STATISTIKA znanstvena metoda koja se bavi prikupljanjem, ureivanjem, analizom i tumaenjem podataka

Doc.dr.sc. Draenka izmi predavanja 2009.g.

STATISTIKADoc.dr.sc.Draenka izmi

- predavanja 2009.g -

SADRAJ:1. UVOD

Statistiki skup...................................................................................4 Vrste i izvori statistikih podataka....................................................4 2. UREIVANJE PODATAKA

Statistiki nizovi i tabele

5 Numeriki nizovi

73. OSNOVNA ANALIZA VREMENSKIH NIZOVA

Grafiko prikazivanje vremenskih nizova

10 Individualni indeksi

104. SREDNJE VRIJEDNOSTI STATISTIKOG NIZA

Mod....................................................................................................

12

Medijan.............................................................................................

13

Aritmetika sredina...........................................................................

15

Geometrijska sredina.......................................................................

17

Skupni indeksi..................................................................................

185. MJERE DISPERZIJE Raspon varijacije, Interkvartil, Koeficijent kvartilne devijacije.......

19 Srednje apsolutno odstupanje (MAD)...........................................

22 Varijanca, Standardna devijacija, Koeficijent varijacije..................

23 Standardizirana varijabla..................................................................

256. MJERE ASIMETRIJE Koeficijent asimetrije, Pearsonova mjera, Bowleyjeva mjera........

26

7. MJERE ZAOBLJENOSTI

Koeficijent zaobljenosti....................................................................

298. MJERE KONCENTRACIJE Koncentracijski omjer, Ginijev koeficijent.......................................

319. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI Definicije i svojstva vjerojatnosti......................................................

32 Modeli distribucija vjerojatnosti.......................................................

3410. OSNOVNI POJMOVI INFERENCIJALNE STATISTIKE Plan uzorka.......................................................................................

37 Sampling distribucija........................................................................

38 PROCJENE PARAMETRA Procjena aritmetike sredine...........................................................

39 Procjena totala osnovnog skupa.....................................................

42 Procjena proporcije osnovnog skupa.............................................

4411. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU Testiranje hipoteza o pretpostavljenoj vrijednosti aritmetike sredine osnovnog skupa................................................................

44 Testiranje hipoteza o razlici aritmetikih sredina dvaju

osnovnih skupova nezavisnim uzorcima..........................................4912. REGRESIJSKA ANALIZA Model jednostavne linearne regresije...............................................52 deskriptivno statistika analiza modela...............................52 inferencijalno statistika analiza modela............................

57 testiranje hipoteza o modelu................................................

5813. MODEL VIESTRUKE REGRESIJE Analiza modela viestruke regresije................................................

58 Testiranje hipoteza o modelu viestruke regresije.........................

5914. MODELI VREMENSKIH SERIJA Komponente vremenskih serija.......................................................

60 Modeli trenda....................................................................................

61PREDAVANJE #1

STATISTIKA znanstvena metoda koja se bavi prikupljanjem, ureivanjem, analizom i tumaenjem podataka.

DESKRIPTIVNA u okviru deskriptivne statistike zakljuci se donose na temelju svih podataka. Ona obuhvaa postupke ureivanja, grupiranja, tabeliranja, grafikog prikazivanja te izraunavanja razliitih statistiko-analitikih veliina

INFERENCIJALNA u sklopu inferencijalne statistike zakljuci se dodose na temelju dijela podataka (uzoraka). Temelji se na teoriji vjerojatnosti

STATISTIKI SKUP ine jedinice koje su predmetom promatranja statistikom metodom. Moemo promatrati osobe, poduzea, zemlje, proizvode itd.

OPSEG SKUPA broj jedinica. S obzirom na opseg statistiki skupovi se dijele na:

KONANI STATISTIKI SKUP studenti upisani na efzg

BESKONANI STATISTIKI SKUP bacanje novia ili proizvodnja

Statistiki skupovi definiraju se pojmovno, prostorno i vremenski.

OSNOVNI SKUP (POPULACIJA) skup podataka o promatranom svojstvu za svaku jedinicu statistikog skupa.

UZORAK podskup, dio osnovnog skupa. Dio podataka izdvojen iz cjelovite evidencije.

STATISTIKO OBILJEJE (VARIJABLA) svojstvo koje stupnjem ili oblikom varira od jedinice do jedinice statistikog skupa.

VRSTE STATISTIKOG OBILJEJA:

1. NUMERIKO (KVANTITATIVNO) izraava se brojevima

DISKRETNO (diskontinuirano) poprima iskljuivo cjelobrojne vrijednosti. npr. broj uenika u razredu, broj djece u obitelji

KONTINUIRANO moe poprimiti bilo koju vrijednost iz nekog intervala. npr. visina, teina, cijena...

2. KVALITATIVNO

NOMINALNO (atributivno i geografsko) izraava se opisno ili rijeima. npr. atributivno spol, zanimanje ; geografsko mjesto roenja

REDOSLIJEDNO (obiljeje ranga) npr. ocijena, stupanj kvalitete

MJERENJE postupak pridruivanja numerikih i nenumerikih oznaka jedinicama statistikih skupova na temelju odreenog pravila. Temelji se na primjeni mjerih skala.

MJERNE SKALE:

1. NOMINALNA sastoji se od liste naziva

2. ORDINALNA ovom skalom jedinicama statistikih skupova pridruuju se slovne oznake, simboli ili brojevi sukladno intenzitetu mjernog svojstva

3. INTERVALNA - ovom skalom jedinicama statistikih skupova pridruuju se brojevi sukladno intenzitetu mjernog svojstva. Za ovu skalu karakteristino je da ima definiranu mjernu jedinicu i dogovorno utvrenu nulu. npr. temperaturna ljestvica.

4. OMJERNA - ovom skalom jedinicama statistikih skupova pridruuju se brojevi sukladno intenzitetu mjernog svojstva. Za ovu skalu karakteristino je da ima definiranu mjernu jedinicu i nulu koja oznaava nepostojanje svojstva. npr. plaa, broj zastoja rada stroja.

IZVORI PODATAKA:

PRIMARNI prikupljaju se u skladu s ciljem istraivanja. SEKUNDARNI prikupljaju ih razne institucije (dravni zavod za statistiku, banke, agencije za istraivanje trita, osiguravajui zavodi...)PREDAVANJE #2UREIVANJE PODATAKA ureivanjem podataka nastaju statistiki nizovi

STATISTIKI NIZOVI:1. NOMINALNI NIZ nastaje ureivanjem podataka o nominalnom obiljeju2. REDOSLIJEDNI NIZ nastaje ureivanjem podataka o rang varijabli3. NUMERIKI NIZ nastaje ureenjem podataka koji predstavljaju vrijednosti numerike varijable4. VREMENSKI NIZ nastaje kronolokim nizanjem podataka o nekoj pojavi (proizvodnja,uvoz,izvoz)STATISTIKE TABELE: JEDNOSTAVNAPoljoprivredna povrina po kategorijama u tisuama hektara u RH, 2003.g

KATEGORIJEPOVRINA

oranice i vrtovi1460

vonjaci68

vinogradi57

livade396

panjaci1156

izvor: SLJRH, 2004.g., str.250

SKUPNA sadri barem dva niza koji su grupirani prema modalitetima istog obiljeja

Izvoz i uvoz prema pretenoj ekonomskoj namjeni u milijunima am. $ u RH, 2003.g.

EKONOMSKA NAMJENAIZVOZUVOZ

proizvodi za reprodukciju29596583

proizvodi za investicije13413316

proizvodi za iroku potronju18864311

izvor: SLJRH, 2004.g., str.386

KOMBINIRANA (TABELA KONTIGENCE, TABELA S DVA ULAZA) podaci su grupirani prema modalitetima dvaju ili vie varijabliStanovnitvo prema spolu i starosti u tisuama u RH, popis iz 2001.g.

STAROSTSPOL

M

0 14388370

15 6414821501

65 -266430

izvor: SLJRH, 2004.g., str.95

RELATIVNI BROJEVI omoguavaju elementarnu analizu podataka u sklopu deskriptivne statistike

proporcije (dio/cjelina), postoci (dio/cjelina*100) odnosno relativne frekvencije

indeksi

relativni brojevi koordinacije omjerni brojevi koji nastaju diobom dvaju koordinirajuih veliina (npr.gustoa stanovnitva, dohodak po stanovniku, BDP per capita)

NIZOVI KVALITATIVNIH PODATAKAKvalitativni podaci su oblici nominalne ili redoslijedne varijable.

ako ih je mali broj navode se nekim redom odabranim po volji ili prema intenzitetu mjernog obiljeja kod redoslijednih podataka (npr.ocjene od najmanje prema najveoj)

ako se radi o veem broju podataka pristupa se grupiranju. Grupiranjem se skup podataka ralanjuje na podskupove koji se meusobno ne preklapaju.

FREKVENCIJA broj podataka istog ili slinog modaliteta varijable

NOMINALNI ILI REDOSLIJEDNI NIZ ine parovi razliitog oblika kvalitativne varijable oi i pripadajuih frekvencija fi ( (oi, fi), i=1,2,....,kUenici i studenti koji su zavrili osnovnu ili srednju kolu odnosno diplomirai na visokim uilitima u RH, 2003.g.

STUPANJ OBRAZOVANJABROJ OSOBA

oifi

osnovno51211

srednje47092

struni studij6489

sveu.studij9243

ukupno114035

izvor: SLJRH, 2004.g., str.487

OPSEG SKUPA zbroj frekvencija

RELATIVNA FREKVENCIJA omjer frekvencije i opsega skupa (

POSTOTNA RELATIVNA FREKVENCIJA relativna frekvencija pomonoena sa 100 (

nizovi sa relativnim frekvencijama ( (oi, pi) ili (oi, Pi)Kvalitativni nizovi grafiki se prikazuju povrinskim grafikonima:

STUPCI (poloeni, uspravni)

STRUKTURNI KRUGOVI I POLUKRUGOVI

RAZDIJELNI STUPCI

VIESTRUKI STUPCI

NUMERIKI NIZOVI nastaju ureenjem numerikih podataka. Nain njihova ureivanja ovisi o tome da li su podaci diskretni ili kontinuirani.

NAINI UREIVANJA:

1. mali broj podataka - ureuje se nizanjem po veliini. Pojedinani numeriki podaci grafiki se prikazuju dijagramom s tokama i dijagramom stablo-list (S-L dijagram)

Primjer 1.Podaci o prodaji proizvoda A za 15 dana jednog razdoblja:

Xi: 8, 15, 9, 17, 20, 14, 34, 27, 30, 18, 10, 18, 24, 25, 29

Podaci ureeni po veliini:

Xi: 8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 18, 20, 24, 25, 27, 29, 30, 34

dijagram s tokama:

dijagram stablo-list:

0 8 9

1 0 4 5 7 8 8

2 0 4 5 7 9

3 0 4 O|8 predstavlja 8

2. diskretno obiljeje - velik broj podataka i manji broj oblika pristupa se grupiranju. Numeriki niz odnosno distribucija frekvencija se sastoji od parova (xi, fi), i=1,2,....,k

xi modaliteti numerikog obiljeja

fi pripadajue frekvencije

Primjer 2. Dnevna prodaja garnitura sobnog namjetaja

BROJ GARNITURABROJ DANA

xiFi

11

25

38

426

519

612

ukupno71

3. kontinuirano obiljeje/ diskretno obiljeje s veim brojem oblika grupiranje se provodi na temelju razreda. Svaki razred ima donju i gornju granicu.frekvencija razreda broj podataka omeen donjom i gornjom granicom razreda

Numeriki niz odnosno distribucija frekvencija sastoji se od parova razreda i pripadajuih frekvencija ( (Li1 xi Li2, fi), i= 1,2,....,kLi1 donja granica i-tog razreda; Li2 gornja granica i-tog razreda; fi frekvencija i-tog razreda

Primjer 3.Radnici poduzea A prema starosti

STAROSTBROJ RADNIKA

18 265

26 346

34 4210

42 505

50 584

ukupno30

Formiranju distribucije frekvencija prethodi odreivanje broja razreda i njihove veliine. Za odreivanje broja razreda koristi se Sturgesovo pravilo: k 1 + 3,3 logN

k-broj razreda; N-zbroj frekvencija

Ako su razredi jednakih veliina, veliina im se aproksimira tako da se raspon varijacije podijeli sa brojem razreda: Razredi jednakih veliina primjenjuju se kada su podaci simetrino rasporeeni.

Razredi razliitih veliina primjenjuju se kada su podaci asimetrino rasporeeni.

Pri brojanoj analizi numerikog niza potrebno je utvrditi da li su granice prave, a nakon toga odrediti veliinu razreda i rezredne sredine.

GRANICE RAZREDA:

PRAVE donja granica tekueg razreda je jednaka gornjoj granici prethodnog razreda

NOMINALNE pretvaraju se u prave tako da se svaka donja granica umanji za polovicu jedinice, a svaka gornja se uvea za polovicu jedinice. To vrijedi za sve sluajeve osim za navrene godine ivota. Kod navrenih godina ivota svaka se gornja granica povea za jedinicu.

VELIINA RAZREDA odreuje se kao razlika gornje i donje prave granice razredaREZREDNA SREDINA i-tog razreda odreuje se kao poluzbroj gornje i donje prave granice razreda

Distribucija frekvencija grafiki se prikazuje histogramom i poligonom frekvencija.

Primjer 4.Nepismeno stanovnitvo staro 10.g. i vie prema starosti u RH prema popisu iz 2001.g.

STAROSTBROJ OSOBAPRAVE GRANICERAZREDNA SREDINAVELIINA REZREDAKORIGIRANE FREKVENCIJE

fixiii

123456

10-1918459.5-19.514.5102768

20-34316019.5-34.527153160

35-49445734.5-49.542154457

50-641110849.5-64.5571511108

65-(99)4920764.5-(99.5)823521089

UKUPNO69777----

Prvi i posljednji razred mogu biti otvoreni razredi. Njihove se veliine procjenjuju i procjena se stavlja u zagradu.Kada su razredi razliitih veliina potrebno je korigirati frekvencije:

- ova se formula koristi kada su svi razredi razliitih veliina, a moe se

koristiti i generalno

- bazna veliina razreda (najee se pojavljuje)

IZVEDENI NIZOVI:

KUMULATIVNI NIZ nastaje postupnim zbrajanjem apsolutnih ili relativnih frekvencija. On se grafiki prikazuje kumulantom.

Primjer 5.

Stanovnitvo prema starosti u RH u tisuama prema popisu iz 2001.g.

STAROSTBROJ OSOBAPRAVE GRANICEKUMULATIVNI NIZ

0-14758-0.5 14.5758

15-64298314.5 64.53741

65-(99)69664.5 (99.5)4437

PREDAVANJE #3VREMENSKI NIZ skup kronoloki ureenih vrijednosti koje predstavljaju neku pojavu (proizvodnja, uvoz, izvoz).

LANOVI NIZA vrijednosti koje tvore niz

Vremenski niz noe biti:

INTERVALNI nastaje trajanjem vrijednosti pojave po intervalima vremena (godina, kvartal, mjesec) npr. proizvodnja, uvoz, izvoz...

TRENUTANI sastoji se od kronoloki ureenih vrijednosti koje predstavljaju stanja pojave u odabranim vremenskim tokama (poetak, sredina, kraj) npr. stanje na raunima, zakljune cijene dionica..

GRAFIKO PRIKAZIVANJE VREMENSKIH NIZOVA:

INTERVALNI NIZOVI prikazuju se povrinskim i linijskim grafikonima.

TRENUTNI NIZOVI prikazuju se samo linijskim grafikonimaRadi lakeg praenja u grafikon se ucrtava mrea. Prikaz je u pravokutnom koordinatnom sustavu s aritmetikim mjerilima na osima. Na osi apscisa je mjerilo za varijablu vrijeme, a na osi ordinata za lanove vremenskog niza.

OKOMITI PREKID GRAFIKONA ako se ne raspolae podacima za dio razdoblja mogue je izostaviti dio mjerila na osi apscisa.

VODORAVNI PREKID GRAFIKONA ako neka pojava varira na velikim razinama mogue je izostaviti dio mjerila osi ordinata.

Prekidaju se samo linijski grafikoni.POLULOGARITAMSKI GRAFIKON koristi se ako se na istom grafikonu usporeuju raznorodni podaci (nizovi izraeni u razliitim mjernim jedinicama). To je grafikon sa aritmetikim mjerilom na osi apscisa, a logaritamskim na osi ordinata.

INDIVIDUALNI INDEKSI njima se prati razvoj jedne pojave u vremenu

verini indeksi njima se prati razvoj pojave u uzastopnim vremenskim razdobljima. Verini indeks Vt razdoblja t dobije se tako da se vrijednost toga razdoblja podijeli s vrijednou prethodnog razdoblja te se pomnoi sa sto (

Verini indeksi se grafiki prikazuju specifinim linijskim grafikonom i grafikonom jednostavnih stupaca.KOEFICIJENT DINAMIKE vrijednost tekueg razdoblja podijeljena sa vrijednou prethodnog razdoblja ne pomnoena sa sto (

STOPA PROMJENE od verinog indeksa se odbije sto (

Primjer 1.Izvoz RH u milijunima US$ u razdoblju od 1999. do 2003.g.

GODINAIZVOZVERINI INDEKSISTOPA PROMJENE

ytVtSt

19994302--

20004432103,23,02

20014665105,26

20024904105,125,12

20036197126,3626,36

izvor: SLJRH 2004., str.384

Indeks se interpretira kao postotna promjena u odnosu na 100. Ako je vei od 100 predstavlja postotno poveanje, a ako je manji od 100 predstavlja postotno smanjenje.

npr. Izvoz u RH u 2003.g. poveao se za 26.36% u odnosu na 2002.g.

indeksi na stalnoj bazi njima se mjere promjene u odnosu na neko odabrano bazno razdoblje. Izraunavaju se tako da se svaki lan niza podijeli s vrijednou baznog razdoblja te pomnoi sa 100 (

BAZNO RAZDOBLJE razdoblje u kojemu pojava nije bila izloena nekim neuobiajenim utjecajima (prirodne katastrofe, rat). Ponekad se uzima neka vrijednost izvan niza ili nekakav prosjek.

STOPA PROMJENE kad od indeksa odbijemo sto (

Bazni indeksi se grafiki prikazuju linijskim grafikonom jednostavnih stupaca.

Primjer 2.GODINAIZVOZBAZNI INDEKSI

1999 = 100STOPA PROMJENE

19994302100,000,00

20004432103,023,02

20014665108,448,44

20024904113,9913,99

20036197144,0544,05

U 2003.g. izvoz se poveao za 44.05% u odnosu na baznu 1999.g.SREDNJE VRIJEDNOSTI STATISTIKOG NIZA konstante kojima se predstavljaju nizovi varijabilnih podataka.

POTPUNE raunaju se na temelju svih podataka. U njih se ubrajaju aritmetika, geometrijska i harmonijska sredina.

POLOAJNE u pravilu su jednake jednom modalitetu statistike varijable. U njih se ubrajaju MOD i MEDIJAN.

MOD najei modalitet varijable, odnosno to je modalitet varijable s najveom frekvencijom

1. pojedinani podaci kod pojedinanih podataka MOD je vrijednost koja se najee pojavljuje

Primjer 3.Slijedei niz predstavlja cijene jednog proizvoda evidentirane na 10 prodajnih mjesta u kn:

25 24 25 23 25 22 21 25 20 25 ( Najea prodajna cijena (MOD) je 25 kn.

2. distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinanih vrijednosti tu je MOD modalitet varijable s najveom frekvencijomPrimjer 4.Dnevna prodaja garnitura sobnog namjetaja

BROJ GARNITURABROJ DANA

xifi

11

25

38

426

519

612

UKUPNO71

MOD distribucije dnevne prodaje garnitura namjetaja iznosi 4, tj. najea dnevna prodaja iznosila je 4 garniture

3. distribucija frekvencija sa razredima MOD se aproksimira pomou izraza:

b najvea korigirana frekvencija

a frekvencija ispred nje

c frekvencija iza nje

L1 donja prava granica modalnoga razreda

i njegova veliina

MODALNI RAZRED razred s najveom korigiranom frekvencijom

Primjer 5.Aktivno stanovnitvo u RH u 2003.g. (2.polugodite) u tisuama

STAROSTBROJ OSOBAPRAVE GRANICEVELIINE RAZREDAKORIGIRANE FREKVENCIJE

fiiifci

15-2421614,5-24,510216,0

25-49115224,5-49,525460,8

50-6437049,5-64,515246,7

65-(74)5564,5-(74.5)1055,0

Mo = 24.5 + (460.8-216.0)/(460.8-216.0)+(460.8-246.7) * 25 = 37.84 god

Najea starost aktivnog stanovnitva u RH u 2003.g. iznosi 37.84 godine.

MEDIJAN srednja vrijednost koja numeriki niz ureen po veliini dijeli na dva jednakobrojna dijela

1. pojedinani podaci (neparan broj) MEDIJAN je jednak vrijednosti varijable sredinjeg lana u nizu

Primjer 6.Podaci moraju biti ureeni po veliini

1 3 5 8 10 12 14 ( 7/2 = 3.5 ; r =4 ; Me = x4 = 8

2. pojedinani podaci (paran broj) MEDIJAN je jednak poluzbroju vrijednosti varijable sredinjih dvaju lanova niza ureenog po veliini ( N/2 = INT ; Me = (xr+Xr+1)/2 ; r = N/2

Primjer 7.11 24 29 37 40 53 65 72 ( N=8 ; r=4 ; Me = (37+40)/2 = 38.5

3. distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinanih vrijednosti odreivanje MEDIJANA se pojednostavljuje uporabom kumulativnog niza manje od. MEDIJAN je jednak vrijednosti varijable ija kumulativna frekvencija prva ukljuuje N/2.

Primjer 8.Dnevna prodaja

BROJ GARNITURABROJ DANAKUMULATIVNI NIZ

xifiS(xi)

111

256

3814

42640

51959

61271

UKUPNO71-

N/2 = 35.5

Me = 4

4. distribucija frekvencija s razredima MEDIJAN se aproksimira pomou izraza:

L1 donja prava granica medijalnog razreda

N zbroj apsolutnih ili relativnih frekvencija

fi zbroj frekvencija do medijalnog razreda

fmed frekvencija medijalnog razreda

i veliina medijalnog razreda

MEDIJALNI RAZRED onaj ija kumulativna frekvencija prvi put ukljuuje N/2.

Primjer 9.STAROSTBROJ OSOBAPRAVE GRANICEVELIINE RAZREDAKUMULATIVNE FREKVENCIJE

fiiiS(xi)

15-2421614,5-24,510216

25-49115224,5-49,5251368

50-6437049,5-64,5151738

65-(74)5564,5-(74,5)101793

N/2 = 896.5

Me = 24.5 + (896.5-216)/1152 * 25 = 39.27 god

Prvih 50% osoba imalo je 39 godina i manje, a preostalih 50% osoba bilo je starije od 39 godina

KVANTILI numeriki niz ureen po veliini dijele na jednakobrojne dijelove. Medijan spada meu kvantile KVARTILI niz ureen po veliini dijele na 4 jednakobrojna dijela

DECILI niz ureen po veliini dijele na 10 jednakobrojnih dijelova

PERCENTILI niz ureen po veliini dijele na 100 jednakobrojnih dijelova

Broj kvartila je za jedan manji od njihova reda, tj. 3 su kvartila, 9 decila i 99 percentila

PREDAVANJE #4ARITMETIKA SREDINA dobije se tako da se zbroje vrijednosti numerike varijable i podijele sa njihovim brojem.

TOTAL zbroj vrijednosti numerike varijable; aritmetika sredina je jednaki dio totala po jedinici

Svojstva aritmetike sredine:

1. zbroj vrijednosti odstupanja numerike varijable od njezine aritmetike sredine jednak je nuli

2. zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti numerike varijable od njezine aritmetike sredine minimalan je

3. aritmetika sredina nalazi se izmeu najmanje i najvee vrijednosti niza za koji je izraunata

JEDNOSTAVNA ARITMETIKA SREDINA rauna se kod pojedinanih kvantitavnih podataka (

Primjer 1.

Slijedei niz predstavlja cijene jednog proizvoda evidentirane na 10 prodajnih mjesta u kn:

25 24 25 23 25 22 21 25 20 25 ( 235/10=23.5 prosjena prodaja iznosila je 23.5 kn

Aritmetika sredina izraena je u istim mjernim jedinicama kao i obiljeje.

VAGANA (PONDERIRANA) ARITMETIKA SREDINA primjenjuje se za grupirane podatke, tj. za distribuciju frekvencija

1. ponderi: APSOLUTNE FREKVENCIJE (fi) (

2. ponderi: RELATIVNE FREKVENCIJE U VIDU POSTOTAKA (Pi) (

3. ponderi: RELATIVNE FREKVENCIJE U VIDU PROPORCIJA (pi) (

Primjer 2. Distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinanih vrijednosti

Dnevna prodaja garnitura sobnog namjetaja

BROJ GARNITURABROJ DANAkol. 1*2

xififixi

111

2510

3824

426104

51995

61272

UKUPNO71306

PRAVI TOTAL ukupan broj

prodanih garnitura

garniture dnevnoPrimjer 3. Distribucija frekvencija formirana na temelju razreda

Aktivno stanovnitvo u RH u 2003.g. (drugo polugodite) u tisuama

STAROSTBROJ OSOBAPRAVE GRANICERAZREDNE SREDINEkol.2*4

fixifixi

15-2421614.5-24.519.54212.0

25-49115224.5-49.537.042624.0

50-6437049.5-64.557.021090.0

65-(74)5564.5-(74.5)69.53822.5

UKUPNO1793--71746.5

PROCIJENJENI PODTOTALIPROCIJENJENI TOTAL-

ukupna starost

promatranih osoba

Prosjena starost aktivnog stanovnitva iznosila je 40.02 godina.

ARITMETIKA SREDINA ARITMETIKIH SREDINA odreuje se kao vagana sredina u kojoj se za pondere uzima broj podataka za koje su pojedine sredine raunate ili tom broju proporcionalne veliine.

Primjer 4. Odabrane kompanije zaposlenih i prosjene mjesene plae u kn

KOMPANIJABROJ ZAPOSLENIHPROSJENA PLAAUKUPNA PLAA

Ni

Ni

ALFA55035001925000

GAMA3202300736000

TRADE25042001050000

UKUPNO1120-3711000

Prosjena plaa za sve kompanije:

Ako se svaka individualna vrijednost numerikog obiljeja zamijeni aritmetikom sredinom dobiva se polazna veliina tj. total ili zbroj vrijednosti numerikog obiljeja.

ARITMETIKA SREDINA RELATIVNIH BROJEVA KOORDINACIJE odreuje se kao vagana sredina u kojoj su ponderi baze tih brojeva (

RELATIVNI BROJEVI KOORDINACIJE omjerni su brojevi koji nastaju diobom dviju koordinirajuih veliina

Grafiki se prikazuju na 2 naina:

1. jednostavnim stupcima2. pravokutnicima ije su osnovice proporcionalne bazama tih brojeva, a visine samim relativnim brojevima koordinacijePrimjer 5.Najvee drave svijeta, povrina u km2 i broj stanovnika na km2

DRAVAPOVRINA U km2STANOVNITVO/ km2UKUPAN BROJ STANOVNIKA

BiRiVi= Ri*Bi

RUSIJA170754008136603200

KANADA9970610329911830

SAD962909130288872730

KINA95969611351295589735

BRAZIL851421521178798515

UKUPNO54786277-1929776010

Prosjean broj stanovnika na km2 za sve navedene drave:

GEOMETRIJSKA SREDINA jednaka je N-tom korijenu produkta N pojedinanih vrijednosti

Za grupirane podatke geometrijska sredina dana je izrazom:

Primjer 6. zadani su koeficijenti dinamike

GODINA20002001200220032004

Vt-1,061,051,031,02

prosjena stopa raunata pomou geometrijske sredine:

Promatrana pojava prosjeno se godinje poveavala

za 3.99%.

Geometrijska i harmonijska sredina relativno se rijetko primjenjuju. Geometrijska sredina se primjenjuje u analizi vremenskih nizova. Pomou nje se rauna prosjena stopa promjene pojave. Geometrijska sredina poprima niu vrijednost od aritmetike sredine.

HARMONIJSKA SREDINA reciprona vrijednost aritmetike sredine recipronih vrijednosti varijable x

negrupirani pojedinani podaci (

grupirani podaci (

Harmonijska sredina manja je od aritmetike i geometrijske sredine

Primjer 7. Ugostiteljska poduzea, ukupan promet (u tisuama kn) i promet po zaposlenom (u tisuama kn)

UGOSTITELJSKA PODUZEAPROMETPROMET PO ZAPOSLENOMZAPOSLENI

ViRiVi/Ri = Bi

HOTELI627214619931518

KAMPOVI2720701581722

RESTORANI8141601784574

BAROVI7160651315466

KANTINE3310941372417

UKUPNO8405535-45697

Prosjean promet po zaposlenom za sva ugostiteljska poduzea:

Ako nazivnici relativnih brojeva koordinacije nisu poznati, a brojnici jesu ili se lake procjenjuju do sredine e se doi pomou izraza za vaganu ponderiranu harmonijsku sredinu:

Ako imamo zadano Bi koristimo formulu za aritmetiku, a ako su nam zadane Vi koristimo harmonijsku vaganu sredinu.

SKUPNI INDEKSI njima se prati dinamika skupine pojava u vremenu npr.proizvodnja, uvoz, izvoz....

SKUPNI INDEKSI CIJENA

SKUPNI INDEKSI KOLIINA

SKUPNI INDEKS VRIJEDNOSTI

U pravilu se raunaju kao vagana aritmetika sredina individualnih indeksa. Ponderi su obino vrijednosti. Uglavnom se izraunavaju:

LASPEYRESOV INDEKS CIJENA I KOLIINA

PAASCHEOV INDEKS CIJENA I KOLIINA

FISHEROV INDEKS CIJENA I KOLIINA

INDEKS VRIJEDNOSTI

Skupne indekse izraunavaju i objavljuju statistiki uredi. Obino su Laspeyresova tipa: INDEKS POTROAKIH CIJENA mjera inflacije; INDEKS INDUSTRIJSKE PROIZVODNJE

Skupni indeksi cijena koriste se u postupku deflacioniranja tj. uklanjanja utjecaja promjena cijena na vrijednosno izraene pojave.

PREDAVANJE #5MJERE DISPERZIJEReprezentativnost srednje vrijednosti ovisi o stupnju varijabilnosti podataka.Varijabilnost numerikog obiljeja predoava se i pomou grafikih prikaza: dijagram s tokama i dijagram s pravokutnikomMjere za varijabilnost podataka su:

1. raspon varijacije

2. interkvartil

3. koeficijent kvartilne devijacije

4. varijanca

5. standardna devijacija

6. koeficijent varijacije

7. srednje apsolutno odstupanje (MAD)

1. RASPON VARIJACIJE pojedinani podaci odreuje se kao razlika izmeu najvee i najmanje vrijednosti

distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinanih podataka odreuje se kao razlika izmeu posljednje i prve vrijednosti

distribucija frekvencija s razredima aproksimira se kao razlika izmeu gornje granice posljednjeg i donje granice prvog razreda ili kao razlika razrednih sredina posljednjeg i prvog razreda.

Raspon varijacije je apsolutna (izraena je u istim mjernim jedinicama kao i obiljeje) i nepotpuna (dobiva se iz samo dvije vrijednosti) mjera disperzije.

2. INTERKVARTIL

KVARTILI:

PRVI ILI DONJI KVARTIL (Q1) vrijednost numerike varijable koja lanove niza dijeli u dvije skupine. U prvoj je skupini 25% elemenata s vrijednostima varijable koja je jednaka ili manja od donjeg kvartila, a u drugoj je skupini 75% elemenata s vrijednostima veim od donjeg kvartila.

DRUGI ILI MEDIJAN (Q2)

TREI ILI GORNJI KVARTIL (Q3) - vrijednost numerike varijable koja lanove niza dijeli u dvije skupine. U prvoj je skupini 75% elemenata s vrijednostima varijable koja je jednaka ili manja od gornjeg kvartila, a u drugoj je skupini 25% elemenata s vrijednostima veim od gornjeg kvartila.

Interkvartil se odreuje kao razlika kvartila ( 50% Interpretira se kao raspon varijacije sredinjih 50% podataka:

Interkvartil je takoer apsolutna i nepotpuna mjera disperzije.3. KOEFICIJENT KVARTILNE DEVIJACIJE njime se usporeuje stupanj disperzije raznorodnih nizova. Odreuje se kao omjer interkvartila i zbroja kvartila:

0 VQ < 1

Ovo je relativna i nepotpuna mjera disperzije.

GRAFIKI PRIKAZ VARIJABILNOSTI PODATAKA dijagram s pravokutnikom ( box-plot (B-P) dijagram

Za njegovu konstrukciju koristi se 5 pokazatelja numerikog niza 5's (five summary numbers)

najmanja vrijednost

najvea vrijednost

medijan

donji kvartil

gornji kvartil

Na ovom grafikom prikazu ouava se raspon varijacije i interkvartilni raspon te se prosuuje o moguoj asimetriji kao i o pojavi netipinih vrijednosti (( out lier)

Primjer 1. Negrupirani tj. pojedinani podaci

Mjereno je vrijeme u minutama potrebno za rjeavanje jednog zadatka iz statistike za 10 studenata. Dobiveni su ovi rezultati : 20 22 25 27 28 28 30 30 33 35

Podaci moraju biti ureeni po veliini.

raspon varijacije: 3015 = 15 min

Vrijeme potrebno za rjeavanje zadatka bilo je izmeu 20 i 35 min. Odnosno u raponu od 15 min.

interkvartil:

donji kvartil: N/4 = 10/4 = 2.5 INT

r = INT (N/4) + 1 = 2+1 = 3, Q1=x3=25

Prva etvrtina studenata imala je vrijeme 25 min i manje, a preostale 3

etvrtine imale su vrijeme vee od 25 min.

gornji kvartil: 3N/4 = 30/4 = 7.5 INT

r = INT (3N/4) + 1 =7+1=8, Q3=xr=x8=30

Prve tri etvrtine studenata imale su vrijeme 30 min i manje, a preostala

etvrtina imala je vrijeme vee od 30 min.

IQ = Q3 Q1 = 30 - 25=5 min

Raspon varijacije sredinjih 50% studenata iznosio je 5 min, tj. njihova vremena bila su izmeu 25 i 30 min.

koeficijent kvartilne devijacijeVQ= (Q3-Q1)/(Q3+Q1) = (30-25)/(30+25) = 0.09

Raspon varijacije sredinjih 50% studenata u relativnom iznosu je 0.09.

B-P dijagram N/2 = 10/2 = 5 = INT , r=5

Me = (xr+Xr+1)/2 = (x5+x6)/2 = (28+28)/2 = 28

Primjer 2. Distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinanih vrijednosti

Pismeni ispit iz statistike sadri 5 zadataka. Distribucija frekvencija prema broju rjeenih zadataka dana je u tabeli:

BROJ ZADATAKABROJ STUDENATAKUMULATIVNI NIZ manje od

xifiS(xi)

01010

12535

25590

3125215

450265

515280

UKUPNO280-

raspon varijacije: Rx = xk x1 = 5-0 = 5 zadataka

Broj rjeenih zadataka bio je izmeu 0 i 5 odnosno u rasponu od 5 zadataka.

interkvartil:

donji kvartil: N/4 = 70 ; Za Q1 se uzima vrijednosti varijable s prvom kumulativnom frekvencijom

koja sadri vrijednost N/4 ( Q1= 2

gornji kvartil: 3N/4 = 210 ( Q3=3

IQ = Q3 Q1= 3 2= 1

Raspon varijacije sredinjih 50% studenata iznosio je 1 zadatak, tj. broj rjeenih zadataka bio je

izmeu 2 i 3.

koeficijent kvartilne devijacije

VQ= (Q3-Q1)/(Q3+Q1) = (3-2)/(3+2) = 0.2

Raspon varijacije sredinjih 50% studenata u relativnom iznosu je 0.2

Primjer 3. Distribucija frekvencija s razredimaDistribucija studenata prema vremenu potrebnom za rjeavanje jednog zadatka iz statistike u min.UTROENO VRIJEMEBROJ STUDENATAKUMULATIVNI NIZ manje odVELIINA RAZREDA

fiS(xi)ii

10-1515155

15-2020355

20-2530655

25-3010755

UKUPNO75--

raspon varijacije

Rx = 30 10 = 20 min

Rx = 27.5 12.5 = 15 min

interkvartil

N/4 = 75/4 = 18.75

Kvartilni razred je razred ija kumulativna frekvencija prva ukljuuje vrijednost N/4

IQ = 23.5 15.9 = 7.6 min

Raspon varijacije sredinjih 50% studenata iznosio je 7.6 min.

VQ= (Q3-Q1)/(Q3+Q1) = (23.5 15.9)/(23.5 15.9) = 0.19

Raspon varijacije sredinjih 50% studenata u relativnom iznosu je 0.19.

4. SREDNJE APSOLUTNO ODSTUPANJE (MAD) za mjerenje disperzije moe se koristiti i prosjeno apsolutno odstupanje vrijednosti varijable od njezine aritmetike sredine ili medijana: pojedinani podaci:

za distiribuciju frekvencija apsolutne razlike ponderiraju se apsloutnim ili relativnim frekvencijama

Primjer 4.Dnevna prodaja hladnjaka u 10 prodavaonica iznosila je: 2 5 3 3 7 3 4 6 4 3

PRODAJA

xi

22

51

31

31

73

31

40

62

40

31

4012

PRODAJA

xi

21,5

51,5

30,5

30,5

73,5

30,5

40,5

62,5

40,5

30,5

4012,0

MAD = 12/10 = 1,2

2 3 3 3 3 4 4 5 6 7N/2 = 5 = INT, r = 5

Me = (x5+x6)/2 = (3+4)/2 = 3.5

PREDAVANJE #65. VARIJANCA aritmetika sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numerike varijable od njezine aritmetike sredine. Varijanca je mjera disperzije u drugom stupnju koju je potrebno vratiti u prvi stupanj.

negrupirani podaci

grupirani podaci

6. STANDARDNA DEVIJACIJA pozitivni drugi korijen iz varijance. Potpuna i apsolutna mjera disperzije. negrupirani podaci

grupirani podaci

7. KOEFICIJENT VARIJACIJE realtivna mjera disperzije. Odreuje se kao omjer srtandardne devijacije i aritmetike sredine pomnoen sa sto.

Standardna devijacija se interpretira kao prosjeno odstupanje od prosjeka izraeno apsolutno, a koeficijent varijacije kao to isto odstupanje izraeno relativno i to u vidu postotka.Primjer 1. Negrupirani tj. pojedinani podaci

Mjereno je vrijeme (u minutama) potrebno za rjeavanje jednog zadatka iz statistike za 10 stuudenata. Dobiveni su ovi rezultati:

VRIJEME

xi

2060.84

2233.64

25.

27.

28.

28.

30.

30.

33.

35.

UKUPNO191.60

Interpretacija:

Prosjeno vrijeme rjeavanja zadataka iznosilo je 27.8 minuta s prosjenim odstupanjem od 4.38 minute odnosno 15.76%.

Primjer 2. Distribucija frekvencija formirana na temelju pojedinanih podataka

Pismeni ispit iz statistike sadri 5 zadataka. Distribucija studenata prema broju rjeenih zadataka dana je u tabeli:

BROJ ZADATAKABROJ STUDENATAkol. 1x2

xififixi

010078.4

1252581.0

255110.

3125375.

450200.

51575.

UKUPNO280785344.2

Prosjeni broj rjeenih zadataka iznosio je 2.80 zadatka. S prosjenim odstupanjem od 1.11 zadataka odnosno 39.64%.

Primjer 3. Distribucija frekvencija s razredima

Struktura aktivnog stanovnitva u drugom polugoditu 2003.g. u RH

STAROSTSTAROST%PRAVE GRANICERAZREDNE SREDINEkol. 2x4VELIINA RAZREDAKORIGIRANE FREKVENCIJE

PixiPixi

Pci

15-241214.5-24.519.5234.05043.001012

25-496424.5-49.537.02368.0.2525.6

50-642149.5-64.557.01197.0.1514.0

65-(74)364.5-(74.5)69.5208.5.103.0

UKUPNO100--4007.514298.75--

Interpretacija:

Prosjena starost aktivnog stanovnitva iznosila je 40

godina. S prosjenim odstupanjem od 11.96 godina

odnosno 30%.

STANDARDIZIRANA VARIJABLA linearna transformacija numerike varijable x. Odreuje se tako da se odstupanja numerike varijable od njezine aritmetike sredine podijele sa standardnom devijacijom, tj. da se izraze u jedinicama standardnih devijacija. Aritmetika sredina standardizirane varijable jednaka je nuli, a standardna devijacija jednaka je jedan.

PRAVILO EBIEVA govori da je najmanja proporcija lanova bilo kojeg niza obuhvaenih bilo kojim intervalom.

U pojasu nalazi se najmanje 0.75 tj. 75% svih podataka.U pojasu nalazi se najmanje 0.889 tj. 88.89% svih podataka.

Ako su podaci rasporeeni po normalnoj distribuciji onda:

pojas obuhvaa oko 68% podataka

pojas obuhvaa oko 95% podataka

pojas obuhvaa oko 99.73% podataka

Primjer 4.

Prosjean broj bodova na 1. kolokviju iz statistike iznosi 15, a prosjeno odstupanje od prosjeka iznosi 5. Na drugom kolokviju postignut je prosjean broj bodova 17 s prosjenim odstupanjem od prosjeka 4. Student je na prvom kolokviju postigao 20, a na drugome 22 boda. to se moe zakljuiti o uspjehu studenta na kolokvijima?

Vrijednost standardiziranog obiljeja na prvom kolokviju:

Vrijednost standardiziranog obiljeja na drugom kolkviju:

Student je na oba kolokvija postigao iznad prosjean rezultat. Bolji je na drugom kolokviju jer je odstupanje od prosjeka na vie 1.25 , a na prvome 1 .

Primjer 5.Mjereno je vrijeme u minutama potrebno za rjeavanje jednog zadatka iz statistike za 10 studenata. Dobiveni su ovi rezultati: 20 22 25 27 28 28 30 30 33 35

Je li vrijeme rjeavanja od 35 minuta netipino?

Netipian je podatak koji se nalazi izvan pojasa tj. ako od prosjeka odstupa za vie od 2.

Ako se podaci rasporeuju po normalnoj distribuciji netipian je podatak koji se nalazi izvan pojasa tj. ako od prosjeka odstupa za vie od 3.

Budui da se vrijeme od 35 minuta nalazi u pojasu ne moe se

smatrati netipinim.

PREDAVANJE #7MJERE ASIMETRIJE njima se mjeri nain rasporeda podataka prema aritmetikoj sredini ili nekoj drugoj vrijednosti.Najvanije su:

1. Koeficijent asimetrije 3 - potpuna mjera2. Pearsonova mjera nepotpune

3. Bowleyeva mjera mjere

1. KOEFICIJENT ASIMETRIJE 3

MOMENTI OKO SREDINE aritmetike sredine odstupanja vrijednosti numerike varijable od

njezine aritmetike sredine podignuti na neku potenciju

pojedinani podaci (

grupirani podaci (

- s obzirom na veliinu r govori se o nultom, prvom, drugom, treem ili etvrtom momentu oko

sredine

- koeficijent asimetrije 3 je omjeru treeg momenta oko sredine i standardne devijacije podignute

na treu potenciju ( obino se kree u intervalu z, a u odreenim sluajevima moe

biti izvan toga intervala:

3 = 0 ( simetrina distribucija

3 < 0 ( negativno asimetrina distribucija

3 > 0 ( pozitivno asimetrina distribucija

2. PEARSONOVA MJERA temelji se na odnosu srednjih vrijednosti u distribucijama frekvencija

simetrina distribucija (

pozitivno asimetrina distribucija (

negativno asimetrina distibucija (- Pearsonova mjera definira se kao standardizirano odstupanje vrijednosti medijana ili moda od

aritmetike sredine:

kree se u intervalu

St = 0 ( simetrina distribucija

St > 0 ( pozitivno asimetrina distribucija

St < 0 ( negativno asimetrina distribucija

3. BOWLEYJEVA MJERA temelji se na odnosu medijana i kvartila

simetrina distribucija (

pozitivno asimetrina distribucija (

negativno asimetrina distibucija (

kree se u intervalu 1

Ska = 0 ( simetrina distribucija

Ska > 0 ( pozitivno asimetrina distribucija

Ska < 0 ( negativno asimetrina distribucija

Primjer 1. pojedinani podaci

Radi kontrole deklarirane teine izabran je uzorak od 10 proizvoda pakiranih u vreice. Mjerenjem su dobiveni ovi rezultati u gramima: 10 12 15 13 10 11 12 11 11 15

10-24-8

12000

15...

13...

10...

11...

12...

11...

11...

15...

12003036

1.koeficijent asimetrije

- 3 je pozitivan, distibucija je umjereno pozitivno asimetrina

2. Pearsonova mjera3. Bowleyjeva mjera

Primjer 2. distribucija frekvencija s razredimaDistribucija studenata prema vremenu potrebnom za rjeavanje jednog zadatka iz statistike

UTROENO VRIJEMEBROJ STUDENATARAZREDNE SREDINE

10-151512.5187.5187.5-5907.49

15-202017.5350--

20-25302.5675--

25-301017.5275--

UKUPNO75-1487.51716.67-1076.29

Distribucija je blago negativno asimetrina.Pearsonova mjera:

Bowleyjeva mjera:

MJERA ZAOBLJENOSTIKOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI 4 njime se mjeri zaobljenost modalnog vrha distribucije. Izraunava se kao omjer etvrtog momenta oko sredine i standardne devijacije podignute na 4. potenciju (

negrupirani podaci (

grupirani podaci (

4 = 3 ( NORMALNA DISTRIBUCIJA najvanija teorijska distribucija

4 > 3 ( iljatija distribucija od normalne 4 < 3 ( plosnatija distribucija od normalne

4 1.8 ( pravokutna distribucija

4 < 1.8 ( U-distibucija

EKSCES alternativna mjera zaobljenosti (

K = 0 ---- normalna distribucija

K > 0 ---- iljatija distribucija

K < 0 ---- plosnatija distribucija

Primjer 3. pojedinani podaci

1016

120

15.

13.

10.

11.

12.

11.

11.

15.

120

Distribucija je plosnatija od normalne.Primjer 4. distribucija frekvencija s razredima

UTROENO VRIJEMEBROJ STUDENATARAZREDNE SREDINE

10-151512.513 301.92

15-202017.5.

20-253022.5.

25-301027.5.

UKUPNO75-80 024.41

Distribucija je plosnatija od normalne.

MJERE KONCENTRACIJE njima se mjeri nain rasporeda totala po jedinicama niza

apsolutne najee se koriste koncentracijski omjeri relativne najee se koristi Ginijev koeficijent koncentracije1. KONCENTRACIJSKI OMJER reda r se odreuje tako da se zbroj r vrijednosti (od njih N) podijeli sa zbrojem N vrijednosti. Pri tome se pretpostavlja da su podaci poredani od najveeg prema najmanjem.

Ako se radi o ravnomjernoj raspodjeli, koncentracijski omjer poprima vrijednost od 1 do N.

A ako se radi o maksimalnoj raspodijeli, koncentracijski omjer poprima vrijednost 1. - u analizi koncentracije koristi se grafiki prikaz LORENZOVA KRIVULJA1) na osi apscisa nalazi se aritmetiko mjerilo za kumulativni niz relativnih frekvencija

2) na osi ordinata nalazi se aritmetiko mjerilo za kumulativni niz proporcija podtotala

3) prva toka ima koordinate (0,0); posljednja toka ima koordinate (1,1); koordinate ostalih toaka odreene su vrijednostima lanova kumulativnih nizova

4) u grafiki prikaz ucrtava se pravac jednolike raspodjele, on prolazi tokama (0,0) i (1,1)

2. GINIJEV KOEFICIJENT temelj za njegovo utvrivanje je povrina izmeu pravca jednolike raspodjele i Lorenzove krivulje. to je koncentacija vee to se Lorenzova krivulja vie udaljuje od toga pravca

xi - pojedinane vrijednosti varijable

negrupirani podaci (

i - redni broj podatka

podaci moraju biti ureeni od najmanjeg prema najveem

kree se u intervalu od 0 do 1

G = 0 ( ravnomjerna raspodjela

G = 1 ( maksimalna koncentracija

NORMIRANI KOEFICIJENT GINIJA (

0 = G nema koncentracije

0 < G 0,25 slaba

0.25 < G 0,5 umjerena

0.5 30 (veliki uzorak) distribucija se po obliku pribliava normalnoj distribuciji

- za n30) koristi se normalna distribucija (Gaussova) (

aritmetika sredina uzorka

koeficijent pouzdanosti koji se odreuje na temelju

povrina ispod normalne krivulje

standardna pogreka procjene aritm.sredine

aritmetka sredina osnovnog skupa,a ujedno i

parametar koji se procjenjuje

razina signifikantnosti

intervalna promjena za mali uzorak (n30) koristi se Studentova T distribucija

-koeficijent pouzdanosti koji se odreuje na temelju

studentove distribucijePrimjer 2.Odredite vrijednost standardne pogreke procjene aritmetike sredine osnovnog skupa za ove sluajeve:a) Procjenjuje se sredina konanog skupa od 125 768 lanova pomou sluajnog uzorka veliine 1250

lanova. Standardna devijacija osnovnog skupa iznosi 64.

N-broj elemenata osnovnog skupa n-broj elemanata uzorkaFrakcija izbora (f) pokazuje da je u uzorak izabrano priblino 1% osnovnog skupa.

b) Sredina se procjenjuje pomou sluajnog uzorka veliine 600 formiranog izborom svakog desetog lana

konanog osnovnog skupa, a varijanca skupa iznosi 100.

c) Uzorak veliine 36 izabran je iz beskonanog osnovnog skupa N(, 52) beskonani skup ( f