Upload
jaxon
View
75
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
POGLAVJE 6. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS. TEKOČINE. Snovi kot so zrak in voda so primeri tekočin. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
POGLAVJE 6
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TEKOČINE
Snovi kot so zrak in voda so primeri tekočin.
Voda predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo kapljevine. Zrak predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo plini.
Bistvo tekočin je, da se ne morejo upreti strižnim napetostim brez konstantne deformacije.
Če damo vodo med dve plošči in ju vlečemo v različnih smereh se bovoda kontinuirano deformirala.
Če damo vodo v posodo, bo dobila obliko posode.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Gostota zraka se močno spreminja s tlakom. Zrak lahko idealiziramokot stisljivo tekočino.
Gostota vode se šibko spreminja s tlakom. Vodo lahko idealiziramo kot nestisljivo tekočino. Če pa obravnavamo akustične valove v vodi,pa jo moramo obravnavati kot stisljivo.
V tem poglavju obravnavamo linearne viskozne tekočine aliNewtonske tekočine.
Pri teh tekočinah so napetosti zaradi gibanja linearno odvisne od hitrosti deformacije.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TEKOČINE
Tekočine imenujemo razred idealiziranih materialov kateri (ko so v togem gibanju ali mirovanju) ne morejo zadržati strižnih napetosti.
Z drugimi besedami: ko je tekočina v togem gibanju ali mirovanju je napetost v katerikoli točki in glede na katerikoli ravnino pravokotna na to ravnino.
Zapišimo
Tn n
Velikost napetostnega vektorja je enaka za vsako ravnino, ki gre skozidano točko.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
1 1 1Tn n
2 2 2Tn n
1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 n Tn n Tn n n n n n n
Predpostavimo dve takšni ravnini, definirani s smernima vektorjema 1 2,n n
Zapišimo razliko
Velja
T2 1 1 2
T
2 1 1 2
n Tn n T n
T T
n Tn n Tn
Iz tega sledi 2 1 1 2 0 n n 1 2
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
pT l
ij ijT p
Pravokotne napetosti na vse ravnine, ki gredo skozi točko so enake.
Pri tem smo pravokotne napetosti definirali z p
V komponentni obliki je ta enačba
p definiramo kot hidrostatični tlak
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STISLJIVE IN NESTISLJIVE TEKOČINE
0D
Dt
Iz enačbe ohranitve mase sledi
0k
k
vD
Dt x
Za nestisljivo tekočino velja
0k
k
v
x
0 v
Nestisljive tekočine so definirane z relacijo
Vse nestisljive tekočine imajo lahko od kraja različno gostoto. Če je gostota konstantna, tekočine imenujemo homogene tekočine.
0t
v
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
ENAČBE HIDROSTATIKE
0iji
j
TB
x
ij ijT p
ii
pB
x
p B
1 2 30, 0, B B B g 1 2 3
0, 0, p p p
gx x x
Enačbe ravnovesja, izražene z napetostmi, so:
Za tekočine velja
Sledi
V primeru gravitacijskega polja velja
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2 1p p gh
i ii
pB a
x
Tlačna razlika med dvema točkama je
2 1p p gh
h je relativna globina točke glede na točko .2p 1p
V primeru togega gibanja fluida velja
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEWTONSKE TEKOČINEKo deluje strižna napetost na elastično trdnino se deformira iz začetne konfiguracije v končno konfiguracijo z od nič različno strižno deformacijo.
Deformacija bo izginila, ko bo izginila strižna napetost.
Ko deluje strižna napetost na tekočino se deformira iz začetne konfiguracijein bo dosegla ustaljene razmere, pri katerih se bo tekočina kontinuirno deformirala z od nič različno strižno hitrostjo.
Deformacija bo ostala, ko bo izginila strižna napetost.
Strižne napetosti v tekočini so neodvisne od strižne deformacije.Strižne napetosti v tekočini so odvisne od hitrosti strižne deformacije.
Za takšne tekočine ni potrebna strižna napetost za ohranjanje strižnedeformacije.
Potrebna pa je končna strižna napetost za ohranjanje hitrosti strižnedeformacije.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pri tekočinah napetostni tenzor razdelimo na dva dela
'ij ij ijT p T
'ijT je odvisen od hitrosti deformacije. Je enak nič v primeru, ko se
tekočina togo giba ali miruje (hitrost deformacije je enaka nič).
p je skalar katerega vrednost ni odvisna od hitrosti deformacije
Definirajmo razred idealiziranih snovi, ki jih imenujemo Newtonske tekočine:
1. Za vsako snovno točko so vrednosti v vsakem času linearno odvisne od komponent hitrosti deformacijskega tenzorja v vsakem trenutku in ne od katerikoli druge kinematične količine. Hitrost deformacije je izražena z gradienti hitrosti kot
ijT tijD
1
2ji
ijj i
vvD
x x
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2. Tekočina je izotropna glede na katerokoli referenčno konfiguracijo.
Najbolj splošna oblika viskoznega napetostnega tenzorja je
2ij ij ijT D 11 22 23 kkD D D D
Celotni napetostni tenzor je
2ij ij ij ijT p D
11 11
22 22
33 33
2
2
2
T p D
T p D
T p D
12 12
13 13
23 23
2
2
2
T D
T D
T D
p imenujemo tlak. V splošnem ni enak celotni pravokotni napetostina ravnino.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
INTERPRETACIJA “LAMBDA” IN “MI”
1 1 2
2
3
( )
0
v 0
v v x
v
11 22 33 13 23 0D D D D D
11 22 33 13 23, 0T T T p T T 112
2
dvT
dx
112
2
1
2
dvD
dx
imenujemo prvi koeficient viskoznosti. Je sorazmernostna konstanta, ki korelira strižno napetost glede na hitrost zmanjševanja kota med dvema pravokotnima snovnima linijama
Imejmo strižni tok, ki ga podamo z enačbo
Za ta tok velja
Sledi
1 2x x
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za poljubno hitrostno polje velja
1 2
3 3iiT
Kjer je
iiD
hitrost spremembe volumna (ali dilatacija).
2
3
je sorazmernostna konstanta, ki korelira normalne viskozne napetosti
1
3 iiT
s hitrostjo spremembe volumna .
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2
3
Koeficient
Imenujemo drugi koeficient viskoznosti ali notranja viskoznost.
Povprečna pravokotna napetost je
1 2
3 3iiT p
Vidimo, da tlak ne predstavlja normalno pravokotno napetostv primeru, ko sta drugi koeficient viskoznosti in hitrost spremembevolumna različna od nič.
Privzetek, da je notranja viskoznost enaka nič za stisljive tekočine imenujemo Stokesov privzetek.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NESTISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE
2ij ij ijT p D
Za nestisljive tekočine ves čas velja
0iiD
Konstitucijska enačba za takšno tekočino je
Iz te enačbe sledi
2 3ii ii iiT p D p
3iiTp
Pri nestisljivi tekočini ima tlak pomen povprečne pravokotne napetosti.Tlak v tem primeru ne zavisi od nobene kinematične lastnosti. Je nedoločen glede na mehansko obnašanje tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Tlak pri nestisljivih tekočinah imenujemo “nedoločeni tlak”. V primeru,ko imamo predpisane tlačne robne pogoje, tlak postane predpisan.
Velja
1
2ji
ijj i
vvD
x x
Konstitucijsko zvezo lahko napišemo
jiij ij
j i
vvT p
x x
V komponentni obliki
111
1
222
2
333
3
2
2
2
vT p
x
vT p
x
vT p
x
1 212
2 1
3113
3 1
3223
3 2
v vT
x x
vvT
x x
vvT
x x
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE
iji ij i
j j
Tv vv B
t x x
2i i i
j ij i j j
v v vpv B
t x x x x
Navier - Stokesove enačbe predstavljajo enačbe gibanja tekočine,zapisane s hitrostnimi komponentami tekočine.
Enačbe gibanja tekočine, zapisane z napetostmi, so
Če vstavimo konstitucijsko enačbo v zgornjo enačbo, dobimo
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE
2 2 21 1 1 1 1 1 1
1 2 3 1 2 2 21 2 3 1 1 2 3
2 2 22 2 2 2 2 2 2
1 2 3 2 2 2 21 2 3 2 1 2 3
3 3 3 31 2 3
1 2 3
v v v v v v vpv v v B
t x x x x x x x
v v v v v v vpv v v B
t x x x x x x x
v v v vv v v
t x x x
2 2 23 3 3
3 2 2 23 1 2 3
v v vpB
x x x x
V komponentni obliki velja
V koordinatno invariantni obliki velja
2vp
t
v v B v
To je Navier - Stokesova enačba gibanja nestisljive Newtonske tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE
31 2
1 2 3
0vv v
x x x
0 v
1
2
3
v
v
v
p
V omenjenih enačbah nastopajo štiri neznanke
Za njihovo rešitev potrebujemo štiri enačbe. Četrta enačba je
V primeru, da v Navier-Stokesovi enačbi izpustimo tlačni del, dobimoBurgerjevo enačbo. Uporablja se pri številnih teoretičnih obravnavahNavier - Stokesovih enačb.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ROBNI POGOJI
Na togi površini imamo tako imenovane nezdrsne robne pogoje.To pomeni, da je hitrost tekočine na tem robu enaka hitrosti roba.
Eksperimenti so pokazali, da omenjeno velja tudi za tekočine, ki neomočijo površine (npr. živo srebro) in tekočine, ki se ne obnašajo Newtonsko.
Nezdrsni robni pogoji so nekaj drugega kot nepropustni robni pogoji.
v 0
v n 0
v n 0
nezdrsni robni pogoji
nepropustni robni pogoji
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TOKOVNICA, POTOVNICA, USTALJEN, NEUSTALJEN, LAMINAREN IN TURBULENTEN TOK
,d
tds
xv x
00s x x
Tokovnica ob času je krivulja, katere tangenta v vsaki točki je enakasmeri hitrosti v tej točki.
t
Eksperimentalno lahko tokovnice vidimo preko delcev v tekočini, ki jih slikamo s primerno dolgo (kratko) odprto zaslonko.
Matematično pa lahko tokovnice izračunamo na naslednji način
sx x
Je parametrična enačba tokovnice ob času , ki gre skozi točko . t 0x
Vektor pri kateremkoli je tengencialen na krivuljo v tej točki. lahko vedno izberemo tako, da velja . Izberemo pri poziciji .
/d dsx ss /d ds x v
0s 0x
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Potovnica je pot, po kateri se giba delec tekočine. Za fotografiranje potovnice je potrebna (ustrezno) dolgotrajna ekspozicija.
Potovnico matematično opišemo kot
,d
tds
xv x
0t x X
Naj bo neodvisna spremenljivka.
Pri ustaljenem toku velja
V splošnem tudi pri ustaljenem toku velja
0fixedt
x
0D
Dt
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
USTALJENI IN NEUSTALJENI TOK
Tok imenujemo ustaljen, če se na vseh lokacijah toka nič ne spreminjas časom.
V nasprotnem primeru je tok neustaljen.
V ustaljenem toku se hitrost, pospešek, temperatura, itd. danega delca v splošnem spreminjajo!!! s časom.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za primer si oglejmo
1 1 2 2 3, , 0v kx v kx v
Omenjeni tok ima od nič različen pospešek
2 21 21 1 2 2 3, , a 0
Dv Dva k x a k x
Dt Dt
Za ustaljene tokove je tokovnica enaka potovnici.
Za ustaljene tokove je potovnica enaka tokovnici.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
LAMINARNI IN TURBULENTNI TOK
Laminarni tok je urejeni tok pri katerem se delci tekočine gibajo v gladkih plasteh ali laminah. Drsijo mimo delcev v sosednjih laminah brezda bi se mešali z njimi.
Takšni tokovi se običajno opazijo pri nizkih hitrostih toka.
Reynolds je ugotovil naslednje za okroglo cev premera
Re mv d
Re 2100
d
tok je laminaren in stabilen
Re 100000 tok je lahko še vedno laminaren, vednar takoj postaneturbulenten, če ga le malo zmotimo.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
RAVNINSKI COUETTOV TOK
1 2 2 3, v 0, v 0v v x
0 22
v xv x
d
Iz Navier - Stokesovih enačb in robnih pogojev
0
(0) 0
( )
v
v d v
Dobimo
fiksna plošča
premična plošča
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
RAVNINSKI POISEUILLE-OV TOK
1 2 2 3, 0, 0v v x v v
2
21 2 2 3
, 0, 0p v p p
x x x x
2
21
0p
x
1
constantp
ax
2
22
v
x
1
p
x
Najprej zanemarimo gravitacijo, pa dobimo
Iz druge in tretje enačbe zgoraj vidimo, da tlak ne zavisi od . 2 3 x x
Zato velja
Iz enačbe zgoraj dobimo22
2 2
xv Cx D
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
0v b v b
Integracijske konstante določimo iz robnjih pogojev
Integracijski konstanti sta
2
0
2
C
bD
Sledi
2
2 22 22
bv x b x
Največja hitrost toka je
2
max 2 2
bv x
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Volumen tekočine, ki gre skozi cev na enoto časa lahko izračunamoz integracijo
3
2
2
3
b
b
bQ vdx
Povprečna hitrost je
2
2 3
Q bv
b
V nadaljevanju pokažimo, da ima Poiseuillov tok vedno paraboličen profil,ne glede na to ali je prisotna gravitacija.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
gB kVolumsko silo definiramo kot
k je enotski vektor v smeri navzgor.
Komponente volumske sile v koordinatnih smereh so
1 1
2 2
3 3
B g
B g
B g
e k
e k
e k
Pozicijski vektor delca tekočine je
1 1 2 2 3 3x x x r e e e
1 1 2 2 3 3y x x x r k e k e k e k
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
11
22
33
y
x
y
x
y
x
e k
e k
e k
1 2 31 2 3
, , y y y
B g B g B gx x x
2
21 2 2 3
0 0p gy p gy p gyv
x x x x
Navier-Stokesove enačbe2
1 2 321 2 2 3
0 0 0p v p p
B B Bx x x x
potem dobijo obliko
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Te enačbe so enake kot v prejšnjem primeru brez gravitacije. Samočlen s tlakom se je spremenil v člen
p p gy
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
RAVNINSKI COUETTE-OV TOK DVEH PLASTI NESTISLJIVEGAVISKOZNEGA FLUIDA
2 (1) (1) (1)
122 2 3
plast 1: 0 , 0 , 0d v dp dp
gdx dx dx
2 (2) (2) (2)
222 2 3
plast 2: 0 , 0 , 0d v dp dp
gdx dx dx
Zgornja plošča se giba.Spodnja plošča miruje.Tlačni gradient v smeri toka je nič.
Distribucija toka v zgornji plasti je
Distribucija toka v spodnji plasti je
(1) (1) (1) (1)1 2 2 3
(2) (2) (2) (2)2 2 2 3
0 0
0 0
v v x v v
v v x v v
Navier - Stokesove enačbe dajo
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
(1) (1)1 2 1 1 2 1
(2) (2)2 2 2 2 2 2
,
,
v A x B p gx C
v A x B p gx C
Integracija omenjenih enačb da
(2)2 20 pri v x b
(1)0 2 1 pri v v x b
(1) (2)2 pri 0v v x
Uporabimo naslednje robne pogoje
Robni pogoji med obema plastema so
2 2
(1) (2) e et t ali(1) (2)
2 2T e T e pri 2 0x
med plastema tekočine ni zdrsa
Napetostni vektor v plasti 1 je enak in nasproten temu v plasti 2
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
(1) (2)12 12
(1) (2)22 22
(1) (2)32 32
T T
T T
T T
pri 2 0x
(1)(1)
122
(2)(1)
222
(1) (2)32 32
(1) (1)22
(2) (2)22
0
dvT
dx
dvT
dx
T T
T p
T p
Napetostne komponente morajo biti zvezne preko vmesne plasti
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Z uporabo robnih pogojev dobimo
2 2 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 2, , , B A b B v Ab B B A A
2 0 1 0 21 1
1 2 2 1 1 2 2 1
1 0 2 1 02 2
1 2 2 1 1 2 2 1
, ,
,
v v bA B
b b b b
v b vA B
b b b b
To so štiri enačbe za štiri neznanke 1
2
1
2
A
A
B
B
Iz njih izračunamo
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Porazdelitvi hitrosti v obeh plasteh sta
2 2 1 2 0(1) (1) (1)1 2 3
2 1 1 2
1 2 1 2 0(2) (2) (2)1 2 3
2 1 1 2
, 0
, 0
x b vv v v
b b
x b vv v v
b b
Na koncu iz pogojev (1) (2)
1 2 0
(1)1 2 0
(2)2 2 0
0
p p
C C p
p gx p
p gx p
p
je tlak na meji, ki je predpisan
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
COUETTE-OV TOK
Zaenkrat ne obravnavamo.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TOK V BLIŽINI OSCILIRAJOČE RAVNINE
1 2 2 3, , 0, 0v v x t v v
2
22
v v
t x
22cosxv ae t x
2
cosv a t
Zadošča enačbi
Zaenkrat ne obravnavamo!
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
DISIPACIJSKA FUNKCIJA ZA NEWTONSKE TEKOČINE
. . s
DP K E PdV
Dt i
s ijj
vP T
x
Hitrost dela (moč) je bila izpeljana v Poglavju 3
je setavljena iz spremembe kinetične energije in spremembe volumna in oblike delca.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
A. Nestisljive Newtonske tekočine
ij ij ijT p T
2 2 2i i iij ij ij ij ij ij ij ij
j j j
v v vT T D D D W D D
x x x
i i iij ij
j i j
v v vT p T
x x x
Zaradi tega
0i
i
v
x
Imamo
Pomnožimo z gradientom hitrosti
Za nestisljive tekočine velja
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pri tem nadalje upoštevamo
antisim iij
j
vW
x
0ij ijD W
Zaradi tega
2 2 2 2 2 211 22 33 12 13 232 2 2 2 2s ij ijP D D D D D D D D
Funkcijo
Imenujemo disipacijsko funkcijo nestisljive tekočine. Predstavlja hitrost spreminjanja dela v toploto.
2 2 2 2 2 211 22 33 12 13 232 2 2 2 2inc ij ijD D D D D D D D
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
B. Stisljive Newtonske tekočine
22i iij ij ij ij inc com
j j
v vT p D p p
x x
i
i
v
x
211 22 33com incD D D
Disipacijska funkcija za stisljive Newtonske tekočine
Napišemo jo lahko v obliki
2
11 22 33
2 2 2
11 22 11 22 22 33
2 2 212 13 23
2
3
2
3
4
com D D D
D D D D D D
D D D
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENERGIJSKA ENAČBA ZA NEWTONSKO TEKOČINO
i iij s
j i
v qDuT q
Dt x x
k
Energijska enačba za kontinuum je
i
s
q
q
komponenta vektorja toplotnega toka
notranja generacija toplote
Fourierjeva konstitucijska enačba za toplotni tok je
k q
koeficient toplotne prevodnosti
temperatura
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2i
ij sj j j
vDc T k qDt x x x
iij s
j i j
vDuT k q
Dt x x x
Tako energijska enačba postane
Upoštevajmo še relacijo
u c Kjer smo vpeljali specifično toploto .c
iij s
j i j
vDc T k qDt x x x
Velja
V primeru konstantne toplotne prevodnosti velja
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2
j j
D
Dt x x
V primeru, da ni notranjih izvorov toplote velja
k c toplotna difuzivnost
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
VEKTOR VRTINČNOSTI
Antisimetrični del tenzorja gradienta hitrosti je definiran kot spinski tenzor .
vW
Wx ω x 23 1 31 2 12 3W W W ω e e e
Dd d d d d
Dt x v x D x W x D x ω x
ω predstavlja vektor kotne hitrosti poglavitnih smeri tenzorja hitrostideformacije .D
če je enotski vektor v poglavitni smeri velja D
D
Dt
nWn ω x
n
Naj bo snovni element v smeri ob času . Potem imamon tdxd
dsx
n Kjer je dolžina . dxds
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2
1 1D D d D Dd ds d
Dt Dt ds ds Dt ds Dt
n xx x
V poglavju 3 smo izpeljali
1 Dds
ds Dt
n Dn
D
Dt
nD W n n Dn n Wn Dn n Dn n
Sledi
velja
0
Dn n
n Dn
Dn n Dn n
*
Snovni odvod prejšnje enačbe da
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Enačba postane *
D
Dt
nWn
Snovni elementi, ki so v poglavitnih smereh se vrtijo s kotno hitrostjo in obenem spreminjajo dolžine.
D ω
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
1 1 1
2 2 2
v vv v v v
x x x x x x
ω e e e
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
2v vv v v v
x x x x x x
ς ω e e e
V Kartezijevih koordinatah velja
Vektor vrtinčnosti definiramo kot
Tenzor vrtinčnosti definiramo kot 2W
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Kartezijeve komponente vektorja vrtinčnosti so
ki ijk
j
v
x
Ali ekvivalentno
jikij k
j i
vv
x x
V brezkoordinatnem zapisu velja
ς v
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI TOK
2 23 2
12 3 3 2 3 2
0v v
x v x x x x
1 2 31 2 2
, , , ii
v v v vx x x x
Če je vektor vrtinčnosti enak nič na določenem delu tekočine in ob določenem času pravimo, da je tok nevrtinčen na določenem kraju ob določenem času.
Imejmo skalarno funkcijo
1 2 3, ,x x x iz katere definiramo hitrostne komponente po naslednjih izrazih
V tem primeru so komponente vrtinčnosti vse enake nič
Enako velja 2 0 3 0
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
0i
i
v
x
2
0j jx x
Za nestisljivo tekočino imamo enačbo
Če kombiniramo definicije hitrostnih komponent z zgornjo enačbo,dobimo
V naslednjih dveh podpoglavjih diskutiramo kdaj so nevrtinčni tokovi dinamično možni pri neviskoznih in viskoznih tekočinah.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI TOK NEVISKOZNE NESTISLJIVE TEKOČINE HOMOGENE GOSTOTE
ij ijT p
Neviskozna tekočina je definirana z naslednjo konstitucijsko zvezo
To enačbo dobimo, če postavimo viskoznost na nič pri Newtonskihviskoznih tekočinah. Enačba gibanja takšne tekočine je
i ij i
j i
v v pv B
t x x
To je Eulerjeva enačba gibanja.
Sedaj pokažimo, da so nevrtinčni tokovi vedno dinamično možni zaneviskozno, nestisljivo tekočino s homogeno gostoto, če so volumskesile konservativne.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ii
Bx
Volumske sile izpeljemo iz potenciala kot
V primeru gravitacije, kjer os gleda navzgor, velja3x
3gx
Tako je
1 2 30, 0, B B B g
i ij
j i
v v pv
t x x
Eulerjevo enačbo gibanja lahko napišemo kot
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V primeru nevrtinčnega toka velja
ji
j i
vv
x x
Tako sledi
21 1
2 2ji
j j j jj i i i
vv vv v v v
x x x x
Kjer je hitrost 2 2 2 2
1 2 3v v v v
i ij
j i
v v pv
t x x
Tako lahko zapišemo
2
02i
v p
x t
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Nadalje velja
2
( )2
v pf t
t
V primeru, da je tok tudi ustaljen, velja
2
const2
v pC
Zgornji dve enačbi imenujemo Bernoullijevi enačbi.
Za katerokoli funkcijo , samo da velja
ii
vx
2
0j jx x
lahko enačbe gibanja vedno integriramo in dobimo Bernoullijevo enačbo.
v 2 0
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI TOKOVI KOT REŠITVE NAVIER-STOKESOVIH ENAČB
21i i ij i
j i j j
v v vpv B
t x x x x
Za nestisljivo Newtonsko tekočino so enačbe gibanja Navier - Stokesove enačbe
ii
vx
2 2 2
0i
j j j j i i j j
v
x x x x x x x x
Za nevrtinčni tok velja
Tako, da velja
V tem primeru viskozni členi v Navier-Stokesovi enačbi izginejo. In enačbadobi enako obliko kot Eulerjeva enačba.
Nevrtinčni tokovi so dinamično možni tudi za viskozne tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TRANSPORTNA ENAČBA ZA VRTINČNOST V PRIMERU NESTISLJIVEVISKOZNE TEKOČINE S KONSTANTNO GOSTOTO
2i i i
jj i j j
v v vpv v
t x x x x
m imni
n
D v
Dt x
2m m m
nn j j
D vv
Dt x x x
2Dv
Dt ς
v ς ς
Komponente vrtinčnosti so
V primeru, ko lahko volumsko silo izpeljemo iz potenciala, velja
ii
Bx
Dinamična viskoznost je
Z vrtinčnostjo lahko Navier - Stokesove enačbe izrazimo kot
V brezkoordinatnem zapisu
V primeru nestisljive tekočine2D
vDt ς
ς
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
KONCEPT ROBNEGA SLOJA
2Dv
Dt
V tem poglavju kvalitativno opišemo koncept viskoznega robnega sloja. Enačba za vrtinčnost v dveh dimenzijah za nestisljivo viskozno tekočino je
Enačba prevoda toplote je
2D
Dt
Definirajmo '
'2 'D
Dt
' 2 20; x y
dominira prevod
dominira konvekcija
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za vrtinčnost velja podobna enačba
2Dv
Dt
2 20; x y
Na ta način lahko tok razdelimo na viskozni robni sloj in na nevrtinčni tok.
Na ta način si zelo olajšamo računanje.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE
Predpostavimo, da ima spremeljivka enako vrednost kot termodinamski tlak.
p
Tlak določimo iz enačbe stanja
,p p
Za idealni plin velja
p R
, 2ij ij ij ijT p D
Napetostni tenzor je v tem primeru
je sprememba dilatacije, podana z j
j
v
x
1
3 iiT p
2
3
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Konstitucijsko enačbo zapišemo v obliki
22
3ij ij ij ij ijT p D
Predpostavimo konstanten in , pa dobimo enačbo gibanja
3j ji i
ii i i j j i j
v vDv vpB
Dt x x x x x x x
Imamo pa tudi enačbo kontinuitete
0j
j
vD
Dt x
In energijsko enačbo2
0iij
j j j
vDuT k
Dt x x x
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Imamo pa še naslednje zveze
,u u
Vu c
V primeru idealnega plina velja
Tako imamo sistem sedmih enačb za sedem naznank
1
2
3
v
v
v
p
u
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENERGIJSKA ENAČBA IZRAŽENA Z ENTALPIJO
ph u
2
0 2
vh h
0ij i j
j
Dh pT v q
Dt t x
Entalpija na enoto mase
Stagnacijska entalpija je definirana kot
V tem primeru energijska enačbapostane
ij ij ijT p T
Pri tem smo označili
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
AKUSTIČNI VALOVI
1i ij
j i
v v pv
t x x
0 0, , , , ,i iv v t t p p p t x x x
Predpostavimo, da je tekočina na začetku v mirovanju
0
1
1i i
jj o i
v v pv
t x x
Razširjanje zvoka lahko opišemo s predpostavko infinitezimalne motnjev stisljivi neviskozni tekočini. Za neviskozno tekočino so enačbe gibanja
0 00, , iv p p
Nato predpostavimo, da tekočino perturbiramo
Substitucija perturbanc v enačbo gibanja podaja
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Linearizirana enačba gibanja je oblike
1i
i o
v p
x t
Na podoben način uporabimo enačbo ohranitve mase
0 0
' '1 0i
jj i
vv
t x x
Linerizirana enačba ohranitve mase je
1 'i
i o
v
x t
Z diferenciranjem eliminiramo hitrost, pa dobimo
2 2
2
'
i i
p
x x t
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V nadaljevanju predpostavimo, da je gostota samo funkcija tlaka. Takšnetekočine imenujemo barotropne.
p p
0
0 0 ...dp
p pd
Razvijmo tlak okoli referenčne vrednosti
Če zanemarimo člene višjega reda dobimo
0
20
20
' p c
dpc
d
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Tako dobimo za barotropičen tok
2 220 2
i i
p pc
x x t
2 220 2
' '
i i
cx x t
Te enačbe so povsem enake enačbam za elastične valove.
Tlačne in gostotne perturbacije bodo potovale s hitrostjo
0
0
dpc
d
dpc
d
hitrost zvoka pri stagnacijski gostoti
lokalna hitrost zvoka
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V primeru izentropne relacije med tlakom in gostoto velja
V tem primeru dobimo lokalno hitrost zvoka v obliki
pc
kjer je konstanta, pa razmerje specifičnih toplot.
p
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI BAROTROPIČNI TOK NEVISKOZNE STISLJIVETEKOČINE
0j j j jt x x x x
Predpostavimo nevrtinčni tok, podan z i iv x
Enačbe gibanja neviskozne tekočine so Eulerjeve enačbe1i i
j ij i
v v pv B
t x x
Predpostavimo barotropičen tok
1 1 1
i i i
d p pdp dp
x dp x x
V smislu ohranitve mase moramo imeti
p p
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pod vplivom konservativnih volumskih sil lahko zapišemo enačbe gibanjav obliki
i ij
j i
v v dpv
t x x
ii
Bx
Z integracijo zgornje enačbe dobimo
2
2
p vf t
t
V ustaljenih razmerah je enaka
2
constant2
p v
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V večini primerov dinamike plinov so volumske sile majhne v primerjavi z ostalimi silami. Sledi
2
constant2
p v
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENODIMENZIONALNI TOK STISLJIVE TEKOČINE
constantAv
0Av d v dA A dv
0d dA dv
A v
Totalni odvod zgornjega izraza podaja
V tem podpoglavju obravnavamo nekatere probleme stisljivih tekočin.Predpostavimo:- tok je enodimenzionalen - v prečni smeri ni razlik.- tok je ustaljen in adiabaten
Pri naštetih predpostavkah velja
Sledi
Iz zgornjega lahko izpeljemo 2M 1 ; M Machovo številodA dv
A v
Enačbo imenujemo Hugoniotova enačba.
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za podzvočni tok zvečanje površine povzroči zmanjšanjehitrosti.
Za nadzvočni tok zvečanje površine povzroči zvečanjehitrosti.
Kritično hitrost lahko dobimo samo v primeru .
M 1
M 1
M=1 0dA
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGAREZERVORJA S ŠOBO
A. The Case of a Divergent Nozzle2
2 1
2 1
02 1 1
p pv
2 1 1 22
1 2 1
21
1
p pv
p
1
2 2
1 1
p
p
For adiabatic flow:
Eliminating from previous equation, 2p1
2 1 22
1 1
21
1
p pv
p
Obravnavamo kasneje!
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGAREZERVORJA S ŠOBO
The rate of mass flow exiting the tank is:1
2 22 2 2 2 1 2 2 1 2
1 1
pdmA v A v A v
dt p
1 22 1
2 22 1 1
1 1
2
1
p pdmA p
dt p p
The maximum value of mass flow:1
2
1
2
1
p
p
The critical value for a given value of2 22
2
pv
1p
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGAREZERVORJA S ŠOBO
When
1 22 11 2
2 1 11 1
2
1R Rp pdm
A pdt
When
1 2
1 2 2 1 1 1
2 1 1
2 2 2constant
1 1 1
dmA p
dt
2, R critical Rp p p p
2, R critical Rp p p p
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGAREZERVORJA S ŠOBO
B. The Case of a Convergent-Divergent Nozzle
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
USTALJENI LAMINARNI TOK NEWTONSKE TEKOČINE V TANKIELASTIČNI CEVI: APLIKACIJA NA RELACIJE MED TLAKOM IN TOKOM V PLJUČNI KRVNI ŽILI
Obravnavamo kasneje!
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010