Professor Neilton

Geometria Analítica

Livro 05 – cap. 02 Senos e Co-senos - Teoremas

Livro 05 – cap. 02 Senos e Co-senos - Teoremas

Livro 05 – cap. 02 Senos e Co-senos - Teoremas

III

Livro 05 – cap. 03 – Polígonos Regulares - Apótemas

6

9 3

4

5

8

7

12 1

2

120º

º120

º3602

x

R

312.14,3.2

º360º120.2

xRx

01. Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere

a) 37,7 cm.

b) 25,1 cm.

c) 20 cm.

d) 12 cm.

e) 3,14 cm.

= (3,14)

02. Calcule o lado AB do triângulo abaixo.

45º

2 m

2 mAC

B R E S O L U Ç Ã OVamos usar a LEI dos CO-SENOS:x

X2 = 22 + – 2. 2 . . cos 45º

2)2( )2(

X2 = 6 – 4

2X

X2 = 4 + 2 – 4. . 22

2

BA

O

UFBA 2003 – 1ª Fase 

Uma ponte com formato de um arco de circunferência e comprimento igual a

quilômetros, liga dois pontos A e B situados em margens opostas de um rio, conforme figura ao lado. Sabe-se que O é o centro da circunferência e que o ângulo

AOB mede rd. Calcule d2,

sendo d a distância, em quilômetros, entre os pontos A e B. 

  

32π

34

 é o arco

ponteEXERCÍCIO 03EXERCÍCIO 03

Arco e Ângulo CentralArco é cada uma das partes em que fica dividida a circunferência, quando consideramos dois de seus pontos.

- A cada arco corresponde um ângulo central, cujo vértice é o centro da circunferência.

 é o arco

BA

O

UFBA 2003 – 1ª Fase 

Uma ponte com formato de um arco de circunferência e comprimento igual a

quilômetros, liga dois pontos A e B situados em margens opostas de um rio, conforme figura ao lado. Sabe-se que O é o centro da circunferência e que o ângulo

AOB mede rd. Calcule d2,

sendo d a distância, em quilômetros, entre os pontos A e B. 

  

32π

34

 é o arco

ponteEXERCÍCIO 03EXERCÍCIO 03

04. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual se conhecem um lado a = 20 m e o ângulo oposto  = 30º.

A

BC

30º

20 cm

R

º30.220 senR

Rsen

2º30

20

cmR 2021.220 R

Aplicação da LEI dos SENOS

05. Calcule o lado AB do triângulo abaixo.

45º

2 m

2 mAC

B R E S O L U Ç Ã OVamos usar a LEI dos CO-SENOS:x

X2 = 22 + – 2. 2 . . cos 45º

2)2( )2(

X2 = 6 – 4

2X

X2 = 4 + 2 – 4. . 22

2

30º

12

yx

06. ( UNEB – 2001 ) Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do triângulo de área igual a 18 u.a. O valor de é igual a

xy 2

01) 2402) 3603) 30 – 1204) 30 – 1205) 30 + 12

23

3

VAMOS A RESOLUÇÃO:

Pelo teorema da área temos:

18 = 12 . X . Sen 30º

2

18 = 12 . X . (1/2)

2X = 6

Pela Lei dos cossenos:

Y2 = x2 + 12 2 – 2 . x . 12 . Cos 30º

Y2 = 62 + 12 2 – 2 . 6 . 12 . / 23

Y2 = 180 – 72 3

Logo y2 / x = 30 – 12 3

30º

12

yx

30º

12

yx

06. ( UNEB – 2001 ) Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do triângulo de área igual a 18 u.a. O valor de é igual a

xy 2

01) 2402) 3603) 30 – 1204) 30 – 1205) 30 + 12

233

30º

12

yx

06. ( UNEB – 2001 ) Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do triângulo de área igual a 18 u.a. O valor de é igual a

xy 2

01) 2402) 3603) 30 – 1204) 30 – 1205) 30 + 12

233

OUTRA MANEIRA DE RESOLVER ESTA QUESTÃO:

h

A = B . h /2 => 18 = 12 . h / 2 h=3

06. ( UNEB – 2001 ) - continuação

y2 = 32 + (12 – 3 )23

OUTRA MANEIRA DE RESOLVER ESTA QUESTÃO:

30º

12

yx

h

A = B . h /2 => 18 = 12 . h / 2 h=3sen 30º = h /x => x = 3 / 0,5 x = 6

h y

12 - a

h

a

x

X2 = a2 + h2

62 = a2 + 32

3a = 3

y2 = h2 + (12 – a )2

y2 = 9 + 144 –72 + 27 3

y2 = 180 – 72 3

xy 2

= 30 – 12 3

81

61

41

21

07. Na figura abaixo, os triângulos ABC e AB'C' são semelhantes. Se então o perímetro de

b)

AB'C' dividido pelo perímetro de ABC é igual a:

a)

d)

c)

1 e)

A razão entre os perímetros é a mesma que existe entre lados de triângulos semelhantes. Portanto, a razão entre o perímetro de AB’C’ e o perímetro de ABC é

41