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Programa y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Equipo docente de Ecuaciones Diferenciales (http://www.ma1.upc.edu/ ~ ed/)

Programa y Problemas de Ecuaciones Diferenciales … · Ecuaciones Diferenciales y C alculo Integral de la titulaci on de Ingenier a Industrial impartida en la ... Los teoremas integrales

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  • Programa y Problemas de Ecuaciones Diferenciales

    Equipo docente de Ecuaciones Diferenciales

    (http://www.ma1.upc.edu/~ed/)

    http://www.ma1.upc.edu/~ed/

  • Version 1.0 : 12 de septiembre de 2012.Copyright cDepartamento de Matematica Aplicada 1 (MA1)

    La reproduccion total o parcial de esta coleccion, sin modificaciones, esta permitida por cualquierprocedimiento, incluyendo la reprografa y el tratamiento informatico, siempre y cuando consten losdatos del original, se haga sin animo de lucro y se siga este mismo criterio de distribucion.

    Si se distribuyen partes de esta coleccion, se deben incluir instrucciones sobre como obtener la versioncompleta.

    Cualquier traduccion o trabajo derivado de esta obra tiene que ser aprobado por los autores antes desu distribucion.

    Universidad Politecnica de Cataluna (UPC)Escuela Tecnica Superior de Ingeniera Industrial de Barcelona (ETSEIB)Departamento de Matematica Aplicada 1 (MA1)Rafael Ramrez Ros (RRR)Diagonal 64708028 Barcelona (Espana)mail: [email protected]: http://www.ma1.upc.edu/~ed/

    http://www.ma1.upc.edu/~ed/

  • Indice general

    Prefacio v

    Programa vii

    Calculo Vectorial 1

    Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) 11

    Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) 31

    iii

  • Prefacio

    Este material ha sido preparado por los profesores del Departamento de Matematica Aplicada 1(http://www.ma1.upc.edu/) que han trabajado durante los ultimos cuatrimestres en las asignaturasEcuaciones Diferenciales y Calculo Integral de la titulacion de Ingeniera Industrial impartida en laEscuela Tecnica Superior de Ingeniera Industrial de Barcelona (http://www.etseib.upc.edu/) dela Universidad Politecnica de Cataluna (http://www.upc.edu/). En estas paginas hay mas de cienproblemas y muchos se han extraido de antiguos examenes. As el estudiante sabra que nivel se esperade el.

    Cada problema va precedido de un descriptor que enfatiza el concepto principal que cada problematrata.

    Muchos problemas van seguidos de su solucion, pero se recomienda intentar resolverlos antes demirar las respuestas. Para facilitar eso, existe una version de esta recopilacion sin las soluciones. Decara a uniformizar la recopilacion, se han adoptado las notaciones usadas en unos apuntes que sepueden descargar de la pagina web de la asignatura.

    El recopilador espera que este trabajo resulte util y no contenga demasiados errores. Cualquiercomentario constructivo sera bienvenido.

    Rafael Ramrez RosBarcelona, a 12 de abril de 2012

    Aprende a resolver todos los problemas que ya hayan sido resueltos. (Richard Feynman)

    Me lo contaron y lo olvide. Lo vi y lo entend. Lo hice y lo aprend. (Confucio)

    Vale mas saber algo acerca de todo que saberlo todo acerca de una sola cosa. (Blaise Pascal)

    Si he logrado ver mas lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes. (Isaac Newton)

    Es mas facil saber como se hace una cosa que hacerla. (Proverbio chino)

    Si tiene solucion, por que te preocupas? Y si no, por que preocuparse? (Proverbio chino)

    Si vas a creer todo lo que lees, mejor no leas. (Proverbio japones)

    Empezar es la mitad de todo. (Proverbio griego)

    El que nada duda, nada sabe. (Proverbio griego)

    Errar es humano. (Proverbio romano)

    v

    http://www.ma1.upc.edu/http://www.etseib.upc.edu/http://www.upc.edu/

  • Programa

    1. Calculo Vectorial [24 horas]Aplicaciones.

    Integrales de funciones y campos sobre curvas.

    Integrales de funciones y campos sobre superficies.

    Los teoremas integrales fundamentales: Newton-Leibnitz, Green, Stokes y Gauss.

    2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) [20 horas]Nociones y resultados basicos.

    Sistemas lineales.

    Sistemas no lineales.

    Modelos

    3. Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) [12 horas]Las tres ecuaciones basicas: ondas, Laplace/Poisson y calor.

    Condiciones iniciales y condiciones de frontera.

    Leyes de conservacion.

    Linealidad: superposicion, homogeneizacion y unicidad.

    Formula de DAlembert para la cuerda vibrante infinita. Superposicion de ondas.

    Problemas de valor en la frontera (PVFs) para EDOs lineales de segundo orden.

    Separacion de variables. Modos normales.

    vii

  • Calculo Vectorial

    1. (Cicloide) Longitud del arco de cicloide (t) = (R(t sin t), R(1 cos t)), 0 t 2.

    8R.

    2. (Epicicloide) Longitud del arco de epicicloide con k cuspides parametrizado por

    (t) =(R(k + 1) cos tR cos((k + 1)t), R(k + 1) sin tR sin((k + 1)t)

    ), 0 t 2.

    8(k + 1)R.

    3. (Tiempo de navegacion) Calcular el tiempo teorico de navegacion entre Lisboa y Nueva Yorkal seguir una trayectoria con rumbo constante y navegando a 30 nudos.

    Suponemos que la Tierra es una esfera S de radio R. Dados dos puntos arbitrarios P0, P1 S,sea [0, ] el angulo formado por los vectores

    OP0 y

    OP1, donde O es el centro de la esfera. Por

    tanto, la distancia sobre la esfera entre los puntos P0 y P1 es la longitud del arco de circunferencia deradio R y angulo : dist(P0, P1) = R. Para calcular el angulo , basta observar que si j y /2 j /2 son las coordenadas geograficas longitud-latitud de Pj, entonces

    cos =

    OP0,

    OP1

    OP0OP1 = (cos 0 cos 1 + sin 0 sin 1) cos0 cos1 + sin0 sin1= cos(1 0) cos0 cos1 + sin0 sin1= [1 + cos(1 0)] cos(1 0) [1 cos(1 0)] cos(1 + 0).

    En Wikipedia descubrimos que el radio medio de la Tierra es R 6371 kilometros, las coordenadasgeograficas de Lisboa (punto P0) son

    (0, 0) = (9o8W, 38o43N) (0,1594067, 0,6757333),

    y las coordenadas geograficas de Nueva York (punto P1) son

    (1, 1) = (74o0W, 40o43N) (1,2915436, 0,7106399).

    As pues, el angulo es 0,8510653 radianes y la distancia es R 5422 kilometros1. Un nudoson 1,852 km/h, luego necesitamos aproximadamente 5422/(30 1,852) 97,59 horas para realizar latravesa. Casi cuatro das.

    4. (Cinta de casete) Un cinta de casete de 16 micrometros de espesor se enrolla en una bobinacuyo radios interior y exterior miden r0 = 1,11 y r1 = 2,46 centmetros, respecticamente.Cuanto mide la cinta de la bobina? (Indicacion: Aproximar la forma de la bobina por lacurva descrita en polares mediante la ecuacion r = g() = c, 0 1, siendo c > 0 unaconstante a determinar, luego rj = cj .)

    1El resultado que aparece en otros sitios vara un poco por dos motivos: 1) La Tierra no es perfectamente esferica

    y 2) Ambas ciudades son grandes, luego sus coordenadas geograficas no estan definidas con precision.

    1

    http://en.wikipedia.org/wiki/Cycloidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Epicycloidhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/casete/casete.htm

  • Determinamos c imponiendo que el radio aumente 16 micrometros al dar una vuelta completa. Esdecir, imponemos que 16106 = g(+2)g() = 2c, luego c = 8106/. Entonces 0 = 0,0111/c,1 = 0,0246/c y la longitud total de la cinta es 1

    0

    (g()

    )2+(g()

    )2d = c

    10

    1 + 2 d =

    c

    2

    [

    1 + 2 + ln +1 + 2]=1

    =0

    94,6 metros.

    5. (Masa helice) Masa de una espira de la helice de radio R y altura h parametrizada por

    (t) = (R cos t, R sin t, ht/2), 0 t 2,si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia al origen, siendo k > 0 la constantede proporcionalidad.

    m = kh2

    82

    1 + a

    [tt2 + a+ a log

    t+t2 + a]t=2t=0

    , donde a = 42R2/h2.

    6. (Masa cardiode) Masa de la cardiode definida en polares por r = R(1+cos ) si la densidad encada punto es propocional a la raz cuadrada de la distancia al origen, siendo k la constantede proporcionalidad.

    m = 23/2kR3/2.

    7. (Masa helice conica) Masa del arco de helice conica parametrizada por

    (t) = (Ret cos t, Ret sin t, Ret)

    que une los puntos A = (R, 0, R) y B = (0, Re/2, Re/2) si su densidad lineal viene dada por((t)) = ket, para algun k > 0.

    m =

    3(e 1)kR/2.

    8. (Masa semicircunferencia) Masa de la semicircunferencia de radio R si su densidad lineal esproporcional al cubo de la distancia a la recta que parte la circunferencia en dos, siendo k > 0la constante de proporcionalidad.

    m = 4kR4/3.

    9. (Valla) Area y altura media de la valla cuya base es el cuarto de astroide parametrizado por

    (t) = (30 cos3 t, 30 sin3 t), 0 t /2,y cuya altura esta dada por la funcion h(x, y) = 1 + y/3.

    Area = 225; h = 5.

    10. (Motivando el teorema de Green) CirculacionCxdy ydx, siendo C el cuadrado de lado 2L

    y centro (x0, y0) recorrido en sentido antihorario.

    Esta circulacion resulta ser el doble del area del cuadrado. Es decir, 8L2.

    11. Circulacion del campo F (x, y, z) = (z, x, y) a lo largo de la curva C parametrizada por

    (t) = (t, t2, t3), 0 t 1.

    Czdx+ xdy + ydz =

    Czdx+

    Cxdy +

    Cydz = 1/4 + 2/3 + 3/5 = 91/60.

    2

    http://en.wikipedia.org/wiki/Helixhttp://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid

  • 12. (Helicoide) Area del helicoide parametrizado por

    (r, ) = (r cos , r sin , h), (r, ) D = [0, R] [0, 2].

    Area = [RR2 + h2 + h2 ln

    ((R+R2 + h2

    )/h)]

    .

    13. (Porcion plano) Area de la superficie S contenida en el plano x+y+ z = 1 sobre la elipseD = {(x, y) R2 : x2 + 2y2 1}.

    Area(S) =

    3 Area(D) =

    3/2.

    14. (Angulo solido y estereorradianes) El angulo solido de una porcion S de la esfera de radioR se define como (S) := Area(S)/R2 y se mide en estereorradianes. La esfera tiene 4estereorradianes.a) Sea SR, la porcion de la esfera de radio R subtendida por un cono con vertice en el centro

    de la esfera y semiangulo . Para que valor del semiangulo se cumple que (SR,

    )= 1?

    b) Probar que el area del casquete esferico de radio R y altura h < R dado por

    CR,h ={

    (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = R2, z R h}

    es igual al area de la cara lateral del cilindro de radio R y altura h.

    a) Area(SR,) = 20

    ( /2/2R

    2 cosd)

    d = 2(1 cos)R2. Por tanto, (SR,)

    es igual

    a un estereorradian cuando 2(1 cos) = 1. O sea, cuando = acos(1 1/2) 0,5719537610radianes. b) Basta notar que el casquete CR,h es una porcion del tipo SR, con h = (1 cos)R.

    15. (Solido de Steinmetz: Wikipedia y MathWorld) Area y volumen de la interseccion de doscilindros de radio R cuyos ejes se cortan perpendicularmente.

    Area = 16R2 y Vol = 16R3/3.

    16. (Centros geometricos por Guldin) Calcular el centro geometrico de la semicircunferencia y elsemicrculo de radio R.

    Si escribimos C = {(r, z) R2 : r2 + z2 = R2, r 0} y D = {(r, z) R2 : r2 + z2 R2, r 0},entonces CG(C) = (2R/, 0) y CG(D) = (4R/3, 0).

    17. (Napkin ring problem) Calcular el volumen y el area de la figura que se obtiene al perforaruna bola de radio R con una broca cilndrica de radio r < R que pasa por el centro. Comprobarque si h es la altura del agujero, entonces el volumen solo depende de h, mientras que elarea es igual al area conjunta de las dos caras laterales de unos cilindros de radios r y R eigual altura h.

    Vol = h3/6, donde r2 + (h/2)2 = R2. Area = 2(r +R)h.

    18. (Curva y boveda de Viviani) Consideramos una esfera de radio 2R y un cilindro que es tangentea la esfera en un punto y pasa por el centro de la esfera. En coordenadas podemos escribir laesfera como E x2 + y2 + z2 = 4R2 y el cilindro como Q (xR)2 + y2 = R2.a) La interseccion E Q da lugar a una curva de longitud cR para alguna constante c. Dar

    un formula integral para c. No hace falta calcular la integral.b) Calcular el area de las porciones S+1 y S

    1 de la esfera contenidas en el interior del cilindro.

    c) Calcular el area de la porcion S2 del cilindro contenido en el interior de la esfera.

    3

    http://en.wikipedia.org/wiki/Helicoidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Solid_anglehttp://en.wikipedia.org/wiki/Steradianhttp://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_caphttp://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solidhttp://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Centroidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Guldinus_theoremhttp://en.wikipedia.org/wiki/Napkin_ring_problemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Viviani's_curve

  • c = 2 20

    1 + cos2(t/2)dt 15,2808. Area(S1 ) = 4( 2)R2. Area(S2) = 16R2.

    19. (Semiesfera) Centro geometrico de las semiesferas solida y hueca de radio R.

    Si S = {(x, y, z) R3 : x2+y2+z2 = R2, z 0} y W = {(x, y, z) R3 : x2+y2+z2 R2, z 0},entonces CG(S) = (0, 0, R/2) y CG(W ) = (0, 0, 3R/8).

    20. (Cargas en un cono) Carga total en la cara lateral del cono de altura h y radio R si la densidadde carga es proporcional a la distancia a la base, siendo k > 0 la constante de proporcionalidad.

    La carga total es la integral de la densidad de carga, luego kRhR2 + h2/3.

    21. (Cargas en un hiperboloide de dos hojas) Carga total en la superficie

    S = {(x, y, z) R3 : z2 = x2 + y2 + a2, a z a

    2}

    si la densidad de carga es e(x, y, z) = kz, con k > 0.

    La carga total es la integral de la densidad de carga: Q(S) =SedS =

    (3 1/3

    )ka3.

    22. (Planos tangentes de un elipsoide) Consideramos el elipsoide

    S ={

    (x, y, z) R3 : x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}

    orientado segun su vector normal unitario exterior N . Sea f : S R+ la funcion dada porf(p) = dist(O, TpS), donde O = (0, 0, 0) es el origen y TpS es el plano tangente al elipsoideen el punto p.a) Calcular

    Sf dS.

    b) Probar que la componente normal del campo F (x, y, z) = (x/a2, y/b2, z/c2) es igual aFN := F ,N = 1/f . Calcular el flujo

    SF , dS.

    c) Calcular el flujoSG, dS, siendo G(x, y, z) = zF (x, y, z).

    a) 4abc. b) 4abc(1/a2 + 1/b2 + 1/c2

    )/3. c) 0, por la simetra especular del elipsoide.

    23. (Forma de un chorro de agua) Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequenochorro de agua, cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo. Calcular la forma delchorro en funcion del radio inicial r0, la velocidad inicial v0 y la intensidad de la gravedad g,suponiendo que la componente vertical de la velocidad es constante en cada seccion horizontal.

    Sean r = r(h), v = v(h) y f = f(h) = r2v el radio del chorro, la velocidad del chorro y el flujo de

    agua en funcion de la distancia h. Sabemos que v2 = v20 + 2gh (movimiento uniformente acelerado) y

    f(h) es constante (fluido incompresible). Por tanto, r20v0 = f(0) = f(h) = r2(h)

    v20 + 2gh, luego

    r(h) = (1 + 2gh/v20)1/4r0. Obviamente, r(0) = r0 y el radio r(h) es decreciente en h.

    24. (Flujo a traves de dos superficies) Flujo del campo F (x, y, z) = (x2,y2, z2) a traves de:a) La frontera de W =

    {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 3R2, 0 z

    x2 + y2 R2

    }.

    b) El octante de esfera S ={

    (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = R2, x, y, z 0}

    .En ambos casos orientados segun la normal exterior.

    a) R4. b) R4/8.

    4

    http://en.wikipedia.org/wiki/Conehttp://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoidhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli/bernouilli.htm

  • 25. (Flujo a traves de un cilindro) Flujo del campo F (x, y, z) = (2x,y, 0) a traves de la superficie

    S ={

    (x, y, z) R3 : x2 + y2 = R2, x, y 0, 0 z h}

    orientada segun la normal exterior.

    R2h/4.

    26. (Flujo a traves de un paraboloide elptico) Flujo del campo F (x, y, z) =(x2, y2, z2

    )a traves de

    la superficie

    S ={

    (x, y, z) R3 : z = h(x2 + y2)/R2, z h}

    orientada segun la normal interior.

    R2h2/3.

    27. (Flujo a traves de un paraboloide hiperbolico) Flujo del campo r(x, y, z) = (x, y, z) a traves dela porcion S del paraboloide P z = h(x2 y2)/L2 cortada por los tres planos 1 x = 0,2 x = L y 3 z = 0 orientada segun el vector k = (0, 0, 1) en el punto O = (0, 0, 0).

    Sr, dS = hL2/3. (Nota: Este campo tiene divergencia constante.)

    28. (Flujo saliendo de un solido de revolucion) Flujo del campo F (x, y, z) = (2x2, 3y2, z2) a travesde la frontera del solido

    W ={

    (x, y, z) R3 :x2 + y2 z

    2R2 x2 y2

    }orientada segun la normal exterior.

    R4.

    29. (Campos provenientes de potencial escalar) Calcular las siguientes circulaciones:a) Campo F (x, y, z) = (2xy + z3, x2, 3xz2) a lo largo de la helice parametrizada por

    (t) = (cos t2, sin t2, t2), 0 t .

    b) Campo F (x, y, z) = (ey, xey, 2z) a lo largo de la curva parametrizada por

    (t) =

    (1 + t

    t1

    eu2

    du, t, t2), 0 t 1.

    a) El potencial escalar es f(x, y, z) = x2y+xz3, luegoF , d` = f(1, 0, )f(1, 0, 0) = 3.

    b) El potencial escalar es f(x, y, z) = xey + z2, luegoF , d` = f(1, 1, 1) f(1, 0, 0) = e.

    30. (Area de la cicloide) Probar, usando Green, que el area comprendida entre el eje horizontal yel arco de la cicloide de radio R (ver problema 1) es el triple del area del crculo de radio R.

    31. (El area de la rosa) Probar, usando el teorema de Green, que el area de la rosa dada encoordinadas polares por la ecuacion r = R cos k es igual a la mitad (respectivamente, lacuarta parte) del area del crculo de radio R si k es par (respectivamente, si k es impar).

    Observacion: Existen dos interpretaciones opuestas del significado de la ecuacion r = g().En la primera, como la distancia al origen no puede ser negativa, se entiende que la curvaesta formada por los puntos que en coordenadas polares son de la forma r = g() > 0. En esteproblema seguimos la segunda, que consiste en parametrizar la curva mediante la aplicacion() = (g() cos , g() sin ) y considerarla bien definida incluso cuando g() < 0.

    5

    http://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Solid_of_revolutionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid#Areahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rosa_polar

  • Primero se prueba que el area de cada petalo es igual a R2/4k. Despues se observa que la rosa

    tiene k petalos si k es impar y 2k petalos cuando k es par.

    32. (Signo de una circulacion) Consideramos el campo F (x, y) = (y, 0) y la circunferencia C deradio uno centrada en el origen orientada en sentido antihorario.a) Deducir mediante un razonamiento grafico cual es el signo de la circulacion

    CF , d`.

    b) Calcular la circulacion anterior usando Green.

    Negativo.CF , d` =

    Cydx = Area(D) = , siendo D el crculo encerrado por C.

    33. (Dominio plano no simplemente conexo) Verificar el teorema de Green con el campo F (x, y) =(2x3 y3, x3 + y3) y la corona

    D ={

    (x, y) R2 : a2 x2 + y2 b2}.

    Por un lado,DrotF ,kdxdy = 3

    D

    (x2 + y2)dxdy = 3( 2

    0d)( b

    ar3 dr

    )= 3(b4 a4)/2.

    Por otro lado, si CR denota a la circunferencia de radio R centrada en el origen orientada en sentidoantihorario, vemos queCR

    F , d` = R4

    (cos4 t+ sin4 t+ funcion impar

    )dt = R4

    (3 + cos 4t)/4dt = 3R4/2,

    luegoDF , d` =

    CaF , d`+

    C+

    bF , d` =

    CbF , d`

    CaF , d` = 3(b4 a4)/2.

    [email protected]

    @@@@@@@vE

    vM'

    &

    $

    %D

    C

    ? 6

    b

    a

    y

    x

    Figura 1. Esquema de un planmetro polar.

    34. (El planmetro: Wikipedia & Applet de JAVA) El planmetro polar es un instrumento mecanicopara medir areas de dominios planos. Tiene la forma de una regla con dos brazos, ver figura.Uno conecta el extremo fijo O = (0, 0) con un punto movil E = (a, b), mientras que el segundoconecta el punto E con un segundo punto movil M = (x, y). En el extremo M hay una pequenarueda perpendicular al brazo EM . Supondremos que los brazos OE y EM tiene longitudes ly L, respectivamente. Entonces el punto M determina el punto E como la interseccion de lacircunferencia de radio l centrada en O y la circunferencia de radio L centrada en M . Esta

    6

    http://mathinsight.org/greens_theorem_exampleshttp://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_spacehttp://en.wikipedia.org/wiki/Planimeterhttp://www.mathematik.com/Planimeter/

  • interseccion es unica si el angulo entre los dos brazos del planmetro es menor que radianes.Por tanto, podemos considerar que a = a(x, y) y b = b(x, y).

    El metodo para determinar el area de un dominio plano simplemente conexo S R2consiste en mover el punto M sobre la frontera C = S en sentido antihorario. La rueda enM mide el desplazamiento en la direccion ortogonal al brazo. En este problema veremos queel area buscada es igual a L veces el desplazamiento total de la rueda.a) Probar que ax + by 1 derivando las ecuaciones a2 + b2 l2 y (x a)2 + (y b)2 L2.b) Sea F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) el vector de norma L ortogonal al brazo EM en el extremo

    M = (x, y) dado por P (x, y) = b(x, y) y y Q(x, y) = x a(x, y). Probar queC+F , d` = Area(D).

    c) Sea d la distancia recorrida por la rueda al completar el recorrido antihorario a lo largode la curva C = D. Razonar que

    C+F , d` = Ld.

    35. (Un dominio plano con tres agujeros) Sea C la frontera del dominio D R2 obtenido al quitartres discos de radio uno con centros en (3, 0), (0, 0) y (3, 0) del disco de radio diez centradoen (1, 0). Calcular la circulacion

    C

    (y + x3 cos(x2)

    )dx+

    (ey

    2

    + 2x)

    dy

    orientando la mayor circunferencia de C en sentido horario y las tres menores en sentidoantihorario.

    Si C+ = D esta orientada segun el vector k, entonces la orientacion que nos piden es C.

    Sea P (x, y) = y + x3 cos(x2) y Q(x, y) = ey2

    + 2x. Aplicando Green sabemos queC P dx+Qdy =

    C+

    P dx+Qdy = D

    (QxPy)dxdy = D

    dxdy = Area(D) = (102) = 97.

    36. (Stokes en un triangulo) CirculacionCy2 dx+ zdy+ xdz siendo C el triangulo formado al

    intersecar el plano 2x + 2y + z = 6 con los tres ejes de coordenadas orientado segun elvector normal unitario N(x, y, z) = (2, 2, 1)/

    9.

    Cy2 dx+ zdy+ xdz =

    Sdydz dzdx+ 2ydxdy =

    D

    (2y 4)dxdy = 9, donde S es elinterior del triangulo C y D es el el interior del triangulo de vertices (0, 0), (3, 0) y (0, 3). Es decir,

    D es la proyeccion de S sobre {z = 0}.

    37. (Flujo a traves de una superficie C1 a trozos) Sea S = S1 S2 R3 la superficie definida porS1 =

    {(x, y, z) R3 : x2 + y2 = 1, 0 z 1

    },

    S2 ={

    (x, y, z) R3 : x2 + y2 + (z 1)2 = 1, z 1}

    orientada segun la normal exterior. Sea F (x, y, z) =(x+ xz + yz2, y + xyz3, x2z4

    ). Calcular

    SrotF , dS.

    SrotF , dS =

    CF , d` =

    Cxdx+ydy = 0, pues C = {(x, y, z) R3 : x2 +y2 = 1, z = 0}.

    38. (Larson & Edwards, novena edicion, pagina 1134) Verificar el teorema de Stokes con el campoF (x, y, z) = (2z, x, y2) y la porcion de paraboloide circular

    S ={

    (x, y, z) R3 : z = 4 x2 y2, z 0}

    orientada de forma que la frontera C = S deba recorrerse en sentido antihorario.

    7

  • SrotF , dS = 4 =

    CF , d`.

    39. (Flujo saliendo de un cubo) Flujo del campo F (x, y, z) = (4xz,y2, yz) a traves de la fronteradel cubo unidad W = [0, 1]3 orientada segun la normal exterior.

    WF , dS =

    W

    (4z y)dxdydz = 3/2.

    40. (Flujo de un campo central saliendo de una esfera) Sea F un campo central sin singularidades.Es decir, F = h(r)r, donde r(x, y, z) = (x, y, z), r2(x, y, z) = x2 + y2 + z2 y h(r) es unafuncion de clase C1 en el intervalo [0,+). Sea SR la esfera de radio R centrada en el origenorientada segun la normal exterior.a) Calcular el flujo

    SRF , dS integrando la componente normal del campo sobre la esfera.

    b) Calcular el flujoSRF , dS aplicando Gauss.

    c) Comparar el resultado con la ley de Gauss.SRh(r)r, dS = 4R3h(R). La ley de Gauss dice que

    SRr/r3, dS = 4, luego este resultado

    la generaliza, aunque solo vale para esferas centradas en el origen, mientras que la ley de Gauss es

    valida para cualquier superficie cerrada que no pase por el origen.

    41. (Tapando un cilindro [1]) Flujo del campo F (x, y, z) = (4x,2y2, z2) a traves de la superficie

    S ={

    (x, y, z) R3 : x2 + y2 = 4, 0 z 3}

    orientada segun la normal exterior.

    48.

    42. (Tapando un cilindro [2]) Consideramos la porcion de cilindro dada por

    S ={

    (x, y, z) R3 : x2 + y2 = 4, 0 z 5}.

    a) Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (2x, y, 3z) a traves de la superficie S orientadasegun el vector normal unitario N(x, y, z) = (x/2, y/2, 0).

    b) Calcular la circulacion del campo F a lo largo de la frontera S orientada segun el mismovector normal.

    c) Calcular la circulacion del campo F a lo largo de cada componente conexa de la fronteraS orientadas segun el mismo vector normal.

    a)SF , dS = 60. b) El campo es irrotacional, luego

    SF , d` = 0, por Stokes. c) Sean

    C0 y C5 las dos componentes de la frontera, donde Ca = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 = 4, z = a}.Como Ca = Sa es la frontera del crculo Sa = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 4, z = a}, ambascirculaciones son iguales a cero, por Stokes. Conviene notar que si hicieramos el calculo segun la

    definicion, deberamos tener cuidado al orientarlas. Concretamente, mirandolas desde arriba, C5 se

    recorre en sentido horario y C0 en sentido antihorario.

    43. (Tapando una porcion de esfera) Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (x, 0, x + z) atraves de la porcion de esfera dada por

    S ={

    (x, y, z) R3 : x2 + (y 5)2 + (z 5)2 = 25, y 9, z 1}

    orientada segun el vector normal unitario N(x, y, z) = (x, y 5, z 5).SF , dS = 9. (Los calculos se simplifican pues el campo es solenoidal.)

    8

    http://en.wikipedia.org/wiki/Central_force

  • 44. (Tapando una porcion de elipsoide) Consideramos la porcion de elipsoide dada por

    S ={

    (x, y, z) R3 : x2 + 2y2/3 + z2 = 1, y 1, z 2/3}.

    a) Calcular la circulacionCzdx + ydy xdz, siendo C = S {y = 1} orientada segun el

    vector tangente T (x, 1, z) = (z, 0, x).b) Calcular el flujo

    S

    dzdx orientando S de forma compatible con la orientacion anterior.

    a)Czdx+ ydy xdz = 2/3. b)

    S

    dzdx =Sj, dS = /3.

    45. (Tapando una superficie de revolucion) Flujo de F (x, y, z) = (2exy, exy2, 1) a traves de

    S ={

    (x, y, z) R3 : (x 2)2 + (y 2)2 = z4, 1 z 2}

    orientada segun el vector normal N(x, y, z) = (x 2, y 2,2z3).SF , dS = 15. (Los calculos se simplifican pues el campo es solenoidal.)

    46. (Ejemplo de tapa no plana) Flujo del campo F (x, y, z) (1, 0, 2) a traves de la porcion delparaboloide elptico

    S ={

    (x, y, z) R3 : z = x2 + 4y2, z 3y2 + 1}

    orientada segun el vector normal con componente vertical positiva.SF , dS = 2. (Los calculos se simplifican pues el campo es constante.)

    9

    http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_of_revolution

  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs)

    1. (Diferencia entre orbita y trayectoria) Sea F : U Rn Rn un campo vectorial de clase C1.a) Que relacion existe entre las orbitas de los sistemas x = F (x) y x = F (x)? Y entre

    sus trayectorias?b) Que relacion existe entre las orbitas de los sistemas x = F (x) y x = 2F (x)? Y entre

    sus trayectorias?

    a) Son las mismas orbitas, pero sus respectivas trayectorias las recorren en sentido contrario.b) Son las mismas orbitas, pero sus respectivas trayectorias las recorren a distinta velocidad aunque

    en el mismo sentido.

    2. (Determinacion del sentido de giro) Consideramos el campo de vectores asociado al sistema{x = x(1 y)y = y(x 1) .

    En que puntos es horizontal el campo de vectores? Y vertical? Sabiendo que todas lastrayectorias contenidas en el primer cuadrante dan vueltas alrededor del punto (1, 1), decir siesas trayectorias giran en sentido horario o antihorario.

    La velocidad v = (x, y) en la posicion p = (x, y) R2 viene dada por

    x = x(1 y), y = y(x 1).

    Por tanto, los puntos con velocidad horizontal estan situados sobre el eje horizontal {y = 0} o la rectavertical {x = 1}, mientras que los puntos con velocidad vertical estan situados sobre el eje vertical{x = 0} o la recta horizontal {y = 1}. El sentido de giro se determina mediante el campo de vectores.Si (x, y) es un punto del primer cuadrante situado por debajo del punto (1, 1) es decir, x > 0 y

    0 < y < 1, su velocidad v apunta hacia la derecha, pues x = x(1 y) > 0. En cambio, cuandoesta por encima del punto (1, 1), su velocidad apunta a la izquierda. Esto implica que las trayectorias

    del primer cuadrante giran en sentido antihorario alredededor del punto (1, 1).

    3. (Preguntas sobre un SNL 2D) Consideramos las trayectorias del sistema{x = yy = (1 x2)y x .

    a) Viendo que la velocidad en el origen es nula, puede pasar una trayectoria por el origensin quedarse all? Por que?

    b) Si la trayectoria parte de un punto de la recta x = 1, inicialmente se mueve hacia arribao hacia abajo?

    c) Describir el lugar geometrico de los puntos (x, y) en los cuales el modulo de la velocidadde la trayectoria coincide con la distancia al origen.

    a) No. La trayectoria (x(t), y(t)) (0, 0) es una solucion del sistema, luego no puede existir otrasolucion que pase por el origen debido al teorema de existencia y unicidad de soluciones.

    b) Si x = 1, entonces y = 1 < 0, luego trayectoria inicialmente se mueve hacia abajo.

    11

  • c) El modulo de la velocidad en (x, y) es

    (x)2 + (y)2 =x2 + y2 + y(1 x2)((1 x2)y 2x).

    La distancia del punto (x, y) al origen esx2 + y2. Por tanto, hemos de resolver la ecuacion

    y(1 x2)((1 x2)y 2x

    )= 0.

    El lugar geometrico de los puntos que cumplen la ecuacion anterior esta formado por la rectahorizontal y = 0, las dos rectas verticales x = 1 y la grafica de la funcion y = 2x/(1 x2).

    4. (Maximos y mnimos en una EDO de primer orden no autonoma) Sea x(t) la solucion del PVI

    x = (t x)x, x(t0) = x0.Para que condiciones iniciales (t0, x0) es constante la funcion x(t); es decir, x(t) x0? Paraque condiciones iniciales tiene x(t) un maximo local estricto en t = t0? Y un mnimo?

    La funcion constante x(t) x0 cumple la EDO si y solo si x0 = 0. A partir de ahora suponemosque x0 6= 0. Notamos que x(t0) = (t0 x(t0))x(t0) = (t0 x0)x0 y

    x(t0) = (t0 x(t0))x(t0) + (1 x(t0))x(t0) = (t0 x0)2x0 (t0 x0)x20 + x0.Por tanto,

    Si x0 = t0 > 0, entonces x(t0) = 0, x

    (t0) = x0 > 0 y x(t) tiene un mnimo local estricto ent = t0.Si x0 = t0 < 0, entonces x

    (t0) = 0, x(t0) = x0 < 0 y x(t) tiene un maximo local estricto en

    t = t0.

    5. (Maximos y mnimos en un SNL 3D autonomo) Sean x, y, z : R R las soluciones del PVI x = yz x(0) = 0y = xz y(0) = 1z = xy z(0) = 1

    .

    Tiene alguna de esas tres funciones un mnimo local estricto en t = 0? Y un maximo?

    En primer lugar, evaluamos las primeras derivadas usando el sistema:

    x(0) = y(0)z(0) = 1 6= 0, y(0) = x(0)z(0) = 0, z(0) = x(0)y(0) = 0.As pues, la funcion x(t) no tiene un punto crtico en t = 0. Derivamos el sistema para calcular lassegundas derivadas de las funciones que tienen un punto crtico en t = 0.

    y(0) = x(0)z(0) x(0)z(0) = 1 < 0, z(0) = x(0)y(0) x(0)y(0) = 1 < 0.

    Luego x(t) es creciente en t = 0, miestras que y(t) y z(t) tienen un maximo local estricto en t = 0.

    6. (Retrato de fases de una EDO de primer orden autonoma) Dibujar el retrato de fases de

    x = sinx, x R.a) Calcular todos sus puntos de equilibrio y la estabilidad de cada uno.b) Existe alguna solucion que escape a mas o menos infinito? Razonar la respuesta.c) Existe alguna solucion 2-periodica no constante? Razonar la respuesta.d) Dadas dos soluciones arbitrarias no constantes x1(t) y x2(t), consideramos los lmites

    x1(+) = lmt+

    x1(t), x2(+) = lmt+

    x2(t).

    Que posibles valores puede tomar la diferencia x1(+) x2(+)?

    a) Los puntos de equilibrio cumplen sinx = 0, luego son los multiplos enteros de . La solucioncrece cuando x = sinx > 0 y decrece cuando x = sinx < 0. Por tanto, si notamos por xn = n,n Z, a los puntos de equilibrio y por In = (xn, xn+1) a los intervalos que delimitan, vemosque la solucion x(t) crece cuando esta contenida en In con n par, pero decrece si n es impar.Entonces los puntos de equilibrio xn son repulsores si n es par y atractores si n es impar.

    12

  • b) No, pues cualquier solucion no constante esta confinada entre dos posiciones de equilibrio.c) No, pues cualquier solucion no constante esta confinada entre dos posiciones de equilibrio, ten-

    diendo a una de ellas cuando t + y a la otra cuando t .d) Multiplos enteros de 2, pues x1(+) y x2(+) son puntos de equilibrio atractores.

    7. (Sistema desacoplado 2D) Dibujar el retrato de fases del sistema

    {x = x+ 3x2 2x3y = 2y .

    Decir cual es la cuenca de atraccion de cada punto de equilibrio atractor.

    Hay tres puntos de equilibrio: (0, 0), (1/2, 0) y (1, 0). El segundo es inestable (pero no repulsor),

    los otros dos son atractores. Las ecuaciones estan desacopladas, luego se estudian por separado. Por

    ejemplo, lmt+ y(t) = lmt+ y0e2t = 0 para cualquier condicion inicial y0. La ecuacion de la

    componente x(t) se estudia como la ecuacion logstica. Las cuencas de atraccion de los puntos (0, 0)

    y (1, 0) son los semiplanos {(x, y) R2 : x < 1/2} y {(x, y) R2 : x > 1/2}, respectivamente. Lospuntos situados sobre la recta {x = 1/2} son los unicos que tienden al punto de equilibrio intermedio.

    8. (SLs homogeneos a coeficientes constantes) Calcular una matriz fundamental y la soluciongeneral de los siguientes sistemas lineales x = Ax.

    a) A =

    (1 32 4

    ).

    b) A =

    (3 4

    2 1

    ).

    c) A =

    (0 11 2

    ).

    Advertencia: La ultima matriz no diagonaliza, pues = 1 es un VAP doble de multiplicidadgeometrica uno. Para obtener dos soluciones linealmente independientes del sistema podeisbuscar dos vectores linealmente independientes u,v R2 tales que Au = u + v y Av = v,y aplicar el primer ejercicio de la pagina 6 de los apuntes.

    Si X(t) es una matriz fundamental cualquiera, entonces xh(t) = X(t)c es la solucion general.Por tanto, basta calcular matrices fundamentales.

    a) X(t) =

    (3et e2t

    2et e2t)

    .

    b) X(t) =

    (2 cos 2t 2 sin 2t

    sin 2t cos 2t (sin 2t+ cos 2t)

    )et.

    c) X(t) =

    (1 + t 1t 1

    )et.

    9. (Existencia de soluciones acotadas) Calcular la solucion del PVI x = Ax, x(0) = x0, donde

    A =

    2 3 00 1 00 0 1

    , x0 = 32

    1

    .Tiene el sistema x = Ax alguna solucion x(t) acotada para todo t R?

    La solucion general del sistema es xh(t) =

    c1e2t + c2etc2etc3e

    t

    , con c1, c2, c3 R libres. Portanto, la unica solucion del sistema acotada en toda la recta real es la funcion identicamente nula. La

    solucion del PVI se obtiene tomando c1 = c3 = 1 y c2 = 2; es decir, x(t) =

    e2t + 2et2etet

    .13

  • 10. (Variacion de las constantes) Resolver los sistemas no homogeneos x = Ax + b(t), donde

    a) A =

    (3 32 2

    )y b(t) =

    (41

    ).

    b) A =

    (0 21 3

    )y b(t) =

    (et

    et)

    .

    c) A =

    (1 11 1

    )y b(t) =

    (et cos tet sin t

    ).

    La soluciones generales de estos sistemas son:

    a) xg(t) = c1

    (11

    )+ c2

    (32

    )et

    (15 + 11t10 + 11t

    ), con c1, c2 R libres.

    b) xg(t) = c1

    (21

    )et + c2

    (11

    )e2t +

    (3 + 4t3 + 2t

    )et, con c1, c2 R libres.

    c) xg(t) = c1

    (cos tsin t

    )et + c2

    ( sin t

    cos t

    )et +

    (cos tsin t

    )tet, con c1, c2 R libres.

    11. (SL con termino no homogeneo constante) Resolver el sistema x = Ax + b, donde

    A =

    (1 01 1

    ), b =

    (01

    ).

    Buscamos una solucion particular constante: xp(t) v, lo cual nos lleva al sistema Av = b,

    luego v =

    (01

    ). La solucion del sistema homogeneo es xh(t) = c1

    (21

    )et + c2

    (01

    )et con

    c1, c2 R libres. Finalmente, la solucion general es es xg(t) = xh(t) + v.

    12. (Un PVF2) Calcular la solucion general real del SL homogeneo x = Ax, donde

    A =

    (0 12 2

    ), x =

    (x1x2

    ).

    Para que valores L > 0 tiene soluciones no triviales el PVF x = Ax, x1(0) = 0, x2(L) = 0?

    La solucion general es xh(t) =

    (c1 cos t+ c2 sin t

    c1(sin t cos t) c2(sin t+ cos t)

    )et, con c1, c2 R libres.

    Existen soluciones no triviales si y solo si L = Ln = 3/4 + n, para n 0.

    13. (Otro PVF) Sea b : [0, L] R2 una funcion continua cualquiera. Probar que el PVF

    x =

    (5 44 1

    )x + b(t), x1(0) = x2(L) = 0

    tiene exactamente una unica solucion. Aqu, las funciones x1(t) y x2(t) son las componentesdel vector solucion x(t). Indicacion: No hace falta calcular ninguna solucion particular.

    14. (Croquis de SLs) Dibujar un croquis aproximado de los siguientes sistemas lineales y decir siexpanden, contraen o preservan area. Si existen direcciones de entrada y/o salida, dibujarlascon precision. Si existe mas de una direccion de entrada (o salida), determinar la mas rapida.Si las trayectorias giran, dilucidar el sentido de giro. Si existe una recta de puntos de equilibrio,calcularla con precision.

    a) A =

    (5 13 1

    ).

    2PVF = Problema de Valores en la Frontera, pues las condiciones x1(0) = 0 y x2(L) = 0 se dan en puntos diferentes.

    14

  • b) B =

    (1 0

    3 2

    ).

    c) C =

    (3 24 1

    ).

    d) D =

    (2 51 2

    ).

    e) E =

    (1 44 7

    ).

    f ) F =

    (1 01 0

    ).

    a) Nodo propio repulsor. Expande. Direccion lenta: v1 = (1, 3)T Direccion rapida: v2 = (1, 1)

    T .b) Silla. Expande area. Direccion de salida: v1 = (0, 1)

    T . Direccion de entrada: v2 = (1,1)T .c) Foco repulsor. Expande area. Giro antihorario.d) Centro. Preserva area. Giro antihorario.

    e) Nodo impropio atractor. Contrae area. Unica direccion de entrada: v = (1, 1)T .f ) Sistema degenerado inestable. Expande area. Direccion recta puntos de equilibrio: v1 = (0, 1)

    T .Direccion de salida: v2 = (1, 1)

    T . Todas la trayectorias son paralelas a la direccion de salida.

    15. (Caracterizando el sentido de giro) Sea A una matriz real 22 con VAPs complejos conjugados.Dar una condicion suficiente para que las trayectorias de x = Ax giren en sentido horario.

    Sea A =

    (a bc d

    ). Una condicion suficiente es c < 0. Otra es b > 0.

    16. (Caracterizando los nodos impropios) Sea A una matriz real 2 2 con un VAP doble no nulo.Dar una condicion necesaria y suficiente para que el sistema x = Ax sea un nodo impropio.

    Una condicion necesaria y suficiente es que A no sea diagonal.

    17. (Cuando tiende al origen?) Sea x(t) la solucion del PVI x = Ax, x(t0) = x0. Explicar encada uno de los siguientes casos cuando lmt+ x(t) = 0.

    a) A =

    (1 2 2

    2 2 1

    )y x0 =

    (21

    ).

    b) A =

    (1 1

    )y x0 =

    (11

    ).

    c) A =

    ( 11

    )y x0 =

    (

    ).

    a) Si y solo si = 2. b) Nunca. c) Si y solo si = (+

    2 + 1

    ).

    18. (Un diagrama de bifurcaciones) Determinar el diagrama de bifurcaciones correspondiente a laestabilidad y clasificacion del sistema lineal asociado a la matriz

    A =

    ( 11

    ), R.

    Cuales son las bifurcaciones que conllevan un cambio de estabilidad?

    Este sistema lineal es:Un foco atractor si < 0;Un centro (E, pero no AE) si = 0;Un foco repulsor si (0, 1);

    15

  • Un nodo impropio repulsor si = 1; yUn nodo propio repulsor si > 1.

    Existen dos valores de bifurcacion: = 0, 1, pero la estabilidad solo cambia en el primero.

    19. (Otro diagrama de bifurcaciones) Determinar el diagrama de bifurcaciones correspondiente ala estabilidad y la clasificacion del sistema lineal asociado a la matriz

    A =

    (0 4 321 2

    ), R.

    Cuales son las bifurcaciones que conllevan un cambio de estabilidad?

    20. (Estudio de un SL 3D con VAPs reales) Calcular la solucion general y dibujar el croquisdetallado del sistema lineal x

    = 2x+ y + zy = y + 4zz = z

    .

    Los VAPs son 1 = 2, 2 = 1 y 3 = 1. El sistema es inestable pero no repulsor, pues 3 > 0pero 1,2 < 0. Ademas contrae volumen pues 1 + 2 + 3 = 2 < 0. Los VEPs son v1 = (1, 0, 0),v2 = (1, 1, 0) y v3 = (1, 2, 1). Por tanto, la solucion general del sistema es

    x(t) = c1e2t + c2e

    t + c3et

    y(t) = c2et + 2c3e

    t

    z(t) = c3et

    ,donde los coeficientes c1, c2, c3 R son libres. Sea rj = [vj ] la recta que pasa por el origen condireccion vj. Como 1 < 2 < 0 < 3, sabemos que r1 es la recta de entrada rapida, r2 es la recta de

    entrada lenta y r3 es la recta de salida. El plano horizontal = {z = 0} contiene a las dos rectas deentrada, luego es un plano invariante de entrada y el sistema 2D sobre es un nodo propio atractor,

    pues tiene dos rectas de entrada de VAPs diferentes. Las trayectorias sobre no contenidas en las

    rectas de entrada tienden al origen tangencialmente a la recta de entrada lenta r2. Existen otros dos

    planos invariantes; a saber, los determinados por la recta de salida r3 y cualquiera de las rectas de

    entrada. Sobre esos planos el sistema inicial es una silla, pues tiene una direccion de entrada y otra

    de salida.

    21. (Croquis de un SL 3D con VAPs complejos) Dibujar el croquis del sistema asociado a la matriz

    A =

    0 1/2 1/21 1 11 1 1

    .Indicacion: Los VAPs de esta matriz son 1,2 = i y 3 = 2.

    22. (Croquis de un SL 2D con un parametro) Consideramos el sistema lineal x = Ax, donde

    A =

    ( 11

    ), R.

    a) Calcular su estabilidad y clasificarlo en funcion de .b) Dibujar un croquis de sus trayectorias en el plano x = (x1, x2) para cada uno de los

    siguientes valores del parametro: = 0, = 1 y = 2.En uno de los tres casos anteriores hay una recta de entrada y otra de salida. En esecaso, es posible que una trayectoria que empieza en el primer cuadrante llegue altercer cuadrante? Por que?En otro caso todas las trayectorias son periodicas, pero de que periodo?En el caso restante el sistema es degenerado, pero es inestable? Por que?

    16

  • 23. (Metodo de linealizacion) Calcular los cuatro puntos de equilibrio del sistema 2D cuadratico{x = xy + 12y = x2 + y2 25 .

    Estudiar por el metodo de linealizacion la estabilidad del sistema en cada punto de equilibrio.En que zonas del plano (x, y) se expanden areas? Y en cuales se contraen?

    Los cuatro puntos de equilibrio son (3,4), (4,3), (3, 4) y (4, 3). La matriz del sistemalinealizado en el punto de equilibrio (x0, y0) es igual a

    A(x0, y0) =

    (x

    x(x0, y0)

    x

    y(x0, y0)

    y

    x(x0.y0)

    y

    y(x0, y0)

    )=

    (y0 x0

    2x0 2y0

    ).

    El sistema es inestable en los puntos (3, 4) y (3, 4); atractor en el punto (4,3) y repulsor en el punto(4, 3). La divergencia del sistema es x

    x+ y

    y= 3y, luego las areas se expanden en el semiplano

    superior {(x, y) R2 : y > 0} y se contraen en el semiplano inferior {(x, y) R2 : y < 0}.

    24. (Metodo de Liapunov) Usando la funcion V (x, y) = (x2+y2)/2, estudiar la estabilidad entornoal origen de los siguientes sistemas:

    a)

    {x = y 3x3y = x 7y3

    b)

    {x = x+ (x+ y)2xy = y3 + (x+ y)2y3

    c)

    {x = x3 + 4xy2y = 4y3

    d)

    {x = 2x3 2y3y = 2xy2 + 4x2y + 2y3

    Se puede determinar por linealizacion la estabilidad entorno al origen en algun apartado?

    La linealizacion no decide la estabilidad en ningun caso: el primer sistema linealizado es uncentro, mientras que los otros son sistemas lineales degenerados sin VAPs positivos. De hecho, enlos ultimos dos casos la matriz del sistema linealizado es la matriz cero. La derivada temporal deV (x, y) = (x2 + y2)/2 es W (x, y) = xx + yy. Operando se obtiene que:a) Atractor, pues W (x, y) = 3x4 7y4 es definida negativa en el origen.b) Atractor, pues W (x, y) =

    ((x+ y)2 1

    )(x2 + y4) es definida negativa en el origen.

    c) Atractor, pues W (x, y) = (x2 2y2)2 es semi-definida negativa en el origen y, ademas, elcampo de vectores es transversal a las rectas {y = x/

    2} que forman las curvas de nivel cero

    de W (x, y).d) Repulsor, pues W (x, y) = 2(x2 + y2)2 es definida positiva en el origen.

    25. (Ajustando la funcion de Liapunov) Estudiar la estabilidad entorno al origen del sistema{x = xy2 + x3

    y = 2x2y + y3 .

    Indicacion: Usar una funcion del tipo V (x, y) = ax2 + by2.

    Derivando, W (x, y) = (2a4b)x2y2 +2(ax4 +by4). Si tomamos a = 2 y b = 1, queda W (x, y) =2(ax4 + by4), luego: Si > 0, W (x, y) es definida positiva y el origen es repulsor; si < 0, W (x, y)

    es definida negativa y el origen es atractor; y si = 0, W (x, y) 0 y el origen es estable pero noasintoticamente estable, pues W (x, y) es una integral primera del sistema. Aqu tampoco se puede

    aplicar el metodo de linealizacion, pues la matriz del sistema linealizado es nula.

    17

  • 26. (Linealizacion + Liapunov) El origen es un punto de equilibrio del sistema no lineal{x = y + x3

    y = x/4 + y + 2y5 .

    a) Calcular y clasificar el sistema linealizado entorno al origen en funcion de los parametros.b) Estudiar, cuando 6= 0, la estabilidad del sistema no lineal por el metodo de linealizacion.c) Estudiar, suponiendo = 0, la estabilidad del sistema no lineal por el metodo de Liapunov

    usando una funcion de la forma V (x, y) = ax2 + by2.

    a) La matriz del sistema linealizado en el origen es A =

    (0 11/4

    ). Como T = traza[A] = ,

    D = det[A] = 1/4 y = T 2 4D = 2 1, obtenemos el diagrama de bifurcacion de la figura 2.Los valores = 1 corresponden a nodos impropios. El color azul/verde/rojo denota un sistemalinealizado atractor/estable/repulsor.

    t t t1 0 1

    Nodo propio Foco Centro Foco Nodo propio

    Figura 2. Diagrama de bifurcacion del sistema linealizado del problema 26 en R.

    b) El sistema no lineal es atractor/repulsor en el origen cuando el parametro es negativo/positivo,sin importar el valor de . La linealizacion no decide la estabilidad cuando = 0.

    c) La derivada temporal de la funcion V (x, y) es W (x, y) = (2a b/2)xy + 2(ax4 + by6), puessuponemos que = 0. Si tomamos a = 1 y b = 4, queda W (x, y) = 2(x4 +4y6), luego: Si > 0,W (x, y) es definida positiva y el origen es repulsor; si < 0, W (x, y) es definida negativa y elorigen es atractor; y si = 0, W (x, y) 0 y el origen es un centro no lineal, estable pero noasintoticamente estable.

    27. (Estabilidad de una EDO de segundo orden) Consideramos la ecuacion

    x + (+ 3x2)x + x = 0, 0.

    a) Probar que si definimos y = x+x+x3, entonces la ecuacion se transforma en el sistema{x = y x x3y = x .

    b) Determinar, cuando sea posible, la estabilidad del sistema en el origen por el metodo delinealizacion.

    c) Usando la funcion V (x, y) = (x2 + y2)/2, estudiar la estabilidad del sistema en el origenpor el metodo de Liapunov para = 0.

    d) Que se puede deducir sobre la ecuacion original?

    a) La primera ecuacion del sistema se obtiene despejando x de la definicion de y. La segundaecuacion es y = x + (+ 3x2)x = x.

    b) La matriz del sistema linealizado en el origen es A =

    ( 11 0

    ). Como T = traza[A] = ,

    D = det[A] = 1 y = T 2 4D = 2 4, obtenemos el diagrama de bifurcacion de la figu-ra 3. Los valores = 2 corresponden a nodos impropios. El color azul/verde/rojo denota unsistema linealizado atractor/estable/repulsor. Por tanto, el origen es un punto de equilibrio repul-sor/atractor cuando el parametro es negativo/positivo. La linealizacion no decide la estabilidadcuando = 0.

    c) Derivando, W (x, y) = x2 x4. Si 0, W (x, y) es semidefinida negativa y el origen esrepulsor; si < 0, W (x, y) es semidefinida positiva y el origen es atractor. Aqu, hemos usadoque el campo de vectores es transversal a la recta {y = 0} donde se anula W (x, y).

    18

  • t t t2 0 2

    Nodo propio Foco Centro Foco Nodo propio

    Figura 3. Diagrama de bifurcacion del sistema linealizado del problema 27 en R.

    d) Si < 0, entonces el origen del sistema 2D es atractor y lmt+(x(t), y(t)) = (0, 0) paratoda trayectoria que empiece suficientemente cerca del origen, luego lmt+ x(t) = 0 y podemosdecir que la ecuacion original tambien es atractora. Un razonamiento analogo se aplica en el caso 0.

    28. (Sistema de Lorenz: Wikipedia y Youtube) Consideramos el sistema de Lorenz x1 = (x2 x1)x2 = x1( x3) x2x3 = x1x2 x3

    donde , , > 0 son parametros del sistema. Para simplificar, supondremos que > 1.a) Calcular sus tres puntos de equilibrio.b) Estudiar la establidad del sistema de Lorenz entorno al origen.c) Que aspecto tienen sus trayectorias cerca del origen?d) Este sistema, expande o contrae volumenes?

    a) Los tres puntos crticos son el origen y (a,a, b), con a =( 1) y b = 1.

    b) La matriz del sistema linealizado entorno al origen es

    A =

    0 1 00 0

    ,cuyos tres VAPs son

    1,2 =( + 1)

    ( + 1)2 + 4( 1)

    2, 3 = .

    Como 1 > 0 y 2, 3 < 0, el origen es inestable pero no repulsor.c) El origen es una silla, con una dimension inestable (de salida) y dos dimensiones estables (de

    entrada). El eje vertical es una recta invariante de entrada. Las trayectorias cerca del origen nogiran, pues todos los VAPs son reales.

    d) La divergencia del campo vectorial es siempre negativa, luego contrae volumenes.

    29. (Sistema de Rossler: Wikipedia y Youtube) Consideramos el sistema de Rossler x1 = x2 x3x2 = x1 + ax2x3 = (x1 b)x3 + c

    .

    Es un sistema no lineal 3D que depende de tres parametros reales a, b y c.a) Calcular los puntos de equilibrio del sistema cuando a 6= 0.b) Calcular el unico punto de equilibrio del sistema cuando a = c = 0 y b 6= 0. Estudiar, para

    los valores de b 6= 0 en que sea posible, su estabilidad por el metodo de linealizacion.c) Calcular los puntos de equilibrio del sistema cuando a = b = c = 0. Estudiar la estabilidad

    por el metodo de linealizacion en todos los puntos de equilibrio donde sea posible.d) Supongamos que a > 0 y b = c. Si una trayectoria parte de un punto del plano x1 = b tal

    que x2 6= 0, inicialmente se acerca o aleja del origen?

    a) Las puntos de equilibrio cumplen x1 = ax2, x3 = x2 y a(x2)2 + bx2 + c = 0.

    19

    http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_attractorhttp://www.youtube.com/watch?v=FYE4JKAXSfYhttp://en.wikipedia.org/wiki/Rossler_attractorhttp://www.youtube.com/watch?v=oRJ0EybxLNQ

  • b) Cuando a = c = 0 y b 6= 0, el origen es el unico punto de equilibrio y el polinomio caractersticode su matriz linealizada es QA() = ( + b)(2 + 1). Si b < 0, existe un VAP positivo y dosVAPs complejos conjugados de parte real nula, luego el SNL es inestable en el origen; pero sib 0, la linealizacion no decide la estabilidad del SNL en el origen.

    c) Cuando a = b = c = 0, existen infinitos puntos de equilibrio: (0, x2,x2), x2 libre. El polinomiocaracterstico de la matriz del sistema linealizado es QA() = (2 + 1 x2). Por tanto, six2 > 1, existe un VAP positivo, un VAP negativo y un VAP nulo, luego el SNL es inestable perono repulsor en (0, x2,x2). De lo contrario, la linealizacion no decide la estabilidad del SNL.

    d) V (x) = x2 cuantifica la distancia al origen. Como x1 = b = c vemos que la derivada temporalde esta funcion es W (x) = a(x2)

    2 > 0, luego la trayectoria se aleja del origen.

    30. (Un centro no lineal) El punto (1, 1) es un punto de equilibrio del sistema{x = x(1 y)y = y(x 1) .

    a) Clasificar el sistema linealizado correspondiente. La linealizacion decide la estabilidad?b) Probar que la funcion V (x, y) = x+ y ln(xy) tiene un mnimo local estricto en (1, 1) y

    calcular su derivada temporal.c) Como se comportan las trayectorias cercanas al punto (1, 1)?d) En que zonas del plano (x, y) se expanden areas? Y en cuales se contraen?

    a) El sistema linealizado tiene VAPs 1,2 = i, luego la linealizacion no decide la estabilidad.b) Basta observar que V (x, y) = h(x) + h(y), siendo la funcion h(s) = s ln s decreciente en el

    intervalo (0, 1) y creciente en el intervalo (1,+). La derivada temporal de la funcion V (x, y)es identicamente nula.

    c) El punto (1, 1) es un centro no lineal, pues el sistema linealizado es un centro y V (x, y) es unacantidad conservada. Por tanto, todas las trayectorias del sistema no lineal cercanas al punto(1, 1) giran entorno a el (en sentido antihorario, ver problema 2) y son periodicas. Ademas, elperiodo de esas trayectorias periodicas tiende a T = 2/|=1,2| = 2 conforme nos acercamos alpunto (1, 1).

    d) La divergencia del sistema es x

    x+ x

    x= x y, luego las areas se expanden en el semiplano

    {(x, y) R2 : y < x} y se contraen en el semiplano {(x, y) R2 : y < x}.

    31. (Liapunov en un SNL 3D) El origen es un punto de equilibrio del sistema x1 = x

    31 2x2 + x2x3

    x2 = x32 + x1 x1x3

    x3 = x33 + x1x2

    siendo un parametro real.a) Estudiar, si es posible, la estabilidad del origen por el metodo de linealizacion.b) Estudiar la estabilidad del origen por Liapunov usando una funcion de la forma

    V (x) =c1x

    21 + c2x

    22 + c3x

    23

    2,

    para algunos valores apropiados de c1, c2 y c3.c) Sea x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) la solucion que se obtiene con la condicion inicial

    x1(0) = 1, x2(0) = 2, x3(0) = 1.Para que valores de es decreciente la funcion x2(t) en t = 0? Y para cuales es creciente?Para que valores de tiene un mnimo local estricto la funcion x2(t) en t = 0? Y paracuales tiene un maximo local estricto?

    a) Los VAPs de la matriz del sistema linealizado son 1,2 =

    2i y 3 = 0. Por tanto, la linealiza-cion no decide la estabilidad del sistema no lineal en el origen, pues todos los VAPs tienen partereal nula.

    20

  • Figura 4. Retrato de fases de un sistema autonomo 2D.

    b) Tomando c2 = 2c1, c3 = c1 y c1 > 0 arbitrario, la derivada temporal W (x) = c1(x41 + 2x

    42 + x

    43)

    es definida positiva si > 0, definida negativa si < 0, e identicamente nula si = 0. Portanto, el origen es un repulsor si > 0, un atractor si < 0 y estable pero no asintoticamenteestable si = 0.

    c) Como x2(0) = x32(0) + x1(0) x1(0)x3(0) = 8, distinguimos tres casos.

    > 0 x2(0) > 0 x2(t) es creciente en t = 0; < 0 x2(0) < 0 x2(t) es decreciente en t = 0; y = 0 x2(0) = 0, luego necesitamos mas derivadas:

    x1(0) = 2x2(0) + x2(0)x3(0) = 2x3(0) = x1(0)x2(0) = 2x2 (0) = x

    1(0) x1(0)x3(0) x1(0)x3(0) = 2.

    Como x2 (0) < 0, resulta que x2(t) tiene un maximo local estricto en t = 0.

    32. (Retrato de fases 2D) En la figura 4 se muestra el retrato de fases de un sistema 2D autonomocon tres puntos de equilibrio: A, B y C.a) Clasificar los tres puntos de equilibrio.b) Existe algun punto de equilibrio que sea atractor? En caso afirmativo, decir cual y senalar

    su cuenca de atraccion en la figura.c) Existe algun punto de equilibrio que sea repulsor? En caso afirmativo, decir cual y explicar

    si las trayectorias que empiezan cerca de el pueden aproximarse a los otros dos puntos deequilibrio. Justificar las respuestas.

    d) Existe alguna solucion periodica no constante? En caso afirmativo, decir si es atractora,estable o repulsora.

    a) A es un foco atractor, B es una silla y C es un foco repulsor.b) A es el unico punto de equilibrio atractor. Su cuenca de atraccion es la region a la izquierda de

    la curva invariante estable del punto de silla.c) El punto de silla no es un repulsor, pues existen trayectorias que tienden a el cuando t +.

    Por tanto, C es el unico repulsor. Debido al teorema de existencia y unicidad, las trayectoriasque empiezan cerca de C no pueden superar la barrera que representa la trayectoria marcada enlinea gruesa que lo rodea completamente. Por tanto, las trayectorias que empiezan cerca de C nopueden aproximarse ni a A ni a B.

    21

  • d) La trayectoria marcada en linea gruesa es la unica trayectoria periodica no constante que apareceen la figura. Es atractora, pues todas las trayectorias cercanas tienden a ella cuando t +.

    33. (Compuestos granulares) Volcamos en un tanque de agua un compuesto soluble granulado es-fericamente. Cuando las condiciones de temperatura y concentracion varan poco, es razonablesuponer que (la masa de) cada grano se disuelve con una tasa de variacion proporcional a susuperficie. Sea k > 0 la constante de proporcionalidad y la densidad del compuesto. Escribirla ecuacion diferencial que satisface el radio r(t) de un grano. Cuales son las unidades de k?

    La ecuacion es r = k/ y la solucion general es r(t) = r0 kt/. Es decir, el radio de cadagrano decrece a velocidad constante. En el S.I. las unidades de k son kgs1m2, pues k cuantificala masa disuelta por unidad de tiempo y superficie.

    34. (Desintegracion radioactiva: Wikipedia y Applet de JAVA) La desintegracion de una partculainestable (esto es, radioactiva) es un proceso aleatorio que no puede ser predecido, pero sesabe que esta desintegracion es igualmente probable en todos los instantes. Por tanto, dadauna muestra de un isotopo radioactivo, el numero de desintegraciones en un momento dadoes proporcional al numero de atomos radioactivos existentes en ese momento.

    Sea la constante de proporcionalidad, que recibe el nombre de constante de desintegra-cion. Plantear la ecuacion que cumple el numero de atomos N(t).

    La semivida t1/2 es el tiempo que debe transcurrir para que se desintegren la mitad delos atomos iniciales. Relacionar t1/2 y .

    La ecuacion es N = N y su solucion general es N(t) = N0et, siendo N0 el numero deatomos iniciales. Las relacion es t1/2 = ln 2.

    35. (Datacion por Carbono-14) Una muestra de carbon de la cueva de Lascaux daba, en 1950,una media de 0.97 desintegraciones de 14C por minuto y gramo, mientras que en arboles vivossuele ser de 6.68. Estimar la fecha en que se hicieron las pinturas rupestres de Lascaux. Lasemivida del 14C es (aproximadamente) de 573040 anos.

    La fecha aproximada es 5730(ln 6,68 ln 0,97)/ ln 2 = 15951 anos antes de 1950. Es decir, unos14000 anos A.C.

    36. (Ecuacion del paracaidista) Se supone que la friccion que frena la cada de una paracaidistaes proporcional a la velocidad al cuadrado. Sea k > 0 la constante de proporcionalidad, g laintensidad de la gravedad y m la masa del paracaidista. Escribir la ecuacion diferencial quecumple la velocidad v(t), tomando el sentido de caida como positivo. Calcular la velocidadterminal v del paracaidista; es decir, la velocidad de caida tal que se compensan las fuerzasde friccion y gravedad.

    La ecuacion es mv = mg kv2 y la velocidad terminal es v =mg/k.

    37. (Estatocolector estelar o Bussard ramjet) El estatocolector de Bussard es un optimista disenode nave estelar que ha aparecido en multiples libros de CF (Niven, Benford, etc.) y tambienes conocido por los trekkies. Consiste en una nave que captura materia estelar mediante ungigantesco campo magnetico anclado en la proa. Esta materia es fusionada y expulsada enchorro por la popa, impulsando as la nave. La ventaja de este diseno es que no hace faltatransportar combustible. La fuerza de impulsion generada en cada instante por los motoresde esta hipotetica nave es igual a la masa de materia estelar capturada por unidad de tiempomultiplicada por la diferencia entre la velocidad vc del chorro de partculas expulsadas y

    22

    http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decayhttp://www.walter-fendt.de/ph14s/lawdecay_s.htmhttp://en.wikipedia.org/wiki/Carbon-14_datingfile:www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/paracaidista/paracaidista.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Bussard_ramjet

  • la velocidad v(t) de la nave. Escribir, sin tener en cuenta efectos relativistas, la ecuaciondiferencial que cumple v(t). Identificar la ecuacion y describir el comportamiento de la nave.

    La ecuacion es mv = Sv(vcv), donde m es la masa de la nave, es la densidad de la materiaestelar en el espacio y S es la superficie barrida por campo magnetico de la nave. Es una ecuacion

    logstica, pues vc es una constante. Por tanto, lmt+ v(t) = vc, suponiendo que v(0) > 0.

    38. (Vela solar) Otro diseno de propulsion mas realista son las velas solares que utilizan la radia-cion solar para impulsarse. La agencia espacial japonesa JAXA y la NASA ya han realizadomisiones con velas solares: mision IKAROS y mision NanoSail-D, respectivamente.

    El impulso de una vela solar es proporcional al numero de fotones que impactan sobreella. Escribir la ecuacion diferencial que cumple la distancia d(t) de la vela al sol, despreciandola friccion. Al alejarse del sol, menos fotones impactan en la vela, luego la velocidad de la velava disminuyendo. . . es correcto este razonamiento?

    La ecuacion es md = k/d2, donde m es la masa de la vela y k > 0 es una constante de

    proporcionalidad, pues la cantidad de fotones es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

    No, pues d(t) > 0 implica que d(t) es estrictamente creciente; la vela va cada vez mas rapido, aunque

    se puede comprobar que tiende a una velocidad terminal.

    39. (Pendulo de Wilberforce: Youtube y Lebovitz pag. 96) Una masa colgando de un muelle flexibleen forma de espiral puede oscilar en modo longitudinal (arriba y abajo) o torsional (girando),existiendo un pequeno acoplamiento entre los dos tipos de movimiento.

    Sean y(t) y (t) los desplazamientos desde la posicion de equilibrio en estos dos modos. Esdecir, y(t) mide las oscilaciones verticales mientras que (t) mide las torsionales. Sea m la masae I su momento de inercia. Sean 20 y

    20 las constantes longitudinal y torsional de Hooke del

    muelle. Supondremos que el acoplamiento entre los dos tipos de movimiento consiste en queel efecto que cada uno de ellos ejerce sobre el otro es proporcional a su propio desplazamiento,con una constante de proporcionalidad comun . Si despreciamos las fuerzas de friccion, lasecuaciones del movimiento son{

    my + 02y =

    I + 02 = y

    .

    Para simplificar, supondremos que m = I = 1, 0 = 0 y || < 02.a) Transformar ese par de ecuaciones lineales de segundo orden en un sistema lineal de primer

    orden 4D, introduciendo las nuevas funciones incognita z = y y = .b) Estudiar la estabilidad del pendulo en su posicion de equilibrio.c) Probar que existen unas frecuencias + y tales que las funciones

    y(t) = cos(+t) cos(t), (t) = sin(+t) sin(t)

    son la solucion del PVI formado por las ecuaciones del pendulo y las condiciones iniciales:

    y(0) = 1, y(0) = (0) = (0) = 0.

    Probar que lm0 + = 0 y lm0 = 0. Interpretar fsicamente el resultado comouna transferencia pulsante de energa entre los dos modos de movimiento.

    40. (Grandes Lagos: Wikipedia y Documento de S. McKelvey) Queremos estudiar la evolucion enla concentracion de un contaminante en los lagos Eire y Ontario, conectados por un rio quefluye del primero al segundo. Sean VE y VO los volumenes respectivos, en millas cubicas. SeanrE y rO los respectivos caudales de salida, en millas cubicas por ano. Se cumple que rO > rE,pues el lago Ontario recibe todo los que sale del lago Eire y algo mas. Sean eE y eO lasconcentraciones de contaminantes que entran a cada lago desde el exterior, en kilogramos por

    23

    http://en.wikipedia.org/wiki/Solar_sailhttp://www.jspec.jaxa.jp/e/activity/ikaros.htmlhttp://www.nasa.gov/mission_pages/smallsats/nanosaild.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=S42lLTlnfZchttp://people.cs.uchicago.edu/~lebovitz/Eodesbook/lc.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/Great_Lakeshttp://www.stolaf.edu/people/mckelvey/envision.dir/lakes/lakes.html

  • milla cubica. Sean cE(t) y cO(t) las concentraciones de contaminantes que hay en cada lagoen el instante t.

    Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales que cumplen las funciones cE(t) y cO(t).Es un sistema lineal? Usando la intuicion, y sin resolver el sistema, a que tenderan estasconcentraciones cuando t +? Como se pueden interpretar los cocientes pE = rE/VE ypO = rO/VO? Finalmente, calcular la solucion general al fijar los valores (Google):

    VE = 116, VO = 393, rE = 85, rO = 99.

    (En realidad, los Grandes Lagos son cinco: Superior, Michigan, Huron, Eire y Ontario.El modelo completo se encuentra en el libro An Introduction to Mathematical Modeling deE.A. Bender o en el documento de S. McKelvey.)

    La cantidad de contaminante que entra por unidad de tiempo en el lago Eire es rEeE y la quesale es rEcE(t). La cantidad de contaminante que entra por unidad de tiempo en el lago Ontario esrEcE(t) + (rO rE)eO y la que sale es rOcO(t). Por tanto, obtenemos el sistema lineal a coeficientesconstantes {

    cE = rE(eE cE

    )/VE

    cO =((rO rE)eO + rEcE rOcO

    )/VO

    .

    La concentraciones tenderan a igualarse con las respectivas concentraciones de entrada. Es decir,tenderan a eE en el lago Eire y a (rEeE + (rO rE)eO)/rO en el lago Ontario. Los cocientes pE y pOpodran interpretarse como la proporcion de agua que se renova en un ano en cada lago, aunque noes exactamente as. Finalmente, la solucion general obtenida con los valores googleados es

    cE(t) = c1epEt + eE, cO(t) = c1e

    pEt + c2epOt + (85eE + 14eO)/99.

    donde pE = 85/116 0,73, pO = 33/131 0,25 y = rEpOrO(pOpE) = 9860/21921 0,45. Contramayores son pE y pO, mas rapido se estabilizan las concentraciones de contaminantes. Es logico?

    41. (Concentraciones de sal en unos depositos conectados)a) Resolver la EDO lineal no homogenea de primer orden a coeficientes constantes

    c(t) + pc(t) = q,

    donde p > 0 y q R. Calcular el lmite lmt+ c(t) en funcion de p y q.b) Resolver la EDO lineal no homogenea de primer orden a coeficientes constantes

    c(t) + pc(t) = elt,

    donde l, p > 0 y R. Distinguir los casos l 6= p y l = p. Calcular lmt+ c(t).c) Estudiamos la evolucion de la concentracion de sal en tres depositos conectados segun la

    figura 5 de forma que sus volumenes V1, V2, V3 (metros cubicos) se mantienen constantes, ylas entradas a los dos primeros depositos tienen caudales r1 y r2 (metros cubicos por hora)y concentraciones e1 y e2 (kilogramos por metro cubico). Cuales son los tres caudalesde salida? Sean c1(t), c2(t), c3(t) las concentraciones de sal en el instante t. Plantear elsistema de EDOs lineales no homogeneas de primer orden a coeficientes constantes quecumplen estas concentraciones.

    d) Usar los primeros apartados para calcular los lmites de las tres concentraciones cuan-do el tiempo tiende a infinito en funcion de los caudales y concentraciones de entrada.Comprobar que no dependen de las concentraciones que hay inicialmente en los depositos.Interpretar estos lmites fsicamente.

    a) La solucion general es cg(t) = q/p+ kept, con k R libre, luego lmt+ cg(t) = q/p.

    b) Si l 6= p, cg(t) = kept + elt/(p l). Si l = p, cg(t) = (k + t)ept. En ambos casos, k R eslibre y lmt+ cg(t) = 0.

    24

  • -

    -

    -

    -

    -

    e1 kg/m3

    r1 m3/h

    e2 kg/m3

    r2 m3/h

    V1 m3

    c1(t) kg/m3

    V2 m3

    c2(t) kg/m3

    V3 m3

    c3(t) kg/m3

    Figura 5. Tres depositos conectados.

    c) Los caudales de salida son r1, r2 y r3 = r1 + r2. Las cantidades de sal relacionadas con losdos primeros depositos en el instante t son las siguientes: Vjcj(t) en el interior, rjej entradapor unidad de tiempo y rjcj(t) salida por unidad de tiempo. Por tanto, Vjc

    j(t) = rjej rjcj(t).

    As pues, obtenemos las EDOs lineales de primer orden

    cj(t) + pjcj(t) = qj , pj = rj/Vj , qj = ejpj , j = 1, 2.

    Las cantidades en el tercer deposito son: V3c3(t) en el interior, r1c1(t)+r2c2(t) entrada por unidadde tiempo y r3c3(t) salida por unidad de tiempo. Por tanto, V3c

    3(t) = r1c1(t) + r2c2(t) r3c3(t).

    As pues, obtenemos la EDO lineal de primer orden

    c3(t) + p3c3(t) = r1c1(t)/V3 + r2c2(t)/V3, p3 = r3/V3.

    d) lmt+ c1(t) = e1, lmt+ c2(t) = e2 y lmt+ c3(t) = (r1e1 + r2e2)/(r1 + r2). Es decir,la concentracion en los dos primeros depositos tiende a igualarse a la concentracion de sus uni-cas entradas, pues fluyen con concentracion constante, mientras que la concentracion del tercerdeposito tiende a una media ponderada de las concentraciones lmite de sus dos entradas. Loscoeficientes que cuantifican la ponderacion son los respectivos caudales de entrada.

    42. (Pendulo con friccion: Wikipedia, Applet 1 y Applet 2) Tenemos un pendulo de longitud l delque cuelga una masa m bajo un campo gravitatorio de intensidad g. Sea k el coeficiente defriccion proporcional a la velocidad.a) Justificar que la ecuacion que modela el movimiento del pendulo es

    +m1k + l1g sin = 0,

    donde (t) es el angulo formado por el pendulo con la vertical inferior. Que datos senecesitan para tener un PVI?

    b) Escribir esta ecuacion como un sistema no lineal 2D de primer orden, introduciendo lavelocidad angular = .

    c) Estudiar, si es posible, la estabilidad de las dos posiciones de equilibrio del pendulo porel metodo de linealizacion.

    d) Comprobar que la energa mecanica total

    V (, ) =m

    2l22 +mgl(1 cos )

    no crece a lo largo de las trayectorias. A lo largo de que trayectorias se mantiene constantela energa?

    e) Probar que el pendulo con friccion no tiene ninguna trayectoria periodica no constante.

    a) Es una consecuencia de la segunda ley de Newton. El angulo inicial 0 = (0) y la velocidadinicial 0 =

    (0).

    25

    http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulumhttp://webphysics.davidson.edu/Applets/pendulum/pendulum.htmlhttp://www.math.cornell.edu/~bterrell/pendulum/pen.html

  • b) Introduciendo la velocidad angular = , reescribimos la EDO anterior como el sistema nolineal 2D autonomo de primer orden{

    = = a c sin ,

    donde a = k/m y c = g/l.c) Buscamos los puntos de equilibrio del sistema:

    = = 0 = a c sin = 0

    }= (, ) = (n, 0), n Z.

    Estos puntos de equilibrio corresponden a las posiciones de equilibrio inferior (si n es par) ysuperior (si n es impar) del pendulo. La matriz del sistema linealizado en el punto de equilibrio(, ) = (n, 0) es igual a

    An =

    (0 1

    c cos a

    )(,)=(n,0)

    =

    (0 1

    (1)n+1c a

    ).

    Si n es impar, detAn = (1)nc = c < 0 y el sistema linealizado es una silla, luego el pendulocon friccion es inestable en la posicion de equilibrio superior. En cambio, si n es par, enton-ces detAn = (1)nc = c > 0 y trazaAn = a < 0. Por tanto, el pendulo con friccion esasintoticamente estable en la posicion de equilibrio inferior.

    d) La derivada temporal de la energa mecanica total es

    W (, ) =V

    (, ) +

    V

    (, ) = mgl sin ml2c sin ml2a2 = kl22 0,

    donde hemos usado que a = k/m, c = g/l y k > 0. Esta derivada temporal es nula si y solo si = 0. Por tanto, la energa se mantiene constante tan solo en las posiciones de equilibrio.

    e) La divergencia del campo vectorial asociado al sistema 2D es siempre negativa.

    43. (Campos conservativos con un grado de libertad) Tenemos una partcula de masa uno que sedesplaza sin friccion sobre una recta bajo la accion de una fuerza conservativa F (x). Decimosque esta fuerza proviene de un potencial U(x) cuando

    F (x) = dUdx

    (x).

    Segun la segunda ley de Newton, la partcula cumple la EDO de segundo orden

    x = F (x), x R.a) Escribir esta EDO de segundo orden como un sistema no lineal 2D de primer orden,

    introduciendo la velocidad lineal v = x.b) La energa (cinetica mas potencial) de la partcula es igual a

    E(x, v) = v2/2 + U(x).

    Calcular la derivada respecto al tiempo de la energa. Que relacion existe entre las solu-ciones del sistema y las curvas de nivel de la energa? Que relacion existe entre la graficadel potencial y el croquis del sistema? Deducir que, si en algun momento la partcula tieneenerga E0, entonces su energa potencial nunca supera el valor E0.

    c) Probar que (x, 0) es un punto de equilibrio del sistema cuando x un punto crtico delpotencial; es decir, cuando dUdx (x) = 0. Probar que, ademas, (x, 0) es un punto de

    equilibro inestable/centro no lineal cuando d2U

    dx2 (x) es positiva/negativa.

    d) Consideramos la fuerza que proviene del potencial U(x) = (x21)2. Calcular las posicionesde equilibrio y la estabilidad de cada una. Dibujar un croquis de las trayectorias. Puedeescapar la partcula a mas o menos infinito? Para que valores de la energa existensoluciones acotadas?

    e) Idem con la fuerza que proviene del potencial U(x) = x3/3 x2/2.

    26

  • a) Introduciendo la velocidad v = x, obtenemos el sistema no lineal 2D autonomo de primer orden{x = vv = F (x)

    .

    b) La derivada temporal de la energa es identicamente nula:

    W (x, v) =E

    x(x, v)x +

    E

    v(x, v)v =

    dU

    dx(x)v + vF (x) = 0.

    Por tanto, las trayectorias del sistema estan contenidas en las curvas de nivel

    C(E0) = {(x, v) R2 : E(x, v) = E0} ={

    (x, v) R2 : v = 2E0 U(x)

    }.

    La raz cuadrada solo esta definida cuando U(x) E0 y el signo que la precede implica quetodas las curvas de nivel son simetricas respecto el eje horizontal. Para saber en que sentido semueve la partcula sobre cada curva de nivel, notamos que la velocidad x = v es positiva en elsemiplano {v > 0} y negativa en el semiplano {v < 0}. Por tanto, la partcula se mueve hacia laderecha/izquierda en el semiplano superior/inferior.Si en un instante t = t0 tenemos E(x(t0), v(t0)) = E0, entonces

    E(x(t), v(t)) = v(t)2/2 + U(x(t)) = E0, t R.

    En particular, U(x(t)) = E0 v(t)2/2 E0 para todo t.c) La condicion necesaria y suficiente para que (x, v) sea un punto de equilibrio del sistema es:

    x = v = 0v = F (x) = 0

    } dU

    dx(x) = 0, v = 0.

    La matriz del sistema linealizado en el punto de equilibrio (x, v) = (x, 0) es igual a

    A(x) =

    (0 1

    dFdx

    (x) 0

    )(x,v)=(x,0)

    =

    (0 1

    d2U

    dx2(x) 0

    ).

    Si d2U

    dx2(x) < 0, entonces det[A(x)] < 0 y el sistema linealizado es una silla, luego la posicion

    de equilibrio x = x es inestable.

    Si d2U

    dx2(x) > 0, entonces det[A(x)] > 0 y traza[A(x)] = 0, luego el sistema linealizado es

    un centro y la linealizacion no decide la estabilidad en x = x. Por tanto, usamos la energacomo funcion de Liapunov. Sabemos que el potencial U(x) tiene un mnimo local estricto enx = x, luego la energa E(x, v) = v

    2/2 +U(x) tiene un mnimo local estricto en (x, v) = (x, 0).Ademas, su derivada temporal es identicamente cero. Por tanto, la posicion de equilibrio x = xes un centro no lineal, estable pero no asintoticamente estable.

    d) El potencial U(x) = (x2 1)2 tiene mnimos globales en x = 1, un maximo local estricto enx = 0 y lmx U(x) = +. Ademas, U(0) = 1 y U(1) = 0. Por tanto, el sistema tiene trespuntos de equilibrio: (1, 0) que son dos centros no lineales y (0, 0) que es inestable.Vamos a dibujar las curvas de nivel C(E0). Mirando la grafica del potencial U(x) distinguimoscuatro casos: 1) Si E0 = 0, entonces C(E0) = {(1, 0)}; 2) Si E0 (0, 1), entonces C(E0)contiene dos curvas cerradas entorno los puntos (1, 0); 3) Si E0 = 1, C(E0) tiene la forma delsigno , estando el cruce en el punto de equilibrio inestable, pues

    C(1) ={

    (x, v) R2 : v = 2

    1 (1 x2)2}

    ={(x,2|x|

    2 x2

    ):

    2 x

    2}

    ;

    y 4) Si E0 > 1, entonces C(E0) es una curva cerrada entorno al lazo anterior. La partcula nuncapuede escapar a mas o menos infinito: |x| , pues ninguna curva de nivel lo hace. Es decir,todas las soluciones son acotadas

    e) El potencial U(x) = x3/3x2/2 tiene un mnimo local estricto en x = 1, un maximo local estrictoen x = 0 y lmx U(x) = . Ademas, U(0) = 0 y U(1) = 1/6. Por tanto, el sistema tienedos puntos de equilibrio: (0, 0) que es inestable y (1, 0) que es un centro no lineal.Mirando la grafica del potencial U(x), vemos como son las curvas de nivel de la energa E(x, v):1) Si E0 (,1/6] (0,+), entonces C(E0) es una curva abierta que escapa a infinitocuando x ; 2) Si E0 (1/6, 0), entonces C(E0) contiene una curva cerrada alrededor delpunto (1, 0) y una curva abierta que escapa a infinito cuando x ; y 3) Si E0 = 0, entoncesC(E0) tiene forma de un lazo algo as como una invertida alrededor del punto de equilibrioestable (1, 0) con una autointerseccion en el punto de equilibrio inestable (0, 0).

    27

  • Finalmente, existe alguna solucion acotada de energa E0 si y solo si la curva de nivel C(E0)contiene alguna curva cerrada. Es decir, si y solo si 1/6 E0 0.

    44. (Modelo depredador-presa o Lotka-Volterra) Sean x(t) e y(t) las densidades de poblacion dedos especies aisladas de presas y depredadores. Suponemos que las interrelaciones entre estasespecies cumplen los siguientes principios:

    Si no hay depredadores, la poblacion de presas crece exponencialemente (Malthus).Si no hay presas, la poblacion de depredadores decrece exponencialmente.El numero de encuentros entre un depredador y una presa es proporcional al producto delas dos densidades.Cada encuentro entre depredador y presa incrementa la poblacion de depredadores ydisminuye la poblacion de presas.

    Entonces, el modelo que estamos considerando es el sistema 2D{x = x(a by)y = y(dx c)

    donde las cantidades a, b, c, d > 0 son las constantes de propocionalidad que representan lainteraccion entre las dos especies.a) Calcular, clasificar y dibujar un croquis del sistema linealizado entorno al origen.b) Encontrar el otro punto de equilibrio del sistema. Calcular, clasificar y dibujar un croquis

    del sistema linealizado entorno a este segundo punto de equilibrio.c) Determinar, si es posible, la estabilidad en el sistema de sus puntos de equilibrio por el

    metodo de linealizacion.d) El primer cuadrante es el unico con sentido biololgico. Probar que es invariante mediante

    el estudio del campo de vectores sobre los ejes de coordenadas.e) Consideramos la funcion

    V (x, y) = lnx+ ln y x y

    definida en el primer cuadrante, donde las cantidades , , y son parametros estric-tamente positivos. Hallar los valores que deben tomar estos parametros (en funcion de a,b, c y d) para que V (x, y) sea una cantidad conservada del sistema.

    f ) Dibujar el retrato de fases global del sistema.

    a) La matriz del sistema linealizado entorno al origen es A =

    (a 00 c

    ), luego el sistema lineali-

    zado es una silla y su direccion de entrada/salida es el eje vertical/horizontal.b) El otro punto de equilibrio es (x0, y0) = (c/d, a/b) y la matriz del sistema linealizado entorno a el

    es A =

    (0 bc/d

    da/b 0

    ), luego es un centro de periodo 2/

    ac y sentido de giro antihorario.

    c) El sistema no lineal es inestable en el origen. La linealizacion no decide la estabilidad en (c/d, a/b).d) Una posible eleccion es = a, = b, = c y = d.e) Todas las trayectorias estan contenidas en las curvas de nivel de V (x, y), que son curvas cerradas

    alrededor de (c/d, a/b). Estas curvas se recorren en sentido antihorario con un periodo que tiendea 2/

    ac cuando nos acercamos al centro no lineal (c/d, a/b).

    45. (Dos especies competitivas: Modelo y Principio de exclusion) Sean x(t) e y(t) las densidadesde poblacion de dos especies aisladas que compiten por un recurso lmitado. Modelamos laevolucion de las poblaciones mediante el sistema no lineal 2D{

    x = kx(1 x/m y)y = ly(1 x y/n) ,

    28

    http://en.wikipedia.org/wiki/Lotka-Volterra_equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Competitive_Lotka-Volterra_equationshttp://en.wikipedia.org/wiki/Competitive_exclusion_principle

  • donde todos los parametros que aparecen son positivos. Para simplificar los calculos tomamosk = m = = 1, l = 1/2, = 3/2 y n = 2, luego el sistema es{

    x = x(1 x y)y = y(2 3x y)/4 .

    a) Calcular los cuatro puntos de equilibrio del sistema, clasificar los sistemas linealizados encada uno y estudiar, si es posible, su estabilidad por el metodo de linealizacion.

    b) La componente x se anula en el eje vertical y en una recta r, mientras que y se anulaen el eje horizontal y en una recta s. Es posible que una trayectoria que empieza en elprimer cuadrante (el unico con sentido biologico), salte a otro cuadrante? Justificar larespuesta. Calcular y dibujar las rectas r y s. Estas rectas dividen el primer cuadrante encuatro regiones. Describir el signo que tienen las cantidades x e y en cada una de estascuatro regiones e interpretar biologicamente el resultado.

    c) Esbozar el retrato de fases del sistema. Deducir que, bajo casi cualquier condicion inicial,solo sobrevive una de las dos especies. Esto es el principio de exclusion competitiva.

    a) Los cuatro puntos de equilibrio son O = (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 2) y C = (1/2, 1/2). Lasmatrices de los sistemas linealizados en cada uno de estos puntos son

    MO =

    (1 00 1/2

    ), MA =

    (1 1

    0 1/4

    ), MB =

    (1 03/2 1/2

    ), MC =

    (1/2 1/23/8 1/8

    ).

    Los VAPs de MO son 1 = 1 y 2 = 1/2, luego el punto O es un nodo propio repulsor. Los VAPsde MA son 1 = 1 y 2 = 1/4, mientras que los VAPs de MB son 1 = 1 y 2 = 1/2, luegoA y B son nodos propios atractores. Finalmente, los VAPs de MC son 1,2 = (5

    57)/16,

    luego el punto C es una silla (inestable). La linealizacion decide la estabilidad en los cuatro casos.b) El eje horizontal es invariante, pues y = 0 sobre el. El eje vertical tambien, pues x = 0 sobre

    el. Por tanto, no es posible salir del primer cuadrante debido al teorema de existencia y unicidadde soluciones. Las rectas son r {y = 1 x} y s {y = 2 3x}. La recta r pasa por los puntosA = (1, 0) y D = (0, 1); la recta s pasa por los puntos E = (2/3, 0) y B = (0, 2); ambas rectasse intersecan en el punto C = (1/2, 1/2). En la region cuadrangular de vertices O, A, B y Ctenemos que x, y > 0, luego ambas poblaciones crecen. En la region triangular de vertices B,D y C tenemos que x < 0 e y > 0, luego la segunda especie gana la competicion. En la regiontriangular de vertices A, E y C tenemos que x > 0 e y < 0, luego la primera especie gana lacompeticion. Finalmente, x, y < 0 en la region no acotada que hay por encima de las rectas r ys, luego ambas poblaciones decrecen.

    c) La curva invariante estable del punto de silla C divide al primer cuadrante en dos partes. Siempezamos en la inferior gana la primera especie. Si empezamos en la superior gana la segunda.Y si empezamos justo sobre la curva tendemos a un equilibrio inestable.

    46. (Reaccion qumica triple) En una reaccion qumica con tres productos A, B y C tienen lugarsimultaneamente los procesos

    A B, B + C A+ C, 2B C.

    Supondremos que la tasa de reaccion de cada proceso es proporcional al producto de lasconcentraciones (en moles por litro) de los productos necesarios para que se lleve a cabo eseproceso concreto. Sean k1, k2 y k3 las tres constantes de proporcionalidad. Plantear el sistemade ecuaciones diferenciales que cumplen las concentraciones x1(t), x2(t) y x3(t). Cual es laconcentracion de cada producto en el equilibrio qumico? Es estable?

    (En las paginas 190192 del libro An Introduction to Mathematical Modeling de E.A. Ben-der se presenta un modelo mejor, aunque mas complicado.)

    29

  • Las concentraciones cumplen el sistema no lineal autonomo 3Dx1 = k1x1 + k2x2x3x2 = k1x1 k2x2x3 k3x22x3 = k3x2

    2.

    En el equilibrio solo hay producto C y es un equilibrio estable ya que (x1 + x2 + x3) = 0 (la cantidad

    total de los tres productos no vara), pero en cambio x3 = k3x22 0 (la cantidad de producto C nunca

    desciende). Reto: Intentar aplicar el metodo de linealizacion.

    47. (Pescando platelmintos) Tenemos una muestra de lquido en la que pululan varias especiesdiferentes de platelmintos fototropicos que siempre nadan en direccion a la luz mas cercana.Cada especie nada a una velocidad diferente. Para aislar y extraer la especie que nada avelocidad v, colocamos el lquido en un recipiente cilndrico (una cuba) transparente de radior. A continuacion, ponemos a girar el recipiente con velocidad angular situandolo frente auna unica fuente luminosa. Los platelmintos nadan en direccion a la luz, en contra del sentidode giro de la cuba. El objetivo del problema es comprobar que todos los platelmintos de lamisma especie se acumulan en un solo punto.

    Situando el centro de la cuba en el origen, la fuente luminosa en el punto (r, 0) y trabajandoen coordenadas cartesianas (x, y), resulta que las trayectorias de los platelmintos cumplen elsistema no lineal autonomo 2D x

    = y + v(rx)(rx)2+y2

    y = x vy(rx)2+y2

    .

    El termino (y, x) proviene de la rotacion de la cuba. El termino v(rx,y)(rx)2+y2

    representa

    el avance de los platelmintos hacia el punto luminoso. Imponemos la condicion v < r paraque los platelmintos no puedan alcanzar la luz.a) Encontrar el unico punto de equilibrio del sistema y probar que es un atractor.

    Indicacion: El determinante de la matriz del sistema linealizado no depende de v.b) Probar que el sistema no tiene ninguna solucion periodica no constante.c) En que posiciones iniciales (x, y) 6= (r, 0) se alejan los platelmintos del centro de la cuba?

    Y en cuales se acercan?

    30

  • Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs)

    1. (Un cambio de variable dependiente) Probar que el cambio de variables u = ew transforma laEDP no lineal de segundo orden wt = wxx + (wx)

    2 en una ecuacion de calor 1D homogenea.

    Necesitamos calcular las derivadas parciales de la funcion u(x, t) en funcion de las derivadasparciales de la funcion w(x, t). Aplicando repetidamente la regla de la cadena, vemos que

    ux = wxew,

    uxx =(wxx + (wx)

    2)ew,ut = wte

    w =(wxx + (wx)

    2)ew = uxx.En la ultima igualdad hemos usado la EDP wt = wxx + (wx)

    2. Por tanto, la funcion u(x, t) cumple

    una ecuacion homogenea del calor 1D con k = 1.

    2. (Una propiedad de disipacion en Calor 1D) Sea u(x, t) una solucion del PVI con condicionesde Dirichlet homogeneas

    ut = k2uxx 0 < x < L t > 0

    u(x, 0) = f(x) 0 < x < Lu(0, t) = 0 t > 0u(L, t) = 0 t > 0

    .

    Probar que la funcion E(t) = 12 L0u2(x, t)dx nunca es creciente. Cuando es constante? Y

    cuando es estrictamente decreciente? Interpretar fsicamente el resultado.

    Basta probar que la derivada de la funcion E(t) nunca es positiva:

    E(t) =

    L0

    u(x, t)ut(x, t)dx = k2

    L0

    u(x, t)uxx(x, t)dx

    = k2[u(x, t)ux(x, t)

    ]x=Lx=0 k2

    L0

    u2x(x, t)dx = k2 L0

    u2x(x, t)dx 0.

    Las propiedades que hemos usado son: derivada bajo el signo de la integral (primera igualdad), la

    ecuacion del calor (segunda igualdad), una integracion por partes (tercera igualdad) y las condiciones

    de frontera tipo Dirichlet homogeneas (cuarta igualdad). Ademas, E(t) 0 ux(x, t) 0 u(x, t) 0, pues u(0, t) = u(L, t) = 0. Es decir, la funcion E(t) es estrictamente decreciente, exceptocuando estamos en el equilibrio termico del problema: v(x) 0.La interpretacion fsica es que como el calor fluye libremente y la temperatura se mantiene igual a

    cero en ambos extremos, la temperatura tiende al equilibrio termico v(x) 0.

    3. (Conservacion de la energa en Ondas 1D) Dada una solucion u(x, t) de la ecuacion utt = uxx,definimos su densidad de energa y su flujo de energa como las funciones

    e(x, t) =u2t (x, t)

    2+u2x(x, t)

    2, f(x, t) = ut(x, t)ux(x, t),

    respectivamente. Probar que et + fx = 0.

    31

  • a) Sea u(x, t) una solucion del PVI con condiciones de Neumann homogeneasutt = uxx 0 < x < L t Ru(x, 0) = f(x) 0 < x < Lut(x, 0) = g(x) 0 < x < Lux(0, t) = 0 t Rux(L, t) = 0 t R

    .

    Probar que la energa total de la cuerda vibrante

    E(t) :=

    L0

    e(x, t)dx =1

    2

    L0

    u2t (x, t)dx+1

    2

    L0

    u2x(x, t)dx

    es constante.b) Encontrar otras condiciones de frontera, que no sean las Neumann homogeneas, que tam-

    bien conserven la energa.c) Expresar la energa inicial en funcion de la posicion y velocidad iniciales.

    Recordamos que es la densidad lineal de la cuerda, mientras que es la tension a la queesta sometida la cuerda. Eso permite interpretar el primer sumando de la energa E(t) co