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Problemas Porticos Examenes

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Problema 1 Vamos a calcular en primer lugar las rigideces de las barras. En todo lo que sigue considrese la numeracin de nudos indicada en la figura.3m P = 12000 N

2

3 3m

4m 4 1

6m

El pilar 1-2 se encuentra empotrado en su base y presenta una articulacin en su extremo superior, por lo tanto:

K 12 =

3EI 3 = EI L12 4

Lo mismo puede decirse del pilar 4-3: K 43 =

3EI 3 = EI = EI L 43 3

El dintel 2-3 se encuentra doblemente articulado; no tiene sentido, en consecuencia, hablar de rigidez de dicho elemento, puesto que los momentos en ambos extremos sern nulos, sea cual sea la carga que soporte la estructura. Una vez calculadas las rigideces pasamos a establecer las ecuaciones de barra: 1) Pilar 1-2e M 12 = M 12 + K 12 1 + K 12*

12 3 ; M 12 = EI 12 L12 16

M 21 = 02) Dintel 2-3

M 23 = 0 M 32 = 0

3) Pilar 4-3

M 34 = 0

M 43 = M e + K 43 4 + K 43 43

*

43 1 ; M 43 = EI 43 L 43 3

-1-

2 3

4 1Por la hiptesis de inextensibilidad de las barras, el nico desplazamiento transversal relativo posible es el indicado en la figura (donde slo se ha representado dicho movimiento), verificndose adicionalmente que 12 = 43 = . Pasemos ahora a establecer las ecuaciones de nudo. 1) Nudo 2

M 2 = M 21 + M 23 0 = 0 + 0Dada la configuracin de los enlaces de las barras de la estructura, articulacin entre el pilar y el dintel, la ecuacin anterior degenera en una identidad de la que resulta imposible obtener informacin adicional alguna. 2) Nudo 3 Se produce la misma situacin que en el nudo 2.

M 3 = M 32 + M 34 0 = 0 + 0A continuacin, procedemos a establecer las ecuaciones de desplazamiento. Para ello seccionamos idealmente la estructura segn la direccin de los desplazamientos transversales desconocidos (ver figura). Posteriormente establecemos ecuaciones de equilibrio de fuerzas segn esas direcciones.

P = 12000 N 2 T21 T21 T34 3 T34

4 1Ecuacin de equilibrio de la seccin superior: X = 0; T21 + T34 = 0. Las ecuaciones de equilibrio de barra permiten relacionar la ecuacin anterior con los desplazamientos desconocidos.

-2-

P = 12000 N T23 2 N23 N 23 T23 T21 N 21 T32 T34 N 34 N 32 N32 T32 3

N 21 T21

N 34 T34

M43 M12 T12 N 12 T43 N 43

Considerando el equilibrio de los pilares 1-2 y 3-4, ver figura anterior, resulta:

= 0; M12 + T21 L12 = 0 = 0; M43 + T34 L43 = 0T21 = T34 = M 12 3 = L12 64 M 43 1 = L 43 9

Donde en ambos casos se han tomado momentos respecto a la base. En consecuencia:

Y por lo tanto:

M = 0 3 1 = 0 = 0 12 64 9 M 43 = 0

Una vez conocidos los momentos en los extremos de las barras, se pueden obtener los cortantes a partir de las ecuaciones de equilibrio de barra. 1) Pilar 1-2

x = 0; N12 + N21 = 0. y = 0; T12 + T21 = 0. = 0; M12 + T21 L12 = 0; T21 = 0; T12 = 0.2) Pilar 4-3

x = 0; N43 + N34 = 0. y = 0; T43 + T34 = 0. = 0; M43 + T34 L43 = 0; T34 = 0; T43 = 0.3) Dintel 2-3

x = 0; N23 + N32 = 0. y = 0; T23 + T32 12000 = 0. L P P M = 0; T32 L 23 P 23 = 0; T32 = = 6000 N; T23 = = 6000 N 2 2 2-3-

Por ltimo, calculamos los axiales a partir de las ecuaciones de equilibrio de nudo (ver figura anterior). 1) Nudo 2

X = 0; T21 N23 = 0; N23 = N32 = 0. Y = 0; T23 + N21 = 0; N21 = - 6000 N; N12 = 6000 N.2) Nudo 3

X = 0; T34 + N32 = 0; N23 = N32 = 0. Ecuacin redundante. Y = 0; T32 + N34 = 0; N34 = - 6000 N; N43 = 6000 N.

-4-

Problema 2 Analice el prtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexin (EI = Cte.).1,86 kN/m

2

3

1,64 kN/m

1

4

b 1) Clculo de la rigidez de las barras, K ij =

4EI ij L ij

:

a) Pilares

Kp =b) Dintel

4EI p Lp

=

4EI p 5

= 0,8EI p = 0,8EI

Kd =

4EI d 4EI d 2 2 = = EI d = EI 0,667 EI 3 Ld 6 3

2) Movimientos conocidos. a) Por empotramiento en los apoyos: 1 = 4 = 0 b) Por inextensibilidad de las barras. El nico desplazamiento transversal relativo posible es el indicado en la figura (donde slo se ha representado dicho movimiento), verificndose adicionalmente que 12 = 43 = .

3,28 kN/m

-5-

3) Ecuaciones de barra, considrese la numeracin expresada en la figura:

M 12 = 3416,667 + 0,4EI 2 + 0,24EI M 21 = 3416,667 + 0,8EI 2 + 0,24EI M 23 = 5580 + 0,667 EI 2 + 0,333EI 3 M 32 = 5580 + 0,333EI 2 + 0,667EI 3 M 34 = 6833,333 + 0,8EI 3 + 0,24EI M 43 = 6833,333 + 0,4EI 3 + 0,24EI

4) Equilibrio de nudos: a) M2 = M21 + M23 = 0; 1,467EI2 + 0,333EI3 +0,24EI = 2163,333 b) M3 = M32 + M34 = 0; 0,333EI2 + 1,467EI3 +0,24EI = 12413,333 5) Ecuacin de desplazamiento (ver figura adjunta):1,86 kN/m

2 T21 T21 T34

3 T34

1,64 kN/m

1

4

a) T21 + T34 = 0 b) Considerado el equilibrio de las barras 1-2 y 3-4, resulta (ver figura adjunta): i)

M

Barra 1-21

= 0; M 12 + M 21 + 5T21 + 20500 = 0 M 12 + M 21 + 20500 5

T21 =

ii) Barra 4-3

M

4

= 0; M 43 + M 34 + 5T34 + 41000 = 0 M 43 + M 34 + 41000 5

T34 =

Y, en consecuencia:

T21 + T34 =

M 12 + M 21 + M 34 + M 43 + 61500 =0 5 M 12 + M 21 + M 34 + M 43 = 61500 0,12EI 2 + 0,12EI 3 + 0,96EI = 61500

6) Clculo de desplazamientos y giros. Resolviendo el sistema: 1,467EI2 + 0,333EI3 +0,24EI = 2163,333 0,333EI2 + 1,467EI3 +0,24EI = 12413,33 -6-

3,28 kN/m

1,200EI2 + 1,200EI3 + 0,96EI= 61500

2 =

14968,8 2114,57 85416,7 ; 3 = ; = EI EI EI

7) Clculo de momentos. M12 = -17929,2 Nm M21 = -5108,3 Nm M23 = 5108,3 Nm M32 = 11975 Nm M34 = -11975 Nm M43 = -26487,5 Nm 8) Equilibrio de barras.

M 23 T23 2 M21 T21 N 21 N 23 N 23 T23 M 23

1,86 kN/m

T32 M 32 N 32 N 32 M 32 T32 T34 N 34 3 M 34

N 21 T21 M 21 M 34

N 34 T34

1,64 kN/m

M 12 T12 N 12

M43 T43 N 43

a) Barra 1-2

x = 0; N + N = 0 N = N y = 0; T + T + 8200 = 0 M = 0; M + M + 5T + 20500 = 0 T12 21 12 21 12 21 1 12 21 21

21

= 507,5 N; T12 = 8707,5 N

3,28 kN/m

-7-

b) Barra 2-3

x = 0; N + N = 0 N = N y = 0; T + T + 11160 = 0 M = 0; M + M + 6T + 33480 = 0 T23 32 32 23 23 32 2 23 32 32 43 34 43 34 43 34

32

= 8427,2 N; T23 = 2732,8 N

c) Barra 4-3

x = 0; N + N = 0 N = N y = 0; T + T + 16400 = 0 M = 0; M + M + 5T + 41000 = 0 T4 43 34 34

34

= 507,5 N; T43 = 15892,5 N

9) Equilibrio de nudos. a) Nudo 2.

X = 0; Y = 0;

T21 N 23 = 0 N 23 = 507,5 N N 32 = 507,5 N T23 + N 21 = 0 N 21 = 2732,8 N N 12 = 2732,8 NT34 N 32 = 0 N 32 = 507,5 N T32 + N 34 = 0 N 34 = 8427,2 N N 43 = 8427,2 N

b) Nudo 3.

X = 0; Y = 0;

-8-

Problema 6 Analice el prtico de la figura determinando el valor de las fuerzas en los extremos de cada una de las barras que lo componen. Se admite que todas las barras tienen igual rigidez a flexin (EI = cte).1 kN/m 3 15 2 4

4,00 m

1

5

12,64 m

a) Movimientos Por condiciones de sustentacin: 1 = 5 = 0 12 = 0 Por la hiptesis de inextensibilidad de las barras:

54 =

23 = 34 =

54 54 = = 1,932 2 sen 2 sen (15 )54 3 3''15

54 4 4'

2 23 34

3' 1 5

-9-

b) Ecuaciones de barra Barra 1-2. Empotrada articulada.

K 12 =

M 12

3(EI )12 3 = EI = 0,75EI l12 4 e = M 12 + K 12 1 K 12 12 = 0 l12

M 21 = 0Barra 2-3. Empotrada articulada.

3 EI = 0,459EI K 23 = 12,64 m 6,543 2 = 6,543 m l 23 = cos(15 ) M 23 = 0 K 23 =e M 32 = M 32 + K 23 3 K 23

3(EI )23 l 23

23 = 0,459EI 3 + 0,136EI l 23

Barra 3-4. Empotrada articulada.

K 34 =

M 34 Me 34

3 (EI )34 3 = EI = 0,459EI l 34 6,543 e = M 34 + K 34 3 K 34 34 = 5,169 + 0,459EI 3 0,136EI l 342 q 34 y l 34

q 34 y M 43

e 8 M 34 = 5,169 kNm = q 34 cos(15 ) = 1 kN cos (15 ) = 0,966 kN m m =0 =q 34y = 0,966 kN/m

M34

e

Barra 5-4 Empotrada articulada.

K 54 =

M 54

3(EI )54 3 = EI = 0,75EI l 54 4 e = M 54 + K 54 5 K 54 54 = 0,1875EI l 54

M 45 = 0c) Equilibrio de nudos (momentos) Nudo 3

M 3 = M 23 + M 34

0 = (0,459EI 3 + 0,135EI ) + (5,169 + 0,459EI 3 0,135EI ) 3 =

5,631 EI- 10 -

d) Ecuaciones adicionales

M

O

= 0 M 32 + T32 l 34 + T45 2f + q 34 l 34

l =0 4l 34 = 6,543 m O

M32 T32

N32 N32

T32 1 kN/m M32 T45 N45l 2

2f = 3,387 m

= 6,32 m T45 N45

tg =

f 2f = 2 6,32 tg (15 ) = 3,387 m l 2M 32 l 23 M 54 l 54

Del equilibrio de las barras 2-3 y 4-5 se obtiene: Barra 2-3.

MM

2

= 0; M 32 + T32 l 23 = 0 T32 =

Barra 5-45

= 0; M 54 + T45 l 54 = 0 T45 =

Y por tanto:

M 32 M 32 1 6,543

l 34 2f l M 54 + q 34 l 34 = 0 l 23 l 54 4

6,32 3,387 59,965 = 2 (0,459EI 3 + 0,135EI ) + (0,1875EI ) = 2 4 EI

e) Momentos en los extremos

M 32 = 5,571 kNm

M 34 = 5,571 kNm M 54 = 11,273 kNm

- 11 -

M32 T32 T23 R T21 N21 T21 N21 N23 T23 N23

N32 N32

T32 T34 N34 M32 M34 N34

M34 T34

1 kN/m

T43 N43

N43

T43 T45 N45

T45

N45

T12 M12 N12

T54 M54 N54

- 12 -

f) Equilibrio de barras Barra 1-212 21

x = 0; N + N = 0 y = 0; T + T = 0 M = 0; M + T l12 21 1 12 23 32

21