Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSNEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS



POGLAVJE 6



TEKOČINE

Snovi kot so zrak in voda so primeri tekočin.

Voda predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo kapljevine. Zrak predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo plini.

Bistvo tekočin je, da se ne morejo upreti strižnim napetostim brez konstantne deformacije.

Če damo vodo med dve plošči in ju vlečemo v različnih smereh se bovoda kontinuirano deformirala.

Če damo vodo v posodo, bo dobila obliko posode.



Gostota zraka se močno spreminja s tlakom. Zrak lahko idealiziramokot stisljivo tekočino.

Gostota vode se šibko spreminja s tlakom. Vodo lahko idealiziramo kot nestisljivo tekočino. Če pa obravnavamo akustične valove v vodi,pa jo moramo obravnavati kot stisljivo.

V tem poglavju obravnavamo linearne viskozne tekočine aliNewtonske tekočine.

Pri teh tekočinah so napetosti zaradi gibanja linearno odvisne od hitrosti deformacije.



TEKOČINE

Tekočine imenujemo razred idealiziranih materialov kateri (ko so v togem gibanju ali mirovanju) ne morejo zadržati strižnih napetosti.

Z drugimi besedami: ko je tekočina v togem gibanju ali mirovanju je napetost v katerikoli točki in glede na katerikoli ravnino pravokotna na to ravnino.

Zapišimo

Tn n

Velikost napetostnega vektorja je enaka za vsako ravnino, ki gre skozidano točko.





1 1 1Tn n

2 2 2Tn n

1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 n Tn n Tn n n n n n n

Predpostavimo dve takšni ravnini, definirani s smernima vektorjema 1 2,n n

Zapišimo razliko

Velja

T2 1 1 2

T

2 1 1 2

n Tn n T n

T T

n Tn n Tn

Iz tega sledi 2 1 1 2 0 n n 1 2



pT l

ij ijT p

Pravokotne napetosti na vse ravnine, ki gredo skozi točko so enake.

Pri tem smo pravokotne napetosti definirali z p

V komponentni obliki je ta enačba

p definiramo kot hidrostatični tlak





STISLJIVE IN NESTISLJIVE TEKOČINE

0D

Dt

Iz enačbe ohranitve mase sledi

0k

k

vD

Dt x

Za nestisljivo tekočino velja

0k

k

v

x

0 v

Nestisljive tekočine so definirane z relacijo

Vse nestisljive tekočine imajo lahko od kraja različno gostoto. Če je gostota konstantna, tekočine imenujemo homogene tekočine.

0t

v




ENAČBE HIDROSTATIKE

0iji

j

TB

x

ij ijT p

ii

pB

x

p B

1 2 30, 0, B B B g 1 2 3

0, 0, p p p

gx x x

Enačbe ravnovesja, izražene z napetostmi, so:

Za tekočine velja

Sledi

V primeru gravitacijskega polja velja



2 1p p gh

i ii

pB a

x

Tlačna razlika med dvema točkama je

2 1p p gh

h je relativna globina točke glede na točko .2p 1p

V primeru togega gibanja fluida velja





NEWTONSKE TEKOČINEKo deluje strižna napetost na elastično trdnino se deformira iz začetne konfiguracije v končno konfiguracijo z od nič različno strižno deformacijo.

Deformacija bo izginila, ko bo izginila strižna napetost.

Ko deluje strižna napetost na tekočino se deformira iz začetne konfiguracijein bo dosegla ustaljene razmere, pri katerih se bo tekočina kontinuirno deformirala z od nič različno strižno hitrostjo.

Deformacija bo ostala, ko bo izginila strižna napetost.

Strižne napetosti v tekočini so neodvisne od strižne deformacije.Strižne napetosti v tekočini so odvisne od hitrosti strižne deformacije.

Za takšne tekočine ni potrebna strižna napetost za ohranjanje strižnedeformacije.

Potrebna pa je končna strižna napetost za ohranjanje hitrosti strižnedeformacije.



Pri tekočinah napetostni tenzor razdelimo na dva dela

'ij ij ijT p T

'ijT je odvisen od hitrosti deformacije. Je enak nič v primeru, ko se

tekočina togo giba ali miruje (hitrost deformacije je enaka nič).

p je skalar katerega vrednost ni odvisna od hitrosti deformacije

Definirajmo razred idealiziranih snovi, ki jih imenujemo Newtonske tekočine:

1. Za vsako snovno točko so vrednosti v vsakem času linearno odvisne od komponent hitrosti deformacijskega tenzorja v vsakem trenutku in ne od katerikoli druge kinematične količine. Hitrost deformacije je izražena z gradienti hitrosti kot

ijT tijD

1

2ji

ijj i

vvD

x x



2. Tekočina je izotropna glede na katerokoli referenčno konfiguracijo.

Najbolj splošna oblika viskoznega napetostnega tenzorja je

2ij ij ijT D 11 22 23 kkD D D D

Celotni napetostni tenzor je

2ij ij ij ijT p D

11 11

22 22

33 33

2

2

2

T p D

T p D

T p D

12 12

13 13

23 23

2

2

2

T D

T D

T D

p imenujemo tlak. V splošnem ni enak celotni pravokotni napetostina ravnino.



INTERPRETACIJA “LAMBDA” IN “MI”

1 1 2

2

3

( )

0

v 0

v v x

v

11 22 33 13 23 0D D D D D

11 22 33 13 23, 0T T T p T T 112

2

dvT

dx

112

2

1

2

dvD

dx

imenujemo prvi koeficient viskoznosti. Je sorazmernostna konstanta, ki korelira strižno napetost glede na hitrost zmanjševanja kota med dvema pravokotnima snovnima linijama

Imejmo strižni tok, ki ga podamo z enačbo

Za ta tok velja

Sledi

1 2x x



Za poljubno hitrostno polje velja

1 2

3 3iiT

Kjer je

iiD

hitrost spremembe volumna (ali dilatacija).

2

3

je sorazmernostna konstanta, ki korelira normalne viskozne napetosti

1

3 iiT

s hitrostjo spremembe volumna .



2

3

Koeficient

Imenujemo drugi koeficient viskoznosti ali notranja viskoznost.

Povprečna pravokotna napetost je

1 2

3 3iiT p

Vidimo, da tlak ne predstavlja normalno pravokotno napetostv primeru, ko sta drugi koeficient viskoznosti in hitrost spremembevolumna različna od nič.

Privzetek, da je notranja viskoznost enaka nič za stisljive tekočine imenujemo Stokesov privzetek.



NESTISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE

2ij ij ijT p D

Za nestisljive tekočine ves čas velja

0iiD

Konstitucijska enačba za takšno tekočino je

Iz te enačbe sledi

2 3ii ii iiT p D p

3iiTp

Pri nestisljivi tekočini ima tlak pomen povprečne pravokotne napetosti.Tlak v tem primeru ne zavisi od nobene kinematične lastnosti. Je nedoločen glede na mehansko obnašanje tekočine.



Tlak pri nestisljivih tekočinah imenujemo “nedoločeni tlak”. V primeru,ko imamo predpisane tlačne robne pogoje, tlak postane predpisan.

Velja

1

2ji

ijj i

vvD

x x

Konstitucijsko zvezo lahko napišemo

jiij ij

j i

vvT p

x x

V komponentni obliki

111

1

222

2

333

3

2

2

2

vT p

x

vT p

x

vT p

x

1 212

2 1

3113

3 1

3223

3 2

v vT

x x

vvT

x x

vvT

x x





NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE

iji ij i

j j

Tv vv B

t x x

2i i i

j ij i j j

v v vpv B

t x x x x

Navier - Stokesove enačbe predstavljajo enačbe gibanja tekočine,zapisane s hitrostnimi komponentami tekočine.

Enačbe gibanja tekočine, zapisane z napetostmi, so

Če vstavimo konstitucijsko enačbo v zgornjo enačbo, dobimo






2 2 21 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 2 21 2 3 1 1 2 3

2 2 22 2 2 2 2 2 2

1 2 3 2 2 2 21 2 3 2 1 2 3

3 3 3 31 2 3

1 2 3

v v v v v v vpv v v B

t x x x x x x x

v v v v v v vpv v v B

t x x x x x x x

v v v vv v v

t x x x

2 2 23 3 3

3 2 2 23 1 2 3

v v vpB

x x x x

V komponentni obliki velja

V koordinatno invariantni obliki velja

2vp

t

v v B v

To je Navier - Stokesova enačba gibanja nestisljive Newtonske tekočine.






31 2

1 2 3

0vv v

x x x

0 v

1

2

3

v

v

v

p

V omenjenih enačbah nastopajo štiri neznanke

Za njihovo rešitev potrebujemo štiri enačbe. Četrta enačba je

V primeru, da v Navier-Stokesovi enačbi izpustimo tlačni del, dobimoBurgerjevo enačbo. Uporablja se pri številnih teoretičnih obravnavahNavier - Stokesovih enačb.





ROBNI POGOJI

Na togi površini imamo tako imenovane nezdrsne robne pogoje.To pomeni, da je hitrost tekočine na tem robu enaka hitrosti roba.

Eksperimenti so pokazali, da omenjeno velja tudi za tekočine, ki neomočijo površine (npr. živo srebro) in tekočine, ki se ne obnašajo Newtonsko.

Nezdrsni robni pogoji so nekaj drugega kot nepropustni robni pogoji.

v 0

v n 0

v n 0

nezdrsni robni pogoji

nepropustni robni pogoji



TOKOVNICA, POTOVNICA, USTALJEN, NEUSTALJEN, LAMINAREN IN TURBULENTEN TOK

,d

tds

xv x

00s x x

Tokovnica ob času je krivulja, katere tangenta v vsaki točki je enakasmeri hitrosti v tej točki.

t

Eksperimentalno lahko tokovnice vidimo preko delcev v tekočini, ki jih slikamo s primerno dolgo (kratko) odprto zaslonko.

Matematično pa lahko tokovnice izračunamo na naslednji način

sx x

Je parametrična enačba tokovnice ob času , ki gre skozi točko . t 0x

Vektor pri kateremkoli je tengencialen na krivuljo v tej točki. lahko vedno izberemo tako, da velja . Izberemo pri poziciji .

/d dsx ss /d ds x v

0s 0x



Potovnica je pot, po kateri se giba delec tekočine. Za fotografiranje potovnice je potrebna (ustrezno) dolgotrajna ekspozicija.

Potovnico matematično opišemo kot

,d

tds

xv x

0t x X

Naj bo neodvisna spremenljivka.

Pri ustaljenem toku velja

V splošnem tudi pri ustaljenem toku velja

0fixedt

x

0D

Dt



USTALJENI IN NEUSTALJENI TOK

Tok imenujemo ustaljen, če se na vseh lokacijah toka nič ne spreminjas časom.

V nasprotnem primeru je tok neustaljen.

V ustaljenem toku se hitrost, pospešek, temperatura, itd. danega delca v splošnem spreminjajo!!! s časom.



Za primer si oglejmo

1 1 2 2 3, , 0v kx v kx v

Omenjeni tok ima od nič različen pospešek

2 21 21 1 2 2 3, , a 0

Dv Dva k x a k x

Dt Dt

Za ustaljene tokove je tokovnica enaka potovnici.

Za ustaljene tokove je potovnica enaka tokovnici.



LAMINARNI IN TURBULENTNI TOK

Laminarni tok je urejeni tok pri katerem se delci tekočine gibajo v gladkih plasteh ali laminah. Drsijo mimo delcev v sosednjih laminah brezda bi se mešali z njimi.

Takšni tokovi se običajno opazijo pri nizkih hitrostih toka.

Reynolds je ugotovil naslednje za okroglo cev premera

Re mv d

Re 2100

d

tok je laminaren in stabilen

Re 100000 tok je lahko še vedno laminaren, vednar takoj postaneturbulenten, če ga le malo zmotimo.





RAVNINSKI COUETTOV TOK

1 2 2 3, v 0, v 0v v x

0 22

v xv x

d

Iz Navier - Stokesovih enačb in robnih pogojev

0

(0) 0

( )

v

v d v

Dobimo

fiksna plošča

premična plošča





RAVNINSKI POISEUILLE-OV TOK

1 2 2 3, 0, 0v v x v v

2

21 2 2 3

, 0, 0p v p p

x x x x

2

21

0p

x

1

constantp

ax

2

22

v

x

1

p

x

Najprej zanemarimo gravitacijo, pa dobimo

Iz druge in tretje enačbe zgoraj vidimo, da tlak ne zavisi od . 2 3 x x

Zato velja

Iz enačbe zgoraj dobimo22

2 2

xv Cx D



0v b v b

Integracijske konstante določimo iz robnjih pogojev

Integracijski konstanti sta

2

0

2

C

bD

Sledi

2

2 22 22

bv x b x

Največja hitrost toka je

2

max 2 2

bv x



Volumen tekočine, ki gre skozi cev na enoto časa lahko izračunamoz integracijo

3

2

2

3

b

b

bQ vdx

Povprečna hitrost je

2

2 3

Q bv

b

V nadaljevanju pokažimo, da ima Poiseuillov tok vedno paraboličen profil,ne glede na to ali je prisotna gravitacija.



gB kVolumsko silo definiramo kot

k je enotski vektor v smeri navzgor.

Komponente volumske sile v koordinatnih smereh so

1 1

2 2

3 3

B g

B g

B g

e k

e k

e k

Pozicijski vektor delca tekočine je

1 1 2 2 3 3x x x r e e e

1 1 2 2 3 3y x x x r k e k e k e k



11

22

33

y

x

y

x

y

x

e k

e k

e k

1 2 31 2 3

, , y y y

B g B g B gx x x

2

21 2 2 3

0 0p gy p gy p gyv

x x x x

Navier-Stokesove enačbe2

1 2 321 2 2 3

0 0 0p v p p

B B Bx x x x

potem dobijo obliko



Te enačbe so enake kot v prejšnjem primeru brez gravitacije. Samočlen s tlakom se je spremenil v člen

p p gy





RAVNINSKI COUETTE-OV TOK DVEH PLASTI NESTISLJIVEGAVISKOZNEGA FLUIDA

2 (1) (1) (1)

122 2 3

plast 1: 0 , 0 , 0d v dp dp

gdx dx dx

2 (2) (2) (2)

222 2 3

plast 2: 0 , 0 , 0d v dp dp

gdx dx dx

Zgornja plošča se giba.Spodnja plošča miruje.Tlačni gradient v smeri toka je nič.

Distribucija toka v zgornji plasti je

Distribucija toka v spodnji plasti je

(1) (1) (1) (1)1 2 2 3

(2) (2) (2) (2)2 2 2 3

0 0

0 0

v v x v v

v v x v v

Navier - Stokesove enačbe dajo



(1) (1)1 2 1 1 2 1

(2) (2)2 2 2 2 2 2

,

,

v A x B p gx C

v A x B p gx C

Integracija omenjenih enačb da

(2)2 20 pri v x b

(1)0 2 1 pri v v x b

(1) (2)2 pri 0v v x

Uporabimo naslednje robne pogoje

Robni pogoji med obema plastema so

2 2

(1) (2) e et t ali(1) (2)

2 2T e T e pri 2 0x

med plastema tekočine ni zdrsa

Napetostni vektor v plasti 1 je enak in nasproten temu v plasti 2



(1) (2)12 12

(1) (2)22 22

(1) (2)32 32

T T

T T

T T

pri 2 0x

(1)(1)

122

(2)(1)

222

(1) (2)32 32

(1) (1)22

(2) (2)22

0

dvT

dx

dvT

dx

T T

T p

T p

Napetostne komponente morajo biti zvezne preko vmesne plasti





Z uporabo robnih pogojev dobimo

2 2 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 2, , , B A b B v Ab B B A A

2 0 1 0 21 1

1 2 2 1 1 2 2 1

1 0 2 1 02 2

1 2 2 1 1 2 2 1

, ,

,

v v bA B

b b b b

v b vA B

b b b b

To so štiri enačbe za štiri neznanke 1

2

1

2

A

A

B

B

Iz njih izračunamo



Porazdelitvi hitrosti v obeh plasteh sta

2 2 1 2 0(1) (1) (1)1 2 3

2 1 1 2

1 2 1 2 0(2) (2) (2)1 2 3

2 1 1 2

, 0

, 0

x b vv v v

b b

x b vv v v

b b

Na koncu iz pogojev (1) (2)

1 2 0

(1)1 2 0

(2)2 2 0

0

p p

C C p

p gx p

p gx p

p

je tlak na meji, ki je predpisan





COUETTE-OV TOK

Zaenkrat ne obravnavamo.





TOK V BLIŽINI OSCILIRAJOČE RAVNINE

1 2 2 3, , 0, 0v v x t v v

2

22

v v

t x

22cosxv ae t x

2

cosv a t

Zadošča enačbi

Zaenkrat ne obravnavamo!





DISIPACIJSKA FUNKCIJA ZA NEWTONSKE TEKOČINE

. . s

DP K E PdV

Dt i

s ijj

vP T

x

Hitrost dela (moč) je bila izpeljana v Poglavju 3

je setavljena iz spremembe kinetične energije in spremembe volumna in oblike delca.



A. Nestisljive Newtonske tekočine

ij ij ijT p T

2 2 2i i iij ij ij ij ij ij ij ij

j j j

v v vT T D D D W D D

x x x

i i iij ij

j i j

v v vT p T

x x x

Zaradi tega

0i

i

v

x

Imamo

Pomnožimo z gradientom hitrosti

Za nestisljive tekočine velja



Pri tem nadalje upoštevamo

antisim iij

j

vW

x

0ij ijD W

Zaradi tega

2 2 2 2 2 211 22 33 12 13 232 2 2 2 2s ij ijP D D D D D D D D

Funkcijo

Imenujemo disipacijsko funkcijo nestisljive tekočine. Predstavlja hitrost spreminjanja dela v toploto.

2 2 2 2 2 211 22 33 12 13 232 2 2 2 2inc ij ijD D D D D D D D





B. Stisljive Newtonske tekočine

22i iij ij ij ij inc com

j j

v vT p D p p

x x

i

i

v

x

211 22 33com incD D D

Disipacijska funkcija za stisljive Newtonske tekočine

Napišemo jo lahko v obliki

2

11 22 33

2 2 2

11 22 11 22 22 33

2 2 212 13 23

2

3

2

3

4

com D D D

D D D D D D

D D D





ENERGIJSKA ENAČBA ZA NEWTONSKO TEKOČINO

i iij s

j i

v qDuT q

Dt x x

k

Energijska enačba za kontinuum je

i

s

q

q

komponenta vektorja toplotnega toka

notranja generacija toplote

Fourierjeva konstitucijska enačba za toplotni tok je

k q

koeficient toplotne prevodnosti

temperatura



2i

ij sj j j

vDc T k qDt x x x

iij s

j i j

vDuT k q

Dt x x x

Tako energijska enačba postane

Upoštevajmo še relacijo

u c Kjer smo vpeljali specifično toploto .c

iij s

j i j

vDc T k qDt x x x

Velja

V primeru konstantne toplotne prevodnosti velja



2

j j

D

Dt x x

V primeru, da ni notranjih izvorov toplote velja

k c toplotna difuzivnost



VEKTOR VRTINČNOSTI

Antisimetrični del tenzorja gradienta hitrosti je definiran kot spinski tenzor .

vW

Wx ω x 23 1 31 2 12 3W W W ω e e e

Dd d d d d

Dt x v x D x W x D x ω x

ω predstavlja vektor kotne hitrosti poglavitnih smeri tenzorja hitrostideformacije .D

če je enotski vektor v poglavitni smeri velja D

D

Dt

nWn ω x

n

Naj bo snovni element v smeri ob času . Potem imamon tdxd

dsx

n Kjer je dolžina . dxds



2

1 1D D d D Dd ds d

Dt Dt ds ds Dt ds Dt

n xx x

V poglavju 3 smo izpeljali

1 Dds

ds Dt

n Dn

D

Dt

nD W n n Dn n Wn Dn n Dn n

Sledi

velja

0

Dn n

n Dn

Dn n Dn n

*

Snovni odvod prejšnje enačbe da



Enačba postane *

D

Dt

nWn

Snovni elementi, ki so v poglavitnih smereh se vrtijo s kotno hitrostjo in obenem spreminjajo dolžine.

D ω

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

1 1 1

2 2 2

v vv v v v

x x x x x x

ω e e e

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

2v vv v v v

x x x x x x

ς ω e e e

V Kartezijevih koordinatah velja

Vektor vrtinčnosti definiramo kot

Tenzor vrtinčnosti definiramo kot 2W



Kartezijeve komponente vektorja vrtinčnosti so

ki ijk

j

v

x

Ali ekvivalentno

jikij k

j i

vv

x x

V brezkoordinatnem zapisu velja

ς v





NEVRTINČNI TOK

2 23 2

12 3 3 2 3 2

0v v

x v x x x x

1 2 31 2 2

, , , ii

v v v vx x x x

Če je vektor vrtinčnosti enak nič na določenem delu tekočine in ob določenem času pravimo, da je tok nevrtinčen na določenem kraju ob določenem času.

Imejmo skalarno funkcijo

1 2 3, ,x x x iz katere definiramo hitrostne komponente po naslednjih izrazih

V tem primeru so komponente vrtinčnosti vse enake nič

Enako velja 2 0 3 0



0i

i

v

x

2

0j jx x

Za nestisljivo tekočino imamo enačbo

Če kombiniramo definicije hitrostnih komponent z zgornjo enačbo,dobimo

V naslednjih dveh podpoglavjih diskutiramo kdaj so nevrtinčni tokovi dinamično možni pri neviskoznih in viskoznih tekočinah.



NEVRTINČNI TOK NEVISKOZNE NESTISLJIVE TEKOČINE HOMOGENE GOSTOTE

ij ijT p

Neviskozna tekočina je definirana z naslednjo konstitucijsko zvezo

To enačbo dobimo, če postavimo viskoznost na nič pri Newtonskihviskoznih tekočinah. Enačba gibanja takšne tekočine je

i ij i

j i

v v pv B

t x x

To je Eulerjeva enačba gibanja.

Sedaj pokažimo, da so nevrtinčni tokovi vedno dinamično možni zaneviskozno, nestisljivo tekočino s homogeno gostoto, če so volumskesile konservativne.



ii

Bx

Volumske sile izpeljemo iz potenciala kot

V primeru gravitacije, kjer os gleda navzgor, velja3x

3gx

Tako je

1 2 30, 0, B B B g

i ij

j i

v v pv

t x x

Eulerjevo enačbo gibanja lahko napišemo kot



V primeru nevrtinčnega toka velja

ji

j i

vv

x x

Tako sledi

21 1

2 2ji

j j j jj i i i

vv vv v v v

x x x x

Kjer je hitrost 2 2 2 2

1 2 3v v v v

i ij

j i

v v pv

t x x

Tako lahko zapišemo

2

02i

v p

x t



Nadalje velja

2

( )2

v pf t

t

V primeru, da je tok tudi ustaljen, velja

2

const2

v pC

Zgornji dve enačbi imenujemo Bernoullijevi enačbi.

Za katerokoli funkcijo , samo da velja

ii

vx

2

0j jx x

lahko enačbe gibanja vedno integriramo in dobimo Bernoullijevo enačbo.

v 2 0





NEVRTINČNI TOKOVI KOT REŠITVE NAVIER-STOKESOVIH ENAČB

21i i ij i

j i j j

v v vpv B

t x x x x

Za nestisljivo Newtonsko tekočino so enačbe gibanja Navier - Stokesove enačbe

ii

vx

2 2 2

0i

j j j j i i j j

v

x x x x x x x x

Za nevrtinčni tok velja

Tako, da velja

V tem primeru viskozni členi v Navier-Stokesovi enačbi izginejo. In enačbadobi enako obliko kot Eulerjeva enačba.

Nevrtinčni tokovi so dinamično možni tudi za viskozne tekočine.



TRANSPORTNA ENAČBA ZA VRTINČNOST V PRIMERU NESTISLJIVEVISKOZNE TEKOČINE S KONSTANTNO GOSTOTO

2i i i

jj i j j

v v vpv v

t x x x x

m imni

n

D v

Dt x

2m m m

nn j j

D vv

Dt x x x

2Dv

Dt ς

v ς ς

Komponente vrtinčnosti so

V primeru, ko lahko volumsko silo izpeljemo iz potenciala, velja

ii

Bx

Dinamična viskoznost je

Z vrtinčnostjo lahko Navier - Stokesove enačbe izrazimo kot

V brezkoordinatnem zapisu

V primeru nestisljive tekočine2D

vDt ς

ς





KONCEPT ROBNEGA SLOJA

2Dv

Dt

V tem poglavju kvalitativno opišemo koncept viskoznega robnega sloja. Enačba za vrtinčnost v dveh dimenzijah za nestisljivo viskozno tekočino je

Enačba prevoda toplote je

2D

Dt

Definirajmo '

'2 'D

Dt

' 2 20; x y

dominira prevod

dominira konvekcija



Za vrtinčnost velja podobna enačba

2Dv

Dt

2 20; x y

Na ta način lahko tok razdelimo na viskozni robni sloj in na nevrtinčni tok.

Na ta način si zelo olajšamo računanje.



STISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE

Predpostavimo, da ima spremeljivka enako vrednost kot termodinamski tlak.

p

Tlak določimo iz enačbe stanja

,p p

Za idealni plin velja

p R

, 2ij ij ij ijT p D

Napetostni tenzor je v tem primeru

je sprememba dilatacije, podana z j

j

v

x

1

3 iiT p

2

3



Konstitucijsko enačbo zapišemo v obliki

22

3ij ij ij ij ijT p D

Predpostavimo konstanten in , pa dobimo enačbo gibanja

3j ji i

ii i i j j i j

v vDv vpB

Dt x x x x x x x

Imamo pa tudi enačbo kontinuitete

0j

j

vD

Dt x

In energijsko enačbo2

0iij

j j j

vDuT k

Dt x x x



Imamo pa še naslednje zveze

,u u

Vu c

V primeru idealnega plina velja

Tako imamo sistem sedmih enačb za sedem naznank

1

2

3

v

v

v

p

u





ENERGIJSKA ENAČBA IZRAŽENA Z ENTALPIJO

ph u

2

0 2

vh h

0ij i j

j

Dh pT v q

Dt t x

Entalpija na enoto mase

Stagnacijska entalpija je definirana kot

V tem primeru energijska enačbapostane

ij ij ijT p T

Pri tem smo označili





AKUSTIČNI VALOVI

1i ij

j i

v v pv

t x x

0 0, , , , ,i iv v t t p p p t x x x

Predpostavimo, da je tekočina na začetku v mirovanju

0

1

1i i

jj o i

v v pv

t x x

Razširjanje zvoka lahko opišemo s predpostavko infinitezimalne motnjev stisljivi neviskozni tekočini. Za neviskozno tekočino so enačbe gibanja

0 00, , iv p p

Nato predpostavimo, da tekočino perturbiramo

Substitucija perturbanc v enačbo gibanja podaja



Linearizirana enačba gibanja je oblike

1i

i o

v p

x t

Na podoben način uporabimo enačbo ohranitve mase

0 0

' '1 0i

jj i

vv

t x x

Linerizirana enačba ohranitve mase je

1 'i

i o

v

x t

Z diferenciranjem eliminiramo hitrost, pa dobimo

2 2

2

'

i i

p

x x t



V nadaljevanju predpostavimo, da je gostota samo funkcija tlaka. Takšnetekočine imenujemo barotropne.

p p

0

0 0 ...dp

p pd

Razvijmo tlak okoli referenčne vrednosti

Če zanemarimo člene višjega reda dobimo

0

20

20

' p c

dpc

d



Tako dobimo za barotropičen tok

2 220 2

i i

p pc

x x t

2 220 2

' '

i i

cx x t

Te enačbe so povsem enake enačbam za elastične valove.

Tlačne in gostotne perturbacije bodo potovale s hitrostjo

0

0

dpc

d

dpc

d

hitrost zvoka pri stagnacijski gostoti

lokalna hitrost zvoka



V primeru izentropne relacije med tlakom in gostoto velja

V tem primeru dobimo lokalno hitrost zvoka v obliki

pc

kjer je konstanta, pa razmerje specifičnih toplot.

p



NEVRTINČNI BAROTROPIČNI TOK NEVISKOZNE STISLJIVETEKOČINE

0j j j jt x x x x

Predpostavimo nevrtinčni tok, podan z i iv x

Enačbe gibanja neviskozne tekočine so Eulerjeve enačbe1i i

j ij i

v v pv B

t x x

Predpostavimo barotropičen tok

1 1 1

i i i

d p pdp dp

x dp x x

V smislu ohranitve mase moramo imeti

p p



Pod vplivom konservativnih volumskih sil lahko zapišemo enačbe gibanjav obliki

i ij

j i

v v dpv

t x x

ii

Bx

Z integracijo zgornje enačbe dobimo

2

2

p vf t

t

V ustaljenih razmerah je enaka

2

constant2

p v



V večini primerov dinamike plinov so volumske sile majhne v primerjavi z ostalimi silami. Sledi

2

constant2

p v





ENODIMENZIONALNI TOK STISLJIVE TEKOČINE

constantAv

0Av d v dA A dv

0d dA dv

A v

Totalni odvod zgornjega izraza podaja

V tem podpoglavju obravnavamo nekatere probleme stisljivih tekočin.Predpostavimo:- tok je enodimenzionalen - v prečni smeri ni razlik.- tok je ustaljen in adiabaten

Pri naštetih predpostavkah velja

Sledi

Iz zgornjega lahko izpeljemo 2M 1 ; M Machovo številodA dv

A v

Enačbo imenujemo Hugoniotova enačba.



Za podzvočni tok zvečanje površine povzroči zmanjšanjehitrosti.

Za nadzvočni tok zvečanje površine povzroči zvečanjehitrosti.

Kritično hitrost lahko dobimo samo v primeru .

M 1

M 1

M=1 0dA





STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGAREZERVORJA S ŠOBO

A. The Case of a Divergent Nozzle2

2 1

2 1

02 1 1

p pv

2 1 1 22

1 2 1

21

1

p pv

p

1

2 2

1 1

p

p

For adiabatic flow:

Eliminating from previous equation, 2p1

2 1 22

1 1

21

1

p pv

p

Obravnavamo kasneje!






The rate of mass flow exiting the tank is:1

2 22 2 2 2 1 2 2 1 2

1 1

pdmA v A v A v

dt p

1 22 1

2 22 1 1

1 1

2

1

p pdmA p

dt p p

The maximum value of mass flow:1

2

1

2

1

p

p

The critical value for a given value of2 22

2

pv

1p






When

1 22 11 2

2 1 11 1

2

1R Rp pdm

A pdt

When

1 2

1 2 2 1 1 1

2 1 1

2 2 2constant

1 1 1

dmA p

dt

2, R critical Rp p p p

2, R critical Rp p p p






B. The Case of a Convergent-Divergent Nozzle





USTALJENI LAMINARNI TOK NEWTONSKE TEKOČINE V TANKIELASTIČNI CEVI: APLIKACIJA NA RELACIJE MED TLAKOM IN TOKOM V PLJUČNI KRVNI ŽILI

Obravnavamo kasneje!






Documents

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010