La programación lineal puede ser definida desde el punto de vista primo y dual.

El primo se define como una herramientacuantitativa para resolver problemas deprogramación de actividades.

El dual como una técnica cuantitativa para lasolucionar de asignación de recursos.

Forma canónica

∑=

=n

jjj xcx

10

Minimizar

Sujeta a:

∑=

=≥n

jiij miba

1...,2,1

njx j ,...,2,10 =≥

∑=

=n

jjj xcx

10

Maximizar

Sujeta a:

∑=

=≤n

jiij miba

1...,2,1

njx j ,...,2,10 =≥

Forma estándar

∑=

=n

jjj xcx

10

Minimizar

Sujeta a:

∑=

==n

jiij miba

1...,2,1

njx j ,...,2,10 =≥

∑=

=n

jjj xcx

10

Maximizar

Sujeta a:

∑=

==n

jiij miba

1...,2,1

njx j ,...,2,10 =≥

Ejemplo

Transformar a forma canónica

Minimizar: 321 832 xxxxo ++=

( )( )( )( )4159833332952711072

321

321

321

321

≤++

≥++=++≤−+

xxxxxxxxxxxxSujeta a:

0,, 321 ≥xxx

( )1072

11072

321

321

−≥+−−≤−+

xxxxxx

( )

952795279527

29527

321

321321

321

−≥−−−≥++≤++

=++

xxxxxxxxx

xxx

( )

1598

15981598

41598

321

321321

321

−≥−−−

−≥++≤++

≤++

xxx

xxxxxx

xxx

( )3333 321 ≥++ xxx

EjemploTransformar a forma estándar

Maximizar 21 23 xxxo +=

( )( )( )3428231102

21

21

21

≥+−≤+=−

xxxxxxSujeta a:

0, 21 ≥xx

( )0823

2823

3321

21

≥=++≤+

xxxxxx

( )1102 21 =− xx

( )04

34

4421

21

≥=−+−≥+−

xxxxxx

Maximizar 4321 0023 xxxxxo +++=

0,,,4823102

4321

421

321

21

≥=−+−=++=−

xxxxxxxxxxxxSujeta a:

EJEMPLO 1

Un fabricante de radios portátiles desea conocer cuántasunidades de los tipos de aparatos que manufacturadeben producirse durante el siguiente periodo paramaximizar la utilidad.

Basándose en esta información, el fabricante estima quela demanda mínima para cada tipo de radio: A, B, C YD será de 250, 300, 250 y 200 unidades,respectivamente. El fabricante tiene disponibles 1000unidades de tiempo y 2000 unidades de materia primapara el siguiente periodo. A continuación se presentala información que consideramos esencial pararesolver el problema.

Tipo de radio Tiempo Materia prima Precio de venta

Costo de venta

A 2 3 300 200

B 3 2.2 420 280

C 4 2 360 240

D 1.5 2 250 150

En donde, por ejemplo, se requieren de 3.0 unidades detiempo y 2.2 unidades de materia prima para fabricar un radiode tipo B.Formule el problema mediante un modelo de PL.

Maximizar:43210 100120140100 xxxxx +++=

10005.10.40.30.2 4321 ≤+++ xxxxSujeta a :

20000.20.22.20.3 4321 ≤+++ xxxx

2501 ≥x

3002 ≥x

2503 ≥x

2004 ≥x

4,3,2,1,0 =≥ jx j

EJEMPLO 2Considere una empresa que utiliza tres tipos de maquinas:

cortadoras de metal, tornos universales y taladros radialespara fabricar cinco diferentes componentes mecánicos quese utilizan en la industria siderúrgica. Cada uno de estoscomponentes requiere invariablemente de cierta operaciónen cada tipo de máquina. Se supone que el ritmo deproducción es continuo y que cada uno de los componentesmecánicos debe ir primero a la cortadora, luego al torno yfinalmente al taladro. Además, se asume que el tiempo depreparación requerido para cada máquina al cambiar laproducción d un componente mecánico a otro, esdespreciable.

En la siguiente tabla se muestra la informaciónproporcionada por el departamento de ingenieríaindustrial de la empresa, la cual consta de:

a) Las horas de operación requeridas en cada tipo de máquina,por unidad de cada componente mecánico.b) El tiempo total disponible en cada tipo de maquina en horaspor semana.c) La utilidad que se obtiene por la venta de cada unidad paralos diferentes componentes mecánicos.

Tipo de maquinaComponente mecánico Tiempo total disponible

por semana1 2 3 4 5Cortadora 0.6 1 1.3 1 1 1920Torno 1.3 2.1 1.8 3 2.4 3360Taladro 2.1 1.7 2.3 1 1.5 2880Utilidad unitaria 4.2 8.4 9.5 6.21 7.3

El jefe del departamento desea determinar el programa deproducción semanal de los cinco componentes mecánicos paramaximizar la utilidad.Formule un modelo de PL para este problema.

543210 3.721.645.940.822.4 xxxxxx ++++=Maximizar:

192000.180.025.100.160.0 54321 ≤++++ xxxxx

336041.220.375.110.234.1 54321 ≤++++ xxxxx

28805.135.131.267.110.2 54321 ≤++++ xxxxx

5,.....2,1,0 =≥ jx j

Sujeta a :

RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad deproductos basados en sustancias químicas. En un procesode producción particular, se emplean tres materias primaspara producir dos productos: un aditivo para combustible yuna base para solvente. El aditivo para combustible sevende a compañías petroleras y se usa en la producción degasolina y combustibles relacionados. La base para solventese vende a una variedad de empresas químicas y se empleaen productos para limpieza en el hogar e industriales. Lastres materias primas se mezclan para fabricar el aditivopara combustible y la base para el solvente, tal como seindica en la tabla. Ésta nos muestra que una tonelada deaditivo para combustible es una mezcla de 0.4 toneladasdel material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una toneladade la base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas delmaterial 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas delmaterial 3.

ProductoAditivo para combustible Base para solvente

Material 1 0.4 0.5Material 2 0.2

Material 30.6 0.3

0.6 toneladas del material 3 se usan en cada tonelada de aditivo para combustible.

Material Cantidad disponible para la producción

Material 1 20 toneladasMaterial 2 5 toneladasMaterial 3 21 toneladas

El departamento de contabilidad analizó las cifras deproducción, asignó todos los costos relevantes y llegó a preciosque, para ambos productos, producirían una contribución a lautilidad de $40 por cada tonelada de aditivo para combustibleproducida y $30 por cada tonelada producida de base parasolvente.

210 3040 xxx +=Maximizar:

205.04.0 21 ≤+ xx

52.0 2 ≤x

213.06.0 21 ≤+ xx

0, 21 ≥xx

Sujeto a : Material 1

Material 2

Material 3

Como practica adicional en la formulación e interpretación de lasolución de computadora para programas lineales implican más de dosvariables de decisión, consideremos un problema de minimización queimplica tres variables de decisión. Bluegrass Farms, ubicado enLexington, Kentucky, ha estado experimentando con una dieta especialpara sus caballos de carrera. Los componentes alimentarios disponiblespara la dieta son un producto estándar para caballos, un producto deavena enriquecida y un nuevo aditivo alimentario de vitaminas yminerales. Los valores nutritivos en unidades por libra y los costos paralos tres componentes alimentarios se resumen en la tabla 8.3; porejemplo, cada libra del componente estándar contiene 0.8 unidades deingrediente A, 1 unidad del ingrediente B y 0.1 unidades del ingredienteC. Los requerimientos dietéticos mínimos diarios para cada caballo sontres unidades del ingrediente A, seis unidades del ingrediente B ycuatro unidades del ingrediente C. Además, para controlar el peso delos caballos, la alimentación diaria total para un caballo no debeexceder de 6 libras.

3210 350.025.0 xxxx ++=Minimizar:

32.08.0 21 ≥+ xx

60.35.10.1 321 ≥++ xxx

40.26.01.0 321 ≥++ xxx

0,, 321 ≥xxx

Sujeta a : Ingrediente A

Ingrediente B

Ingrediente C

6321 ≤++ xxx Peso

Componentealimentario

Estándar Avena enriquecida Aditivo

Ingrediente A 0.8 0.2 0.0Ingrediente B 1.0 1.5 3.0Ingrediente C 0.1 0.6 2.0

Costo por libra $0.25 $0.50 $3.00

Electronic fabrica sistemas de radio portátiles que pueden usarse paracomunicarse de dos vías. El nuevo producto de la compañía, con unalcance de hasta 25 millas, es adecuado para emplearse en una variedadde aplicaciones de negocios y personales. Los canales de distribuciónpara el nuevo radio son los siguientes:• Distribuidores de equipo marino.• Distribuidores de equipo de negocios.• Cadenas nacionales de tiendas de ventas al menudeo.• Correo directo.

La firma estableció el presupuesto de publicidad en $5000. Se disponede un máximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignarlas alesfuerzo de ventas de los radios. La administración decidió tambiénproducir exactamente 600 unidades para el periodo de producciónactual. Por último, un contrato en curso con una cadena nacional detiendas de ventas al menudeo requiere que al menos 150 unidades seandistribuidas a través de este canal de distribución.

Canal de distribución

Ganancia por unidad vendida

Costo depublicidad por unidad vendida

Esfuerzo de ventas

personales por unidad vendida

Distribuidores marinos

$90 $10 2 horas

Distribuidores de negocios

$84 $8 3 horas

Tiendas nacionales de ventas al

menudeo

$70 $9 3 horas

Correo directo $60 $15 Ninguna

43210 60708490 xxxxx +++=Maximizar:

5000159810 4321 ≤+++ xxxx

1800332 321 ≤++ xxx

6004321 =+++ xxxx

0,,, 4321 ≥xxxx

Sujeta a :Presupuesto de

publicidad

Disponibilidad de la fuerza de ventas

Nivel de producción

1503 ≥xRequerimiento de

tiendas de ventas al menudeo

La Think-Big Development Co. es una inversionista importante en proyectos dedesarrollo de bienes raíces comerciales. Actualmente tiene la oportunidad deinvertir en tres grandes proyectos de construcción. Proyecto 1: un edificio de oficinas de varios pisos. Proyecto 2: un hotel. Proyecto 3: un centro comercial.

Cada proyecto requiere que cada socio efectúe inversiones en cuatro momentosdistintos: un pago inicial ahora y capital adicional después de uno, dos, y tres años.Así, un socio que toma cierto porcentaje de participación está obligado a invertir eseporcentaje de cada cantidad mostrada en la tabla del proyecto. La administraciónestá dispuesta a comprometer todo el capital de inversión disponible hoy, así comoel capital de inversión adicional que se espera esté disponible durante los siguientestres años. Basado en las estimaciones actuales de flujos de efectivo futuros, todos losinversionistas, incluida Think- Big, lo repartirán luego en proporción a su parte de lainversión total.Para cada proyecto, 100 participantes de 1% (o fracciones de estas) se venden agrandes inversionistas, tales como Think-Big, quienes se convierten en socios delproyecto al invertir sus partes proporcionales en los cuatro tiempos especificados. SiThink-Big toma 10 participantes del proyecto 1, deberá proporcionar $4 millonesahora y luego $6 millones, $9 millones y $1 millón en los años uno, dos y tres,respectivamente. Hoy la compañía cuenta con $25 millones disponibles parainversión de capital. Las proyecciones se dispondrá de otros $20 millones en un año,$20 millones más después de dos años y otros $15 millones en tres años.

Uso de recurso por unidad de cada actividad (inversión acumulada por participación de 1%)

Recurso Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Cantidad de recursos

disponible

1 $0.40 millones $0.80 millones $0.90 millones $25 millones

2 $1.00 millones $1.60 millones $1.40 millones $45 millones

3 $1.90 millones $2.40 millones $1.60 millones $65 millones

4 $2.00 millones $3.10 millones $2.20 millones $80 millones

Contribuciónpor unidad

$0.45 millones $0.70 millones $0.50 millones

3210 5.07.045.0 xxxx ++=Minimizar:

259.08.04.0 321 ≤++ xxx

454.16.1 321 ≤++ xxx

656.14.29.1 321 ≤++ xxx

0,,, 4321 ≥xxxx

Sujeta a :Total de la

inversión actual

Total de la inversión dentro de 1 año

Total de la inversión dentro de 2 años

802.21.32 321 ≤++ xxxTotal de la inversión

dentro de 3 años

Un ganadero decide elaborar una mezcla para alimento deanimales a base de alfalfa, sorgo, avena, maíz, soya yharinolina. De cada 100 kilogramos de mezcla, desea que almenos 30 de ellos sean proteínas, no más de 40 sean decalcio, y como máximo 35 kilogramos de fósforo.A continuación se presenta la información del contenido dela mezcla y los precios de los ingredientes a combinar

Ingrediente Proteína (%) Calcio (%) Fósforo (%) Precio ($/kg)

Alfalfa 25 50 25 7

Sorgo 40 20 40 9Avena 10 30 60 8Maíz 65 15 20 20Soya 40 20 40 5

Harinolina 30 20 50 15

Además, no se pueden usar más de 10 kilogramos de harinolina ni másde 12 kilogramos de soya por cada 100 kilogramos de mezcla.

6543210 15520897 xxxxxxx +++++=Minimizar:

3030.040.065.010.040.025.0 654321 ≥+++++ xxxxxx

Sujeta a :

4020.020.015.030.020.050.0 654321 ≤+++++ xxxxxx

3550.040.020.060.040.025.0 654321 ≤+++++ xxxxxx

106 ≤x

125 ≤x

100654321 =+++++ xxxxxx

0,,,,, 654321 ≥xxxxxx

Claire Syverson, subdirectora de mercadotecnia de Super GrainCorporation, se enfrenta a un reto intimidante: como entrar a unmercado ya saturado de cereales para desayuno. Claire ya contrató auna empresa publicitaria líder, Giacomi & Jackowitz, para que leayuden a desarrollar una campaña promocional de cobertura nacionalque logrará la mayor exposición posible para Crunchy Start. SuperGrain pagará a esta firma honorarios basados en servicios realizados(sin exceder $1 millón) y ha asignado $4 millones adicionales paragastos de publicidad.Giacomi & Jackowitz ha identificado los tres medios publicitarios másefectivos para este producto: Medio 1: comerciales de televisión en programas infantiles sabatinos. Medio 2: anuncios en revistas de alimentos y orientadas a la familia. Medio 3: anuncios en los suplementos dominicales de los principales

periódicos.

El problema ahora es determinar qué niveles deben seleccionarse paraestas actividades publicitarias para obtener la mejor mezclapublicitaria.

Uso de recursos por unidad de cada actividad

Recurso Comerciales en TV

Anuncios en revistas

Anunciosdominicales

Cantidad de recursos disponible

1. Presupuestopara anuncios

$300000 $150000 $100000 $4 millones

2. Presupuesto para planeación

$90000 $30000 $40000 $1 millón

3. Espacios publicitarios en TV

1 0 0 5

Contribución por unidad

130 60 50

Contribución por unidad = número de unidades de exposiciónesperadas por anuncio.

3210 5060130 xxxx ++=Maximizar:

4000100150300 321 ≤++ xxxSujeta a :

1000403090 321 ≤++ xxx

0,, 321 ≥xxx

Gastos Publicitarios

Costos de planeación

Número de espacios de televisión

51 ≤x

United Airlines agregará más vuelos a y desde su aeropuerto base, de modo querequiere contratar más agentes de servicio a clientes. Sin embargo, no está clarocuántos más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlarcostos y de brindar un nivel de servicio satisfactorio para los clientes de lacompañía, de modo que se busca un trueque deseable entre estos dos factores. Sehe hecho un análisis basado en los nuevos horarios de vuelos del número mínimode agentes de servicio a clientes que deben estar de guardia en diferentes horas deldía para brindar un nivel satisfactorio de servicio a clientes. Una cláusula delacuerdo actual de la compañía con el sindicato que representa a los agentes deservicio a clientes dice que cada agente trabaja un turno de ocho horas y los turnosautorizados son: Turno 1: 6:00 am a 2:00 pm. Turno 2: 8:00 am a 4:00 pm. Turno 3: 12:00 pm a 8:00 pm. Turno 4: 4:00 pm a 12:00 am. Turno 5: 10:00 pm a 6:00 am.

El problema es determinar cuántos agentes deben asignarse a los respectivosturnos cada día para minimizar el costo total de personal debido a los agentes, altiempo que se cumplen (o sobrepasan) los requerimientos de servicio dados en laúltima columna.

Contribución al beneficio por unidad de actividad.

Beneficio Turno de las 6 am

Turno de las 8 am

Turno de las 12 pm

Turno de las 4 pm

Turno de las 10 pm

Nivel mínimo

aceptableAtiende de las 6-8 am 1 0 0 0 0 48Atiende de las 8-10 am 1 1 0 0 0 79

Atiende de 10 am - 12 pm 1 1 0 0 0 65

Atiende del 12-2 pm 1 1 1 0 0 87

Atiende de 2-4 pm 0 1 1 0 0 64

Atiende de 4-6 pm 0 0 1 1 0 73

Atiende de 6-8 pm 0 0 1 1 0 82

Atiende de 8-10 pm 0 0 0 1 0 43

Atiende de 10 pm - 12 am 0 0 0 1 1 52

Atiende de 12 am - 6 am 0 0 0 0 1 15

Costo unitario $170 $160 $175 $180 $195

543210 195180175160170 xxxxxx ++++=

Minimizar:

481 ≥xSujeta a :

7921 ≥+ xx

0,,,, 54321 ≥xxxxx

Total de agentes de 6 a 8 am

Total de agentes de 8 a 10 am

Total de agentes de 12 a 6 am155 ≥x

(En dólares)

.

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.

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