PROGRESII MATEMATICE

PROGRESIIARITMETICE

PROGRESII ARITMETICEPROGRESII ARITMETICE

Def.Def. Un şir (Un şir (aann ) )nn1 1 în care fiecare termen, în care fiecare termen,

începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin adunare cu un număr fix (adunare cu un număr fix (r r numit raţieraţie) ) se numeşte se numeşte progresie aritmeticăprogresie aritmetică . .

aa11 ,a ,a22 , ... , a , ... , an-1n-1 , a , ann , a , an+1n+1 , ... , ...

aann = a = a n-1n-1 + + rr , , nn 2 2

r r = a= ann - - aan-1n-1 , , nn 2 2

Ex.: 2, 6, 10, a4 ,a5 ,...

r = a3 – a2 = 10 – 6 = 4;

aa44 = a3+ r = 10 + 4 = 14; aa55 = a4 + r = 14 + 4 = 18 .

.

.

TEOREMĂTEOREMĂFie (an)n 1 un şir de numere reale. Atunci are loc

echivalenţa:

a1, a2, ... , an-1, an , an+1 , ... 1 1 22

, .n nn

a aa n

ExerciţiuExerciţiu

Fie numerele reale x - 1, 2x , x+7 în progresie aritmetică. Să se determine x .

Rezolvare:Rezolvare:

x – 1, 2x, x + 7

1 72 3

2.

x xx x

Formula termenului generalFormula termenului general

TeoremăTeoremă: Într-o progresie aritmetică: Într-o progresie aritmetică ( (aann ) )n n 1 1 cu raţia cu raţia rr, ,

termenul general este dat de formula:termenul general este dat de formula:

1 1 1,na a n r n

ExerciţiuExerciţiu

Să se determine primii doi termeni ai progresiei aritmetice

(an )n 1 ştiind că a10= 131 şi r = 12.

Suma primilor n termeni ai unei progresii Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmeticearitmetice

SSnn = = aa1 1 ++ aa2 2 + ... + a+ ... + ann , n , n 1 1

1

2n

n

a a nS

1 1 1,na a n r n Cu

, formula sumei devine:

12 1

2n

a n r nS

Obs. Orice progresie este bine determinată dacă se Orice progresie este bine determinată dacă se cunosc cunosc primul termen şi şi raţia.

ExerciţiiExerciţii

1)1) Într-o progresie aritmetică se cunosc a1 = 9 şi r = -3 . Să se determine suma primilor 7 termeni.

2)2) Într-o progresie aritmetică se cunosc a47 = 74 şi a74 = =47. Să se determine primul termen şi raţia.

3)3) Să se determine termenul general şi raţia unei progresii aritmetice dacă suma primilor n termeni este:

25 3 .nS n n

PROGRESIIGEOMETRICE

• Definiţie Se numeşte progresie geometrică, un şir de

numere reale : , cu b1 ≠ 0, în care , fiecare termen începând cu al doilea, se obţine din precedentul, prin înmulţirea cu acelaşi număr q ≠0. Numărul q se numeşte raţia progresiei .• Observaţii : 1) Şirul : este progresie geometrică, dacă:

bn = bn-1 . q , n ≥ 2, b1 ≠ 0, q ≠ 0.

2) Numerele : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….se

numesc termenii progresiei geometrice.

1nnb

1nnb

Comentarii:

1) Din definiţie, rezultă că, într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi : bn-1 , bn , este constant : = constant, n ≥2 .

2) Pentru a pune în evidenţă, că şirul : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,……., este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,……..

3) O progresie geometrică : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….. este bine determinată, dacă se cunosc : primul termen : b1 ≠0 şi raţia : q ≠ 0 ;

b2 = b1. q , b3 = b2 .q = b1 . q2 ,………… .

4) Numerele : b1 , b2 , b3, ……, bn - 1, bn , sunt în progresie geometrică, dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice, adică , dacă :

= =……….. = .

1n

n

b

b

1

2

b

b

2

3

b

b

..

..

1n

n

b

b

1) Dacă : b1 = 1 , q = , se obţine progresia geometrică :

1, , ,……, ,…….. 2) Dacă : b1 = , q = , se obţine progresia geometrică:

, , ,..…. , , …….

3) Dacă : b1 = 1 , q = 2 => 1 , 2 , 4 , 8 , ….., 2n-1 , …..

4) Dacă : b1 = 2 , q = - 2 => 2 , - 22 , 23 , ………., ( - 1 )n+1. 2n ,…

Exemple:

2

1

2

122

112

1n

2

12

1

2

122

132

1n2

1

..

..

..

..

..

..

..

..

PROPRIETĂŢILEPROGRESIEIGEOMETRICE

G1 ( Monotonia)

Fie o progresie geometrică de raţie q .

Daca:

b1 > 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict crescător :

b1 < b2 < b3 <…….< bn < bn+1 < …..

b1 > 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict descrescător :

b1 > b2 > b3 >…….> bn > bn+1 > …..

b1 < 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict descrescător;

b1 < 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict crescător .

1nnb

1nnb

1nnb

1nnb

1nnb

G2

Formula termenului general

Dacă şirul este o progresie geometrică de

raţie q , atunci termenul general,

are forma :

bn = b1 . qn-1 , n ≥ 1 .

1nnb

GG33

Caracterizarea progresiei geometriceCaracterizarea progresiei geometrice

Şirul , cu termeni nenuli, este progresie

geometrică pentru <=> orice termen al său,

incepând cu al doilea, avem :

= , n ≥ 2

1nnb

bn

2

bn 1 bn 1

G4

Dacă numerele: b1, b2 , b3 , ……., bn-1 , bn , sunt în progresie geometrică,atunci:

b1 bn = b2 bn-1 = ……= bk bn-k+1 ,

k = . n,1

G5

Suma primilor n termeni Dacă este o progresie geometrică, de raţie q, cu Sn = b1 + b2 + …………+ bn , atunci

1nnb

Sn =

1,

1,1

1

1

1

qdacăbn

qdacăq

qb

n