Progetto DocenteGruppo di lavoro classe 16A LA PARABOLA Prof. Valerio Muciaccia Prof. Alberico Nardiello

Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

LA PARABOLALA PARABOLA

Prof. Valerio Muciaccia

Prof. Alberico Nardiello

Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A 2

I significati di “I significati di “conocono””

Solido Superficie

Più diffuso nella scuola

Più usato all’università


Il cono inteso come superficie conicaIl cono inteso come superficie conica

Data una retta s, detta asse di rotazione, e una retta r che interseca s in un punto V, detto vertice, la superficie illimitata generata da r nella sua rotazione completa intorno a s si chiama superficie conica circolare indefinita di rotazione. La retta r èla generatrice, s è l’asse (ed è asse di simmetria). Le due porzioni della superficie conica, quella inferiore e quella superiore, che hanno in comune il vertice, si chiamano falde della superficie conica.L’angolo formato dalle rette generatrici con l’asse di rotazionesi chiama semiapertura della superficie conica. (Fig. 1)


Asse di rotazione

Retta generatrice

s

V

r

Fig.1Fig.1


Le conicheLe conicheCon il termine conica, si indica una curva ottenuta sezionando, mediante un piano, una superficie conica indefinita a due falde.Al variare dell’ampiezza dell’angolo , formato dall’asse della superficie conica con il piano secante, si possono presentare seguenti casi (fig. 2):

=

0 <

< 900

= 90o circonferenza

ellisse

parabola

iperbole


Fig. Fig. 22


Cenni storici sulle conicheCenni storici sulle coniche

Si ritiene che a scoprire le coniche sia stato il matematicogreco Menecmo (IV sec. a.C.), discepolo di Platone e di Eudosso di Cnido.Di esse si sarebbero occupati anche Aristeo il Vecchio (contemporaneo di Euclide) e Euclide stesso, ma dei loro studi eventuali su tale argomento non è rimasta traccia. Ma una sistemazione completa e organica della loro trattazione fu Data da Apollonio di Perge1, il quale, nella sua grande opera sulle coniche espose la maggior parte delle proprietà tuttora note di quelle curve e propose i nomi di ellisse, parabola e iperbole, per indicarne le varie specie.


Le coniche nelle applicazioniLe coniche nelle applicazioni

Parabola

Ellisse

Iperbole

cerchio

Le coniche si prestano a rappresentare molti fenomeni fisici e

tecnici. Illustriamo alcuni esempi particolarmente significativi.


Parabola e sue applicazioniParabola e sue applicazioni

Arco d’uno zampillo d’acqua

Forma della luce di una torcia elettrica su

una superficie piana

Riflessione della luce in uno specchio

parabolico

Legge di caduta dei gravi


Ellisse e sue applicazioniEllisse e sue applicazioni

Moto dei pianeti intorno al sole

Moto di alcune comete

Riflessioni in uno specchio ellittico

Architettura a pianta ellittica


Iperbole e sue applicazioniIperbole e sue applicazioni

Legge di Boyle

Orbite di alcune comete e di altri oggetti

astronomici

Applicazione nell’architettura moderna

(iperboloidi a sella)


Cerchio e sue applicazioniCerchio e sue applicazioni

Onde in uno stagno

Orbite circolari

La ruota e vari oggetti in natura


La parabolaLa parabola

Dunque, la parabola è quella particolare curva che

si ottiene dall’intersezione di una superficie conica

rotonda (indefinita e a due falde) con un piano

parallelo alla generatrice (Fig. 3).


Fig. 3Fig. 3

generatrice

falda superiore

falda inferiore

parabola


Luogo geometrico parabolaLuogo geometrico parabola

Ci proponiamo ora di studiare la parabola da un punto di vistaanalitico; a tal fine, è opportuno enunciare una nuovadefinizione di parabola, intesa come luogo geometrico deipunti del piano che godono di una certa proprietà caratteristica.

Definizione. Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti delpiano equidistanti da una retta fissa, detta direttrice, e da unpunto fisso, detto fuoco.


Costruzione della parabolaCostruzione della parabolaAssegnati il fuoco F e la direttrice d di una parabola, per disegnarla, per determinare alcuni suoi punti, si procede come segue. Si traccia dapprima l’asse di simmetria (retta per F e perpendicolare alla d) e si segna il punto medio V del segmento su di essa intercettato dal fuoco e dalla direttrice; questo è il vertice della parabola. Con centro in F e con un raggio qualsiasi (purchè maggiore della lunghezza del segmento FV), si disegna la circonferenza; si manda quindi la retta r1 parallela alla d e avente da essa distanza uguale al raggio della circonferenza appena tracciata. I due punti P1 e P’1 d’intersezione tra la circonferenza e la retta r1 appartengono alla parabola. Ripetendo questa costruzione per una seconda circonferenza si possono ottenere tutti i punti della parabola (Fig. 4).


Fig. 4Fig. 4

asse

di

sim

met

ria

Circonferenza di centro F e raggio FP2

F (fuoco)

d (direttrice)

r2

P2

H2

P’2

V

H1

H

P1P’1

r1


Equazione con asse parallelo all’asse Equazione con asse parallelo all’asse yy e e VVOO

y

xO

F (0;p/2)

d

P(x;y)

H


p Parametro della parabola

(Rappresenta la distanza orientata del fuoco dalla direttrice)

Il fuoco avrà coordinate F )2

p(0;

La direttrice ha equazione 2

py

dovep2

1a

Equazione parabola y=ax2


Effetto del coefficiente Effetto del coefficiente aa

ESEGUI

Grafico di una parabola y = ax2Unità di misura asse X = 0,5

Le celle di Input sono evidenziate in giallo

a = -2

Vx = 0,00

Vy = 0,00

x y-2,00 -8,00-1,50 -4,50-1,00 -2,00-0,50 -0,500,00 0,000,50 -0,501,00 -2,001,50 -4,502,00 -8,00

Grafico parabola

-9,0

-8,0

-7,0

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5


Equazione con asse parallelo all’asse Equazione con asse parallelo all’asse yy e e VVOOy

x

O

P(x;y)


Equazione y = ax2 + bx + c

Fuoco

Vertice

Direttrice

Asse di simmetria

)a4

;a2

b( V

a2

bx

)a4

1;

a2

b(F

a4

1y


Effetti dei coefficienti a, b , cEffetti dei coefficienti a, b , cGrafico di una parabola y = ax2 + bx + c Unità di misura asse X = 0,5

Le celle di Input sono evidenziate in giallo

a = 2b = -3c = 1

Vx = 0,75

Vy = -0,13

x y-1,25 7,88-0,75 4,38-0,25 1,880,25 0,380,75 -0,131,25 0,381,75 1,882,25 4,382,75 7,88

Grafico parabola

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ESEGUI


Equazione parabola noti fuoco e diretticeEquazione parabola noti fuoco e diretticeEquazione della parabola noti Fuoco e Direttrice X iniziale -1,5

Le celle di Input sono evidenziate in giallo Incremento X 1

XF = 3,00

YF = 3,00

x ydirettrice Y = 1,00 -1,50 7,06

-0,50 5,06a = 0,25 0,50 3,56b = -1,5 1,50 2,56c = 4,25 2,50 2,06

3,50 2,06

Vx = 3 4,50 2,56

Vy = 2 5,50 3,56

6,50 5,067,50 7,06

Grafico parabola

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

-2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

ESEGUI


Equazione parabola noti tre puntiEquazione parabola noti tre puntiEquazione della parabola passante per tre puntiLe celle di Input sono evidenziate in giallo

Matrice dei coefficienti Det = -6Ascissa Ordinata a b c T.N.

Punto A 0 -9 0 0 1 -9Punto B 2 -1 4 2 1 -1Punto C -1 -7 1 -1 1 -7

Matrice per calcolo di a Det = -12-9 0 1

Coefficienti della parabola -1 2 1a = 2 -7 -1 1b = 0

c = -9 Matrice per calcolo di b Det = 00 -9 14 -1 11 -7 1

Matrice per calcolo di c Det = 540 0 -94 2 -11 -1 -7

ESEGUI


Intersezione retta-parabolaIntersezione retta-parabolaRETTA - PARABOLA m= 1 DELTA = 25 X Retta Parabola

Celle di Input evidenziate in giallo q= 3 Retta secante -3,0 0,0 -12,0

-2,5 0,5 -6,5

a= -2 -2,0 1,0 -2,0

b= 0 x iniziale -3 -1,5 1,5 1,5

c= 6 passo 0,5 -1,0 2,0 4,0-0,5 2,5 5,50,0 3,0 6,00,5 3,5 5,51,0 4,0 4,01,5 4,5 1,52,0 5,0 -2,02,5 5,5 -6,53,0 6,0 -12,0

Y = m X + q Y = a X^2 + bX + c

-14,0

-12,0

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0

Retta Parabola

ESEGUI


F I N EF I N E

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