Profa. Esp. Sheila MeloCoordenação Geral de Ensino da Faculdade

Medidas de Posição

Estudando as distribuições de frequência, percebe-se que existe uma posição de concentração dos valores, que podem estar mais concentrados no início, no meio ou no final da distribuição.

Para isto se faz necessário conhecer outras importantes medidas deposição: a média, a mediana e a moda.

Como o valor que aparece com maior frequência é o “ 4” , ele é o valor modal, ou simplesmente a moda.

Observe a sequência de informações a seguir:

1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32

Responda rapidamente: qual é o valor desta série que melhor a representa?

É o valor que mais se repete em uma sequência de dados.

Moda (Mo)

O uso da moda é mais indicado quando se deseja obter, rapidamente, uma medida de tendência central. Um outro aspecto que favorece a utilização da moda é que seu valor não é afetado pelos valores extremos do conjunto de dados analisado.

Uma série numérica pode ser:

Amodal: quando nenhum valor se repete;

Modal: quando um valor se repete;

Bimodal: quando dois valores se repetem;

Trimodal: quando três valores se repetem;

Polimodal: quando mais do que três valores se repetem.

Nesta situação, o valor que melhor representa a série é o valor central: 9.

Portanto, tal informação da série é conhecida como Mediana.

Consideremos, agora, a seguinte sequência de informações a seguir:

Responda rapidamente: qual é o valor desta série que melhor a representa?

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20

Mediana (Md)

A mediana é o valor que ocupa a posiçãocentral da série de observações, dividindo o conjunto em duas partes iguais.

Obs.:

• 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana.• 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana. • a mediana é o valor tal que separa o conjunto de dado em dois subconjuntos de mesma quantidade de elementos.

Pergunta: É fácil reconhecer a mediana de uma

sequência quando esta possui uma quantidade ímpar de informações. Por exemplo, na sequência

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20

já vimos que a mediana é 9. Mas e na sequência abaixo:

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22

Qual será a mediana?

Nestes casos, admitimos que a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22

quantidade par de dados: a mediana = 9 + 12 = 10,5 2

n = 7 => 7 + 1 = 4, ou seja, a mediana é o quarto termo 2

De um modo geral, a mediana é o termo: n + 1 2

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20

Se a quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.

Média aritmética dos termos n e n+1 2 2

n + n +1 2 2 2

n = 8 => 8 + 8 +1 2 2 2

ou seja, a mediana é a médiaaritmética entre o 4º e 5º termo

1, 5, 8, 9, 12, 17, 20, 22

= 4 + 5 2

Obs: A mediana é utilizada sempre que há valores extremosque afetam muito a média.

mediana: média

Exemplo:Abaixo estão os salários dos funcionários de umescritório: R$1.000,00, R$1.000,00, R$1.500,00, R$2.000,00, R$3.000,00

R$1.500,00 R$1.700,00

Considere a contratação de mais um funcionário com salário de R$10.000. R$1.000,00 R$1.000,00 R$1.500,00, R$2.000,00 R$3.000,00 R$10.000,00

mediana: média: R$1.750,00 R$3.083,33

1) Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série. Calcule a média, a mediana e a moda, e classifique a série conforme a moda.

Notas: 7,0 3,5 2,5 6,5 9,0 3,5 2) Classifique as série de acordo com a característica modal, indicando os valores. a) 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19 b) 56, 58, 60, 60, 60, 62, 65

Medidas Separatrizes

Quartis

Assim como a mediana divide os dados coletados em dois grupos com a mesma quantidade de elementos, os quartis dividem o conjunto de valores em quatro subconjuntos de mesma quantidade de elementos.

Assim, temos três quartis:

1) O primeiro quartil (Q1) é o valor situado de modo tal que um quarto (25%) dos dados são menores que ele, e o restante (75%) é maior que ele.

2)O segundo quartil (Q2) é evidentemente igual a mediana. Q2 = Md.

3) O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de modotal que três quartos (75%) dos dados são menores que ele, e o restante (25%) é maior que ele.

Exemplo: Calcule os quartis da série: 5, 2, 6, 10, 9, 13, 15

• Primeiramente, deve-se organizar os dados em ordem crescente. 5, 2, 6, 10, 9, 13, 15

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é o 9.

Md = 9 Que será o segundo quartil (Q2)

Temos agora 2, 5, 6 e 10, 13, 15 como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana quartil 2). Para o cálculo do quartil 1 e 3, basta calcular as medianas de cada subconjunto formado.

Logo em: 2, 5, 6, a mediana é 5. =>

Q1 = 510, 13, 15, a mediana é 13. =>

Q3 = 13

Determine o terceiro quartil do conjunto B = 2,6,4,12,8,10,20,18,7

Encontre Q1 e Q3 dos conjuntos amostrais: A= 6,9,7,7,4,3,2,9,9,10,18

B= 10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21,7

C= 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

Uma empresa emprega 450 trabalhadores. Sabendo-se que os salários correspondentes ao primeiro e terceiro quartil são, respectivamente, 300 e 800 reais, encontre o número de empregados que percebem salários entre esses valores.

Os dados a seguir representam as notas em Economia (numa escala de 0 a 40) de 20 ingressantes em um curso depós-graduação em Finanças: 5, 10, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 28, 28, 28, 30. (a) Calcule a média e a mediana desses valores.

Os dados a seguir correspondem ao tempo de execução de uma tarefa (em minutos) para uma amostra de 26 funcionários de uma certa seção: 13, 45, 23, 46,12, 42, 47, 47, 12, 51, 11, 11, 13, 13, 40, 13, 14, 11, 12, 18, 46, 39, 22, 16, 15 e 50. Determine a média, mediana e os quartis desse conjunto de dados e interprete os valores obtidos.