Problemlösen im Mathematikunterricht (Klassen 5/6) Veranstaltung zu Sinus-Transfer am 10.05.2005 in der Humboldt- Universität zu Berlin Wolfgang Schulz

Problemlösen im Mathematikunterricht

(Klassen 5/6)

Veranstaltung zu Sinus-Transfer am 10.05.2005 in der Humboldt-

Universität zu Berlin

Wolfgang Schulz

Struktur eines Problems

Anfangszustand (A)

A

Zielzustand (Z)

Z

Transformation (T)

T

Gelingt T nicht unmittelbar, liegt ein Problem vor.Gelingt T unmittelbar, liegt eine Aufgabe vor.

Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik

der Länder Brandenburg, Berlin, Bremen und Mecklenburg-Vorpommern, 2004

Problemlösen und

Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf, zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht unmittelbar bekannt ist. Innermathematische Probleme ermöglichen den Schülerinnen und Schülern das Entdecken von mathematischen Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur mathematischen Modellbildung.

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische AnsprücheMathematik lernen durch Arbeiten an Problemen

Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 23

Kann man Lösungsvorschläge ausschließen ?

Hundertertafel

9

19

29

39

49

59

69

79

89

999897969594939291

90

101

91

9 als Einer

9 als Zehner

Struktur finden

Entscheidend war es, eine Hilfe für systematisches Suchen zu finden. Es soll ja keine Möglichkeit vergessen werden.

Hier war es mit der Hundertertafel eine vertraute Form. Die Schüler sollten aber möglichst selbst herausfinden, dass die Hundertertafel helfen kann.

Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf, zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht unmittelbar bekannt ist. Innermathematische Probleme ermöglichen den Schülerinnen und Schülern das Entdecken von mathematischen Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur mathematischen Modellbildung.

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische AnsprücheMathematik lernen durch Arbeiten an Problemen


Modellierungsprozess bei mathematischen Aufgaben

Klieme, E.; Neubrand, M; Lüdtke, O.: Mathematische Grundbildung: Test-konzeption und Ergebnisse, in: PISA 2000 - Basiskompetenzen von Schü-lerinnen und Schülern im internationalen Vergleich, Opladen 2001, S. 144

SituationModellKonsequenzenInformation

Streckenzüge

Längen betrachten

Längen vergleichen

Kann das sein ?

Problemorientierte Aufgaben sind so angelegt, dass Schülerinnen und Schüler zur kreativen Bearbeitung angeregt und verschiedene Kompetenzen gefördert werden. Sie zielen sowohl auf das Verständnis von Zusammenhängen als auch auf sachbezogenes, logisches, zielorientiertes Arbeiten. Sie unterstützen die Entwicklung von unterschiedlichen Lösungsstrategien und schließen das Nachdenken über das Lernen ein.

Problemorientierte Aufgaben entwickeln

1.4 Gestaltung von Unterricht


Schülerinnen und Schüler erwerben Sachkompetenz und weisen diese nach, indem sie im Umgang mit einem Problem ihre mathematischen Kenntnisse sowie ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten zielgerichtet einsetzen und erweitern. Zu diesen Kenntnissen zählen im Verlauf des Unterrichts erworbene Begriffe, Zusammenhänge (Sätze) und Verfahren aus verschiedenen Inhaltsbereichen. Sie gilt es in verschiedenen Kontexten reflektiert einzusetzen.

Sachkompetenz

2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule


Für das Lösen inner- und außermathematischer Probleme ist es notwendig, Informationen zu beschaffen, auszuwerten und die eigenen Ergebnisse darzustellen. Dazu sind Fähigkeiten der Informationsentnahme aus Texten sowie fachspezifische und heuristische Methoden erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler können diese Methoden reflektiert und bewusst anwenden.

Methodenkompetenz



Methodenkompetenz verlangt neben der Beherrschung eines Verfahrens auch dessen begründete Auswahl.

Mathematische Methoden beherrschen

Außer- und innermathematische Probleme zu lösen bedeutet auch, dass die Schülerinnen und Schüler mathematische Modelle entwickeln. Fragen wie: Wie lässt sich der Sachverhalt mathematisch ausdrücken? und: Ist das Modell der Situation angemessen? und: Kann das Ergebnis überhaupt zutreffen? können von Schülerinnen und Schülern beantwortet werden.

Methodenkompetenz



mathematisieren interpretieren validieren

Die Schülerinnen und Schüler erwerben im Rahmen ihrer mathematischen Aktivitäten ... Fähigkeiten zum Kommunizieren.

Soziale Kompetenz



Personale Kompetenz

Ziel des Mathematikunterrichts ist es, das Zutrauen in die eigene Leistungsfähigkeit bei den Schülerinnen und Schülern zu entwickeln bzw. zu erhalten.

Die Schülerinnen und Schüler

– beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole,

Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6

3. Standards

Allgemeine mathematische Fähigkeiten


mathematisieren



– erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese,


3. Standards



Sachkompetenz



– erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese,

– entnehmen aus Sachtexten und anderen Darstellungen die relevanten Informationen und kommunizieren mit anderen darüber,


3. Standards



Methodenkompetenz Soziale Kompetenz


– stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen,


3. Standards


Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21Kommunizieren



– übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität,


3. Standards



Modellbildung



– übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität,

– nutzen geeignete heuristische Methoden zum Lösen von Problemen,


3. Standards




– vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein,


3. Standards


Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21kommunizieren



– beschaffen sich zielgerichtet Informationen mithilfe von verschiedensten Medien und bereiten diese auf.


3. Standards


Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21Methodenkompetenz

Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie

– Aufgaben anbieten, anhand derer Mathematiklernen als Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen differenziert erfolgen kann,

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische AnsprücheAufgabenkultur



– Aufgaben anbieten, anhand derer Mathematiklernen als Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen differenziert erfolgen kann,

– authentische Problemstellungen bereitstellen, die das Lernen anwendungs- und strukturorientiert, ganzheitlich und in Sinnzusammenhängen ermöglichen,




– komplexe Aufgaben einbeziehen, anhand derer die Schülerinnen und Schüler zum Verknüpfen einzelner mathematischer Inhaltsbereiche miteinander sowie mit fachübergreifenden Themen angeregt werden.



Als wesentliche Voraussetzung für das Lösen von Prob-lemen und für die Gewinnung der Einsicht in die Schönheit und Ästhetik von Mustern müssen die Schülerinnen und Schüler Fertigkeiten zur zeichnerischen Darstellung von ebenen Figuren und Körpern erwerben. Damit stehen ihnen neben dem Hantieren mit geometrischen Objekten die zeichnerische Darstellung derselben als Stütze für das Er-fassen von Zuordnungen und Strukturen sowohl im geome-trischen als auch im arithmetischen Bereich zur Verfügung.

5. Inhalte5. 1 Übersicht über die Themenfelder


Form und Veränderung

Ein geometrisches ProblemAus einem quadratischen Blatt Papier soll durch Falten ein Viereck entstehen, dessen Eckpunkte die Seitenmitten des Quadrates sind.

Was kann über die entstehenden Figuren gesagt werden?

A Z T

Bezug zum RahmenlehrplanJahrgangsstufen 5/6

Form und Veränderung

- Symmetrien in ebenen Figuren und Körpern identifizieren- Figuren auf Kongruenz untersuchen und vergleichen


Gegeben ist ein Quadrat, in dem die Seitenmitten Eckpunkte eines Vierecks sind.

Welche Eigenschaften hat die Figur ?

Ein geometrisches Problem

H

G

F

EA

D C

B

Falten und Symmetrie

C auf D legen und falten, liefert eine Symmetrieachse.


C auf A legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. B auf D legen und falten, liefert eine Symmetrieachse.

B auf C legen und falten, liefert eine Symmetrieachse.

Sind das alle ?H

G

F

EA

D C

B

Kongruente Figuren ?

Alle Dreiecke sind kongruent zueinander.


Das neue Viereck ist auch ein Quadrat. Sein Flächeninhalt ist halb so groß.

Falten entlang der Seiten des neuen Vierecks. sws

H

G

F

EA

D C

B

H

G

F

EA

D C

B

Es entstehen vier Dreiecke, die auch kongruent sind .

Herget, W.; Jahnke, T.; Kroll, W.:Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht, Cornelsen 2001, S.12

A

Z

T

Riesenschuh

• Keine Frage gestellt

• Welche Schuhgröße hat dieser Schuh ?

• Modellierung ?

• 1. Schritt: Schuhlänge

• Mehrere Wege

• Verschiedene Ergebnisse

Riesenschuh

• Deutsche Schuhgrößen

• Proportionalität ?

• Größecm

34 35 36 37 38 39 4022,7 23,3 24,0 24,7 25,3 26,0 26,7

• Unterbestimmte Aufgabe

• Modellierung mit mehreren Schritten

Ja, Prop.faktor 1,5



– beschaffen sich zielgerichtet Informationen mithilfe von verschiedensten Medien und bereiten diese auf.


3. Standards



Riesenschuh

·8 ·8

·1,5• Das ist Schuhgröße 168.

• Schuhlänge auf dem Bild 14 cm

• Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm

• Meine Brille ist 13 cm breit.

• Dann ist der Schuh 112 cm lang.

Riesenschuh

·8 ·8

·1,5• Das ist Schuhgröße 168.

• Keinem passt so ein Schuh.

• Schuhlänge auf dem Bild 14 cm

• Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm

• Meine Brille ist 13 cm breit.

• Dann ist der Schuh 112 cm lang.

Bezug zum RahmenlehrplanJahrgangsstufen 5/6

Zahlen und Operationen

- Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich lösen


In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung der Proportionalität aufgebaut.

5. Inhalte

5. 1 Übersicht über die Themenfelder


Zahlen und Operationen

Zahlenmauern

1001 1100 10102101 2110 4211

2 2 2 24 4 4

8 8 16 Was fällt auf ?

Was fällt auf ?

Zahlenmauern

1001 1002 10032003 2005

4008

611

1877

Zahlensteine vertauschenWann größtes Ergebnis ?

Lücken füllen

57

1

5948

43

Zahlenmauern

1000

Lücken füllen Mehrere Möglichkeiten

Baue eine Mauer aus den Steinen7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 33, 35, 78

500 500250 250 250

7 8

Zahlenmauern

Lücken füllen Mehrere Möglichkeiten

Baue eine Mauer aus den Steinen7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 33, 35, 78

7 9

1000500 500

250 250 250

168

1710

183533

68 Nicht möglich

ZahlenmauernBaue Zahlenmauern mit vier aufeinander-folgenden Zahlen auf den Grundsteinen.

Baue eine Zahlenmauer mit vier Grundsteinen und einigen Lücken.Hier sind die Steine einer Zahlenmauer. Ein Stein ist zu viel. 5, 15, 17, 20, 35, 37, 72Lege eine Zahlenmauer aus den Zahlen 1, 7,10, 3, 2, 5. Ist es die einzige Möglichkeit.

ZahlenmauernBaue eine Zahlenmauern mit dem Zielstein 100. In den Grundsteinen sollen vier aufeinanderfolgende Zahlen stehen.Baue eine Zahlenmauer, in der die Zahlen ½, ¼ und ¾ vorkommen.

Lege eine Zahlenmauer mit drei Grund-steinen. Wie musst du die Steine legen, da-mit der Zielstein besonders groß (klein) wird.

Känguru 2005Klassenstufen 5 und 6



PISA 2003, Internationaler Test

RockkonzertBei einem Rockkonzert wurde ein recht-eckiges Feld der Größe 100 m mal 50 m für die Zuschauer reserviert. Das Konzert war komplett ausverkauft und das Feld war voll mit stehenden Fans. Welche der folgenden Schätzungen über die gesamte Besucher-zahl ist wahrscheinlich die beste ?

A 2 000 B 5 000 C 20 000 D 50 000 E 100 000

PISA 2000, nationaler Ergänzungstest, Lösungshäufigkeit alle 6 Möglichkeiten 2,9 %; 4 oder 5 Möglichkeiten 17,9 %

31 Pfennig

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