Problemas Geotecnia y Cimientos Upv

PROBLEMAS DE GEOTECNIA Y CIMIENTOS

E.T.S. INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VALENCIA

Este libro se debe a tres alumnos del curso 2003-2004:

- A XXXXX, por distraer al profesor. - A XXXXX, por su habilidad en dar el cambiazo. - A XXXX, por copiarlo rpidamente en su porttil.

Si los profesores pretenden hacerse ricos a costa de los alumnos no deberan tener tan a la vista en su mesa un CD titulado Copia de Seguridad del Libro de Problemas, es una tentacin difcil de evitar en un libro que cuesta 25 .

Compartidlo, los libros universitarios deben ser gratuitos.

NNDDIICCEE

Prlogo

1 Propiedades elementales Pgina 5

2 Flujo en medios porosos Pgina 33 Principio de Terzaghi

3 Consolidacin Pgina 85

4 Resistencia a esfuerzo cortante Pgina 119

5 Elasticidad Pgina 155

6 Empujes del terreno Pgina 183

7 Estabilidad de taludes Pgina 231

8 Cimentaciones superficiales Pgina 267

9 Cimentaciones profundas Pgina 317

PPRRLLOOGGOO

Una materia como Geotecnia y Cimientos no se domina aprendiendo todas sus bases tericas. Adems de estos conocimientos fundamentales, se debe saber aplicarlos a la resolucin de cuestiones prcticas y esto solamente puede conseguirse con los problemas. Es de esta forma como el alumno fija los conceptos tericos, gana confianza en s mismo, el estudio de la materia se hace agradable y le impulsa a profundizar en ella.

Los nuevos planes de estudios de Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos, y de Ingeniero Tcnico de Obras Pblicas, implantados recientemente en la Universidad Politcnica de Valencia, contemplan en 2 curso la asignatura troncal Geotecnia y Cimientos I, cuando en los planes extinguidos, la asignatura Geotecnia y Cimientos estaba encuadrada en el cuarto curso de Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos y en el tercer curso de Ingeniero Tcnico de Obras Pblicas. Actualmente, se trata de impartir a un alumnado mucho ms joven una materia nueva y difcil de asimilar sin tener cursadas las bases fsico-matemticas de la Ingeniera.

Son escasos los libros de problemas resueltos sobre Geotecnia publicados hasta la fecha, resultando a todas luces injustificado dada la importancia de esta materia en Ingeniera Civil y en Arquitectura.

Para llenar algo este vaco, hemos preparado estos problemas, dirigidos fundamentalmente a los que se inician en Geotecnia. En su resolucin, hemos sido conscientes del nivel de formacin de los alumnos de primer ciclo, razn por la que las herramientas matemticas y fsicas utilizadas han sido muy bsicas.

En algunas ocasiones hemos tenido que aceptar hiptesis razonables que bien pueden cuestionarse con conocimientos geotcnicos tericos ms profundos. A pesar de ello, creemos que este es el camino ms conveniente para iniciarse en el razonamiento geotcnico e interesarse por esta disciplina.

En este sentido, debemos sealar que se ha adoptado para el peso especfico del agua el valor de 10 kN/m3. Ello no afecta en gran medida a los resultados y facilita enormemente al lector la lectura e interpretacin de los resultados.

Por otro lado, hemos evitado los problemas de feliz idea que confunden frecuentemente al alumno y crean una cierta desconfianza hacia la asignatura.

Los problemas han sido ordenados en los captulos clsicos de un programa bsico de Geotecnia y Cimientos, insistiendo en los conceptos que consideramos ms duros de asimilar. Algunos de estos problemas son los habituales en las prcticas de pizarra; otros, han sido propuestos en exmenes.

Estamos convencidos de que esta coleccin de problemas resueltos facilitarn a los estudiantes de Ingeniera Civil y de Arquitectura su inicio en las asignaturas geotcnicas.

Esperamos que el lector juzgue esta obra con benevolencia y sepa disculpar con sano criterio los inevitables defectos o errores que pueda encontrar a lo largo de ella.

Finalmente, queremos expresar nuestro agradecimiento a Mlek Murad por su cuidadosa delineacin de las figuras y por su excelente maquetacin de la obra, y a Geotecnia y Cimientos S.A. por el apoyo econmico prestado que ha hecho posible que estas pginas vean la luz.

Los Autores

Captulo 1

PPRROOPPIIEEDDAADDEESS EELLEEMMEENNTTAALLEESS

Problemas de Geotecnia y Cimientos

6

Captulo 1 - Propiedades elementales

7

NOMENCLATURA UTILIZADA PARA LA RESOLUCIN DE LOS PROBLEMAS DE PROPIEDADES ELEMENTALES

Vw

Va

Vs

Vv

V

Ws

Wa

Ww

W

Suelo comosistematrifsico

AIRE/GAS

SLIDOS

AGUA

Volmenes Pesos

Va = Volumen de huecos llenos de aire Vw = Volumen de huecos ocupados por el agua Vs = Volumen de partculas slidas Vv = Volumen de huecos del suelo V = Volumen total

Wa = Peso de huecos llenos de aire 0 Ww = Peso de agua Ws = Peso de las partculas slidas W = Peso total = Ws + Ww


8

- Relaciones volumtricas:

Porosidad = n = VVv

ndice de poros = e = s

v

VV

Grado de saturacin = Sr = v

w

VV

- Relaciones gravimtricas:

Humedad = = s

w

WW

- Relaciones peso / volumen:

Peso especfico del agua = = w

w

VW

Peso especfico de las partculas = s = s

s

VW

Peso especfico relativo de las partculas = Gs = w

s

Peso especfico aparente = = VW

Peso especfico seco = d = VWs


9

PROBLEMA 1.1

Una muestra cilndrica de suelo arcilloso, de 38 mm de dimetro y 76 mm de altura (figura 1.1), tiene un peso total de 186'00 g y un peso seco de 160'5 g. El peso especfico de las partculas es de 2'7 g / cm3. Se pide:

a) Calcular el peso especfico aparente y seco de la muestra. b) Calcular la porosidad y el ndice de poros. c) Calcular la humedad y el grado de saturacin.

= 38 mm

H = 76 mm

Figura 1.1

SOLUCIN

La muestra ensayada est constituida por un material cohesivo con geometra regular. En consecuencia se puede determinar el volumen total por medicin directa:

322

cm19'866'74

8'3H4V =pi=pi=


10

El peso seco es el correspondiente a las partculas slidas. Como en el enunciado se proporciona el peso especfico de las partculas, el volumen de partculas slidas ser:

3

s

ss cm44'597'2

5'160WV ==

=

Conocidos el volumen de slidos y el volumen total, se obtiene por diferencia el volumen de huecos del suelo:

Vv = V - Vs = 86'19 - 59'44 = 26'75 cm3

a) Pesos especficos aparente y seco

El peso especfico aparente es la relacin entre el peso total de la muestra y el volumen total:

33 m/kN6'21cm/g16'219'86

186VW

===

El peso especfico seco es la relacin entre el peso seco de la muestra y el volumen total:

33sd m/kN6'18cm/g86'119'86

5'160V

W===

3m/kN6'21=

3d m/kN6'18=


11

b) Porosidad e ndice de poros

La porosidad es la relacin entre el volumen de huecos de la muestra y el volumen total:

310'019'8675'26

VV

n v ===

El ndice de poros es la relacin entre el volumen de huecos de la muestra y el volumen de partculas slidas:

450'044'5975'26

VV

es

v===

La determinacin del ndice de poros se podra haber obtenido a partir de la porosidad ya que:

n1n

1n

11

1VV

1VV

VVV

e

v

v

v

s

v

=

=

=

==

310'0n = 450'0e =

c) Humedad y grado de saturacin

La humedad es la relacin entre el peso del agua contenida en la muestra y el peso de la muestra seca:

159'05'160

5'160186W

WWWW

s

s

s

w=

=

==


12

es decir:

= 15'9 %

El grado de saturacin es la relacin entre el volumen de agua contenida en los poros del suelo y el volumen de huecos:

v

Wr V

VS = (1)

Teniendo en cuenta la definicin de humedad,

sws

W WWWW

== (2)

y siendo el peso especfico del agua:

w

ww

w

ww

WVVW

== (3)

Sustituyendo (2) en (3) se obtiene:

w

sw

WV

= (4)

Sustituyendo en (1) la expresin del volumen de agua obtenida en (4), se tiene finalmente que:

954'075'261

5'160159'0V

WSvw

sr ==

=

= 15'9 % %4'95Sr =


13

PROBLEMA 1.2

El peso especfico de las partculas de una arena es 26 kN / m3 y su ndice de huecos es 0'572. Calcular el peso especfico de dicha arena cuando est seca, saturada y sumergida. Adptese w = 10 kN / m3.

SOLUCIN

Cuando la arena est seca su peso especfico es el peso especfico seco que por definicin es:

VWs

d =

Sustituyendo en la expresin anterior el volumen total por la suma del volumen de huecos y del volumen de slidos, y dividiendo numerador y denominador por el volumen de slidos se obtiene la siguiente relacin:

3s

s

sv

s

s

sv

ssd m/kN54'16572'01

261e

VVV

VW

VVW

VW

=

+=

+

=

+=

+==

Cuando la muestra est saturada, el grado de saturacin es Sr = 1, es decir, el volumen de huecos es igual al volumen de agua (VV = Vw) y el peso especfico del suelo es el peso especfico saturado:

VWW

VW swsat

sat+

==


14

Como

www VW =

y

sv VVV +=

se tiene:

s

sV

s

sww

sV

sww

sV

swsat

VVV

VWV

VVWV

VVWW

+

+

=

+

+=

+

+=

y como VV = Vw, entonces:

3swsat m/kN18'201572'0

2610572'01e

e=

+

+=

+

+=

Tambin se puede obtener el peso especfico saturado en funcin de las propiedades ndice e, s y d, mediante la siguiente expresin:

3d

wsat m/kN18'201e

e=+

+

=

(Se recomienda al lector su deduccin)

Finalmente, el peso especfico sumergido es la diferencia entre el peso especfico saturado y el peso especfico del agua:

3wsatsum m/kN18'101018'20' ====

3d m/kN54'16=

3sat m/kN18'20=

3sum m/kN18'10=


15

PROBLEMA 1.3

Una muestra irregular de arcilla tiene un peso total de 537'5 g. Posteriormente la muestra es parafinada obtenindose un peso de 544'4 g. Al sumergir la muestra parafinada en agua, sta desplaza un volumen de 250 ml. Una vez retirada la parafina, la muestra se coloca en la estufa obtenindose un peso final de 479'2 g. Sabiendo que la parafina tiene un peso especfico relativo de 0'9, se pide:

a) Determinar la humedad natural de la muestra. b) Peso especfico aparente y seco.

SOLUCIN

a) Humedad de la muestra

La humedad natural de un suelo se define como el cociente entre el peso del agua contenida en los poros y el peso de las partculas slidas (peso seco):

s

w

WW

=

Puesto que la muestra tiene un peso total W = 537'5 g y despus de sacarla de la estufa el peso es Ws = 479'2 g, el peso del agua es:

g3'582'4795'537WWW sw ===

y, por lo tanto, la humedad vale:

1216'02'479

3'58WW

s

w===

es decir:

%16'12=


16

b) Pesos especficos aparente y seco

El peso especfico aparente es el cociente entre el peso total de la muestra y el volumen total:

VW

=

El volumen desplazado por la muestra parafinada es:

parafinaparafinadamuestra VVV +=

El volumen de parafina se obtiene como:

3

wparafina

parafinadamuestra

parafina

parafinaparafina cm67'719'0

5'5374'544G

WWWV ==

=

=

y en consecuencia, el volumen total del suelo es:

3parafinaparafinadamuestra cm33'24267'7250VVV ===

Por tanto, el peso especfico aparente vale:

33 m/kN2'22cm/g22'233'2425'537

VW

====

y el peso especfico seco es:

33sd m/kN8'19cm/g98'133'242

2'479V

W====

3m/kN2'22=

3d m/kN8'19=


17

PROBLEMA 1.4

De una muestra de arcilla se conocen su lmite plstico (wp = 17), su ndice de plasticidad (IP = 7) y su peso especfico seco (d = 17'5 kN / m3). Se pide determinar el valor del peso especfico saturado de esa arcilla para una humedad correspondiente al lmite lquido. Justifique la respuesta.

SOLUCIN

A partir de los valores del ndice de plasticidad IP y del lmite plstico wp, se puede obtener el lmite lquido:

IP = wL - wp

wL = IP + wp = 7 + 17 = 24

Admitiendo que el suelo se encuentra saturado cuando la humedad que contiene es igual a la del lmite lquido wL, el peso especfico ser el peso especfico saturado:

( )1wwV

wWV

WV

WWV

WLddLd

Lssswsatsat +=+=+=

+==

y sustituyendo valores:

3

sat m/kN7'21)124'0(5'17 =+=


18

PROBLEMA 1.5

Un suelo saturado tiene una humedad = 20 % y un peso especfico relativo de las partculas Gs = 2'7. Suponiendo que el peso especfico del agua es w = 10 kN / m3, obtener el peso especfico seco.

SOLUCIN

El peso especfico seco es el cociente entre el peso de las partculas del suelo y el volumen total:

VWs

d =

Adems se sabe que el suelo est saturado (Sr = 1), y en consecuencia, el volumen de huecos es igual al volumen de agua (Vv = Vw) y el volumen total es:

swsv VVVVV +=+=

As pues:

sws

s

sw

w

s

s

sw

w

s

sv

ssd 1

1

WV

WW

WW

VWW

VVW

VW

+

=

+

=

+

=

+==

1GG

G1

1s

ws

wsw

d+

=

+

=

Sustituyendo valores, se obtiene:

3d m/kN53'1712'07'2

107'2=

+=


19

PROBLEMA 1.6

Para la construccin de un terrapln se pretende utilizar un prstamo que compactado con una humedad del 10 % alcanza un peso especfico seco de 19'5 kN / m3. Si el peso especfico relativo de las partculas es 2'7, y suponiendo que w = 10 kN / m3, se pide:

a) Grado de saturacin, ndice de poros y porosidad que tendr ese suelo. b) Para la humedad del 10 %, qu peso especfico seco mximo terico puede

alcanzarse?

SOLUCIN

a) Grado de saturacin, ndice de poros y porosidad del suelo

Se necesita conocer la relacin existente entre el grado de saturacin Sr, la humedad , el peso especfico seco d y el peso especfico relativo de las partculas Gs.

El peso especfico seco es:

vs

ssd VV

WV

W+

==

Como:

wr

w

r

wv

SW

SVV

==

ws

ss

GWV

=


20

entonces:

wr

w

ws

s

sd

SW

GW

W

+

=

Dividiendo numerador y denominador por Ws, y teniendo en cuenta que la humedad viene dada por:

s

w

WW

=

se llega a:

r

s

wsd

SG1

G

+

= (1)

que es la relacin buscada.

Sustituyendo en esta relacin = 0'1, Gs = 2'7, d = 19'5 kN / m3 y w = 10 kN / m3, se obtiene un grado de saturacin igual a 0'702, es decir:

%2'70Sr =

El ndice de poros se define como:

s

v

VV

e =

y el grado de saturacin como:

v

wr V

VS =


21

Puesto que:

s

ss

WV

=

w

ww

WV

=

wss G =

el ndice de poros se puede escribir de la siguiente manera:

r

s

s

s

rw

w

s

v

SG

WS

W

VV

e

=

==

Sustituyendo valores:

385'0702'0

7'21'0e ==

La porosidad se puede obtener de la relacin deducida en el problema 1.1:

278'0385'1385'0

e1e

n ==+

=

es decir:

%2'70Sr = 385'0e =

%8'27n =


22

b) Peso especfico seco para una humedad del 10 %

La ecuacin (1) indica que, para una humedad determinada, el peso especfico seco es mximo cuando el grado de saturacin es mximo, ya que el peso especfico relativo de las partculas no vara.

El mximo grado de saturacin que puede alcanzar un suelo es el 100 %, y por lo tanto, el mximo peso especfico seco ser:

3dmx m/kN26'21

11'07'21

107'2=

+=


23

PROBLEMA 1.7

Tras ensayar en el laboratorio una muestra de suelo, los resultados que arrojaron los ensayos fueron los siguientes: s = 26'5 kN / m3; = 18 kN / m3; e = 1'060; w = 40 % Est saturado el suelo?

Solucin: S est saturado.


24

PROBLEMA 1.8

Un material de prstamo posee in situ un peso especfico seco de 18 kN / m3. Calcular el coeficiente de paso si dicho material se dispondr en obra con un peso especfico seco de 19'5 kN / m3.

SOLUCIN

Supongamos que una unidad de peso de ese material seco ocupa in situ un volumen Vi y que una vez colocada esa unidad en obra, su volumen es Vf.

Se define como coeficiente de paso al cociente:

i

f

VV

Si el peso especfico seco in situ es di, entonces:

dii

1V

=

y si en obra es df, entonces:

dff

1V

=

Por lo tanto, el coeficiente de paso es:

92'05'19

18VV

df

di

i

f==

=


25

PROBLEMA 1.9

Una muestra de suelo ha presentado la siguiente granulometra:

Tamao UNE (mm)

% pasa

50 40 20 10 5 2 1

0'4 0'2 0'1 0'08

100 90'2 80'5 70'8 58'4 38'2 25'2 12'5 8'5 4'3 3'2

Si esa muestra se subdividiese en dos submuestras, una comprendiendo las partculas de tamao superior a 1 mm y otra con las de tamao igual o inferior a 1 mm, calcular el cociente entre el D15 de la primera submuestra y el d85 de la segunda.

SOLUCIN

Supongamos que la muestra tiene un peso de 100 unidades. El peso de la submuestra que comprende las partculas de tamao superior a 1 mm sera:

100 25'2 = 74'8 ud

Para un dimetro D1, cuyo pasa en la muestra inicial era X, el pasa Y ahora es:

8'742'25XY =

El peso de la segunda submuestra sera 25'2 ud, y para un dimetro D2, cuyo pasa en la muestra inicial era Z, el pasa W ahora es:

2'25ZW =


26

10100 1 0'1 0'01

Tamao de las partculas (mm)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Pasa

(%)

0

36'42

21'42

d =

0'7

2

D =

1'

6115 85

Figura 1.2

En el problema Y = 15 % y W = 85 %, y por lo tanto,

X = 74'8 0'15 + 25'2 = 36'42 % Z = 25'2 0'85 = 21'42 %

En la figura 1.2 se tiene representada la curva granulomtrica del suelo. Los porcentajes anteriores corresponden a los dimetros 1'61 mm y 0'72 mm. En consecuencia, el cociente solicitado es:

236'272'061'1

dD

85

15==


27

PROBLEMA 1.10

En la tabla adjunta se reflejan los resultados de ensayos de identificacin de un suelo. Se pide:

a) Representar la curva granulomtrica del suelo. b) Obtener los dimetros D10, D30 y D60 y calcular los coeficientes de uniformidad

y de curvatura. c) Determinar las proporciones de grava, arena, limo y arcilla. d) Clasificar el suelo segn el S.U.C.S.

Tamiz UNE (ASTM) (mm)

% pasa

5 (# 4) 2 (# 10)

0'8 (# 20) 0'4 (# 40) 0'25 (# 60) 0'1 (# 140) 0'08 (# 200)

0'05 0'01 0'002

100 80'0 78'4 75'0 69'0 50'1 43'2 33'0 10'5 6'3

Lmites de Atterberg

LL LP

23'2 15'7


28

SOLUCIN

10 1 0'1 0'01

Tamao de partculas (mm)

120

Pasa

(%)

0'001

100

80

60

40

20

0

D =

0'

162

D =

0'

04

D =

0'0

0875

0'06

36'9

80

6'3

60

30

10

Figura 1.3

a) Curva granulomtrica

Se tiene representada en la figura 1.3.

b) Dimetros D 10, D 30 y D 60 y coeficientes de uniformidad y de curvatura

A partir de la curva granulomtrica del suelo (figura 1.3) se obtiene;

D10 Dimetro eficaz, dimetro por el que pasa el 10 % de suelo. D10 = 0'00875 mm

D60 Dimetro por el que pasa el 60 % de suelo. D60 = 0'162 mm

D30 Dimetro por el que pasa el 30 % de suelo. D30 = 0'04 mm


29

Con estos valores el coeficiente de uniformidad vale:

51'18DDC

10

60u ==

y el coeficiente de curvatura:

13'1DD

DC6010

230

c ==

c) Proporciones de grava, arena, limo y arcilla

Para determinar el contenido de gravas, arenas, limos y arcillas se utilizar la clasificacin por tamaos de las normas DIN:

Arcilla Limo Arena Grava 0'002 mm 0'06 mm 2 mm

Con la curva granulomtrica (figura 1.3) se obtienen los siguientes contenidos:

- Gravas: % pasa 2 mm = 80 % % gravas = 100 - 80 = 20 %

- Arenas: % pasa 0'06 mm = 36'9 % % arenas = 80 - 36'9 = 43'1 %

- Limos: % pasa 0'002 mm = 6'3 % % limos = 36'9 - 6'3 = 30'6 %

- Arcillas: % pasa 0'002 mm = 6'3 % % arcillas = 6'3 %

d) Clasificar el suelo segn el S.U.C.S.

Como el % pasa # 200 (0'08 mm UNE) = 43'2 % < 50 %, el suelo se considera de grano grueso.


30

Lmite lquido (LL)

60

20

0

10

ndice

de pl

astic

idad (

IP)

40

30

50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

CL - ML

0

CL

CHLn

ea A

MH OH

ML OLIP = 7'5LL = 23'2

Figura 1.4

Como el % pasa # 4 (5 mm UNE) = 100 % > 50 % de la fraccin gruesa, el suelo est constituido mayoritariamente por arena (S).

Dado que el % pasa # 200 (0'08 mm) = 43'2 % > 12 %, el suelo se clasifica como SC o SM.

Para la determinacin de las caractersticas de los finos se utilizar la carta de plasticidad de Casagrande.

A partir de los lmites de Atterberg,

LL = 23'2 LP = 15'7 IP = 23'2 - 15'7 = 7'5

se obtiene que los finos se pueden clasificar como arcillas de baja plasticidad (CL) (figura 1.4).

Finalmente el suelo se clasifica como SC, arenas arcillosas de baja plasticidad.


31

PROBLEMA 1.11

En dos suelos diferentes (1 y 2) se realizaron anlisis granulomtricos arrojando los resultados indicados en la tabla adjunta.

Si se mezclan 30 kg del suelo 1 con 60 kg del suelo 2, se pide representar la curva granulomtrica de la mezcla resultante.

Tamiz UNE (mm)

Suelo 1 (% pasa)

Suelo 2 (% pasa)

40 25 20

12'5 10 5 2

0'4 0'08

100 98

94'3 91'1 90'6 87

85'3 82'7 69'3

100 72'2 68

54'4 51'6 39

31'5 23'4 13'7

SOLUCIN

Supongamos un dimetro D (mm) cualquiera y sean g1 el % que pasa por este dimetro en el suelo 1 y g2 el % que pasa del suelo 2.

Como la mezcla tiene un peso total de:

30 + 60 = 90 kg

el % que pasar por el dimetro D (mm) en la mezcla gm ser:

21m g9060g

9030g +=


32

100 10 1 0'1

Tamao de partculas (mm)

100

Pasa

(%)

0'01

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Suelo 2

Suelo mezcla

Suelo 1

Figura 1.5

Aplicando esta frmula se ha obtenido la granulometra reflejada en la siguiente tabla:

Tamiz UNE (mm)

Suelo 1 (% pasa)

Suelo 2 (% pasa)

Suelo mezcla (% pasa)

40 25 20

12'5 10 5 2

0'4 0'08

100 98

94'3 91'1 90'6 87

85'3 82'7 69'3

100 72'2 68

54'4 51'6 39

31'5 23'4 13'7

100 80'8 76'8 66'6 64'6 55'0 49'4 43'2 32'2

La representacin de las curvas granulomtricas de los tres suelos se muestran en la figura 1.5.

Captulo 2

FFLLUUJJOO EENN MMEEDDIIOOSS PPOORROOSSOOSS PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE TTEERRZZAAGGHHII


34

Captulo 2 - Flujo en Medios Porosos Principio de Terzaghi

35

PROBLEMA 2.1

El permemetro de carga constante, cuyo esquema se indica en la figura 2.1, se rellena en una altura de 2'5 m con una arena que tiene un coeficiente de permeabilidad k = 410-3 m/s. Se pide calcular:

a) Leyes de alturas geomtricas, de presin y piezomtricas. b) Caudal de agua que atravesar el permemetro.

1 2

3

4Q

z

2'5 m

1'5 m

0'35 m

Figura 2.1


36

SOLUCIN

a) Leyes de alturas geomtricas, de presin y piezomtricas

El potencial (carga hidrulica o altura total) de un punto se obtiene como suma de la altura geomtrica, de la altura de presin y de la altura de velocidad del agua:

g2vu

zh2

w

+

+=

siendo:

z: Altura geomtrica respecto a un plano arbitrario. u: Presin del agua o presin intersticial. v: Velocidad del agua. g: Aceleracin de la gravedad. w: Peso especfico del agua.

La altura piezomtrica es igual a la altura geomtrica ms la altura de presin:

w

uzh

+=

En Geotecnia, al despreciar la velocidad del agua, coinciden la altura piezomtrica con la altura total o potencial hidrulico.

Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geomtricas en la superficie del agua del depsito (figura 2.1), y puesto que la prdida de carga total se produce en el suelo ya que se pueden despreciar las prdidas de carga entre los puntos 4 y 3 y entre los puntos 2 y 1, los potenciales de los puntos 1, 2, 3 y 4 son:


37

2'5 m

1 2

1'5 m

4

3

0'35 m

Altura (m)1'5

z (m)

4

Altura de presinAltura geomtricaAltura piezomtrica

z

Figura 2.2

Puntos 1 y 2

m 01000uzh

w

111 =+=

+=

0hh 21 ==

w

2

w

222

u0uzh

+=

+=

En consecuencia, la presin del punto 2 es la atmosfrica (u2 = 0)

Puntos 3 y 4:

m 41004uzh

w

444 =+=

+=

m 4hh 34 ==

w

3

w

333

u5'2uzh

+=

+=

En consecuencia, la presin en el punto 3 es u3 = 15 kN / m2.


38

Siendo el flujo vertical y descendente y la seccin del permemetro constante, las variaciones de las alturas de presin, geomtricas y piezomtricas son lineales con z. En la figura 2.2 se muestra grficamente las leyes.

b) Caudal

La prdida de carga entre los puntos 3 y 2 es:

m404hhh 2332 ===

y el gradiente existente entre esos dos puntos:

6'15'2

4Lhi ==

=

El rea de la seccin del permemetro es:

222

m 0962'0435'0

4A =pi=pi=

Aplicando la ley de Darcy, el caudal que atraviesa el permemetro es:

/sm 1016'66'11040962'0ikAQ 34-3 ===


39

PROBLEMA 2.2

En la figura 2.3 se muestra la seccin de una presa de hormign cimentada sobre un terreno aluvial arenoso que posee una permeabilidad k = 810-5 m/s y un peso especfico saturado de 20'5 kN/m3, y en la que se pretende analizar los efectos de una pantalla de impermeabilizacin aguas abajo de la misma (caso B). Para ello, se pide:

a) Calcular el caudal infiltrado. b) Obtener la distribucin de subpresiones en la cimentacin de la presa. c) Calcular el gradiente mximo de salida y el coeficiente de seguridad frente al

sifonamiento.

8 m

108765420 1 2 m31 m

2 mBA

NIVEL IMPERMEABLE

NIVEL IMPERMEABLE

8765420 1 3

9

BA

z

8 m

2 m

Caso B

Caso A

2 m1 m

6 m

z

Figura 2.3


40

SOLUCIN

a) Caudal infiltrado

En el problema se proporcionan las redes de flujo (figura 2.3) para ambos casos.

Dibujada la red de flujo, el caudal infiltrado a travs de un medio permeable saturado y una vez establecido el rgimen estacionario, se obtiene a partir de la siguiente expresin:

Hn

nkQe

t =

donde:

k: Permeabilidad del terreno. nt: Nmero total de tubos de corriente de la red de flujo. ne: Nmero total de intervalos o saltos existentes entre

equipotenciales, desde la equipotencial inicial hasta la equipotencial ltima del problema.

H: Prdida de carga total o diferencia de potencial entre la primera y la ltima equipotencial del problema.

En ambas situaciones, la primera equipotencial es la superficie sumergida del terreno aguas arriba; la ltima equipotencial es la superficie sumergida del terreno aguas abajo.

Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geomtricas en la base de la cimentacin, el potencial hidrulico en un punto cualquiera Z, viene dado por:

zuh

w

zz +

=

siendo z la altura geomtrica de dicho punto y uz la presin intersticial existente en dicho punto.


41

En los dos casos del problema, el potencial en el punto A (figura 2.3), que pertenece a la equipotencial inicial del problema, es conocido ya que la presin intersticial es la correspondiente a una columna de agua de 8 metros de altura:

m 10m2m8zuh Aw

AA =+=+

=

Del mismo modo, en ambos casos, cualquier punto de la equipotencial ltima del problema, como B, posee un potencial hidrulico;

m3m2m1zuh Bw

BB =+=+

=

En consecuencia, en ambos casos, la prdida de carga total es:

m7m3m10hhH BA ===

Para cada uno de los casos, los datos existentes y el caudal obtenido con la expresin anterior son los siguientes:

Caso k (m/s)

nt ne H (m)

Q (m3/s/m)

A B

810-5 810-5

4 4

12 14

7 7

1'8610-4 1'610-4

b) Distribucin de subpresiones

En un punto del cimiento de la presa, se denomina subpresin a la presin intersticial existente en dicho punto. En el problema se pide una distribucin o ley que proporcione la presin intersticial en cualquier punto del cimiento, pudiendo obtenerse matemticamente, pero ello se sale del alcance del texto. En su lugar, se obtendrn los valores de las presiones intersticiales en algunos puntos del cimiento y se supondr que la variacin de presiones intersticiales entre dos puntos consecutivos es lineal.


42

Puesto que las redes de flujo han sido dibujadas de manera que las figuras conformadas entre equipotenciales y lneas de corriente son aproximadamente cuadrados curvilneos, la prdida de carga entre dos equipotenciales sucesivas es siempre la misma e igual a:

en

Hh =

As pues, se tendr:

Caso ne H (m)

h (m)

A B

12 14

7 7

0'583 0'5

Conocido el potencial del punto A, el potencial en un punto cualquiera Z es igual al potencial del punto A menos la prdida de carga existente entre ambos puntos.

Si el punto Z se sita en la cimentacin de la presa ( z = 0 ) y pertenece a una equipotencial dibujada en el problema, se debe verificar que:

hn10hnhuzuh Aw

z

w

zz ==

=+

=

donde n es el nmero de saltos existentes entre la equipotencial del punto A y la equipotencial del punto Z. Esta expresin permite obtener la presin intersticial en el punto Z:

( ) 2wz m/Nk hn10100hn10u ==

En los puntos de interseccin de las equipotenciales con el cimiento, la expresin anterior proporciona los siguientes valores de la subpresin:

Punto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 1'5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10'5 A uz 91'25 88'34 82'51 76'68 70'85 65'02 59'19 53'36 47'53 41'7 38'78 n 1'5 2 3 4 5 6 7 8 8'3 B uz 92'5 90 85 80 75 70 65 60 58'5


43

Puesto que tambin se conoce el potencial de la ltima equipotencial, el problema podra haberse resuelto diciendo que el potencial en el punto Z es el potencial del punto B ms la prdida de carga existente entre ambos puntos:

hn3hnhzuh Bw

zz +=+=+

=

c) Gradiente mximo y coeficiente de seguridad frente al sifonamiento

Cuando se viaja a lo largo de una lnea de corriente, pasando de un punto situado en una equipotencial a otro punto situado en la siguiente equipotencial, el gradiente medio existente entre dichos puntos es:

lhie

=

donde h es la prdida de carga existente entre ambas equipotenciales y l es la distancia recorrida a lo largo de la lnea de corriente.

Si se observan las redes de flujo, las distancias recorridas desde la penltima equipotencial hasta la ltima (situada en la superficie del terreno sumergida de aguas abajo) varan segn la lnea de corriente seguida. Puesto que el problema pide el gradiente mximo y siendo h constante e independiente de la lnea de corriente seguida, segn la expresin anterior se deber tomar la distancia mnima existente entre la penltima y la ltima equipotencial y ello se produce en la lnea de corriente que sigue el contorno del paramento de la presa.

Por otro lado, tambin se puede observar que, aguas abajo, las lneas de corriente intersectan verticalmente a la superficie del terreno sumergida (ltima equipotencial) y, en consecuencia, siendo el terreno arenoso, puede producirse la inestabilidad conocida como sifonamiento y cuyo coeficiente de seguridad se define como:

e

c

iiF =


44

siendo

05'110

5'10iw

c ==

=

el denominado gradiente crtico.

Como se observa, el coeficiente de seguridad es mnimo para el gradiente mximo de salida.

Midiendo con un escalmetro en las lneas de corriente las distancias mnimas y a partir de las expresiones anteriores, se obtienen los siguientes valores:

Caso h (m)

L (m)

ie ic F

A

0'583

1'2

0'485

1'05

2'16 B 0'5 3 0'166 1'05 6'32

Como conclusin del problema, la colocacin de la pantalla produce los siguientes efectos:

1. Disminuye el caudal infiltrado.

2. El gradiente de salida es menor y consecuentemente la seguridad frente al sifonamiento es mayor.

3. Las subpresiones en la cimentacin de la presa resultan ser ligeramente mayores.


45

PROBLEMA 2.3

Durante un periodo de lluvias se produjo la filtracin dibujada en el muro indicado en la figura 2.4 y el cual presentaba un drenaje vertical en su trasds. Sabiendo que la permeabilidad de la arena es k = 3 10-1 m / s, que en ningn momento entr en carga el sistema de drenaje y que la presin intersticial en el punto M es igual a 60 kN / m2, se pide:

a) Caudal circulante por la seccin CC' del dren. b) Distribucin de presiones intersticiales en el plano pi.

B

C

D

E

F

GH

I

A

M

6'5 m

C'C

z

pi

1'5 m

NIVEL IMPERMEABLE

Figura 2.4


46

SOLUCIN

a) Caudal circulante por la seccin CC' del dren

Se conocen las presiones intersticiales en el punto A (nula) y en el punto M (uM = 60 kN/m2) y ambos estn situados en equipotenciales (primera y tercera), (figura 2.4).

Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geomtricas en la superficie del nivel impermeable, los potenciales de los puntos A y B son:

m601060

zuh

m88100

zuh

Mw

MM

Aw

AA

=+=+

=

=+=+

=

En consecuencia la diferencia de carga existente entre los dos puntos es:

m268hh MA ==

implicando que la prdida de carga existente entre dos equipotenciales consecutivas es h = 1 m.

Como en el problema anterior, el caudal infiltrado se obtiene a partir de la siguiente expresin:

hnkHn

nkQ t

e

t ==

El caudal circulante por la seccin CC' (figura 2.4) del dren es el correspondiente a dos tubos de corriente:

m/s/m10612103Q 311 ==


47

b) Distribucin de presiones intersticiales en el plano pi

Las presiones intersticiales en el plano pi se obtienen, como en el problema anterior, en los puntos de interseccin de dicho plano con las distintas equipotenciales. Las cotas de dichos puntos se miden en la figura respecto al plano horizontal de comparacin situado en el cimiento del muro (figura 2.4).

Los valores que se obtienen son los siguientes:

Punto A

B C D E F G H I

z (m) u (kN/m2)

8'0 0

6'5 5

5'2 8

4'0 10

2'9 11

1'9 11

1'1 9

0'5 5

0'0 0

Esta distribucin se ha dibujado en la figura 2.5.

Como el drenaje no entra en carga, es decir, las presiones del agua son nulas, se puede demostrar que la separacin vertical entre equipotenciales en el dren es siempre la misma. Obtngase que esa distancia es igual a 1 metro.

HI

E

F

G

B

C

D

A

pi

Figura 2.5


48

PROBLEMA 2.4

Un terreno est formado por una alternancia de arenas y de arcillas. Los niveles arenosos tienen una potencia de 10 cm y una permeabilidad de 710-2 cm / s, mientras que los arcillosos tienen una potencia de 2 m y una permeabilidad de 410-6 cm / s. Calcular la relacin entre los coeficientes de permeabilidad horizontal y vertical que existe en una unidad formada por un paquete de arena y por otro de arcilla.

S O L U C I N

Si se tiene un sistema de n niveles horizontales, la permeabilidad equivalente para flujo horizontal viene dada por la expresin:

e

ke = k = k

i

n

1i=

i

n

1i=heq

i

siendo ei y ki el espesor y el coeficiente de permeabilidad del nivel i, respectivamente.

Para la unidad del enunciado, la permeabilidad equivalente es:

cm/s 103.3 = cm 200 + cm 10

cm/s104cm 200 + cm/s 107cm 10 = k 3

62

h

Si el flujo es vertical, la permeabilidad equivalente es:

ke

e = k = k

i

i

i

n

1=i

n

1=iveq


49

Para la unidad del problema

cm/s 102'4 =

104cm 002

+ 107cm 10

cm 200 + cm 10 = k 6

62

v

La relacin pedida es:

7'785 = 102'4103'3

=

kk

6

3

v

h

De estos resultados se pueden extraer las siguientes conclusiones:

1. La permeabilidad horizontal equivalente est ms prxima a la permeabilidad de las arenas, a pesar de que su potencia es muy inferior a la potencia de los niveles arcillosos.

2. La permeabilidad vertical equivalente es prcticamente la permeabilidad de las arcillas.

3. Al igual que en el problema, en terrenos naturales depositados horizontalmente, es muy normal que la permeabilidad horizontal sea muy superior a la vertical.

4. A efectos prcticos, por ejemplo, en agotamientos de excavaciones, se deduce la importancia que pueden tener en los caudales a bombear pequeos niveles arenosos no detectados con la perforacin de los sondeos.


50

PROBLEMA 2.5

Obtener y representar grficamente las leyes de presiones totales, intersticiales y efectivas en el terreno indicado en la figura 2.6.

Las propiedades geotcnicas del terreno son:

sat (kN/m3)

d (kN/m3)

Grava Arena

22 20

19

4 m

Arena

Roca

1 m

5 m

Gravasz

N.F.

Figura 2.6

SOLUCIN

Adoptemos el eje de referencia z con su origen en la superficie del terreno y con sentido positivo hacia abajo. Sea un plano cualquiera paralelo a la superficie del terreno situado a una profundidad z (figura 2.7). La presin total en ese plano () es la que debe existir en dicho plano para que el terreno situado por encima de l est en equilibrio. En el problema, la presin total a una profundidad z es la que equilibra el peso del terreno existente por encima.


51

z

Figura 2.7

En un punto del terreno, la presin intersticial (u) es la presin que tiene el agua. Por debajo del nivel fretico, la distribucin de presiones intersticiales ser la hidrosttica ya que el agua est en reposo. Por encima del nivel fretico la presin intersticial es la atmosfrica (nula) ya que siendo gravas pueden despreciarse los efectos capilares.

Cuando las presiones totales e intersticiales estn determinadas, las presiones efectivas (') podrn ser calculadas aplicando el principio de Terzaghi:

' = - u

Las distribuciones de presiones totales, intersticiales y efectivas son:

0 z 4

A una profundidad z, la presin total es la debida a un espesor z de gravas secas.

2gravad m/kNz19z ==

0u =

2m/kNz19u' ==


52

10

z (m)60 138 198

4

510 88 98

76

u, , (kN / m )2

'u

Figura 2.8

4 z 5

A una profundidad z, la presin total es la debida a un espesor de 4 metros de gravas secas y a un espesor (z - 4) de gravas saturadas.

2gravasat

gravad m/kN12z22)4z(4 =+=

2w m/kN40z10)4z(u ==

2m/kN28z12u' +==

5 z 10

A una profundidad z, la presin total es la debida a un espesor de 4 metros de gravas secas, a un espesor de 1 metro de gravas saturadas y a un espesor (z 5) de arenas saturadas.

2arenasat

gravasat

gravad m/kN2z20)5z(14 =++=

2w m/kN40z10)4z(u ==

2m/kN38z10u' +==

En la figura 2.8 se representan grficamente las distribuciones calculadas.


53

PROBLEMA 2.6

En el terreno esquematizado en la figura 2.9, se sabe que el nivel piezomtrico en las gravas se sita 3 m por encima del nivel fretico superficial. Se pide:

a) Nivel piezomtrico en las gravas que provocara el levantamiento de los paquetes de arcillas.

b) Leyes de presiones efectivas en los paquetes de arcillas suponiendo que se ha establecido un flujo permanente.

Las propiedades geotcnicas del terreno son:

Terreno (%)

Gs k (m/s)

Arcilla 1 Arcilla 2

25 30

2'75 2'75

10-7 210-7

Gravas

1'5 m

Arcilla 2

Arcilla 1

Agua

z

2 m

4 m

A

C

B

3 m

Figura 2.9


54

SOLUCIN

a) Nivel piezomtrico en las gravas que provocara el levantamiento de los paquetes de arcillas

Las gravas constituyen un acufero confinado. Si se perforase un pozo, al alcanzar el techo del nivel de gravas, el agua subira 3 metros por encima del nivel fretico (figura 2.9).

Puesto que las gravas estn a presin y confinadas por las arcillas, puede producirse el levantamiento de los paquetes de arcilla si la presin intersticial en el techo del nivel de gravas es igual a la presin total ( = u).

En principio, el clculo de dicha presin requiere la determinacin de los pesos especficos saturados de las arcillas:

Arcilla 1:

e = G = 2'75 0'25 = 0'687

sat = 20'37 kN/m3

Arcilla 2:

e = G = 2'75 0'30 = 0'825

sat = 19'59 kN/m3

La presin total en el techo de las gravas es:

= 1'5 10 + 2 20'37 + 4 19'59 = 134'1 kN/m2

Si = u = 134'1 kN/m2, ello implica que la presin intersticial en el techo de las gravas sea la correspondiente a una columna de 13'41 m de altura, es decir, 5'91 m por encima del nivel fretico.


55

b) Leyes de presiones efectivas en los paquetes de arcillas

En principio se debe calcular la distribucin de presiones intersticiales.

En el problema se indica que se ha establecido un flujo estacionario. Adoptando el origen del eje z en la superficie del terreno y con el sentido hacia abajo (figura 2.9), el potencial en un punto cualquiera A de la superficie del terreno es:

m5'105'1zuh Aw

AA ==

=

y en un punto cualquiera B del techo de las gravas:

m5'465'10zuh Bw

BB ==

=

(Ntese que al adoptar el sentido positivo del eje z hacia abajo, las alturas geomtricas se deben restar en la expresin del potencial hidrulico).

Por lo tanto, la diferencia de potencial existente entre los puntos B y A es:

hB hA = 3 m

Como el terreno es estratificado y el flujo es vertical, podemos reemplazarlo por un terreno homogneo con una permeabilidad equivalente:

s/m105'1

1024

102

42

ke

ek 7

77i

i

iv

=

+

+==

El gradiente existente entre el techo del nivel de gravas y la superficie del terreno es:

m5'063i ==


56

y aplicando la ley de Darcy, el caudal que circula por un tubo vertical de seccin unidad vale:

s/m5'0105'1SQ 7

=

Como este caudal debe ser igual al que circula por ese mismo tubo de seccin unidad en el terreno real, y por continuidad, debe ser el mismo en ambos niveles de arcilla, se debe verificar:

27

177 i102i105'0105'1

SQ

===

siendo i1 e i2 los gradientes existentes en los niveles 1 y 2 de arcillas, respectivamente.

De la expresin anterior, se deduce que:

75'0i1 = 375'0i2 =

Ya se tienen los datos necesarios para calcular las presiones intersticiales.

0 z 2

El potencial en un punto situado a una profundidad z es:

zuhw

=

Se conoce el potencial del punto A:

m5'105'1hA =+=

y se debe cumplir que:

z75'05'1zi5'1hhzuh 1Aw

+=+=+=

=


57

Por consiguiente:

z5'1715)z75'0z5'1(u +=++= 2m/kN

En el punto C, 2CC m/kN50um 2z ==

2 z 6

El potencial del punto C es:

m325zuh Cw

CC ==

=

Como en el apartado anterior, el potencial de un punto cualquiera situado a una profundidad z deber cumplir:

)2z(375'03)2z(i3hhzuh 2Cw

+=+=+=

=

As pues:

[ ] 2m/kNz75'135'22)2z(375'0z3u +=++=

En el punto B, m 6z = , la expresin anterior proporciona el valor:

2m/kN105u =

correspondiente a la presin de una columna de agua de 10'5 m.

Resta ahora calcular las presiones totales y aplicar a continuacin el principio de Terzaghi.


58

1055015

u'

Arcilla 1

Arcilla 1

5'74

29'1

, u ( kN / m )21.5 m

4 m

2 m

N.F.

z (m)

z

Figura 2.10

0 z 2

2m/kNz37'2015z37'20105'1 +=+=

2m/kNz5'1715u +=

2m/kNz87'2u' ==

2 z 6

2m/kNz59'1956'1659'19)2z(37'202105'1 +=++=

2m/kNz.75'135'22u +=

2m/kN94'5z84'5u' ==

En la figura 2.10 se han representado las distribuciones de presiones efectivas e intersticiales.

Obsrvese que al existir un flujo de agua, la distribucin de presiones intersticiales difiere de la hidrosttica.


59

PROBLEMA 2.7

Un estrato acufero de 4 m de potencia est confinado superiormente por un estrato de arcilla de 3 m de espesor e inferiormente por un estrato rocoso. Los pesos especficos de la arena y de la arcilla son 19'8 kN / m3 y 18'2 kN / m3, respectivamente. Determinar la presin efectiva en el techo y en el muro del estrato arenoso cuando su nivel piezomtrico se sita:

a) 2 m por debajo de la superficie del terreno. b) 2 m por encima de la superficie del terreno.

Arenas

Roca

Arcillas

Caso a

Caso b

2 m

Arcillas

4 m

1 m

Roca

Arenas

2 m

3 m

4 m

Figura 2.11

Solucin: ' (kN/m2)

Caso Techo Muro

a

44'6

83'8 b 4'6 43'8


60

PROBLEMA 2.8

Un campo de ftbol est asentado sobre un terreno cuyo corte se adjunta en la figura 2.12. Si el estrato de calizas tiene una gran potencia y una alta permeabilidad, se pide: a) Intensidades horarias en mm / h, suponiendo una lluvia constante, que inician

el encharcamiento del campo de ftbol si: i. No estn saturadas las arenas limosas superiores. ii. Cuando se ha establecido ya el flujo hacia las calizas.

b) Si en un instante dado se tiene un encharcamiento de 20 cm y se ha establecido el flujo hacia las calizas, calcular en esta situacin las distribuciones de presiones totales y efectivas en los niveles arenosos.

Se supondr que la permeabilidad de las arenas limosas es independiente de su grado de saturacin y no existe capilaridad.

2 m

Calizascarstificadas

Arenas limosas

Arenas limosascon bolos y gravas

z

2'5 m

Figura 2.12

Las caractersticas del terreno son:

Terreno sat (kN/m3)

k (m/s)

Arenas limosas Arenas limosas con bolos y

gravas

19 21

10-5 10-6


61

z

2 m

Saturado

A

B

Figura 2.13

SOLUCIN

a) Intensidades horarias que inician el encharcamiento del campo de ftbol

Por continuidad, el encharcamiento se producir cuando la intensidad de la lluvia (caudal unitario) sea igual al mximo caudal unitario que puede infiltrarse en el terreno.

i. No estn saturadas las arenas limosas superiores

En esta situacin se est infiltrando el agua en el terreno pero la lnea de saturacin est en el nivel de arenas limosas (figura 2.13).

En cualquier punto de la superficie del terreno la presin del agua es nula (atmosfrica), al igual que en la lnea de saturacin ya que en el enunciado se indica la ausencia de capilaridad.

Si se adopta el origen del eje z en la superficie del terreno y con sentido positivo hacia abajo, el potencial de un punto B cualquiera de la lnea de saturacin es:

BBB

BB z0zu

zh =+=

+=


62

y el potencial de un punto A cualquiera de la superficie del terreno es:

000uzh AAA =+=+=

Por tanto, el gradiente queda:

1z

z

Lhhi

B

BBA==

=

Para este gradiente, aplicando la ley de Darcy, la intensidad pedida es:

h/mm361m/mm1

10h/s

13600

s/m10ikAQI

35

====

ii. Cuando se ha establecido ya el flujo hacia las calizas

En esta situacin, y como se indica en el enunciado que la permeabilidad de las calizas es muy elevada, las presiones del agua en este estrato sern nulas y en particular en el contacto con el nivel de arenas limosas con bolos y gravas.

Se tiene pues (figura 2.14):

000uzh AAA =+=+=

m5'40zuzh BBBB =+=+=

Por tanto, el gradiente es:

15'45'4

Lhhi BA ===


63

B

Az

2 m

2'5 m

Figura 2.14

Se tiene ahora un flujo vertical en un medio estratificado, pudindose sustituir por un terreno homogneo con una permeabilidad equivalente vertical:

s/m1067'1

105'2

102

5'4k 6

65

V

=

+

=

En este caso, la intensidad pedida es:

h/mm61m/mm1

10h/s

13600

s/m1067'1ikAQI

36

====

b) Con un encharcamiento de 20 cm y flujo hacia las calizas, distribuciones de presiones totales y efectivas

m2'02'00uzh AAA =+=+=

m5'40zuzh BBBB =+=+=


64

A

B

0'2 m

Arenas limosas

Arenas limosascon bolos y gravas2'5 m

2 m

z

Figura 2.15

El gradiente es:

04'15'47'4

Lhhi BA ===

y el caudal resultante es ahora:

2366V m/s/m1074'104'11067'1ikA

Q

===

Puesto que debe verificarse que:

1'74 10-6 = k1 i1 = k2 i2

resultan los siguientes gradientes:

i1 = 0'174 (nivel de arenas limosas) i2 = 1'740 (nivel de arenas limosas con bolos y gravas)


65

z (m)

u

u, , (kN / m )2

'

4'5

2

0-0'2 18'5 4021'5 92'50

Figura 2.16

Siguiendo un proceso similar al del problema 2.6, se obtienen finalmente las siguientes leyes de presiones totales, intersticiales y efectivas, que han sido representadas en la figura 2.16:

0 z 2

2m/kNz192z19102'0 +=+=

2m/kNz26'82u +=

2m/kNz74'10u' ==

2 z 4'5

2m/kN2z2121)2z(192102'0 =++=

2m/kNz4'73'33u =

2m/kN3'35z4'28u' ==


66

PROBLEMA 2.9

En el terreno mostrado en la figura 2.17, existe un flujo de agua vertical y ascendente. Una vez establecido el rgimen estacionario y sabiendo que la presin intersticial en el punto A es uA = 26'5 kN/m2, se pide calcular:

a) Caudal circulante b) Presiones efectivas en los puntos A y B

Las caractersticas geotcnicas del terreno son:

Terreno

sat (kN /m3)

k (m/s)

Arena 1 Arena 2

20 21

510-3 10-3

1 m

Arena 1

N.F.

1'5 m

1 m

1 mArena 2B

A

Figura 2.16

Solucin: a) Q = 510-4 m3/s/m2 b) 'A = 13'5 kN/m2

'B = 28'5 kN/m2


67

PROBLEMA 2.10

En la balsa indicada en la figura 2.18, se pide:

a) Completar la red de flujo, indicndose las equipotenciales y las lneas de corriente de contorno.

b) Si la permeabilidad del terreno es k = 5 10-6 m/s y sabiendo que en el punto B se ha medido una presin intersticial de 230 kN/m2, estimar las prdidas que tendr la balsa.

c) Si el peso especfico saturado del terreno es 22 kN/m3, calcular en el punto A la presin efectiva y definir la velocidad del agua.

Nota: La resolucin del ejercicio queda limitada a la utilizacin de los datos acotados en la figura 2.18.

11 m

A

B

NIVEL IMPERMEABLE

42 m

20 m

Figura 2.18


68

11 m

ab 0'5

A

C

B

a

b

NIVEL IMPERMEABLE

42 m

20 mz

l 1

l 2

e2

e1

Figura 2.19

SOLUCIN

a) Red de flujo. Equipotenciales y lneas de corriente

El fondo de la balsa es una superficie equipotencial. El contacto con el nivel impermeable y el eje de simetra son lneas de corriente.

Para completar la red de flujo (figura 2.19), se debe comenzar prolongando la lnea de corriente que pasa por el punto B hasta el fondo de la balsa, cuya interseccin debe ser ortogonal ya que se trata de una superficie equipotencial.

Se hace necesario a continuacin trazar la lnea de corriente l1 para formar los primeros cuadrados curvilneos. La insercin de las equipotenciales e1 y e2 completan la formacin de los cuadrados curvilneos en estos dos tubos de corriente formados. Finalmente, es preciso trazar la lnea de corriente l2 que delimita el tercer tubo de corriente y un cuarto y ltimo tubo de corriente incompleto y en el que la relacin b / a 0'5.

En total, resultan 3'5 tubos de corriente.

La condicin de perpendicularidad entre lneas de corriente y equipotenciales es muy restrictiva limitando mucho el trazado.


69

b) Prdidas de la balsa

Si se adopta el origen del eje z en el fondo de la balsa y el sentido positivo hacia abajo (figura 2.19), la prdida de carga entre el punto C y el punto B situado en el fondo de la balsa es:

m8)2311(20)uu()zz(h BCCB =+=

+=

ya que la presin intersticial en B es 230 KN/m2.

Esta prdida de carga es la que existe entre la primera y la segunda equipotencial, por lo que el caudal que se infiltra vale:

m/s/m104'185'3105hNkQ 346t ===

Y puesto que hay simetra se debe adoptar un caudal doble:

m/s/m108'2Q 34=

c) Presin efectiva y velocidad del agua en el punto A

La tensin total en el punto A es :

2satA m/kN1034101122421142 =+=+=

A y B estn en la misma equipotencial, luego:

BB

AA z

uz

u

=


70

de donde:

2A

A m/kN450u230)2042(u =

+=

Y por tanto:

2A m/kN5844501034' ==

El vector velocidad en el punto A se define con su mdulo, direccin y sentido.

Puesto que el punto A pertenece al eje de simetra y ste a su vez es una lnea de corriente (figura 2.19), la direccin y sentido de la velocidad en este punto son vertical y hacia abajo, respectivamente.

Si la tensin efectiva en A es:

2A m/kN584' =

y sabiendo que:

2A m/kN584ziz'' =+=

entonces el gradiente en el punto A es:

19'04210

4212584i ==

Finalmente, aplicando la ley de Darcy, el mdulo del vector velocidad es:

s/m105'919'0105ikv 76 ===


71

PROBLEMA 2.11

En la pantalla de la figura 2.10 se conoce la solucin de equipotenciales indicada. Si el coeficiente de permeabilidad del terreno es igual a 5 10-6 m/s, se pide:

a) Dibujar la red de corriente. b) Calcular el caudal infiltrado. c) Presin intersticial media en el pie de la pantalla.

TERRENO IMPERMEABLE

15 m 3 m 6 m 15 m1

+30

+20+21

+11

+5TE

RREN

O IMPE

RMEA

BLE

Figura 2.20

Solucin: a) Se forman 5'5 tubos de corriente (nt = 5'5, ne =18, h = 0'5 m) b) 1'37 10-5 m3/s/m c) 142'5 kN/m2


72

PROBLEMA 2.12

En el terreno que se muestra en la figura 2.21 se pretende realizar una excavacin al abrigo de pantallas apoyadas en el nivel de gravas. El nivel fretico se encuentra en la superficie del terreno.

Sabiendo que el nivel piezomtrico en las gravas coincide con el nivel fretico y suponiendo que ambos permanecen constantes durante la excavacin, se pide:

a) Calcular la profundidad mxima de excavacin d que se puede alcanzar si en todo momento se mantiene con bombeo el nivel de agua en el fondo de la excavacin.

b) Para una profundidad d = 5 m, determinar el tiempo que tardara el agua en alcanzar una altura de 4'5 m en la excavacin si se deja de bombear.

10 m

Gravas

Arenas limosas

d

N.F.

Figura 2.21


Terreno sat (kN/m3)

k (m/s)

Arenas limosas

21

210-4


73

SOLUCIN

a) Profundidad mxima de excavacin d

Puesto que el nivel piezomtrico en las gravas coincide con el nivel fretico y ambos permanecen invariables durante la excavacin, los potenciales de los puntos A, C y D sern iguales (figura 2.22). No se producir flujo alguno en el exterior de la excavacin.

Por debajo de la excavacin, las condiciones son diferentes. Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geomtricas en el contacto entre las gravas y arenas, el potencial del punto A es:

m10100hzuh CAw

AA =+==+

=

Cuando la profundidad de la excavacin sea d, el potencial de un punto cualquiera punto B situado en el fondo de la excavacin ser:

m)d10()d10(0zuh Bw

BB =+=+

=

En consecuencia, si d > 0 existir una diferencia de carga hidrulica entre el nivel de gravas y el fondo de la excavacin igual a:

d)d10(10hhH BA ===

producindose un flujo vertical y ascendente en las arenas limosas, pudindose originar el fenmeno de inestabilidad hidrulica conocido como sifonamiento

El coeficiente de seguridad frente al sifonamiento se define como:

e

c

iiF =


74

d

10 m

N.F.

A

B

z

D

C

Seccin A

Arenaslimosas

Gravas

Figura 2.22

siendo ic el gradiente crtico que se obtiene como:

1'11011i

wc ==

=

El gradiente existente en las arenas limosas para una profundidad de excavacin d es:

d10d

lHie

=

=

y por lo tanto,

d10d1'1F

=

Tericamente, la inestabilidad se alcanza para un valor del coeficiente de seguridad igual a la unidad. Segn la expresin anterior, ello se produce para:

m24'5d =


75

b) Para d = 5 m, tiempo que tardara el agua en alcanzar una altura de 4'5 m en la excavacin si se deja de bombear

Si se deja de bombear, el nivel del agua en la excavacin subir y consecuentemente el gradiente variar con el tiempo.

Sea x el nivel de agua existente en la excavacin en el instante t (figura 2.23). En este momento, el gradiente es:

5x5

lHi ==

y aplicando la ley de Darcy, el caudal que se infiltra es:

5x5AkiAkQ ==

siendo A la seccin de la excavacin.

En el instante t + dt, la altura de agua en la excavacin ser x + dx, y en el espacio de tiempo dt el volumen de agua que ha entrado en la excavacin (figura 2.23) es:

dxAdV = (1)

Por continuidad, este volumen deber ser igual al volumen infiltrado:

dt5

x5AkdtQdV == (2)

Igualando (1) y (2) se llega a la siguiente ecuacin diferencial:

dt5k

x5dx

=


76

5 m

N.F.

A

x

dx

5 m

Figura 2.23

cuya integracin es inmediata:

=

=

=

=

t

0t

5'4x

0xdt

5k

x5dx

Para la permeabilidad de las arenas limosas dada en el enunciado, se obtiene:

h16s565.57t ==


77

PROBLEMA 2.13

En el terreno indicado en la figura 2.24, se quiere realizar una excavacin al abrigo de unas pantallas que alcancen el nivel inferior de gravas. Suponiendo que la presin intersticial en el plano AB es constante e igual a 150 kN / m2, se pide:

a) Mxima profundidad de excavacin que puede realizarse con un coeficiente de seguridad de 3 frente al sifonamiento.

b) Para la situacin anterior, calclese la distribucin de presiones intersticiales en el intrads de la pantalla.

15 m

Gravas

5 mA B

Arenas limosas

Arenas finas

Figura 2.24


Terreno sat (kN/m3)

k (m/s)

Arenas limosas Arenas finas

21'5 21'0

210-6 410-5


78

5 m Arenas finas

Gravas

Arenas limosas

15 - H

H

i

i

z

C

A

k1

2

1

2k

Figura 2.25

SOLUCIN

a) Mxima profundidad de excavacin

Para verificar la seguridad frente al sifonamiento es necesario calcular los gradientes existentes.

En el problema propuesto, se tiene un flujo vertical y hacia arriba desde el nivel de gravas hasta el fondo de la excavacin, a travs de un medio estratificado, circulando el agua con un gradiente i1 en las reas limosas y con un gradiente i2 en las arenas finas (figura 2.25).

El medio estratificado puede sustituirse por un medio homogneo de permeabilidad equivalente kv. Adems, si Q es el caudal que circula por un tubo vertical de seccin unidad e i es el gradiente existente entre el techo de las gravas y el fondo de la excavacin, debe cumplirse que:

2211v ikikikQ ===


79

es decir:

1

v1 k

iki = (1)

2

v2 k

iki =

Si la profundidad de excavacin es H, la permeabilidad equivalente es:

s/m10

45'0

2H15

H20

1045

102H15

5H15k 6

56

v

+

=

+

+= (2)

y el gradiente existente entre el techo de las gravas y el fondo de la excavacin es:

H205Hi

= (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), y despejando i1 se obtiene:

H25'155Hi1

=

Para que el coeficiente de seguridad frente al sifonamiento en el nivel de arenas limosas sea igual a 3, se requiere que:

H25'155H

15'1i

i3F1

crt

===

de donde resulta una altura de excavacin:

m84'7H =


80

resultando para esta altura los siguientes gradientes:

383'0i1 = 019'0i2 =

Ntese que el sifonamiento del paquete inferior de arenas finas implica el sifonamiento del paquete superior de arenas limosas. En efecto, puesto que la seccin es constante el caudal tambin lo es, y ello implica que las leyes de presiones efectivas son lineales.

Si se produjese el sifonamiento de las arenas finas, ello supondra que las presiones efectivas en todo este paquete son nulas, y en particular, sera nula en el contacto entre las arenas finas y las arenas limosas. Como en el fondo de la excavacin la presin efectiva es nula, siendo las leyes lineales, se tendra que las presiones efectivas seran tambin nulas en las arenas limosas, es decir, se producira el sifonamiento.

b) Presiones intersticiales en el trasds

Para el clculo de las presiones intersticiales en el intrads de la pantalla, se adopta el origen del eje z en el fondo de la excavacin y se toma el sentido positivo hacia abajo (figura 2.25). El potencial en un punto debe escribirse como:

zuh

=

El potencial es nulo en cualquier punto del fondo de la excavacin.

0 z 7'16

Si A es un punto situado en el fondo de la excavacin, el potencial de un punto situado a una profundidad z ser:

z383'0zi0hhzuh 1A =+=+==


81

y en consecuencia:

2m/kNz83'13u =

Si C es un punto situado en el plano de contacto entre las arenas limosas y las arenas finas, z = 7'16 m, y su potencial vale 2'742 m.

7'16 z 12'16

En este tramo puede escribirse:

)16'7z(019'0742'2)16'7z(i742'2hhzuh 2C +=+=+==

y en consecuencia:

2m/kN06'26z19'10u +=

Ntese que para z = 12'16 resulta una presin intersticial igual a 150 kN/m2, que es uno de los datos del problema.


82

PROBLEMA 2.14

En el tablestacado indicado en la figura 2.26, calcular:

a) Empotramiento s necesario para tener un coeficiente de seguridad de 3 frente al sifonamiento, sabiendo que la diferencia de potencial hidrulico entre el pie del tablestacado y el fondo de la excavacin (puntos A y B) viene dado por la expresin:

pipi

Hs

arctgH

siendo H la prdida de carga total.

b) Distribuciones de presiones efectivas verticales en el tablestacado admitiendo gradientes constantes en el trasds y en el intrads, y flujos verticales.

El peso especfico de las arenas es sat = 21 kN/m3. Adptese = 10 kN/m3.

1'5 m

Arenas B

6 m

s

A

Figura 2.26


83

SOLUCIN

a)

H = 7'5 m

Si ic es el gradiente crtico e im el gradiente medio entre los puntos A y B, la seguridad frente al sifonamiento se expresa:

m5'8s

s

Hs

arctgH1'1

ii3Fm

c=

pipi

===

b)

Se han representado en la figura 2.27. Se recomienda calcular la presin intersticial en el punto A. Siendo flujos verticales, las distribuciones de presiones intersticiales son lineales.

8'5 m

15

( Presiones kN / m )2

B

A

6 m

1'5 m

203'5 116 116 62'5

319'5 178'5

' uu '

u

Figura 2.27


84

Captulo 3

CCOONNSSOOLLIIDDAACCIINN


86

Captulo 3 - Consolidacin

87

PROBLEMA 3.1

Se realiz un ensayo edomtrico sobre una muestra de arcilla, obtenindose los resultados que se muestran en la tabla adjunta. Al final del ensayo, la humedad de la muestra era 27'3 %. Sabiendo que el peso especfico relativo de las partculas Gs = 2'7, se pide:

a) Determinar los ndices de poros para cada escaln de carga. b) Representar la curva edomtrica de laboratorio. c) Obtener los ndices de compresin Cc y de hinchamiento Cs. d) Determinar el valor de la presin de preconsolidacin. e) Sabiendo que la tensin efectiva in situ de la muestra ensayada es

'0 = 56 KN / m2 y que tena un ndice de poros e0 = 0'855, representar la curva edomtrica real del terreno y obtener los ndices de compresin y de hinchamiento.

Presin Espesor de la muestra (kN/m2)

(mm)

0 25 50 100 200 400 800 200 25 0

19'000 18'959 18'918 18'836 18'457 17'946 17'444 17'526 17'669 17'782


88

SOLUCIN

a) ndices de poros

Al final del ensayo, la muestra est saturada y su humedad era:

wf = 27'3 %

Por consiguiente, al final del ensayo, el ndice de poros era:

ef = wf Gs = 0'273 2'7 = 0'737

Por otra parte, para cada escaln de carga, la relacin entre la variacin de la altura de la muestra (H) y la variacin del ndice de poros (e) es la siguiente:

00 e1e

HH

+

=

siendo H0 y e0 la altura y el ndice de poros de la muestra iniciales, respectivamente.

Se trata de obtener con esta frmula los ndices de poros en cada escaln de carga, partiendo de que el ndice de poros al final del ensayo es ef = 0'737.

Escaln de 0 a 25 kN/m2

H = 17'669 17'782 = 0'113 mm

e0 = 0'737

H0 = 17'782 mm

( ) ( ) 011'0737'01782'17113'0

e1H

He 0

0=+

=+

=

e = ef e0 = 0'011

ef = 0'737 0'011 = 0'726


89

Escaln de 25 a 200 kN/m2.

H = 17'526 17'669 = 0'143 mm

e0 = 0'726

H0 = 17'669 mm

( ) ( ) 014'0726'01669'17143'0

e1H

He 0

0=+

=+

=

e = ef e0 = 0'014

ef = 0'726 0'014 = 0'712

Repitiendo el clculo anterior para cada escaln de carga, se obtienen los siguientes resultados:

Presin efectiva (kN/m2)

ndice de poros (e)

0 25 50 100 200 400 800 200 25 0

0'856 0'852 0'848 0'840 0'803 0'753 0'704 0'712 0'726 0'737

b) Curva edomtrica de laboratorio

Es la representacin grfica de los ndices de poros obtenidos en el apartado anterior frente a las presiones efectivas correspondientes, stas en escala logartmica (figura 3.1).


90

ndice

de po

ros (e

)

0'610 100 1000

0'7

0'9

0'8

C (lab.)C (lab.)c

s CB

A

' ( kN / m )2

Figura 3.1

c) ndices Cc y Cs

A partir de la curva edomtrica (figura 3.1), y para el tramo de compresin noval, se toman dos puntos pertenecientes al tramo final rectilneo:

Punto ' e

A B

400 800

0'753 0'704

La pendiente de dicho tramo es el ndice de compresin Cc, y es:

163'0

400800log

049'0

'

'log

eC

A

Bc =

=

=


91

' ( kN / m )10 100

ndice

de po

ros (e

)

2

1000

' = 131'3 kN/m 2p

A

D

0'6

0'7

0'8

0'9

Figura 3.2

Procediendo de la misma forma se obtiene el ndice de hinchamiento Cs, tomando dos puntos pertenecientes al tramo de descarga (hinchamiento):

Punto ' e

C B

200 800

0'712 0'704

013'0

200800log

704'0712'0

'

'log

eC

C

Bs =

=

=


92

d) Tensin de preconsolidacin

Para el clculo de la tensin de preconsolidacin, se utilizar el mtodo grfico de Casagrande (figura 3.2). El procedimiento es el siguiente:

1. Determinacin del punto A de mxima curvatura en la curva edomtrica.

2. Por dicho punto, se traza una horizontal y la tangente a la curva edomtrica.

3. Obtencin de la bisectriz del ngulo formado.

4. Prolongacin hacia atrs y en recta de la rama de compresin noval hasta cortar a la bisectriz en el punto D, cuya abcisa es la presin de preconsolidacin pedida, resultando ser:

'p = 131'3 kN/m2

e) Curva edomtrica e ndices Cc y Cs reales

Como la tensin efectiva in situ ('0 = 56 kN / m2) de la muestra es inferior a la presin de preconsolidacin ('p = 131'3 kN / m2), la arcilla est sobreconsolidada.


93

Para la obtencin de la curva edomtrica real (figura 3.3), se traza por el punto ('0, e0) una paralela a la rama de hinchamiento. La interseccin con la vertical correspondiente a la tensin de preconsolidacin, punto F, supone el inicio del tramo de compresin noval en la que debe realizarse la correccin de Schmertmann. Para ello, se traza una horizontal por el punto correspondiente al 0'42 e0, siendo e0 el ndice de poros in situ, cortando a la rama de compresin noval de la curva edomtrica de laboratorio en el punto G. Finalmente uniendo F y G se obtiene el tramo correspondiente a la rama de compresin noval.

Como se observa, los ndices de hinchamiento de laboratorio y real son iguales. Por el contrario, el ndice de compresin real es diferente al obtenido en laboratorio, debindose calcular.

En la rama de hinchamiento se verifica que:

850'056

3'131log013'0855'0logCee'

0

'

ps0p =

=

=

y en la rama de compresin noval la pendiente vale:

168'0

3'13157'108382log

359'0850'0

3'13157'108382log

e42'0e

'

'log

eC 0p

p

Gc =

=

=

=

Como se puede observar el ndice de compresin de la curva real del terreno es mayor que el ndice de compresin de la curva edomtrica de laboratorio.

Problemas de G

eotecnia y Cimientos

94

n

d

i

c

e

d

e

p

o

r

o

s

(

e

)

0'6

0'7

' ( kN / m )2

0'9

0'8

0'3

0'4

0'5

0'42 e = 0'3591

10 100 1000 10000010000

e = 0'855

'

=

5

6

k

N

/

m

2

'

=

1

3

1

'

3

k

N

/

m

C (real)

C (laboratorio)

C (real) = C (lab.)

F

G

2

0

p

0

0

c

c

s

G 2' = 108.382'6 kN / m

Figura 3.3


95

PROBLEMA 3.2

Sobre una muestra de arcilla se ha realizado un ensayo edomtrico, obtenindose en el escaln de carga 300 - 600 kPa las lecturas que se muestran en la tabla adjunta, siendo la altura final de la pastilla 10'6 mm.

Aplicando el mtodo de Casagrande y para el escaln de carga anterior, se pide calcular:

a) Coeficiente de consolidacin (cv). b) Mdulo edomtrico (Em). c) Permeabilidad de la muestra (k).

Tiempo Lecturas del comparador

(min)

(mm)

0 1 / 6 1 /4 1 / 2 3 / 4 1 2 3 5 7 10 15 20 30 45 60 120 180 300 420 1440

7'040 6'971 6'962 6'950 6'933 6'922 6'884 6'860 6'821 6'792 6'769 6'740 6'726 6'705 6'688 6'680 6'660 6'651 6'637 6'630 6'600


96

10000100 1000100'1 1

L = 7'016

L = 6'701

L = 6'858

d

t (min)

Lect

uras

del

com

para

dor (

mm)

6'9

6'8

7'1

7'0

6'7

6'5

6'6

t =

0'

5

t =

2

t =

3'

05d

0

50

100

A

B

C

50

2

1

Figura 3.4

SOLUCIN

a) Coeficiente de consolidacin C v

Para el clculo del coeficiente de consolidacin por el mtodo de Casagrande se debe representar grficamente las lecturas del comparador en funcin del logaritmo del tiempo. Con los datos proporcionados en el enunciado, se ha dibujado de esta forma la curva de consolidacin (figura 3.4).

Tericamente, en la curva de consolidacin se deben distinguir tres tramos: un tramo inicial parablico, otro intermedio lineal y uno final lineal.


97

Como el tramo inicial es parablico, se puede obtener el inicio de la consolidacin primaria (U = 0 %), seleccionando dos puntos cuyos tiempos estn en una proporcin de 1 a 4 (puntos A y B, cuyos tiempos respectivos son t1 = 0'5 min. y t2 = 2 min.) y tomando por encima del punto A una distancia vertical d igual a la existente con el punto B, se lee la lectura L0 = 7'016 mm correspondiente al inicio de la consolidacin primaria.

En este mtodo se considera que el final de la consolidacin primaria (U = 100 %) se corresponde con la lectura de la interseccin entre la prolongacin del tramo lineal intermedio y del tramo lineal final (punto C), leyndose L100 = 6'701 mm.

Conocidas las lecturas L0 y L100, la lectura L50 correspondiente al 50% de la consolidacin primaria (U = 50 %), se obtiene como:

mm 858'62

701'6016'72LL

L 100050 =+

=

+=

El coeficiente de consolidacin viene dado por la expresin:

50

25050

v tdT

c =

donde:

T50: Factor de tiempo para el 50% de la consolidacin primaria = 0'196. d50: Longitud libre de drenaje de la muestra en el 50% de la

consolidacin primaria. t50: Instante en el que se produce el 50% de la consolidacin

primaria. En la curva de consolidacin, a la lectura L50 le corresponde el instante t50 = 3'05 min.

La determinacin de d50 se realiza a partir de la siguiente expresin:

2)LL(H

2Hd f50f5050

+==


98

siendo:

H50: Espesor de la muestra en el 50% de la consolidacin primaria. Hf: Altura de la muestra al final del escaln de carga. Segn el

enunciado vale 10'6 mm. Lf: Lectura del comparador al final del escaln de carga. Segn la

tabla del enunciado es 6'600 mm.

As pues:

mm 429'52

)600'6858'6(6'10d50 =+=

y el coeficiente de consolidacin es:

s/m 1015'3min/mm 89'105'3

429'5196'0c 282

2

v

===

b) Mdulo edomtrico E m

Para un escaln de carga, el mdulo edomtrico se define como:

0

m

HHE

=

donde:

': Incremento de tensin efectiva provocado en el escaln de carga. En este caso:

'= 600 300 = 300 kPa

H: Variacin total de la altura de la pastilla debida a la consolidacin primaria.

H = L0 L100 = 7'016 6'701 = 0'315 mm

H0: Altura de la muestra al inicio de la consolidacin primaria.

H0 = Hf + (L0 Lf) = 10'6 + (7'016 6'600) = 11'016 mm


99

El modulo edomtrico valdr pues:

kPa 43'10491

016'11315'0

300Em ==

c) Permeabilidad de la muestra k

Puesto que se conocen en el escaln de carga el coeficiente de consolidacin cv y el mdulo edomtrico Em, y puesto que:

w

mv

Ekc

=

la permeabilidad en el escaln de carga debe ser:

m/s 10343'104911015'310

Eck 11

8

m

vw

==

=

Por ltimo y como conclusin, es importante sealar que tanto el coeficiente de consolidacin, como el mdulo edomtrico y la permeabilidad dependen del escaln de carga que se est analizando, o lo que es lo mismo, del nivel de tensiones.


100

PROBLEMA 3.3

Un nivel de arcilla saturada de espesor H ha tardado 5 aos en consolidar un 90%, estando limitado inferior y superiormente por niveles permeables Cunto tiempo habra tardado si el nivel de arcilla estuviera simplemente drenado?

SOLUCIN

Puesto que el nivel de tensiones es el mismo, el coeficiente de consolidacin cv tambin ser el mismo en las dos situaciones y se define como:

tdT

c2

vv =

donde:

d: Longitud libre de drenaje. Tv: Factor de tiempo. t: Tiempo necesario para alcanzar un determinado grado de

consolidacin medio U.

Ya que el grado de consolidacin debe ser el mismo en ambas situaciones (90%), el factor de tiempo tambin lo ser.

Con respecto a las longitudes libres de drenaje (figura 3.5), en el caso a es H / 2 mientras que en el caso b es H.

El enunciado seala que el tiempo requerido para el 90% de la consolidacin en el caso a ha sido 5 aos. En consecuencia, el coeficiente de consolidacin verifica:

52H

Tc

2

v

v

=

y en el caso b:

tHT

c2

vv =


101

Caso a

H

ESTRATO PERMEABLE

ESTRATO PERMEABLE ESTRATO PERMEABLE

ESTRATO IMPERMEABLE

Caso b

HArcilla Arcilla

Figura 3.5

Igualando las dos expresiones anteriores y despejando, se obtiene que el tiempo requerido es:

t = 20 aos

Este resultado demuestra la importancia que tiene la longitud libre de drenaje sobre el tiempo requerido para alcanzar un determinado grado de consolidacin.

Ntese adems que este tiempo es proporcional al cuadrado de la longitud libre de drenaje.


102

PROBLEMA 3.4

En el terreno mostrado en la figura 3.6 se ha extrado una muestra (A) a una profundidad de 5 m desde la superficie del terreno, proporcionando en laboratorio la curva edomtrica que se indica en la figura 3.7.

Se conocen adems las siguientes caractersticas geotcnicas:

Terreno

d (kN/m3)

sat (kN/m3)

Gs

e0

Arenas y gravas

19

22 Arcilla 2'70 0'700

5 m

1 m Gravas

Gravas

Arcilla

N.F. Arenas y1 m

A

3 m

Figura 3.6

Se pide:

a) Suponiendo que el nivel fretico nunca ha variado, calcular la potencia del nivel de gravas y arenas mximo que ha existido.

b) Asiento edomtrico que producir la colocacin de un relleno de 3 m de altura y constituido por un material cuyo peso especfico seco es d = 23 kN / m3.

Nota: Se supondr que la deformabilidad de las arenas y gravas es despreciable y condiciones de carga edomtricas.


103

ndice

de hu

ecos

(e)

0'00

1

0'20

' ( kN / m )10

2

100

0'60

0'40

0'80

Punto de mximacurvatura

1000

Figura 3.7

SOLUCIN

a) Potencia mxima del nivel de gravas y arenas que ha existido

En la curva edomtrica de laboratorio, proporcionada en el enunciado, se determina en primer lugar la presin de preconsolidacin de la arcilla. Utilizando el mtodo grafico de Casagrande, se obtiene que dicha presin es (figura 3.8):

'p = 100 kN / m2.


104

' ( kN / m )1

0'00

ndice

de hu

ecos

(e)

0'20

10 100 1000

2

0'40

0'60

0'80

Punto de mximacurvatura

H

B

TR

Figura 3.8

La presin de preconsolidacin es la mxima presin efectiva que ha soportado la arcilla a lo largo de su historia. Se trata pues de obtener una altura H del nivel de gravas y arenas que exista por encima de la superficie del terreno actual (figura 3.9), para que la presin efectiva resultante en el punto (A) sea igual a la presin de preconsolidacin.

En principio, se hace necesario calcular el peso especfico saturado de la arcilla. Con los datos del enunciado se obtiene que:

( ) ( ) 3swarcillasat kN/m 207'01

7'27'010e1Ge

=

+

+=

+

+=


105

1 m

1 m

5 m

3 m

A

Gravas

Arenas yN.F.

Arcilla

Gravas

H m

D m

Figura 3.9

Para una altura H de arenas y de gravas por encima de la superficie actual del terreno, las tensiones total, intersticial y efectiva en el punto (A) son:

2

arcillasat

gravas y arenassat

gravas y arenasdA

kN/m 101H1920322119)1H(31)1H(

+=+++=

=+++=

2A kN/m 40104u ==

2A kN/m 61H1940101H19 +=+=

Para que esta presin efectiva sea igual a la presin de preconsolidacin, se debe cumplir:

2p

2A kN/m 100kN/m 61H19 ==+=

lo que implica

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