !"#

    $%&1

    2N

    uk

    k=0

    N

    ! = 1 u0 =1

    2N

    N

    2k

    !"#

    $%&1

    2N-1

    Un

    ( )

    U2n( ) U2n+1( )

    Mn( )

    P X2n= 2k( )

    u1 = Nu0 , uN!1 = NuN , uk =N ! k +1

    Nuk!1 +

    k +1

    Nuk+1 pour 0 < k < N.

    Un

    ( )

    Mn( ) U

    n( )

    P X2n+1

    = 2k +1( )N

    2k +1

    !"#

    $%&1

    2N-1.

    548 Dossier : Matrices et suitesAPMEPno 501

    (7) Au niveau du secondaire et mme des deux premires annes du suprieur. Lexplicationse trouve en thorie de la mesure et dcoule de la notion de dualit.

  • directement la matrice stochastique de transition en colonne par simplelecture,

    un lment important est un vecteur propre de cette matrice : ltude desvecteurs propres se fait en liaison avec linterprtation dune matrice carrecomme matrice dun endomorphisme et dans ce cas le calcul dune image sefait usuellement par produit de la matrice par une matrice colonne,

    ces notions sont une introduction lalgbre linaire: il faut donc les tudierdans la perspective de ce qui sera fait dans le suprieur et donc ne pas sentenir au contexte des matrices stochastiques,

    enfin, dans le secondaire, les lves sont habitus crire les coordonnes desvecteurs en colonne.

    Dans cet article, je nutiliserai donc pour traduire une chane de Markov que lesmatrices stochastiques en colonne mais je serai amen utiliser la transpose detelles matrices (note tM) qui est donc ..... stochastique en ligne.

    Une proprit caractristique des matrices stochastiques est que tMX = X o X est lamatrice colonne forme de 1 et M est suppose coefficients positifs ou nuls. On peut en dduire les proprits suivantes:

    un produit de matrices stochastiques est stochastique.En effetsi M et N sont stochastiques, t(MN)X = tNtMX = tNX = X.

    une matrice et sa transpose ayant les mmes valeurs propres, toute matricestochastique a 1 pour valeur propre.

    les valeurs propres relles dune matrice stochastique ont une valeur absolueinfrieure ou gale 1.Pour dmontrer cela, on raisonne sur la transpose.

    Soit un vecteur propre