Akreditacija: Ministarstvo prosvjete i kulture RS broj: 6-01-353/05; registracija, Osnovni sud Banja Luka. Tel: 00387 (0) 51 349 580 fax: 349-581; dekanat: 00387 (0) 51 349 582, Management 322 850, Odjeljenje u Bijeljini 00387 (0) 55 225 999; Odjeljenje u Travniku 00387 (0) 30 517 454

Predmet: Via matematika

Problem povrine i odreeni integral

SEMINARSKI RAD

Profesor:

Student:

Banja Luka januar 2009 godine

1

Sadraj: 1. Problem odreivanja povrine 2. Povrina krivocrtnog trapeza i integralne sume 4 3. Riemannov integral 4. Primjer aproksimacije povrine ispod krivulje pravougaonicima 7 5. Literatura 12 5 3

1

1. PROBLEM ODREIVANJA POVRINE U zaecima matematike jedan od osnovnih zadataka je bio problem raunanja povrine i volumena. Povrina pravougaonika se lako odreuje iz izmjerenih daljina stranica a i b jer je njegova povrina definisana kao produkt stranica, tj. P=ab. Povrinu paralelograma i trokuta moemo mjeriti transformacijom pravougaonika, dok se bilo koji mnogokut moe podijeliti na trokute i tako moemo izraunati njegovu povrinu.

Problem je to se na ovaj nain ne moe mjeriti povrina bilo kojeg lika, kojem je jedan rub opisan krivuljom. Takav jednostavan skup nazivamo krivocrtnim trapezom. To je skup taaka ravnine omeenih sa tri strane duinama, a s etvrte strane krivuljom. Ve pri izvoenju povrine kruga moramo se koristiti aproksimacijama. Arhimed, jedan od najveih matematiara stare Grke, se ve u treem vijeku prije nove ere koristio postupkom koji je kasnije raunao nazvan metoda kruga iscrpljivanja upisujui im mu broj ili i ekshaustije. opisujui stranica, On je je povrinu pravilne mogao

mnogouglove.

Poveavajui

izraunati povrinu sa dovoljnom tanou. Koristei metodu ekshaustije i ravnotee poluge Arhimed je izraunao zapreminu kugle i povrinu sfere. Upisujui krugu pravilni 96-terougao

1

naao je aproksimaciju

3

1 10 < < 3 . Arhimeda mnogi smatraju 7 71

duhovnim zaetnikom infinitezimalnog rauna. Matematiari su na razliite naine pokuali rijeiti problem raunanja volumena i povrine i imali su metode prilagoene konkretnom liku ili tijelu. Tek krajem 17.vijeka taj problem je rijeen, ali ne geometrijski ve analitiki.

2. POVRINA KRIVOCRTNOG TRAPEZA I INTEGRALNE SUME Slino kao i raunanju povrine kruga moemo prii i raunanju bilo kojeg lika omeenog glatkom zatvorenom krivuljom. Horizontalnim i vertikalnim cijepanjem moemo svaki lik podijeliti na vie krivocrtnih trapeza. Tako problem povrine krivocrtnog trapeza svodimo na raunanje povrine ispod grafa neke funkcije.

Uzmimo

neku

funkciju

f

neprekinutu

i

pozitivnu

na

[a,b]. Povrinu emo aproksimirati pravougaonicima. Najprije odaberemo n-1 razliitu taku iz intervala [a,b] tako da vrijedi a=x 0