Prof. Dr. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Visualisierung Vorlesung 10

Prof. Dr. Detlef Krömker

Goethe-Universität, FrankfurtGraphische Datenverarbeitung

Visualisierung

Vorlesung 10

WS 2005/20062Visualisierung – Vorlesung 10Prof. Dr. Detlef Krömker

Visualisierung von Volumendaten


Übersicht

1. Volumendaten: Grundlagen – Begriffsbestimmung

2. Visualisierungspipeline für Volumendaten

3. Methoden der Volumenvisualisierung Dekompositionsmethoden Extraktion von Flächen Direkte Darstellung als semitransparente

Elemente


Grundlagen Visualisierung von Volumendaten

Kurzbezeichnung: Volumenvisualisierung

Ausgangspunkt: Merkmale in einem 3-dim. Bezugssystem mit skalaren Daten

Vergleichsweise häufiger Datenfall Beispiele

Computertomographie (CT) Magnetresonanztomographie (NMR,

MRT, MRI) 3D-Ultraschall Laserraster- bzw. Elektronenraster-

Mikroskope Simulationen Berechnungen, z.B. Finite Elemente

(FE)

Beispiel:MRI-Aufnahme

Beispiel:CT-Aufnahme


Repräsentation von Volumendaten Volumendaten i.A. basierend auf regelmäßigen

Gittern Koordinaten der Gitterpunkte implizit und müssen nicht

explizit gespeichert werden Speicherung in dreidimensionalen Arrays

Ausgangsdaten Datengitter Gitter im Raum


Begriffsbestimmung„Volumendaten“

In der Literatur nicht einheitlich benutzt; doch oft:Ein skalarer Wert pro Beobachtungspunkt in einem 3-dimensionalen räumlichen Bezugssystem (oft mit lokalen Wirkungskreis)oft weiterhin: regelmäßiges 3D-Gitter: also eine Funktion f auf dem Gebiet

enVolumendat alsman bezeichnet

},...,0;,...,0;,...,0),,(,,,{(

Formder n Datenmenge

.,...,0 ;mit *

;,...,0 ;mit y *

;,...,0 ;mit *

:miterfogt ungPartionier eine dass soten Gitterpunk 1)(n*1)(n*1)(nan betrachtet

]},[];,[];,[|),,({

minmaxmin

minmaxmin

minmaxmin

zyx

maxminmaxminmaxmin

zyxkjikji

zz

i

yy

i

xx

i

nknjnizyxfzyx

nin

zzdzdzizz

nin

yydydiyy

nin

xxdxdxixx

zzzyyyxxxzyxXG

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Begriffsbestimmung„Voxel“

Eine Gitterzelle bezeichnen wir als Volumenelement = Voxel

Manche Autoren unterscheiden, je nachdem ob die Funktion f(x,y,z) als kontinuierlich oder stückweise konstant(= homogen) angenommen wird.

Oft besser als Abtastwert gemäß der Abtasttheorie betrachten!

Beobachtungspunkte können sein: Zentrum einer Zelle: 1 Datenpunkt pro Zelle Eckpunkt einer Zelle: 8 Datenpunkte pro Zelle

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Beispiel: Volumendaten Visible Human Project

MRI- und CT-Daten eines Mannes und einer Frau in hoher Auflösung

15 GB (Visual Human Male) bzw. 40 GB (Visual Human Female)

http://www.nlm.nih.gov/research/visible/visible_human.html


BeobachtungspunktZentrum der Zelle

Achtung. Die Auswertung erfolgt an nx*ny*nz Punkten.

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WS 2005/200610

Visualisierung – Vorlesung 10Prof. Dr. Detlef Krömker

BeobachtungspunktEckpunkt der Zelle

Die Werteverteilung innerhalb der Zelle wird oft durch eine trilineare Interpolation (selten durch eine höherer Ordnung) bestimmt.

C

G H

D

E F

A B

(0,1,0)

(0,1,1) (1,1,1)

(1,1,0)

(0,0,1) (1,0,1)

(0,0,0) (1,0,0)

P

nd.entspreche , yersetzt, x

durch xwird

liegen, ),,(x nKoordinate beliebigen auf H und A Wenn

))()(()1)()((

))()(1()1)()(1(

))(1)(()1)(1)((

))(1)(1()1)(1)(1(

(1,1,1) auf H (0,0,0), Position auf liegtA

HA,...,I I, Eckpunkt am Wertder sein

pp

p

a

pah

a

aa

pppHpppD

pppGpppC

pppFpppB

pppEpppAp

I

zxx

x

zy

zyxWzyxW

zyxWzyxW

zyxWzyxW

zyxWzyxWW

W

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WS 2005/200611


Gradientenberechnung

Für diverse Aufgaben (z.B. Beleuchtungsrechnung) wird der Gradient der skalaren Funktion f(x,y,z) benötigt:

Eigenschaften: Gradienten stehen senkrecht zu den Isoflächen f(x,y,z)=const.

I.d.R abgeschätzt durch Zentraldifferenzen:

Richtung-z y-, x-,in ktorenEinheitsve die sind ,, KJImit

Kz

fJ

y

fI

x

ffgrad

zz

yy

xx

s

zyxfzyxfG

s

zyxfzyxfG

s

zyxfzyxfG

2

)1,,()1,,(

;2

),1,(),1,(

;2

),,1(),,1(

Gx, Gy, Gz sind die Komponenten des

Gradienten,sx, sy, sz sind die Schrittweiten des Gitters

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WS 2005/200612


Visualisierungspipeline für Volumendaten

F ilte ring R endering

M app ing

K lass i-fika tion

F lächen-extrak tion

Volum en-daten B ild

Datenumfang in der Regel sehr groß:

Datenwürfel von nur 64 x 64 x 64 Voxel entsprechen mit 4Byte/Voxel 1 MByte Daten

512 x 512 x 512 Voxel entsprechend 512 MByte

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WS 2005/200613


DatenaufbereitungFiltering

Datenerfassung und -konvertierung in geeignete Formate,

Datenvervollständigung, Datenreduktion und Überführung von skalaren Daten in einem

räumlichen Bezugssystem auf ein regelmäßiges Gitter.

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WS 2005/200614


DatenaufbereitungMapping

Abbildung der Datenwerte auf graphische (visuelle) Attribute

KlassifikationDatenklassen werden Grauwert, Farbwerte oder Transparenzwerte

zugeordnet z.B. mit LUTs

Sehr sensibler Schritt: Potentiell fehlerinduzierend!

[Drebbin, Levoy] schlagen deshalb Fuzzy-Klassen vor:

Datenwert wird eine Zugehörwahrscheinlichkeit zu einem Attributwert zugeordnet, nicht der Attributwert selbst.

Ergebnis kann gerendert werden

direkte Darstellung oder

Flächenextraktion (Ermittlung von Isoflächen)

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WS 2005/200615


Strategien zur Volumenvisualisierung

Dekomposition der Datenmenge in Punkte, Volumenelemente oder Schichten und Darstellung dieser Elemente

Flächenextraktion, i.d.R Isoflächen und Darstellung dieser Flächen

Darstellung als semitransparente Objekte („Wolken“)

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WS 2005/200616


Dekompositionsmethoden

Einfachste Variante: Darstellung der Gitterpunkte als farbige, ggf. transparente Pixel

Pro: Einfach, schnell

Con: durch die Winzigkeit der Primitive ist die Interpretation schwierig und die Interpretation eingeschränkt

Quadermethode

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WS 2005/200617


QuadermethodeTiny Cubes Method

Für jedes Volumenelement wird ein kleiner Quader bestimmt.

Zwischen diesen Quadern wird ein Abstand M belassen, um ins innere des Volumen schauen zu können.

Die Abmaße und Positionen (untere linke Ecke) der Quader bestimmen sich zu:

MMn

zz

MMn

yy

MMn

xx

zz

yy

xx

)1(

)1(

)1(

minmax

minmax

minmax

zzk

yj

xxi

nkMkzz

njMjyy

niMixx

,...,1 und )1(

,...,1 und )1(

,...,1und)1(

0

y0

0

),,( zyx

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WS 2005/200618


QuadermethodeTiny Cubes Method (2)

Jedem Eckpunkt ist ein Farbwert zugeordnet. Die Quaderflächen werden Gouraud-schattiert ausgegeben.

Anstelle von Quadern lassen sich auch andere Primitive für die Zellen nutzen: Kugeln, Tetraeder

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WS 2005/200619


Quadermethode (Tiny Cubes Method) Beispiele 11x11x11 Datenwerte

Großes M Kleineres M Kleine Quader, hohe Transparenz größere Quader, geringere Transp.

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WS 2005/200620


Quadermethode (Tiny Cubes Method)

Achtung Kleine Quader sind sehr anfällig für Aliasingartifakte!

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WS 2005/200621


Weitere Beispiele

Tetraeder als Primitive Kugeln als PrimitiveCon: Induzieren Richtungen

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WS 2005/200622


VarianteTransparente Quadermethode

Vanishing Cube Method

Quader werden mit transparenten Seiten gerendert: Aus je vier Gitterpunkte werden semitransparente Polygone

Probleme mit z-Buffer Sichtbarkeitsbestimmung Back-to-Front-Order Ausgabe nötig!

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Transparente QuadermethodeVanishing Cube Method

Beispiele

Geringe Transparenz Höhere Transparenz

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WS 2005/200624


Dekomposition in SchichtenSlicing

Anstelle der trivariaten Funktion f(x,y,z) werden bivariate Funktionen der Form

dargestellt. Die Schnittebenen können i.d.R. interaktiv ausgewählt (verschoben) werden. Man nennt sie manchmal auch Sweeping Planes.Wird sehr häufig genutzt. Haben in vielen Anwendungsfeldern lange Tradition.

)1(,...,0 mit),,(),(

)1(,...,0 mit ),,(),(

)1(,...,0 mit ),,(),(

zkk

yjj

xii

nkzyxfyxf

njzyxfzxf

nizyxfzyf

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SlicingBeispiel

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Varianten des Slicing

Anordnung der Schnitt-ebenen geändert.

Zusätzlich werden dieDaten in einem Höhen-feld kodiert.(indirekter Raumbezug)

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WS 2005/200627


Extraktion von Flächen Typischerweise werden Isoflächen (Positionen eines

bestimmten Datenwertes (Schwellwertes)) extrahiert. Topologische und geometrische Eigenschaften

werden offensichtlich Flächeninhalte oder Volumina können einfach

abgeschätzt werden. Wahl des Schwellwertes (und damit die

Segmentierung) beeinflusst das Ergebnis sehr stark! Ist kritisch!

Sehr leicht können u.U. auch falsche Interpretationen suggeriert werden!

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Extraktion von Flächen: Beispiele

Ebert 2004

WS 2005/200629


Segmentierung und einfache Approximationen

Alternativen:Ein Schwellwert oder SchwellwertintervallErmittlung von drei Klassen

innen - auf - außen

Alle „auf“ Voxel repräsentieren eine grobe Approximation der Isofläche.

Ermittlung von nur zwei Klassen (numerisch stabiler)innen – außen

Seitenflächen, die einen „innen“ und einen „außen“ Nachbarn haben, approximieren die Isofläche.

Contra: Voxelstruktur (Blockstruktur) bleibt deutlich sichtbar!

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WS 2005/200630


Extraktion von Flächen aus Zellen

Isoflächen verlaufen beliebig innerhalb einer Zelle

Hauptmethoden: Contouring & Connecting Marching Cube Dividing Cube Marching Tetraeder

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WS 2005/200631


Contouring & Connecting

Idee: (1) Auf parallelen Schnitten eines Daten-würfels werden 2D-Isolinien extrahiert (Verfahren hierzu siehe 7. Gestaltregeln, ...).

(2) Benachbarte Ebenen werden durch Dreiecksnetze verbunden.

Problem: Bei verschiedenen Kontur-Topologien auf benachbarten Ebenen ist eine eindeutige Verbindung nicht möglich!

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WS 2005/200632


Mehrdeutigkeitsprobleme beim Contouring & Connecting

Interaktive Nutzereingabe zur Spezifikation von Konturen, die miteinander verknüpft werden sollen

Unterteilung der Bereiche mit Mehrdeutigkeiten und Versuch der Problemlösung in abgegrenzten Gebieten

Verwendung von Kostenfunktionen als Entscheidungsgrundlage

Einbeziehung weiterer Eigenschaften der Konturen wie Form, Konvexität oder Orientierung.

Eine gute Übersicht und Details hierzu finden sich bei [Müller und Klingert]

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WS 2005/200633


Marching Cubenach Lorensen und Cline 87

Idee: Ein Würfel (Quader) wandert im Datenwürfel von Zelle zu Zelle. Die Eckpunkte der Zellen werden gemäß der Schwelle klassifiziert (innen – außen). Die Schnittpunkte Isofläche/Würfelkante werden durch lineare Interpolation ermittelt und zu Flächen verbunden.

innen

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

0 0 1 0 0 0 0 0

V1 V2

V3V4

V5 V6

V7V8

außen

außen

außenaußen

außen

außen

außen

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WS 2005/200634


Klassische Fallunterscheidungen beim Marching Cube

Die Bitbelegung im Klassifizierungsvektor bestimmt das Flächenbild:

die 256 möglichen Belegungen repräsentieren 15 verschiedene Topologien

Theoretisch nicht ausreichend:

Fälle 3, 6, 7, 10, 12, 13 sind nicht eindeutig

Trotzdem: Für visuelle Auswertungen bei großen Datensätzen ausreichend!

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WS 2005/200635


Mehrdeutigkeiten bei der klassischen Fallunterscheidung

Fall 3: zwei Möglichkeiten für die Konstruktion der Kanten

Lösung: Ein weiterer Datenpunkt in der Mitte der Fläche wird durch Interpolation ermittelt und auch klassifiziert.

Lage der Flächen werden eindeutig.

?

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WS 2005/200636


Probleme desMarching Cube - Algorithmus

Bei großvolumigen Daten entstehen sehr viele Dreiecke hoher Speicherbedarf, große Render-ZeitenVerbesserungen: Triangle Strips können Render-Zeiten reduzieren.Reduzierung der Anzahl der Dreiecke durch Zusammenfassungen (Simplification) , z.B. anhand der Größe der Dreiecke, des Unterschiedes der Flächennormalen, etc.Viele verschiedene Algorithmen bekannt: z.B. [Klein, et.al], [Shekar et.al.]

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WS 2005/200637


Dividing Cubenach Levoy

Idee: Anstelle von Dreiecken werden Oberflächenpunkte erzeugt.

1. Schritt: Klassifizierung von Zellen in: Innen-Zelle: Alle in der Zelle präsenten Datenwerte sind kleiner als

der gegebene Schwellwert; Außen-Zelle: Alle in der Zelle präsenten Datenwerte sind größer

als der gegebene Schwellwert und Oberflächenzelle: die durch den Schwellwert spezifizierte

Isofläche schneidet die Zelle.2. Alle Oberflächenzellen werden rekursiv unterteilt und und erneut

klassifiziert. Datenpunkte werden durch trilineare Interpolation ermittelt.

3. Oberflächenzellen nach dem letzten Unterteilungsschritt werden als Oberflächenpunkte aufgefasst. Hierfür werden Normalen berechnet (z.B. durch Zentraldifferenzen)

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WS 2005/200638


Idee: Anstelle eines Würfels wandert ein Tetraeder durch den Datensatz:

Pro: Nur drei Fälle müssen unterschieden werden max. zwei Dreiecke/Tetraeder keine Mehrdeutigkeiten

Con: Resampling auf Tetraedergitter nötig

Manchmal, z.B. bei Berechnungen/Simulationen lassen sich die Beobachtungspunkte frei wählen

Marching Tetraeder

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WS 2005/200639


ZusammenfassungFlächenextraktion

Unterstützt insbesondere die Analyse geometrischer und topologischer Eigenschaften

Isoflächen lassen sich mit Standard-Graphikbibliotheken effektiv unterstützen

Isoflächen lassen sich mit an-deren Objekten gemeinsam darstellen

Extraktion ist ein vergleichs-weise aufwendiger Prozess

Festlegung der Schwelle sehr sensible Entscheidung

Zellkern

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WS 2005/200640


Direkt e Darstellung als semitransparente Elemente

Volume RenderingMan erhält eine kontinuierliche Darstellung der Datenwerte, einschließlich verschwommener

Grenzen

B ildebene m it x*y P ixe ln

D atenw ürfe l m it N *N *N Vo lum ene lem enten

Volum ene lem en t V (i, j, k)

Strah l

P ixe l (x , y )m it F arbe C x,y

Bildraumverfahren (Volume Ray Casting)FOR each pixel on image plane DO

FOR each sampling point on associated ray DOcompute contribution to pixel;

ObjektraumverfahrenFOR each volume element DO

FOR each pixel projected onto DOcompute contribution to pixel;

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WS 2005/200641


Danksagung

Diese Vorlesung basiert auf Material von Prof. Dr. Detlef Krömker Prof. Dr. Colin Ware Prof. Dr. Wolfgang Müller

WS 2005/200642


Hausaufgabe

SM: Kap. 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

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