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Programme complet : perso.univ- jhthomas/syll 5a ...perso.univ- jhthomas/signal5A.pdf · PDF file Dunod, 1984. • Traitement numérique des signaux (M. Kunt), Presses polytechniques

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  • 1

    Traitement du signal (15 h) Jean-Hugh Thomas ([email protected])

    1 Signaux aléatoires

    2 Analyse spectrale

    3 Systèmes linéaires stochastiques • Modèles AR, MA, ARMA

    • Prédiction linéaire

    • Estimation spectrale «moderne»

    4 Temps-fréquence, temps-échelle (Ondelettes)

    Programme complet : perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/syll_5a_ts.html

    perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/fiches/fiches.htmlFiches TP :

    Bibliographie • Théorie et traitement des signaux(F. de Coulon),

    Dunod, 1984. • Traitement numérique des signaux(M. Kunt), Presses

    polytechniques romandes, 1984. • Méthodes et techniques de traitement du signal et

    applications aux mesures physiques(J. Max), Tome 1 Masson, 1985.

    • Techniques modernes de traitement numérique des signaux(M. Kunt), Presses polytechniques romandes, 1991.

  • Bibliographie (suite)

    • Traitement numérique du signal une introduction (A.W.M. Van Den Enden, N.A.M. Verhoeckx), Masson 1992.

    • Signaux et systèmes linéaires(Y. Thomas), Masson, 1994.

    • Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.

    4

    Bibliography

    • Modern Spectral Estimation (S. M. Kay), Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1988.

    • Discrete-Time Signal Processing(A. V. Oppenheim and R. W. Schafer) Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1989.

    • Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (J. G. Proakis and D. G. Manolakis), Upper Saddle River, NJ:Prentice Hall, 1996.

    • A wavelet tour of signal processing(S. Mallat), Academic Press, 1999.

  • 5

    Signaux aléatoires

    1 Concept

    2 Représentations statistiques

    3 Stationnarité

    4 Ergodicité

    5 Spectres

    6 Signaux particuliers

    6

    Signaux aléatoires

    3 expériences

    X(t)

    x3(t)

    x2(t)

    x1(t)

    Processus aléatoire

  • 7Processus aléatoire

    8

    F(x)

    x

    1

    0

    F

    F

    ( )

    ( )

    −∞ = +∞ =

    0

    1

    Fonction de répartition

    Densité de probabilité

    f(x)

    x0 µ µ µ µ X

  • 9

    Exemples de signaux aléatoires

    • Electrocardiogramme

    • Signal de parole

    • Roulis d’un navire

    • Consommation d’électricité

    • Pression dans chambre de combustion d’un moteur

    10

    Exemples

    3

    6

    15

    30

    Temps

    Temps

    Puissance en kW

    Température en °C

  • 11

    Moyenne et variance

    1 1000 2000 3000 4000 5000 850

    900

    950

    1000Pression atmosphérique en mbar

    x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( )

    Echantillons

    m t( )

    m t t( ) ( )± σ

    12

    Exemples de signaux aléatoires

    • Electrocardiogramme

    • Signal de parole

    • Roulis d’un navire

    • Consommation d’électricité

    • Pression dans chambre de combustion d’un moteur

  • 13

    Ergodicité

    t Moyennes d’ensemble

    [ ]E X t N

    t N ii

    N

    x( ) ( )lim= →∞ =

    ∑ 1

    1

    Moyennes temporelles

    14

    Ergodicité

    [ ]m E X t T

    x t dt T T

    T

    = = →∞ −

    ∫( ) ( )lim 1

    2

    [ ] ( )2 2 21 2σ = = −→∞ −∫E X t T x t m dtc T T

    T

    ( ) ( )lim

    [ ]X T T

    T

    R E X t X t T x t x t dt( ) ( ) ( ) ( ) ( )limτ τ τ= − = −→∞ −∫ 1

    2

  • 15

    Analyse spectrale

    1 Estimation

    2 Périodogramme

    3 Périodogramme moyenné

    4 Périodogramme modifié

    5 Corrélogramme

    16

    Chaîne de mesure

    Filtre anti-repliement

    Echantillonnage

    FFT⊗

    Fenêtrage

    Signal x(t)

    Spectre | X(f) |

  • 17

    • : Vecteur de variables inconnues

    • : Vecteur de variables mesurées

    x

    y

    Estimation

    x y

    • : Estimation$x

    ( )g y $x

    Système

    Bruit

    18

    • Biais de l’estimateur

    • Matrice de variance-covariance

    • Variance (cas monovariable)

    • Erreur quadratique moyenne

    • Estimateur consistant

    Qualité d’un estimateur

    [ ]b E X x= −$

    [ ]( ) [ ]( )[ ]Σ X TE X E X X E X= − −$ $ $ $ [ ]( )[ ]σ X E X E X2 2= −$ $

    ( )[ ]E X x bX$ − = +2 2 2σ N

    N N

    Nb →∞ →∞

    = =lim lim σ 2 0

  • 19

    Estimation de corrélation

    0 N-1

    Temps

    xn

    −−−−ττττ N-1- ττττ Temps

    τ < 0 xn+ττττ

    N-1- ττττ−−−−ττττ

    τ > 0

    Taille du support de RXττττ ????

    1-N 0 N-1

    ττττ

    20

    Estimation de corrélation

    0 N-1

    n

    xn Support de n????

    −−−−ττττ −−−−τ τ τ τ + N -1 n

    xn+τ

    τ 0≤Somme sur N+ττττ

    échantillons

    τ τ τ τ donné

  • 21

    Estimation de corrélation

    0 N-1

    n

    xn

    Support de n????

    −−−−ττττ −−−−τ τ τ τ + N -1

    n

    xn+τ τ 0≥

    τ τ τ τ donné Somme sur N-ττττ

    échantillons

    22

    Estimateur de corrélation

    ( ) 0ˆ ' = τX

    RbBiais

    ( ) N

    N − τ 2Variance proportionnelle à Estimateur consistant

    0 1ˆ

    1

    0

    ' ≥ −

    = + −−

    = ∑ ττ τ

    τ

    τ n

    N

    n nX XXN

    R

    0 1ˆ

    1 ' <

    + = +

    −= ∑ ττ τττ n N

    n nX XXN

    R

    ττ XX RRE =]ˆ[

    Espérance

  • 23

    ( ) ττ

    τ XX RN

    Rb −=ˆ

    Estimateur de corrélation

    Biais

    1

    N Variance proportionnelle à

    Estimateur consistant

    $R N

    X XX n n

    N

    τ

    τ τ= ≥ =

    − −

    +∑ 1

    0 0

    1

    $R N

    X XX n n

    N

    nτ τ

    τ τ= < = −

    +∑ 1

    0 1

    τττ BXX wRRE =]ˆ[

    Espérance

    24

    1 Calcul par FFT de la TFD de {Xn} sur N points.

    2 FFT-1 de ( )X f 2

    Algorithme de calcul

    3 Calcul de ( ) ( )( )$R N FFT X fXτ τ= − − 1 1 2

    ( )( )211ˆ fXFFT N

    RX −=

    τ ou de

  • 25

    Périodogramme simple

    ( )x n TFD

    ( )Xs f$ 1 2

    N .

    ( )x n TFD

    ( )Xs f$ $rbiaisé

    Transformée de Fourier de l’estimation biaisée de l’autocorrélation du signal pondéré par une fenêtre

    26Périodogramme

    ( )( ) ( )σ N X XS f S f2 2$ ≈

    Biais

    Variance

    Estimateur inconsistant

    ( ) ( ) 21ˆ fX NT

    fS e

    X =

    ( )( ) kfiX N

    Nk X eRN

    k fSb

    k

    π2 1

    1

    ˆ − −

    +−= ∑−=

    )()()](ˆ[ fWfSfSE BXX ∗=Espérance

  • 27

    Périodogramme moyenné

    x0

    L points

    xL-1 xN-1x2L-2

    K fenêtres rectangulaires

    Bartlett (1948)

    pas de recouvrement

    28

    Périodogramme moyenné

    i=0,1...K-1

    Segment

    $ ( ) $ ( )( )s f K

    s fX B

    X i

    i

    K

    = =

    ∑ 1

    0

    1

    x n x n i Li ( ) ( )= + i=0,1...K-1

    n=0,1...L-1

    ( ) ( ) 21

    0

    2)(ˆ ∑ −

    =

    −= L

    n

    nfj i

    ei X enxL

    T fs π

  • 29Périodogramme moyenné

    ( )( )b S f k L

    R k eX B

    k N

    N

    X i f k$ ( )= −

    =− +

    − −∑

    1

    1 2 π Biais

    Estimateur consistant

    ( )( ) ( )( )σ σN XB L XiS f K S f2 2 1

    $ $ ( )≈ Variance

    $ ( ) $ ( )( )S f K

    S fX B

    X i

    i

    K

    = =

    ∑ 1

    0

    1

    )()()](ˆ[ fWfSfSE BX B X ∗= Espérance

    30

    Périodogramme modifié

    x0

    L points xL-1

    D points

    xD-1

    xD+L-2

    xN-1x2D-2

    M fenêtres

    Recouvrement : L - D points (M - 1) D + L = N

    Welch (1967)

  • 31

    Périodogramme de Welch

    i=0,1...M-1Segment

    $ ( ) $ ( )( )s f M

    s fX W

    X i

    i

    M

    = =

    ∑ 1

    0

    1

    U L

    w n n

    L

    = =

    ∑ 1 2

    0

    1

    ( )

    ( ) ( ) 21

    0

    2)( )(ˆ ∑ −

    =

    −= L

    n

    nfj i

    ei X enwnxLU

    T fs π

    32

    Périodogramme de Welch

    Espérance

    Estimateur consistant

    ( )( ) ( )( )σ σN XW L XiS f M S f2 2 1

    $ $ ( )≈ Variance

    $ ( ) $ ( )( )S f M

    S fX W

    X i

    i

    M

    = =

    ∑ 1

    0

    1

    ( )[ ] ( ) ( )fSfSfS WXWX *ˆ =Ε

  • 33

    $rX ( )x n

    TFD

    ( )$s fX

    Corrélogr

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