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Physik für Mediziner und Zahnmediziner

Vorlesung 0010

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Satz von Bernoulli

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energiedichte konstant.

konstantρghpρv2

1 2

Der Satz von Bernoulli ist eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes.

.constEEE potDkin Zur Erinnerung (Mechanik):

Alle diese Terme umschreiben „Druck“!

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Versuch: rotierender ZylinderMagnus Effekt

vZylinder

vrot,oben

vrot,untenvrot,oben vrot,unten= -

voben = │vLuft │ + │ vrot │

vunten = │vLuft │ - │ vrot │

poben < punten

Auftrieb!

vLuft

Zylinder bewegt sich nach rechts

Die Luft strömt ihn von links an.

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noch einmal Bernoulli: Freistoß um die Ecke...

aus: Physik-Journal, Juni 2006

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Flugzeugflügel

Erklärung über den Bernoulli-Effekt

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Kontinuitätsgleichung

Folge der Inkompressibilität von Flüssigkeiten: „die pro Zeit in ein Volumen hineinfließende Flüssigkeit muss auch wieder herausfließen“

s2s1

Querschnittsfläche A2Querschnittsfläche A1

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

2211

2211

tAvtAv

AsAs

Gleichheit der Volumenelemente

Gleichheit des Transports

1

2

2

1

A

A

v

v

Ergibt umgekehrte Proportionalität zw.Flächen und Geschwindigkeiten

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...das „aufgebogene“ U-Rohr-Manometer

p

pLuft

h

ρghpp Luft

⇒ Druck p messbar über Höhe h der Flüssigkeitssäule

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Bernoulli

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

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Erklärung mit dem Satz von Bernoulli

konstantρghpρv2

1 2

Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:

an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:

an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

Wir haben: veng > vbreit

Damit ergibt sich peng < pbreit

Wegen:unterschiedliches h

kommt noch dazu!

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Bernoulli mit weichen Scheiben

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

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Stimmritze: Gummimembran-Modell

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Phonation

aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“

1. Luftströmung aus Trachea (Luftröhre) führt zum Öffnen der Stimmritze (Glottis)

2. erhöhte Strömungsgeschwindigkeit erniedrigt den Druck (Bernoulli)

3. ⇒ Schließen der Glottis

Folge: periodisches Öffnen und Schließen führt zur Tonerzeugung

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Phonation und Artikulation

aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“

• Form des Resonanzkörpers (=Rachen und Mundhöhle) bestimmt den produzierten Laut

• Stimmgebung über Rückkopplung mit dem Gehör

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Buchhaltung: Bernoulli und Kontinuität

1

2

2

1

A

A

v

v

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung

konstantρghpρv2

1 2 Satz von BernoulliSatz von Bernoulli

Mit Kontinuitätsgleichung ergibt sich:an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

Mit Kontinuitätsgleichung ergibt sich:an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energie konstant.

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energie konstant.

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Ströme: Vorgehensweise

• Erarbeiten wichtiger Zusammenhänge am Beispiel der Flüssigkeitsströmung

• Übertragen allgemeiner Ergebnisse auf elektrische Ströme

und Spannungen Kirchhoffsche Gesetze, Widerstandsnetzwerke

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elektrische Spannung und Druckabfall

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

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Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten

v=0

x

p

v

x

p

Dp I

pR

Druckabfall entlang des Widerstands sowie Stromfluß

Widerstand ist unendlich: kein Druckabfall und kein Stromfluß

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elektrische Spannung und Druckabfall

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

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reale elektrische Leiter

V

x

φ

U=DφI

UR

V

x

φ

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Das Ohm‘sche Gesetz

V

x

φ

U=DφI

UR

Zumeist geschriebenals:

U = R . I„uri“Der Typ mit den

verbogenen Gabeln

WIKIPEDIA: Uri Geller erregte in den 1970er-Jahren erstmals Aufsehen mit seinen Fernsehauftritten, in denen er angeblich durch telepathische Kräfte versteckt gemalte Zeichnungen nachmalte, stehengebliebene Uhren zum Ticken brachte und Besteck verbog. Er sagt in Interviews gelegentlich, dass er glaubt, seine Kräfte von Außerirdischen vom Planeten „Hoova“,erhalten zu haben. Ob das bei der Physikklausur auch hilft……?

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Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen

aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen

Verzweigungen: „Knoten“

geschlossene Kreise: „Maschen“

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Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen

aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen

Serienschaltung:

Parallelschaltung:

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Kirchhoffsche Gesetze

In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:

Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)

1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme)

Energie: Spannung (Druckdifferenz)

2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null

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1. Kirchhoffsches GesetzKnotenregel

0Ij

j In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null

I1

I2

I3

I4

0IIII 2143

Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!

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2. Kirchhoffsches GesetzMaschenregel

In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null

P1

P2

P3P4

Einmal rum: DruckdifferenzP1-P1 muß Null sein

Masche

0UU

ABA

21

R1

R2

V

V

U1

U2

A B

Für Spannungen gilt dasselbe.Einmal rum:

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Flüssigkeitswiderstände

21 R

1

R

1

R

1

21 RRR

R1 R2

R1

R2

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Leitfähigkeit und Widerstand

21 R

1

R

1

R

1

R1

R2Verschließen!

Z.B. fließen jetzt 10ml pro Sekunde

Nach dem Öffnen: Wieviel fließt etwa?? Etwa das Doppelte!

Der Widerstand R hat abgenommen Die Leitfähigkeit g hat zugenommen!

Es gilt: g = 1/R Wichtig bei Membranen!

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Serienschaltung

R1 R2R

Equivalentzu

I

U

II1

I2

U1 U2

U

I.

II.

Knotenreg.:

Maschenreg.:

Ohm‘sches Ges.: undund

X X XAlle Ströme sind gleich:21 RRR I.

II.

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Parallelschaltung

R1

R2

U1

U2

I

I1

I2

IR

Equivalentzu

I

U

21 R

1

R

1

R

1II.I.

I.

II.

Wie ist der Wert von R?

Damit:X X

Knotenreg.:

Maschenreg.:

Ohm‘sches Ges.: undund

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Flüssigkeitswiderstände

21 R

1

R

1

R

1

21 RRR

R1 R2

R1

R2

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...wrap up

1.Kirchhoff

(Teilchen)

im Knotenim Knoten

2.Kirchhoff

(Energie)

in der Maschein der Masche

treibende Kraft

Spannung

U

Druckdifferenz

Dp

Stromelektrischer Strom

Volumenstrom

allgemeinelektr.StromFlüssigkeitsstrom

Vdt

dVI Q

dt

dQI

0Ii

i 0Ii

i

0Ui

i 0pi

i

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Schaltsymbole

V

A

- +

• Widerstand R

• Zuleitung (widerstandsfrei)

• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)

• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)

• Gleichspannungsquelle

• Kondensator

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Versuch: Viskosität

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reale Flüssigkeiten: Widerstand durch innere Reibung

Alltag: Flüssigkeiten besitzen unterschiedliche „Fließeigenschaften“

Ursache: Viskosität oder Zähigkeit, auch: innere Reibung

A

v=0

v0

F

x

v

Dv

Dx

Def.: Viskosität ηDef.: Viskosität η

Δx

ΔvAηF

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laminares Strömungsprofil

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

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kreisförmiger Röhrenquerschnitt: laminares Geschwindigkeitsprofil

r

22 ρrρv • Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null

• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte

• Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null

• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte

r

v(r=r) = 0v(r2) > 0

v(r3) >> 0v( =0r ) = max.

v, Geschwin-digkeit

Radius: r

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laminare Strömung: mikroskopische Vorstellung

• Flüssigkeit am Gefäßrand ruht (v=0)

• „Abgleiten“ der Flüssigkeitsschichten aneinander

• Reibung aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit

v(r)

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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

v(r)

r

v(r+dr)dr

L

Betrachung einzelnerFlüssigkeitszylinder

Flüssigkeitskraft:(vom Druck)

Viskosität:

Wenn‘s gleichmäßigfließt:

Umstellen:

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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

Die Ableitung ist eine lineare Funktion von r

Integration

Integrationskonstante

Rand- oder Nebenbedingungen treten in der Physik oft auf. Sie geben an, wie sich ein System an bestimmten „charakteristischen“ Stellen verhält. Damit kann man dann ‚uneindeutige Gleichungen‘ endgültig bestimmen.

Sollte NULL sein !

Der Rand des Zylinders:

Also:

Wenn wir hier v0=0 setzen, bekommen wir für den Rand des Zylinders (der „Randwert“ – hier sprichwörtlich!) was unsinniges raus, nämlich:

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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

Wir hatten:

Und setzten: Damit ist:

Also insgesamt:

Achtung: „groß-V“ist das Volumen

A

DxJedoch: v ist nicht konstant, wir haben: v(r) !

Achtung: „klein-v“ist die Geschw.

Und nun zum Fluß (laminare Strömung):

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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

A

Dx

Von vornARing

r

Dr

Einsetzen von v(r):Dann in Integralform (undRausziehen aller Konstanten):

Weil:

Damit:

Fluß eines einzelnen Rings: (Geschw. mal Volumen, wie vor)

Fluß gesamt:

Strömung eines Rings:

Summe über alle Ringe!

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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

Stammfunktionen:

Bemerkenswert!4te Potenz des Radius!Und endlich:

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Hagen-Poiseuille

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

pL8

rI

4

4r

L8R

oder

Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit (Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist

• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit

• proportional zur Länge der Kapillaren

• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius

Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit (Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist

• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit

• proportional zur Länge der Kapillaren

• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius

Folgerung: der Strömungswiderstand - und damit der Volumenstrom bei festem Druck - kann über den Röhrendurchmesser empfindlich verändert werden

Folgerung: der Strömungswiderstand - und damit der Volumenstrom bei festem Druck - kann über den Röhrendurchmesser empfindlich verändert werden

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einige Kreislaufdaten

• Blutvolumen: 5l• Herzschlagvolumen: ca 70ml

≈(4-6)l/min• unter Belastung: 20l/min• statischer Druck: (6-8)mmHg (ca. 1kPa) (ohne Herzschlag!)• mittlerer Blutdruck: 100mmHg

(13kPa)• 0.25l/min O2-Verbrauch in Ruhe

• 3l/min O2-Verbrauch unter Belastung

• Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit!

...abhängig vom Gefäßdurchmesser

au

s: K

link

e/S

ilbe

rna

ge

l „Le

hrb

uc

h d

er P

hy

sio

log

ie“

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Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit

...abhängig von der Schubspannung (Druck)

Aggragation bei kleinen Schub-spannungen

Desaggragation bei großen Schub-spannungen

aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“

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Stromstärke-Druck-Diagramm

arteriovenöse Druckdifferenz

Du

rch

blu

tun

g

dehnbares, aber druckpassives Gefäß (z.B. Lunge, Skelettmuskel)

starres Rohr

dehnbares, aber autoregulierendes Gefäsystem (z.B. Gehirn, Darm, Niere)

Blutgefäße ändern passiv oder aktiv ihren Strömungswiderstand und regulieren so die Durchblutung

Blutgefäße ändern passiv oder aktiv ihren Strömungswiderstand und regulieren so die Durchblutung

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Fluß-Muster

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laminare und turbulente Strömung

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

laminar turbulent

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Strömungsarten

laminare Strömung: Flüssigkeitsteilchen bewegen sich nur in Fließrichtung

turbulente Strömung: auch Geschwindigkeitskomponenten senkrecht und entgegen der Fließrichtung Wirbelbildung

Blutkreislauf: vorwiegend laminare Strömung; turbulente Strömung in der Aorta; pathologisch bei Gefäßverengungen ( Auskultation Strömungsgeräusche)

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Übergang laminar turbulent: Reynoldszahl

laminar turbulent

• laminare Strömung für kleine Strömungsgeschwindigkeiten

• Strömungswiderstand im turbulenten Bereich erhöht

• Übergang durch Reynoldszahl beschrieben:

oberhalb von Re≈1000 nimmt der turbulente Strömungsanteil zu

vr

Re

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Zusätzliche Folien

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Schaltung von Widerständen

Sie haben 3 Widerstände mit jeweils R=2kΩ zur Verfügung. Entwerfen Sie mit diesen Widerständen eine Schaltung mit dem Gesamwtiderstand Rges=3kΩ.

R

R

R

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Serienschaltung

15Ω 12Ω 27Ω18Ω 24Ω

U=32V

Die Spannung zwischen den Klemmen I und II des Widerstandes R2 beträgt

in dem oben gezeigten Schaltbild:

1. U=2V

2. U=4V

3. U=5V

4. U=12V

5. U=15V

I II

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...Kategorien

Grundlagen: notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten

Wissenswertes: Informationen jenseits des Notwendigen

Für Experten: Medzinische Physik...

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 57

...das U-Rohr-Manometer

p p p p+Dp

h ρghΔp

der hydrostatische Druck hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab; insbesondere hängt er nicht von der Gefäßform ab

hydrostatischer Druckhydrostatischer Druck

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Blutdruckmessung

Manschettendruck > syst.Druck >> diast. Druck

Manschettendruck ≥ syst.Druck >> diast. Druck

syst.Druck ≥ Manschettendruck >> diast. Druck Manschettendruck < syst. und

diast. Druck

au

s: K

link

e/S

ilbe

rna

ge

l „Le

hrb

uc

h d

er P

hy

sio

log

ie“

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Widerstand

I: Volumenstromstärke [m3/s]Dp: Druckdifferenz [Pa=N/m2]

I: elektr. Stromstärke [A]U: Spannung [V]

Def.: Widerstand R

I

UR

Def.: Widerstand R

I

pR

I

Dp

I

U

53 m

Ns

m

sPa]R[

)Ohm(

A

V]R[

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Ergänzung: Leitwert G

I: Volumenstromstärke [m3/s]Dp: Druckdifferenz [Pa=N/m2]

I: elektr. Stromstärke [A]U: Spannung [V]

Def.: Leitwert G

R

1

U

IG

Def.: Leitwert G

p

IG

I

Dp

I

U

ungebräuchlich! )Siemens(SV

A]G[

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Folge: Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten

vv=0

x

p

x

p

Dp I

pR

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reale elektrische Leiter

V

x

φ

U=DφI

UR

V

x

φ

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 63

reale elektrische Leiter...

q

Fμv

elektrische Leiter: Ladung wird transportiert durch

• Elektronen (Metalle)

• Ionen (Elektrolyte, biologische Systeme)

Widerstand aufgrund von Stößen der Ladungsträger Beschreibung durch die „Beweglichkeit“ μ:

v: Geschwindigkeit des LadungsträgersF: Kraft auf den Ladungstträgerq: Ladung des Ladungsträgers

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Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen

aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen

Verzweigungen: „Knoten“

geschlossene Kreise: „Maschen“

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 65

Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen

aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen

Serienschaltung:

Parallelschaltung:

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 66

Buchhaltung: Kirchhoffsche Gesetze

In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:

Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)

1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme)

Energie: Spannung (Druckdifferenz)

2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 67

1. Kirchhoffsches Gesetz

0Ij

j In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null

I1

I2

I3

I4

0IIII 2143

Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!

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1. Kirchhoffsches Gesetz

0Ij

j

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 69

2. Kirchhoffsches Gesetz

R1

R2

V

In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null

V

U1

U2

A B 0UU

ABA

21

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 70

Parallelschaltung

R1

R2

21p R

1

R

1

R

1

I)(RIR

IR

R

IRIII

IRUIRUIRUUUU

p2

p

1

p21

p22211121

Rp

denn:

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Serienschaltung

R1 R2

21s RRR

IIRIRIRUUU

R

U

R

U

R

UIIII

21s21

2

2

1

1

s21

Rs

denn:

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 72

Schaltungen

21p R

1

R

1

R

1

21s RRR

R1 R2

R1

R2

ParallelschaltungParallelschaltung

SerienschaltungSerienschaltung

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 73

...wrap up

1.Kirchhoff

(Teilchen)

im Knotenim Knoten

2.Kirchhoff

(Energie)

in der Maschein der Masche

treibende Kraft

Spannung

U

Druckdifferenz

Dp

Stromelektrischer Strom

Volumenstromdichte

allgemeinelektr.StromFlüssigkeitsstrom

Vdt

dVI Q

dt

dQI

0Ii

i 0Ii

i

0Ui

i 0pi

i

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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 74

Schaltsymbole

V

A

- +

• Widerstand R

• Zuleitung (widerstandsfrei)

• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)

• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)

• Gleichspannungsquelle

• Kondensator