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Procesos de Poisson - mate.uncor.edujgimenez/Modelos y Simulacion/2012/clase4_pr.… · es un proceso de Poisson homogéneo de razón , >0, si: I N(0) = 0proceso comienza en cero

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  • Procesos de Poisson

    FaMAF

    22 de marzo 2012

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  • Distribucin exponencial

    DefinicinUna v.a. X con funcin de densidad dada por

    f(x) = ex , x > 0,

    para cierto > 0 se dice una v.a. exponencial con parmetro .

    I E [X ] =1

    I Var(X ) =12

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  • Propiedades

    I F (t) = t

    0exp(x)dx = exp(x)

    |t0= 1 exp(t)

    I P(X > t) = 1 [1 exp(t)] = exp(t)I Una variable aleatoria con distribucin exponencial tiene falta de

    memoria.P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

    P(X > s+t | X > s) =

    t+s exp(x)dxs exp(x)dx

    =exp(s + t)

    exp(s)= P(X > t).

    I Son las nicas v.a. continuas con falta de memoria.I El anlogo en el caso discreto son las v.a. geomtricas.I Si X E(), entonces c X E( 1c).

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  • Variable aleatoria Gamma

    DefinicinUna variable aleatoria con funcin de densidad de probabilidad

    f (t) = et(t)n1

    (n 1)!

    se dice una variable aleatoria gamma con parmetros (n, ).

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  • Variable aleatoria gamma (n, )

    CorolarioLa suma de n variables aleatorias exponenciales independientes,cada una de ellas de parmetro , es una variable aleatoria Gammade parmetro (n, ).

    I (2,2)I (5,2)I (1,2) E(2)

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  • Procesos estocsticos

    DefinicinUn proceso estocstico es una sucesin de variables aleatoriasobservadas sobre el mismo espacio muestral.

    EjemploSupongamos tener una pieza de material radioactivo, el experimentoconsiste en observar cuantas partculas se desintegran en unintervalo de tiempo, y el tiempo que tarda en desintegrarse cadapartcula. El nmero de partculas que se desintegran en [0, t ] es unavariable aleatoria N(t) y el tiempo en que se desintegra la n-esimapartcula Dn tambin es una variable aleatoria. La coleccin devariables forman procesos estocsticos realcionados.

    EjemploConsideremos llamadas telefnicas que llegan a una centraltelefnica y sea Dn el tiempo en que la n-esima llamada ingresa a lacentral y N(t) el nmero de llamadas que ingresa en un intervalo detiempo [0, t ].

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  • Proceso de Poisson homogneo

    N(t), t 0,

    es un proceso de Poisson homogneo de razn , > 0, si:I N(0) = 0 proceso comienza en cero

    I incrementos independientes Para cada n 1 y cada particin0 t0 < t1 < < tn se tiene que N(t0), N(t1) N(t0), . . . ,N(tn) N(tn1) son variables aleatorias independientes.

    I incrementos estacionarios Para cada t 0, s > 0, se cumpleque la distribucin de N(t + s) N(t) es igual a la de N(s).

    I limh0P(N(h) = 1)

    h= ,

    I limh0P(N(h) 2)

    h= 0.

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  • Incrementos independientes

    t1 tn1 tnt3t2

    N(tn) N(tn1)N(t1)

    0

    I N(t1): nro. de llegadas hasta t = t1.I N(tn) N(tn1): nro. de llegadas entre tn1 y tn.

    I En dos intervalos de tiempo disjuntos, las variables nmero dellegadas son independientes.

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  • Incrementos estacionarios

    N(s)

    s t + st

    N(t + s) N(t)

    0

    La distribucin del nmero de llegadas depende slo de la longituddel intervalo.

    N(s) N(t + s) N(t), s < t .

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  • Ocurrencia de 1 o ms eventos

    I La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo detiempo pequeo es proporcional al tamao del intervalo.Constante = .

    limh0

    P(N(h) = 1)h

    = ,

    I La probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos en unintervalo muy pequeo es cero.

    limh0

    P(N(h) 2)h

    = 0.

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  • Consecuencias

    ProposicinSupongamos que N(t) es el nmero de llegadas en el intervalo detiempo [0, t ], que forma un proceso de Poisson de tasa . Entonces,la distribucin de cada N(t) es Poisson de tasa t

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  • La variable aleatoria N(t)

    n intervalos

    tn

    2tn t0

    I Para probarlo, dividamos el intervalo en n pedazos, cada uno delargo tn .

    I En cada sub-intervalo, el nmero de llegadas es una v.a.Bernoulli, con p = tn

    I El nmero total de llamadas en [0, t ] es el nmero desub-intervalos que contienen una llegada.

    I La independencia de los sub-intervalos implica que el nmerototal de llegadas N(t) es binomial de parmetro p = tn .

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  • La variable aleatoria N(t)

    I Cuando n tiende a infinito, tenemos

    pN(t)(k) limn

    (nk

    )(tn

    )k (1 t

    n

    )nk

    = limn

    n(n 1) . . . (n k + 1)k !

    (tn

    )k (1 t

    n

    )nk= lim

    n

    (t)k

    k !

    (1 t

    n

    )n n(n 1) . . . (n k + 1)nk

    (1 t

    n

    )k=

    (t)k

    k !lim

    n

    (1 t

    n

    )n (1 t

    n

    )k (1 1

    n

    )(1 2

    n

    ). . .

    (1 k 1

    n

    )

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  • Poisson

    I Observando que

    limn

    (1 t

    n

    )n= e

    y que los otros trminos a la derecha del lmite tienen lmite 1, seobtiene

    pN(t)(k) =(t)k

    k !et

    donde t , esa constante que supusimos existe, es la tasa dellegadas en el intervalo [0, t ].

    I N(t) es una variable con distribucin Poisson de tasa t .

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  • Tiempos entre llegadas

    X1 X3 Xn

    e1 e2 e3 en1 en

    X2

    I ei : tiempo en que ocurre el evento i .I X1: tiempo transcurrido hasta el primer evento.I Xj : tiempo transcurrido entre el (j 1)-simo evento y el j-simo,

    para j > 1.

    {Xj} es la sucesin de tiempos entre llegadas

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  • Distribucin de los tiempos entre llegadas

    ProposicinLas variables aleatorias X1, X2, . . . , son v.a. independientes,igualmente distribuidas, con distribucin exponencial con parmetro.

    Xi E(), i = 1,2, . . . .

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  • Tiempo entre llegadas

    Para probar esto veamos queI X1 es una variable aleatoria exponencial de parmetro .

    P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = et

    I

    P(X2 > t | X1 = s) = P(0 eventos en (s, s + t ] | X1 = s)= P(0 eventos en (s, s + t ])= e t

    X2 E(), y es independiente de X1.

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  • Tiempo entre llegadas

    Sea s = s1 + + sj1: tiempo hasta el evento j 1.

    P(0 eventos en (s, s + t ] | X1 = s1, . . . ,Xj1 = sj1)(incrementos independientes) = P(0 eventos en (s, s + t ])

    (incrementos estacionarios) = et

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  • Sn

    El tiempo hasta el n-esimo evento es Sn =n

    j=1

    Xj , una suma de

    exponenciales independientes por lo cual tiene densidad

    fn(t) = et(t)n1

    (n 1)!Gamma de parmetros (n, ).

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  • Conclusion

    N es un proceso de Poisson con tasa entonces para cada t , N(t),el nmero de llegadas, es una variable Poisson con tasa t , Xn eltiempo entre n-esima llegada y la anterior, es exponencial de tasa ySn el tiempo hasta la n esima legada es Gamma de parmetros(n, ).

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  • El proceso de Poisson no homogneo

    N(t), t 0

    es un proceso de Poisson no homogneo con funcin de intensidad(t), t 0, si:

    1. N(0) = 0

    2. para cada n 1 y cada particin 0 t0 < t1 < < tn se tieneque N(t0), N(t1) N(t0), . . . , N(tn) N(tn1) son variablesaleatorias independientes.

    3. limh0P(N(t + h) N(t) = 1)

    h= (t),

    4. limh0P(N(t + h) N(t) = 1) 2)

    h= 0.

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  • Valor medio del proceso

    m(t) = t

    0(s) ds

    I Si (t) = , constante, entonces m(t) = t .

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  • Nmero de eventos en (t , t + s]

    ProposicinPara cada t 0 y s > 0 se tiene que N(t + s) N(t) es una variablealeatoria Poisson con media

    m(t + s)m(t) = t+s

    t(x) dx .

    CorolarioSi (t) = (es constante), N(t + s) N(t) es una variable aleatoriaPoisson con media t .

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  • Poisson homogneo y Poisson no homogneo

    I Existen eventos del tipo A y eventos del tipo B.I Independientemente de lo que ocurri antes, si ocurre un evento

    del tipo A entonces ocurre uno del tipo B con probabilidad p(t).I N(t)= nmero de eventos del tipo A en [0, t ]I A(t)= nmero de eventos del tipo B en [0, t ].

    ProposicinSi (N(t))t0 es un proceso de Poisson homogneo con razn > 0,entonces (A(t))t0 es un proceso de Poisson no homogneo confuncin de intensidad (t) = p(t), t > 0.

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  • Poisson homogneo y Poisson no homogneo

    I El proceso A(t) cumple con las condiciones de comenzar en elcero, tener incrementos independientes y probabilidad nula deobservar instantneamente mas de un evento.

    I Para ver la tasa instantnea de observar un evento

    P(1 evento del tipo B en [t , t+h]) = P(un evento y es de tipo B)+

    +P(dos o mas eventos y exactamente uno es de tipo B) hp(t)

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