Projet d’implantation d’un forage - petiot.free.frpetiot.free.fr/Rapports/Projet%20mod%E9lisation%20Excel.pdf · Projet d’implantation d’un forage 1 Projet d’implantation

Projet d’implantation d’un forage

1

Projet d’implantation d’un forage Etude réalisée dans le cadre des cours de modélisation de M. Banton à l’Université d’Avignon

et des Pays de Vaucluse.

Janvier 2003


2

Sommaire

SOMMAIRE.......................................................................................................................................................... 2

TABLE DES ILLUSTRATIONS......................................................................................................................... 3

INTRODUCTION................................................................................................................................................. 4

1. CONTEXTE GENERAL............................................................................................................................ 5

1.1 SITUATION GEOGRAPHIQUE........................................................................................................................... 5 1.2 SITUATION GEOLOGIQUE ............................................................................................................................... 5 1.3 DONNEES HYDROLOGIQUES ET HYDROGEOLOGIQUES ................................................................................... 6 1.4 DONNEES ENVIRONNEMENTALES .................................................................................................................. 6 1.5 CARACTERISTIQUES TECHNIQUES DU FORAGE............................................................................................... 6

2. PREMIERES ESTIMATIONS .................................................................................................................. 7

2.1 DETERMINATION DE LA DISTANCE PAR RAPPORT A LA FALAISE .................................................................... 7 2.2 DETERMINATION DE LA DISTANCE PAR RAPPORT A LA RIVIERE ..................................................................... 9

3. MISE EN ŒUVRE D’UN MODELE NUMERIQUE D’ECOULEMENT .......................................... 11

3.1 CONSTRUCTION DU MODELE NUMERIQUE.................................................................................................... 11 3.2 REALISATION D’UNE SOLUTION ANALYTIQUE ............................................................................................. 13 3.3 COMPARAISON ET COMMENTAIRES ............................................................................................................. 15

4. MISE EN ŒUVRE D’UN MODELE DE TRANSPORT....................................................................... 16

4.1 CONSTRUCTION DU MODELE DE TRANSPORT ............................................................................................... 16 4.2 REALISATION D’UNE SOLUTION ANALYTIQUE ............................................................................................. 18 4.3 COMPARAISON ET COMMENTAIRES ............................................................................................................. 19

CONCLUSION.................................................................................................................................................... 21

BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................................................. 23

LEXIQUE ............................................................................................................................................................ 24


3

Table des illustrations

Figure 1 - Plan de localisation.................................................................................................... 5

Figure 2 - Echelle lithostratigraphique....................................................................................... 5

Figure 3 - Caractéristiques techniques du forage ....................................................................... 6

Figure 4 - Emplacement du puit image par rapport à la falaise ................................................. 8

Figure 5 - Feuille Excel© calcul du rabattement ....................................................................... 8

Figure 6 - Courbe Excel© s(h)=f(d)........................................................................................... 8

Figure 7 - Feuille Excel calcul de la concentration en polluant ................................................. 9

Figure 8 - Courbe Excel© C=f(d) ............................................................................................ 10

Figure 9 - mise en place de la maille du modèle numérique avec Excel© .............................. 12

Figure 10 - Représentation 3D du rabattement (modèle numérique) sous Surfer 8.0©........... 12

Figure 11 - Localisation des puits images et définition des distances r ................................... 13

Figure 12 - mise en place de la maille de la solution analytique avec Excel© ........................ 14

Figure 13 - Représentation 3D du rabattement (solution analytique) sous Surfer 8.0©.......... 14

Figure 14 – Graphique comparatif modèle numérique / solution analytique sur Excel©........ 15

Figure 15 – Comparatif modèle numérique / solution analytique sur Surfer 8.0©.................. 15

Figure 16 - Calcul des temps et vitesses d'écoulement avec le rabattement sur Excel© ......... 16

Figure 17 - Modèle numérique de transport............................................................................. 17

Figure 18 - Concentration en polluant = f(d) (modèle numérique).......................................... 18

Figure 19 - Solution analytique du transport............................................................................ 18

Figure 20 - Concentration en polluant = f(d) (solution analytique) ......................................... 19

Figure 21 - Comparaison des deux solutions de transport sur Excel© .................................... 19

Figure 22 - Rabattement à la position proposée....................................................................... 21

Figure 23 - Concentration à la position proposée .................................................................... 22


4

Introduction

e rapport à pour objectif de présenter les résultats du devoir de fin de session en modélisation réalisé à l’IUP Agrosciences option gestion de l’eau de l’Université

d’Avignon. Ce projet réalisé dans le cadre des cours de modélisation de M. Banton, consistait en l’étude de l’implantation d’un forage dans un domaine alluvial avec un aquifère fluvio-glaciaire, prenant en compte l’impact d’une rivière pérenne polluée et d’une falaise granitique imperméable. Le travail fut organisé de la manière suivante :

• mise en place d’hypothèses permettant de placer initialement le forage en prenant en compte l’influence de la falaise sur le rabattement dans le puit ainsi que l’influence de la pollution de la rivière sur la norme de potabilité souhaitée dans le puit ;

• construction d’un modèle numérique d’écoulement à partir de la situation déterminée à l’aide du logiciel Excel XP© et représentations graphiques grâce à Surfer 8.0© puis comparaison avec une solution analytique ;

• mise en œuvre d’un modèle de transport 1D permettant de donner l’évolution spatiale des concentrations de polluant depuis la rivière jusqu’au puit en intégrant les données du modèle numérique d’écoulement à l’aide du logiciel Excel XP© puis comparaison avec une solution analytique ;

• proposition de l’emplacement du forage suite aux résultats obtenus par modélisation.

Après une présentation générale des données du problème (géologie, hydrogéologie,…) et des caractéristiques du forage souhaité, nous présenterons les résultats du travail effectué.

C


5

1. Contexte général

1.1 Situation géographique

Figure 1 - Plan de localisation

On cherche à implanter le forage le plus près possible de l’unité de traitement des eaux située à l’aplomb de la falaise et au bord de la rivière afin de réduire les coûts en transport d’eau.

1.2 Situation géologique

Figure 2 - Echelle litho-stratigraphique

Alluvions fluvio-glaciaires (50m)

Granit

Argile de plaine inondable (5m)

Aquifère étudié

Réputé imperméable

Très peu perméable


6

1.3 Données hydrologiques et hydrogéologiques On sait que la rivière pérenne entaille les sédiments sur 6m, ce qui la met en communication avec l’aquifère étudié. De plus il est mentionné que la rivière affleure généralement le sol (au niveau de l’unité de traitement). Cet affleurement sera utilisé comme altitude de référence et sera fixée à 0. On note également les données suivantes concernant l’aquifère :

− transmissivité (T) de 0.001 m²/s ; − emmagasinement (S) de 0.01 % ; − porosité cinématique (nc) de 5 %.

1.4 Données environnementales La rivière présente une pollution chronique due à une usine de bois située en amont. La concentration moyenne du produit polluant est de 40 µg/L dans l’eau de la rivière. Les normes de potabilité nous imposent une concentration maximale de 1 µg/L de ce produit dans le puit. La dégradabilité du produit est de 0.023 j-1.

1.5 Caractéristiques techniques du forage

Figure 3 - Caractéristiques techniques du forage

Pompe Hauteur : 5m Débit : 20L/s

Forage Rayon utile : 0.25m Profondeur : 55m


7

2. Premières estimations

Afin de construire un modèle numérique, il faut déterminer un emplacement du forage répondant aux conditions imposées : ne pas dénoyer la pompe et respecter la norme de potabilité.

2.1 Détermination de la distance par rapport à la falaise On cherche à déterminer l’emplacement du forage de façon à ne pas dénoyer la pompe. Pour cela, il faut que le rabattement maximum dans le forage n’excède pas 50 m (55 m de profondeur de forage – 5 m de pompe). On considérera seulement l’influence de la falaise. Afin de déterminer le rabattement, on utilise l’expression d’approximation logarithmique de l’équation de Théis donnée par Jacob (1950) :

)r²S

2.25TtLn(T4

Qsπ

=

s : rabattement mesuré dans un piézomètre (m) Q : débit de pompage constant (m3/s) T : transmissivité (m²/s) S : coefficient d’emmagasinement (sans dimension) t : temps écoulé à un instant donné depuis le début du pompage (s) r : distance du piézomètre à l’axe du puits (m)

• Hypothèses de travail : On situe le piézomètre au bord du puits. La falaise est considérée comme une limite à flux nul, il faut donc ajouter un puit image à notre équation ce qui correspond à l’implantation d’un forage identique (qui pompe le même débit) situé de façon symétrique par rapport à la falaise. L’équation de Jacob devient alors :

)²Sr

2.25TtLn(T4

Q-)²Sr

2.25TtLn(T4

Qs21 ππ

=

avec les valeurs r1 au bord du puit soit 0.25m et r2 la distance entre le puit et le puit image (soit deux fois la distance du puits à la falaise). On fait varier r2 afin d’obtenir le rabattement de 50m ainsi on peut déduire la distance minimale du puits à la falaise.


8

Figure 4 - Emplacement du puit image par rapport à la falaise

• Réalisation sur Microsoft Excel© :

Figure 5 - Feuille Excel© calcul du rabattement

Dans le tableau ci-dessus, on prend un « temps_sec » de 365.25 jours soit 3.15E7 secondes car on suppose un régime permanent. On obtient ainsi la courbe suivante :

Courbe rabattement = f(distance)

40,00

45,0050,00

55,0060,00

65,0070,00

75,0080,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Distance (m)

Rab

atte

men

t (m

)

Figure 6 - Courbe Excel© s(h)=f(d)

Pour le rabattement maximum désiré de 50 m la distance minimale est de 215 m.

Puit

Puits image

Falaise

r2


9

2.2 Détermination de la distance par rapport à la rivière On cherche à implanter le forage à une distance de la rivière telle que la concentration en polluant dans le forage soit au plus égale à 1 µg/L. Nous savons que ce polluant suit une loi de dégradation du premier ordre :

λt)exp(*0 −= CC On cherche tout d’abord à déterminer le temps nécessaire pour dégrader le polluant de telle sorte que la concentration soit égale à 1 µg/L sachant que la concentration dans la rivière est de 40 µg/L. De l’équation ci-dessus on déduit :

λ)/Ln(C/Ct 0=

Soit t = ln(1/40)/0.023 = 160.4 jours. On cherche ensuite la vitesse d’écoulement dans la nappe, on émettra comme hypothèse que la vitesse d’écoulement de la nappe n’est due qu’au débit de pompage. D’après la loi de Darcy on a :

nciKv )*(

=

K : coefficient de perméabilité = T/b avec b épaisseur de l’aquifère i : gradient hydraulique = dh/dx nc : porosité cinématique. On prend pour dh la valeur maximale du rabattement (50m) et on fait varier dx qui correspond à la distance de la rivière au forage.

Figure 7 - Feuille Excel calcul de la concentration en polluant


10

On obtient ainsi la courbe suivante :

Courbe concentration = f(distance)

05

1015202530354045

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00

distance (m)

Con

cent

ratio

n (µ

g/L)

Figure 8 - Courbe Excel© C=f (d)

La distance minimale nécessaire au respect de la norme de potabilité est 526 m. Pour respecter les conditions imposées et d’après ces premières estimations, le forage devra donc se trouver à au moins 215 m au sud de la falaise et 526 m à l’ouest de la rivière


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3. Mise en œuvre d’un modèle numérique d’écoulement

A partir des premières estimations, on va créer un modèle numérique d’écoulement afin de rendre compte de l’évolution du rabattement dans le puits en tenant compte cette fois-ci de la falaise et de la rivière.

3.1 Construction du modèle numérique

• Pour commencer on met en place une maille carrée de 1250m x 1250m avec un pas de maille de 50m.

• Au nord on impose une limite à flux nul (on ne met pas de valeur dans les cellules)

correspondant à la falaise.

• A l’est on place une limite à potentiel imposé (arbitrairement on met 0 dans toutes les cellules) qui représente la rivière qui affleure au niveau du sol.

• Au sud on place une limite à gradient constant car on suppose que l’alimentation en

eau peut se faire par la rivière qui continue en dehors de la maille au sud. La cellule en question est alors la somme de la cellule au nord et de la différence des deux cellules directement au nord.

• A l’ouest on place une limite à gradient nul car on suppose qu’après une certaine

distance l’influence du puits ne se ressent plus. On place donc dans les cellules la valeur de la cellule directement à l’est.

• Dans les cellules de la maille, on fait la moyenne des cellules directement au nord, au

sud, à l’est et à l’ouest afin qu’elles tiennent toutes compte les unes des autres en fonction de leur rapprochement. Les limites sont ainsi prisent en compte.

• Dans la cellule du forage qui est placée d’après les estimations, on soustrait à la

moyenne la valeur du débit de pompage exprimé en mètres d’après la relation :

TsmQmQ

4)/3()( =

NB : Pour faire fonctionner le modèle sous Excel© il faut activer l’option « itération » disponible dans la rubrique Outils/Options


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Figure 9 - mise en place de la maille du modèle numérique avec Excel©

Figure 10 - Représentation 3D du rabattement (modèle numérique) sous Surfer 8.0©

Flux nul : Cellule vide

Gradient nul : =E22

Gradient constant : =F37+(F37-F36)

Potentiel imposé : =0

Forage : =moyenne-Q(m)

=MOYENNE(AA16;Z15;Y16;Z17)


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3.2 Réalisation d’une solution analytique Pour réaliser une solution analytique, on applique l’approximation de Jacob (cf. 2.1 Détermination de la distance par rapport à la falaise) en prenant en compte les deux limites. On aura donc de ce fait trois puits images :

Figure 11 - Localisation des puits images et définition des distances r

On peut donc calculer le rabattement sur une maille de 1250m x 1250m de façon à ce qu’elle soit comparable à notre modèle numérique. Le puits sera donc placé à l’endroit défini par l’estimation. La formule devient alors :

)²

25.2(4

)²

25.2(4

)²

25.2(4

)²

25.2(4

)(4321 Sr

TtLnT

QSrTtLn

TQ

SrTtLn

TQ

SrTtLn

TQhs

ππππ−+−=

r1 r2

r3

r4

Puit image Puit réel Observateur

Distance observateur puits

Rivière Falaise


14

Figure 12 - mise en place de la maille de la solution analytique avec Excel©

Figure 13 - Représentation 3D du rabattement (solution analytique) sous Surfer 8.0©


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3.3 Comparaison et commentaires On remarque que le modèle numérique semble cohérent à la vue de la solution analytique. En effet d’après les figures suivantes, on observe des variations principalement à l’ouest et au sud, zones qui ne sont définies que par des hypothèses de travail (limites à gradient nul et constant).

Comparaison des rabattements du modèle numérique et de la solution analytique (coupe est - ouest passant par le forage)

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,000200400600800100012001400

d ist ance à la r ivière ( m)

Figure 14 – Graphique comparatif modèle numérique / solution analytique sur Excel©

200400

600800

10001200

200

400

600

800

1000

1200

200400

600800

10001200

200

400

600

800

1000

1200

-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-101

Représentation des rabattementsde la maille de la solution analytique

Représentation des rabattementsde la maille du modèle numérique

Figure 15 – Comparatif modèle numérique / solution analytique sur Surfer 8.0© On observe dans le modèle numérique que le rabattement dans le puits n’est que de 18m, ceci s’explique du fait que le modèle numérique prend en compte les apports d’eau de la rivière. Le rabattement de la solution analytique est quant à lui de 26m, on peut donc supposer qu’il est possible de se rapprocher de la falaise sans dénoyer la pompe.


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4. Mise en œuvre d’un modèle de transport

Afin d’affiner la distance du puits à la rivière, on se propose de mettre en place un modèle de transport des concentrations en polluant qui intégrera les fonctions de convection, dispersion, diffusion et dégradation.

4.1 Construction du modèle de transport Le transport du polluant dépend principalement de la vitesse d’écoulement de la nappe (due au débit de pompage du puits) que l’on peut déterminer à l’aide des rabattements calculés précédemment (cf. 3.1 Construction du modèle numérique). Le modèle sera défini sur une section perpendiculaire à l’écoulement de la rivière passant par le puits. Tout d’abord on calcule la vitesse d’écoulement de la nappe avec le rabattement pour chaque pas de maille (50m) :

nciKv )*(

=

On fait varier le gradient hydraulique défini par xsi

∆∆

= (avec ∆x=50m) de la rivière au puits.

Figure 16 - Calcul des temps et vitesses d'écoulement avec le rabattement sur Excel©

Ensuite on intègre l’équation de convection :

xMV

tM

∆∆

−=∆

∆


17

l’équation de diffusion dispersion (Fick) :

xM

xD

tM

∆∆

∆∆

=∆

∆ *

On obtient :

)*(x

MxD

xMV

tM

∆∆

∆∆

+∆

∆−=

∆∆

D : coefficient de dispersion (fixé arbitrairement à 0.5) ∆M : variation de masse il faut également tenir compte de l’équation de dégradation :

λt)exp(*0 −= CC Ce qui donne sous Excel© :

Figure 17 - Modèle numérique de transport


18

Ce qui donne le graphique suivant après stabilisation :

Modèle de transport de polluant

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0100200300400500600

distance à la rivière (m)

conc

entr

atio

n du

pol

luan

t (µg

/L)

Figure 18 - Concentration en polluant = f (d) (modèle numérique)

4.2 Réalisation d’une solution analytique On peu approcher la diffusion dispersion par une loi normale de moyenne µ = V*t et d’écart type Dt2=σ à laquelle on ajoute l’équation de dégradation. Pour cette solution on calcule la vitesse d’écoulement à partir des rabattements de la solution analytique d’écoulement.

Figure 19 - Solution analytique du transport


19

On obtient alors le graphique suivant :

solution analytique de transport de polluant

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0100200300400500600


conc

entr

atio

n du

pol

luan

t (µg

/L)

Figure 20 - Concentration en polluant = f (d) (solution analytique)

4.3 Comparaison et commentaires On observe que les deux solutions sont quasi superposables :

Comparaison des deux solutions

051015202530354045

0100200300400500600


Solution analytique Modèle numérique de transport

Figure 21 - Comparaison des deux solutions de transport sur Excel© On peut donc estimer que notre modèle est valable.


20

On observe sur les deux graphiques que la concentration en polluant désirée (1µg/L) est atteinte très rapidement (environ 115 m). Ceci peut s’expliquer par une vitesse d’écoulement faible à proximité de la rivière, le polluant est donc dégradé sur cette courte distance. La différence avec l’estimation de départ est due à un gradient hydraulique calculé ponctuellement (avec le rabattement) et non de façon moyenne (avec le rabattement maximum). Cependant on ne peut pas rapprocher le puit à 115m du fait de l’augmentation de la vitesse d’écoulement à proximité du puits.


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Conclusion

ette étude a montré que l’emplacement initialement choisi du forage n’était pas optimal. En effet la réalisation des modèles numériques nous permettent de penser que :

• On peut se rapprocher de la falaise puisque le rabattement des 50m n’est jamais

atteint, le puit peut donc être implanté à 50m de la falaise (50m étant le pas de maille et donc la valeur minimale que nous pouvons avancer).

• On peut également se rapprocher de la rivière à une distance estimée de 300m pour

limiter les dépenses en transport d’eau tout en respectant la norme de potabilité. Attention : cette position est calculée de façon à limiter les dépenses en transport d’eau mais ne met pas à l’abri d’une concentration de pollution dans la rivière supérieure à 50 µg/L (calculée grâce à une estimation du modèle de transport).

Rabattement du modèle numérique (coupe est - ouest passant par le forage)

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

00200400600800100012001400


raba

ttem

ent (

m)

Figure 22 - Rabattement à la position proposée

C


22

Figure 23 - Concentration à la position proposée


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Bibliographie

Cassan M. (1986) – Aide-mémoire d’hydraulique souterraine. Presse de l’école nationale des

ponts et chaussées – 193 pages.

Castany G. (1992) – Principes et méthodes de l’hydrogéologie. Dunod éditeur – 233 pages

Detay M. (1993) – Le forage d’eau, réalisation, entretien, réhabilitation. Edition Masson – 379 pages


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Lexique

Aquifère : unité de domaine d’étude des eaux souterraines, réservoir. Diffusion : phénomène par lequel les diverses parties d’un fluide deviennent homogènes en se répartissant également dans une enceinte. Dispersion : phénomène par lequel les caractéristiques physique du milieu (tortuosité, adsorption, désorption,…) entraînent des variations de la vitesse de déplacement des molécules. Emmagasinement (S) : volume d’eau libéré par volume unitaire du réservoir à la suite d’un abaissement unitaire de la surface piézométrique. Gradient hydraulique (i) : perte de charge par unité de longueur. Limite à flux nul : limite étanche. Limite à potentiel imposé : ligne de source, altitude de la surface d’un plan d’eau, ligne de rivage marin. Norme de potabilité : concentration acceptable que peu ingérer une personne par jour sans effets adverses (on considère généralement une personne de 70Kg buvant 2L d’eau par jour). Perméabilité (K) : volume d’eau gravitaire traversant en une unité de temps, sous l’effet d’une unité de gradient hydraulique, une unité de section orthogonale à la direction de l’écoulement. Pollution chronique : se dit de pollutions de longue durée, s’oppose à ponctuel. Porosité cinématique (nc) : proportion des vides permettant à l’eau gravitaire de s’écouler dans la zone saturée ramenée au volume total de l’échantillon considéré. Rabattement (s) : Abaissement du niveau piézométrique mesuré dans le puit de pompage ou dans un piézomètre implanté à une distance x de l’axe de l’ouvrage. Rivière pérenne : qui ne tarit pas de l’année. Transmissivité (T) : régit le débit d’eau qui s’écoule par unité de largeur de l’aquifère sous l’effet d’une unité de gradient hydraulique.

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