UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GH. ASACHI“ IAŞI

FACULTATEA DE HIDROTEHNICĂ, GEODEZIE

ŞI INGINERIA MEDIULUI

SPECIALIZAREA MĂSURĂTORI TERESTRE ŞI CADASTRU

PARTEA I-a

Compensarea unei reţele planimetrice

de îndesire prin lucrări de

triangulaţie-trilateraţie geodezică

– 2013 –

2

A. TEMA PROIECTULUI

Compensarea reţelelor de triangulaţie/trilateraţie prin metoda măsurătorilor indirecte este

denumită uzual şi „compensareagrupului de puncte”, deoarece a fost folosită în trecut, în mod special,

la încadrarea riguroasă a unui număr de puncte noi într-o reţea veche de un anumit ordin. Metoda mai

este cunoscută şi sub denumirea de „metoda variaţiei coordonatelor”. Se consideră o reţea de triangulaţie-trilateraţie geodezică formată dintr-un număr de şase puncte

vechi (A, B, C, D, E, F) de coordonate cunoscute şi trei puncte noi (P1, P2, P3), pentru îndesirea reţelei geodezice, necesare ridicărilor topografice ulterioare (figura. 0.1).

Înainte de efectuarea observaţiilor pe teren, în etapa de proiectare a reţelei s-a avut în vedere

necesitatea studierii vizibilităţii între punctele geodezice, aceasta fiind condiţionată de sfericitatea

Pământului, refracţia atmosferică şi de obstacolele aflate pe traseul razei vizuale (relief, vegetaţie,

construcţii ş.a.m.d. ). Pentru aplicarea principiilor trilateraţiei, o condiţie în plus a fost aceea ca punctele

reţelei între care se efectuează măsurătorile de distanţe să fie accesibile. În teren s-au efectuat observaţii azimutale prin metoda seriilor complete, cu o staţie totală Leica

FlexLine TS09 cu precizia de 1’’, direcţiile azimutale fiind prelucrate în staţie şi reduse la originea

zero.În cazul măsurării distanţelor, precizia determinării este de 1 mm + 1,5 ppm, cu limitarea la o

distanţă maximă de 3500 m. Întrucât reţeaua planimetrică este una de îndesire, prelucrarea observaţiilor geodezice se realizează

într-un plan de proiecţie, corespunzător sistemului naţional stereografic – 1970. Corecţiile necesare

măsurătorilor din teren se referă astfel, doar la reducerea observaţiilor azimutale şi a distanţelor la

suprafaţa de referinţă plană. Pentru măsurătorile unghiulare, acolo unde este cazul, datorită

imperfecţiunilor în semnalizarea punctelor geodezice, se aplică corecţiile de centrare şi de reducere la

centrul bornei (punctul geodezic). Pentru măsurătorile de distanţe, acestea necesită a fi corectate prin

aplicarea corecţiilor de reducere la elipsoid şi apoi în planul de proiecţie. Această etapă preliminară de calcul al corecţiilor de reducere a elementelor măsurate la suprafaţa

de referinţă s-a rezolvat prin determinarea în prealabil a unor coordonate aproximative ale punctelor

noi, pe baza măsurătorilor din teren prelucrate în staţie. Direcţiile azimutale şi distanţele reduse în

planul de proiecţie constituie elemente necesare etapelor ulterioare compensării reţelei, fiind în număr

suplimentar în raport cu cele strict necesare şi suficiente, pentru determinarea poziţionării reţelei în

sistemul de coordonate adoptat. Pe astfel de elemente urmează să se realizeze prin procesul de prelucrare riguroasă a măsurătorilor

geodezice, constrângeri de natură geometrică şi analitică (reţea de tip constrâns). Compensarea măsurătorilor se va face prin metoda observaţiilor indirecte cu avantajul scrierii

fiecărei ecuaţii de corecţie corespunzătoare fiecărei măsurători din teren. Această metodă asigură,

concomitent cu o privire de ansamblu a reţelei, posibilitatea unui control sigur asupra exactităţii

rezolvării, fiind uşor adaptabilă automatizării în calcul. În final, după încheierea procesului de prelucrare, se prezintă evaluarea completă a preciziei

rezultatelor obţinute prin compensare.

3

B. DATELE PROIECTULUI

1. Schiţa cu punctele reţelei de triangulaţie/trilateraţie şi a vizelor din reţea (figura 0.1)

Fig. 0.1 - Schiţa cu punctele reţelei de triangulaţie/trilateraţie şi a vizelor din reţea

2. Coordonatele rectangulare plane ale punctelor vechi, de ordin superior (tabelul 0.1); Tabelul 01

Denumire punct Coord. Rectangulare plane STEREO-70

X(m) Y(m)

1 2 3

A P.G. Griviţa 469915.696 705867.820

B P.G. Între Hotare 474003.415 706389.632

C P.G. Movila Stresineasca 475390.385 710505.389

D P.G. Gemeni 469004.644 712492.714

E P.G. Movila Mare 468421.436 708864.202

F P.G. Valea lui Nicolae 467181.978 706698.279

4

3. Direcţiile azimutale şi distanţele măsurate în reţea şi prelucrate în staţie (tabelul 0.2). Tabelul 02

Punct staţie Punct vizat Direcţii azimutale prelucrate în

staţie α°ij [g c c] Distanţa redusă la planul

de proiecţie D0ij (m)

1 2 3 4

A

B 0.0000

±1.7cc

-

C 36.6586 -

P2 67.9915 -

P1 82.6278 -

P3 97.7135 -

E 121.3678 -

F 173.1424 -

B

C 0.0000

±1.9cc

-

P2 68.4577 -

P1 94.2846 -

A 128.7750 -

C

D 0.0000

±1.9cc

-

P3 13.1157 -

P2 37.1284 -

P1 47.5242 -

A 63.9502 -

B 98.5157 -

D

F 0.0000

±1.8cc

-

E 9.2553 -

P3 38.3941 -

P2 58.9152 -

C 100.1935 -

E

D 0.0000

±1.7cc

-

F 177.0573 -

A 239.5965 -

P1 283.2592 -

P2 320.1317 -

P3 382.6772 -

F

A 0.0000

±2.0cc

-

P1 45.2789 -

P2 54.9874 -

E 85.6875 -

P3 88.4616 -

D 99.3744 -

5

Punct staţie Punct vizat Direcţii azimutale prelucrate în

staţie α°ij [g c c] Distanţa redusă la planul

de proiecţie D0ij (m)

1 2 3 4

P1

C 0.0000

±1.6cc

-

P2 27.9308 1639.062±0.008

P3 88.0508 3130.756±0.015

E 144.7959 1989.519±0.010

F 198.1872 3339.354±0.017

A 262.3971 2204.251±0.011

B 345.2757 -

P2

C 0.0000

±3.0cc

-

D 121.5926 -

P3 133.4073 2543.877±0.012

E 192.0645 2890.040±0.014

F 218.2919 -

P1 238.3260 -

A 258.1557 -

B 329.8440 -

P3

C 0.0000

±1.9cc

-

D 125.0845 1481.623±0.007

F 275.7773 -

E 278.6229 2435.568±0.012

A 311.8885 -

P1 322.4575 -

P2 357.4177 -

C. CUPRINSUL PROIECTULUI

CAPITOLUL 1.1. Calculul elementelor provizorii ale reţelei

1.1.1. Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi. 1.1.2. Calculul orientărilor şi distanţelor provizorii dintre punctele noi şi

punctele vechi şi dintre punctele noi.

CAPITOLUL 1.2. Scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii

1.2.1. Calculul coeficienţilor de direcţie şi de distanţe. 1.2.2. Scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii.

CAPITOLUL 1.3. Scrierea sistemului ecuaţiilor normale ale necunoscutelor

6

CAPITOLUL 1.4. Rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale prin metoda

matricială

CAPITOLUL 1.5. Calculul elementelor compensate ale reţelei şi verificarea

compensării

1.5.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi 1.5.2. Calculul orientărilor şi a distanţelor compensate.

CAPITOLUL 1.6. Evaluarea preciziei rezultatelor compensării

1.6.1. Calculul erorii medii pătratice a unităţii de pondere. 1.6.2. Calculul erorilor medii pătratice ale direcţiilor şi distanţelor măsurate pe

teren. 1.6.3. Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate ale

punctelor noi 1.6.4. Calculul elementelor elipsei erorilor şi ale podarei elipsei erorilor în

punctele noi 1.6.5. Construcţia grafică a podarei elipsei erorilor în punctele noi .

CAPITOLUL 1.1. Calculul elementelor provizorii ale reţelei

Elementele provizorii în reţea sunt reprezentate de coordonatele rectangulare plane ale punctelor noi care vor intra in compensare după o determinare aproximativă, precum şi de orientările şi distanţele dintre punctele noi şi cele vechi / noi, calculate din coordonatele punctelor.

1.1.1. Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi.

Pentru determinarea coordonatelor rectangulare plane provizorii ale punctelor

noi, se parcurg următoarele etape de calcul:

Calculul orientărilor şi distanţelor dintre punctele vechi ale reţelei

Într-o primă etapă se calculează elementele iniţiale de bază, reprezentate de

distanţele (D) şi orientările (θ) dintre punctele vechi din reţea, mărimi considerate fixe şi care nu vor suferi modificări în procesul de compensare.

Între două puncte vechi de coordonate cunoscute (A şi B) se aplică următoarele formule de calcul ale orientării şi distanţei corespunzătoare:

200 200g gAB B AAB

AB B A

Y Y Yarctg k arctg k

X X X

[g cc cc]

unde k=0 (cadranul I); k=1 (cadranele II şi III); k=2 (cadranul IV)

7

2 2 2 2( ) ( )AB AB AB B A B AD X Y X X Y Y [m]

222 Distanţa (D) poate fi calculată şi cu relaţiile funcţie de orientarea (θ) anterior

determinată, aceasta fiind şi un mijloc de verificare a corectitudinii de calcul a celor două elemente:

cos sin

AB ABAB

AB AB

X YD

Datele obţinute se prezintă în tabelul 1.1.

Calculul unghiurilor de orientare ale staţiilor de coordonate

cunoscute

Staţiile de coordonate cunoscute sunt reprezentate de punctele vechi din reţea, din

care s-au efectuat observaţii azimutale spre alte puncte, noi sau vechi, ale reţelei.

Pentru punctul de staţie B, există un număr de două vize către punctele vechi şi două vize către punctele noi (figura 0.1).

În figura 1.1, se reprezintă unghiul de orientare al staţiei B, definit ca orientarea direcţiei zero a cercului orizontal (Hz).

Se observă că datorită erorilor de măsurare a direcţiilor orizontale (αo), dar şi a erorilor de determinare a coordonatelor punctelor geodezice vechi (X,Y) rezultate dintr-o prelucrare anterioară, se vor obţine mai multe valori apropiate ca mărime pentru unghiul de orientare al staţiei B, de forma diferenţelor:

0j

B B j B jZ [g c cc]

unde: θB-j – orientarea calculată din coordonate dintre punctul de staţie şi un punct vechi de

coordonate cunoscute al reţelei (tabelul 1.1, coloana 7);

αoB-j – direcţiile azimutale medi, centrate şi reduse la planul de proiecţie (tabelul 0.2,

coloana 3).

8

Figura 1.2 – Unghiul de orientare al punctului de staţie B

Pentru orientarea staţiei se calculează un unghi de orientare mediu ponderat, cu formula :

*

1*

*

1

mj

B B j

j

B m

B j

j

Z D

Z

D

[g c cc]

unde - *

B jD sunt ponderile , reprezentate de distanţele aproximative calculate din

coordonatele punctelor vechi, exprimate în kilometri (tabelul 1.1).

Rezultatele obţinute pentru fiecare punct de staţie se trec în tabelul 1.2.

Calculul orientărilor direcţiilor dintre punctele vechi şi noi

Unghiul de orientare mediu al staţiei B ( *

BZ ) se poate introduce în relaţia de determinare a vizelor orientate preliminar:

* * 0

B j B B jZ [g c cc]

unde - αoB-j – direcţiile orizontale măsurate din punctul de staţie B către punctele noi din

turul de orizont

Calculul se conduce în tabelul 1.2.

9

Calculul unghiurilor de orientare ale staţiilor de coordonate

necunoscute

Pentru orientarea staţiilor de coordonate necunoscute, se folosesc vizele

orientate din exterior, adică vizele de la punctele vechi ale reţelei.

Se calculează unghiul de orientare individual pentru fiecare viză primită din exterior, cu relaţia:

0j ext

P P j P jZ [g c cc]

unde ext

P j - orientarea dintre punctul nou şi cel vechi, preluată din calculul

orientării staţiilor de coordonate cunoscute (tabelul 1.2,). Se calculează un unghi de orientare mediu, ca medie aritmetică a unghiurilor

de orientare individuale :

1*

pj

P

j

P

Z

Zp

[g c cc]

unde cu „p” s-a notat numărul de vize din punctul nou de staţie P către punctele vechi.

Calculul orientărilor direcţiilor din punctele noi ale reţelei

Cu ajutorul unghiului de orientare mediu se calculează orientările interioare

din punctul de staţie nou spre toate vizele din teren :

int * 0

P j P P jZ [g c cc]

Pentru vizele dintre punctele noi şi vechi se vor calcula orientările medii, între cele interioare şi cele exterioare.

int

*

2

ext

P j P j

P j

[g c cc]

Calculele se vor conduce în tabelul 1.3.

Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi ale reţelei

Pentru calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi se aplică metoda radierii din punctele vechi:

* *

* *

cos

sin

Pj i ij i ij i j

Pj i ij i ij i j

X X X X D

Y Y Y Y D

10

Între variantele alese, perechile de coordonate (X,Y) nu trebuie să difere între ele decât în limitele aproximaţiei cerute, funcţie de dimensiunile reţelei considerate (în cazul reţelei de triangulaţie-trilateraţie geodezică de îndesire de până la 10 – 20 cm).

În final, coordonatele provizorii ale punctului nou rezultă prin media aritmetică a şirurilor de valori obţinute prin metoda radierii (tabelul 1.4).

1.1.2. Calculul orientărilor şi distanţelor provizorii dintre punctele

noi şi punctele vechi şi dintre punctele noi

Pe baza coordonatelor cunoscute (X,Y) ale punctelor vechi (A, B, ... ,F) şi a coordonatelor provizorii ale punctelor noi (P1, P2, P3) se calculează mai întâi orientările provizorii ale direcţiilor, folosind relaţiile:

0 0 0

0

0 0 0200 200

i j j ig g

i j

i j j i

Y Y Yarctg k arctg k

X X X

[g c cc]

unde k=0 (cadranul I); k=1 (cadranele II şi III); k=2 (cadranul IV), iar punctele „i” şi „j” sunt puncte noi.

0 0

0

0 0200 200

i j j ig g

i j

i j j i

Y Y Yarctg k arctg k

X X X

[g c cc]

unde k=0 (cadranul I); k=1 (cadranele II şi III); k=2 (cadranul IV), iar punctul „i” este punct vechi, respectiv „j”este punct nou.

Distanţele provizorii dintre puctele noi şi vechi, respectiv dintre punctele noi, se obţin prin formulele cunoscute, din coordonate:

0 0

0 0 2 0 2

0 0( ) ( )

cos sin

i j i j

i j i j i j

i j i j

X YD X Y

[m]

Operaţiile de calcul se efectuează în tabelul 1.

11

Tabelul 1.1

Nume punct

Coordonate rectangulare plane STEREO-70

Coordonate relative Distanţe Dij (m)

Orientări θij (g c cc)

Verificare Dij (m)

de la la X(m) Y(m) ΔXij (m) ΔYij (m)

1 2 3 4 5 6 7 8

A

469915.696 705867.820 - - - - -

B 474003.415 706389.632 4087.719 521.812 4120.890 8.083 4120.890

C 475390.385 710505.389 5474.689 4637.569 7174.905 44.742 7174.905

E 468421.436 708864.202 -1494.260 2996.382 3348.301 129.450 3348.301

F 467181.978 706698.279 -2733.718 830.459 2857.075 181.225 2857.075

B

474003.415 706389.632 - - - - -

C 475390.385 710505.389 1386.970 4115.757 4343.172 79.307 4343.172

A 469915.696 705867.820 -4087.719 -521.812 4120.890 208.083 4120.890

C

475390.385 710505.389 - - - - -

D 469004.644 712492.714 -6385.741 1987.325 6687.836 180.792 6687.836

A 469915.696 705867.820 -5474.689 -4637.569 7174.905 244.742 7174.905

B 474003.415 706389.632 -1386.970 -4115.757 4343.172 279.307 4343.172

D

469004.644 712492.714 - - - - -

F 467181.978 706698.279 -1822.666 -5794.435 6074.339 280.599 6074.339

E 468421.436 708864.202 -583.208 -3628.512 3675.082 289.854 3675.082

C 475390.385 710505.389 6385.741 -1987.325 6687.836 380.792 6687.836

E

468421.436 708864.202 - - - - -

D 469004.644 712492.714 583.208 3628.512 3675.082 89.854 3675.082

F 467181.978 706698.279 -1239.458 -2165.923 2495.492 266.911 2495.492

A 469915.696 705867.820 1494.260 -2996.382 3348.301 329.450 3348.301

F

467181.978 706698.279 - - - - -

A 469915.696 705867.820 2733.718 -830.459 2857.075 381.225 2857.075

E 468421.436 708864.202 1239.458 2165.923 2495.492 66.911 2495.492

D 469004.644 712492.714 1822.666 5794.435 6074.339 80.599 6074.339

12

Tabelul 1.2

Punct staţie

Punct vizat

Direcţii azimutale prelucrate în staţie

Unghi de orientare al staţiei

Vize orientate preliminar

Ponderi

α°ij [g c cc] Zij [g c cc] θ*ij=Z*i+α°ij D*ij [km]

1 2 3 4 5 6

A

B 0.0000 8.0830 8.0828 4.12

C 36.6586 8.0833 44.7414 7.17

P2 67.9915 - 76.0743 -

P1 82.6278 - 90.7106 -

P3 97.7135 - 105.7963 -

E 121.3678 8.0821 129.4506 3.35

F 173.1424 8.0821 181.2252 2.86

Media (ZA*) 8.0828 -

B

C 0.0000 79.3074 79.3077 4.34

P2 68.4577 - 147.7654 -

P1 94.2846 - 173.5923 -

A 128.7750 79.3080 208.0827 4.12

Media (ZB*) 79.3077

C

D 0.0000 180.7924 180.7920 6.69

P3 13.1157 - 193.9077 -

P2 37.1284 - 217.9204 -

P1 47.5242 - 228.3162 -

A 63.9502 180.7917 244.7422 7.17

B 98.5157 180.7917 279.3077 4.34

Media (ZC*) 180.7920 -

D

F 0.0000 280.5987 280.5989 6.07

E 9.2553 280.5991 289.8542 3.68

P3 38.3941 - 318.9930 -

P2 58.9152 - 339.5141 -

C 100.1935 280.5989 380.7924 6.69

Media (ZD*) 280.5989 -

E

D 0.0000 89.8544 89.8537 3.68

F 177.0573 89.8532 266.9110 2.50

A 239.5965 89.8534 329.4502 3.35

P1 283.2592 - 373.1129 -

P2 320.1317 - 9.9854 -

P3 382.6772 - 72.5309 -

Media (ZE*) 89.8537 -

F

A 0.0000 381.2245 381.2241 2.86

P1 45.2789 - 26.5030 -

P2 54.9874 - 36.2115 -

E 85.6875 381.2230 66.9116 2.50

P3 88.4616 - 69.6857 -

D 99.3744 381.2243 80.5985 6.07

Media (ZF*) 381.2241 -

13

Tabelul 1.3

Punct staţie

Punct vizat

Direcţii azimutale prelucrate în staţie

Unghi de orientare al staţiei

Vize orientate preliminar Vize

orientate medii

α°ij [g c cc] Zij [g c cc] θintpj [g c cc] θext

pj [g c cc] θ*pj

[g c cc]

1 2 3 4 5 6 7

P1

C 0.0000 28.3162 28.3158 28.3162 28.3160

P2 27.9308 - 56.2466 - 56.2466

P3 88.0508 - 116.3666 - 116.3666

E 144.7959 28.3170 173.1117 173.1129 173.1123

F 198.1872 28.3158 226.5030 226.5030 226.5030

A 262.3971 28.3135 290.7129 290.7106 290.7117

B 345.2757 28.3166 373.5915 373.5923 373.5919

Media (ZP1*) 28.3158 -

P2

C 0.0000 17.9204 17.9204 17.9204 17.9204

D 121.5926 17.9215 139.5130 139.5141 139.5135

P3 133.4073 - 151.3277 - 151.3277

E 192.0645 17.9209 209.9849 209.9854 209.9852

F 218.2919 17.9196 236.2123 236.2115 236.2119

P1 238.3260 - 256.2464 - 256.2464

A 258.1557 17.9186 276.0761 276.0743 276.0752

B 329.8440 17.9214 347.7644 347.7654 347.7649

Media (ZP2*) 17.9204 -

P3

C 0.0000 393.9077 393.9081 393.9077 393.9079

D 125.0845 393.9085 118.9926 118.9930 118.9928

F 275.7773 393.9084 269.6854 269.6857 269.6855

E 278.6229 393.9080 272.5310 272.5309 272.5310

A 311.8885 393.9078 305.7966 305.7963 305.7964

P1 322.4575 - 316.3656 - 316.3656

P2 357.4177 - 351.3258 - 351.32577

Media (ZP3*) 393.9081 -

14

Tabelul 1.4

Punct staţie

Punct vizat

Direcţii azimutale α°ij [g c cc]

Distanţa redusă la planul de proiecţie D*

ij [km]

Orientare θ*

ij [g c cc]

Coordonate relative Coordonate absolute

ΔXij [m] ΔYij [m] X [m] Y [m]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A P1 82.6278 2204.251 90.7117 320.4594 2180.8320 470236.1554 708048.6520

E P1 283.2592 1989.519 373.1123 1814.6959 -815.5150 470236.1319 708048.6870

F P1 45.2789 3339.354 26.5030 3054.1338 1350.3895 470236.1118 708048.6685

P1 470236.1330 708048.6692

E P2 320.1317 2890.04 9.9852 2854.564081 451.4367152 471276.0001 709315.6387

P1 P2 27.9308 1639.062 56.2464 1039.881846 1266.953033 471276.0149 709315.6222

P3 P2 357.4177 2543.877 351.3277 1835.913052 -1760.889962 471276.0199 709315.6525

P2 471276.0116 709315.6378

D P3 38.3941 1481.623 318.9928 435.4960706 -1416.174384 469440.1401 711076.5396

P1 P3 88.0508 3130.756 116.3656 -795.987338 3027.876697 469440.1457 711076.5459

E P3 382.6772 2435.568 72.5310 1018.598635 2212.340007 469440.0346 711076.542

P3 469440.1068 711076.5425

15

CAPITOLUL 1.2. Scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii

1.2.1. Calculul coeficienţilor de direcţie şi de distanţe

Coeficienţii de direcţie şi de distanţe reprezintă coeficienţii necunoscutelor din ecuaţiile de corecţii şi exprimă variaţia orientării, respectiv distanţei, în funcţie de variaţiile coorodonatelor rectangulare plane (coeficientul a; pe axa X şi coeficientul

b; pe axa Y).

Unitatea de măsură în care se vor exprima coeficienții necunoscutelor trebuie să fie în concordanță cu cea a termenilor liberi și a ponderilor, care se vor stabili pentru mărimile direcțiilor și distanțelor măsurate.

Astfel, pentru calculul coeficienţilor de direcţie, formulele practice vor include factorul (ρcc), care reprezintă coeficientul de transformare din radiani în secunde centezimale, astfel încât expresia finală va fi în secunde centezimale pe unitatea de metru:

ai-j (

) = - ρ

cc

= - ρcc

( )

bi-j (

) = ρ

cc

= ρcc

( )

, unde ρ

cc =

Pe baza acestor formule se calculează coeficienţii de direcţie aij şi bij (i - punct nou, j - punct vechi sau nou), în acelaşi tabel cu calculul orientărilor şi distanţelor provizorii (tabelul 1.5, coloanele 8 şi 9).

Controlul calculului coeficienţilor de direcţie se face cu relaţia :

ai-j / bi-j =o

jitg (tabelul 1.5, coloana 12).

În cazul distanţelor, coeficienţii exprimaţi funcţie de variaţia pe pe cele două axe de coordonate reprezintă valorile subunitare ale funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus, exprimate prin formulele (tabelul 1.5, coloanele 10 şi 11):

= =

= =

Controlul calculului coeficienţilor de distanţe se face cu relaţia :

-j =o

jictg (tabelul 1.5, coloana 13).

La întocmirea sistemului de ecuaţii ale corecţiilor se va avea în vedere ca în cazul în care aceşti coeficienţi au fost obţinuţi pentru direcţia inversă (j-i) faţă de cea pentru care se scrie ecuaţia (i-j), să se opereze schimbarea de semn: ai-j = - aj-i şi bi-j = - bj-i,

respectiv şi .

16

Rezultatele obţinute sunt trecute în tabelul 1.5. Tabelul 1.5

Punct Coordonate rectangulare plane

STEREO-70 Orientarea

tg θ0ij [g

c cc] Distanţa

provizorie (m) Coeficienți de direcție

Coeficienți de

distanțe Control

de la

la X[m] Y[m] θ0ij [g c cc]

ctg θ0ij

[g c cc]

D0 (m)

aij (

)

bij (

)

aij/bij = - tg θ0

ij =

ctg θ0ij D0 (m) – verif.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

P1

- 470236.133 708048.669 - - - - - - - - -

C 475390.385 710505.389 28.316

0.477 5709.797 -47.973 100.648 0.903 0.430 -0.477 2.098

5154.252 2456.720 2.098 5709.797

P2 471276.012 709315.638 56.247

1.218 1639.072 -300.227 246.415 0.634 0.773 -1.218 0.821

1039.879 1266.969 0.821 1639.072

P3 469440.107 711076.542 116.366

-3.804 3130.763 -196.661 -51.702 -0.254 0.967 3.804 -0.263

-796.026 3027.873 -0.263 3130.763

E 468421.436 708864.202 173.112

-0.449 1989.527 -131.166 -291.867 -0.912 0.410 0.449 -2.225

-1814.697 815.533 -2.225 1989.527

F 467181.978 706698.279 226.503

0.442 3339.374 77.092 -174.358 -0.915 -0.404 -0.442 2.262

-3054.155 -1350.390 2.262 3339.374

A 469915.696 705867.820 290.712

6.806 2204.265 285.745 -41.985 -0.145 -0.989 -6.806 0.147

-320.437 -2180.849 0.147 2204.265

B 474003.415 706389.632 373.591

-0.440 4116.408 62.330 141.537 0.915 -0.403 0.440 -2.271

3767.282 -1659.037 -2.271 4116.408

P2

- 471276.012 709315.638

C 475390.385 710505.389 17.920

0.289 4282.940 -41.291 142.791 0.961 0.278 -0.289 3.458

4114.373 1189.751 3.458 4282.940

D 469004.644 712492.714 139.513

-1.399 3905.499 -132.603 -94.801 -0.582 0.813 1.399 -0.715

-2271.368 3177.076 -0.715 3905.499

P3 469440.107 711076.542 151.327

-0.959 2543.881 -173.230 -180.608 -0.722 0.692 0.959 -1.043

-1835.905 1760.905 -1.043 2543.881

E 468421.436 708864.202 209.985

0.158 2890.051 34.408 -217.576 -0.988 -0.156 -0.158 6.323

-2854.576 -451.436 6.323 2890.051

17

F 467181.978 706698.279 236.212

0.639 4859.185 70.569 -110.384 -0.843 -0.539 -0.639 1.564

-4094.034 -2617.359 1.564 4859.185

P1 470236.133 708048.669 256.247

1.218 1639.072 300.227 -246.415 -0.634 -0.773 -1.218 0.821

-1039.879 -1266.969 0.821 1639.072

A 469915.696 705867.820 276.076

2.535 3706.468 159.773 -63.038 -0.367 -0.930 -2.535 0.395

-1360.316 -3447.818 0.395 3706.468

B 474003.415 706389.632 347.764

-1.073 4000.030 116.420 108.518 0.682 -0.731 1.073 -0.932

2727.403 -2926.006 -0.932 4000.030

P3

- 469440.107 711076.542

C 475390.385 710505.389 393.908

-0.096 5977.627 10.176 106.013 0.995 -0.096 0.096 -10.418

5950.278 -571.153 -10.418 5977.627

D 469004.644 712492.714 118.991

-3.252 1481.610 -410.703 -126.288 -0.294 0.956 3.252 -0.307

-435.463 1416.172 -0.307 1481.610

F 467181.978 706698.279 269.686

1.939 4926.290 114.853 -59.236 -0.458 -0.889 -1.939 0.516

-2258.129 -4378.263 0.516 4926.290

E 468421.436 708864.202 272.529

2.172 2435.599 237.422 -109.321 -0.418 -0.908 -2.172 0.460

-1018.671 -2212.340 0.460 2435.599

A 469915.696 705867.820 305.797

-10.952 5230.390 121.211 11.067 0.091 -0.996 10.952 -0.091

475.589 -5208.722 -0.091 5230.390

P1 470236.133 708048.669 316.366

-3.804 3130.763 196.661 51.702 0.254 -0.967 3.804 -0.263

796.026 -3027.873 -0.263 3130.763

P2 471276.012 709315.638 351.327

-0.959 2543.881 173.230 180.608 0.722 -0.692 0.959 -1.043

1835.905 -1760.905 -1.043 2543.881

18

1.2.2. Scrierea sistemului ecuaţiilor de corecţii

Numărul iniţial al ecuaţiilor de corecţii este egal cu numărul direcţiilor şi

distanţelor măsurate în cadrul reţelei (r). Notând cu N şi P numărul punctelor noi şi respectiv al staţiilor din reţea, numărul general de necunoscute este 2N + P, fiind format din corecţiile dx şi dy pentru fiecare punct nou şi corecţiile pentru fiecare punct de staţie.

Pentru ecuaţiile de corecţie ale direcţiilor azimutale se grupează ecuaţiile în jurul fiecărui punct staţionat. Astfel, pentru exemplificare, se ia în considerare punctul de staţie „i”, pentru care este necesar să se scrie cele „n” ecuaţii corespunzătoare fiecărei direcţii măsurate de aceeaşi precizie.

Direcţiile centrate şi reduse la planul de proiecţie (αoij) urmează a fi corectate în procesul de prelucrare cu ajutorul corecţiilor (vij) :

0 , 1,ij ij ijv j n

Valoarea definitivă a orientării unei direcţii va rezulta pe de o parte din suma valorilor definitive ale unghiului de orientare al staţiei şi a direcţiei azimutale, iar pe de altă parte din valoarea provizorie a orientării la care se adaugă o corecţie (dθ), obţinută prin compensare:

0

ij i ij ij ijZ d

În relaţia de mai sus, valoarea definitivă a unghiului de orientare în staţie se

poate considera:

Zi = Zo

i + dzi

unde Zoi este valoarea provizorie a unghiului de orientare, iar dzi este o corecţie

(necunoscută), ce va fi determinată în procesul de compensare. Putem scrie acum:

(Zoi + dzi) + (α

oij + vij) = θ

oij + dθij,

relaţie din care putem extrage expresia termenului liber :

lij = (θoij - α

oij ) - Z

oi = Z

oij - Z

oi

Calculul diferenţelor (θ0ij-α0ij), ce reprezintă mărimile şirului de valori ale unghiului de orientare al staţiei „i” (Z0ij), se efectuează în tabelul 1.6, coloana 6. Întrucât, din punct de vedere practic se convine ca suma termenilor liberi ai ecuaţiilor de ecorecţii scrise pentru fiecare staţie să fie zero ([l]i = 0), unghiul de orientare provizoriu Zoi rezultă ca medie aritmetică a respectivelor mărimi :

0 0

1

1 n

i ij

j

Z Zn

Valorile obţinute se trec pe linia sumă a tabelului 1.6, în coloana 6.

Termenii liberi ai ecuaţiilor de corecţii devin astfel diferenţele dintre unghiurile de orientare individuale şi unghiul de orientare mediu provizoriu (tabelul 1.6, coloana 13), exprimate în secunde centezimale. În mod evident, suma algebrică a termenilor liberi în fiecare staţie trebuie să verifice condiţia: [l] = 0.

În cazul distanţelor, ecuaţiile de corecţii se scriu o singură dată pentru fiecare

19

distanţă măsurată, întrucât distanţa dintre două puncte este unică. Ecuaţia aferentă acestui tip de măsurători este dedusă din egalitatea:

0 *

ij ij ij ijD v D dD

unde:

0

ijD - distanţă măsurată şi redusă la planul de proiecţie;

ijv - corecţia aferentă distanţei măsurate;

*

ijD - distanţa provizorie calculată din coordonate provizorii;

ijdD - corecţia ce va fi determinată prin compensare.

Termenii liberi ai ecuaţiilor de corecţii de distanţe se vor calcula în metri,

pentru păstrarea aceleiași unități de măsură cu cea a termenilor liberi:

* 0

ij ij ijl D D

Sistemul iniţial al ecuaţiilor de corecţii va căpăta forma generală:

i ij ij ijdz d l v , cu ponderea pi, pentru ecuaţiile de direcţii în punctul

de stație ”i”;

ij ij ijdD l v , cu ponderea ijp , pentru ecuaţiile de distanţe între punctele “i”

şi “j”.

Variaţiile orientării (dθij) şi a distanţei (dDij) se vor exprima în funcţie de variaţia în mărimile coordonatelor rectangulare dx şi dy. Acestea sunt necunoscute care se vor determina prin operaţia de compensare şi care adăugate coordonatelor provizorii ale punctelor noi conduc obţinerea coordonatelor definitive (compensate) ale acestor puncte.

0 P P Px x dx

0

  P P Py y dy

În funcţie de caracterul variaţiei orientării dθ se pot intâlni următoarele tipuri

de ecuaţii ale corecţiilor pentru direcţii:

pentru o direcţie măsurată din punct vechi „i” către punct vechi „j” -dzi +lij=vij , cu pij , (dθ = 0)

pentru o direcţie măsurată din punct vechi „i” către punct nou „j” -dzi +aij dxj+bij dyj+ lij=vij , cu pi

pentru o direcţie măsurată din punct nou (i) către punct vechi (j): dzi - aij dxi - bij dyi + lij = vij, cu pi

pentru o direcţie măsurată din punct nou „i” către punct nou „j” -dzi +aij dxj+bij dyj- aij dxi- bij dyi+ lij=vij , cu pi

20

Se are în vedere ca atunci când vizele sunt inversate faţă de cazul în care au fost calculaţi aceşti coefiienţi de direcţie, să se aplice schimbarea de semn:

aij=-aji; bij=-bji;

Ca verificare a transcrierii semnelor coeficienţilor de direcţie în tabelul ecuaţiilor de corecţii netransformate, se indică:

în cazul intersecţiei înainte se adaugă 100g la orientarea θ0ij şi semnele acestor coeficienţi vor fi identice cu semnele pe care le au axele de coordonate în cadranul obţinut (a pentru X, b pentru Y);

în cazul intersecţiei înapoi se scade 100g din orientarea θ0ij şi semnele acestor coeficienţi vor fi identice cu semnele pe care le au axele de coordonate în cadranul obţinut (a pentru X, b pentru Y).

La metoda „grupului de puncte” putem considera intersecţie înainte când punctul de staţie este punct vechi şi punctul vizat este punct nou şi respectiv, intersecţie înapoi cand punctul de staţie este punct nou şi punctul vizat este punct vechi.

În procesul compensării, observaţiile azimutale efectuate într-un punct de staţie (i) sunt de aceeaşi precizie, astfel că ponderile ecuaţiilor de corecţii vor fi egale între ele cu mărimea invers proporțională a varianței direcției observate:

21/iip s

Pentru cazul distanţelor, tipurile de ecuaţii de corecţii întâlnite pot fi:

pentru o distanţă măsurată din punctul nou „i” către punctul vechi „j”

- dxi- dyi+ = , cu

pentru o distanţă măsurată din punctul nou „i” către punctul nou „j”

dxj+ dyj- dxi- dyi + = , cu

Se are în vedere ca atunci când vizele sunt inversate, faţă de cazul în care au

fost calculaţi aceşti coeficienţi de distanţe să se aplice schimbarea de semn:

Pentru măsurătorile de distanţe relaţia cu care se determină ponderile fiecărei distanţe măsurate ce intră în calculul de compensare este dată de formula:

pij=21/

ijDs

unde: - 2

ijDs reprezintă variaţia distanţei măsurate (Dij)

În concluzie sistemul iniţial al ecuaţiilor de corecţii netransformate conţine un

număr de r=65 de ecuaţii şi 15+65=80 de necunoscute (dz1, dz2, ..., dz9; dx1, dy1, dx2,

dy2, dx3, dy3, v1, v2, ... v65 ). Toate aceste elemente fiind centralizate în tabelul 1.6.

Pentru formarea modelului funcţional matricial ponderat:

21

Br-n Xn-1 + Lr-1 = Vr-1, cu pondere Pr-r (B65-15 X15-1 + L65-1 = V65-1, cu pondere P65-65),

se vor grupa elementele componente ale matricilor astfel:

Matricea coeficienţilor sistemului ecuaţiilor de corecţii:

1 1 1 1 1 3 1 3

2 1 2 1 2 3 2 3

7 1 7 1 7 3 7 3

50 1 50 1 50 3 50 3

65 1551 1 51 1 51 3 51 3

1 0 ... 0 ...

1 0 ... 0 ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

1 0 ... 1 ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 1 ...

0 0 ... 1 ...

a b a b

a b a b

a b a b

a b a bB

a b a b

56 1 56 1 56 3 56 3

57 1 57 1 57 3 57 3

65 1 65 1 65 3 65 3

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 1 ...

0 0 ... 0 ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 0 ...

a b a b

a b a b

a b a b

Matricea – vector a parametrilor necunoscuţi (corecţiile unghiurilor de

orientare ale stațiilor și a coordonatelor rectangulare plane ale punctelor noi):

15 1 1 15 1 2 9 1 1 3 3... ...TX X dz dz dz dx dy dx dy

Matricea – vector a termenilor liberi ai sistemului ecuaţiilor de corecţii:

65 1 1 65 1 2 56 57 58 652 ... ... ...TL L l l l l l

Matricea – vector a corecţiilor mărimilor măsurate :

65 1 1 65 1 2 56 57 58 65... ... ...TV V v v v v v v

Matricea ponderilor sistemului ecuaţiilor de corecţii:

1

2

5665 65

57

65

0 ... 0 0 ... 0

0 ... 0 0 ... 0

... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 0 ... 0

0 0 ... 0 ... 0

... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 0 0 ...

p

p

pP

p

p

22

Nr. Vize

Pct. statie

Pct. Viza

t

Orientare provizorie θ°ij [g c cc]

Directie centrata si

redusa la pl. de proiectie α°ij [g c cc]

Unghi individual

de orientare

zij=θ°ij-α°ij

Punct P1 Punct P2 Punct P3 Termen liber

lcc

ij=z°ij-Zi Ponderea

a (dx1) b (dy1) a (dx2) b (dy2) a (dx3) b (dy3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14

1

A

B 8.0830 0.0000 8.0830 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -3.18 0.35

2 C 44.7419 36.6586 8.0833 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.03 0.35

3 P2 76.0762 67.9915 8.0847 0.0000 0.0000 -159.7732 63.0375 0.0000 0.0000 14.26 0.35

4 P1 90.7125 82.6278 8.0847 -285.7447 41.9851 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 13.77 0.35

5 P3 105.7967 97.7135 8.0832 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -121.2113 -11.0674 -1.15 0.35

6 E 129.4499 121.3678 8.0821 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -12.09 0.35

7 F 181.2245 173.1424 8.0821 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -11.57 0.35

Σ z°A 8.0833 -285.7447 41.9851 -159.7732 63.0375 -121.2113 -11.0674 0.00

8

B

C 79.307 0.0000 79.3074 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.85 0.28

9 P2 147.764 68.4577 79.3068 0.0000 0.0000 -116.4203 -108.5183 0.0000 0.0000 -4.48 0.28

10 P1 173.591 94.2846 79.3068 -62.3303 -141.5374 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -4.57 0.28

11 A 208.083 128.7750 79.3080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7.21 0.28

Σ z°B 79.3072 -62.3303 -141.5374 -116.4203 -108.5183 0.0000 0.0000 0.00

12

C

D 180.792 0.0000 180.7924 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4.91 0.28

13 P3 193.908 13.1157 180.7922 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -10.1760 -106.0132 2.62 0.28

14 P2 217.920 37.1284 180.7919 0.0000 0.0000 41.2907 -142.7907 0.0000 0.0000 -0.53 0.28

15 P1 228.316 47.5242 180.7917 47.9727 -100.6478 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.35 0.28

16 A 244.742 63.9502 180.7917 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.57 0.28

17 B 279.307 98.5157 180.7917 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.08 0.28

Σ z°C 180.7919 47.9727 41.2907 41.2907 -142.7907 -10.1760 -106.0132 0.00

18

D

F 280.599 0.0000 280.5987 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.47 0.31

19 E 289.854 9.2553 280.5991 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7.19 0.31

20 P3 318.991 38.3941 280.5973 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 410.7030 126.2883 -10.72 0.31

21 P2 339.513 58.9152 280.5980 0.0000 0.0000 132.6034 94.8013 0.0000 0.0000 -4.10 0.31

22 C 380.792 100.1935 280.5989 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5.15 0.31

Σ z°D 280.5984 0.0000 0.0000 132.6034 94.8013 410.7030 126.2883 0.00

23

E

D 89.854 0.0000 89.8544 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 12.45 0.35

24 F 266.911 177.0573 89.8532 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.49 0.35

25 A 329.450 239.5965 89.8534 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.87 0.35

26 P1 373.112 283.2592 89.8526 131.1661 291.8666 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -5.64 0.35

27 P2 9.985 320.1317 89.8534 0.0000 0.0000 -34.4084 217.5758 0.0000 0.0000 2.21 0.35

28 P3 72.529 382.6772 89.8520 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -237.4218 109.3207 -11.38 0.35

Σ z°E 89.8532 131.1661 291.8666 -34.4084 217.5758 -237.4218 109.3207 0.00

23

29

F

A 381.2245 0.0000 381.2245 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3.67 0.25

30 P1 26.503 45.2789 381.2239 -77.0920 174.3577 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -2.28 0.25

31 P2 36.212 54.9874 381.2251 0.0000 0.0000 -70.5694 110.3836 0.0000 0.0000 8.97 0.25

32 E 66.911 85.6875 381.2230 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -11.24 0.25

33 P3 69.686 88.4616 381.2241 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -114.8529 59.2364 -0.12 0.25

34 D 80.599 99.3744 381.2243 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.00 0.25

Σ z°F 381.2242 -77.0920 174.3577 -70.5694 110.3836 -114.8529 59.2364 0.00

35

P1

C 28.316 0.0000 28.3159 47.9727 -100.6478 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.70 0.39

36 P2 56.247 27.9308 28.3161 300.2271 -246.4147 -300.2271 246.4147 0.0000 0.0000 3.38 0.39

37 P3 116.366 88.0508 28.3155 196.6607 51.7020 0.0000 0.0000 -196.6607 -51.7020 -1.83 0.39

38 E 173.112 144.7959 28.3159 131.1661 291.8666 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.91 0.39

39 F 226.503 198.1872 28.3156 -77.0920 174.3577 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.00 0.39

40 A 290.712 262.3971 28.3154 -285.7447 41.9851 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -3.71 0.39

41 B 373.591 345.2757 28.3157 -62.3303 -141.5374 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.45 0.39

Σ z°P1 28.3157 526.0388 71.3114 -300.2271 246.4147 -196.6607 -51.7020 0.00

42

P2

C 17.920 0.0000 17.9203 0.0000 0.0000 41.2907 -142.7907 0.0000 0.0000 -2.04 0.11

43 D 139.513 121.5926 17.9206 0.0000 0.0000 132.6034 94.8013 0.0000 0.0000 1.15 0.11

44 P3 151.327 133.4073 17.9200 0.0000 0.0000 173.2297 180.6078 -173.2297 -180.6078 -5.10 0.11

45 E 209.985 192.0645 17.9206 0.0000 0.0000 -34.4084 217.5758 0.0000 0.0000 1.20 0.11

46 F 236.212 218.2919 17.9206 0.0000 0.0000 -70.5694 110.3836 0.0000 0.0000 0.68 0.11

47 P1 256.247 238.3260 17.9209 300.2271 -246.4147 -300.2271 246.4147 0.0000 0.0000 3.82 0.11

48 A 276.076 258.1557 17.9205 0.0000 0.0000 -159.7732 63.0375 0.0000 0.0000 0.21 0.11

49 B 347.764 329.8440 17.9205 0.0000 0.0000 -116.4203 -108.5183 0.0000 0.0000 0.08 0.11

Σ z°P2 17.9205 300.2271 -246.4147 -334.2747 661.5119 -173.2297 -180.6078 0.00

50

P3

C 393.908 0.0000 393.9079 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -10.1760 -106.0132 -1.34 0.28

51 D 118.991 125.0845 393.9069 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 410.7030 126.2883 -10.92 0.28

52 F 269.686 275.7773 393.9084 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -114.8529 59.2364 4.15 0.28

53 E 272.529 278.6229 393.9063 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -237.4218 109.3207 -16.85 0.28

54 A 305.797 311.8885 393.9082 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -121.2113 -11.0674 1.35 0.28

55 P1 316.366 322.4575 393.9088 196.6607 51.7020 0.0000 0.0000 -196.6607 -51.7020 8.16 0.28

56 P2 351.327 357.4177 393.9096 0.0000 0.0000 173.2297 180.6078 -173.2297 -180.6078 15.46 0.28

Σ z°P3 393.9080 196.6607 51.7020 173.2297 180.6078 -442.8494 -54.5449 0.00

24

Număr vize

Punct staţie

Punct vizat

Distanţa provizorie D*ij [m]

Distanţa măsurată

D0

ij [m]

Punct P1 Punct P2 Punct P3 Termen liber

lij=D*ij-D0

ij [m]

Pondere a

(dx1) b

(dy1) a

(dx2) b

(dy2) a

(dx3) b

(dy3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

57

P1

P2 1639.0720 1639.062 -0.6344 -0.7730 0.6344 0.7730 0.0000 0.0000 0.0100 15625

58 P3 3130.7626 3130.756 0.2543 -0.9671 0.0000 0.0000 -0.2543 0.9671 0.0066 4444.44444

59 E 1989.5274 1989.519 0.9121 -0.4099 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0084 10000

60 F 3339.3737 3339.354 0.9146 0.4044 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0197 3460.20761

61 A 2204.2647 2204.251 0.1454 0.9894 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0137 8264.46281

62 P2

P3 2543.8812 2543.877 0.0000 0.0000 0.7217 -0.6922 -0.7217 0.6922 0.0042 6944.44444

63 E 2890.0512 2890.04 0.0000 0.0000 0.9877 0.1562 0.0000 0.0000 0.0112 5102.04082

64 P3

D 1481.6105 1481.623 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2939 -0.9558 -0.0125 20408.1633

65 E 2435.5986 2435.568 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.4182 0.9083 0.0306 6944.44444

25

CAPITOLUL 1.3. Scrierea sistemului ecuaţiilor normale ale

necunoscutelor

În sistemul final al ecuaţiilor de corecţii transformate mărimile corecţiilor (v) fiind mici,

asemănătoare erorilor li se poate aplica principiul de minim: [pvv] min.

Deoarece suma considerată este o funţie de mărimile necunoscutelor rămase (dx şi dy)

prin anularea derivatei de ordinul I a funcţiei se ajunge la condiţia de minim reprezentând

lema lui Gauss.

[pAv]=0, [pBv]=0, ... ,[pFv]=0

unde cu A, B, ..., F s-au notat coeficienţii ecuaţiilor de corecţii transformate.

Prin înlocuirea corecţiilor v cu expresiile lor din ecuaţiile de corecţii finale se ajunge la

un sistem de 15 ecuaţii cu 15 necunoscute care reprezintă sistemul ecuaţiilor normale ale

necunoscutelor.

1 9 1 1 3 3

1 9 1 1 3 3

1 9 1 1 3 3

[ ] ... [ ] [ ] [ ] ... [ ] [ ] [ ] 0

[ ] ... [ ] [ ] [ ] ... [ ] [ ] [ ] 0

[ ] ... [ ] [ ] [ ] ... [ ] [ ]

pAA dz pAI dz pAJ dx pAK dy pAN dx pAO dy pAP

pAB dz pBI dz pBJ dx pBK dy pBN dx pBO dy pBP

pAO dz pIO dz pJO dx pKO dy pNO dx pOO dy

[ ] 0pOP

În acest sistem coeficienţii de pe diagonala principală sunt pătratici, iar coeficienţii

dreptenghiulari pozitivi sau negativi sunt simetrici în raport cu diagonala principală. În acest

caz determinantul sistemului este întotdeauna diferit de zero (D 0), sistemul admiţând soluţii

unice. Rezolvarea sistemului se va efectua în continuare prin metoda matricială, procedeul

inversării matricei.

Sistemul ecuaţiilor normale ale necunoscutelor se va scrie sub formă matricială, astfel:

sau

BT15-65 P65-65 B65-15 X15-1 + BT15-65 P65-65 L65-1 = 015-1.

Înlocuind produsul matricial (BTn-r ∙Pr-r ∙Br-n) cu matricea normală (Nn-n) și produsul

matricial ( BTn-r ∙Pr-r ∙Lr-1) cu matricea – vector (Tn-1) , sistemul ecuațiilor normale se va

rescrie sub forma:

Nn-n Xn-1 + Tn-1 = 0n-1,

sau

N15-15 X15-1 + T15-1 = 015-1,

unde: matricile componente ale sistemului se obţin prin operaţiile de transpunere şi

înmulţire matricială folosind funcţii specifice programului de calcul Microsoft Excel

(TRANSPOSE şi MMULT)

26

N15-15 = BT15-65 ∙ P65-65 ∙ B65-15 este matricea coeficientilor ecuaţiilor normale a

necunoscutelor ( tabelul 1.7, coloanele 1-15)

T15-1 = BT15-65∙P65-65 ∙L65-1 = matricea – vector a termenilor liberi din ecuaţiile normale ale

necunoscutelor (tabelul 1.7, coloana 16).

15 15

[ ] [ ] ... [ ]

[ ] [ ] ... [ ]

[ ] [ ] ... [ ]

pAA pAB pAO

N pAB pBB pBO

pAO pBO pOO

; 15 1

[ ]

[pBP]

...

[pOP]

pAO

T

CAPITOLUL 1.4. Rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale prin

metoda matricială

În cazul măsurătorilor indirecte ponderate, sistemul ecuațiilor normale se rezolvă prin

înmulțirea la stânga cu inversa matricei coeficienților ecuațiilor normale ale necunoscutelor:

(Nn-n)-1 Nn-n Xn-1 + (Nn-n)-1 Tn-1 = 0n-1

sau

(N15-15)-1 N15-15 X15-1 + (N15-15)-1 T15-1 = 015-1

De aici rezultă în final matricea- vector a parametrilor necunoscuți:

Xn-1 = - (Nn-n)-1 Tn-1 = - Qn-n Tn-1

sau

X15-1 = - (N15-15)-1 T15-1 = - Q15-15 T15-1

Unde: ( ) este matricea coeficienților de pondere ai necunoscutelor,

calculată cu ajutorul programului Microsoft Excel (Tabelul 1.8, coloanele 1-15) prin

utilizarea funcției specifice de inversarea matricei (MINVERSE).

1 1 1 2 1 15

2 1 2 2 2 15

15 15

15 1 15 2 15 15

...

...

... ... ... ...

...

Q Q Q

Q Q QQ

Q Q Q

Valorile necunoscutelor dzi (i = 1…9) s-au obținut în secunde centezimale, iar

necunoscutele dxj şi dyj (j = 1…3) s-au obţinut în metri (tabelul 1.8, coloana 17) pe baza relaţiei matriciale de mai sus, având în vedere modul de definire al coeficienţilor, ponderilor și termenilor liberi din sistemul ecuațiilor de corecții.

27

Tabelul 1.7

Coeficienţii şi termenii liberi ai sistemului de ecuaţii normale ale necunoscutelor

[ ] A ] B ] C ] D ] E ] F ] G ] H ] I ] J ] K ] L ] M ] N ] O ] P ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

[ PA 2.422 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 98.874 -14.528 55.285 -21.812 41.942 3.830 0.000

[ PB 0.000 1.108 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 17.266 39.207 32.249 30.060 0.000 0.000 0.000

[ PC 0.000 0.000 1.662 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -13.289 27.880 -11.438 39.554 2.819 29.367 0.000

[ PD 0.000 0.000 0.000 1.543 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -40.927 -29.260 -126.760 -38.978 0.000

[ PE 0.000 0.000 0.000 0.000 2.076 0.000 0.000 0.000 0.000 -45.386 -100.992 11.906 -75.286 82.153 -37.827 0.000

[ PF 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.500 0.000 0.000 0.000 19.273 -43.589 17.642 -27.596 28.713 -14.809 0.000

[ PG 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2.734 0.000 0.000 -97.992 -27.856 117.276 -96.256 76.821 20.196 0.000

[ PH 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.889 0.000 -33.359 27.379 37.142 -73.501 19.248 20.068 0.000

[ PI 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.939 -54.477 -14.322 -47.986 -50.030 122.673 15.109 0.000

[ PJ 98.874 17.26 -13.289 0.000 -45.386 19.273 -97.992 -33.359 -54.477 169769.28 -11612.406 -51513.762 29456.099 -26108.326 -5695.422 -48.640

[ PK -14.52 39.20 27.880 0.000 -100.992 -43.589 -27.856 27.379 -14.322 -11612.406 159742.741 29456.099 -39801.420 -5695.422 -5941.768 -570.448

[ PL 55.285 32.24 -11.438 -40.927 11.906 17.642 117.276 37.142 -47.986 -51513.762 29456.099 99067.116 -22942.737 -15263.854 -8673.749 -712.866

[ PM -21.81 30.06 39.554 -29.260 -75.286 -27.596 -96.256 -73.501 -50.030 29456.099 -39801.420 -22942.737 100026.755 -8673.749 -15987.624 2053.024

[ PN 41.94 0.000 2.819 -126.760 82.153 28.713 76.821 19.248 122.673 -26108.326 -5695.422 -15263.854 -8673.749 194418.109 23327.201 -1649.888

[ PO 3.830 0.000 29.367 -38.978 -37.827 -14.809 20.196 20.068 15.109 -5695.422 -5941.768 -8673.749 -15987.624 23327.201 71242.539 -1976.114

28

Tabelul 1.8

Număr ecuaţie

Matricea coeficienţilor de pondere a necunoscutelor (Q15-15) Vectorul termenilor liberi T15-1 [cc;…;m]

Vectorul necunoscu-

telor X15-1

[cc;…;m]

/dz1 /dz2 /dz3 /dz4 /d5 /dz6 /dz7 /dz8 /dz9

/dx1 /dy1 /dx2 /dy2 /dx3 /dy3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 0.4546 0.0142 -0.0155 -0.0326 0.0180 0.0272 0.0247 0.0241 -0.0078 -0.0005 0.0002 -0.0006 0.0002 -0.0002 0.0000 0.00 -1.20

2 0.0142 0.9500 0.0203 -0.0365 -0.0444 -0.0146 -0.0081 -0.0200 -0.0316 -0.0002 -0.0004 -0.0005 -0.0006 -0.0001 -0.0003 0.00 0.07

3 -0.0155 0.0203 0.6292 -0.0120 -0.0434 -0.0279 -0.0217 -0.0276 -0.0109 0.0001 -0.0003 0.0001 -0.0005 0.0001 -0.0004 0.00 0.31

4 -0.0326 -0.0365 -0.0120 0.7307 0.0038 -0.0093 -0.0252 -0.0090 -0.0032 0.0003 0.0000 0.0007 0.0004 0.0006 0.0004 0.00 1.47

5 0.0180 -0.0444 -0.0434 0.0038 0.5711 0.0488 0.0473 0.0508 0.0411 0.0000 0.0007 -0.0001 0.0009 -0.0003 0.0006 0.00 -0.78

6 0.0272 -0.0146 -0.0279 -0.0093 0.0488 0.7017 0.0309 0.0308 0.0126 -0.0002 0.0004 -0.0003 0.0005 -0.0002 0.0003 0.00 -0.77

7 0.0247 -0.0081 -0.0217 -0.0252 0.0473 0.0309 0.4170 0.0585 0.0158 0.0000 0.0003 -0.0006 0.0005 -0.0002 0.0000 0.00 -1.58

8 0.0241 -0.0200 -0.0276 -0.0090 0.0508 0.0308 0.0585 1.2233 0.0272 0.0000 0.0002 -0.0004 0.0010 -0.0002 -0.0001 0.00 -2.70

9 -0.0078 -0.0316 -0.0109 -0.0032 0.0411 0.0126 0.0158 0.0272 0.5629 0.0002 0.0001 0.0004 0.0004 -0.0003 0.0002 0.00 -0.72

10 -0.0005 -0.0002 0.0001 0.0003 0.0000 -0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -48.64 0.01

11 0.0002 -0.0004 -0.0003 0.0000 0.0007 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -570.45 0.00

12 -0.0006 -0.0005 0.0001 0.0007 -0.0001 -0.0003 -0.0006 -0.0004 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -712.87 0.02

13 0.0002 -0.0006 -0.0005 0.0004 0.0009 0.0005 0.0005 0.0010 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2053.02 -0.02

14 -0.0002 -0.0001 0.0001 0.0006 -0.0003 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1649.89 0.01

15 0.0000 -0.0003 -0.0004 0.0004 0.0006 0.0003 0.0000 -0.0001 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1976.11 0.02

29

CAPITOLUL 1.5. Calculul elementelor compensate ale reţelei şi

verificarea compensării

1.5.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi

Coordonatele rectangulare plane compensate ale punctelor noi se obțin prin însumarea algebrică a coordonatelor provizorii cu mărimile necunoscutelor (corecțiilor):

Xi = Xio+ dxi ; Yi = Yi

o + dyi ; unde i =1 3

Calculele se efectuează în tabelul 1.9.

Tabelul 1.9

Nr. Pct Coordonate provizorii Corecţii Coordonate compensate

X° (m) Y° (m) dx (m) dy (m) X (m) Y (m)

1 2 3 4 5 6 7

P1 470236.1330 708048.6692 0.0099 -0.0035 470236.143 708048.666

P2 471276.0116 709315.6378 0.0162 -0.0211 471276.028 709315.617

P3 469440.1068 711076.5425 0.0102 0.0237 469440.117 711076.566

1.5.2 Calculul orientărilor şi a distanţelor compensate

1.5.2.1 Calculul valorilor compensate ale unghiurilor de orientare ale staţiilor

Pe baza mărimilor corecțiilor unghiurilor de orientare ale stațiilor se calculează

orientările compensate ale direcțiilor de origine:

Calculele se conduc în Tabelul 1.10.

Tabelul 1.10

Nr. Staţie

Unghi de orientare provizoriu Zi° (g c cc)

Corecţii dzi (cc)

Unghi de orientare compensat Zi° (g c cc)

1 2 3 4

A 8.0833 -1.1984 8.0832

B 79.3072 0.0690 79.3072

C 180.7919 0.3150 180.7920

D 280.5984 1.4654 280.5986

E 89.8532 -0.7819 89.8531

F 381.2242 -0.7678 381.2241

P1 28.3157 -1.5781 28.3156

P2 17.9205 -2.6961 17.9202

P3 393.9080 -0.7206 393.9080

30

1.5.2.2 Calculul corecțiilor direcțiilor azimutale și ale distanțelor măsurate

Prin înlocuirea valorilor necunoscutelor dx, dy, dz în sistemul inițial (netransformat) al

ecuațiilor de corecții scris sub formă generală se obțin mărimile corecțiilor direcțiilor azimutale

și ale distanțelor măsurate ( Tabelul 1.11, coloana 4).

Vr-1 = Br-n Xn-1 + Lr-1

sau

V65-1 = B65-15 X15-1 + L65-1

Pentru verificarea compensării se calculează suma pătratelor corecţiilor, funcţie directă de

mărimile acestora:

[pvv] = VT1-r Pr-r Vr-1 = VT1-65 P65-65 V65-1 = 633.0284718

care trebuie să fie egală cu suma produselor dintre ponderi, corecţii şi termenii liberi:

[pvl] = VT1-r Pr-r Lr-1 = VT1-65 P65-65 L65-1 = 633.0284718

1.5.2.3 Calculul valorilor compensate ale orientărilor direcțiilor azimutale şi

ale distanţelor

Pe baza valorilor provizorii ale direcțiilor azimutale (centrate și reduse la planul de proiecție) și ale corecțiilor rezultate prin compensare se obțin valorile compensate ale direcțiilor azimutale, folosind relația:

(Tabelul 1.11, coloana 6).

Cu ajutorul direcțiilor azimutale compensate și a unghiului de orientare compensat al stației se calculează orientările compensate ale direcțiilor pentru fiecare stație în parte:

(Tabelul.1.11, coloana 7).

Distanțele compensate rezultă din aplicarea corecțiilor transformate la distanțele măsurate:

, (Tabelul.1.11,coloana 6).

Pentru controlul final al compensării se calculează orientările și distanțele dintre punctele noi compensate și punctele vechi cu relațiile cunoscute (Tabelul.1.12,coloanele 8-9):

+k*200

g

unde k=0(cadranul); k=1 (cadranele II si III); k=2( cadranul IV)

2 2

2 2

ij ij ij j i j iD x y X X Y Y

Verificarea compensării se face prin diferenţele dintre orientările și distanțele calculate

pe baza modelului funcțional de compensare (tabelul 1.11, coloana 7) şi orientările direcţiilor,

respectiv distanțelor, calculate din coordonatele compensate ale punctelor noi şi din

coordonatele punctelor vechi (tabelul 1.11, coloana 8). Comparaţia dintre cele două şiruri de

valori relevă egalitatea mărimilor şi deci, corectitudinea calculului de compensare (tabelul

1.11,coloana 9).

31

Tabelul 1.11

Nr. Ecuaţie

Punct staţie

Punct vizat

Directii α°ij [g c cc] si

distante D°ij [m] masurate

Corectii de directii vij [cc] si de

distante vij [m]

Directii α°ij [g c cc] si

distante compensate

D°ij [m]

Controlul compensării

Orientări θij [g c cc] şi

distanţe Dij [m]

masurate

Orientări θij [g c cc] şi

distanţe Dij [m] din

coordonate compensate

Diferenţe de orientări

[cc] distante

[mm]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

A

B 0.0000 -1.9862 -0.0002 8.0830 8.0830 0.0000000

2 C 36.6586 1.1664 36.6587 44.7419 44.7419 0.0000000

3 P2 67.9915 11.5434 67.9927 76.0758 76.0758 0.0000144

4 P1 82.6278 11.9955 82.6290 90.7122 90.7122 0.0000027

5 P3 97.7135 -1.4553 97.7134 105.7965 105.7965 -0.0000065

6 E 121.3678 -10.8934 121.3667 129.4499 129.4499 0.0000000

7 F 173.1424 -10.3704 173.1414 181.2245 181.2245 0.0000000

8

B

C 0.0000 1.7774 0.0002 79.3074 79.3074 0.0000000

9 P2 68.4577 -4.1494 68.4573 147.7645 147.7645 -0.0000027

10 P1 94.2846 -4.7669 94.2841 173.5914 173.5914 0.0000003

11 A 128.7750 7.1389 128.7757 208.0830 208.0830 0.0000000

12

C

D 0.0000 4.5941 0.0005 180.7924 180.7924 0.0000000

13 P3 13.1157 -0.3085 13.1157 193.9076 193.9076 0.0000034

14 P2 37.1284 2.8369 37.1287 217.9207 217.9207 -0.0000083

15 P1 47.5242 -1.8422 47.5240 228.3160 228.3160 -0.0000011

16 A 63.9502 -2.8830 63.9499 244.7419 244.7419 0.0000000

17 B 98.5157 -2.3972 98.5155 279.3074 279.3074 0.0000000

18

D

F 0.0000 1.0089 0.0001 280.5987 280.5987 0.0000000

19 E 9.2553 5.7276 9.2559 289.8544 289.8544 0.0000000

20 P3 38.3941 -5.0065 38.3936 318.9922 318.9922 -0.0000950

21 P2 58.9152 -5.4162 58.9147 339.5132 339.5132 0.0000010

22 C 100.1935 3.6861 100.1939 380.7924 380.7924 0.0000000

23

E

D 0.0000 13.2332 0.0013 89.8544 89.8544 0.0000000

24 F 177.0573 1.2709 177.0574 266.9105 266.9105 0.0000000

25 A 239.5965 2.6548 239.5968 329.4499 329.4499 0.0000000

26 P1 283.2592 -4.5669 283.2587 373.1119 373.1119 0.0000015

27 P2 320.1317 -2.1536 320.1315 9.9846 9.9846 -0.000023

28 P3 382.6772 -10.4385 382.6762 72.5293 72.5293 0.000002

29

F

A 0.0000 4.4356 0.0004 381.2245 381.2245 0.0000000

30 P1 45.2789 -2.8772 45.2786 26.5027 26.5027 -0.0000031

31 P2 54.9874 6.2651 54.9880 36.2121 36.2121 -0.0000016

32 E 85.6875 -10.4713 85.6865 66.9105 66.9105 0.0000000

33 P3 88.4616 0.8756 88.4617 69.6858 69.6858 0.0000012

34 D 99.3744 1.7723 99.3746 80.5987 80.5987 0.0000000

35

P1

C 0.0000 4.1004 0.0004 28.3160 28.3160 -0.0000011

36 P2 27.9308 -1.2660 27.9307 56.2462 56.2462 0.0000366

37 P3 88.0508 -1.7123 88.0506 116.3662 116.3662 -0.0000122

38 E 144.7959 3.7781 144.7963 173.1119 173.1119 0.0000015

39 F 198.1872 -0.7900 198.1871 226.5027 226.5027 -0.0000031

40 A 262.3971 -5.1114 262.3966 290.7122 290.7122 0.0000027

41 B 345.2757 1.0012 345.2758 373.5914 373.5914 0.0000003

32

42

P2

C 0.0000 4.3362 0.0004 17.9207 17.9207 -0.0000083

43 D 121.5926 3.9911 121.5930 139.5132 139.5132 0.0000010

44 P3 133.4073 -9.4437 133.4064 151.3266 151.3266 -0.0000977

45 E 192.0645 -1.2519 192.0644 209.9846 209.9846 -0.0000226

46 F 218.2919 -0.0910 218.2919 236.2121 236.2121 -0.0000016

47 P1 238.3260 0.2907 238.3260 256.2462 256.2462 0.0000366

48 A 258.1557 -1.0068 258.1556 276.0758 276.0758 0.0000144

49 B 329.8440 3.1753 329.8443 347.7645 347.7645 -0.0000027

50

P3

C 0.0000 -3.2334 -0.0003 393.9076 393.9076 0.0000034

51 D 125.0845 -3.0234 125.0842 118.9922 118.9922 -0.0000950

52 F 275.7773 5.0953 275.7778 269.6858 269.6858 0.0000012

53 E 278.6229 -15.9610 278.6213 272.5293 272.5293 0.0000017

54 A 311.8885 0.5703 311.8886 305.7965 305.7965 -0.0000065

55 P1 322.4575 7.4201 322.4582 316.3662 316.3662 -0.0000122

56 P2 357.4177 9.1321 357.4186 351.3266 351.3266 -0.0000977

57

P1

P2 1639.0620 0.0004 1639.0624 1639.0624 1639.0624 -0.000078

58 P3 3130.7560 0.0328 3130.7888 3130.7888 3130.7888 -0.000008

59 E 1989.5190 0.0188 1989.5378 1989.5378 1989.5378 0.000000

60 F 3339.3540 0.0273 3339.3813 3339.3813 3339.3813 -0.000008

61 A 2204.2510 0.0117 2204.2627 2204.2627 2204.2627 -0.000024

62 P2

P3 2543.8770 0.0395 2543.9165 2543.9165 2543.9165 -0.000156

63 E 2890.0400 0.0239 2890.0639 2890.0639 2890.0639 -0.000094

64 P3

D 1481.6230 -0.0322 1481.5908 1481.5908 1481.5908 -0.000094

65 E 2435.5680 0.0564 2435.6244 2435.6244 2435.6244 0.000000

CAPITOLUL 1.6. Evaluarea preciziei rezultatelor compensării

Etapa de evaluare a preciziei rezultatelor obținute prin prelucrarea măsurătorilor geodezice se constituie din calculul erorilor medii pătratice denumite și erori postcompensare, spre deosebire de cele obținute pentru fiecare tip de măsurători executate direct pe teren înainte de prelucrarea lor în rețea numite erori antecompensare.

1.6.1. Calculul erorii medii pătratice a unitaţii de pondere

Pentru caracterizarea generală a preciziei rețelei de triangulație-trilaterație geodezică se calculează mai întâi eroare unităţii de pondere:

0

pvvs

r n

, unde:

r este numărul ecuaţiilor de corecţii sau numărul măsuratorilor de direcţii şi de distanţe

(r=65); n este numărl necunoscutelor (2N+P), în care N=3(numărul punctelor noi din reţea) şi

P=9 (numărul punctelor staţionate pe teren)

33

1.6.2. Calculul erorilor medii pătratice ale mărimilor compensate ale direcţiilor

şi distanţelor măsurate direct pe teren

Cu ajutorul erorii medii pătratice a unității de pondere (µ), se pot calcula erorile medii pătratice ale direcțiilor și distanțelor măsurate direct pe teren cu formulele:

Rezultatele obținute se trec în secunde centezimale în cazul direcţiilor şi respectiv în

metri îm cazul distanțelor (Tabelul.1.13.)

Tabelul 1.13

1.6.3. Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate ale

punctelor noi

Erorile medii pătratice ale mărimilor compensate ale necunoscutelor (dx,dy) reprezintă erorile de determinare a celor mai probabile valori ale coordonatelor punctelor noi, numite coordonate compensate (X,Y). Astfel, erorile medii ale abscisei şi ale ordonatei punctelor noi sunt calculate cu relaţiile:

Pentru punctul P1: sx = ± 0 10 10s Q ; sy = ± 0 11 11s Q

m)

Pentru punctul P2: sx = ± 0 12 12s Q sy = ± 0 13 13s Q

m)

Pentru punctul P3: sx = ± 0 14 14s Q sy = ± 0 15 15s Q

m)

unde so este eroarea unităţii de pondere şi Q10-10, Q11-11, ... , Q15-15 coeficienţii de pondere pătratici ai celor şase necunoscute (dx1, dy1, dx2, dy2 ,dx3, dy3).

Nr. Crt Direcţii

azimutale măsurate

Eroarea medie pătratică a mărimilor compensate ale direcţiilor măsurate

in statie (sα)i (cc)

Distanţa măsurată

Eroarea medie patratică a mărimii

compensate a distanţei măsurate

(sD)i (m)

1 2 3 4 5

1 Statia A 6.0489 P1-P2 0.0285

2 Statia B 6.7605 P1-P3 0.0534

3 Statia C 6.7605 P1-E 0.0356

4 Statia D 6.4047 P1-F 0.0605

5 Statia E 6.0489 P1-A 0.0391

6 Statia F 7.1163 P2-P3 0.0427

7 Statia P1 5.6931 P2-E 0.0498

8 Statia P2 10.6745 P3-D 0.0249

9 Statia P3 6.7605 P3-E 0.0427

0

0

/

( ) /

i

D i i

s s p

s s p

34

Coeficienţii de pondere pătratici ai necunoscutelor s-au calculat anterior, la rezolvarea sistemului ecuaţiilor normale prin metoda matricială, fiind reprezentaţi de elementele

diagonalei principale a matricei Qn-n (tabelul 1.8).

Pe baza erorilor în poziţia punctului de-a lungul axelor de coordonate (sx,sy), se

calculează eroarea totală în poziţia punctului cu formula:

22

yxt sss (m) (pentru punctele P1, P2 şi P3 în tabelul 1.14)

Tabelul 1.14

Punct Eroarea medie pătratică sx Eroarea medie pătratică sy Eroarea totală st

(mm) m mm m mm

1 2 3 4 5 6

P1 0.0102 10.2469 0.0104 10.4284 14.6202

P2 0.0143 14.3104 0.0143 14.2557 20.1993

P3 0.0091 9.1361 0.0146 14.6324 17.2504

Dacă erorile sx şi sy pot fi pozitive şi negative, eroarea totală este evident pozitivă. Dezavantajul erorilor medii pătratice constă în faptul că, ele nu permit cunoaşterea direcţiilor dea lungul cărora erorile sunt maxime şi minime, respectiv mărimile acestora. Acest lucru se poate cunoaşte cu ajutorul elipsei erorilor şi a podarei elipsei erorilor.

1.6.4. Calculul elementelor elipsei erorilor şi ale podarei elipsei erorilor în

punctele noi

Se calculează orientările direcțiilor reciproc perpendiculare de-a lungul cărora erorile sunt maxime și minime cu ajutorul ecuațiilor trigonometrice:

pentru punctul P2:

10 111

10 10 11 11

22 *200gQ

arctg KQ Q

pentru punctul P2:

12 132

12 12 13 13

22 *200gQ

arctg KQ Q

pentru punctul P3 : 14 153

14 14 15 15

22 *200gQ

arctg KQ Q

unde k = 0 (cadranul I) ; k = 1 (cadranele II şi III) ; k=2 (cadranul IV)

Din ecuaţiile trigonometrice de mai sus rezultă cele două soluţii θ şi θ + 100g (tabelul

1.15), unghiul de orientare fiind considerat de la sistemul de axe în care a fost determinat punctul nou, mai precis de la axa X.

În continuare, se calculează mărimile semiaxelor elipselor de eroare. Mai întâi coeficientul :

Pentru punctul P1:

2 2

1 10 10 11 11 10 114q Q Q Q

Pentru punctul P2:

2 2

2 12 12 13 13 12 134q Q Q Q

Pentru punctul P3: 2 2

3 14 14 15 15 14 154q Q Q Q

35

iar pe baza lui, mărimile semiaxelor elipsei erorilor:

Pentru punctul P1:

1 0 10 10 11 11 1

1 0 10 10 11 11 1

1

2

1( )

2

A s Q Q q

B s Q Q q

Pentru punctul P2 :

2 0 12 12 13 13 2

2 0 12 12 13 13 2

1

2

1( )

2

A s Q Q q

B s Q Q q

Pentru punctul P3 :

3 0 14 14 15 15 3

3 0 14 14 15 15 3

1

2

1( )

2

A s Q Q q

B s Q Q q

Tabelul 1.15

Punct

Orientările smiaxelor elipsei erorilor Coeficientul

(q) Semiaxa mare a elipsei

erorilor (A) Semiaxa mică a elipsei

erorilor (B) θ θ+100g

[g c cc] [g c cc] m m mm m mm

1 2 3 4 5 6 7 8

P1 142.8127 242.8127 0.0000 0.0107 10.7359 0.0099 9.9243

P2 48.3565 148.3565 0.0000 0.0148 14.8031 0.0137 13.7434

P3 109.9723 209.9723 0.0000 0.0147 14.7462 0.0090 8.9514

Pentru desenarea podarei generată de elipsa erorilor se calculează razele vector ale podarei cu ajutorul semiaxei elipsei și pentru diferite valori ale unghiului Ψ, făcut de semiaxa mare cu raza vector.

ggBAS 400,0,sincos 2222 .

Calculele pentru fiecare punct nou (P1, P2 şi P3), cu valori ale unghiului ψ din 10g în 10g,

se efectuează în tabelul 1.16. Podara fiind simetrică faţă de axele elipsei erorilor, calculul razelor– vector se execută numai pentru unghiurile primului cadran şi sunt exprimate în milimetri.

36

Tabelul 1.16

P1 P2 P3

Punct Unghi ψ [g] Semiaxe elipsa Raze

vector Sψ [mm]

Punct Unghi ψ [g] Semiaxe elipsa Raze

vector Sψ [mm]

Punct Unghi ψ [g] Semiaxe elipsa Raze

vector Sψ [mm] A [mm] B [mm] A [mm] B [mm] A [mm] B [mm]

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 0

10.74 9.92

10.74 1 0

14.80 13.74

14.80 1 0

14.75 8.95

14.75

2 10 10.72 2 10 14.78 2 10 14.63

3 20 10.66 3 20 14.71 3 20 14.29

4 30 10.57 4 30 14.59 4 30 13.75

5 40 10.46 5 40 14.45 5 40 13.04

6 50 10.34 6 50 14.28 6 50 12.20

7 60 10.21 7 60 14.12 7 60 11.29

8 70 10.10 8 70 13.97 8 70 10.41

9 80 10.00 9 80 13.85 9 80 9.66

10 90 9.94 10 90 13.77 10 90 9.14

11 100 9.92 11 100 13.74 11 100 8.95

37

1.6.5. Construcţia grafică a podarei elipsei erorilor în punctele noi

Construcţia grafică a podarei elipsei erorilor, numită şi curba pedală sau curba erorilor medii pătratice, se face la o scară supraunitară, în cazul de faţă 3:1, pe baza orientărilor semiaxelor elipsei de eroare şi ale datelor tabelului1.16, în următoarea succesiune:

- se consideră pe plan punctul nou determinat şi se duc axele sistemului iniţial (X,Y) în care a fost determinat punctul ;

- cu ajutorul unghiurilor de orientare θ şi θ + 100g, măsurate faţă de axa X, se duc axele XA şi YB, care corespund direcţiilor de-a lungul cărora erorile sunt maxime şi minime. De-a lungul acestor axe, începând din origine, se iau segmentele care corespund semiaxelor elipsei erorilor (A şi B), obţinându-se punctele „1” pe axa XA, şi „11”, pe axa YB ;

- se aplică faţă de axa XA, unghiurile ψ (10g, 20g,…, 90g) iar pe direcţiile obţinute se aplică lungimile razelor – vector (tabelul 1.16), obţinându-se punctele 2,3,…,10 ;

-se unesc punctele principale 1 şi 11 cu punctele intermediare 2,3,…,10 printr-o curbă plană, obţinându-se curba podară pentru primul cadran.

În celelalte cadrane, construcţia grafică a podarei se face pe baza simetriei, în raport cu axele XA şi YB ;

Reprezentarea grafică a podarelor elipselor erorilor se realizează într-un program de

grafică pe calculator figura 6.1 pentru punctul P1, figura 6.2 pentru punctul P2 şi figura 6.3 pentru punctul P3).

Configuraţia podarei elipsei erorilor este în funcţie de configuraţia elipsei erorilor, de raportul celor două semiaxe. Când raportul este egal cu unitatea (A/B = 1), elipsa şi podara degenerează într-un cerc de eroare. Pe măsură ce raportul creşte, aria podarei diferă tot mai mult de aria elipsei. De asemenea, pentru elipse de aceeaşi arie, dar de configuraţie diferită, din cauza raportului semiaxelor, ariile podarelor diferă sensibil.

Prin măsurare grafică, se pot determina sau doar verifica, mărimile erorilor medii pătratice ale coordonatelor compensate ale punctului, de-a lungul axelor de coordonate. Astfel, pentru erorile (sx,sy) se măsoară segmentul între origine şi punctul unde podara intersectează axa X şi respectiv, axa Y. Se obţin :

- pentru punctul P1: P1 :sx =10.25 mm sy=14.62 mm

- pentru punctul P2: P2: sx=14.31 mm sy=20.20 mm

- pentru punctul P3: P3: sx=9.14 mm sy=17.25 mm

Aria podarei elipsei erorilor caracterizează domeniul de situare a poziției probabile a

punctului nou cu o probabilitate mai mare decat în cazul în care se consideră aria elipsei

erorilor.

38

Astfel vom obtine:

- pentru punctul P1 : Ae=πAB= 334.72 mm2, Ap=π/2(A2+B2)= 335.76 mm2

- pentru punctul P2 : Ae=πAB= 639.14 mm2, Ap=π/2(A2+B2)= 640.90 mm2

- pentru punctul P3 : Ae=πAB= 414.68 mm2, Ap=π/2(A2+B2)= 467.43 mm2