Procesamiento de Imágenes - UNLPfcaglp.fcaglp.unlp.edu.ar/~observacional/teoricas/2014/c11-ima... · Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes 1 Procesamiento de Imágenes

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Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes

1

Procesamiento de Imágenes


2

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Clasificación de Objetos

7. Imágenes color


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1. Introducción

� La tecnología digital moderna ha hecho posible la manipulación de señales multi-dimensionales.

� El grado de manipulación permite hacer la siguiente clasificación:

ProcesamientoImagen in Imagen out

AnálisisImagen in Parámetros

(números)

EntendimientoImagen in Pdescripción

de alto nivel


Desde tierra HST (pre 1994) HST procesada HST (post 1994)

http://web.njit.edu/~gary/202/Lecture6.html

3

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1. Introducción

Campos de Aplicación

� Existen infinidad de aplicaciones en ciencia, e ingeniería

� Solo unos pocos ejemplos pueden ser:


4

• Sensores remotos: Imágenes terrestres obtenidas por satélites

• Astronomía: Imágenes obtenidas con telescopios de tierra o satélites

• Navegación (aerea, marítima, terrestre): Imágenes obtenidas por radar, sonar o IR

• Medicina: p.e. Imágenes por ultrasonido o por rayos X

• Biología: Imágenes obtenidas con microscopios

• Ingeniería: p.e. Visión para computadoras, transmisión de datos

• Seguridad: p.e. Identificación de huellas digitales

• etc, etc, etc...

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5

1. Introducción






7. Imágenes color


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6

Astronomía Observacional: Señales

ROI

),( yxhy =2. Definiciones Básicas

Imagen analógica

� Se denomina así al caso en el que:• La señal depende de dos variables y• La señal representa el brillo en función de la

posición

Región de interés (ROI)

� Se denomina de esta forma a una parte de una imagen acotando el rango de las coordenadas.

� Este concepto es útil cuando se tienen varios objetos en una imagen de manera de asociar un ROI con cada objeto.

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7

Astronomía Observacional: Señales

Imagendigital

Matriz

34 16 26 33 37 22 25 25 29 19 28 25

22 20 44 34 22 26 14 30 30 20 19 17

31 70 98 66 37 25 35 36 39 39 23 20

34 99 229 107 38 28 46 102 159 93 37 22

33 67 103 67 36 32 69 240 393 248 69 30

22 33 34 29 36 24 65 241 363 244 68 24

28 22 17 16 32 24 46 85 157 84 42 22

18 25 27 26 17 18 30 29 35 24 30 27

32 23 16 29 25 24 30 28 20 35 22 23

28 28 28 24 26 26 17 19 30 35 30 26

Pixel


Imagen digital

� Se denomina al caso de:• una matriz de dos dimensiones y• cada valor de la matriz indica el brillo de una

posición determinada

Pixel (= picture element)� En este contexto, se

denomina así a cada uno de los elementos de la matriz (o de la imagen)

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ProcesamientoImagen in Imagen out

Técnicas (por ejemplo)

� “Image enhancement”

� “Image restoration”

� “Edge detection”

� “Image Filtering”

� “Image compression” y “Video processing”(util para transporte y comunicación de datos)



8

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γ

inout IcI =


Clases de procesamiento de imágenes

“Image enhancement” (mejora de imágenes):� Este proceso consiste en la transformación de las

intensidades para el realzado de imágenes� Este proceso conduce a un cambio de brillo y/o

contraste de una imagen� En este caso se alteran los valores de la matriz que

representa la imagen (aunque el efecto en la visualización puede ser similar este procesamiento NO es solo un cambio de “stretch function”)

Por ejemplo:

Nota: El término “enhancement” suele utilizarse tambien como el concepto general de “procesamiento”


9

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“Image restoration”: Restauración de imágenes

� “Image denoising”

Disminución del ruido de una imagen

� “Image deblurring”Aclarado de imágenes


10

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“Edge detection”: Detección de bordes

“Image Filtering”: Filtrado de imágenes� Esta es una metodología del procesamiento de

imágenes con la que se puede llevar a cabo alguno de los objetivos mencionados anteriormente (p.e.: restauración o detección de bordes)

� El tipo de filtrado se puede clasificar como• Lineal – No lineal• Dominio: espacial – frecuencia


11

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AnálisisImagen in Parámetros (números)

Valor medioDesviacion estándarModa, etc.


Tareas IRAF

� imstatistic

� imexamine

� imhistogram

� phot

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Tecnicas y programas (por ejemplo)

� “Image segmentation”

� “FOCAS” 1981 (Faint Object Classification and Analisys System)

� “Picture Processing Package” 1991� “Source Extractor” 1996

EntendimientoImagen in Pdescripción de alto nivel

Una chica con un sombrero mirando hacia un lado



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Tabla indicando las posiciones de los objetos y discriminando si se trata de estrellas o galaxias


“Image segmentation”Segmentación de imágenes

� Consiste en el reconocimiento de distintos elementos en una imagen

� Ejemplo: La imagen presentada contiene tres (o cuatro)elementos

• Fondo• Mano• Rosquilla• Anillo ??

� “Source Extractor” (1996): Herramienta para separar estrellas de galaxias en una imagen astronómica


14

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15

1. Introducción






7. Imágenes color


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H[ ]f(x,y) g(x,y)

g(x,y) = H[f(x,y)]

[ ] βαβαδβα ddyxHfyxg ),(),(),( −−= ∫ ∫∞

∞−

[ ]),(),,,( βαδβα −−= yxHyxh

H[k1

f1(x, y) + k

2f2(x, y)] = k

1H[f

1(x, y)] + k

2H[f

2(x, y)]

La función h(x,αααα,y,ββββ)

es directamente la

“Point Spread Function”

(PSF) del sistema

Bajo las consideraciones hechas, ella posee toda la información necesaria para modelar la degradación de la imagen


Conceptos Básicos� Se considera una imagen que es afectada

por un sistema que se puede representar por un operador “H[ ]”

� Si el operador “H[ ]” es lineal:

Entonces se puede aplicar superposición y la salida se puede expresar como:

si h(x,α,y,β) es la respuesta del sistema aun impulso (centrado en α, β):

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16

βαβαβα ddyxhfyxg ∫ ∫∞

∞−= ),,,(),(),(

“Integral de Fredholm”

βαβαβα ddyxhfyxg ∫ ∫∞

∞−−−= ),(),(),(

“Integral de Convolución”

Invarianza al desplazamiento:

h(x,α,y,β) = h(x − α, y − β)

Expresiones válidas para un sistema lineal e invariante al desplazamiento (“LSI System”)

∑∞

−∞=

−−=lk

lnkmhlkfnmg,

),(),(),(

“Convolución Discreta”


Conceptos Básicos

� La imagen resultante (g(x,y))viene dada entonces por ladenominada “Integral de Fredholm”

� Considerando además que el operador “H[ ]” es “invariante al desplazamiento”, la integral anterior se transforma en una “Integral de convolución”

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17

g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)

G(u,v) = F(u,v) H(u,v)

H[ ]LSI System

f(x,y) g(x,y)

Un “Sistema LSI” queda

totalmente caracterizado

por su respuesta al impulso


Conceptos Básicos

� Entonces, un “Sistema LSI” (“Linear-Shift-

Invariant”) se puede describir en forma simple como:

• Una convolución en el dominio espacial (x,y) o

• Una multiplicación en el dominio de Fourier (u,v)

� El operador H[] se conoce normalmente como “filtro” o “kernel”

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18

H[ ]LSI System

f(x,y) g(x,y)

)0,0(

),(),(

H

vuHvuOTF =

)0,0(

),(),(

H

vuHvuMTF =


Conceptos Básicos

� Sistema óptico LSI: En este caso particular, se definen las siguientes funciones:

• OTF:“Optical Transfer function”Es la función de transferencia normalizada

• MTF:“Modulation Transfer function”Es el módulo de la OTF

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19

H[ ]f(x,y) g(x,y)

g(x,y) = H[f(x,y)]


Aplicaciones

� Algunas aplicaciones destacadas de la técnica de filtrado de imágenes son:

• Suavizado de Imágenes(“Smoothing”)

• Detección de bordes(”Edge detection”)

• Realce de detalles(“Unsharp masking”)

• Restauración de Imágenes(“Restoration”)

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20

=

1...1

1...11

),(2

MOMN

nmh

N = tamaño del filtro

Efectos:

� Suaviza el ruido (“denoising”): En tamaño moderado, mejora la SNR

� Borronea los bordes


Aplicaciones

1. Suavizado de Imágenes:

� Filtro “Average” (Promedio):

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Nota: Existe un problema al procesar los píxeles de los bordes. Esto se puede solucionar agregando valores ficticios “fuera” de la matriz original y puede hacerse según diversos criterios, por ejemplo:

� Efecto espejo� Valor medio� Valor más cercano

21


Aplicaciones


� Filtro “Average” (Promedio):

Ejemplos

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Imagen original N = 3 N = 7

Imagen original N = 3

N = 9

N = 35

N = 5

N = 15 22

2N = tamaño del filtro

NnmN

nm

Znmh

≤≤−

+−=

,

2exp

1),(

2

22

σ

Imagen original

σ = 80

σ = 15

σ = 230

σ = 30

σ = 5


Aplicaciones


� Filtro “Gaussiano”:

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23

Efectos:

Similares al caso “Average”� Suaviza el ruido (“denoising”): En

tamaño moderado, mejora la SNR

� Borronea los bordes

2

2

2

22

y

f

x

ff

∂

∂+

∂

∂=∇

0

4

-1

-1

0

-1

0 -1 0

-1

8

-1

-1

-1

-1

-1 -1 -1

0

-4

1

1

0

1

0 1 0

1

-8

1

1

1

1

1 1 1

Imagenoriginal

Imagenfiltrada


Aplicaciones

2. Detección de bordes:

� Filtro “Laplaciano”:La expresión analítica es:

Mientras que las versiones discretas puede ser una de las siguientes:

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24


Aplicaciones

3. Realce de detalles:

� “Unsharp masking”:

Este filtrado consiste en una combinación de la imagen original con la misma imagen afectada por un filtro.

Extisten distintas versiones (“kernels”) con diferentes filtros, pero se destaca el uso de un filtro “laplaciano” o un “gaussiano”

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25

=

0...0

1

0...0

MMI

I = kernel identidad

G = kernel gaussiano

L = kernel laplaciano

λ = contante

hG(m,n) = 2I - G

hL(m,n) = I + λ L


Aplicaciones

3. Realce de detalles:

� “Unsharp masking”

Ejemplo:

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26

Imagen original

Imagen luego de aplicar unfiltro gaussiano

Imagen luego de aplicar un

filtro laplaciano

Imagen luego de aplicar un

“unsharp masking gaussiano”


27

1. Introducción






7. Imágenes color


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Objetivo

� Hallar cómo era una imagen original luego que ha sido degradada de alguna forma (por el sistema de observación)

Degradación� Se pueden distinguir dos fuentes:

• Borroneo (“blur”): Debido al movimiento relativo entre el detector y el objeto, turbulencia atmosférica, imágenes fuera de foco

• Ruido (“noise”): Debido a diversas causas como los granos en una fotografía o ruido electrónico (ruido Jhonson) y ruido de cuantización en sistemas digitales

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28


Beneficios

� Obtener mayor resolución:• Mejorar las posibilidades de identificación de

objetos en una imagen: La reducción de la superposición de objetos permite la identificación mas sencilla de las características presentes en la imagen (para ello se necesitan SNRs elevadas)

• Poder hacer un mejor análisis cuantitativo• Mejorar como luce una imagen

� “Problema Inverso”: Esta es la forma en que se denomina en Matemáticas este tipo problema de reconstrucción el objetivo original

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29

g(x,y) =H[f(x,y)] + n(x,y)

g(x,y): Iimagen observada

f(x,y): Imagen original (no degradada)

H[ ]: Operador de la degradación

introducida por el sistema

n(x,y): Ruido aditivo

� Entre los posibles defectos que un sistema de imagen puede causar degradación se encuentran:

• Desenfocado• Movimiento• No linealidad en el sensor• Ruido• Etc....

4. Restauración de imágenes

Modelos de degradación

� Es necesario hacer un modelo de cómo fue degradada la imagen y utilizar un método inverso

� Modelo: Si se supone que la imagen fue degradada por medio de un proceso lineal e invariante con el desplazamiento y además afectado por ruido, entonces se tiene el siguiente esquema:

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30

H[ ]f(x,y) g(x,y)

g(x,y) = H[f(x,y)]

g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)




Modelo simplificado:

1. Suposiciones:

� Se considera un modelo con las siguientes caracteríticas:

• sin ruido• un “Sistema LSI”

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31

g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)


Incógnitas

Datos



Modelo simplificado:

2. Respuesta al impulso: h(x,y)

� En general, es necesario estimar h(x,y) a partir de las imágenes de objetos a los que se les conoce las propiedades. Usualmente se estima la función transferencia del sistema que es la transformada de Fourier de la h(x,y) (F [h(x,y)] = H(u,v))

� En Astronomía, los objetos conocidos son las estrellas que se adoptan como objetos puntuales (delta de Dirac) y su imagen observada es directamente la PSF (h(x,y))

� Proceso de Deconvolución: Se denominan así a los métodos utilizados para estimar la imagen original (f(x,y)) a partir de la imagen observada (g(x,y)) teniendo una estimación de la PSF.

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32


Métodos de deconvolución

Clasificación de los métodos: Los métodos se pueden clasificar de varias formas.

Clasificación 1:

� “No-blind deconvolution”: la función h(x,y) es cononocida

� “Blind deconvolution”: la función h(x,y) es descononocida

Clasificación 2:

� Métodos lineales: Se basan en funciones originales (f(x,y)) que no dependen del modelado utilizado para el ruido de las observaciones (n(x,y))

� Métodos no lineales: Se basan en funciones originales (f(x,y)) que explícitamente adoptan un modelo para el ruido (n(x,y))

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33

Métodos no lineales

� Richardson-Lucy (RL)Richardson 1972, Opt. Eng. 29, 393;Lucy 1974, AJ 79, 745

� Maximum Entropy (ME - MEM)Wu 1993, ASP Conf. Ser. 52, 520

� Sigma-Clean (SC)Hogborn 1974, A&AS 15, 417Clark 1980, A&A 83, 337Keel 1991, PASP 103, 723

� Deconvolución Regularizada

Métodos lineales

� Fourier-Wiener (FW)Andrews & Hunt 1977 en Digital Image Restoration, Prentice-Hall

• Filtrado Inverso• Filtrado de Wiener

� Iterative Least-Squares (ILS)Katsaggelos 1991 en Digital ImageRestoration, Springer



Clasificación de los métodos:Busko 1994, PASP 106, 1310

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34

� Problema Importante: Dado que en la deconvolución se realiza un cociente, si H(u,v) posee ceros (o valores pequeños) el proceso puede provocar overflow durante su cómputo

),(),(

1),( vuG

vuHvuF

=


f(x,y) = F-1[F(u,v)]

=

),(

1),(

vuHvuFiltro

Filtro Inverso


1. Filtrado Inverso

� En el modelo simplificado sin ruido planteado anteriormente se obtiene una simple multiplicación en el dominio de Fourier

� Entonces, la forma directa de hallar la imagen original es:� Haciendo un cociente� Tomar la transformada inversa de Fourier

� El proceso entonces permite aparentemente lograr “una recuperación perfecta de la señal buscada”

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35

≤

>=

δ

δ

),(0

),(),(

1

),(

vuHsi

vuHsivuHvuFiltro

Filtro Pseudo-inverso

δ = umbral pequeño


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1. Filtrado Inverso

� Solución: Una forma de evitar (o aminorar) el problema anterior es adoptar valores pequeños para el filtro cuando éste tiende a diverger

36

Filt

ro

inve

rso

Filtro

Pseudo-inverso

δ = 0.1


1. Filtrado Inverso

� Ejemplo: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso” o de un “Filtro Pseudo-inverso” a una imagen borroneada

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37

Filtrado Inverso

Filtrado Pseudo-inverso


1. Filtrado Inverso

� Ejemplo:

• Se nota la presencia de patrones periódicos (lineas verticales) en ambos resultados

• Los patrones de ruido repetitivos son causados por picos en la función estimada para F(u,v)

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38

Filtrado Inverso (f(x,y))

F(u,v)

estimada(negativo)

Pico a eliminar

F -1Transformada Inversa de Fourier

F -1

Supresión de los picos


1. Filtrado Inverso

� Ejemplo:

• Para solucionar este inconveniente, normalmente se procede a suprimir esos picos antes de efectuar la transformada inversa para obtener el resultado final

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39

� Otro problema:Si se considera un caso más realista donde aparece el término del ruido y se aplica el procedimiento anterior, aparece un término adicional que puede ser dominante (normalmente a frecuencias elevadas)

),(

),(),(),(ˆ

),(

),(),(ˆ

vuH

vuNvuFvuF

vuH

vuGvuF

+=

=

G(u,v) = F(u,v) H(u,v) + N(u,v)

g(x,y) = f(x,y) * h(x,y) + n(x,y)


1. Filtrado Inverso

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40

Filtro Inverso Limitado Radialmente

>+

≤+=

Rvusi

RvusivuHvuFiltro

22

22

0

),(

1

),(

R = radio límite

� Como justificaciones para este tipo de filtro se pueden mencionar que:

• La energía de las imágenes normalmente se concentra a bajas frecuencias

• La energía del ruido se halla aproximadamente distribuida sobre todas las frecuencias (“white noise”)


1. Filtrado Inverso

� Solución: Una forma de evitar el problema anterior es hacer el filtrado solo en una parte limitada del “plano

u-v”, o sea utilizar un filtro acotado solo a las frecuendias bajas

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41

Imagenoriginal

Imagen borroneada(observada)

Filtrado Inverso


1. Filtrado Inverso

� Ejemplo: Resultado obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso” a una imagen borroneada

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42


Filtrado Inverso Limitado RadialmenteR = 40 R = 70 R = 85


1. Filtrado Inverso

� Ejemplo 1: Resultado obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso Limitado Radialmente” a una imagen borroneada

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43


1. Filtrado Inverso

� Ejemplo 2:

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44

Imagen de una estrella aislada observada con problemas de tracking

Imagen de una estrella doble observada con problemas de tracking

Imagen de la estrella doble restaurada a partir de la imagen de una estrella aislada

( )22 ),(ˆ),( yxfyxfEe −=


2. Filtrado de Wiener

� En éste método se considera tanto a la imagen como al ruido como procesos aleatorios

� Se trata de encontrar, entonces, una “función

estimadora de f(x,y)” ( f^(x,y) ) de manera de minimizar el error medio cuadrático

� Consideraciones:

• El ruido (n(x,y)) y la imagen (f(x,y)) no se hallan correlacionadas

• Alguno de los dos posee valor medio nulo• Los niveles de intensidad de la imagen

estimada (f^(x,y)) son funciones lineales de los niveles de intensidad de la imagen degradada (g(x,y))

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45

),(),(),(),(

),(),(*),(ˆ

2vuG

vuSvuHvuS

vuSvuHvuF

nf

f

+=

),(

),(

),(),(

),(

),(

1),(ˆ

2

2

vuG

vuS

vuSvuH

vuH

vuHvuF

f

n

+

=

Filtro de Wiener

),(

),(),(

),(

),(

1),(

2

2

vuS

vuSvuH

vuH

vuHvuFiltro

f

n+

=

1 / SNR2



� La función f^ viene dada por las expresiones de la derecha, donde aparecen:

• Distribución espectral de energía de

la señal:

Sf (u,v) = |F(u,v)|2

• Distribución espectral de energía del

ruido

Sn (u,v) = |N(u,v)|2

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46

Filtro de Wiener

),(

),(),(

),(

),(

1),(

2

2

vuS

vuSvuH

vuH

vuHvuFiltro

f

n+

=

),(),(

),(

),(

1),(ˆ

2

2

vuGKvuH

vuH

vuHvuF

+=



� Propiedades:

• Si el ruido es nulo (Sn(u,v) = 0), el “filtro de Wiener” se reduce al “filtro inverso” estudiado antes

• El espectro de potencia del ruido es constante si se trata de ruido blanco (“white noise”)

� Si no se conocen muy bien los parámetros del ruido, se puede introducir el “término K”. Este se considera como un parámetro libre que se ajusta interactivamente para obtener el mejor resultado, aunque generalmente es mejor estimar la SNR como función de u y v

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47


Filtro Inverso

Filtro Inverso Limitado

Radialmente (R = 70) Filtro de Wiener



� Ejemplo 1: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de diferentes filtros a una imagen borroneada

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48

Imagen observada

PSF

Imagen recuperada (Wiener)

� Se nota que la imagen recuperada posee mejor resolución pero existen valores negativos (no físicos)



� Ejemplo 2: Aplicación a una observación astronómica

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49

Denoising Wiener Filter

),(),(

),(

1

1),(

vuSvuS

vuS

KvuFiltro

nf

f

+=

+=



“Denoising Wiener filter”:

� Este es un caso particular del “Filtro de Wiener” con el que solo intenta eliminar el ruido y no el borroneado de la imagen

� Este surge considerando H(u,v) = 1 en la expresión general

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50

Denoising Wiener Filter

),(),(

),(

1

1),(

vuSvuS

vuS

KvuFiltro

nf

f

+=

+=

=

),(

1),(

vuHvuFiltro

Filtro Inverso

≤

>=

δ

δ

),(0

),(),(

1

),(

vuHsi

vuHsivuHvuFiltro

Filtro Pseudo-inverso

δ = umbral pequeño

Filtro Inverso Limitado Radialmente

>+

≤+=

Rvusi

RvusivuHvuFiltro

22

22

0

),(

1

),(

R = radio límite

Filtro de Wiener

),(

),(),(

),(

),(

1),(

2

2

vuS

vuSvuH

vuH

vuHvuFiltro

f

n+

=


Resumen de Filtros Fourier-Wiener

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51

� convolve: Convolve a list of 1 or 2-D images with a rectangular filter

� fmedian: Quantize and box median filter a list of 1D or 2D images

� fmode: Quantize and box modal filter a list of 1D or 2D images

� frmedian: Quantize and ring median filter a list of 1D or 2D images

� frmode: Quantize and ring modal filter a list of 1D or 2D images

� gauss: Convolve a list of 1 or 2-D images with an elliptical Gaussian

� gradient: Convolve a list of 1 or 2-D images with a gradient operator

� laplace: Laplacian filter a list of 1 or 2-D images

� median: Median box filter a list of 1D or 2D images

� mode: Modal box filter a list of 1D or 2D images

� rmedian: Ring median filter a list of 1D or 2D images

� rmode: Ring modal filter a list of 1D or 2D images


Herramientas IRAF:

Paquete images.imfilter: Este paquete posee una variedad de filtros:

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52

Paquete stsdas.analysis.restore:

� forward: Calcula la transformada de Fourier de una imagen� inverse: Calcula la trasnformada inversa de Fourier de una imagen

� wiener: Aplica un un filtro de Fourier a una imagen para realizar la deconvolución.

• Los filtros posibles son: - inverse (alpha = 0)- wiener (alpha = 1)- geometric (alpha = 0.5)- Parametric

• La tarea permite diversos modelos para estimar los espectros de energía del ruido y de la imagen original


Herramientas IRAF:

Paquete stsdas.analysis.fourier:

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53

Wiener task: Filter implementation

The most general filter implementation may be written as:

F(u,v) = G(u,v) * (I(u,v) ** alpha) * (W(u,v) ** (1.-alpha))

Where:

F(u,v) = the estimated image Fourier transform,

G(u,v) = the input, degraded image Fourier transform,

I(u,v) = the inverse filter function,

W(u,v) = the Wiener filter function, and

alpha = a parameter.

(u,v is spatial frequency)

For alpha=0 we have the standard Wiener filter, and for alpha=1. the

standard inverse filter. By varying alpha between 0. and 1. we may

emphasize the relative effect of each filter. The so-called geometric mean

filter is obtained setting alpha=0.5. This geometric mean filter was

introduced [1] as an attempt to de-emphasize the low-frequency dominance

of the Wiener filter, while avoiding the early singularity of the inverse

filter.


Herramientas IRAF:

G.L. Baume - 2011


54

Wiener task: Filter implementation

The inverse filter is simply:

H*(u,v)

I(u,v) = -----------------

(abs(H(u,v)))**2

and the Wiener filter is:

H*(u,v)

W(u,v) = ---------------------------------------

(abs(H(u,v)))**2 + (Pn(u,v) / Pg(u,v))

Where:

H(u,v) = the PSF Fourier transform,

H*(u,v) = the PSF complex conjugate,

Pn(u,v) = the noise power spectrum, and

Pg(u,v) = the original, undegraded image, power spectrum


Herramientas IRAF:

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55

Métodos no lineales

� Richardson-Lucy (RL)Richardson 1972, Opt. Eng. 29, 393;Lucy 1974, AJ 79, 745

� Maximum Entropy (ME - MEM)Wu 1993, ASP Conf. Ser. 52, 520

� Sigma-Clean (SC)Hogborn 1974, A&AS 15, 417Clark 1980, A&A 83, 337Keel 1991, PASP 103, 723

� Deconvolución Regularizada

Métodos lineales

� Fourier-Wiener (FW)Andrews & Hunt 1977 en Digital Image Restoration, Prentice-Hall

• Filtrado Inverso• Filtrado de Wiener

� Iterative Least-Squares (ILS)Katsaggelos 1991 en Digital ImageRestoration, Springer



Clasificación de los métodos:Busko 1994, PASP 106, 1310

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56

∑=j

jjii fhg ,

jhj

ji ∀=∑ 1,

Convolución Discreta

Donde:

hij

= PSF discreta

fi= imagen original


3. Método de Richardson-Lucy (RL)

� El algoritmo de Richardson-Lucy parte del planteo de la expresión de la convolución en el caso discreto, o sea como una sumatoria

� Si se hace un análisis estadístico suponiendo que el ruido sigue una distribución de Poisson, se encuentra que la imagen original fi “más probable”(“Maximum Likelihood Solution”) dada la imagen observada gi y conocida la PSF hij viene dada resolviendo la ecuación iterativa presentada a la derecha

Nota: Hay versiones que tienen en cuenta además las características del detector (ruido de Poisson + gaussiano; ver Snyder 1990, The Restoration of HST Images and Spectra)

G.L. Baume - 2014


57

∑=+

i

jit

i

it

j

t

j hg

gff ,)(

)()1(

ˆ

∑=k

ki

t

k

t

i hfg ,

)()(ˆ

Donde:

Normalmente la iteración se inicia considerando:

fj(0) = constante

Método iterativo

Imagen recuperada (Richardson-Lucy)

Super-resolución: Se conoce así a los casos en los que es posible recuperar información de frecuencias más elevadas que la frecuencia de corte impuesta por el sistema de medida

Imagen observada

PSF

� Se nota que en la resolución es muy buena (“super-resolución”)que permite reconocer un cuarto componente



� Ejemplo 1:

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58

Imagen recuperada (Richardson-Lucy)

Imagen recuperada (Wiener)

� Existen valores negativos (no físicos)

� Se obtienen todos valores positivos y mejor resolución



� Ejemplo 1: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de diferentes filtros a una imagen observada

G.L. Baume - 2011


59

Imagenoriginal

Imagenborroneada(“Diffraction

limited”)

SNR = 2500 SNR = 250 SNR = 25

PSF

2000 iteraciones 200 iteraciones 26 iteraciones

El método trabaja mejor para SNRs

elevadas



� Ejemplo 2: Resultados obtenidos para diferentes SNRs

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60

� El método sufre de amplificación de ruido

� No existe una forma clara de cuando terminar de iterar.

Iteraciones

20026 500 1000 2000 5000

SNR = 2504. Restauración de imágenes


� Ejemplo 2: Resultados obtenidos para diferente cantidad de iteraciones a partir de una dada SNR

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61

Imagenoriginal

R-L



Ejemplo 3:

� Resultados obtenidos al aplicar el método a una imagen de Saturno obtenida con la WF/PC cámara del HST antes de la reparación

� En la imagen restaurada se distinguen mucho mejor los detalles atmosféricos y los bordes de los anillos

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62

SNR = 2500

2000 iteraciones



Propiedades del método:

� Resultados positivos:Dado que los datos observacionales (g

i) son positivos en el

caso de Poisson, la forma del algoritmo garantiza que la solución es siempre positiva (o cero) en cada píxel.

� Conservación de la energía:La energía es preservada tanto en escala global como local

� Amplificación del ruido:Este tipo de técnica (“maximum likelihood”) sufre del problema de “amplificación del ruido”, por lo que el algorítmo funciona mejor cuanto mayor es la SNR

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63

SNR = 2500

2000 iteraciones



Propiedades del método:

� Determinación dificil del final de las iteraciones:

• Luego de gran cantidad de iteraciones, las diferencias obtenidad son pequeñas y muy probablemente debidas al efecto de “amplificación del ruido”

• Las iteraciones se detienen cuando se alcanza un resultado “aceptable”. Aunque existe una variedad de criterios para definir exactamente cuando se considera “aceptable” un resultado (ver Bi & Borner 1994, A&AS 108, 409)

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64


Consideraciones Generales

� Salvo FW, el resto de los algorítmos son iterativos y es necesario imponerles algún criterio de convergencia. Solo SC posee éste criterio implícito en el método. En los otros casos el criterio usual se basa en la comparación de los resultados obtenidos con la imagen de referencia

� En el caso de FW, el filtrado se caracteriza porque los resultados presentan “ruido periódico” (patrones de ruido repetitivos) que son causados por picos en la función F(u,v). Para solucionar esto, normalmente se procede a suprimir esos picos antes de efectuar la transformada inversa para obtener el resultado final

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65


Herramientas IRAF:

Paquete stsdas.analysis.restore:

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66

� sclean: Sigma-CLEAN deconvolution of 2-d images.

� lucy: Restore an image using the Lucy-Richardson method algorithm.

original data

imagen+1

= imagen

--------------- * reflect(PSF)

imagen* PSF

where: * = convolution operator

reflect(PSF) = PSF(-x,-y)

� mem: Perform deconvolution of an image by MEM


Ejemplo

� Localización en el infrarrojo medio de una fuente coincidente con el agujero negro Sagittarius A utilizando técnicas de deconvolución(Stolovy et al. 1996 ApJ 470 L45)

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67

R-L

Detalle del recuadro aplicando diferentes métodos de deconvolución


68

1. Introducción






7. Imágenes color


G.L. Baume - 2014


Introducción

� Es usual adquirir varias imágenes de un mismo objeto. Esto se puede deber a diversas causas:

• El objeto es muy extenso y no puede ser cubierto por el FOV del sistema de observación utilizado

• El objeto es muy debil y requiere un tiempo de integración extremadamente elevado (mas alla del permitido por el sistema de observación para una única observación)

• Facilitar la eliminación de alguna clase de ruido (p.e.: remover efectos de los rayos cósmicos) o de algún defecto del detector (p.e.: píxeles y/o columnas en mal estado)

� En esta situación es necesario obtener una única imagen a partir de la combinación de varias imágenes

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69

x’

y’

To Measure the SkyChromey 2010


Alineación simple: Solo translación

� Para poder realizar la combinación, las imágenes deben hallarse “alineadas”, o sea todas ellas deben tener el mismo objeto puntual (estrella) localizado en las mismas coordenadas

� El proceso más simple de alineación consiste en una translación de todas las imágenes tomando como referencia objetos en común en las distintas imágenes. Este proceso solo es válido si se verifica que:� las distintas imágenes fueron adquiridas con el

mismo “sistema de observación” (igual escala) en forma sucesiva (no existe rotación)

� el desplazamiento entre imágenes y/o el FOV no es elevado (se puede aproximar la esfera celeste a un plano tangente)

� El instrumental no produce deformación

G.L. Baume - 2011


70



Tipos de combinaciones

El objetivo final de la combinación puede ser producir:

• “Overlap”: Imagen mejorada de la zona en común de las distintas imágenes individuales.En este caso es necesario recortar las partes en común (generar una matriz más pequeña) y luego realizar la combinación

• “Mosaic”: Imagen que cubre una zona más amplia que las imágenes originalesEn este caso es necesario generar una matriz más grande y realizar la combinación asignando un valor constante artificial para la zona en la que no existen datos. Usualmente se utiiza un valor negativo (p.e.: -9999)

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71



Alineaciones complicadas:Transformaciones geométricas

El caso más general de alineación de imágenes NO consiste solo en una translación debiendo aplicarse otras transformaciones adicionales como son:

• Magnificación: Las diferentes imágenes no poseen la misma escala debido a que fueron obtenidas con distintos insturmentos.

• Rotación: Esta puede surgir aún utilizando el mismo instrumental, ya que el mismo puede tener una alineación diferente para distintas observaciones. Puede deberse también a defectos en la alineación polar del telescopio (montura ecuatorial) o en el trabajo del rotador de campo (montura altazimutal)

• Distorsión: Estas pueden ser originadas tanto por problemas en la óptica como por la curvatura misma de la esfera celeste

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72


Alineaciones complicadas: Transformaciones geométricas

� Para poder hacer la combinalción es necesario obtener para cada imagen una transformación geométrica (fi y gi) entre las coordenadas de cada imagen (xi, yi)

y un sistema de coordenadas final o “coordenadas estándard” ((((η, ξη, ξη, ξη, ξ)))). Estas últimas pueden ser α; δ, ∆α; ∆δ (respecto a alguna coordenada de referencia) o simplemente los valores en píxeles de alguna de las imágenes originales

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73

),(

),(

ηξ

ηξ

ii

ii

gy

fx

=

=

(x1, y1) (x2, y2)

(x3, y3) (x4, y4)ξξξξ

ηηηη


Alineaciones complicadas:Transformaciones geométricas

� Para determinar dichas transformaciones:• Se adoptan funciones (f y g) adecuadas al

tipo de transformación que se desea efectuar con una cierta cantidad de parámetros libres (N)

• Se determinan las coordenadas en ambos sistemas de coordenadas (individual y estándard) de un conjunto de M objetos (M ≥ N)

• Se determinan los valores de los parámetros libres en base al ajuste por mínimos cuadrados

• Se aplican las transformaciones a toda la imagen a alinear

Nota importante: NO todas las transformaciones conservan el flujo de una imagen

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74

),(

),(

ηξ

ηξ

gy

fx

=

=

Transformaciones genéricas

y

x

Msencosyy

Msencosxx

)(

)(

θξθη

θηθξ

−+∆=

++∆=

ηξ

ηξ

yyy

xxx

cbay

cbax

++=

++=

Transformaciones lineales:

� Translación (∆x, ∆y)� Rotación (θ)

� Magnificación (Mx, My)


“Dither = Shift-and-stare”

� Esta es una técnica observacional que consiste en tomar sucesivas imágenes de un mismo campo moviendo levemente el telescopio entre ellas de una forma sistemática.

� De esta forma es posible alinear y combinar dichas imágenes y:

• Minimizar la cantidad de objetos saturados

• Eliminar el ruido producido por rayos cósmicos y/o defectos del detector

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75

Limpieza de rayos cósmicos mediante la combinación de 12 imágenes de un campo obtenido con la WFPC2 del HST. En cada imagen el telescopio poseía un “poiting”levemente diferente. La imagen de la izquierda es una de las imágenes individuales mientras que la de la derecha es la imagen combinada

http://www.adass.org/adass/proceedings/adass99/O6-02/Detalles:Fruchter et al. 1997, Proceedings of the 1997 HST Calibration WorkshopGonzaga et al. 1998, The Drizzling Cookbook, STScI Instrument Science Report WFPC2 98-04 http://www.stsci.edu/hst/wfpc2/analysis/wfpc2_patterns.html


Herramientas IRAF: Algunos ejemplos

Tarea imexamine: Permite determinar la posición precisa de las coordenadas de objetos comunes en distintas imágenes

Paquete images.imgeom: Posee tareas que permiten realizar transformaciones básicas sobre imágenes

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� imshift: Shift a list of 1-D or 2-D images� magnify: Magnify a list of 1-D or 2-D images� rotate: Rotate and shift a list of 2-D images

� imlintran: Linearly transform a list of 2-D images

� imalign: Align and register 2-D images using a reference pixel list

� geomap: Compute geometric transforms using matched coordinate lists� geotran: Transform 1-D or 2-D images using various mappinng transforms

� wcsmap: Compute geometric transforms using the image wcs� wregister: Transform 1-D or 2-D images using the image wcs



Paquete immatch: Posee tareas que permiten:� Alinear diferentes imágenes� Realizar sobre ellas transformaciones más sofisticadas

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� imcombine: Combine images pixel-by-pixel using various algorithms



Paquete immatch:� Además posee la tarea base que permite combinar imágenes

utilizando diversos algoritmos:

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78

Paquete stsdas.toolbox.imgtools

� imcalc: Perform general arithmetic operations on images

Ejemplo: Esta tarea es util para generar mosaicos implementando una operación lógica que permita seleccionar las diferentes imágenes que conforman la imagen final una vez que cada una ha siso transformada

� mscstack: Combine multiple reconstructed mosaic images



Paquete mscred:� Este paquete posee tareas orientadas al trabajo con imágenes

obtenidas con mosaicos de CCDs (archivos FITS multiextension)

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Otras herramientas

Montage y SWarp: • http://montage.ipac.caltech.edu/index.html• http://arxiv.org/abs/1005.4454v1• http://www.astromatic.net/software/swarp• http://adsabs.harvard.edu/abs/2002ASPC..281..228B

� Estas herramientas permiten juntar diferentes imégenes en una sola para lo cual realizan los siguientes pasos:

• Remuestreo y reproyection de las imágenes de entrada a una misma proyección con una escala y sistema de coordenadas comunes

• Modelado del nivel de fondo (“background”) de cada imagen para lograr una escala de flujo común

• Combinado de las imágenes resultantes de acuerdo con una proyección determinada (usualmente una proyección estándard WCS)

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80


Otras herramientas

Montage: Ejemplo

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81

Imágenes combinadas con MONTAGE: Izquierda: sin corrección por background, Derecha: con corrección por background.Jacob et al. 2009 Int. J. Comp. Science and Eng., Vol 4, No.2

Mosaico color de gran escala del 2MASS (JHK) con una resolución de 1”/pixel. Créditos: Dr. John Good (Caltech) http://montageblog.wordpress.com/2011/03/04/analyzing-and-processing-fits-files-with-montage/

Imagen color (BRI) de las Pleyades creada con Montage a partir de imágenes del DSS

Créditos: Inseok Song(University of Georgia) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/DSS_pleiades_mosaic.jpg


Otras herramientas

Montage: Ejemplo

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82Ver también:http://coolwiki.ipac.caltech.edu/index.php/Making_Mosaics_Using_MONTAGE


Otras herramientas

Montage: Web servicehttp://hachi.ipac.caltech.edu:8080/montage/

� Este es un servicio online que permite crear mosaicos a partir de imágenes de los relevamientos DSS, SDSS, 2MASS o WISE

� Las imágenes producidas son mosaicos de calidad científica que conservan el flujo y poseen el “background” corregido a un nivel común.

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83


84

1. Introducción






7. Imágenes color


G.L. Baume - 2014

85


5. Clasificación de objetos

Imágenes de estrellas y de galaxias

Búsqueda de galaxias

� El objetivo original consiste en poder separar las imágenes de galáxias de las imágenes estelares (ver Kron 1980, ApJS 43, 305)

� La diferencia básica es que mientras que las galáxias pueden resolverse, las estrellas no. O sea, las imágenes estelares siguen la forma PSF mientras que las de las galáxias NO lo hacen

� Todos los métodos utilizan varias aproximaciones que se basan:

• En la comparación de la intensidad integrada a diferentes radios de apertura.

• En el cálculo de momentos y/o parámetros que describen la forma de las imágenes de los objetos

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86




Herramientas

� Actualmente existen varias herramientas que permiten hacer varias tareas entre las que se destacan:

• Detección de objeros• Separación de objetos (“deblending”)• Clasificación de objetos (estrellas, galaxias, ruido)• Fotometría (aproximada o precisa)

� Las herramientas son necesarias para:• Generar catálogos con “completitud uniforme”• Poder hacer hacer estudios sistemáticos de ellos

y obtener “estudios estadísticos confiables”

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87




Herramientas

� Entre las diferentes herramientas de búsqueda y fotometría de galaxias se destacan:

• FOCASJarvis & Tyson 1981, AJ 86, 476

• PPPYee, 1991, PASP 103, 396

• S-ExtractorBertin & Arnouts 1996, A&AS 117, 393

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PPP

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Picture Processing Package (1991)

1. Introducción:

� Este soft utiliza la “curva de crecimiento” con aperturas circulares concéntricas para poder:

• Clasificar los objetos (galaxias, estrellas)• Hacer fotometría integrada

2. Detección:

� Se basa en un filtrado (pasa bajo) y determinación pixel a pixel de picos de intensidad (también se considera un determinado umbral (“threshold”) mínimo que depende del valor local de cielo

Estrella de referencia

Galaxia aislada

Galaxia debil con vecinos

Estrella debil

PPP

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Picture Processing Package

3. Clasificación:

� Se compara la forma de la “curva de crecimiento de un objeto con la de una estrella de referencia (brillante y aislada)

� Se calcula un parámetro (C2) que calcula la diferencia promedio por apertura entre dos curvas de crecimiento luego de que ellas son escaleadas entre si

Estrella

Detección falsa

Galaxia

m2

Baja SNRPobre Resolución

m1

Saturación

∑=

−−−

=AN

i

ii

A

CmmN

C3

0

*

2 )(2

1

NA = Apertura óptima

mi = magnitud instrumental

mi* = magnitud instrumental de referencia

c0 = constante de normalización (tiene en

cuenta la diferencia de magnitud entre

el objeto y la estrella de referencia)

PPP

90


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3. Clasificación:

PPP

91


G.L. Baume - 2014




4. Valoración del Método:

� La precisión del método viene impuesta por: • La confusión de objetos débiles con el fondo de

cielo• Por los objetos que se hallan próximos a otros

objetos más brillantes

� La clasificación erronea se debe principalmente a la falta de resolución. Este problema se puede atenuar cambiando los límites de separación para los objetos débles

92




Herramientas

� Entre las diferentes herramientas de búsqueda y fotometría de galaxias se destacan:

• FOCASJarvis & Tyson 1981, AJ 86, 476

• PPPYee, 1991, PASP 103, 396

• S-ExtractorBertin & Arnouts 1996, A&AS 117, 393

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93




Source Extractor (1996)http://www.astromatic.net/software/sextractorhttp://adsabs.harvard.edu/abs/1996A%26AS..117..393Bhttp://mensa.ast.uct.ac.za/~holwerda/SE/Manual.html

1. Introducción:

� Tiene como objetivo trabajar sobre los grandes surveys generados con CCDs

� Es bastante rápido y flexible, aunque no es muy bueno para hacer fotometría de superficie, pero si lo es para parámetros estructurales para grandes campos

G.L. Baume - 2014

94




Source Extractor

1. Introducción:

� Los pasos del análisis son:• Detección de los objetos• Fotometría aproximada:

- magnitudes de apertura- magnitudes Kron- magnitudes Petrosian, - magnitudes con isofotas

• Análisis de formas y clasificación: Cálculo de momentos de las distribuciones

G.L. Baume - 2014

95




Source Extractor

2. Detección:

� “Background”: Se hace una grilla de la imagen y se calcula la moda en los nodos generando un mapa del “background”

� “Thresholding”: Se identifican los objetos a partir de una convolución con una determinada función y se considera un dado nivel de umbral

� “Deblending”: Se separan los objetos erroneamente identificados juntos en base a una estructura de arbol a partir de los picos de cada imagen y de la intensidad relativa de los mismos

G.L. Baume - 2014

http://mensa.ast.uct.ac.za/~holwerda/SE/Manual.html

ηlog5.2+= isoTotal mmISO

Corrección de magnitudes de isofotas:

η = IISO / Itotal

A = área de la isofota

t = nivel de “threshold”

2

7512.01961.01

−−≈

ISOISO I

tA

I

tAη

)2(log5.21rkTotal Lm

AP <−=

Magnitud por apertura adaptiva:Es una variante de la magnitud de “Kron”

con k = 2.5 y∑∑

=)(

)(1

rI

rIrr

96



Imágenes de galaxias y Clasificación

Source Extractor

3. Fotometría:

� Es posible obtener:• Magnitudes de apertura• Magnitudes de isofotas• Estimaciones de las magnitudes totales

Magnitudes totales� Se obtienen usando dos métodos:

• Magnitudes por apertura adaptiva• Corrección de magnitudes de isofotas

� Normalmente se usan las magnitudes totales por apertura adaptiva, excepto que exista contaminación por vecinos

G.L. Baume - 2014

97




Source Extractor

4. Clasificación:

� SExtractor genera un “Stellarity Index”

(0 < SI < 1) para indicar si cada objeto hallado es una estrella o no

� Este índice se basa en los siguientes parámetros de entrada de cada objeto:

• Areas de varias isofotas sucesivas• Intensidad máxima• Seeing de la observación (FWHM)

� A partir de simulaciones se encuentra que para objetos brilantes la confiabilidad es ~ 95%

G.L. Baume - 2014

Bertin & Arnouts 1996

galaxia

estrella

98




Source Extractor

4. Clasificación

G.L. Baume - 2014

Bertin & Arnouts 1996

99




Source Extractor

5. Parámetros de objetos extendidos (galaxias):

� SExtractor brinda parámetros relacionados con la forma y orientacion de cada uno de los objetos detectados

G.L. Baume - 2014

http://mensa.ast.uct.ac.za/~holwerda/SE/Manual.html

100




Source Extractor

6. ”Checkimages”:

� Estas son diversas imágenes FITS generadas por SExtractor en las que presenta distintas fases y elementos de los procesos realizados

G.L. Baume - 2014

http://mensa.ast.uct.ac.za/~holwerda/SE/Manual.htmlNota: En la imagen del “background” se ha

incrementado el contraste para mayor claridad


101

1. Introducción






7. Imágenes color


G.L. Baume - 2014

7. Imágenes color

Introducción

� Las imágenes astronómicas consisten en diferentes niveles de intensidad

• En principio, dichos niveles se representan como diferentes niveles de grises (a traves de una “stretch function”)

• Aunque dichos niveles tambien pueden representarse por sucesivos colores

� No obstante, usualmente existe información del color en una imagen. Ella se encuentra indicada por el filtro en el que se realizó la observación

G.L. Baume - 2011


102

Niveles de intensidad como

niveles de grises

Niveles de intensidad como

sucesivos colores

7. Imágenes color

Representación del color:

Existen dos modelos para representar una imagen en color:

� Modelo aditivo (RGB model): Consiste en un conjunto de tres imágenes en las que cada pixel representa el brillo de los colores Rojo, Verde y Azul. Este modelo se utiliza en el despliegue de imágenes

� Modelo sustractivo (CMYK model):Consiste en un conjunto de cuatro imágenes en las que cada pixel representa el nivel de oscuridad de los colores Cian, Magnenta, Amarillo y Negro. Este modelo se utiliza en la impresión de imágenes

G.L. Baume - 2011


RGB model

CMYK model

103

Imagen color construida utilizando varias imágenes en diferentes filtros (desde ultravioleta al infrarrojo). Es necesario hacer combinaciones intermedias para generar solo tres imágenes y luego aplicar el procedimiento de los tres filtros

http://www.spacetelescope.org/projects/fits_liberator/improc/

7. Imágenes color

Representación del color:

Orden Cromático: Usualmente se utiliza el “RGB model” a partir de tres imágenes adquiridas en tres filtros diferentes de forma que:

R: corresponde al filtro de mayor λG: corresponde al filtro de λ intermediaB: corresponde al filtro de menor λ

Aunque esta no es una regla rígida, sobretodo si se buscan efectos estéticos

Nota: Si solo se disponen de imágenes en solo dos filtros, ellas se adoptan como las de los extremos y se genera la del medio como el promedio de las otras dos

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104

Imagen en colores represntativos:Imagen de un par de cúmulos inmersos obtenida como combinación en orden cromático de tres imágenes J, H, K (datos VVV; Baume et al. 2010)

Imagen en colores “mejorados”: Imagen color en la que se le ha asignado el color azul al filtro Ha (en lugar del clasico color rojo), o sea en orden NO cromático

http://www.spacetelescope.org/projects/fits_liberator/improc/

7. Imágenes color

Ejemplos

G.L. Baume - 2011


105

AS002a

AS002b

AS002c

AS002d

300 pc x 500 pc

G.L. Baume - 2011


AS002c (substraido)

AS002cγ = 0.31

7. Imágenes color

Ejemplos

Imagen en colores represntativos: Imagen de un conjunto de asociaciones de la galaxia NGC 300 obtenida como combinación en orden cromático de tres imágenes F435W (B), F555W (V), F814W (I) (datos ACS/HST; Baume & Feinstein 2009)

7. Imágenes color

Herramientas:

� IRAF: Paquete dataio

� DS9 y ALADIN: Además de sus funciones específicas, ambos programas permiten la creación de imágenes color.

� En particular ALADIN permite generar imágenes color en formato FITS (NAXIS = 3) o formato JPEG conservando en ambos casos el sistema de coordenadas

G.L. Baume - 2011


107

� export: Crea una imagen de salida en diversos formatos a partir de una o varias imágenes de entrada. En particular, permite crear imágenes color en base a sus tres componentes RGB


108

1. Introducción






7. Imágenes color


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