Probability -Theory and Problems

ความนาจะเปน

ทฤษฎและโจทยปญหา

ผชวยศาสตราจารยวลลภ เฉลมสววฒนาการ

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยหอการคาไทย

คาขอบคณ

. . .

สาระความร โจทยปญหา จานวนมากในหนงสอเลมน

เรยนรและรวบรวมจากตาราตางๆทงทแสดงและไมไดแสดงไวในบรรณานกรม

ความดของหนงสอเลมนขอมอบใหกบเจาของความคดทกทาน

© 2555 สงวนลขสทธตามพระราชบญญต

หามผใดคดลอกหรอเผยแพรโดยวธการใดๆ

เวนแตจะไดรบอนญาตจากผเขยน

คานา

หนงสอ ความนาจะเปน : ทฤษฎและโจทยปญหา เลมน เกดจากการรวบรวมโจทยปญหาทนาสนใจ

สาหรบใชพฒนาทกษะการแกปญหาของนกศกษาในรายวชาทฤษฎความนาจะเปนทผมรบผดชอบสอนเปน

เวลานานกวาสบปทคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยหอการคาไทย การตดสนใจรวบรวมโจทย

ปญหาทมอยและจดพมพเปนรปเลมหนงสอน เพอใหเปนแหลงทรพยากรการเรยนรเพมเตมจากทมอย สาหรบ

นกศกษา และเปนการแบงปนทรพยากรใหเพอนครอาจารยทสอนหรอสนใจรายวชาน ไดใชประโยชนรวมกน

เนอหาในหนงสอเลมน แบงเปน 5 บท แตละบทมสวนประกอบ 3 สวน สวนแรกเปนสรปสาระสาคญ

สวนทสองเปนโจทยปญหา สองสวนนรวมกนไวในตอนท 1 สวนทสามเปนเฉลย ผมตดสนใจนาโจทยปญหามา

พมพซาไว คกบเฉลยในตอนท 2 เพอความสะดวกในการใชงาน

บทท 1 พจารณาแบบจาลองความนาจะเปน สจพจนของความนาจะเปน การใชกฎตางๆของความนาจะ

เปนหาความนาจะเปนของเหตการณทกาหนดให ทงแบบทไมมเงอนไขและแบบทมเงอนไข

บทท 2 เบนความสนใจจากความนาจะเปนของเหตการณมาสความนาจะเปนทเกยวของกบตวแปรสม

ซงในบทนเจาะจงทตวแปรสมไมตอเนอง การใชฟงกชนมวลความนาจะเปนหาความนาจะเปน คาคาดหวง

ความแปรปรวน ทงแบบไมมเงอนไขและแบบมเงอนไข รวมทงขยายความคดไปพจารณาการแจกแจงความ

นาจะเปนรวมของตวแปรสมหลายตวดวย

บทท 3 พจารณาตวแปรสมตอเนองในบรบทเดยวกนกบทพจารณาในบทท 3 นอกจากนน ยงได

กลาวถงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมซงนยามสาหรบตวแปรสมไมตอเนองและตวแปรสมตอเนอง

ในรปแบบเดยวกน และในโจทยปญหาไดแนะนาวธนยามตวแปรสมตอเนองและไมตอเนองประกอบกนเปนตว

แปรสมผสมไวเปนแนวทางเบองตนสาหรบศกษาในขนสงขน

บทท 4 กลาวถงสมบตเพมเตมเกยวกบตวแปรสม เชนคาดคาดหวงและความแปรปรวนของฟงกชนของ

ตวแปรสม ความแปรปรวนรวม สมประสทธสหสมพนธ การหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของตวแปรสม

โดยวางเงอนไขบนตวแปรสมอกตวหนง และฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

บทท 5 กลาวถงอสมการมารโคฟและอสมการเชบเชฟสาหรบใชหาคาขอบของความนาจะเปน และ

นาเสนอทฤษฎบทลมตทสาคญมากในทฤษฎความนาจะเปน ไดแก กฎอยางเขมของจานวนมากและทฤษฎบท

เซนทรลลมต

นกศกษาสามารถทบทวนความรและสาระสาคญของรายวชาจากสรปสาระสาคญในตอนท 1 ของแตละ

บทและพฒนาทกษะการแกปญหาโดยแกโจทยในหนงสอเลมนดวยตนเองกอนเสมอ ในกรณทไมทราบแนวทาง

แกปญหาเลย อาจดแนวคดในการแกปญหาทเสนอไวในหนงสอเลกนอย ขอใหดแตนอย จะไดคดเองมากๆ

สดทาย เมอแกโจทยเองเสรจแลวจงคอยเปรยบเทยบกบเฉลยทใหไว ในการอานเฉลย นกศกษาอาจตองแสดง

รายละเอยดปลกยอยเองดวย

ผมหวงวา หนงสอเลมนจะมประโยชนและสงเสรมใหนกศกษามทางเลอกมากขนในการแสวงหา

ความร หากผอานพบขอผดพลาดหรอมคาแนะนาประการใด โปรดอนเคราะหแจงใหผมทราบดวย จะเปน

พระคณอยางยง

วลลภ เฉลมสววฒนาการ

สาขาวศวกรรมการเงน

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยหอการคาไทย

wallop_ [email protected]

สารบญ

หนา

คานา

บทท 1 ความนาจะเปน

สรปสาระสาคญ 1-5

โจทยปญหา 5-11

เฉลย 61-85

บทท 2 ตวแปรสมไมตอเนอง



เฉลย 87-111

บทท 3 ตวแปรสมทวไป



เฉลย 113-135

บทท 4 หวขอเพมเตมเกยวกบตวแปรสม



เฉลย 137-166

บทท 5 อสมการและทฤษฎบทลมต



เฉลย 167-183

บรรณานกรม 185

ตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน 186

ดชนคนเรอง 187-188

หนาวาง

ตอนท 1

สรปสาระสาคญ

โจทยปญหา

หนาวาง

1 ความนาจะเปน


1.1 แบบจาลองความนาจะเปน

1. สวนประกอบของแบบจาลองความนาจะเปน(Probability Model)

(1) แซมเปลสเปซ (Sample Space) แทนดวย S คอเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของ

การทดลองสม

(2) ฟงกชนความนาจะเปน (Probability Function) ซงใหคาทเปนจานวนจรง P(A) ในชวง

[0,1] กบเซต A ของผลลพธในแซมเปลสเปซ

เซต A ใดๆของผลลพธในแซมเปลสเปซ เรยกวา เหตการณ (Event)

จานวนจรง P(A) เรยกวา ความนาจะเปน(Probability) ของ A ใชวด “ความเปนไปได”

(Likelihood) ของผลลพธทงหมดของ A

2. สจพจนความนาจะเปน (Probability Axioms)

(1) สาหรบทกเหตการณ A

P(A) ≥ 0

(2) ถา A และ B เปนเหตการณไมเกดรวมกน แลวความนาจะเปนของยเนยนของเหตการณ A และ B

นสอดคลองกบสมการ

P(AB) = P(A) + P(B)

และถาแซมเปลสเปซเปนเซตอนนต และ A1, A2, … เปนลาดบของเหตการณไมเกดรวมกน แลว

ความนาจะเปนของยเนยนของเหตการณเหลานสอดคลองกบสมการ

P(A1A2…) = P(A1) + P(A2) + …

(3) ความนาจะเปนของแซมเปลสเปซ S เทากบ 1

P(S) = 1

3. ยเนยน อนเตอรเซกชน และ คอมพลเมนต ของเหตการณ

ให A และ B เปนเหตการณใดๆในแซมเปลสเปซ S

2 ความนาจะเปน : ทฤษฎและโจทยปญหา

(1) ยเนยน (Union) ของเหตการณ A และ B แทนดวย A B

A B {x | x A x B} หรอ

ดงนน AB เกดขน กตอเมอ A หรอ B เกดขนอยางนอย 1 เหตการณ

(2) อนเตอรเซกชน (Intersection) ของเหตการณ A และ B แทนดวย AB

A B {x | x A x B} และ

ดงนน AB เกดขน กตอเมอ A และ B เกดขนทงค หรอเกดขนพรอมกนในการทดลองเดยวกน

(3) คอมพลเมนต (Complement) ของเหตการณ A แทนดวย AC CA {x | x A}

ดงนน AC เกดขน กตอเมอ A ไมเกดขน

เหตการณไมเกดรวมกน (Mutually Exclusive Events หรอ Disjoint Events) คอเหตการณท

เกดขนพรอมกนในการทดลองเดยวกนไมได นนคอ A และ B ไมมผลลพธรวม A และ B เปนเหตการณไมเกด

รวมกน ถา AB =

4. ฟงกชนความนาจะเปนสาหรบแซมเปลสเปซทเปนเซตจากด

ถาแซมเปลสเปซประกอบดวยผลลพธทเปนไปไดจานวนจากด แลวความนาจะเปนของเหตการณใดๆ

กาหนดไดจากความนาจะเปนของเหตการณทประกอบดวยผลลพธเดยว กลาวคอ ความนาจะเปนของเหตการณ

{s1, s2, …, sn} เทากบผลบวกของความนาจะเปนของเหตการณ {s1}, {s2}, …, {sn}

P({s1, s2, …, sn}) = P({s1}) + P({s2}) + … + P({sn})

5. ฟงกชนความนาจะเปนยนฟอรมไมตอเนอง (Discrete Uniform Probability Function)

ถาแซมเปลสเปซประกอบดวยผลลพธทเปนไปได n ผลลพธ แตละผลลพธมความเปนไปไดเทากน

แลว ความนาจะเปนของเหตการณ A ใดๆ กาหนดโดย

AP(A)

n

จานวนผลลพธของ

6. สมบตของฟงกชนความนาจะเปน

ให A, B, และ C เปนเหตการณในแซมเปลสเปซ S

(1) P() = 0

(2) P(A) = 1 – P(AC) [กฎความนาจะเปนของคอมพลเมนต]

(3) ถา A B แลว P(A) P(B)

(4) P(A B) P(A) P(B) P(A B)

(5) P(A B) P(A) P(B)

(6) C C CP(A B C) P(A) P(A B) P(A B C)

3 บทท 1 ความนาจะเปน

1.2 ความนาจะเปนมเงอนไข

1. ความนาจะเปนมเงอนไข (Conditional Probability) ของเหตการณ A เมอกาหนดเหตการณ B (ทราบ

วาเกดเหตการณ B) แทนดวย P(A | B) นยามโดย

P(A B)P(A | B)

P(B)

เมอ P(B) > 0

ความนาจะเปนมเงอนไขสามารถมองเปนความนาจะเปนบนแซมเปลสเปซใหมคอ B เพราะการกาหนดวา B

เกดขน หมายความวา เฉพาะผลลพธใน B เทานนทเปนไปได

ถาผลลพธทเปนไปไดมความนาจะเปนเทากนและมจานวนจากด แลว

A BP(A | B)

B

จานวนผลล พธของ จานวนผลลพธ ของ

2. กฎการคณความนาจะเปน (Multiplication Rule)

ถาทกเหตการณทใชเปนเงอนไขมความนาจะเปนมากกวา 0 แลว

n n 1

i 1 2 1 3 1 2 n ii 1 i 1

P A P(A )P(A | A )P(A | A A )...P(A | A )

1.3 ทฤษฎบทความนาจะเปนรวมและกฎของเบส 1. ให A1, …, An เปนเหตการณในแซมเปลสเปซ S กลาววา {A1, …, An} เปน ผลการแบง (Partition)

ของแซมเปลสเปซ S ถา A1, …, An เปนเหตการณไมเกดรวมกนและ b

ii 1

A S

2. ทฤษฎบทความนาจะเปนรวม (Total Probability Theorem)

ให A1, …, An เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ S และสมมตวา P(Ai) > 0 สาหรบทก i แลว สาหรบ

เหตการณ B ใดๆ จะไดวา

1 nP(B) P(A B) ... P(A B)

1 1 n nP(A )P(B | A ) ... P(A )P(B | A )

3. กฎของเบส (Bayes’ Rule)

ให {A1, …, An} เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ S และสมมตวา P(Ai) > 0 สาหรบทก i แลว สาหรบ

เหตการณ B ใดๆ จะไดวา

k kk

P(A )P(B | A )P(A | B)

P(B)

k k

1 1 n n

P(A )P(B | A )

P(A )P(B | A ) ... P(A )P(B | A )


1.4 ความอสระ

1. ความอสระ(Independence)

(1) เหตการณสองเหตการณ A และ B เปนอสระกน ถา

P(A B) P(A)P(B)

ถา P(B) > 0 แลวเงอนไขของความอสระขางบนสมมลกบเงอนไขตอไปน

P(A | B) P(A)

(2) ถา A และ B เปนอสระกนแลว B และ A เปนอสระกน

(3) เมอกาหนดเหตการณ C (ทราบวาเกดเหตการณ C) ซง P(C) > 0 เรากลาววา เหตการณสอง

เหตการณ A และ B เปนอสระกนอยางมเงอนไข ถา

P(A B | C) P(A | C)P(B | C)

และถา P(BC) > 0 แลวเงอนไขของความอสระมเงอนไขสมม,กบเงอนไขตอไปน P(A|BC) = P(A|C)

2. ความอสระของเหตการณหลายๆเหตการณ

เรากลาววาเหตการณ A1, …, An เปนอสระกน ถา

i ii K i K

P A P(A ) สาหรบทกสบเซต K ของ {1,2,…}

1.5 การนบ

1. กฎการนบ (Counting Principle)

พจารณากระบวนการทประกอบดวย r ขนตอน สมมตวา

(1) ผลทเปนไปไดจากขนตอนท 1 ม n1 วธ

(2) สาหรบผลแตละวธทเปนไปไดจากขนตอนท 1 ผลทเปนไปไดจากขนตอนท 2 ม n2 วธ

(3) ในกรณทวไป สาหรบ ลาดบของผลทเปนไปไดแตละวธจาก i – 1 ขนตอนแรก ผลทเปนไปไดจาก

ขนตอนท i ม ni วธ แลว จานวนผลทเปนไปไดทงหมดจากกระบวนการทม n ขนตอนเทากบ

1 2 rn n ... n วธ

2. ผลทไดจากกฎการนบ

(1) จานวนวธเรยงสบเปลยน(Permutation) สงของทแตกตางกน n สงโดยใชทกสงเทากบ n! วธ

(2) จานวนวธเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกน n สงโดยใชทละ r สงเทากบ n!

(n r)! วธ

(3) จานวนวธจดหม(Combination) สงของทแตกตางกน n สงโดยใชทละ r สงเทากบ


n n!

r r!(n r)!

วธ

(4) วธแบงสงของทแตกตางกน n สงออกเปน r กลม โดยทกลมท i ม ni สงแตกตางกน เทากบ

1 2 r 1 2 r

n n!

n ,n ,..., n n !n !...n !

วธ


1. นกศกษาในหองหนง ม 60% เปนนกศกษาตางชาต 70% ชอบขนมไทย และ 40% เปนนกศกษาตางชาต

และชอบขนมไทย สมเลอกนกศกษาคนหนงจากนกศกษากลมน จงหาความนาจะเปนทจะไดนกศกษาท

ไมใชนกศกษาตางชาตและไมไดชอบขนมไทย

2. ถวงนาหนกลกเตาหกหนาลกหนงใหหนาคทกหนามความนาจะเปนเปนสองเทาของหนาคทกหนา จง

สรางแบบจาลองความนาจะเปนของการทอดลกเตาลกนหนงครง และ จงหาความนาจะเปนของเหตการณ

ทลกเตาหงายหนานอยกวา 4

3. ทอดลกเตาสหนาไปเรอยๆจนกระทงลกเตาหงายหนาคเปนครงแรกจงยตการทอดลกเตา จงอธบาย

แซมเปลสเปซของการทดลองน

4. สมมตวาคณเขารวมการแขงขนหมากรกรายการพเศษรายการหนงซงคณตองเลนกบคแขง 3 คน คนละเกม

แตคณสามารถเลอกไดวาจะเลนกบใครกอน และทราบดวยวาความนาจะเปนทคณจะชนะเมอเลนกบแตละ

คนเปนเทาใด คณจะชนะการแขงขนรายการนถาคณชนะตดตอกน 2 เกม คณตองการหายทธวธททาใหคณ

มความนาจะเปนทจะชนะการแขงขนมากทสด จงแสดงวาคณมความนาจะเปนมากทสดทจะชนะการ

แขงขนเมอคณเลอกเลนกบคแขงทออนทสดเปนเกมทสอง สวนคแขงอกสองคนทเหลอ คณจะเลอกเลนใน

ลาดบแบบใดกได

5. ผลการแบงของแซมเปลสเปซ S คอเซตของเหตการณไมเกดรวมกน B1, B2, …, Bn ซง n

ii 1

B S

(1) จงแสดงวา สาหรบเหตการณ A ใดๆ

n

ii 1

P(A) P(A B )

(2) จงใชผลจากขอ(1) แสดงวา สาหรบเหตการณ A, B และ C ใดๆ

C CP(A) P(A B) P(A C) P(A B C ) P(A B C)


6. จงพสจนสตร

C CP((A B ) (A B)) P(A) P(B) 2P(A B)

ซงใชหาความนาจะเปนทเหตการณ A หรอ B เกดขนเพยงเหตการณเดยวเทานน [ผอานควรสงเกตวา สตร

นตางจากสตร P(A B) P(A) P(B) P(A B) ซงใชหาความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ A หรอ

B อยางนอย 1 เหตการณ]

7. [Bonferroni’s Inequality]

(1) สาหรบสองเหตการณ A และ B ใดๆ จงพสจนวา

P(A B) P(A) P(B) 1

(2) ในกรณทวไป สาหรบ n เหตการณ A1, A2, …, An ใดๆ จงพสจนวา

1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) (n 1)

8. [สมบตความตอเนองของความนาจะเปน]

(1) ให A1, A2, … เปนลาดบอนนตของเหตการณซงเพมขนทางเดยว(Monotonically Increasing)

หมายความวา n n 1A A สาหรบทก n ให nn 1

A A

จงแสดงวา n

nP(A) lim P(A )

แนะนา เขยน A ในรปยเนยนของเหตการณไมเกดรวมกนจานวนอนนตนบได

(2) ให A1, A2, … เปนลาดบอนนตของเหตการณซงลดลงทางเดยว(Monotonically Decreasing)

หมายความวา n 1 nA A สาหรบทก n ให nn 1

A A


nP(A) lim P(A )

แนะนา ใชผลในขอ (1) กบคอมพลเมนตของเหตการณ

(3) พจารณาแบบจาลองความนาจะเปนทมแซมเปลสเปซเปนเซตของจานวนจรง จงพสจนวา

n

P [0, ) lim P [0,n]

และ nlim P [n, ) 0

9. ทอดลกเตาเทยงตรง (หกหนา) สองลก มผลลพธทเปนไปไดทงหมด 36 ผลลพธ แตละผลลพธมโอกาส

เกดขนเทากน

(1) จงหาความนาจะเปนทลกเตาหงายหนาเดยวกนทงสองลก

(2) สมมตวาแตมรวมของลกเตาไมเกน 4 จงหาความนาจะเปนทลกเตาหงายหนาเดยวกนทงสองลก

(3) จงหาความนาจะเปนทลกเตาอยางนอยหนงลกหงายหนา 6

(4) สมมตวาลกเตาหงายหนาตางกน จงหาความนาจะเปนทลกเตาอยางนอยหนงลกหงายหนา 6


10. โยนเหรยญอนหนงสองครง อลสกลาววาความนาจะเปนทเหรยญหงายหวทงสองครงถาทราบวาเหรยญ

หงายหวครงแรก มากกวา ถาทราบวาเหรยญหงายหวอยางนอยหนงครง อลสกลาวถกตองหรอไม กรณท

เหรยญเทยงตรงกบกรณทเหรยญไมเทยงตรงผลสรปตางกนหรอไม

11. มเหรยญ 3 อน อนแรกเปนเหรยญทมหวสองดาน อนทสองเปนเหรยญทมกอยสองดาน และอนทสามเปน

เหรยญปกตทมหวและกอยอยางละดาน ถาเราสมหยบเหรยญอนหนงแลวควาเหรยญทหยบไดนน ปรากฏ

วาดานทหงายใหเหนเปนหว จงหาความนาจะเปนทดานตรงขามเปนกอย

12. สนคาลอตหนงม 100 ชน สมตวอยางสนคามาตรวจสอบคณภาพ 4 ชน ถาพบสนคาชารดในตวอยาง จะ

ปฏเสธไมรบลอต สมมตวาในลอตมสนคาชารดทงหมด 5 ชน จงหาความนาจะเปนทจะยอมรบสนคา

ลอตดงกลาวน

13. ให A และ B เปนเหตการณใดๆ จงพสจนวา P(A B | B) P(A | B) ถา P(B) 0

14. สมศรคนหารายงานในตเกบเอกสารซงมลนชกหลายอน สมศรทราบวารายงานอยในลนชก j ดวย

ความนาจะเปน pj > 0 แตละลนชกรกมาก แมนวาสมศรเดาถกวารายงานอยในลนชก i ความนาจะเปนท

สมศรจะคนพบรายงานเทากบ di เทานน สมศรคนหารายงานในลนชกหนง สมมตเปนลนชก i แตไมพบ

รายงาน ภายใตเงอนไขน จงแสดงวาความนาจะเปนทรายงานของสมศรอยในลนชก j เทากบ j

i i

p

1 p d ถา

j i และเทากบ i i

i i

p (1 d )

1 p d

ถา j = i

15. ผเลนสองคนผลดกนสมหยบลกบอลออกจากกลองซงในตอนเรมตนมลกบอลสขาว m ลกและลกบอลสดา

n ลก ผเลนคนแรกทหยบไดลกบอลสขาวเปนผชนะ จงสรางสตรเวยนซาทใชคานวณความนาจะเปนทผ

เลนทเลนกอนเปนผชนะ

16. มกลอง k ใบ แตละใบมลกบอลสขาว m ลกและสดา n ลก สมหยบลกบอล 1 ลกจากกลองท 1 ใสลงใน

กลองท 2 แลวสมหยบลกบอล 1 ลกจากกลองท 2 ใสลงในกลองท 3 เรอยไปจนสดทายสมหยบลกบอล 1

ลกจากกลองท k จงแสดงวา ความนาจะเปนทหยบไดลกบอลลกสดทายเปนสขาวเทากบความนาจะเปนท

หยบไดลกบอลลกแรกจะเปนสขาว คอ m

m n


17. มกลอง 2ใบ ในตอนเรมตนกลองแตละใบมลกบอลจานวนเทากน สมหยบลกบอล 1 ลกจากกลองแตละใบ

พรอมกนแลวใสกลบไปไวในกลองอกใบหนงสลบกน ดาเนนการเชนน 4 ครง เมอสนสดการดาเนนการ

จงหาความนาจะเปนทลกบอลทงหมดอยในกลองเดมเหมอนตอนเรมตน

18. สมมตวาคณไดรบซอง 2 ซอง คณทราบวาภายในแตละซองมเงนเปนจานวนเตมบาทและไมเทากน แตคณ

ไมทราบวาวาแตละซองมเงนจานวนเทาใด ใหคณสมเลอกซอง 1 ซอง หลงจากคณดวาในซองมเงนเทาใด

คณอาจเปลยนไปเลอกอกซองหนงกได เพอนของคณคนหนงแนะนาวายทธวธตอไปนจะชวยใหคณม

โอกาสเกน 1

2ทจะเลอกไดซองทมเงนมากกวา : ใหคณโยนเหรยญซาๆ ให X เทากบ 1

2บวกจานวนครงท

โยนเหรยญจนกระทงเหรยญหงายดานหวเปนครงแรก และใหเปลยนซองถาจานวนเงนในซองแรกทเลอก

นอยกวาคาของ X ยทธวธของเพอนของคณถกตองหรอไม

19. อลสกบบมมเหรยญ 2n + 1 อน เมอโยนเหรยญ เหรยญแตละอนมความนาจะเปน 1

2ทจะหงายดานหว บม

โยนเหรยญ n + 1 อน อลสโยนเหรยญ n อน สมมตวาการโยนเหรยญแตละอนเปนอสระกน จงแสดงวา

เมอโยนเหรยญครบทกอนแลว ความนาจะเปนทบมจะโยนเหรยญไดหวมากกวาอลสเทากบ 1

2

20. [ทฤษฎบทความนาจะเปนรวมสาหรบความนาจะเปนมเงอนไข]

ให 1 n{C ,...,C } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ ให A และ B เปนเหตการณซง iP(B C ) 0

สาหรบทก i จงแสดงวา

n

i ii 1

P(A | B) P(C | B)P(A | B C )

21. ให A และ B เปนเหตการณซง P(A) > 0 และ P(B) > 0 กลาววาเหตการณ B เพมความเปนไปไดของ

เหตการณ A ถา P(A|B) > P(A) และกลาววาเหตการณ B ลดความเปนไปไดของเหตการณ A ถา P(A|B) < P(A)

(1) จงแสดงวา B เพมความเปนไปไดของ A กตอเมอ A เพมความเปนไปไดของ B

(2) สมมตวา P(BC) > 0 จงแสดงวา B เพมความเปนไปไดของ A กตอเมอ BC ลดความเปนไปไดของ A

(3) เราทราบวาสมบตถกซอนไวในสถานทแหงใดแหงหนงในสองแหง ดวยความนาจะเปน และ 1

ตามลาดบ ในเมอ 0 1 เราคนหาสมบตในสถานทหนง และถาสมบตอยในสถานทนน ความนาจะ

เปนทจะพบสมบตเทากบ p > 0 จงแสดงวาเหตการณทเราไมพบสมบตในสถานทแหงแรกทเราคนหาเพม

ความเปนไปไดวาสมบตอยในสถานทแหงทสอง


22. พรานคนหนงมสนขลาเนอ 2 ตว วนหนง ในการแกะรอยสตวทตองการลาตวหนง เมอมาถงทางเดนซง

แยกออกเปนสองทาง เขาทราบวาการตดสนใจเลอกเสนทางการตดตามของสนขแตละตวเปนอสระกน

และมความนาจะเปน p ทจะเลอกถกทาง พรานตดสนใจใหสนขแตละตวเลอกเสนทางการตดตาม ถาสนข

ตดสนใจตรงกน กจะเลอกไปทางนน ถาสนขตดสนใจไมตรงกน จะเลอกเสนทางการตดตามโดยสม

ยทธวธทพรานคนนใชดกวาวธใหสนขตวหนง (ในสองตว) ตดสนใจเสนทางการตดตามหรอไม

23. วชระมพนองเพยงคนเดยว จงหาความนาจะเปนทพนองของวชระเปนชาย สมมตวา ทารกเกดเปนชายหรอ

หญงดวยความนาจะเปนเทากน และเปนอสระกน ในการตอบคาถาม ใหระบขอสมมตเพมเตมตามความ

จาเปนใหชดเจน

24. อลสกบบมตองการเลอกระหวางดคอนเสรตและดภาพยนตร โดยวธโยนเหรยญเทยงตรงอนหนง แต

เหรยญทมอยเปนเหรยญทเอนเอยง (ไมทราบวามความเอนเอยงเทาใด) มวธใดหรอไมทเขาจะใชเหรยญท

เอนเอยงในการตดสนใจเลอกระหวางดคอนเสรตและดภาพยนตรโดยใหแตละทางเลอกมความนาจะเปน

เทากน

25. ระบบหนงมสวนประกอบเหมอนกน n ชด แตละชดทางานไดดวยความนาจะเปน p อยางเปนอสระกนทก

ชด ระบบจะทางานไดถาสวนประกอบอยางนอย k ชดทางานได จงหาความนาจะเปนทระบบนจะทางาน

ได

26. รายวชาหนงมประวตวามนกศกษาเขาชนเรยนนอย อาจารยผสอนกาหนดวาจะไมสอนเวนแตวามนกศกษา

เขาชนเรยนอยางนอย k คนจากทลงทะเบยนเรยนไว n คน นกศกษาแตละคนเขาชนเรยนอยางเปนอสระ

กนดวยความนาจะเปน pg ถาเปนวนทอากาศด และเขาชนเรยนอยางเปนอสระกนดวยความนาจะเปน pb

ถาเปนวนทอากาศไมด กาหนดวาวนหนงทมชนเรยนวชานเปนวนทอากาศไมด จงเขยนความนาจะเปนท

อาจารยทาการสอนในวนนน

27. พจารณาเหรยญอนหนงซงมความนาจะเปน p ทเหรยญจะหงายดานหวเมอโยนเหรยญ และมความนาจะ

เปน 1 – p ทเหรยญจะหงายกอย ให qn เปนความนาจะเปนของเหตการณซงจานวนครงทเหรยญหงายดาน

หวเปนจานวนคเมอโยนเหรยญ n ครง จงหาสตรเวยนเกดทแสดงความสมพนธระหวาง qn และ qn – 1 และ

นาไปใชพสจนวา

n

n

1 (1 2p)q

2


28. พจารณาเกมโชวทมผรวมแขงขนจานวนอนนต ซงในการแขงขนรอบท i ผเขาแขงขนคนท i หมนวงลอ

(รอบท i)ไดแตมแตมหนง ผเขาแขงขนทหมนวงลอไปแลวและไดแตมนอยทสดรอเปนผชนะ การหมนวง

ลอแตละครงเปนอสระกน และ สมมตวาไมมกรณทเสมอกน (หมนวงลอแตละครงไดแตมตางกนเสมอ)

ให N แทนรอบทผแขงขนคนท 1 ตกรอบ จงหา P(N = n) สาหรบจานวนเตมบวก n ใดๆ

29. ให A และ B เปนเหตการณอสระ จงใชบทนยามของเหตการณอสระพสจนวา

(1) เหตการณ A และ BC เปนอสระกน

(2) เหตการณ AC และ BC เปนอสระกน

30. ให A, B และ C เปนเหตการณอสระโดยท P(C) > 0

จงพสจนวา A และ B เปนอสระกนภายใตเงอนไข C

31. สมมตวา A1, A2, A3, A4 เปนเหตการณอสระ และ 3 4P(A A ) 0 จงแสดงวา

1 2 3 4 1 2P(A A | A A ) P(A A )

32. ทอดลกเตาหกหนา 3 ครงอสระกน เหตการณใดมความเปนไปไดมากกวา : เหตการณทไดแตมรวม 11

หรอ เหตการณทไดแตมรวม 12

33. พจารณาผมารวมงานเลยง n คน สมมตวาทกคนมความนาจะเปนเทากนทจะเกดในวนใดๆระหวางปอยาง

เปนอสระกน และสมมตวาไมมใครเกดวนท 29 กมภาพนธ จงหาความนาจะเปนทแตละคนมวนเกดไม

ตรงกนเลย

34. กลองใบหนงมลกบอลสแดง m ลกและสขาว n ลก

(1) สมหยบลกบอล 2 ลกพรอมกน จงอธบายแซมเปลสเปซและคานวณความนาจะเปนทบอลทหยบไดม

สตางกน

(2) สมหยบลกปงปอง 1 ลกจากกลองอกใบหนงซงมลกปงปองอย 3 ลกเขยนหมายเลข 1, 2, 3 กากบไว

ถาหยบไดลกปงปองหมายเลข k ใหหยบลกบอลจากกลอง k ลก จงอธบายแซมเปลสเปซและคานวณ

ความนาจะเปนทลกบอลทหยบไดเปนลกบอลสแดงทกลก

35. จากไพสารบมาตรฐาน 52 ใบทสลบไพอยางทวถงดแลว จวไพทละใบ จงคานวณความนาจะเปนทไพใบท

13 ทจวไดเปนไพ K ใบแรก


36. ในการลงทะเบยนเรยนรายวชาหนงมนกศกษาเลอกลงทะเบยน 90 คนรวมทงจกกบเจนดวย ถาแบง

นกศกษาเปน 3 หองโดยวธสม แตละหองมจานวนนกศกษาเทากน จงหาความนาจะเปนทจกกบเจนอย

หองเดยวกน

37. ภาควชาหนงเปดสอนรายวชาตางๆ 2 กลม กลมเนอหาขนตนและกลมเนอหาขนสง กลมเนอหาขนตน

ประกอบดวยรายวชาตางๆ 8 รายวชา {L1, L2, … , L8} กลมเนอหาขนสงประกอบดวยรายวชาตางๆ 10

รายวชา {H1, H2, … , H10} แตละหลกสตรใหนกศกษาเลอกรายวชาในกลมเนอหาขนตน 4 รายวชาและ

รายวชาในกลมเนอหาขนสง 3 รายวชา

(1) สมมตวาการเลอกรายวชาตางๆไมมเงอนไขวาตองศกษารายวชาใดมากอน ภาควชานมหลกสตรทเปนไป

ไดทงหมดกหลกสตรทแตกตางกน

(2) สมมตวารายวชา H1, … , H5 ม L1 เปนรายวชาทตองศกษามากอน และรายวชา H6, … , H10 ม L2 และ

L3 เปนรายวชาทตองศกษามากอน ภายใตเงอนไขดงกลาวน มหลกสตรทเปนไปไดทงหมดกหลกสตรท

แตกตางกน

38. สลบไพสารบมาตรฐานซงม 52 ใบอยางทวถง แลวจวไพ 7 ใบทอยขางบน จงหาความนาจะเปนของ

เหตการณตอไปน

(1) ไพ 7 ใบทจวไดมเอซ 3 ใบ

(2) ไพ 7 ใบทจวไดมคง 3 ใบ

(3) ไพ 7 ใบทจวไดมเอซ 3 ใบ หรอ คง 2 ใบ (หรอทงสองอยาง)

39. มรถยนตอย 100 คนจอดอยทลานจอดรถรอการขาย ในจานวนนมอย k คนทมอาการเกยรกระตกเมอ

เปลยนเกยร สมเลอกรถยนต m คนไปทดลองขบ จงหาความนาจะเปนทจะพบรถยนตทมอาการเกยร

กระตก n คน

40. แจกไพสารบมาตรฐาน 52 ใบทสลบอยางทวถงแลวใหผเลน 4 คนคนละ13 ใบ จงหาความนาจะเปนทแต

ละคนไดไพเอซ

41. กลองใบหนงมลกบอล n ลก ในจานวนนเปนลกบอลสแดง m ลก สมเลอกลกบอล k ลกจากกลองโดยไม

ใสคน (ไมคนลกบอลทเลอกไดลงกลองกอนทจะเลอกลกบอลลกถดไป) จงหาความนาจะเปนทจะเลอกได

ลกบอลสแดง i ลก


หนาวาง

2 ตวแปรสมไมตอเนอง


2.1 แนวความคดพนฐาน 1. แนวความคดทเกยวของกบตวแปรสม

(1) ตวแปรสม (Random Variable) คอ ฟงกชนคาจรงนยามบนเซตของเหตการณในแซมเปลสเปซ

(2) ฟงกชนของตวแปรสม (Function of a Random Sample) ใชนยามตวแปรสมจากตวแปรสมท

กาหนดให

(3) เราสามารถกาหนดคาทเปนจานวนจรงใหกบตวแปรสมแตละตว เชน คาเฉลย (Mean) และ

ความแปรปรวน (Variance)

(4) ตวแปรสมสามารถวางเงอนไขบนเหตการณหรอบนตวแปรสมได

(5) เราสามารถนยามความอสระของตวแปรสมจากเหตการณหรอจากตวแปรสมอกตวหนง

2. แนวความคดทเกยวของกบตวแปรสมไมตอเนอง

(1) ตวแปรสมไมตอเนอง(Discrete Random Variable) คอตวแปรสมทมเซตของคาทเปนไปได

เปนเซตจากด(Finite Set)หรอเซตอนนตนบได (Countably Infinite Set)

(2) เราสามารถอธบายพฤตกรรมความไมแนนอนของตวแปรสมไมตอเนองดวย ฟงกชนมวล

ความนาจะเปน (Probability Mass Function เขยนยอเปน PMF) ซงใหคาความนาจะเปนกบ

แตละคาของตวแปรสม

2.2 ฟงกชนมวลความนาจะเปน 1. การคานวณฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเนอง X

สาหรบแตละคาของ x

14 ความนาจะเปน:ทฤษฎและโจทยปญหา

(1) หาเหตการณ A ในแซมเปลสเปซ S ทสมนยกบเหตการณ {X = x} [เหตการณ A ประกอบดวย

ผลลพธทเปนไปไดทงหมดใน S ซง X = x]

(2) หาความนาจะเปนของ A และให Xp (x) P{X x} P(A)

2. การทดลองแบรนลล และ ตวแปรสมแบรนลล

(1) การทดลองแบรนลล (Bernoulli Experiment) คอ การทดลองสมซงเหตการณหรอผลลพธท

เกดขนจาแนกไดเปน 2 อยางคอเหตการณหรอผลลพธทสนใจเรยกวาเหตการณหรอผลลพธทเปน

ความสาเรจ(Success) เหตการณหรอผลลพธอนๆเรยกวาเหตการณหรอผลลพธทเปนความไม

สาเรจ(Failure)

(2) ในการทดลองแบรนลล ตวแปรสม X ทมคาเปน 1 เมอเกดเหตการณหรอผลลพธทเปนความสาเรจ

และมคาเปน 0 เมอเกดเหตการณหรอผลลพธทเปนความไมสาเรจ ดวยความนาจะเปน p และ

1 – p ตามลาดบ เรยกวาตวแปรสมแบรนลล (Bernoulli Random Variable) ทมพารามเตอร p

ตวแปรสมแบรนลลมฟงกชนมวลความนาจะเปนในรปแบบ

X

p, x 1p (x)

1 p, x 0

3. การทดลองทวนาม และ ตวแปรสมทวนาม

(1) การทดลองทวนาม(Binomial Experiment)คอการทดลองสมทประกอบดวยการลองซาจานวน

ครงจากด (n ครง) การลองแตละครงเปนอสระกน เหตการณหรอผลลพธทเกดขนจาแนกไดเปน 2

อยาง เหตการณหรอผลลพธทสนใจเรยกวา เหตการณหรอผลลพธทเปนความสาเรจ (Success)

นอกนนเรยกวาเหตการณหรอผลลพธทเปนความไมสาเรจ (Failure) ความนาจะเปนของเหตการณ

หรอผลลพธทเปนความสาเรจมคาคงตว (p) หรอกลาวอกนยหนง การทดลองทวนามคอลาดบจากด

ของการทดลองแบรนลล

(2) สาหรบการทดลองทวนามทประกอบดวยการลอง n ครง และความนาจะเปนของเหตการณหรอ

ผลลพธทเปนความสาเรจมคาคงตวเทากบ p ใหตวแปรสม X แทนจานวนครงทเกดเหตการณหรอ

ผลลพธทเปนความสาเรจ เรยก X วา ตวแปรสมทวนาม(Binomial Random Variable) ทม

พารามเตอร n และ p และมฟงกชนมวลความนาจะเปน

k n kX

np (k) p (1 p) , k 1, 2,...,n

k

4. ตวแปรสมเรขาคณต

ในลาดบของการทดลองแบรนลลทมความนาจะเปนของเหตการณหรอผลลพธทเปนความสาเรจเทากบ p

ใหตวแปรสม X แทนจานวนครงของการลองจนกระทงเกดเหตการณหรอผลลพธทสนใจ (ความสาเรจ) เรยก X

15 บทท 2 ตวแปรสมไมตอเนอง

วาตวแปรสมเรขาคณต(Geometric Random Variable)ทมพารามเตอร p และมฟงกชนมวลความนาจะเปน

k 1Xp (k) (1 p) p, k 1,2,...

5. ตวแปรสมปวสซอง

(1) ตวแปรสม X ทมฟงกชนมวลความนาจะเปน

k

X

eP (k) , k 0,1, 2,...

k!

เมอ เปนจานวนจรงบวก เรยก X วา ตวแปรสมปวสซอง(Poisson Random Variable) ทม

พารามเตอร

(2) ฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซองทมพารามเตอร ใชเปนคาประมาณทดของฟงกชนมวล

ความนาจะเปนทวนาม ทมพารามเตอร n และ p เมอ n มคามากและ p มคานอย และ = np

2.3 ฟงกชนของตวแปรสม

1. คาคาดหวง

คาคาดหวง(Expectation หรอ Expected Value) ของตวแปรสมไมตอเนอง X ทมฟงกชนมวลความนาจะ

เปน pX แทนดวย E(X) นยามโดย

Xx

E(X) xp (x)

(ถาม )

2. กฎคาคาดหวงของฟงกชนของตวแปรสม

ให X เปนตวแปรสมไมตอเนองทมฟงกชนมวลความนาจะเปน pX และ g(X) เปนฟงกชนของ X แลว คา

คาดหวงของตวแปรสม g(X) หาไดจากสตร

Xx

E[g(X)] g(x)p (x)

3. ความแปรปรวนและคาเบยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวน (Variance) ของตวแปรสมไมตอเนอง X แทนดวย Var(X) [หรอ 2X หรอ 2]นยามโดย

2Var(X) E[(X E(X)) ]

และอาจคานวณโดยใชสตร

2X

x

Var(X) [x E(X)] p (x)

รากทสองทเปนจานวนบวกของความแปรปรวนเรยกวา คาเบยงเบนมาตรฐาน(Standard Deviation) แทน

ดวย SD(X) [หรอ X หรอ ]

SD(X) Var(X)


4. คาเฉลยและความแปรปรวนของฟงกชนเชงเสนของตวแปรสม

ให X เปนตวแปรสมและให Y = aX + b

เมอ a และ b เปนคาคงตว แลว

E(Y) = aE(X) + b และ Var(Y) = a2Var(X)

5. สตรการคานวณความแปรปรวน

ความแปรปรวนของตวแปรสมX อาจคานวณโดยใชโมเมนตไดโดยใชสตรตอไปน

2 2Var(X) E(X ) [E(X)]

6. คาเฉลยและความแปรปรวนของตวแปรสมไมตอเนองบางชนด

ตวแปรสม พารามเตอร คาเฉลยหรอคาคาดหวง ความแปรปรวน

แบรนลล p p p(1-p)

ยนฟอรม a และ b a b

2

(b a)(b a 2)

12

ทวนาม n และ b np np(1-p)

เรขาคณต p 1

p

2

1 p

p

ปวสซอง

2.5 ฟงกชนมวลความนาจะเปนรวมของตวแปรสมหลายตว

ให X และ Y เปนตวแปรสมไมตอเนองจากการทดลองสมเดยวกน

1. ฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม (Joint PMF) ของ X และ Y แทนดวย X,Yp นยามโดย

X,Yp (x, y) P(X x,Y y)

2. ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจน (Marginal PMF) ของ X และ Y สามารถคานวณจากฟงกชนมวล

ความนาจะเปนรวมโดยใชสตร

X X,Yy

p (x) p (x, y) และ Y X,Yx

p (y) p (x, y)

3. ฟงกชน g(X,Y) ของตวแปรสม X และ Y เปนตวแปรสมและคาคาดหวงของ g(X,,Y) คานวณจากสตร

X,Yx y

E[g(X Y)] g(x, y)p (x, y)

ถา g เปนฟงกชนเชงเสนในรปแบบ aX + bY + c แลวจะได E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c


2.6 การวางเงอนไข

1. ขอเทจจรงเกยวกบฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไข (Conditional PMF)


(1) ฟงกชนมวลความนาจะเปนม เงอนไขคลายกบฟงกชนมวลความนาจะเปนธรรมดา แตม

แซมเปลสเปซลดทอนลงเปนเหตการณทวางเงอนไขไว (เหตการณทเราทราบวาเกดขน)

(2) ฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอทราบวาเหตการณ A เกดขนโดยท P(A) > 0

นยามโดย

X|Ap (x) P(X x | A)

และตองสอดคลองกบ

X|Ax

p (x) 1

(3) ถา 1 nA ,..., A เปนเหตการณไมเกดรวมกนและประกอบกนเปนผลการแบงแซมเปลสเปซ โดยม

P(Ai) > 0 สาหรบทก i แลว จะได

i

n

X i X|Ai 1

p (x) P(A )p (x)

(กรณพเศษของทฤษฎบทความนาจะเปนรวม) และ สาหรบเหตการณ B ใดๆซง P(AiB) > 0

สาหรบทก i จะได

i

n

X|B i X|A Bi 1

p (x) P(A | B)p (x)

(4) ฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอทราบวา Y = y มความสมพนธกบฟงกชนมวล

ความนาจะเปนรวมของ X และ Y ดงน

X,Y Y X|Yp (x, y) p (y)p (x | y)

(5) ฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอทราบวา Y = y สามารถใชคานวณฟงกชนมวล

ความนาจะเปนมารจนของ X โดยใชสตร

X Y X|Yy

p (x) p (y)p (x | y)

2. ขอเทจจรงเกยวกบคาคาดหวงมเงอนไข (Conditional Expectation)


(1) คาคาดหวงมเงอนไขของ X เมอทราบวาเหตการณ A เกดขนโดยท P(A) > 0 นยามโดย

X|Ax

E(X | A) xp (x)


และสาหรบฟงกชน g(X) ของตวแปรสม จะได X|A

x

E[g(X) | A] g(x)p (x)

(2) คาคาดหวงมเงอนไขของ X เมอทราบวา Y = y นยามโดย

X|Yx

E(X | Y y) xp (x | y)

(3) ถา 1 nA ,..., A เปนเหตการณไมเกดรวมกนและประกอบกนเปนผลการแบงแซมเปลสเปซ โดยม

P(Ai) > 0 สาหรบทก i แลว จะได n

i ii 1

E(X) P(A )E(X | A )

และ สาหรบเหตการณ B ใดๆซง P(AiB) > 0 สาหรบทก i จะได

n

i ii 1

E(X | B) P(A | B)E(X | A B)

(4) คาคาดหวงมเงอนไขของ X เมอทราบวา Y = y สามารถใชคานวณคาคาดหวงของ X โดยใชสตร Y

y

E(X) p (y)E(X | Y y)

2.7 ความอสระ

ให A เปนเหตการณซง P(A) > 0 และให X และ Y เปนตวแปรสมไมตอเนองจากการทดลองสมเดยวกน

1. X เปนอสระจากเหตการณ A ถา

X|A Xp (x) p (x) สาหรบทก x

หรอ ถา สาหรบทก x เหตการณ {X = x} และ A เปนอสระกน

2. X และ Y เปนอสระกน ถา สาหรบทก (x, y) เหตการณ {X = x} และ {Y = y} เปนอสระกน หรอ

X,Y X Yp (x, y) p (x)p (y) สาหรบทก x, y

3. ถา X และ Y เปนตวแปรสมอสระ จะไดวา

E(XY) = E(X)E(Y)

และ สาหรบฟงกชน g และ h ใดๆ ตวแปรสม g(X) และ h(Y) เปนอสระกนและจะได E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)]

4. ถา X และ Y เปนตวแปรสมอสระ จะไดวา

Var(X Y) Var(X) Var(Y)



1. ทมฟตบอลทมหนงมกาหนดทจะเลน 2 เกมในวนสดสปดาห ประเมนวามความนาจะเปน 0.4 ทจะไมแพ

ในเกมทหนง และมความนาจะเปน 0.7 ทจะไมแพในเกมทสอง ซงเปนอสระกนกบผลการแขงขนในเกมท

หนง ถาทมไมแพแลวมความนาจะเปนเทากนทจะเสมอหรอชนะและเปนอสระกนกบผลการแขงขนใน

เกมอนๆ ทมจะไดคะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน หรอ 0 คะแนน ถาทมชนะ เสมอ หรอแพ ตามลาดบ จงหา

ฟงกชนมวลความนาจะเปนของคะแนนททมจะไดรบเมอสนสดสปดาหดงกลาว

2. ศรวงศไปงานราตรสโมสรซงมผมารวมงาน 500 คน จงหาความนาจะเปนทมผมารวมงานเพยงคนเดยวทม

วนเกดตรงกบ ศรวงศ จงคานวณคาตอบทแมนตรงและประมาณคาโดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปน

ปวสซอง (สมมตวาไมมใครเกดในวนท 29 กมภาพนธ)

3. ฟสเชอรกบสปาสกเลนหมากรกกนในการแขงขนรายการหนง ใครชนะเกมหนงกอนเปนผชนะการ

แขงขน ถาเสมอกน 10 เกมตดตอกน จะประกาศผลการแขงขนใหทงคเสมอกน แตละเกมฟสเชอรม

โอกาสชนะ 0.4 สปาสกมโอกาสชนะ 0.3 และมโอกาสเสมอกน 0.3 เปนอสระกบผลการแขงขนในเกม

กอน

(1) จงหาความนาจะเปนทฟสเชอรจะชนะการแขงขน

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนเกมการแขงขนระหวางฟสเชอรกบสปาสก

4. ผใหบรการอนเตอรเนตรายหนงใชโมเดม 50 เครองใหบรการลกคา 1000 คน ประมาณกนวา ณ เวลาท

กาหนด ลกคาแตละคนมความตองการเชอมตออนเตอรเนตดวยความนาจะเปน 0.01 เปนอสระกนกบ

ลกคารายอนๆ

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนโมเดมทใชงานอย (= จานวนลกคาทตองการเชอมตอ

อนเตอรเนต) ณ เวลาทกาหนด

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซองทใชประมาณคาฟงกชนมวลความนาจะเปนในขอ (1)

(3) จงหาความนาจะเปนทจะมจานวนลกคาทตองการเชอมตออนเตอรเนตมากกวาจานวนโมเดม ทงคาท

แมนตรงและคาประมาณโดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซอง


5. ทมเซลตกสและทมเลเกอรกาหนดการแขงขนบาสเกตบอลรายการพเศษ n เกม เมอ n เปนจานวนค ทม

เซลตกสมความนาจะเปน p ทจะชนะทมเลเกอรในเกมใดๆเปนอสระกนกบผลการแขงขนในเกมอนๆ

สาหรบ k > 0 จงหาคาของ p ซงเมอ n = 2k + 1 ดสาหรบเซลตกสมากกวาเมอ n = 2k – 1

6. เสรเพงเชาบานหลงใหญหลงหนง เจาของบานมอบกญแจใหเสร 5 ดอกสาหรบไขกญแจประต 5 บานดอก

ละบาน แตวาแมกญแจแตละตวมรปลกษณเหมอนกน ดงนนในการไขประตหนาบาน เสรจงเลอกใชลก

กญแจโดยสม

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนลกกญแจทใชลองไขกญแจประตหนาบาน ภายใตขอ

สมมต:

(a) หลงจากลองใชลกกญแจทเลอกเปดประตไมสาเรจ จะทาเครองหมายไวเพอจะไดไมนามาใชซา

(b) ในการลองไขกญแจแตละครง มความนาจะเปนเทากนทจะใชลกกญแจแตละดอก

(2) ทาขอ (1) ใหม ถาเจาของบานใหกญแจสารองสาหรบเปดประตแตละบานอกบานละดอก

7. ให X เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p จงแสดงวาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X

สามารถคานวณไดโดยเรมตนจาก nXp (0) (1 p) แลวใชสตรเวยนเกด

X X

p n kp (k 1) p (k)

p 1 k 1

, k = 0, 1, …, n

8. พจารณาตวแปรสมทวนาม X ทมพารามเตอร n และ p ให k* เปนจานวนเตมทมากทสดซงนอยกวาหรอ

เทากบ (n + 1)p จงแสดงวา ฟงกชนมวลความนาจะเปน Xp (k) มคาไมลดทางเดยว เมอ 0 k k *

และมคาลดทางเดยว เมอ k k *

9. ให X เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร จงแสดงวา ฟงกชนมวลความนาจะเปน Xp (k) มคาเพม

ทางเดยวเมอ k [ ] =จานวนเตมทมากทสดซงนอยกวาหรอเทากบ และมคาลดทางเดยว เมอ k [ ]

10. บานาคเปนนกคณตศาสตรซงเสพตดบหรพกไมขดไฟใสกระเปาซายและขวาขางละกลอง แตละครงทเขา

ตองการจดบหร เขาจะเลอกกลองไมขดจากกระเปาขางใดขางหนงดวยความนาจะเปน 1p

2 เปนอสระ

กนกบการเลอกครงกอนๆ ในตอนเรมตน กลองไมขดไฟทงสอง มไมขดไฟจานวนเทากน n กาน จงหา

ฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนกานไมขดทเหลอ ณ เวลาทเขาเลอกกลองไมขดกลองหนงแลว

พบวาเปนกลองวางเปลา จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนในกรณทวไป เมอความนาจะเปนในการเลอก

กลองไมขดไฟจากกระเปาขางซายเทากบ p และจากกระเปาขางขวาเทากบ 1 – p


11. พจารณาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p จงแสดงวา เมอ

n และ p 0 และเมอ np มคาคงตวเทากบ ฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมทวนามน

เขาใกลฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร

12. ครอบครวหนงวางแผนทจะมบตรโดยธรรมชาต 5 คนและรบเดกหญงเปนบตรบญธรรมอก 2 คน ถาโดย

ธรรมชาตบตรแตละคนมความนาจะเปนเทากนทจะเปนหญงหรอเปนชายและเปนอสระกนกบบตรคน

อนๆ จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนบตรหญงจากบตรทงหมด 7 คน

13. ให X เปนตวแปรสมทมคาทเปนไปไดเปนจานวนเตมตงแต 0 ถง 9 ดวยความนาจะเปน 1

10 เทากน

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม Y = X mod(3)

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม Y = 5 mod(X + 1)

14. ให K เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมในชวง [-n, n] ดวยความนาจะเปน 1

2n 1 จงหาฟงกชนมวล

ความนาจะเปนของตวแปรสม Y = ln X เมอ X = a|K| และ a เปนจานวนเตมบวก

15. ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนมวลความนาจะเปน

2

X

x,

p (x) a

0,

ถา x = -3,-2,-1,0,1,2,3

สาหรบคาอนๆของ x

(1) จงหา a และ E(X)

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม Z = (X – E(X))2

(3) จงใชผลจากขอ (2) หาความแปรปรวนของ X

(4) จงหาความแปรปรวนของ X โดยใชสตร 2

Xx

Var(X) x E(X) p (x)

16. จาลองอณหภมของเมองหนงดวยตวแปรสมทมคาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 องศาเซลเซยส

ทงค กลาววาวนหนงเปนวนทมอณหภมปกต ถาอณหภมในวนนนเบยงเบนจากคาเฉลยไมเกนหนงเทาของ

คาเบยงเบนมาตรฐาน จงหาชวงอณหภมของวนทมอณหภมปกตเมอวดอณหภมเปนองศาฟาหเรนไฮต


17. ให a และ b เปนจานวนเตมบวกซง a ≤ b และให X เปนตวแปรสมทมคาเปนเลขยกกาลงของ 2 ในชวง a b[2 ,2 ] ดวยความนาจะเปนเทากน จงหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของ X

18. [St. Petersburg Paradox]

ใหคณโยนเหรยญเทยงตรงอนหนงอยางอสระและนบจานวนครงทโยนเหรยญจนกระทงเหรยญหงายดาน

กอย ถาจานวนครงทนบไดคอ n คณจะไดเงน n2 ดอลลาร จานวนเงนทคาดวาคณจะไดรบเทากบเทาใด

คณเตมใจทจะจายคาเลนเกมเกมนเทาใด

19. โรงงานชอกโกแลตแหงหนงสงเสรมการขายโดยโฆษณาวาโรงงานใสสลากทองคาในแทงชอกโกแลตบาง

แทง ผทพบสลากทองคานจะไดเดนทางมาทโรงงานและไดกนชอกโกแลตฟรตลอดชวต ถาความนาจะ

เปนทจะพบสลากทองคาในแทงชอกโกแลตแตละแทงเทากบ p จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของ

จานวนแทงชอกโกแลตทกนจนกระทงพบสลากทองคา

20. โยนเหรยญ 2 อนพรอมกนซาๆจนกระทงเหรยญหนงหงายดานหวและอกเหรยญหนงหงายดานกอย

เหรยญแรกหงายดานหวดวยความนาจะเปน p และเหรยญทสองหงายดานหวดวยความนาจะเปน q

การโยนเหรยญแตละครงเปนอสระกน

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน คาคาดหวง และความแปรปรวนของจานวนครงทโยนเหรยญ

(2) จงหาความนาจะเปนทเหรยญแรกหงายดานหวในครงสดทายของการโยนเหรยญ

21. (1) โยนเหรยญเทยงตรงอนหนงซาๆและเปนอสระกนจนกระทงเหรยญหงายดานหวสองครงตดตอกน

หรอหงายดานกอยสองครงตดตอกน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน คาคาดหวง และความแปรปรวน

ของจานวนครงทโยนเหรยญ

(2) สมมตวาเราโยนเหรยญจนกระทงเหรยญหงายดานกอยและครงกอนหนานเหรยญหงายดานหว จงหา

ฟงกชนมวลความนาจะเปน และคาคาดหวงของจานวนครงทโยนเหรยญ

22. นกเลนหนคนหนงซอหน A จานวน 100 หนวยและซอหน B จานวน 200 หนวย ให X และ Y แทนราคา

ทเปลยนแปลงในชวงเวลาหนงของหน A และ B ตามลาดบ ถาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวมของ X

และ Y เปนแบบยนฟอรมบนเซตของจานวนเตม x และ y ซงสอดคลองกบอสมการ

2 x 4 และ 1 y x 1

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจนและคาเฉลยของ X และ Y


(2) จงหากาไรเฉลยของนกเลนหน

23. นกศกษา n คนเขาสอบรายวชาหนงซงมคาถาม m ขอ สมมตวานกศกษาคนท i ตอบคาถาม im ขอแรก

(1) อาจารยผสอนเลอกดคาตอบหนงโดยสม แทนคาตอบนดวย (I, J) เมอ I คอหมายเลขของนกศกษา (ม

คา 1, 2, …, n) และ J คอลาดบทของคาถาม (มคา 1,2,…, m) สมมตวาแตละคาตอบมความนาจะเปนท

จะถกเลอกเทากน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม และ ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจนของ I

และ J

(2) สมมตวา คาตอบหนงของคาถามขอท j ทตอบโดยนกศกษาคนท i เปนคาตอบทถกตองดวยความนาจะ

เปน ijp แตละคาตอบไดคะแนน a คะแนนถาเปนคาตอบทถกตอง และไดคะแนน b คะแนนถาเปน

คาตอบทไมถกตอง จงหาคาคาดหวงของคะแนนของนกศกษาคนท i

24. [การแจกแจงอเนกนาม (The Multinomial Distribution)]

ลกเตาลกหนงม r หนา เขยน 1, 2, …, r กากบไวหนาละจานวน ทอดลกเตาลกนจานวน n ครง (n เปนคา

คงตว) ในการทอดลกเตาแตละครง ความนาจะเปนทลกเตาจะหงายหนา i เทากบ ip ผลการทอดลกเตาแต

ละครงเปนอสระกน ให iX แทนจานวนครงทลกเตาหงายหนา i

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม 1 nX ,...,X 1 rp (k ,..., k )

(2) จงหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของ iX

(3) จงหา i jE(X X ) เมอ i j

25. [The inclusion-exclusion formula]

ให 1 2 nA , A ,..., A เปนเหตการณ ให 1S {i |1 i n} , 2 1 2 1 2S {(i ,i ) |1 i i n} แ ละในกรณ

ทวไป ให m 1 m 1 2 mS {(i ,..., i ) |1 i i ... i n} จงแสดงวา

1 2

1 1 2 2

1 2 3

1 2 3 3

n

k i i ik 1

i S (i ,i ) S

nn 1

i i i kk 1

(i ,i ,i ) S

P A P(A ) P(A A )

P(A A A ) ... ( 1) P A

แนะนา: ให iX เปนตวแปรสมซงเทากบ 1 เมอ iA เกดขนและเทากบ 0 เมอ iA ไมเกดขน เหตการณท

สนใจสมพนธกบ ตวแปรสม 1 2 n1 X (1 X )...(1 X )

26. ทอดลกเตาเทยงตรง 4 ครงเปนอสระกน ให X แทนจานวนครงทลกเตาหงายหนา 1 และ Y แทนจานวน

ครงทลกเตาหงายหนา 2 จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวมของ X และ Y


27. พจารณาคน 2m คนซงเปนคสมรส m คทมชวตอย ณ เวลาทกาหนด สมมตวาเวลาผานไปชวงหนง ความ

นาจะเปนทแตละคนยงมชวตอยเทากบ p เปนอสระกนกบคนอนๆ ณ เวลาทกลาวถงภายหลงน ให A

แทนจานวนคนในกลมดงกลาวทยงมชวตอย และให C แทนจานวนคสมรสทยงมชวตอยทงค จงหา E(C | A a)

28. จงทวนสอบกฎของคาคาดหวง

X,Yx y

E g(X,Y) g(x, y)p (x, y)

โดยใชกฎเกยวกบคาคาดหวงของฟงกชนของตวแปรสมตวเดยว แลวใชกรณพเศษของฟงกชนเชงเสนทวน

สอบสตร

E aX bY aE(X) bE(Y)

เมอ a และ b เปนคาคงตว

29. [กฎการคณสาหรบฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไข]

ให X, Y และ Z เปนตวแปรสมไมตอเนอง

(1) จงแสดงวา X,Y,Z X Y|X Z|X,Yp (x, y,z) p (x)p (y | x)p (z | x, y)

(2) สตรในขอ(1)นสามารถแปลความหมายเปนกรณพเศษของกฎการคณของความนาจะเปนทกลาวใน

บทท 1 ไดอยางไร

(3) จงเขยนกรณทวไปของสตรในขอ (1) สาหรบตวแปรสม n ตว

30. เครองสงสญญาณสง 1 ดวยความนาจะเปน p และสง 0 ดวยความนาจะเปน 1 – p เปนอสระกนกบ

สญญาณทสงกอนหนานน ถาจานวนสญญาณทสงในชวงเวลาทกาหนดมฟงกชนมวลความนาจะเปน

ปวสซองทมพารามเตอร จงแสดงวาจานวนสญญาณ 1 ทสงในชวงเวลาเดยวกนนมฟงกชนมวลความ

นาจะเปนปวสซองทมพารามเตอร p

31. ระหวางขบรถยนตไปทางานอลสผานแยกสญญาณไฟจราจร 4 จด แตละจดทอลสไปถงมความเปนไปได

เทากนทจะเปนไฟแดงหรอไฟเขยว เปนอสระกนกบจดอนๆ

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน คาเฉลย และความแปรปรวนของจานวนสญญาณไฟแดงทอลสพบ

ระหวางเดนทางไปทางาน

(2) สมมตวาสญญาณไฟแดงแตละจดทาใหอลสตองหยดรถ 2 นาท จงหาความแปรปรวนของเวลาท

เพมขนในการเดนทางของอลส


32. ในตอนเชาของแตละวน สวรรณจะกนขนมไขนกกระทา 1, 2, …, หรอ 6 ชนดวยความนาจะเปนเทากน

และเปนอสระกนกบวนกอนๆ ให X แทนจานวนขนมไขนกกระทาทสวรรณกนใน 10 วน จงหาคาเฉลย

และความแปรปรวนของ X

33. นโยบายการประเมนบทความวชาการของอาจารยทานหนงเปนททราบกนทวไป แตละบทความจะไดเกรด

A, A-, B+, B, B-, C+ ดวยความนาจะเปนเทากน และเปนอสระกนกบบทความอนๆ คาดวาจะตองสง

บทความใหทานประเมนกฉบบกอนทจะไดผลการประเมนทกเกรดทเปนไปได

34. สถาพรขบรถยนตไปทางานสปดาหละ 5 วนตลอดทงป (50 สปดาห) และในแตละวนสถาพรมความนาจะ

เปน p = 0.02 ทจะไดรบใบสงปรบเปนอสระกนกบวนอนๆ ให X แทนจานวนใบสงทสถาพรไดรบ

ทงหมดในรอบ 1 ป

(1) จงหาความนาจะเปนทจานวนใบสงคาปรบทสถาพรไดรบเทากบคาคาดหวงของ X

(2) จงประมาณคาความนาจะเปนในขอ (1) โดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซอง

(3) คาปรบตามใบสงปรบแตละใบเทากบ 100 บาท หรอ 200 บาท หรอ 500 บาทดวยความนาจะเปน

0.5, 0.3 และ 0.2 ตามลาดบ และเปนอสระกน จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของจานวนเงนทสถาพร

ตองจายตามใบสงปรบในรอบ 1 ป

(4) สมมต เราไมทราบคาความนาจะเปน p ทสถาพรจะไดรบในแตละวน แตสถาพรไดรบใบสงคาปรบ

5 ใบในรอบ 1 ป เราสามารถประมาณคาของ p โดยใชคาเฉลยตวอยาง

5p 0.02

250

จงหาชวงของคาทเปนไปไดของ p โดยใชขอสมมตวาผลตางระหวาง p กบ p ไมเกน 5 เทาคาเบยงเบน

มาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง

35. สมมตวา X และ Y เปนตวแปรสมเรขาคณตทมพารามเตอร p เหมอนกน และเปนอสระกน จงแสดงวา

1P(X i | X Y n) , i 1,...,n 1

n 1

36. ให X และ Y เปนตวแปรสมสองตวทมฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม X,Yp (x, y) ให g(X) และ h(Y)

เปนฟงกชนของ X และของ Y ตามลาดบ จงแสดงวา ถา X และ Y เปนอสระกน แลว g(X) และ h(Y)

เปนอสระกนดวย


หนาวาง

3 ตวแปรสมทวไป


3.1 ตวแปรสมตอเนองและฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

1. ตวแปรสม X เปนตวแปรสมตอเนอง ถามฟงกชนทมคาไมเปนจานวนลบ Xf เรยกวาฟงกชนความ

หนาแนนนาจะเปน(Probability Density Function เขยนยอเปน PDF)ของ X ซง

XB

P X B f (x)dx

สาหรบทกสบเซต B ของเซตของจานวนจรง

เราอาจแปลความหมายฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน Xf (x) เปนความนาจะเปนท X มคาใกลๆ x

x /2

X Xx /2

P X [x / 2, x / 2] f (t)dt f (x)

เมอ มคานอยๆ

2. สมบตของฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

ฟงกชนมวลความนาจะเปน Xf (x) ของตวแปรสมตอเนอง X มสมบตตอไปน

(1) Xf (x) 0 สาหรบทก x

(2) Xf (x)dx 1

(3) สาหรบสบเซต B ใดๆของเซตของจานวนจรง

XB

P(X B) f (x)dx

3. คาคาดหวงของตวแปรสมตอเนอง

ให X เปนตวแปรสมตอเนองทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fX

(1) คาคาดหวงของ X นยามโดย

XE(X) x f (x)dx

(2) คาคาดหวงของฟงกชน g(X) ของตวแปรสม X คานวณไดจากสตร

XE[g(X)] g(x) f (x)dx

(3) ความแปรปรวนของ X นยามโดย

2 2XVar(X) E[(X E(X)) ] (x E(X)) f (x)dx


(4) ความแปรปรวนของ X สามารถคานวณจากสตร 2 2Var(X) E(X ) [E(X)]

(5) ถา Y = aX + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง แลวจะได

E(Y) = aE(X) + b และ Var(Y) = a2Var(X)

4. ตวแปรสมยนฟอรม

(1) ตวแปรสม X เรยกวา ตวแปรสมยนฟอรม (Uniform Random Variable) บนชวง [a, b]

ถา X มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนในรปแบบ

X

1, x [a, b]

f (x) b a

0, x [a, b]

เมอ a และb เปนคาคงตวใดๆ

(2) คาคาดหวงและความแปรปรวนของตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [a, b] คอ

a bE(X)

2

และ

2(b a)Var(X)

12

5. ตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล

(1) ตวแปรสม X ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนในรปแบบ

x

X

e , x 0f (x)

0, x 0

เมอ > 0 เปนคาคงตว เรยกวา ตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล (Exponential Random

Variable) ทมพารามเตอร

(2) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชยลมคาลดลงแบบเอกซโพเนนเชยล สาหรบ

จานวนจรง a ≥ 0 ใดๆ จะไดวา

x a

aP(X a) e dx e

(3) คาคาดหวงและความแปรปรวนของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร คอ

1E(X)

และ

2

1Var(X)

3.2 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม

1. ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม(Cumulative Distribution Function เขยนยอเปน

CDF) ของตวแปรสม X แทนดวย FX ใหคา P(X ≤ x) กลาวคอ สาหรบทก x

Xk x

X x

X

p (k),

F (x) P(X x)f (t)dt,

X เปนตวแปรสมไมตอเนอง

X เปนตวแปรสมตอเนอง

29 บทท 3 ตวแปรสมทวไป

2. สมบตของฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม

(1) FX เปนฟงกชนไมลดทางเดยว หมายความวา ถา a ≤ b แลว X XF (a) F (b)

(2) Xxlim F (x) 0

และ Xxlim F (x) 1

(3) ถา X เปนตวแปรสมไมตอเนองแลว FX(x) เปนฟงกชนทมคาคงตวเปนชวงๆ (Piecewise Constant Function)

(4) ถา X เปนตวแปรสมตอเนองแลว FX(x) เปนฟงกชนตอเนอง

(5) ถา X เปนตวแปรสมไมตอเนองทมคาเปนจานวนเตม แลว PMF และ CDF คานวณจากกน

และกนไดโดยการบวกหรอการลบดงน

k

X Xi

F (k) p (i)

X X Xp (k) P(X k) P(X k 1) F (k) F (k 1)

สาหรบทกจานวนเตม k

(6) ถา X เปนตวแปรสมตอเนอง แลว CDF และ PMF คานวณจากกนและกนไดโดยการหา

ปรพนธหรอการหาอนพนธดงน

x

X XF (x) f (t)dt

และ X X

df (x) F (x)

dx

3.3 ตวแปรสมปกต

1. ตวแปรสมตอเนอง X เรยกวา ตวแปรสมปกต (Normal Random Variable) ทมพารามเตอร และ

2 ถา X มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนในรปแบบ

2 2(x ) / (2 )

X

1f (x) e

2

2. คาคาดหวงและความแปรปรวนของตวแปรสมปกต X ทมพารามเตอร และ 2 คอ

E(X) = และ 2Var(X)

3. ถา X เปนตวแปรสมปกตทมพารามเตอร และ 2 และถา a ≠ 0 แลวตวแปรสม Y = aX + b

เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลยและความแปรปรวนดงน

E(Y) a b และ 2 2Var(Y) a

4. ตวแปรสมปกต Z ทมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 1 เรยกวา ตวแปรสมปกตมาตรฐาน (Standard

Normal Random Variable) ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z แทนดวย

2z

t /21(z) e dt

2

คาของ (z) แสดงในตารางการแจกแจงปกตมาตรฐานทายเลม

5. วธการคานวณคาของฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสมปกต


การคานวณ P(X ≤ x) สาหรบตวแปรสมปกต X ทมคาเฉลย และความแปรปรวน 2 กระทาเปน 2

ขนตอนดงน

(1) แปลง X เปนตวแปรสมปกตมาตรฐาน Z โดยลบดวย แลวหารดวย

(2) อานคาของฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมจากตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน

X x x xP(X x) P P Z

3.4 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของตวแปรสมหลายตว

1. กลาววา X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทมการแจกแจงความนาจะเปนรวม ถามฟงกชนความหนาแนน

นาจะเปนรวม (Joint Probability Density Function เขยนยอเปน Joint PDF) fX,Y ทมคาไมเปน

จานวนลบและใชคานวณความนาจะเปน

X,Y

(x,y) B

P[(X, Y) B] f (x, y)dxdy

สาหรบทก B ทเปนสบเซตของ 2R (R คอเซตของจานวนจรง)

2. ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจน (Marginal PDF) ของตวแปรสม X และ Y สามารถหาได

จากฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม โดยใชสตร

X X,Yf (x) f (x, y)dy

และ Y X,Yf (y) f (x, y)dx

3. ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมรวม (Joint CDF) ของตวแปรสม X และ Y นยามโดย

X,YF (x, y) P X x,Y y

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม fX,Y หาไดจาก FX,Y ไดโดยใชสตร

2

X,Y X,Yf (x, y) F (x, y)x y

สาหรบทก (x,y) ท fX,Y(x,y) มความตอเนอง

4. ฟงกชน g(X,Y) ของตวแปรสม X และ Y เปนตวแปรสม คาคาดหวงของ g(X,Y) คานวณไดดงน

X,YE[g(X, Y)] g(x, y) f (x, y)dxdy

ถา g เปนฟงกชนเชงเสนในรปแบบ aX + bY + c แลวจะได E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c

3.5 การวางเงอนไข

1. ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขเมอกาหนดเหตการณหนง

(1) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข(Conditional PDF) ของตวแปรสม X เมอ

กาหนด เหตการณ A (ทราบวาเกดเหตการณ A) โดยท P(A) > 0 คอฟงกชน X|Af ซงมคาไมเปน

จานวนลบและสอดคลองกบสมการ


X|AB

P(X B | A) f (x)dx

หรบทก B ทเปนสบเซตของเซตของจานวนจรง

(3) ถา A เปนสบเซตของเซตของจานวนจรงโดยท P(A) > 0 จะไดวา

X

X|{X A}

f (x), x A

P(X A)f (x)

0, x A

(4) ให 1 2 n{A , A ,...,A } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ และสมมตวา iP(A ) 0 สาหรบทก i

จะไดวา

i

n

X i X|Ai 1

f (x) P(A )f (x)

(รปแบบหนงของทฤษฎบทความนาจะเปนรวม)

2. ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขเมอกาหนดตวแปรสมตวหนง

ให X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม fX,Y

(1) สาหรบทก y ซง fY(y) > 0 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนด

Y = y นยามโดย

X,YX|Y

Y

f (x, y)f (x | y)

f (y)

(1) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจน และ ฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขมความสมพนธกนดงน

X,Y Y X|Yf (x, y) f (y)f (x | y)

X Y X|Yf (x) f (y)f (x | y)dy

ความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข X|Yf (x | y) นยามสาหรบ y ซง fY(y) > 0 เทานน

(2) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข X|Yf (x | y) ใชหาความนาจะเปนไดดงน

X|YA

P X A | Y y f (x | y)dx

3. คาคาดหวงมเงอนไข

ให X และ Y เปนตวแปรมตอเนองทมการแจกแจงความนาจะเปนรวมกน และให A เปนเหตการณ

หนงซง P(A) > 0

(1) คาคาดหวงมเงอนไข (Conditional Expectation) ของ X เมอกาหนดเหตการณ A (ทราบ

วาเกดเหตการณ A) นยามโดย

X|AE(X | A) xf (x)dx

คาคาดหวงมเงอนไขของ X เมอกาหนด Y = y นยามโดย

X|YE(X | Y y) xf (x | y)dx


(2) กฎคาคาดหวง (The Expected Value Rule) สาหรบฟงกชน g(X) ของตวแปรสม X

สามารถคานวณคาคาดหวงของ g(X) โดยใชสตรตอไปน

X|AE[g(X) | A] g(x)f (x)dx

และ

X|YE[g(X) | Y y] g(x)f (x | y)dx

(3) ทฤษฎบทคาคาดหวงรวม (Total Expectation Theorem)

ให 1 2 n{A , A ,...,A } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ และสมมตวา iP(A ) 0 สาหรบทก i จะ

ไดวา

n

i ii 1

E(X) P(A )E(X | A )

และ

YE(X) E[X | Y y]f (y)dy

(4) สาหรบคาคาดหวงมเงอนไขของฟงกชนของตวแปรสมหลายตวกสามารถหาไดจากสตรท

คลายกนเชน

X|YE[g(X, Y) | Y y] g(x, y)f (x | y)dx

และ

YE[g(X, Y)] E[g(X, Y) | Y y]f (y)dy

4. ความอสระของตวแปรสมตอเนอง

ให X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทมการแจกแจงความนาจะเปนรวม

(1) X และ Y เปนอสระกน ถา

X,Y X Yf (x, y) f (x)f (y) สาหรบทก x, y

(2) ถา X และ Y เปนอสระกน แลว

E(XY) = E(X)E(Y)

นอกจากนนจะไดวา ตวแปรสม g(X) และ h(Y) เปนอสระกนดวย เมอ g และ h เปนฟงกชนใดๆ

และจะได E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)]

(3) ถา X และ Y เปนอสระกน แลว

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

3.6 กฎของเบสกรณตวแปรสมตอเนอง

ให Y เปนตวแปรสมตอเนอง

(1) ถา X เปนตวแปรสมตอเนอง จะได


Y X|Y X Y|Xf (y)f (x | y) f (x)f (y | x)

และ

X Y|X X Y|X

X|Y

YX Y|X

f (x)f (y | x) f (x)f (y | x)f (x | y)

f (y) f (t)f (y | t)dt

(2) ถา N เปนตวแปรสมไมตอเนอง จะได

Y N Y|Nf (y)P(N n | Y y) p (n)f (y | n)

และ

N Y|N N Y|N

Y N Y|Ni

p (n)f (y | n) p (n)f (y | n)P(N n | Y y)

f (y) p (i)f (y | i)

และ

y YY|N

NY

f (y)P(N n | Y y) f (y)P(N n | Y y)f (y | n)

p (n) f (t)P(N n | Y t)dt


1. ให X เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [0, 1] พจารณาตวแปรสม Y = g(X) เมอ

1, x 1/ 3

g(x)x 1/ 32,

จงหาคาคาดหวงของ Y โดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปนของ Y เปรยบเทยบกบเมอใชกฎการหาคา

คาดหวงของฟงกชน

2. [ตวแปรสมลาปลาซ]

ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

|x|Xf (x) e

2

เมอ 0 เปนคาคงตว จงทวนสอบวา Xf (x) เปนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน และ จงหา

คาเฉลยและความแปรปรวนของ X

3. จงแสดงวาคาคาดหวงของตวแปรสมไมตอเนองหรอตอเนอง X สอดคลองกบความสมพนธ

0 0

E(X) P(X x)dx P(X x)dx

4. [กฎคาคาดหวงของฟงกชนของตวแปรสม]

ให X เปนตวแปรสมตอเนองทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน Xf (x) และให g(X) เปนฟงกชน


ของตวแปรสม X จงพสจนวาคาคาดหวงของ g(X) หาไดจากสตร

XE g(X) g(x)f (x)dx

5. พจารณารปสามเหลยมรปหนงและเลอกจดหนงภายในรปสามเหลยมโดยสม (ภายใตการแจกแจง

ยนฟอรม) ให X แทนระยะทางจากจดทเลอกถงฐานของรปสามเหลยม เมอกาหนดสวนสงของรป

สามเหลยม จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X

6. มานไปธนาคารเพอถอนเงน และ มโอกาสเทากนทจะพบลกคา 0 หรอ 1 คนทมาถงกอนมาน เวลาท

ใหบรการลกคาทมากอน (ถาม) มการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร จงหาฟงกชนการ

แจกแจงความนาจะเปนสะสมของเวลาทมานรอคอยบรการ

7. วนปาลกดอกไปทเปาวงกลมรศม r และมความเปนไปไดเทากนทจะถกจดใดๆบนเปา ให X แทน

ระยะทางจากจดทลกดอกถกเปาถงจดศนยกลางของเปา

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน คาเฉลย และ ความแปรปรวนของ X

(2) เปามวงกลมวงในรศม t จดศนยกลางเดยวกนกบเปา ถา X t วนไดคะแนน S = 1/X ถา X > t

วนไดคะแนน S = 0 จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ S และจงพจารณาวา S เปน

ตวแปรสมตอเนองหรอไม

8. พจารณาตวแปรสมตอเนองสองตว Y และ Z ให X เปนตวแปรสมซงเทากบ Y ดวยความนาจะเปน p

และเทากบ Z ดวยความนาจะเปน 1 – p

(1) จงแสดงวาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X คอ

X Y Zf (x) p f (x) (1 p) f (x)

(2) จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลสองดานซงม

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

x

X x

x 0p e ,f (x)

x 0(1 p) e ,

เมอ 0 และ 0 p 1

9. [ตวแปรสมผสม(Mixed Random Variable)]

ในบางสถานการณ ตวแปรสมทใชในตวแบบเชงความนาจะเปนสามารถพจารณาเปนตวแปรสมไม

ตอเนอง Y และตวแปรสมตอเนอง Z ผสมกน หมายความวา คาของ X ไดจากการแจกแจงความนาจะ

เปนของ Y ดวยความนาจะเปน p ทกาหนดให และไดจากการแจกแจงความนาจะเปนของ Z ดวย


ความนาจะเปน 1 – p แลวกลาววา X เปนตวแปรสมผสมและสามารถใชทฤษฎบทความนาจะเปนรวม

หาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X ไดดงน

XF (x) P X x

Y Z

p P Y x (1 p) P Z x

p F (x) (1 p) F (x)

คาคาดหวงของ X นยามคลายกบทฤษฎบทคาคาดหวงรวมโดย

E(X) pE(Y) (1 p)E(Z)

จดจอดแทกซและปายรถประจาทางอยในบรเวณเดยวกนใกลบานนาผง นาผงไปทจดดงกลาว ณ เวลา

ทกาหนด ถามแทกซรออย (เหตการณนเกดขนดวยความนาจะเปน 2/3) นาผงจะใชแทกซ ถาไมม

แทกซจอดรออย นาผงจะรอขนแทกซหรอรถประจาทางคนทมาถงกอน รถแทกซคนถดไปจะมาถงจด

ทนาผงรออยในเวลาทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง 0 ถง 10 นาท ในขณะทรถประจาทางคนถดไป

จะมาถงจดทนาผงรออยในเวลาอก 5 นาทแนนอน จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและ

คาคาดหวงของเวลาทนาผงรอรถ

10. [การจาลองตวแปรสมตอเนอง (Simulating a Continuous Random Variable)]

คอมพวเตอรมชดคาสงยอยทสามารถสรางคาของตวแปรสม U ทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง

[0, 1] เราสามารถใชชดคาสงยอยดงกลาวนสรางคาของตวแปรสมทมฟงกชนการแจกแจงความนาจะ

เปนสะสม F(x) ดงน ถาตวแปรสม U มคา u เราให X มคาเปน x ทสอดคลองกบ F(x) = u ในกรณ

อยางงาย สมมตวา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมทกาหนดใหเปนฟงกชนเพมบนชวง S

ของคาทสนใจ เมอ S ={x|0 < F(x) < 1} เงอนไขนรบรองวา สาหรบ u ใดๆในชวง (0, 1) จะม x คา

เดยวซงสอดคลองกบ F(x) = u

(1) จงแสดงวา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสม X ทสรางขนเทากบฟงกชน

การแจกแจงความนาจะเปนสะสมทกาหนดให

(2) จงอธบายวธสรางคาของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร โดยใชวธการดงกลาว

ขางตน

(3) วธการสรางคาของตวแปรสมทอธบายขางตนสามารถใชสรางคาของตวแปรสมไมตอเนองทมคา

เปนจานวนเตมไดอยางไร

11. ให X และ Y เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และ 1 ตามลาดบ และความแปรปรวน 1 และ 4

ตามลาดบ


(1) จงหา P(X ≤ 1.5) และ P(X ≤ -1)

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Y 1

2

(3) จงหา P(-1 ≤ Y ≤ 1)

12. ให X เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และคาเบยงเบนมาตรฐาน จงใชตารางการแจกแจงปกต

มาตรฐานคานวณความนาจะเปนของเหตการณ {X ≥ k} และ {|X| ≤ k}สาหรบ k = 1, 2, 3

13. อณหภมของเมองหนงจาลองไดดวยตวแปรสมปกตทมคาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10

องศาเซลเซยสทงค จงหาความนาจะเปนทอณหภม ณ เวลาทเลอกโดยสมจะนอยกวาหรอเทากบ 59

องศาฟาหเรนไฮต

14. จงแสดงวา ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน Xf (x) ของตวแปรสมปกตมสมบต Xf (x)dx 1

แนะนา ปรพนธ 2x /2e dx

เทากบรากทสองของ 2 2x /2 y /2e e dxdy

และปรพนธทสอง

สามารถคานวณโดยการแปลงไปสพกดเชงขว

15. เลอกจดหนงโดยสม (ตามการแจกแจงยนฟอรม) ภายในรปครงวงกลม {(x,y)| x2 + y2 ≤ r2, y ≥ 0}

สาหรบบางคาของ r > 0 ทกาหนดให

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของพกด X และ Y ของจดทเลอกได

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y และใชผลทไดคานวณ E(Y)

(3) จงตรวจสอบคาตอบในขอ (2) โดยไมใชฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y คานวณ E(Y)

16. [การประมาณคาคาคาดหวง]

ให Y1 ,…,Yn เปนตวแปรสมอสระทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fY เหมอนกน ให S เปนเซต

ของคาของ Yi ทเปนไปไดทงหมด นนคอ S = {y|fY(y) > 0} ให X เปนตวแปรสมททราบวาม

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fX ซง fX(y) = 0 สาหรบทก y S พจารณาตวแปรสม

nX i

ii 1 Y i

f (Y )1Z Y

n f (Y )

จงแสดงวา E(Z) = E(X)

17. ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

X

x / 4, 1 x 3f (x)

0, x

คาอนๆของ


และให A แทนเหตการณ {X ≥ 2}

(1) จงหา E(X), P(A), fX|A(x), และ E(X|A)

(2) ให Y = X2 จงหา E(Y) และ Var(Y)

18. ตวแปรสม X มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

2

X

cx , 1 x 2f (x)

0, x

คาอน ๆของ

(1) จงหาคาของ c

(2) ให A แทนเหตการณ {X > 1.5} จงคานวณ P(A) และฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนม

เงอนไขของ Y เมอทราบวา A เกดขน

(3) ให Y = X2 จงคานวณคาคาดหวงมเงอนไขและความแปรปรวนมเงอนไขของ Y เมอทราบวา A

เกดขน

19. อาจารยสตเฟองรายหนงนดหมายใหนกศกษา 2 คนมาพบในเวลาเดยวกน ระยะเวลาทนดหมายเปน

อสระกนและมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมคาเฉลย 30 นาท นกศกษาคนแรกมาตามนดตรงเวลา

แตนกศกษาคนทสองมาชา 5 นาท จงหาคาคาดหวงของเวลาระหวางเวลาทมาของนกศกษาคนแรกและ

เวลาทจากไปของนกศกษาคนทสอง

20. เรมตนจากแทงไมยาวL เราหกแทงไมทจดหนงโดยสม (ตามการแจกแจงยนฟอรม) และเกบแทงไม

ทอนทมจดปลายดานซาย (อกทอนหนงทงไป) ให Y แทนความยาวของแทงไมทอนน แลวหกแทงไม

ทอนทเหลอไวนอกครงหนงโดยวธการเดม ให X แทนความยาวของแทงไมทอนทเหลอจากการหก

ครงทสอง

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของ Y และ X

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ X

(3) จงใช ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ X คานวณ E(X)

(4) จงคานวณ E(X) โดยใชความสมพนธ X = Y∙(X/Y)

21. เรามแทงไมยาว 1 หนวย พจารณาวธหกแทงไมเปน 3 ทอนโดยใชวธการ 3 วธตอไปน

(1) เลอกจดสองจดบนแทงไมโดยสมและเปนอสระกนโดยใชการแจแจงยนฟอรม และหกแทงไมท

จดสองจดน

(2) หกแทงไมทจดหนงโดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรมแลวหกแทงไมทอนทมจดปลายดานขวาท

จดหนงโดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรม


(3) หกแทงไมทจดหนงโดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรมแลวหกแทงไมทอนทยาวกวาทจดหนง

โดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรม

สาหรบแตละวธ จงหาความนาจะเปนทแทงไมทงสามทอนประกอบกนเปนดานของรปสามเหลยมได

22. ใหตวแปรสม X และ Y มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมยนฟอรมบนอาณาบรเวณรป

สามเหลยมทมจดยอด (0,0), (0,1) และ (1,0)

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y

(3) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนด Y

(4) จงหา E(X|Y = y) และใชทฤษฎบทคาคาดหวงรวมหา E(X) ในพจนของ E(Y)

(5) จงหาคาของ E(X)โดยใชความสมมาตร

23. ให X และ Y เปนตวแปรสมสองตวทมการแจกแจงความนาจะเปนยนฟอรมบนอาณาบรเวณรป

สามเหลยมทมจดยอด (0,0), (1,0) และ (0,2) จงคานวณ E(X) และ E(Y) โดยดาเนนการเปน

ขนตอนเชนเดยวกบขอ 22.

24. พกด X และ Y ของจดๆหนงเปนตวแปรสมปกตอสระทมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2 ถาจดนน

หางจากจดกาเนดอยางนอย c แลวจงหาฟงกชนความหนาแนนรวมมเงอนไขของ X และ Y

25. ให X1, …, Xn เปนตวแปรสมอสระ จงแสดงวา

n

i ni 1 in 2i 12

ii

i 1

Var XVar(X )

1 1E XE X

26. พจารณาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชยลสองทาง

x

X x

p e , x 0f (x)

(1 p) e , x 0

เมอ และ p เปนคาคงตวซง > 0 และ p[0,1] จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของ X

27. ให X, Y และ Z เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม fX,Y,Z

จงพสจนกฎการคณ:

X,Y,Z X|Y,Z Y|Z Zf (x, y, z) f (x | y,z)f (y | z)f (z)


28. ให X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม fX,Y ถา สาหรบสบเซต

A และ B ใดๆของเซตของจานวนจรง เหตการณ {XA}และ{YB} เปนอสระกน แลว จงแสดงวา

ตวแปรสม X และ Y เปนอสระกน

29. ในการผลตเหรยญกษาปณโดยใชเครองปมเหรยญทชารดเครองหนง ความนาจะเปนทเหรยญจะหงาย

ดานหวจงไมใชคาคงตวแตเปนตวแปรสม P ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

p

P

pe , p [0,1]f (p)

0, p


เลอกเหรยญทผลตจากเครองปมเหรยญนโดยสม โยนเหรยญซาๆ ไดผลลพธทเปนอสระกน

(1) จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะหงายดานหว

(2) สมมตวาเหรยญหงายดานหว จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ P

(3) ถาทราบวาเหรยญหงายดานหวจากการโยนเหรยญครงแรก จงหาความนาจะเปนมเงอนไขท

เหรยญจะหงายดานหวในการโยนครงถดไป

30. ให X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทเปนอสระกนและมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fX และ fY

ตามลาดบ และให Z = X + Y

(1) จงแสดงวา fZ|X(z|x) = fY(z – x)

แนะนา: เขยนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ Z เมอกาหนด X แลวหาอนพนธ

(2) ถา X และ Y มการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร เหมอนกน จงหาฟงกชนความ

หนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนดให Z = z

(3) ถา X และ Y มการแจกแจงปกตทมคาเฉลย 0 และคาเบยงเบนมาตรฐาน X และ Y ตามลาดบ

จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนดให Z = z


หนาวาง

4 หวขอเพมเตมเกยวกบตวแปรสม


4.1 การแจกแจงความนาจะเปนของฟงกชนของตวแปรสม 1. การคานวณ PDF ของฟงกชน Y = g(X) ของตวแปรสมตอเนอง X กระทาเปน 2 ขนตอนดงน

(1) คานวณ CDF FY ของ Y โดยใชสตร

Y X{x|g( x) y}F (y) P[g(X) y] f (x)dx

(2) หาอนพนธ จะได PDF ของ Y

Y Y

df (y) F (y)

dy

2. สตรสาหรบใชหา PDF ของฟงกชนเชงเสนของตวแปรสมตอเนอง

ให X เปนตวแปรสมตอเนองทม PDF fX และให Y = aX + b

เมอ a และ b เปนจานวนจรง โดยท a ≠ 0 แลว PDF ของ Y หาไดโดยใชสตร

Y X

1 y bf (y) f

a a

3. สตร PDF สาหรบฟงกชนทางเดยวโดยแทของตวแปรสมตอเนอง

ให Y = g(X) เปนฟงกชนของตวแปรสมตอเนอง X ถา g เปนฟงกชนทางเดยวโดยแท (Strictly Monotonic

Function) แลว PDF ของ Y หาไดจากสตร

1 1Y X

df (y) f g (y) g (y)

dy

4.2 ความแปรปรวนรวมและสหสมพนธ 1. ความแปรปรวนรวม (Covariance) ของตวแปรสม X และ Y แทนดวย Cov(X,Y) หรอ XY นยามโดย

Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]

และสามารถคานวณไดจากอกสตรหนงคอ


Cov(X,Y)=E(XY) – E(X)E(Y)

2. ถา Cov(X,Y) = 0 แลว เรากลาววา X และ Y ไมมสหสมพนธ (Uncorrelated)

3. ถา X และ Y เปนอสระกน แลว X และ Y ไมมสหสมพนธ บทกลบไมจรงเสมอไป

4. ความแปรปรวนของผลบวกของตวแปรสม X และ Y หาไดจากสตร

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

5. สมประสทธสหสมพนธ (Correlation Coefficient) ของตวแปรสม X และ Y แทนดวย (X, Y) นยาม

โดย

Cov(X,Y)(X,Y)

Var(X)Var(Y)

และมคาสอดคลองกบอสมการ

1 (X,Y) 1

4.3 คาคาดหวงมเงอนไขและความแปรปรวนมเงอนไข

1. E(X | Y y) เปนจานวนๆหนงซงมคาขนกบ y

2. E(X|Y) เปนฟงกชนของตวแปรสม Y ดงนน E(X|Y) เปนตวแปรสมซงมคาเปน E(X | Y y)

3. กฎการหาคาคาดหวงซา (Law of Iterated Expectations) กลาววา เราสามารถหาคาคาดหวง E(X) โดย

หาคาคาดหวงของ E(X|Y) ซาอกครงหนง E[E(X|Y)] = E(X)

4. เราอาจมองวา E(X | Y y) เปนคาประมาณของ X เมอกาหนด Y = y ความคลาดเคลอนในการประมาณ

คอ E(X|Y) – X เปนตวแปรสมทมคาเฉลยเทากบ 0 และไมมสหสมพนธกบ E(X|Y)

5. Var(X|Y) คอตวแปรสมทมคาเปน Var(X|Y = y) เมอ Y มคาเทากบ y

6. กฎความแปรปรวนรวม ( Law of Total Variance) กลาวถงวธหาความแปรปรวน Var(X) โดยการวาง

เงอนไขบนตวแปรสม Y ดงน Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var[E(X|Y)]

4.4 ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต 1. ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต (Moment Generating Function เขยนยอเปน MGF) ของตวแปรสม X นยาม

โดย

txX

xtXX

txX

e p (x),

M (t) E(e )e f (x)dx,

X เปนตวแปรสมไมตอเนอง

X เปนตวแปรสมตอเนอง

43 บทท 4 หวขอเพมเตมเกยวกบตวแปรสม

2. การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมกาหนดไดอยางบรบรณดวยฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

3. สมบตของฟงกชนกอกาเนดโมเมนต : n

nX X t 0 X t 0n

d dM (0) 1, M (t) E(X), M (t) E(X )

dt dt

4. ถา Y = aX + b แลว btX XM (t) e M (at)

5. ถา X และ Y เปนตวแปรสมอสระ แลว X Y X YM (t) M (t)M (t)

6. ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมไมตอเนองบางชนด

ตวแปรสมไมตอเนอง ฟงกชนมวลความนาจะเปน ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

แบรนลลทมพารามเตอร p k 1 k

Xp (k) p (1 p) , k 0,1 tXM (t) 1 p pe

ทวนามทมพารามเตอร n และ p k n k

X

np (k) p (1 p) , k 0,1,..., n

k

nt

XM (t) 1 p pe

เรขาคณตทมพารามเตอร p k 1Xp (k) p(1 p) , k 1, 2,...

t

X t

peM (t)

1 (1 p)e

ปวสซองทมพารามเตอร k

X

ep (k) , k 0,1,...

k!

t(e 1)XM (t) e

ยนฟอรมบนชวง [a, b] X

1p (k) , k a,a 1,..., b

b a 1

ta t (b a 1)

X t

e (e 1)M (t)

(b a 1)(e 1)

7. ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมตอเนองบางชนด

ตวแปรสมตอเนอง ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

ยนฟอรมบนชวง [a, b] X

1f (x) , a x b

b a

tb ta

X

e eM (t)

t(b a)

เอกซโพเนนเชยล

ทมพารามเตอร x

Xf (x) e , x 0 XM (t) , tt

ปกตทมพารามเตอร และ 2 2 2(x ) /(2 )

X

1f (x) e , x

2

2 2t /2 t

XM (t) e

4.5 ผลบวกของตวแปรสมอสระจานวนไมแนนอน

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยมคาเฉลย E(X) และ

ความแปรปรวน Var(X) ให N เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอศนย พจารณาผลบวก

1 NY X ... X

จะได (1) E(Y) E(N)E(X)


(2) 2Var(Y) E(N)Var(X) [E(X)] Var(N)

(3) Y N XM (t) M (ln M (t))

หมายความวา ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต YM (t) หาไดโดยเรมตนจากการคานวณ NM (t) แลวแทน

คา te ดวย XM (t)


1. ถา X เปนตวแปรสมทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [-1, 1] จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ

(1) X

(2) ln | X |

2. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Xe ในพจนของฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X แลว

นาไปใชกบกรณท X มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1]

3. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ 1/3| X | และ 1/4| X | ในพจนของฟงกชนความหนาแนน

นาจะเปนของ X

4. รถไฟฟามาถงสถานใกลบานของเทวทกๆ 15 นาท เรมตงแต 6:00 น. (เชา) เทวเดนเขาสถานระหวางเวลา

7:10 น. และ 7:30 น. ณ เวลาในชวงนซงเปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนทกาหนด

ให X แทนเวลา(นาท)ระหวาง 7:10 น. และเวลาทเทวเขามาในสถาน ให Y แทนเวลาทเทวรอคอย

จนกระทงไดขนรถไฟฟา จงคานวณฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y ในพจนของฟงกชน

การแจกแจงสะสมของ X แลวหาอนพนธเพอสรางสตรสาหรบ ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Y

5. ให X และ Y เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จงหาฟงกชนการแจกแจง

ความนาจะเปนสะสมและฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ |X – Y|

6. ให X และ Y เปนพกดคารทเซยนของจดทเลอกโดยสม (ตามการแจกแจงยนฟอรม) ภายในรปสามเหลยม

ทมจดยอด (0, 1), (0, -1) และ (1, 0) จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนของ |X – Y|

7. เลอกจานวน 2 จานวนโดยสมอยางเปนอสระกนตามการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จงแสดงวา

คาคาดหวงของระยะหางระหวางจานวนทงสองนนเทากบ 1/3


8. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X + Y เมอ X และ Y เปนตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทม

พารามเตอร และเปนอสระกน

9. โรมโอกบจเลยตนดพบกน ณ เวลาหนงทกาหนด แตละคนมาสายอยางเปนอสระกน เวลาทมาสายของ

แตละคนมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร เหมอนกน จงหาฟงกชนความหนาแนนของ

ผลตางของเวลาทมาถงจดนดพบของโรมโอและจเลยต

10. พจารณาปญหาในโจทยขอ 9. แตมขอสมมตวาตวแปรสม X และ Y เปนอสระกนและมการแจกแจง

เอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร และ ตามลาดบ จงหา ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X – Y

11. ให X และ Y เปนตวแปรสมอสระทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

X

1/ 3, x 1,2,3p (x)

0, x


Y

1/ 2, y 0

1/ 3, y 1p (y)

1/ 6, y 2

0, y


จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X + Y โดยสตรคอนโวลชน

12. จงใชสตรคอนโวลชน แสดงวาผลบวกของตวแปรสมปวสซองอสระ 2 ตวทมพารามเตอร และ

ตามลาดบเปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร

13. ตวแปรสม X, Y และ Z เปนอสระกนและมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จงหาฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y + Z

14. อายการใชงานของหลอดไฟสองหลอดแทนดวยตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล X และ Y ทเปนอสระกน

และมพารามเตอร และ ตามลาดบ หลอดไฟทเสยกอนมอายการใชงานเทากบ

Z min{X, Y}

จงแสดงวา Z เปนตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร

15. [ตวแปรสมโคช (Cauchy Random variable)]

(1) ให X เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [-1/2, 1/2] จงแสดงวาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ

Y = tan (X) คอ


Y 2

1f (y) , y

(1 y )

(เรยก Y วา ตวแปรสมโคช)

(2) ให Y เปนตวแปรสมโคช จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X ซงเทากบขนาดของมม

ระหวาง / 2 และ / 2 ซง tan X = Y

16. [พกดเชงขวของตวแปรสมปกตสองตวทเปนอสระกน]

ให X และ Y เปนตวแปรสมปกตมาตรฐานสองตวทเปนอสระกน คอนดบ (X, Y) สามารถเขยนในรป

พกดเชงขวของตวแปรสม R ≥ 0 และ Θ[0, 2] เมอ

X = R cos Θ, Y = R sin Θ

(1) จงแสดงวา Θ มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 2] และ R มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

2r /2

Rf (r) re , r 0

และ R กบ Θ เปนอสระกน [ตวแปรสม R ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเชนนเรยกวาตวแปรสม

เรยไล(Rayleigh distribution)]

(2) จงแสดงวา R2 มการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร ½

17. สมมตวา X และ Y เปนตวแปรสมทมความแปรปรวนเทากน จงแสดงวา X – Y และ X + Y ไมม

สหสมพนธ

18. พจารณาตวแปรสม 4 ตว W, X, Y, Z โดยม

E(W) = E(X) = E(Y) = E(Z) = 0

และ Var(W) = Var(X) = Var(Y) = Var(Z) = 1

สมมตวา แตละคของ W, X, Y, Z ไมมสหสมพนธ จงหาสมประสทธสหสมพนธ (R,S) และ (R,T)

เมอ R = W + X, S = X + Y และ T = Y + Z

19. สมมตวา ตวแปรสม X มสมบตตอไปน E(X) = 0, E(X2) = 1, E(X3) = 0, E(X4) = 3

และให Y = a + bX + cX2

จงหาสมประสทธสหสมพนธ (X,Y)

20. [อสมการชวารซ (Schwarz Inequality)]

จงแสดงวา สาหรบตวแปรสม X และ Y ใดๆ [E(XY)]2 ≤ E(X2)E(Y2)


21. [สมประสทธสหสมพนธ (Correlation Coefficient)]

พจารณาสมประสทธสหสมพนธ Cov(X,Y)

(X,Y)Var(X)Var(Y)

ของตวแปรสมสองตว X และ Y ทมความแปรปรวนมากกวา 0 จงแสดงวา

(1) | (X,Y) | 1

(2) ถา Y – E|Y| = a[X – E(X)] เมอ a ≠ 0 เปนคาคงตว แลว (X,Y) = 1

(3) ถา (X,Y) = 1 แลวจะมคาคงตว a ซง Y – E|Y| = a[X – E(X)] ดวยความนาจะเปน 1

22. พจารณานกเสยงโชครายหนงซงในการเสยงโชคแตละครงเขาชนะหรอแพพนนดวยความนาจะเปน p และ

1 – p เปนอสระกนกบการเสยงโชคครงกอนหนานน เมอ p > 1/2 นกเสยงโชคนยมใชยทธศาสตรของ

เคลลซงแนะนาใหวางเงนพนนเปนเศษสวน 2p – 1 ของรางวลในรอบนน จงคานวณคาคาดหวงของ

รางวลเมอสนสดการเสยงโชครอบท n โดยเรมตนวางเงนพนน x หนวย และใชยทธศาสตรของเคลล

23. ศาสตราจารยทเกษยณจากงานแลวทานหนงยงคงอทศตนมาทสานกงาน ณ เวลาทมการแจกแจงยนฟอรม

ระหวางเวลา 9.00น.ถง 13.00 น.เพอทางานเพยงชนเดยวและออกจากสานกงานเมอเสรจงาน เวลาทใช

ทางานมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร (y) 1/ (5 y) เมอ y คอระยะเวลาระหวาง

9.00 น. ถงเวลาทเขามาถงสานกงาน

(1) จงหาคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยใชทางานในวนหนงๆ

(2) จงหาคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยทางานจนเสรจ

(3) ศาสตราจารยมนกศกษาปรญญาเอกในความดแลอยคนหนงซงจะมาพบ ณ เวลาทมการแจกแจง

ยนฟอรมระหวาง 9.00 น. ถง 17.00 น. ถานกศกษามาแลวไมพบศาสตราจารย เขากจากไปและไมกลบมา

พบทานอกในวนนน ถามาแลวพบศาสตราจารย นกศกษาจะปรกษาทานเปนเวลาทมการแจกแจงยนฟอรม

ระหวาง 0 ถง 1 ชวโมง ศาสตราจารยจะใชเวลาทงหมดในการทางานเทาเดมแมจะมนกศกษาเขามาพบ

จงหาคาคาดหวงของระยะเวลาทศาสตราจารยใหกบนกศกษาและคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยออก

จากสานกงาน

24. สาหรบตวแปรสมไมตอเนองหรอตอเนอง X และฟงกชน g(Y) ใดๆของตวแปรสม Y อกตวหนง

จงแสดงวา E[Xg(Y) | Y] g(Y)E(X | Y)


25. ให X และ Y เปนตวแปรสมอสระ จงใชกฎความแปรปรวนรวมแสดงวา

2 2Var(XY) [E(X)] Var(Y) [E(Y)] Var(X) Var(X)Var(Y)

26. โยนเหรยญทเอนเอยง n ครง ความนาจะเปนทเหรยญจะหงายดานหวแทนดวย q คอคาของตวแปรสม Q

ซงมคาเฉลย และความแปรปรวน 2 ให Xi เปนตวแปรสมแบรนลลทใชจาลองผลลพธของการโยน

เหรยญครงท i (นนคอ Xi = 1 ถาเหรยญหงายดานหวเมอโยนเหรยญครงท i) สมมตวา X1,…, Xn เปน

อสระกนภายใตเงอนไข Q = q ให X แทนจานวนครงทเหรยญหงายดานหวจากการโยน n ครง

(1) จงหา E(Xi) และ E(X) โดยใชกฎการหาคาคาดหวงซา

(2) จงหา Cov(Xi, Xj) และพจารณาวา X1,…,Xn เปนอสระกนหรอไม

(3) จงหา Var(X) โดยใชกฎความแปรปรวนรวมและทวนสอบคาตอบโดยใชความแปรปรวนรวมทหา

ไดในขอ (2)

27. [ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมปกตสองตว]

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมปกตสองตว X และ Y ทมคาเฉลย 0 อยในรปแบบ

q( x,y)X,Yf (x, y) ce

เมอ q(x,y) เปนฟงกชนกาลงสองของ x และ y

2 2

2 2x X Y Y

2

x xy y2

q(x, y)2(1 )

X และ Y เปนคาคงตวทมากกวา 0, เปนคาคงตวทสอดคลองกบอสมการ -1 < < 1 และ c เปน

คาคงตวซงทาให X,Yf (x, y)dxdy 1

(1) จงใชวธทาใหเปนกาลงสองสมบรณ เขยน q(x,y) ในรปแบบ 2 2( x y) y เมอ , , และ

เปนคาคงตวบางคา

(2) จงแสดงวา X และ Y เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2X และ 2

Y ตามลาดบ


(4) จงแสดงวาฟงกชนความหนาแนนมเงอนไขของ X เมอกาหนด Y = y เปนฟงกชนความหนาแนน

ปกต และ จงระบคาเฉลยและความแปรปรวนของ X เมอกาหนด Y = y

(5) จงแสดงวา สมประสทธสหสมพนธของ X และ Y คอ

(6) จงแสดงวา X และ Y เปนอสระกน กตอเมอ X และ Y ไมมสหสมพนธ ( = 0)


(7) จงแสดงวา ความคลาดเคลอนของการประมาณคา E(X|Y) – X มการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลย 0

และความแปรปรวน 2 2X(1 ) และเปนอสระจาก Y

28. ให X เปนตวแปรสมทมคา 1, 2 และ 3 ดวยความนาจะเปน

P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4 และ P(X = 3) = 1/4

จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X และนาไปใชหาโมเมนตทหนง E(X), โมเมนตทสอง E(X2), และ

โมเมนตทสาม E(X3)

29. จงคานวณโมเมนตทสาม E(X3) และโมเมนตทส E(X4) ของตวแปรสมปกตมาตรฐาน X

30. จงคานวณโมเมนตทสาม โมเมนตทส และโมเมนตทหาของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร

31. ให X เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอศนย สารนและสรศกดหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

ของ X ไดไมตรงกน สารนได te 12(e 1)

XM (t) e สวนสรศกดได

te2(e 1)XM (t) e

(1) จงอธบายวาเพราะเหตใดฟงกชนหนงในสองฟงกชนนจงเปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X ไมได

(2) จงใชฟงกชนกอกาเนดโมเมนตทถกตองหา P(X = 0)

32. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง X ซงมฟงกชนกอกาเนดโมเมนตเปน

X

1 2 2 3M (t)

3 2 t 3 3 t

33. ทมฟตบอลทมหนงกาหนดใหนกฟตบอล 3 คนผลดกนเปนผเตะลกโทษ นกฟตบอลคนท i ม

ความนาจะเปน pi ทจะเตะลกโทษเขาประตไดสาเรจเปนอสระกนกบผลการเตะลกโทษของนกฟตบอลคน

อนๆ ให X แทนจานวนลกโทษทเตะเขาประตไดสาเรจหลงจากนกฟตบอลแตละคนไดเตะลกโทษคนละ

1 ลก จงใช คอนโวลชนคานวณฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X แลวทวนสอบโดยคานวณฟงกชน

กอกาเนดโมเมนตของ X กอนแลวนาไปใชหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X

34. ให X, Y และ Z เปนตวแปรสมอสระ เมอ X เปนตวแปรสมแบรนลลทมพารามเตอร p = 1/3, Y เปน

ตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร = 2 และ Z เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร = 3

(1) พจารณาตวแปรสมตวใหม U = XY + (1 – X)Z จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ U

(2) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ 2Z + 3

(3) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Y + Z


35. รานพซซาแหงหนงมพซซาใหลกคาเลอก n ชนดแตกตางกน สมมตวา มลกคา K คนเขามาสงพซซา เมอ

K เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอ 0 และมฟงกชนกอกาเนดโมเมนต tKKM (t) E(e )

ลกคาแตละคนสงพซซา 1 ชน พซซาแตละชนดมความนาจะเปนทลกคาจะเลอกเทาๆกน และ การเลอก

พซซาของลกคาแตละคนเปนอสระกน จงหาสตรสาหรบคานวณคาคาดหวงของจานวนชนดทแตกตางกน

ของพซซาทลกคาสงซอ

36. ให X เปนตวแปรสมไมตอเนองทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอ 0 ให MX(t) ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X

(1) จงแสดงวา Xn

P(X 0) lim M (t)

(2) จงใชผลทไดจากขอ (1) ทวนสอบวา ถา X เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p แลวจะได

วา P(X = 0) = (1 – p)n และถา X เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร แลวจะไดวาP(X = 0) = e-

(3) สมมตวา ตวแปรสม X มคาเปนจานวนเตมทมากกวาหรอเทากบจานวนเตม k แลวจงหาวธคานวณ

P(X = k) โดยใชฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X

37. [ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมยนฟอรม]

(1) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมไมตอเนอง X ทมการแจกแจงยนฟอรมบนเซตของ

จานวนเตม {a, a+1, …, b}

(2) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมตอเนอง X ทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [a, b]

38. ณ เวลาหนง จานวนคนเขามาในลฟตหลงหนงมการแจกแจงปวสซองทมพารามเตอร นาหนกของ

แตละคนทเขามาในลฟตเปนอสระกนและมการแจกแจงยนฟอรมระหวาง 100 และ 200 ปอนด

ให Xi แทน 1100 ของนาหนกสวนทเกน 100 ปอนดของคนท i เชน ถาคนท 7 หนก 175 ปอนด แลว

71

100X 75 0.75 ให Y แทนผลบวกของ Xi

(1) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Y

(2) จงใช YM (t) ทหาไดในขอ (1) คานวณคาคาดหวงของ Y

(3) จงทวนสอบคาตอบในขอ (2) โดยใชกฎการหาคาคาดหวงซา

39. จงใชฟงกชนกอกาเนดโมเมนตแสดงวาผลบวกของตวแปรสมอสระ N ตวทมการแจกแจงแบรนลลทม

พารามเตอร p เปนตวแปรสมปวสซอง ถาจานวนตวแปรสมในผลบวกคอ N เปนตวแปรสมปวสซอง

5 อสมการและทฤษฎบทลมต


5.1 อสมการมารโคฟและอสมการเชบเชฟ 1. อสมการมารโคฟ(Markov Inequality)

ถาตวแปรสม X มคาเปนจานวนบวกหรอศนยเทานน แลวจะได

E(X)P(X a)

a สาหรบทก a > 0

2. อสมการเชบเชฟ (Chebyshev Inequality)

ถา X เปนตวแปรสมทมคาเฉลย และความแปรปรวน 2 แลวจะได

2

2P( X c)

c

สาหรบทก c > 0

5.2 กฎอยางออนของจานวนมาก กฎอยางออนของจานวนมาก(The Weak Law of Large Numbers)

ให 1 2X , X ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยมคาเฉลย และให

1 nn

X ... XM

n

สาหรบ > 0 จะไดวา

1 nn

X ... XP M P 0,

n

เมอ n

5.3 การลเขาในความนาจะเปน การลเขาในความนาจะเปน(Convergence in Probability)

ให 1 2Y , Y ,... เปนลาดบของตวแปรสม (ไมจาเปนตองเปนอสระกน) และให a เปนจานวนจรง เรากลาววา

ลาดบ Yn ลเขาส a ในความนาจะเปน ถาสาหรบทก > 0 จะไดวา

nnlim P Y a 0


ตามนยของบทนยามน กฎอยางออนของจานวนมากกลาววา คาเฉลยตวอยางลเขาสคาเฉลยจรง ในความนาจะ

เปน และโดยอาศยอสมการเชบเชฟ จะไดวา ถาทก Yn มคาเฉลยเดยวกน และ Var(Yn) ลเขาส 0 แลว Yn ลเขา

ส ในความนาจะเปน

5.4 ทฤษฎบทเซนทรลลมต 1. ทฤษฎบทเซนทรลลมต (The Central Limit Theorem)

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมทเปนอสระกนและมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยม

คาเฉลย และความแปรปรวน 2 และนยามตวแปรสม

1 nn

X ... X nZ

n

แลวจะไดวา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Zn ลเขาสฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม

ปกตมาตรฐาน

2z

x /21(z) e dx

2

หรอกลาวอกนยหนง

nnlim P(Z z) (z)

สาหรบทก z

2. การประมาณดวยการแจกแจงปกตโดยอาศยทฤษฎบทเซนทรลลมต

ให n 1 nS X ... X เมอ Xi เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยมคาเฉลย

และความแปรปรวน 2 ถา n มคามาก แลวความนาจะเปน nP(S c) สามารถประมาณคาโดยใชวธการ

ตอไปน โดยคดเสมอนวา Sn เปนตวแปรสมปกต

(1) คานวณคาเฉลยและความแปรปรวนของ Sn คอ n และ n2 ตามลาดบ

(2) คานวณคามาตรฐาน z (c n ) / ( n )

(3) ใชการประมาณ

nP(S z) (z)

เมอคาของ (z) อานจากตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน

3. การประมาณการแจกแจงทวนามโดยวธการเดอมววร-ลาปลาซ (De Moivre-Laplace Approximation)

ให Sn เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p ถา n มคามาก, a และ b เปนจานวนเตมบวกหรอศนย

แลว จะได

n

b 0.5 np a 0.5 npP a S b

np(1 p) np(1 p)

ในทางปฏบต สตรนใหคาประมาณทด เมอ np(1 – p) ≥ 10

53 บทท 5 อสมการและทฤษฎบทลมต

5.5 กฎอยางเขมของจานวนมาก 1. กฎอยางเขมของจานวนมาก (The Strong Law of Large Numbers)

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมทเปนอสระกนและมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยม

คาเฉลย จะไดวาลาดบของคาเฉลยตวอยาง n 1 nM (X ... X ) / n ลเขาส ดวยความนาจะเปน 1

หมายความวา

nn

P lim M 1

2. การลเขาดวยความนาจะเปน 1 (Convergence with Probability 1)

ให 1 2Y , Y ,... เปนลาดบของตวแปรสม (ไมจาเปนตองเปนอสระกน) และให c เปนจานวนจรง เรากลาววา

ลาดบ Yn ลเขาส c ดวยความนาจะเปน 1 หรอเกอบจะมนใจ (Almost Surely) ถา

nn

P lim Y c 1


1. นกสถตตองการประมาณคาความสงเฉลย h (เมตร) ของประชากรโดยอาศยตวอยางสมขนาด n คอ

X1, X2, … , Xn เลอกจากประชากร เขาใชคาเฉลยตวอยาง n 1 2 n

1M X X ... X

n

เปน

ตวประมาณคาของ h และประมาณวาคาเบยงเบนมาตรฐานของ Xi เทากบ 1.0 เมตร

(1) n ควรมคาโตเทาใดจงจะทาใหคาเบยงเบนมาตรฐานของ Mn มคาไมเกน 1 เซนตเมตร

(2) n ควรมคาโตเทาใด อสมการเชบเชฟจงจะรบประกนวาคาประมาณตางจาก h ไมเกน 5 เซนตเมตร

ดวยความนาจะเปนอยางนอย 0.99

2. [The Chernoff Bound]

คาขอบเชอรนอฟใชเปนคาขอบของความนาจะเปนของเหตการณเกยวของกบคาปลายของตวแปรสม

(1) จงแสดงวาอสมการ

taXP(X a) e M (t)

เปนจรงสาหรบทก a และทก t ≥ 0 เมอ tXXM (t) E(e ) มคาจากดบนชวงเปดทบรรจ t = 0


taXP(X a) e M (t)

เปนจรงสาหรบทก a และทก t ≤ 0



(a)P(X a) e

เปนจรงสาหรบทก a เมอ

Xt 0

(a) Max ta ln M (t)

(4) จงแสดงวา ถา a E(X) แลว (a) 0

(5) จงใชผลจากขอ (3) หาคาขอบของ P(X ≥ a) เมอ X เปนตวแปรสมปกตมาตรฐานและ a > 0

(6) ให 1 2X ,X ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกบ X จงแสดงวา สาหรบ

ทก a > E(X) จะได

n

n (a )i

i 1

1P X a e

n

นนคอ ความนาจะเปนทคาเฉลยตวอยางมากกวาคาเฉลยของตวแปรสม X จานวนหนงมคาลดลงแบบ


3. [Jensen Inequality]

ให f เปนฟงกชนคาจรงทหาอนพนธไดสองครง กลาววา f เปนฟงกชนนน (Convex Function) ถา

อนพนธทสอง f (x) มากกวาหรอเทากบ 0 สาหรบทก x ในโดเมน

(1) จงแสดงวาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนนน axf (x) e , g(x) ln x และ 4h(x) x

(2) จงแสดงวา ถา f หาอนพนธไดสองครงและเปนฟงกชนนนแลวคาประมาณเทยเลอรอนดบทหนง

เปนคาประมาณทตากวาคาจรงของฟงกชน นนคอ

f (a) (x a)f (a) f (x)

(3) จงแสดงวา ถา f มสมบตในขอ (2) และถา X เปนตวแปรสม แลว

f E(X) E f (X)

4. ให p = สดสวนของผสบบหรในประชากรขนาดใหญกลมหนง ในการประมาณคา p อรณเลอกประชาชน

n คนโดยสม ใชสดสวนตวอยาง nn

SM

n เปนตวประมาณคา เมอ nS แทนจานวนผสบบหรในตวอยาง

อรณเลอกตวอยางขนาด n ทเลกทสดซงอสมการเชบเชฟรบประกนวา

nP(| M p | )

เมอ และ เปนจานวนบวกทกาหนดลวงหนา จงหาคาของ n ทไดจากการใชอสมการเชบเชฟในแตละ

กรณตอไปน

(1) คาของ ลดลงครงหนงจากคาเดม


(2) ความนาจะเปน ลดลงครงหนงจากคาเดม

5. ให 1 2X ,X ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [-1, 1] จงแสดงวาลาดบ 1 2Y , Y ,...ใน

แตละกรณตอไปน ลเขาสลมตคาหนง ในความนาจะเปน และจงหาลมตนน

(1) nn

XY

n

(2) nn nY (X )

(3) n 1 2 nY X X ... X

(4) n 1 nY max{X ,...,X }

6. พจารณาลาดบของตวแปรสมสองชด 1 2X ,X ,... และ 1 2Y , Y ,...ซงลเขาสคาคงตวในความนาจะเปน

ให c เปนคาคงตวอกจานวนหนง จงแสดงวา ลาดบของตวแปรสมตอไปนลเขาสลมตทสมนยกนใน


n

n n

n

n

n n

(1) cX

(2) X Y

(3) max{0,X }

(4) | X |

(5) X Y

7. กลาววา ลาดบ nX ของตวแปรสมลเขาสคาคงตว c ในคาเฉลยของกาลงสอง (Converge in Mean

Square) ถา

2

nlim E (X c) 0

(1) จงแสดงวา ถา nX ลเขาส cในคาเฉลยของกาลงสอง แลว nX ลเขาส cในความนาจะเปน

(2) จงยกตวอยางเพอแสดงวาบทกลบของขอ (1) ไมจรง

8. กอนเรมตนเลนรเลตตในกาสโน สมหวงตองการตรวจสอบวาวงลอมความเอนเอยงหรอไม เขาสงเกตการ

หมนวงลอ 100 รอบ ผลลพธทเปนไปไดของแตละรอบคอจานวนตงแต 1 ถง 36 เขานบจานวนรอบท

ผลลพธเปนจานวนค ถานบไดมากกวา 55 เขาจะตดสนวาวงลอไมเทยงตรง สมมตวาวงลอเทยงตรง จง

ประมาณคาความนาจะเปนทสมหวงจะตดสนใจผด

9. ระหวางแตละวน ความนาจะเปนทระบบปฏบตการของคอมพวเตอรจะลมอยางนอย 1 ครงเทากบ 5%

เปนอสระกนกบวนอนๆ สมศรผดแลระบบตองการทราบวามความนาจะเปนเทาไรทใน 50 วนถดไป


ระบบปฏบตการของคอมพวเตอรจะไมลมอยางนอย 45 วน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทสมศร

สนใจโดยใช

(1) การแจกแจงปกตประมาณการแจกแจงทวนาม

(2) การแจกแจงปวสซองประมาณการแจกแจงทวนาม

10. โรงงานแหงหนงผลตหนยนต nX ตวในวนท n เมอ nX เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงเหมอนกน

โดยมคาเฉลย 5 และความแปรปรวน 9

(1) จงประมาณคาความนาจะเปนทจานวนหนยนตทผลตไดทงหมดใน 100 วนนอยกวา 440 ตว

(2) จงหา (คาประมาณ) คามากทสดของ n ซง

1 nP X ... X 200 5n 0.05

(3) ให N คอวนแรกทจานวนหนยนตทผลตไดรวมกนมากกวา 1,000 ตว จงประมาณคาความนาจะเปนท N 200

11. ให 1 1 2 2X , Y ,X , Y ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] และให

1 16 1 16(X ... X ) (Y ... Y )W

16

จงหาคาประมาณเชงตวเลขของ

P | W E(W) | 0.001

12. การพสจนทฤษฎบทเซนทรลลมต

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยมคาเฉลย 0

และความแปรปรวน 2 เทากน และมฟงกชนกอกาเนดโมเมนต XM (t) ซงมคาจากด เมอ d t d ,

( d เปนจานวนบวก) ให

1 nn

X ... XZ

n

(1) จงแสดงวา n

n

Z X

tM (t) M

n

(2) สมมตวา XM (t) มอนกรมเทยเลอรอนดบท 2 รอบ t = 0 ในรปแบบ

2 2XM (t) a bt ct o(t )

เมอ 2o(t ) เปนฟงกชนทสอดคลองกบ 2

2t 0

o(t )lim 0

t จงหาคาของ a, b และ c ในพจนของ 2


(3) จงใชผลทไดจากขอ (1) และขอ (2) แสดงวา nZM (t) ลเขาสฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสม

ปกตมาตรฐาน นนคอ

2

n

t /2Z

nlim M (t) e ,

สาหรบทก t

หมายเหต : ทฤษฎบทเซนทรลลมตเปนผลจากขอ (3) และความจรงทวา ถาฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

nZM (t) ลเขาสฟงกชนกอกาเนดโมเมนต ZM (t) ของตวแปรสม Z ซงมฟงกชนการแจกแจงความนาจะ

เปนสะสมทตอเนอง แลวฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมnZF ลเขาสฟงกชนการแจกแจงความ

นาจะเปนสะสมของ Z ในกรณขางบนน ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ nZ ลเขาสฟงกชน

การแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสมปกตมาตรฐาน

13. พจารณาลาดบของตวแปรสม 2 ชดคอ 1 2X , X ,...และ 1 2Y , Y ,...สมมตวา nX ลเขาส a ดวยความนาจะ

เปน 1 และ nY ลเขาส b ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวา n nX Y ลเขาส a + b ดวยความนาจะเปน 1

และถา nY ไมเทากบ 0 จงแสดงวา n

n

X

Yลเขาส a

bดวยความนาจะเปน 1

14. ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกน ให 1 2Y ,Y ,... เปน

ลาดบของตวแปรสมอสระอกชดหนงทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกน สมมตวา iX และ iY ม

คาเฉลยเปนจานวนจากดและ 1 nY ... Y ไมเทากบ 0 จงพจารณาวาลาดบ

1 nn

1 n

X ... XZ

Y ... Y

ลเขาดวยความนาจะเปน 1 หรอไม ถาลเขา จงหาลมต

15. สมมตวาลาดบ 1 2Y , Y ,...ของตวแปรสมลเขาสจานวนจรง c ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวาลาดบนลเขา

ส c ในความนาจะเปนดวย

16. พจารณาลาดบ nY ของตวแปรสมทมคาไมเปนจานวนลบและสมมตวา

n

n 1

E Y

จงแสดงวา nY ลเขาส 0 ดวยความนาจะเปน 1

หมายเหต: ผลทไดนใชเปนวธแสดงการลเขาดวยความนาจะเปน 1 ในการคานวณคาคาดหวงของ nn 1

Y

มกจะใชสตร

n nn 1 n 1

E Y E(Y )


ขอเทจจรงทคาคาดหวงกบผลบวกของตวแปรสมจานวนอนนตสลบกนไดในกรณของตวแปรสมทมคาไม

เปนจานวนลบนคอทฤษฎบทหลกมลของทฤษฎความนาจะเปนทเรยกวา ทฤษฎบทการลเขาทางเดยว

(Monotone Convergence Theorem) การพสจนทฤษฎบทนอยนอกขอบขายของหนงสอเลมน

17. พจารณาลาดบของตวแปรสมแบรนลล nX และให n np P X 1 เปนความนาจะเปนของผลลพธทเปน

ความสาเรจในการลองท n สมมตวา nn 1

p

จงแสดงวาจานวนผลลพธทเปนความสาเรจมคาจากด

ดวยความนาจะเปน 1

18. [กฎอยางเขมของจานวนมาก (The Strong Law of Large Numbers)]

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกน และสมมตวา

4iE X จงพสจนวา ลาดบของคาเฉลยตวอยาง 1 n

n

X ... XM

n

ลเขาส ดวยความนาจะเปน 1

นนคอ

1 n

n

X ... XP lim 1

n

ตอนท 2

เฉลยพรอมโจทยปญหา

หนาวาง

1 ความนาจะเปน

1. นกศกษาในหองหนง ม 60% เปนนกศกษาตางชาต 70% ชอบขนมไทย และ 40% เปนนกศกษาตางชาต

และชอบขนมไทย สมเลอกนกศกษาคนหนงจากนกศกษากลมน จงหาความนาจะเปนทจะไดนกศกษาท

ไมใชนกศกษาตางชาตและไมไดชอบขนมไทย

เฉลย

ให F และ T แทนเหตการณทเลอกไดนกศกษาตางชาตและเหตการณทเลอกไดนกศกษาทชอบขนมไทย


จะได P(F) = 0.6, P(T) = 0.7 และ P(FT) = 0.4

ความนาจะเปนทเราตองการหาคอ P(FCTC) ซงคานวณไดดงน P(FCTC) = 1 – P(FT) = 1 – {P(F) + P(T) – P(FT)} = 1 – (0.6 + 0.7 – 0.4) = 0.1

2. ถวงนาหนกลกเตาหกหนาลกหนงใหหนาคทกหนามความนาจะเปนเปนสองเทาของหนาคทกหนา จง

สรางแบบจาลองความนาจะเปนของการทอดลกเตาลกนหนงครง และ จงหาความนาจะเปนของเหตการณ

ทลกเตาหงายหนานอยกวา 4

เฉลย

ขนแรก เราจะหาความนาจะเปนของแตละผลลพธทเปนไปไดกอน ให a = P({1}) = P({3}) = P({5})

และ b = P({2}) = P({4}) = P({6}) เนองจาก b = 2a จากสจพจนขอ1 และขอ 3 จะได 1 = 3a + 3b

= 3a + 6a = 9a ดงนน a = 1/9 และ b = 2/9 และ P({1,2,3})= 4/9

3. ทอดลกเตาสหนาไปเรอยๆจนกระทงลกเตาหงายหนาคเปนครงแรกจงยตการทอดลกเตา จงอธบาย

แซมเปลสเปซของการทดลองน

เฉลย

ผลลพธของการทดลองนเปนลาดบจากดใดๆในรปแบบ (a1, a2, …, an) เมอ n เปนจานวนเตมบวก a1,

a2, …, an – 1 เปน 1 หรอ 3 และ an เปน 2 หรอ 4 นอกจากนยงมผลลพธทเปนไปไดในกรณทลกเตาไม

หงายหนาคเลย ผลลพธเชนนเปนลาดบอนนตในรปแบบ (a1, a2, …) ซง a1, a2, … เปน 1 หรอ 3

แซมเปลสเปซประกอบดวยผลลพธสองรปแบบดงกลาว


4. สมมตวาคณเขารวมการแขงขนหมากรกรายการพเศษรายการหนงซงคณตองเลนกบคแขง 3 คน คนละเกม

แตคณสามารถเลอกไดวาจะเลนกบใครกอน และทราบดวยวาความนาจะเปนทคณจะชนะเมอเลนกบแตละ

คนเปนเทาใด คณจะชนะการแขงขนรายการนถาคณชนะตดตอกน 2 เกม คณตองการหายทธวธททาใหคณ

มความนาจะเปนทจะชนะการแขงขนมากทสด จงแสดงวาคณมความนาจะเปนมากทสดทจะชนะการ

แขงขนเมอคณเลอกเลนกบคแขงทออนทสดเปนเกมทสอง สวนคแขงอกสองคนทเหลอ คณจะเลอกเลนใน

ลาดบแบบใดกได

เฉลย

ให pi แทนความนาจะเปนทคณจะชนะคแขงทเลนในเกมท i คณจะชนะการแขงขนรายการนถาคณชนะ

คแขงคนทสอง (ดวยความนาจะเปน p2) และชนะคแขงอกอยางนอย 1 คนใน 2 คนทเหลอ (ดวย

ความนาจะเปน p1 + p3 – p1p3) ดงนนความนาจะเปนทคณจะชนะการแขงขนรายการนคอ

p2(p1 + p3 – p1p3)

วธเลอกคแขงตามลาดบเชนน (เลนกบคแขงทออนทสดเปนลาดบทสอง) เปนยทธวธทดทสด ถาความ

นาจะเปนขางตนไมนอยกวาความนาจะเปนทสมนยกบวธเลอกลาดบคแขงอกสองวธทเหลอ (เลนกบคแขง

ทเกงทสดเปนลาดบทสอง หรอ เลนกบคแขงทเกงทสองเปนลาดบทสอง) นนคอ

p2(p1 + p3 – p1p3) ≥ p1(p2 + p3 – p2p3)

p2(p1 + p3 – p1p3) ≥ p3(p1 + p2 – p1p2)

จะเหนไดวาอสมการทหนงสมมลกบ p2 ≥ p1 และอสมการทสองสมมลกบ p2 ≥ p3

5. ผลการแบงของแซมเปลสเปซ S คอเซตของเหตการณไมเกดรวมกน B1, B2, …, Bn ซง n

ii 1

B S

(1) จงแสดงวา สาหรบเหตการณ A ใดๆ

n

ii 1

P(A) P(A B )

(2) จงใชผลจากขอ(1) แสดงวา สาหรบเหตการณ A, B และ C ใดๆ


เฉลย

(1) เนองจาก n

ii 1

B S เราจะได

n

ii 1

A A B

และเนองจาก iA B , i =1,2,…,n เปนเหตการณไมเกดรวมกน ดงนน

nn

i ii 1

i 1

P(A) P A B P(A B )

63 เฉลยโจทยปญหา บทท 1 ความนาจะเปน

(2) เซตของเหตการณ C CB C , B C, B C, และ C CB C เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ S

ดงนน โดยอาศยผลจากขอ(1) จะได C C C CP(A) P(A B C ) P(A B C) P(A B C) P(A B C ) (2.1)

เหตการณ A B สามารถเขยนในรปยเนยนของเหตการณไมเกดรวมกนคหนงดงน CA B (A B C) (A B C )

ดงนน CP(A B) P(A B C) P(A B C ) (2.2)

ทานองเดยวกน CP(A B) P(A B C) P(A B C) (2.3)

จากสมการ(2.1)-(2.3) จะไดวา


6. จงพสจนสตร

C CP((A B ) (A B)) P(A) P(B) 2P(A B)

ซงใชหาความนาจะเปนทเหตการณ A หรอ B เกดขนเพยงเหตการณเดยวเทานน [ผอานควรสงเกตวา สตร

นตางจากสตร P(A B) P(A) P(B) P(A B) ซงใชหาความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ A หรอ

B อยางนอย 1 เหตการณ]

เฉลย

เนองจาก CA B และ CA B เปนเหตการณไมเกดรวมกน อาศยสจพจนขอ 3 ของความนาจะเปน

จะไดวา

C C C CP((A B ) (A B)) P(A B ) P(A B)

และเนองจาก CP(A B ) P(A) P(A B) และ CP(A B) P(B) P(A B)

ดงนน C CP((A B ) (A B)) P(A) P(B) 2P(A B)

7. [Bonferroni’s Inequality]

(1) สาหรบสองเหตการณ A และ B ใดๆ จงพสจนวา

P(A B) P(A) P(B) 1

(2) ในกรณทวไป สาหรบ n เหตการณ A1, A2, …, An ใดๆ จงพสจนวา

1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) (n 1)

เฉลย

(1) เนองจาก P(A B) P(A) P(B) P(A B) และ P(A B) 1

ดงนน P(A) P(B) P(A B) 1

และจะได P(A B) P(A) P(B) 1


(2) ใชกฎของเดอมอรแกน จะไดวา

C1 2 n 1 2 n1 P(A A ... A ) P (A A ... A )

C C C1 2 nP A A ... A

C C C1 2 nP A P A ... P A

1 2 n1 P(A ) 1 P(A ) ... 1 P(A )

1 2 nn P(A ) P(A ) ... P(A )

ดงนน 1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ) (n 1)

8. [สมบตความตอเนองของความนาจะเปน]

(1) ให A1, A2, … เปนลาดบอนนตของเหตการณซงเพมขนทางเดยว(Monotonically Increasing)

หมายความวา n n 1A A สาหรบทก n ให n

n 1A A


nP(A) lim P(A )

(2) ให A1, A2, … เปนลาดบอนนตของเหตการณซงลดลงทางเดยว(Monotonically Decreasing)

หมายความวา n 1 nA A สาหรบทก n ให nn 1

A A


nP(A) lim P(A )

(3) พจารณาแบบจาลองความนาจะเปนทมแซมเปลสเปซเปนเซตของจานวนจรง จงพสจนวา

n

P [0, ) lim P [0,n]

และ nlim P [n, ) 0

เฉลย

(1) ให B1 = A1 และ Cn n n 1B A A สาหรบ n ≥ 2 เหตการณ nB ,n 1,2,... ไมเกดรวมกน จะได

n

k nk 1

B A และ

kk 1

B A

อาศยสจพจนขอ 3 ของความนาจะเปน จะได

n n

k k k nn n k 1 n

k 1 k 1

P(A) P(B ) lim P(B ) lim P( B ) lim P(A )

(2) ให Cn nC A และ CC A เนองจาก n 1 nA A เราจะได n n 1C C นนคอ nC เปนลาดบของ

เหตการณทเพมขนทางเดยว และ CC AC

Cn n n

n 1 n 1 n 1A A C

ใชผลจากขอ (1)กบ Cn จะได

Cn n

n n1 P(A) P(A ) P(C) lim P(C ) lim 1 P(A )

ดงนน nn

P(A) lim P(A )

(3) สาหรบสมการแรก ใชผลจากขอ (1) โดยให nA [0,n] และ A [0, ) สาหรบสมการทสอง ใชผล

จากขอ (2) โดยให nA [n, ) และ n

n 1A A


9. ทอดลกเตาเทยงตรง (หกหนา) สองลก มผลลพธทเปนไปไดทงหมด 36 ผลลพธ แตละผลลพธมโอกาส

เกดขนเทากน

(1) จงหาความนาจะเปนทลกเตาหงายหนาเดยวกนทงสองลก

(2) สมมตวาแตมรวมของลกเตาไมเกน 4 จงหาความนาจะเปนทลกเตาหงายหนาเดยวกนทงสองลก

(3) จงหาความนาจะเปนทลกเตาอยางนอยหนงลกหงายหนา 6

(4) สมมตวาลกเตาหงายหนาตางกน จงหาความนาจะเปนทลกเตาอยางนอยหนงลกหงายหนา 6

เฉลย

(1) แตละผลลพธทเปนไปไดมความนาจะเปน 1

36 ม 6 ผลลพธทลกเตาหงายหนาเดยวกนทงสองลก ดงนน

ความนาจะเปนทลกเตาหงายหนาเดยวกนทงสองลกเทากบ 6 1

36 6

(2) เหตการณทเปนเงอนไข (แตมรวมไมเกน 4) ประกอบดวยผลลพธ 6 ผลลพธ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,2), (3,1)}

มอย 2 ผลลพธทลกเตาหงายหนาเดยวกน ดงนน ความนาจะเปนมเงอนไขทลกเตาหงายหนาเดยวกนทง

สองลกเทากบ 2 1

6 3

(3) ม 11 ผลลพธทลกเตาอยางนอย 1 ลกหงายหนา 6 ไดแก (6,6), (i,6) และ (6, i) เมอ i = 1, 2, …, 5

ดงนน ความนาจะเปนทลกเตาอยางนอยหนงลกหงายหนา 6 เทากบ 11

36

(4) ม 30 ผลลพธทลกเตาหงายหนาตางกน ในจานวนนมอย 10 ผลลพธทลกเตาอยางนอยหนงลกหงายหนา 6

ดงนน ความนาจะเปนมเงอนไขทตองการหาคอ 10 1

30 3

10. โยนเหรยญอนหนงสองครง อลสกลาววาความนาจะเปนทเหรยญหงายหวทงสองครงถาทราบวาเหรยญ

หงายหวครงแรก มากกวา ถาทราบวาเหรยญหงายหวอยางนอยหนงครง อลสกลาวถกตองหรอไม กรณท

เหรยญเทยงตรงกบกรณทเหรยญไมเทยงตรงผลสรปตางกนหรอไม

เฉลย

ให A แทนเหตการณทเหรยญหงายหวครงแรกและ B แทนเหตการณทเหรยญหงายหวครงทสอง เราตอง

เปรยบเทยบความนาจะเปนมเงอนไข P(A B | A) กบ P(A B | A B)

P(A B | A) P (A B) A P(A B)

P(A) P(A)

P(A B | A B) P (A B) (A B) P(A B)

P(A B) P(A B)


เนองจาก P(A B) P(A) ความนาจะเปนแรกขางบนมคาไมนอยกวาความนาจะเปนทสองไมวา

เหรยญทใชจะเทยงตรงหรอไมเทยงตรง ดงนนคากลาวของอลสถกตอง ในกรณทเหรยญเทยงตรง นนคอ

ผลลพธทเปนไปไดทงส HH, HT, TH, TT มความเปนไปไดเทากน เราจะได

P(A B) 1/ 4 1

P(A) 1/ 2 2

และ P(A B) 1/ 4 1

P(A B) 3 / 4 3

11. มเหรยญ 3 อน อนแรกเปนเหรยญทมหวสองดาน อนทสองเปนเหรยญทมกอยสองดาน และอนทสามเปน

เหรยญปกตทมหวและกอยอยางละดาน ถาเราสมหยบเหรยญอนหนงแลวควาเหรยญทหยบไดนน ปรากฏ

วาดานทหงายใหเหนเปนหว จงหาความนาจะเปนทดานตรงขามเปนกอย

เฉลย

สาหรบโจทยปญหาขอน มแนวโนมทจะใหเหตผลวา เนองจากดานตรงขามของเหรยญอาจเปนหวหรอ

กอย ดงนนความนาจะเปนของเหตการณทสนใจคอ 1

2 ซงไมถกตอง เพราะวาเมอกาหนดใหวาเหรยญ

หงายดานหว เหรยญทสมหยบไดมความเปนไปไดทจะเปนเหรยญทมหวสองดานมากกวาเหรยญอน วธให

เหตผลทถกตองคอตองหาความนาจะเปนมเงอนไข

ให AHH, ATT, และ AHT แทนเหตการณทสมหยบไดเหรยญทมหวสองดาน เหรยญทมกอยสองดาน

และ เหรยญปกตทมหวและกอยอยางละดานตามลาดบ และเมอควาเหรยญทสมหยบได ให H แทน

เหตการณทเหรยญหงายดานหว

ความนาจะเปนทดานทควาเปนหว (หยบไดเหรยญทมหวสองดาน) เมอ เหรยญหงายดานหว เทากบ

HHHH

P(A H) 1/ 3 2P(A | H)

P(H) 1/ 2 3

ดงนน ความนาจะเปนทดานทควาเปนกอย(หยบไดเหรยญทมหวและกอยอยางละดาน) เมอ เหรยญหงาย

ดานหว เทากบ

HT HH

2 1P(A | H) 1 P(A | H) 1

3 3

12. สนคาลอตหนงม 100 ชน สมตวอยางสนคามาตรวจสอบคณภาพ 4 ชน ถาพบสนคาชารดในตวอยาง จะ

ปฏเสธไมรบลอต สมมตวาในลอตมสนคาชารดทงหมด 5 ชน จงหาความนาจะเปนทจะยอมรบสนคา

ลอตดงกลาวน

เฉลย

ให A แทนเหตการณทยอมรบสนคาลอตดงกลาวน จะไดวา A = A1A2A3A4 เมอ Ai (i =

1,2,3,4) แทนเหตการณทสนคาชนท i ในตวอยางไมชารด ใชกฎการคณของความนาจะเปนคานวณ

ความนาจะเปนของ A ได


1 2 3 4P(A) P(A A A A )

1 2 1 3 1 2 4 1 2 3P(A )P(A | A )P(A | A A )P(A | A A A )

95 94 93 92

0.812100 99 98 97

13. ให A และ B เปนเหตการณใดๆ จงพสจนวา P(A B | B) P(A | B) ถา P(B) 0

เฉลย

ใชบทนยามของความนาจะเปนมเงอนไข จะได

P (A B) B P(A B)

P(A B | B) P(A | B)P(B) P(B)

14. สมศรคนหารายงานในตเกบเอกสารซงมลนชกหลายอน สมศรทราบวารายงานอยในลนชก j ดวย

ความนาจะเปน pj > 0 แตละลนชกรกมาก แมนวาสมศรเดาถกวารายงานอยในลนชก i ความนาจะเปนท

สมศรจะคนพบรายงานเทากบ di เทานน สมศรคนหารายงานในลนชกหนง สมมตเปนลนชก i แตไมพบ

รายงาน ภายใตเงอนไขน จงแสดงวาความนาจะเปนทรายงานของสมศรอยในลนชก j เทากบ j

i i

p

1 p d ถา

j i และเทากบ i i

i i

p (1 d )

1 p d

ถา j = i

เฉลย

ให A แทนเหตการณทสมศรไมพบรายงานในลนชก i เนองจากรายงานอยในลนชก i ดวยความนาจะเปน

pi และความนาจะเปนทจะหารายงานพบเทากบ di อาศยกฎการคณของความนาจะเปนจะได C

i iP(A ) p d ดงนน i iP(A) 1 p d ให B แทนเหตการณ ทรายงานอยในลนชก j ถา j i จะไดวา

A B B , P(A B) P(B) และจะได

j

i i

pP(A B) P(B)P(B | A)

P(A) P(A) 1 p d

ทานองเดยวกน ถา j = i จะไดวา

i i

i i

p (1 d )P(A B) P(B)P(A | B)P(B | A)

P(A) P(A) 1 p d

15. ผเลนสองคนผลดกนสมหยบลกบอลออกจากกลองซงในตอนเรมตนมลกบอลสขาว m ลกและลกบอลสดา

n ลก ผเลนคนแรกทหยบไดลกบอลสขาวเปนผชนะ จงสรางสตรเวยนซาทใชคานวณความนาจะเปนทผ

เลนทเลนกอนเปนผชนะ


เฉลย

ให p(m,k) แทนความนาจะเปนทผเลนทเรมเลนกอนจะชนะเมอตอนเรมตนในกลองมลกบอลสขาว m ลก

และสดา k ลก อาศยทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได

m k k

p(m,k) 1 p(m,k 1) 1 p(m,k 1)m k m k m k

ความนาจะเปน p(m, 1), p(m, 2), … , p(m, n) สามารถคานวณตามลาดบโดยใชสตรน เรมตนจาก

เงอนไขเรมตน p(m, 0) = 1

16. มกลอง k ใบ แตละใบมลกบอลสขาว m ลกและสดา n ลก สมหยบลกบอล 1 ลกจากกลองท 1 ใสลงใน

กลองท 2 แลวสมหยบลกบอล 1 ลกจากกลองท 2 ใสลงในกลองท 3 เรอยไปจนสดทายสมหยบลกบอล 1

ลกจากกลองท k จงแสดงวา ความนาจะเปนทหยบไดลกบอลลกสดทายเปนสขาวเทากบความนาจะเปนท

หยบไดลกบอลลกแรกจะเปนสขาว คอ m

m n

เฉลย

เราสรางสตรเวยนซาสาหรบหาความนาจะเปน pi ของเหตการณทหยบไดลกบอลสขาวจากกลองท i อาศย

ทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได

i 1 i i i

m 1 m 1 mp p (1 p ) p

m n 1 m n 1 m n 1 m n 1

เรมจากเงอนไขเรมตน 1

mp

m n

จะไดวา

2

1 m m mp

m n 1 m n m n 1 m n

ในกรณทวไป การคานวณขางบนนแสดงวา ถา i 1

mp

m n

จะได i

mp

m n

ดงนน เราจะได

i

mp

m n

สาหรบทก i

17. มกลอง 2ใบ ในตอนเรมตนกลองแตละใบมลกบอลจานวนเทากน สมหยบลกบอล 1 ลกจากกลองแตละใบ

พรอมกนแลวใสกลบไปไวในกลองอกใบหนงสลบกน ดาเนนการเชนน 4 ครง เมอสนสดการดาเนนการ

จงหาความนาจะเปนทลกบอลทงหมดอยในกลองเดมเหมอนตอนเรมตน

เฉลย

ให pi,n – i(k) แทนความนาจะเปนทหลงจากการแลกลกบอล k ครง กลองใบหนงมลกบอลซงมอยเดม i

ลกและมลกบอลซงเดมอยในอกกลองหนง n – i ลก เราตองหา pn,0(4) อาศยทฤษฎบทความนาจะเปนรวม

จะได


n,0 n 1,1

1 1p (4) p (3)

n n

n 1,1 n,0 n 1,1 n 2,2

n 1 1 2 2p (3) p (2) 2 p (2) p (2)

n n n n

n,0 n 1,1

1 1p (2) p (1)

n n

n 1,1 n 1,1

n 1 1p (2) 2 p (1)

n n

n 2,2 n 1,1

n 1 n 1p (2) p (1)

n n

n 1,1p (1) 1

รวมสมการเหลาน จะได

2 2 2

n,0 2 2 4 4 2 2 4

1 1 4(n 1) 4(n 1) 1 1 8(n 1)p (4)

n n n n n n n

18. สมมตวาคณไดรบซอง 2 ซอง คณทราบวาภายในแตละซองมเงนเปนจานวนเตมบาทและไมเทากน แตคณ

ไมทราบวาวาแตละซองมเงนจานวนเทาใด ใหคณสมเลอกซอง 1 ซอง หลงจากคณดวาในซองมเงนเทาใด

คณอาจเปลยนไปเลอกอกซองหนงกได เพอนของคณคนหนงแนะนาวายทธวธตอไปนจะชวยใหคณม

โอกาสเกน 1

2ทจะเลอกไดซองทมเงนมากกวา : ใหคณโยนเหรยญซาๆ ให X เทากบ 1

2บวกจานวนครงท

โยนเหรยญจนกระทงเหรยญหงายดานหวเปนครงแรก และใหเปลยนซองถาจานวนเงนในซองแรกทเลอก

นอยกวาคาของ X ยทธวธของเพอนของคณถกตองหรอไม

เฉลย

ให M และ m แทนจานวนเงนทมากกวาและจานวนเงนทนอยกวาซงอยในแตละซองตามลาดบ พจารณา

เหตการณ 3 เหตการณ

A={X < m}, B = {m < X < M} และ C = {X > M}

ให AM (หรอ BM หรอ CM) แทนเหตการณท A (หรอ B หรอ C ตามลาดบ) เกดขนและคณเลอกไดซอง

ทมเงนจานวน M ให Am (หรอ Bm หรอ Cm) แทนเหตการณท A (หรอ B หรอ C ตามลาดบ) เกดขน

และคณเลอกไดซองทมเงนจานวน m พจารณาเหตการณ

W = {สดทายคณไดซองทมเงนจานวน M}

เราจะหา P(W) และตรวจสอบวามากกวา 1

2 หรอไม

อาศยทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได

M m

1 1 1P(W | A) P(W | A ) P(W | A ) (1 0)

2 2 2


M m

1 1P(W | B) P(W | B ) P(W | B ) (1 1) 1

2 2

M m

1 1 1P(W | C) P(W | C ) P(W | C ) (0 1)

2 2 2

ใชความสมพนธเหลานและทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได P(W) P(A)P(W | A) P(B)P(W | B) P(C)P(W | C)

1 1

P(A) P(B) P(C) P(B)2 2

1 1P(B)

2 2

เนองจาก P(B) > 0 จะไดวา P(W) > 1

2 ดงนน ยทธวธทเพอนของคณแนะนาถกตอง

19. อลสกบบมมเหรยญ 2n + 1 อน เมอโยนเหรยญ เหรยญแตละอนมความนาจะเปน 1

2ทจะหงายดานหว บม

โยนเหรยญ n + 1 อน อลสโยนเหรยญ n อน สมมตวาการโยนเหรยญแตละอนเปนอสระกน จงแสดงวา

เมอโยนเหรยญครบทกอนแลว ความนาจะเปนทบมจะโยนเหรยญไดหวมากกวาอลสเทากบ 1

2

เฉลย

วธท 1 เนองจากบมโยนเหรยญมากกวาอลส 1 อน เปนไปไมไดททงสองคนจะโยนเหรยญไดหวจานวนเทากน

และไดกอยจานวนเทากน ดงนน บมโยนเหรยญไดหวจานวนมากกวาอลสหรอไดกอยจานวนมากกวา

อลส (แตไมใชทงสองอยาง) เนองจากเหรยญมความเทยงตรง ดงนนเหตการณทงสองตางมความนาจะเปน 1

2

วธท 2 ให B แทนเหตการณทบมโยนเหรยญไดหวจานวนมากกวาอลส ให X แทนเหตการณซงหลงจากแตละ

คนโยนเหรยญของตน n อน บมโยนเหรยญไดหวจานวนมากกวาอลส ให Y แทนเหตการณภายใต

เงอนไขเดยวกนทอลสโยนเหรยญไดหวจานวนมากกวาบม และให Z แทนเหตการณทบมและอลสโยน

เหรยญไดหวจานวนเทากน เนองจากแตละเหรยญมความเทยงตรง เราจะได

P(X) = P(Y) และ P(Z) = 1 – P(X) – P(Y)

นอกจากน จะเหนไดวา

P(B|X) = 1, P(B|Y) = 0 และ P(B|Z) = 1

2

อาศยทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะไดวา

P(B) P(X)P(B | X) P(Y)P(B | Y) P(Z)P(B | Z)

1

P(X) P(Z)2


1

P(X) P(Y) P(Z)2

1

2

20. [ทฤษฎบทความนาจะเปนรวมสาหรบความนาจะเปนมเงอนไข]

ให 1 n{C ,...,C } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ ให A และ B เปนเหตการณซง iP(B C ) 0

สาหรบทก i จงแสดงวา

n

i ii 1

P(A | B) P(C | B)P(A | B C )

เฉลย

อาศยทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได

n

ii 1

P(A B) P (A B) C

ใชกฎการคณของความนาจะเปน จะได i i iP (A B) C P(B)P(C | B)P(A | B C )

รวมสมการทงสองขางบน แลวหารดวย B และใชสตร P(A B)P(A | B)

P(B)

จะได

n

i ii 1

P(A | B) P(C | B)P(A | B C )

21. ให A และ B เปนเหตการณซง P(A) > 0 และ P(B) > 0 กลาววาเหตการณ B เพมความเปนไปไดของ

เหตการณ A ถา P(A|B) > P(A) และกลาววาเหตการณ B ลดความเปนไปไดของเหตการณ A ถา P(A|B) < P(A)

(1) จงแสดงวา B เพมความเปนไปไดของ A กตอเมอ A เพมความเปนไปไดของ B

(2) สมมตวา P(BC) > 0 จงแสดงวา B เพมความเปนไปไดของ A กตอเมอ BC ลดความเปนไปไดของ A

(3) เราทราบวาสมบตถกซอนไวในสถานทแหงใดแหงหนงในสองแหง ดวยความนาจะเปน และ 1

ตามลาดบ ในเมอ 0 1 เราคนหาสมบตในสถานทหนง และถาสมบตอยในสถานทนน ความนาจะ

เปนทจะพบสมบตเทากบ p > 0 จงแสดงวาเหตการณทเราไมพบสมบตในสถานทแหงแรกทเราคนหาเพม

ความเปนไปไดวาสมบตอยในสถานทแหงทสอง

เฉลย

(1) เนองจาก P(A B)

P(A | B)P(B)

ดงนน B เพมความเปนไปไดของ A กตอเมอ


P(A B) P(A)P(B)

ซงสมมลกบ A เพมความเปนไปไดของ B โดยกฎแหงความสมมาตร

(2) เนองจาก P(B) + P(BC) = 1 จะไดวา

P(B)P(A) + P(BC)P(A) = P(A) = P(B)P(A|B) + P(BC )P(A|BC)

C CP(B ) P(A) P(A | B ) P(B) P(A | B) P(A)

ดงนน P(A|B) > P(A) (B เพมความเปนไปไดของ A) กตอเมอ P(A) > P(A|BC) (BC ลดความเปนไป

ไดของ A)

(3) ให A และ B แทนเหตการณ

A = {สมบตอยในสถานทแหงทสอง}

B = {หาสมบตในสถานทแหงแรกไมพบ}

ใชทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได P(B) = P(AC)P(B|AC) + P(A)P(B|A) = (1 – p) + (1 – )

ดงนน

P(A B) 1 1

P(A | B) 1 P(A)P(B) (1 p) (1 ) 1 p

แสดงวา เหตการณ B เพมความเปนไปไดของเหตการณ A

22. พรานคนหนงมสนขลาเนอ 2 ตว วนหนง ในการแกะรอยสตวทตองการลาตวหนง เมอมาถงทางเดนซง

แยกออกเปนสองทาง เขาทราบวาการตดสนใจเลอกเสนทางการตดตามของสนขแตละตวเปนอสระกน

และมความนาจะเปน p ทจะเลอกถกทาง พรานตดสนใจใหสนขแตละตวเลอกเสนทางการตดตาม ถาสนข

ตดสนใจตรงกน กจะเลอกไปทางนน ถาสนขตดสนใจไมตรงกน จะเลอกเสนทางการตดตามโดยสม

ยทธวธทพรานคนนใชดกวาวธใหสนขตวหนง (ในสองตว) ตดสนใจเสนทางการตดตามหรอไม

เฉลย

พจารณาแซมเปลสเปซสาหรบยทธวธของพราน เหตการณทนาไปสเสนทางการตดตามทถกตองไดแก

(1) สนขทงสองตวเลอกเสนทางการตดตามเดยวกนและเปนเสนทางทถกตองดวย (ความนาจะเปน = p2)

(2) สนขตดสนใจเลอกเสนทางการตดตามไมตรงกน สนขตวทหนงเลอกเสนทางทถกตองและพราน

เลอกเสนทางตามสนขตวทหนง (ความนาจะเปน = p(1 p)

2

)

(3) สนขตดสนใจเลอกเสนทางการตดตามไมตรงกน สนขตวทสองเลอกเสนทางทถกตองและพรานเลอก

เสนทางตามสนขตวทสอง (ความนาจะเปน = p(1 p)

2

)


เหตการณทงสามขางตนเปนเหตการณไมเกดรวมกน บวกความนาจะเปนเหลานเขาดวยกน จะได

ความนาจะเปนทพรานใชยทธวธของเขาเลอกเสนทางทถกตอง

2 p(1 p) p(1 p)p p

2 2

อกทางเลอกหนง ถาพรานใหสนขตวหนงเลอกเสนทางการตดตาม สนขทไดรบมอบหมายใหเลอก

เสนทางสามารถเลอกเสนทางทถกตองดวยความนาจะเปน p เชนกน ดงนน ยทธวธทงสองมประสทธภาพ

เทากน

23. วชระมพนองเพยงคนเดยว จงหาความนาจะเปนทพนองของวชระเปนชาย สมมตวา ทารกเกดเปนชายหรอ

หญงดวยความนาจะเปนเทากน และเปนอสระกน ในการตอบคาถาม ใหระบขอสมมตเพมเตมตามความ

จาเปนใหชดเจน

เฉลย

คาตอบของปญหาขอนเปนไปไดหลายอยางขนอยกบขอสมมตเกยวกบการวางแผนมบตรของพอแมของ

วชระ ถาพอแมของวชระตดสนใจทจะมบตรเพยงสองคนเทานน ผลลพธทเปนไปไดม 4 ผลลพธและม

ความนาจะเปนเทากน คอ BB, GG, BG และ GB (เมอ B แทน บตรชาย และ G แทนบตรหญง) ถา

กาหนดให พอแมของวชระมบตรชายอยางนอย 1 คน (วชระ) ผลลพธ GG เปนไปไมได เหลอเพยง 3

ผลลพธทเปนไปได คอ BB, BG และ GB ซงมความเปนไปไดเทากน ความนาจะเปนทพนองของวชระ

เปนชาย (ความนาจะเปนมเงอนไขของ BB) เทากบ 1

3

ตรงกนขาม สมมตวาพอแมของวชระตดสนใจทจะมบตรไปเรอยๆจนกระทงมบตรชายเปนคนแรก ใน

กรณน วชระคอบตรคนทสองและพของวชระเปนหญงแนนอน (ความนาจะเปน =1)

24. อลสกบบมตองการเลอกระหวางดคอนเสรตและดภาพยนตร โดยวธโยนเหรยญเทยงตรงอนหนง แต

เหรยญทมอยเปนเหรยญทเอนเอยง (ไมทราบวามความเอนเอยงเทาใด) มวธใดหรอไมทเขาจะใชเหรยญท

เอนเอยงในการตดสนใจเลอกระหวางดคอนเสรตและดภาพยนตรโดยใหแตละทางเลอกมความนาจะเปน

เทากน

เฉลย

วธการคอโยนเหรยญสองครง ถาผลลพธคอ หว-กอย ใหเลอกดคอนเสรต ถาผลลพธคอ กอย-หว ใหเลอกด

ภาพยนตร ถาไมเปนกรณใดกรณหนงดงกลาว ใหโยนเหรยญใหม จนกระทงตดสนใจได ให Ak แทน

เหตการณทสามารถตดสนใจไดในการโยนเหรยญรอบท k ภายใตเงอนไข Ak ทางเลอกทงสองมความ

นาจะเปนเทากน


P(ดคอนเสรต) = k 1

P

(ดคอนเสรต|Ak)P(Ak) k

k 1

1 1P(A )

2 2

ในการคานวณ เราใชสมบต kk 1

P(A ) 1

ซงเปนจรงเมอ P(หว) > 0 และ P(กอย) > 0

25. ระบบหนงมสวนประกอบเหมอนกน n ชด แตละชดทางานไดดวยความนาจะเปน p อยางเปนอสระกนทก

ชด ระบบจะทางานไดถาสวนประกอบอยางนอย k ชดทางานได จงหาความนาจะเปนทระบบนจะทางาน

ได

เฉลย

ให Ai แทนเหตการณทสวนประกอบ i ชดทางานได ความนาจะเปนทระบบทางานไดคอความนาจะเปน

ของ n

ii k

A และเนองจาก Ai เปนเหตการณไมเกดรวมกน ดงนน

P(ระบบทางานได) = n n

i n ii

i k i k

nP(A ) p (1 p)

i

26. รายวชาหนงมประวตวามนกศกษาเขาชนเรยนนอย อาจารยผสอนกาหนดวาจะไมสอนเวนแตวามนกศกษา

เขาชนเรยนอยางนอย k คนจากทลงทะเบยนเรยนไว n คน นกศกษาแตละคนเขาชนเรยนอยางเปนอสระ

กนดวยความนาจะเปน pg ถาเปนวนทอากาศด และเขาชนเรยนอยางเปนอสระกนดวยความนาจะเปน pb

ถาเปนวนทอากาศไมด กาหนดวาวนหนงทมชนเรยนวชานเปนวนทอากาศไมด จงเขยนความนาจะเปนท

อาจารยทาการสอนในวนนน

เฉลย

ให A แทนเหตการณทอาจารยสอนในวนทกาหนด และให B แทนเหตการณทอากาศไมดในวนนน จะได

วา

P(A) = P(B)P(A|B) + P(BC)P(A|BC)

และ n

i n ib b

i k

nP(A | B) p (1 p )

i

n

C i n ig g

i k

nP(A | B ) p (1 p )

i

ดงนน P(A) = P(B)n

i n ib b

i k

np (1 p )

i

+ P(BC)

ni n ig g

i k

np (1 p )

i

27. พจารณาเหรยญอนหนงซงมความนาจะเปน p ทเหรยญจะหงายดานหวเมอโยนเหรยญ และมความนาจะ

เปน 1 – p ทเหรยญจะหงายกอย ให qn เปนความนาจะเปนของเหตการณซงจานวนครงทเหรยญหงายดาน


หวเปนจานวนคเมอโยนเหรยญ n ครง จงหาสตรเวยนเกดทแสดงความสมพนธระหวาง qn และ qn – 1 และ

นาไปใชพสจนวา

n

n

1 (1 2p)q

2

เฉลย

ให A แทนเหตการณทการโยนเหรยญ n – 1 ครงแรก จานวนครงทเหรยญหงายดานหวเปนจานวนค และ

ให E แทนเหตการณทการโยนเหรยญครงท n เหรยญหงายดานหว เหตการณทจานวนครงทหงายดานหว

เปนจานวนคเมอโยนเหรยญ n ครงเกดขนได 2 วธ :

1. จานวนครงทเหรยญหงายดานหวเปนจานวนคในการโยนเหรยญ n – 1 ครงแรกและเหรยญหงาย

ดานกอยในการโยนเหรยญครงท n เหตการณนคอ CA E

2. จานวนครงทเหรยญหงายดานหวเปนจานวนคในการโยนเหรยญ n – 1 ครงแรกและเหรยญหงาย

ดานหวในการโยนเหรยญครงท n เหตการณนคอ CA E

เนองจาก A และ E เปนอสระกน จะไดวา

C Cnq P (A E ) (A E)

C CP(A E ) P(A E)

C CP(A)P(E ) P(A )P(E)

n 1 n 1(1 p)q p(1 q )

ขนตอไป เราจะใชสตรเวยนเกดนและวธอปมานเชงคณตศาสตรพสจนสตร

n

n

1 (1 2p)q

2

สาหรบ n = 0 จะได q0 = 1 สอดคลองกบสตรของ qn ทกาหนดให สมมตวาสตรทกาหนดใหเปนจรง

เมอแทน n ดวย n – 1 นนคอ

n 1

n 1

1 (1 2p)q

2

แทนคาในสตรเวยนเกด จะได n n 1 n 1q p(1 q ) (1 p)q

n 1p (1 2p)q

n 11 (1 2p)

p (1 2p)2

n1 (1 2p)

2

ดงนน สตรทกาหนดใหเปนจรงสาหรบทก n


28. พจารณาเกมโชวทมผรวมแขงขนจานวนอนนต ซงในการแขงขนรอบท i ผเขาแขงขนคนท i หมนวงลอ

(รอบท i)ไดแตมแตมหนง ผเขาแขงขนทหมนวงลอไปแลวและไดแตมนอยทสดรอเปนผชนะ การหมนวง

ลอแตละครงเปนอสระกน และ สมมตวาไมมกรณทเสมอกน (หมนวงลอแตละครงไดแตมตางกนเสมอ)

ให N แทนรอบทผแขงขนคนท 1 ตกรอบ จงหา P(N = n) สาหรบจานวนเตมบวก n ใดๆ

เฉลย

คดเสมอนหนงวาผลลพธของการทดลองคอวธเรยงสบเปลยนวธหนงของแตมของผเขาแขงขน n คน

ดงนน มผลลพธทเปนไปได n! ผลลพธ เหตการณ {N = n} เกดขนกตอเมอแตมของผเขาแขงขนคนท 1

นอยทสดในระหวางแตมของผเขาแขงขน n – 1 คนแรกและแตมของผเขาแขงขนคนท n นอยทสดใน

ระหวางแตมของผเขาแขงขน n คนแรก เหตการณนเกดขนได (n – 2)! วธ (เทากบจานวนวธเรยง

สบเปลยนผเขาแขงขนคนท 2, … , n – 1) ดงนน

(n 2)! 1 1

P(N n)n! n 1 n

29. ให A และ B เปนเหตการณอสระ จงใชบทนยามของเหตการณอสระพสจนวา

(1) เหตการณ A และ BC เปนอสระกน

(2) เหตการณ AC และ BC เปนอสระกน

เฉลย

(1) เขยน A ในรปยเนยนของเหตการณไมเกดรวมกน CA B และ A B ไดเปน

CA (A B ) (A B)

ใชสจพจนขอ 3 ของความนาจะเปน และความอสระของ A และ B จะได

C CP(A) P(A B) P(A B ) P(A)P(B) P(A B )

C CP(A B ) P(A) 1 P(B) P(A)P(B )

ดงนน A และ BC เปนอสระกน

(2) ใชผลของขอ (1) สองครง ครงแรกใชกบ A และ B ครงทสองใชกบ BC และ A

30. ให A, B และ C เปนเหตการณอสระโดยท P(C) > 0

จงพสจนวา A และ B เปนอสระกนภายใตเงอนไข C

เฉลย

เนองจาก P(A B C)P(A B | C)

P(C)

(บทนยามของความนาจะเปนมเงอนไข)

P(A)P(B)P(C)

P(C) (A, B และ C เปนเหตการณอสระ)


P(A)P(B)

P(A | C)P(B | C) (A กบ C และ B กบ C เปนเหตการณอสระ)

ดงนน A และ B เปนอสระกนภายใตเงอนไข C

31. สมมตวา A1, A2, A3, A4 เปนเหตการณอสระ และ 3 4P(A A ) 0 จงแสดงวา

1 2 3 4 1 2P(A A | A A ) P(A A )

เฉลย

เนองจาก 1 3 4 1 3 41 3 4 1

3 4 3 4

P(A A A ) P(A )P(A )P(A )P(A | A A ) P(A )

P(A A ) P(A )P(A )

ทานองเดยวกน 2 3 4 2P(A | A A ) P(A ) และ 1 2 3 4 1 2P(A A | A A ) P(A A )

และสดทาย

1 2 3 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4P(A A | A A ) P(A | A A ) P(A | A A ) P(A A | A A )

1 2 1 2P(A ) P(A ) P(A A )

1 2P(A A )

32. ทอดลกเตาหกหนา 3 ครงอสระกน เหตการณใดมความเปนไปไดมากกวา : เหตการณทไดแตมรวม 11

หรอ เหตการณทไดแตมรวม 12

เฉลย

เหตการณทไดแตมรวม 11 ประกอบดวยเซตของผลลพธ 6 เซตตอไปน {6,4,1}, {6,3,2}, {5,5,1}, {5,4,2}, {5,3,3}, {4,4,3}

เหตการณทไดแตมรวม 12 ประกอบดวยเซตของผลลพธ 6 เซตตอไปน {6,5,1}, {6,4,2}, {6,3,3}, {5,5,2}, {5,4,3},{4,4,4}

สงเกตวาวธเรยงสบเปลยนแตมวธหนงในแตละเซตคอผลลพธหนง เชน ผลลพธทสมนยกบเซต {6,4,1}

มทงหมด 6 ผลลพธไดแก (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6)

สาหรบเซตทประกอบดวยแตมทแตกตางกนทง 3 แตม เชน {6,4,1} หรอ {6,3,2} แตละเซตสมนยกบ

ผลลพธจานวน 3! = 6 ผลลพธ สาหรบเซตทประกอบดวยแตมทเหมอนกน 2 แตม เชน {5,5,1} หรอ

{5,3,3} แตละเซตสมนยกบผลลพธจานวน 3!3

2! ผลลพธ และสาหรบเซตทประกอบดวยแตมท

เหมอนกนทง 3 แตม เชน {4,4,4} แตละเซตสมนยกบผลลพธจานวน 3!1

3!

ผลลพธ

ผลลพธทสอดคลองกบเหตการณทไดแตมรวม 11 มทงหมด 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 ผลลพธ และ

ผลลพธทสอดคลองกบเหตการณทไดแตมรวม 12 มทงหมด 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 ผลลพธ


เนองจากแตละผลลพธ (วธเรยงสบเปลยน)มความเปนไปไดเทากน เหตการณแตมรวม 11 มความเปนไป

ไดมากกวาเหตการณแตมรวม 12

สงเกตวา แซมเปลสเปซประกอบดวยผลลพธทเปนไปไดทงหมด 63 = 216 ผลลพธ ดงนน

P(แตมรวม 11) = 27

216 และ P(แตมรวม 12) =

25

216

33. พจารณาผมารวมงานเลยง n คน สมมตวาทกคนมความนาจะเปนเทากนทจะเกดในวนใดๆระหวางปอยาง

เปนอสระกน และสมมตวาไมมใครเกดวนท 29 กมภาพนธ จงหาความนาจะเปนทแตละคนมวนเกดไม

ตรงกนเลย

เฉลย

แซมเปลสเปซประกอบดวยทกทางเลอกสาหรบวนเกดของแตละคน เนองจากม n คน แตละคนอาจเกดใน

วนใดวนหนงระหวางปซงม 365 ทางเลอก แซมเปลสเปซประกอบดวยผลลพธทเปนไปไดทงหมด 365n

ผลลพธ พจารณาทางเลอกซงไมมสองคนใดๆทมวนเกดตรงกน สมมตวา n ≤ 365 คนแรกมทางเลอก

สาหรบวนเกด 365 ทางเลอก คนทสองมทางเลอกสาหรบวนเกด 364 ทางเลอก … คนท n มทางเลอก

สาหรบวนเกด 365 – n + 1 ทางเลอก ดงนน มทงหมด 365 364 ... (365 n 1) ทางเลอกทไมม

สองคนใดมวนเกดตรงกน ดงนน

P(ไมมสองคนใดมวนเกดตรงกน) = n

365 364 ... (365 n 1)

365

มขอเทจจรงทนาสนใจอยางหนงคอ n มคาเพยง 23 ความนาจะเปนทจะมคนอยางนอยสองคนมวนเกด

ตรงกนกมากกวา 1

2แลว

34. กลองใบหนงมลกบอลสแดง m ลกและสขาว n ลก

(1) สมหยบลกบอล 2 ลกพรอมกน จงอธบายแซมเปลสเปซและคานวณความนาจะเปนทบอลทหยบไดม

สตางกน

(2) สมหยบลกปงปอง 1 ลกจากกลองอกใบหนงซงมลกปงปองอย 3 ลกเขยนหมายเลข 1, 2, 3 กากบไว

ถาหยบไดลกปงปองหมายเลข k ใหหยบลกบอลจากกลอง k ลก จงอธบายแซมเปลสเปซและคานวณ

ความนาจะเปนทลกบอลทหยบไดเปนลกบอลสแดงทกลก

เฉลย

(1) วธท 1 ใหหมายเลขลกบอลสแดงจาก 1 ถง m และลกบอลสขาวจาก m + 1 ถง m + n แซมเปลสเปซ

หนงทเปนไปไดประกอบดวยคอนดบของจานวนเตม (i, j) ซง 1 i, j m n และ i j จานวนผลลพธ


ทงหมดทเปนไปไดเทากบ (m + n)(m + n – 1) จานวนผลลพธทสมนยกบการหยบลกบอลสแดง-ขาว

(นนคอ i {1,...,m} และ j {m 1,..., m n} )คอ mn จานวนผลลพธทสมนยกบการหยบลกบอลส

ขาว-แดง(นนคอ i {m 1,..., m n} และ j {1,...,m} ) คอ mn เชนเดยวกน ดงนน ความนาจะเปนท

จะหยบไดลกบอลสตางกนเทากบ 2mn

(m n)(m n 1)

วธท 2 สงเกตวา การหยบลกบอล 2 ลกพรอมกน สมมลกบการหยบลกบอลครงละลกสองครงโดยไมคนท

อกแซมเปลสเปซหนงทเปนไดคอเซตของคอนดบของสลกบอลทเปนไปได {RR, RW, WR, WW}

เมอ W แทนสขาว และ R แทนสแดง และเหตการณท เราตองการคานวณความนาจะเปนคอ {RW, WR}

การหยบลกบอลครงทหนง ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสแดงเทากบ m

m n การหยบลกบอลครงท

สอง ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสขาวเทากบ m

m n 1 หรอ m 1

m n 1

ขนอยกบวาหยบครงแรกได

ลกบอลสขาวหรอสแดงตามลาดบ ดงนน อาศยกฎการคณของความนาจะเปนจะได

m m 1

P RRm n m n 1

,

m nP RW

m n m n 1

,

n m

P WRm n m n 1

, n n 1

P WRm n m n 1

ดงนน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสตางกนเทากบ 2mn

(m n)(m n 1)

(2) เราจะคานวณความนาจะเปนมเงอนไขของเหตการณทหยบไดลกบอลสแดงทกลกเมอกาหนดคาใดๆ

ของ k ทเปนไปได จากขอ (1) เราได m

P(R | k 1)m n

และ m(m 1)P(RR | k 2)

(m n)(m n 1)

คดตอเนองกนไปอกขนตอนหนงจะได m(m 1)(m 2)

P(RRR | k 3)(m n)(m n 1)(m n 2)

และสดทาย โดยอาศยทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะไดคาตอบทตองการเปน

1 m m(m 1) m(m 1)(m 2)

3 m n (m n)(m n 1) (m n)(m n 1)(m n 2)

35. จากไพสารบมาตรฐาน 52 ใบทสลบไพอยางทวถงดแลว จวไพทละใบ จงคานวณความนาจะเปนทไพใบท

13 ทจวไดเปนไพ K ใบแรก

เฉลย


เหตการณทไพใบท 13 เปนไพ K ใบแรก หมายถง เหตการณทจวไพ 12 ใบแรกไมได K และใบท 13 ได K

P(ไพใบท 13 เปนไพ K ใบแรก)

= P(ไพ 12 ใบแรกไมใช K)P(ไพใบท 13 เปน K |ไพ 12 ใบแรกไมใช K)

ในการจวไพ 12 ใบแรก มผลลพธทเปนไปไดทงหมด 52

12

ผลลพธทมความเปนไปไดเทากน ในจานวน

นมอย 48

12

ผลลพธทไมมไพ K รวมอยดวย ดงนน

P(ไพ 12 ใบแรกไมใช K)

48

12

52

12

ถาจวไพ 12 ใบแรกไมได K เลย ไพอก 40 ใบทเหลอม K อยดวยครบทง 4 ใบ ความนาจะเปนมเงอนไขท

ไพใบท 13 ทจวไดจะเปน K คอ

P(ไพใบท 13 เปน K |ไพ 12 ใบแรกไมใช K)4

40

ดงนน โดยอาศยกฎการคณของความนาจะเปนจะไดวา

P(ไพใบท 13 เปนไพ K ใบแรก)

48

12 4 48 47 ... 37 40.03376

52 40 52 51 ... 41 40

12

36. ในการลงทะเบยนเรยนรายวชาหนงมนกศกษาเลอกลงทะเบยน 90 คนรวมทงจกกบเจนดวย ถาแบง

นกศกษาเปน 3 หองโดยวธสม แตละหองมจานวนนกศกษาเทากน จงหาความนาจะเปนทจกกบเจนอย

หองเดยวกน

เฉลย

สมมตเราตงชอหองเรยนเปน A, B และ C ความนาจะเปนทจกกบเจนจะอยหอง A ทงสองคนเทากบ

จานวนวธเลอกนกศกษา 30 คนซงมจกกบเจนอยดวย (จกกบเจนและนกศกษาอก 28 คน) หารดวยจานวน

วธเลอกนกศกษา 30 คนใดๆทกวธทเปนไปได ความนาจะเปนนเทากบ

88

28

90

30

เนองจากมหองเรยน 3 หอง ความนาจะเปนทจกกบเจนจะไดอยหองเดยวกนเทากบ


88

283

90

30

37. ภาควชาหนงเปดสอนรายวชาตางๆ 2 กลม กลมเนอหาขนตนและกลมเนอหาขนสง กลมเนอหาขนตน

ประกอบดวยรายวชาตางๆ 8 รายวชา {L1, L2, … , L8} กลมเนอหาขนสงประกอบดวยรายวชาตางๆ 10

รายวชา {H1, H2, … , H10} แตละหลกสตรใหนกศกษาเลอกรายวชาในกลมเนอหาขนตน 4 รายวชาและ

รายวชาในกลมเนอหาขนสง 3 รายวชา

(1) สมมตวาการเลอกรายวชาตางๆไมมเงอนไขวาตองศกษารายวชาใดมากอน ภาควชานมหลกสตรทเปนไป

ไดทงหมดกหลกสตรทแตกตางกน

(2) สมมตวารายวชา H1, … , H5 ม L1 เปนรายวชาทตองศกษามากอน และรายวชา H6, … , H10 ม L2 และ

L3 เปนรายวชาทตองศกษามากอน ภายใตเงอนไขดงกลาวน มหลกสตรทเปนไปไดทงหมดกหลกสตรท

แตกตางกน

เฉลย

(1) มวธเลอก 4 รายวชาในกลมเนอหาขนตน 8

4

วธแตกตางกน และ มวธเลอก 3 รายวชาในกลม

เนอหาขนสง 10

3

วธแตกตางกน ดงนน โดยอาศยกฎการคณ จะไดวา ภาควชานมหลกสตรทเปนไป

ไดทงหมด 8 10

84004 3

หลกสตรทแตกตางกน

(2) แยกพจารณาเปน 4 กรณ

กรณท 1 สมมตวาเราไมเลอก L1 เราตองเลอกทง L2 และ L3 (ไมเชนนนเราไมสามารถเลอกรายวชาใน

กลมเนอหาขนสง ) และเราตองเลอกรายวชาเนอหาขนตนอก 2 รายวชาจาก 5 รายวชาทเหลอ และเลอก

รายวชาเนอหาขนสงอก 3 รายวชาจาก 5 รายวชาทมใหเลอก ในกรณนมหลกสตรทเปนไปได 5 5

1002 3

หลกสตรแตกตางกน

กรณท 2 ถาเราเลอก L1 แตไมเลอก L2 และไมเลอก L3 ในกรณนมหลกสตรทเปนไปได 5 5

1003 3


กรณท 3 ถาเราเลอก L1 และเลอก L2 หรอ L3 อกหนงรายวชา ในกรณนมหลกสตรทเปนไปได


5 52 200

2 3

หลกสตรแตกตางกน ทงนเพราะวา ม 2 วธทจะเลอก L2 หรอ L3 ม 5

2

วธทจะเลอก

2 รายวชาจาก L4, … , L8 และม 5

3

วธทจะเลอก 3 รายวชาจาก H1, … , H5

กรณท 4 ถาเราเลอกทง L1, L2 และ L3 จะมหลกสตรทเปนไปได 5 10

6001 3


ดงนน ภายใตเงอนไขทกาหนด ภาควชานมหลกสตรทเปนไปไดทงหมด 100 + 100 + 200 + 600 =

1000 หลกสตรแตกตางกน

38. สลบไพสารบมาตรฐานซงม 52 ใบอยางทวถง แลวจวไพ 7 ใบทอยขางบน จงหาความนาจะเปนของ

เหตการณตอไปน

(1) ไพ 7 ใบทจวไดมเอซ 3 ใบ

(2) ไพ 7 ใบทจวไดมคง 3 ใบ

(3) ไพ 7 ใบทจวไดมเอซ 3 ใบ หรอ คง 2 ใบ (หรอทงสองอยาง)

เฉลย

(1) แซมเปลสเปซประกอบดวยทกวธในการเลอกสมาชก 7 สมาชกจาก 52 สมาชก ดงนนแซมเปลสเปซ

ประกอบดวยผลลพธทเปนไปไดทงหมด 52

7

ผลลพธ ในการนบจานวนผลลพธทมเอซ 3 ใบ เราม

อสระทจะเลอกเอซ 3 ใบใดๆจากเอซ 4 ใบทมอย และเลอกอก 4 ใบจาก 48 ใบทเหลอ ไดผลลพธทงหมด 4 48

3 4

ผลลพธ ดงนน

P(ไพ 7 ใบทจวไดมเอซ 3 ใบ) =

4 48

3 4

52

7

(2) ทานองเดยวกนกบขอ (1) เราจะได

P(ไพ 7 ใบทจวไดมคง 2 ใบ) =

4 48

2 5

52

7

(3) ให A และ B แทนเหตการณในขอ (1) และขอ (2) ตามลาดบ เราจะตองคานวณ P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)


เหตการณ AB (ไดเอซ 3 ใบ คง 2 ใบ) เกดขนไดโดยจวไพเอซ 3 ใบจาก 4 ใบ ไพคง 2 ใบจาก 4 ใบ

และไพอนอก 2 ใบจาก 44 ใบทเหลอ เหตการณนประกอบดวยผลลพธ 4 4 44

3 2 2

ผลลพธ ดงนน

P(ไพ 7 ใบทจวไดมเอซ 3 ใบ หรอ คง 2 ใบ) =

4 48 4 48 4 4 44

3 4 2 5 3 2 2

52

7

39. มรถยนตอย 100 คนจอดอยทลานจอดรถรอการขาย ในจานวนนมอย k คนทมอาการเกยรกระตกเมอ

เปลยนเกยร สมเลอกรถยนต m คนไปทดลองขบ จงหาความนาจะเปนทจะพบรถยนตทมอาการเกยร

กระตก n คน

เฉลย

จะเหนไดชดเจนวา ถา n > m หรอ n > k หรอ m – n > 100 – k แลวความนาจะเปนของเหตการณท

สนใจเทากบ 0 ถา n ≤ m, n ≤ k และ m – n ≤ 100 – k เราสามารถหาความนาจะเปนทผลการ

ทดลองขบรถยนต m คนทเลอกโดยสมแลวพบรถยนตทมอาการเกยรกระตก n คนไดโดยนบจานวน

ตวอยางรถยนต m คนทเลอกจาก 100 คนทงหมดทเปนไปได ซงม 100

m

ตวอยางแตกตางกน เรา

สามารถเลอกตวอยางทประกอบดวยรถยนตทมอาการเกยรกระตก n คนไดโดยเลอกรถยนตทมอาการเกยร

กระตก n คนจากรถยนตทมอาการเกยรกระตก k คนทมอย แลวเลอกรถยนตทไมมอาการเกยรกระตกอก

m – n คนจากรถยนตทไมมอาการเกยรกระตกทมอย 100 – k คน ดงนน จานวนตวอยางรถยนต m คนท

มอาการเกยรกระตก n คนมทงหมด k 100 k

n m n

ตวอยาง และจะไดความนาจะเปนของเหตการณท

สนใจเทากบ

k 100 k

n m n

100

m

40. แจกไพสารบมาตรฐาน 52 ใบทสลบอยางทวถงแลวใหผเลน 4 คนคนละ13 ใบ จงหาความนาจะเปนทแต

ละคนไดไพเอซ

เฉลย


จานวนผลลพธในแซมเปลสเปซคอจานวนวธแบงไพ 52 ใบเปน 4 กอง กองละ 13 ใบ ซงหาไดจากสตร

อเนกนาม

4

52!

(13!)

สงเกตวา ม 4! วธแตกตางกนในการแจกไพเอซ 4 ใบใหกบผเลน 4 คนและม

4

48!

(12!)

วธแตกตางกนในการแบงไพทเหลอ 48 ใบเปน 4 กอง กองละ 12 ใบ ดงนน ความนาจะเปนของเหตการณ

ทสนใจเทากบ

4

4

48!4!

(12!)52!

(13!)

มวธหาคาตอบอกวธหนงทตางจากวธขางตนแตสมมลกนในเชงความนาจะเปน ผเลนแตละคนมชองใสไพ

คนละ 13 ชอง (ใสไพชองละ 1 ใบ) แทนทจะสลบไพ เราวางไพเอซทง 4 ใบไวดานบนสดของกองไพ

แลวแจกไพทละใบโดยแตละชองทยงวางอยมความนาจะเปนเทากนทจะไดรบแจกไพใบถดไป เหตการณ

ทเราสนใจเกดขนไดดงน ไพเอซใบแรกแจกใหชองใดกได ไพเอซใบทสองแจกใหชองหนงใน 39 ชองท

ไมไดเปนชองของผเลนทไดไพเอซใบแรกไปแลว (จาก 51 ชอง) ไพเอซใบทสามแจกใหกบชองหนงใน

26 ชองทไมไดเปนชองของผเลนทไดไพเอซไปแลวคนละใบ (จาก 50 ชอง)และไพเอซใบทสแจกใหกบ

ชองหนงใน 13 ชองของผเลนคนสดทายทยงไมไดไพเอซ (จาก 49 ชอง) ดงนน ความนาจะเปนของ

เหตการณทสนใจเทากบ

39 26 13

51 50 49

ถาเขยนคาตอบจากวธแรกในรปแบบอยางงาย จะไดผลลพธตรงกนกบคาตอบจากวธทสอง

41. กลองใบหนงมลกบอล n ลก ในจานวนนเปนลกบอลสแดง m ลก สมเลอกลกบอล k ลกจากกลองโดยไม

ใสคน (ไมคนลกบอลทเลอกไดลงกลองกอนทจะเลอกลกบอลลกถดไป) จงหาความนาจะเปนทจะเลอกได

ลกบอลสแดง i ลก

เฉลย

ผลลพธใน แซมเปลสเปซแตกตางกนไดทงหมด n

k

วธ (จานวนวธเลอกลกบอล k ลกจาก n ลกท

แตกตางกน) สาหรบเหตการณทเราสนใจ เกดขนไดเมอเราเลอกลกบอลสแดง i ลกจาก m ลกซงทาได


m

i

วธ และเลอกลกบอลอนๆอก k – i ลกจาก n – m ลกทเหลอซงทาได n m

k i

วธ ดงนน ความ

นาจะเปนของเหตการณทสนใจคอ

m n m

i k i

n

k

เมอ i 0 โดยท i m, i k และ k i n m

สาหรบคาอนๆของ i ความนาจะเปนของเหตการณทสนใจเทากบ 0


หนาวาง

2 ตวแปรสมไมตอเนอง

1. ทมฟตบอลทมหนงมกาหนดทจะเลน 2 เกมในวนสดสปดาห ประเมนวามความนาจะเปน 0.4 ทจะไมแพ

ในเกมทหนง และมความนาจะเปน 0.7 ทจะไมแพในเกมทสอง ซงเปนอสระกนกบผลการแขงขนในเกมท

หนง ถาทมไมแพแลวมความนาจะเปนเทากนทจะเสมอหรอชนะและเปนอสระกนกบผลการแขงขนใน

เกมอนๆ ทมจะไดคะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน หรอ 0 คะแนน ถาทมชนะ เสมอ หรอแพ ตามลาดบ จงหา

ฟงกชนมวลความนาจะเปนของคะแนนททมจะไดรบเมอสนสดสปดาหดงกลาว

เฉลย

ให X แทนคะแนนททมฟตบอลทมนไดรบเมอสนสดสปดาห จะได

P(X = 0) = P(แพในเกมทหนง)P(แพในเกมทสอง) = 0.60.3 = 0.18

P(X = 1) = P(เสมอในเกมทหนง)P(แพในเกมทสอง) + P(แพในเกมทหนง)P(เสมอในเกมทสอง)

= 0.20.3 + 0.60.35 = 0.27

P(X = 2) = P(ชนะในเกมทหนง)P(แพในเกมทสอง) + P(แพในเกมทหนง)P(ชนะในเกมทสอง)

+ P(เสมอในเกมทหนง)P(เสมอในเกมทสอง)

= 0.20.3 + 0.60.35 + 0.20.35 = 0.34

P(X = 3) = P(ชนะในเกมทหนง)P(เสมอเกมทสอง) + P(เสมอในเกมทหนง)P(ชนะในเกมทสอง)

= 0.20.35 + 0.20.35 = 0.14

P(X = 4) = P(ชนะในเกมทหนง)P(ชนะในเกมทสอง) = 0.20.35 = 0.07

P(X > 4) = 0

2. ศรวงศไปงานราตรสโมสรซงมผมารวมงาน 500 คน จงหาความนาจะเปนทมผมารวมงานเพยงคนเดยวทม

วนเกดตรงกบ ศรวงศ จงคานวณคาตอบทแมนตรงและประมาณคาโดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปน

ปวสซอง (สมมตวาไมมใครเกดในวนท 29 กมภาพนธ)

เฉลย

ให X แทนจานวนผมารวมงานทมวนเกดตรงกบศรวงศ จะไดวา X มการแจกแจงทวนามทมพารามเตอร

n = 499 และ p = 1

365

ดงนน ความนาจะเปนทมผมารวมงานเพยงคนเดยวทมวนเกดตรงกบศรวงศเทากบ

1 498

499 1 364P(X 1) 0.3486

1 365 365


ในการประมาณคาความนาจะเปนขางตนโดยใชการแจกแจงปวสซอง ให = np = 4991

365 1.367

จะไดคาประมาณของความนาจะเปนเทากบ x 1.367 1e e (1.367)

P(X 1) 0.3483x! 1!

ซงใกลเคยง

กบคาความนาจะเปนทถกตองซงคานวณจากฟงกชนมวลความนาจะเปนทวนามมาก

3. ฟสเชอรกบสปาสกเลนหมากรกกนในการแขงขนรายการหนง ใครชนะเกมหนงกอนเปนผชนะการ

แขงขน ถาเสมอกน 10 เกมตดตอกน จะประกาศผลการแขงขนใหทงคเสมอกน แตละเกมฟสเชอรม

โอกาสชนะ 0.4 สปาสกมโอกาสชนะ 0.3 และมโอกาสเสมอกน 0.3 เปนอสระกบผลการแขงขนในเกม

กอน

(1) จงหาความนาจะเปนทฟสเชอรจะชนะการแขงขน

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนเกมการแขงขนระหวางฟสเชอรกบสปาสก

เฉลย

(1) ให L แทนจานวนเกมการแขงขน ถาฟสเชอรชนะการแขงขนทตองแขงขนกน L เกม แลว ตองเสมอ

กน L – 1 เกมกอนทฟสเชอรจะชนะในเกมท L ดงนน

P(ฟสเชอรชนะ)10

L 1

L 1

0.3 0.4 0.571425

(2) การแขงขนสนสดในเกมท L โดยท L < 10 กตอเมอ เสมอกน L – 1 เกมกอนทผเลนฝายใดฝายหนง

จะชนะในเกมท L การแขงขนสนสดในเกมท L = 10 กตอเมอ เสมอกน 9 เกมแรก ในการแขงขนแตละ

เกม ความนาจะเปนทฟสเชอรหรอสปาสกจะชนะเทากบ 0.7 ดงนน ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ L คอ

1

9L

(0.3) 0.7, 1,...,9

p ( ) P(L ) (0.3) , 10

0,

คา อน ๆของ

4. ผใหบรการอนเตอรเนตรายหนงใชโมเดม 50 เครองใหบรการลกคา 1000 คน ประมาณกนวา ณ เวลาท

กาหนด ลกคาแตละคนมความตองการเชอมตออนเตอรเนตดวยความนาจะเปน 0.01 เปนอสระกนกบ

ลกคารายอนๆ

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนโมเดมทใชงานอย (= จานวนลกคาทตองการเชอมตอ

อนเตอรเนต) ณ เวลาทกาหนด

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซองทใชประมาณคาฟงกชนมวลความนาจะเปนในขอ (1)

89 เฉลยโจทยปญหา บทท 2 ตวแปรสมไมตอเนอง

(3) จงหาความนาจะเปนทจะมจานวนลกคาทตองการเชอมตออนเตอรเนตมากกวาจานวนโมเดม ทงคาท

แมนตรงและคาประมาณโดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซอง

เฉลย

(1) ให X แทนจานวนโมเดมทใชงานอย สาหรบ k < 50 ความนาจะเปนท X = k เทากบความนาจะเปน

ทลกคา K คนใน 1000 คนตองการเชอมตออนเตอรเนต

k 1000 k

X

1000p (k) 0.01 0.99 , k 0,1,...,49

k

ความนาจะเปนท X = 50 เทากบความนาจะเปนทลกคา 50 คนหรอมากกวา 50 คนใน 1000 คนตองการ

เชอมตออนเตอรเนต

1000

k 1000 k

Xk 50

1000p (50) 0.01 0.99

k

(2) ประมาณฟงกชนมวลความนาจะเปนทวนามดวยฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซองทมพารามเตอร

= 10000.01 = 10 จะได

10 k

X

e 10p (k) , k 0,1,..., 49

k!

10 k1000

Xk 50

e 10p (50)

k!

(3) ให A แทนเหตการณทมลกคาทตองการเชอมตออนเตอรเนตจานวนมากกวาจานวนโมเดมทม จะได

1000

k 1000 k

k 51

1000P(A) 0.01 0.99

k

ถาใชฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซองประมาณคา P(A) จะได

10 k1000

k 51

e 10P(A)

k!

5. ทมเซลตกสและทมเลเกอรกาหนดการแขงขนบาสเกตบอลรายการพเศษ n เกม เมอ n เปนจานวนค ทม

เซลตกสมความนาจะเปน p ทจะชนะทมเลเกอรในเกมใดๆเปนอสระกนกบผลการแขงขนในเกมอนๆ

สาหรบ k > 0 จงหาคาของ p ซงเมอ n = 2k + 1 ดสาหรบเซลตกสมากกวาเมอ n = 2k – 1

เฉลย

ให N แทนจานวนเกมททมเซลตกสชนะใน 2k – 1 เกมแรก ถา A แทนเหตการณททมเซลตกสชนะเมอ

n = 2k + 1 และ B แทนเหตการณททมเซลตกสชนะเมอ n = 2k – 1 จะไดวา

2 2P(A) P(N k 1) P(N k) 1 (1 p) P(N k 1) p

P(B) P(N k) P(N k) P(N k 1)


และ 2 2P(A) P(B) P(N k 1) p P(N k) (1 p)

k 1 k 2 2 k k 12k 1 2k 1

p (1 p) p (1 p) p (1 p)k 1 k

k k(2k 1)!p (1 p) (2p 1)

(k 1)!k!

และจะได P(A) > P(B) กตอเมอ p > 1

2 หมายความวา จานวนเกมการแขงขนมากขนยงจะเปนผลดตอ

ทมทดกวา

6. เสรเพงเชาบานหลงใหญหลงหนง เจาของบานมอบกญแจใหเสร 5 ดอกสาหรบไขกญแจประต 5 บานดอก

ละบาน แตวาแมกญแจแตละตวมรปลกษณเหมอนกน ดงนนในการไขประตหนาบาน เสรจงเลอกใชลก

กญแจโดยสม

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนลกกญแจทใชลองไขกญแจประตหนาบาน ภายใตขอ

สมมต:

(a) หลงจากลองใชลกกญแจทเลอกเปดประตไมสาเรจ จะทาเครองหมายไวเพอจะไดไมนามาใชซา

(b) ในการลองไขกญแจแตละครง มความนาจะเปนเทากนทจะใชลกกญแจแตละดอก

(2) ทาขอ (1) ใหม ถาเจาของบานใหกญแจสารองสาหรบเปดประตแตละบานอกบานละดอก

เฉลย

ให X แทนจานวนครงทเสรตองไขกญแจเพอเปดประตหนาบาน ให iK แทนเหตการณทลกกญแจลกท i

ทเลอกใชเปดประตไดสาเรจ

(1) ถาใชขอสมมต (a) จะได

X 1

1p (1) P(K )

5

C CX 1 2 1

4 1 1p (2) P(K )P(K | K )

5 4 5

C C C CX 1 2 1 3 1 2

4 3 1 1p (3) P(K )P(K | K )P(K | K K )

5 4 3 5

ดาเนนการตอไปในทานองเดยวกนน จะเหนไดวา ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X คอ

X

1p (x) , x 1,2,3,4,5

5

มมมมองในการแกปญหานอกแบบหนงดงน เรยงอนดบลกกญแจกอน แลวลองใชกญแจไขเปดประต

ตามลาดบ ในกรณน ความนาจะเปนทกญแจดอกใดๆจะสามารถเปดประตไดเทากบ 1

5


ถาใชขอสมมต (b) X เปนตวแปรสมเรขาคณตทมพารามเตอร p = 1

5ซงมฟงกชนมวลความนาจะเปน

k 1

X

4 1p (k) , k 1

5 5

(2) ถาใชขอสมมต (a) จะได

X 1

2p (1) P(K )

10

C CX 1 2 1

8 2p (2) P(K )P(K | K )

10 9

C C C CX 1 2 1 3 1 2

8 7 2 7 2p (3) P(K )P(K | K )P(K | K K )

10 9 8 10 9

ดาเนนการตอไปในทานองเดยวกนน จะเหนไดวา ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X คอ

X

2(10 x)p (x) , x 1,2,...,10

90

พจารณาวธการหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X อกวธหนง ถาเรยงอนดบลกกญแจกอน แลวลองใช

กญแจไขเปดประตตามลาดบ ความนาจะเปนทจานวนครงทตองลองไขกญแจเทากบ x คอ ความนาจะเปน

ทลกกญแจ n – 1 ลกแรกทใชไมมลกกญแจ 2 ดอกทถกตองอยดวยและลกกญแจลกท n ทใชคอลกกญแจ

ทถกตองลกหนงในสองลก เราสามารถนบจานวนวธทเหตการณนจะเกดขนแลวหารดวยจานวนวธทงหมด

ในการเรยงอนดบลกกญแจเพอหา Xp (x) จานวนวธทงหมดในการเรยงอนดบลกกญแจเทากบ 10! วธ

สาหรบวธทลกกญแจลกท x เปนลกกญแจทถกตองลกแรก ลกกญแจทถกตองอกลกหนงตองอยในกลม

ของลกกญแจ 10 – x ลกทอยถดจากลกท x ดงนน ตาแหนงทเปนไปไดของลกกญแจทถกตองลกทสองม

10 – x วธ ลกกญแจทเหลออก 8 ลก (ลกกญแจทไมถกตอง) อาจจดเรยงในตาแหนงตางๆ 8 ตาแหนงได

8! วธ ดงนน มวธเรยงอนดบกญแจ 2(10 – x)8! วธทลกกญแจลกท x เปนลกกญแจทถกตองลกแรก

สงเกตวา เราตองคณดวย 2 เพราะลกกญแจทถกตองม 2 ลกอาจเปนลกใดกทอยในตาแหนงท x ดงนน

ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X คอ

X

2 (10 x) 8! 2 (10 x)p (x) , x 1,2,...,10

10! 90

ถาใชขอสมมต (b) X เปนตวแปรสมเรขาคณตทมพารามเตอร p = 1

5 เหมอนเดม

7. ให X เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p จงแสดงวาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X

สามารถคานวณไดโดยเรมตนจาก nXp (0) (1 p) แลวใชสตรเวยนเกด

X X

p n kp (k 1) p (k)

p 1 k 1

, k = 0, 1, …, n


เฉลย

สาหรบ k = 0, 1, …, n – 1

k 1 n k 1

X

k n kX

np (1 p)

k 1p (k 1) p n k

np (k) 1 p k 1p (1 p)

k

8. พจารณาตวแปรสมทวนาม X ทมพารามเตอร n และ p ให k* เปนจานวนเตมทมากทสดซงนอยกวาหรอ

เทากบ (n + 1)p จงแสดงวา ฟงกชนมวลความนาจะเปน Xp (k) มคาไมลดทางเดยว เมอ 0 k k *

และมคาลดทางเดยว เมอ k k *

เฉลย

สาหรบ k = 1, 2, …, n

k n k

X

k 1 n k 1X

np (1 p)

kp (k) p n k 1 (n 1)p kp

np (k 1) 1 p k k kpp (1 p)

k 1

ถา k k * แลว k (n 1)p หรอ k kp (n 1)p kp และจะไดวาอตราสวนขางบนมากกวาหรอ

เทากบ 1 แสดงวา Xp (k) มคาไมลดทางเดยว และถา k > k* อตราสวนขางบนนอยกวา 1 จะไดวา

Xp (k) มคาลดทางเดยว

9. ให X เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร จงแสดงวา ฟงกชนมวลความนาจะเปน Xp (k) มคาเพม

ทางเดยวเมอ k [ ] =จานวนเตมทมากทสดซงนอยกวาหรอเทากบ และมคาลดทางเดยว เมอ k [ ]

เฉลย

ใชฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซอง จะไดวา สาหรบ k ≥ 1

k

Xk 1

X

p (k) e (k 1)!

p (k 1) k! e k

ดงนน ถา k ≤ อตราสวนขางบนมากกวาหรอเทากบ 1 และจะไดวา pX(x) มคาเพมทางเดยว และถา

k > อตราสวนขางบนนอยกวา 1 และจะไดวา pX(x) มคาลดทางเดยว

10. บานาคเปนนกคณตศาสตรซงเสพตดบหรพกไมขดไฟใสกระเปาซายและขวาขางละกลอง แตละครงทเขา

ตองการจดบหร เขาจะเลอกกลองไมขดจากกระเปาขางใดขางหนงดวยความนาจะเปน 1p

2 เปนอสระ


กนกบการเลอกครงกอนๆ ในตอนเรมตน กลองไมขดไฟทงสอง มไมขดไฟจานวนเทากน n กาน จงหา

ฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนกานไมขดทเหลอ ณ เวลาทเขาเลอกกลองไมขดกลองหนงแลว

พบวาเปนกลองวางเปลา จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนในกรณทวไป เมอความนาจะเปนในการเลอก

กลองไมขดไฟจากกระเปาขางซายเทากบ p และจากกระเปาขางขวาเทากบ 1 – p

เฉลย

ให X แทนจานวนไมขดไฟทเหลอเมอพบวาไมขดในกลองไมขดกลองหนงไดหมดลง สาหรบ k =

0, 1, …, n ให kL (หรอ kR ) แทนเหตการณทกลองไมขดไฟทหมดแลวถกพบในกระเปาขางซาย (หรอ

ขางขวาตามลาดบ)ในขณะทจานวนไมขดไฟในกระเปาขางขวา(หรอขางซาย ตามลาดบ) มอย k กาน


X k kp (k) P(L ) P(R ), k 0,1,..., n

สมมตวาการเลอกกระเปาซายและกระเปาขวาคอ ผลลพธทเปน“ความสาเรจ” และ “ความไมสาเรจ”

ตามลาดบ kP(L ) คอความนาจะเปนทไดผลลพธทเปนความสาเรจ n ครงในการลอง 2n – k ครงแรกและ

การลองครงท 2n – k + 1 ใหผลลพธทเปนความสาเรจ หรอ

2n k

k

2n k1 1P(L ) , k 0,1,..., n

n2 2

โดยหลกแหงความสมมาตร k kP(L ) P(R ) ดงนน

2n k

X k k

2n k 1p (k) P(L ) P(R ) , k 0,1,..., n

n 2

ในกรณทวไป เมอความนาจะเปนของการเลอกกระเปาซายและกระเปาขวาเทากบ p และ 1 – p ตามลาดบ

ใชเหตผลในทานองเดยวกน จะได

n kn

k

2n kP(L ) p p 1 p , k 0,1,..., n

n

และ

nn k

k

2n kP(R ) (1 p) p 1 p , k 0,1,..., n

n

และจะได

n 1 n k n k n 1X k k

2n kp (k) P(L ) P(R ) p (1 p) p (1 p) , k 0,1,..., n

n


11. พจารณาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p จงแสดงวา เมอ

n และ p 0 และเมอ np มคาคงตวเทากบ ฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมทวนามน

เขาใกลฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร

เฉลย

ใชความสมพนธ np เขยนฟงกชนมวลความนาจะเปนทวนาม

k n kX

n!p (k) p (1 p)

(n k)!k!

n kk

k

n(n 1)...(n k 1)1

n k! n

ตรงคาของ k และให n จะไดวา สาหรบ j 1,..., k

k n

n k j1, 1 1, 1 e

n n n

ดงนน สาหรบแตละคาของ k เมอ n จะได

k

X

ep (k)

k!

12. ครอบครวหนงวางแผนทจะมบตรโดยธรรมชาต 5 คนและรบเดกหญงเปนบตรบญธรรมอก 2 คน ถาโดย

ธรรมชาตบตรแตละคนมความนาจะเปนเทากนทจะเปนหญงหรอเปนชายและเปนอสระกนกบบตรคน

อนๆ จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของจานวนบตรหญงจากบตรทงหมด 7 คน

เฉลย

ให N แทนจานวนบตรโดยธรรมชาตทเปนหญง จะได N เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n = 5

และ p = 1

2

5

N

5 1, 0 k 5

p (k) k 2

0,

คา อน ๆ ของ k

ให G แทนจานวนบตรหญงจากจานวนบตร 7 คน ดงนน G = N + 2 และจะได G N N

{n|n 2 g}

p (g) p (n) p (g 2)

ดงนน

5

G

5 1, 2 g 7

p (g) g 2 2

0,

ค า อ น ๆขอ ง g


13. ให X เปนตวแปรสมทมคาทเปนไปไดเปนจานวนเตมตงแต 0 ถง 9 ดวยความนาจะเปน 1

10 เทากน

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม Y = X mod(3)

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม Y = 5 mod(X + 1)

เฉลย

(1) ใชความสมพนธ Y X{x| x mod(3) y}

p (y) p (x)

จะได

Y X X X X

4p (0) p (0) p (3) p (6) p (9)

10

Y X X X

3p (1) p (1) p (4) p (7)

10

Y X X X

3p (2) p (2) p (5) p (8)

10

Yp (y) 0, ถา y {0,1, 2}

(2) ทานองเดยวกน ใชความสมพนธ Y X{x| 5 mod(x 1) y}

p (y) p (x)

จะได

Y

2 /10, y 0

2 /10, y 1

p (y) 1/10, y 2

5 /10, y 5

0, y


14. ให K เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมในชวง [-n, n] ดวยความนาจะเปน 1

2n 1 จงหาฟงกชนมวล

ความนาจะเปนของตวแปรสม Y = ln X เมอ X = a|K| และ a เปนจานวนเตมบวก

เฉลย

ตวแปรสม Y มคา k ln a เมอ k = 1,…,n กตอเมอ X = ak หรอ X = a-k และ Y มคา 0 กตอเมอ X = 1


Y

2, y ln a,2 ln a,...,k ln a

2n 1

1p (y) , y 0

2n 1

y0,



15. ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนมวลความนาจะเปน

2

X

x,

p (x) a

0,

ถา x = -3,-2,-1,0,1,2,3

สาหรบคาอนๆของ x

(1) จงหา a และ E(X)

(2) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม Z = (X – E(X))2

(3) จงใชผลจากขอ (2) หาความแปรปรวนของ X

(4) จงหาความแปรปรวนของ X โดยใชสตร 2

Xx

Var(X) x E(X) p (x)

เฉลย

(1) จานวนจรง a ตองสอดคลองกบเงอนไข

3

2x

x x 3

11 p (x) x

a

ดงนน 3

2 2 2 2 2 2 2

x 3

a x ( 3) ( 2) ( 1) 1 2 3 28

และเนองจากฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X สมมาตรรอบ 0 จะไดวา E(X) = 0

(2) ถา z {1,4,9} แลว

Z X X

z z zp (z) p ( z ) p ( z )

28 28 14

และ Zp (z) 0 สาหรบคาอนๆของ z

(3) 2

Zz z {1,4,9}

zVar(X) E(Z) z p (z) 7

14

(4) 2

Xx

Var(X) x E(X) p (x)

2 2 2X X X X X X1 p ( 1) p (1) 2 p ( 2) p (2) 3 p ( 3) p (3)

1 4 92 8 18

28 28 28

= 7

16. จาลองอณหภมของเมองหนงดวยตวแปรสมทมคาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 องศาเซลเซยส

ทงค กลาววาวนหนงเปนวนทมอณหภมปกต ถาอณหภมในวนนนเบยงเบนจากคาเฉลยไมเกนหนงเทาของ

คาเบยงเบนมาตรฐาน จงหาชวงอณหภมของวนทมอณหภมปกตเมอวดอณหภมเปนองศาฟาหเรนไฮต

เฉลย


ถา X แทนอณหภมวดเปนองศาเซลเซยส แลวอณหภมนวดเปนองศาฟาหเรนไฮตไดเปน 9Y 32 X

5

ดงนน

9E(Y) 32 E(X) 32 18 50

5

และ 2 2

29 9Var(Y) Var(X) (10)

5 5

และจะได คาเบยงเบนมาตรฐานของ Y เทากบ 910 18

5 ดงนน ในวนทมอณหภมปกต อณหภมวด

เปนองศาฟาหเรนไฮตจะอยในชวง [32, 68]

17. ให a และ b เปนจานวนเตมบวกซง a ≤ b และให X เปนตวแปรสมทมคาเปนเลขยกกาลงของ 2 ในชวง a b[2 ,2 ] ดวยความนาจะเปนเทากน จงหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของ X

เฉลย

เรามฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X เปน

k

X

1, x 2 ,a k b, k

p (x) b a 1

0,

เ ป นจานวน เต ม

คา อน ๆของ x

ดงนน a b 1 ab

k b a

k a

1 2 2 2E(X) 2 1 2 ... 2

b a 1 b a 1 b a 1

ทานองเดยวกน

b 1 ab 22 k

k a

1 4 4E(X ) 2

b a 1 3 b a 1

และ 2b 1 a b 1 a4 4 2 2

Var(X)3(b a 1) b a 1

18. [St. Petersburg Paradox]

ใหคณโยนเหรยญเทยงตรงอนหนงอยางอสระและนบจานวนครงทโยนเหรยญจนกระทงเหรยญหงายดาน

กอย ถาจานวนครงทนบไดคอ n คณจะไดเงน n2 ดอลลาร จานวนเงนทคาดวาคณจะไดรบเทากบเทาใด

คณเตมใจทจะจายคาเลนเกมเกมนเทาใด

เฉลย

คาคาดหวงของจานวนเงนทคณจะไดรบสาหรบการเลนเกมนเปนคาอนนต เพราะถา X คอจานวนเงนทคณ

จะไดจากการเลนเกม แลว


k k

k 1 k 1

E(X) 2 2 1

ดงนน ถาคณตองตดสนใจระหวางการเลนเกมนโดยจายคาเกม f หรอไมเลนเกมนเลย และเปาหมายของ

คณคอเลอกทางเลอกทกาไรสทธเฉลยสงสดแลวคาเกม f จะเปนเทาใดคณกจะยอมจาย ขดแยงกบ

พฤตกรรมของคนสวนมากซงยอมจายประมาณ 20 ถง 30 ดอลลารเพอเลนเกมน ความตางนเนองมาจาก

ขอสมมตทวาจานวนเงนทแตละคนยนยอมจายกาหนดจากคาคาดหวงของกาไร แตการตดสนใจรบความ

เสยงของแตละคนไมไดพจารณาถงคาคาดหวงของกาไร

19. โรงงานชอกโกแลตแหงหนงสงเสรมการขายโดยโฆษณาวาโรงงานใสสลากทองคาในแทงชอกโกแลตบาง

แทง ผทพบสลากทองคานจะไดเดนทางมาทโรงงานและไดกนชอกโกแลตฟรตลอดชวต ถาความนาจะ

เปนทจะพบสลากทองคาในแทงชอกโกแลตแตละแทงเทากบ p จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของ

จานวนแทงชอกโกแลตทกนจนกระทงพบสลากทองคา

เฉลย

ให C แทนจานวนแทงชอกโกแลตทกนจนกระทงพบสลากทองคา จะไดวา C มการแจกแจงเรขาคณตทม

พารามเตอร p ดงนน คาเฉลยของ C คอ 1E(C)

p และความแปรปรวนของ C คอ Var(C) =

2

1 p

p

20. โยนเหรยญ 2 อนพรอมกนซาๆจนกระทงเหรยญหนงหงายดานหวและอกเหรยญหนงหงายดานกอย

เหรยญแรกหงายดานหวดวยความนาจะเปน p และเหรยญทสองหงายดานหวดวยความนาจะเปน q

การโยนเหรยญแตละครงเปนอสระกน

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน คาคาดหวง และความแปรปรวนของจานวนครงทโยนเหรยญ

(2) จงหาความนาจะเปนทเหรยญแรกหงายดานหวในครงสดทายของการโยนเหรยญ

เฉลย

(1) ให X แทนจานวนครงทโยนเหรยญจนกระทงเหรยญหนงหงายดานหวและอกเหรยญหนงหงายดาน

กอย สงเกตวา X เปนตวแปรสมเรขาคณตทมความนาจะเปนของผลลพธทเปนความสาเรจเทากบ

P({HT, TH}) = p(1 – q) + q(1 – p)


k 1

Xp (k) 1 p(1 q) q(1 p) p(1 q) q(1 p) , k 1,2,...

ดงนน 1E(X)

p(1 q) q(1 p)

และ

2

pq (1 p)(1 q)Var(X)

p(1 q) q(1 p)


(2) ความนาจะเปนทเหรยญแรกหงายดานหวในครงสดทายของการโยนเหรยญเทากบ

p(1 q)

P HT |{HT,TH}p(1 q) q(1 p)

21. (1) โยนเหรยญเทยงตรงอนหนงซาๆและเปนอสระกนจนกระทงเหรยญหงายดานหวสองครงตดตอกน

หรอหงายดานกอยสองครงตดตอกน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน คาคาดหวง และความแปรปรวน

ของจานวนครงทโยนเหรยญ

(2) สมมตวาเราโยนเหรยญจนกระทงเหรยญหงายดานกอยและครงกอนหนานเหรยญหงายดานหว จงหา

ฟงกชนมวลความนาจะเปน และคาคาดหวงของจานวนครงทโยนเหรยญ

เฉลย

ให X แทนจานวนครงทโยนเหรยญ

(1) สาหรบแตละครงของการโยนเหรยญหลงจากการโยนครงแรก มความนาจะเปน 1

2ทจะไดผลลพธ

เหมอนกบครงกอน ดงนน ตวแปรสม X อยในรปแบบ X = Y + 1 เมอ Y เปนตวแปรสมเรขาคณตทม

พารามเตอร 1p

2 และจะได

k 1

X

1, k 2

p (k) 2

0, k

คาอน ๆ ของ

1E(X) E(Y) 1 1 3

p

และ 2

1 pVar(X) Var(Y) 2

p

(2) ถา k > 2 จะมลาดบ k – 1 ชดทนาไปสเหตการณ {X = k} ตวอยางเชน H…HT ซงเปนหว (H)

จานวน k – 1 ครงตามดวยกอย (T) ลาดบอก k – 2 ชดทเปนไปไดอยในรปแบบ T…TH…HT ซงสวน

ทอยระหวาง T…T มความยาวตางๆกน สาหรบกรณท k = 2 มลาดบทเปนไปไดเพยงชดเดยว (= k – 1)

คอ HT ซงนาไปสเหตการณ {X = k} ดงนน สาหรบ k 2

k

1P(X k) (k 1)

2

ดงนน

k

X

1(k 1) , k 2

p (k) 2

0, k


และ


k k k k

2

k 2 k 1 k 1 k 1

1 1 1 1E(X) k(k 1) k(k 1) k k 6 2 4

2 2 2 2

ในการใหเหตผลขางบน เราใชสมการ

k

k 1

1k E(Y) 2

2

และ k

22 2 2

k 1

1k E(Y ) Var(Y) E(Y) 2 2 6

2

เมอ Y เปนตวแปรสมเรขาคณตทมพารามเตอร 1p

2

22. นกเลนหนคนหนงซอหน A จานวน 100 หนวยและซอหน B จานวน 200 หนวย ให X และ Y แทนราคา

ทเปลยนแปลงในชวงเวลาหนงของหน A และ B ตามลาดบ ถาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวมของ X

และ Y เปนแบบยนฟอรมบนเซตของจานวนเตม x และ y ซงสอดคลองกบอสมการ

2 x 4 และ 1 y x 1

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจนและคาเฉลยของ X และ Y

(2) จงหากาไรเฉลยของนกเลนหน

เฉลย

(1) มคอนดบ (x, y) ของจานวนเตม 21 คในอาณาบรเวณ

R {(x, y) | 2 x 4, 1 y x 1}

ฟงกชนมวลความนาจะเปนรวมของ X และ Y คอ

X,Y

1, (x, y) R

p (x, y) 21

0, (x, y) R

สาหรบแตละคาของ x ในชวง [-2, 4] มคาของ Y ทเปนไปได 3 คา และจะไดฟงกชนมวลความนาจะ

เปนมารจนของ X เปน

X

3, x 2, 1,0,1,2,3, 4

p (x) 21

0, x


คาเฉลยของ X คอจดกงกลางของชวง [-2, 4]

E(X) = 1

ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจนของ Y คอ


Y

1/ 21, y 3

2 / 21, y 2

3 / 21, y 1,0,1,2,3p (y)

2 / 21, y 4

1/ 21, y 5

0, y


คาเฉลยของ Y เทากบ

1 2 3

E(Y) 3 5 2 4 1 1 2 3 121 21 21

(2) กาไรกาหนดโดย

P = 100X + 200Y

ดงนน E(P) 100 E(X) 200 E(Y) 100 1 200 1 300

23. นกศกษา n คนเขาสอบรายวชาหนงซงมคาถาม m ขอ สมมตวานกศกษาคนท i ตอบคาถาม im ขอแรก

(1) อาจารยผสอนเลอกดคาตอบหนงโดยสม แทนคาตอบนดวย (I, J) เมอ I คอหมายเลขของนกศกษา (ม

คา 1, 2, …, n) และ J คอลาดบทของคาถาม (มคา 1,2,…, m) สมมตวาแตละคาตอบมความนาจะเปนท

จะถกเลอกเทากน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม และ ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจนของ I

และ J

(2) สมมตวา คาตอบหนงของคาถามขอท j ทตอบโดยนกศกษาคนท i เปนคาตอบทถกตองดวยความนาจะ

เปน ijp แตละคาตอบไดคะแนน a คะแนนถาเปนคาตอบทถกตอง และไดคะแนน b คะแนนถาเปน

คาตอบทไมถกตอง จงหาคาคาดหวงของคะแนนของนกศกษาคนท i

เฉลย

(1) เนองจากทกคาทเปนไปไดของ (I,J) มความเปนไปไดเทากน เราจะได

in

kI,J k 1

i

1, j m

mp (i, j)

0, j m

ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจนของ I และ J คอ

m

iI I,J n

j 1 kk 1

mp (i) p (i, j) , i 1,..., n

m

n

j

J I,J ni 1 kk 1

p ( j) p (i, j) , j 1,...,mm

เมอ j คอจานวนนกศกษาทตอบคาถามขอท j หมายถง นกศกษาคนท i ซง j ≤ mi


(2) คาคาดหวงของคะแนนของนกศกษาคนท i เทากบผลบวกของคาคาดหวง ij ijp a (1 p )b ของ

คะแนนจากการตอบคาถามท j เมอ ij 1,..., m ซงกคอ

im

ij ijj 1

p a (1 p )b

24. [การแจกแจงอเนกนาม (The Multinomial Distribution)]

ลกเตาลกหนงม r หนา เขยน 1, 2, …, r กากบไวหนาละจานวน ทอดลกเตาลกนจานวน n ครง (n เปนคา

คงตว) ในการทอดลกเตาแตละครง ความนาจะเปนทลกเตาจะหงายหนา i เทากบ ip ผลการทอดลกเตาแต

ละครงเปนอสระกน ให iX แทนจานวนครงทลกเตาหงายหนา i

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม 1 nX ,...,X 1 rp (k ,..., k )

(2) จงหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของ iX

(3) จงหา i jE(X X ) เมอ i j

เฉลย

(1) ในการทอดลกเตาจานวน n ครง เหตการณทลกเตาหงายหนา i จานวน ki ครง (i =1,…,r และ

k1 + …+kr = n) เกดขนได 1 r 1 r

n n!

k ,..., k k ! k !

วธ แตละวธมความนาจะเปนเทากนคอ 1 rk k

1 rp p

ดงนน สาหรบ k1 + …+kr = n,

1 r

1 r

k kX ,...,X 1 r 1 r

1 r

np (k ,..., k ) p ...p

k ,...,k

และ 1 rX ,...,X 1 rp (k ,..., k ) 0 สาหรบ k1 + …+kr ≠ n

(2) ตวแปรสม Xi มการแจกแจงทวนามทมพารามเตอร n และ pi ดงนน E(Xi) = npi และ Var(Xi) =

npi(1 – pi)

(3) สมมตวา i ≠ j และให Yi,k (หรอ Yj,k) เปนตวแปรสมแบรนลลทมคาเปน 1 เมอลกเตาหงายหนา i

(หรอ j ตามลาดบ)ในการทอดลกเตาครงท k และมคาเปน 0 เมอลกเตาหงายหนาอน สงเกตวา Yi,k Yj,k =

0 และสาหรบ k , Yi,k และ j,Y เปนอสระกน จะได i,k j, i jE(Y Y ) p p ดงนน

i j i,1 i,n j,1 j,nE(X X ) E[(Y ... Y )(Y ... Y )]

i,1 j,2n(n 1)E(Y Y )

i jn(n 1)p p

25. [The inclusion-exclusion formula]


ให 1 2 nA , A ,..., A เปนเหตการณ ให 1S {i |1 i n} , 2 1 2 1 2S {(i ,i ) |1 i i n} แ ละในกรณ

ทวไป ให m 1 m 1 2 mS {(i ,..., i ) |1 i i ... i n} จงแสดงวา

1 2

1 1 2 2

1 2 3

1 2 3 3

n

k i i ik 1

i S (i ,i ) S

nn 1

i i i kk 1

(i ,i ,i ) S

P A P(A ) P(A A )

P(A A A ) ... ( 1) P A

เฉลย

เขยนเหตการณ n

kk 1

B A

ในพจนของตวแปรสม 1 nX ,..., X เหตการณ BC เกดขนเมอตวแปรสม

1 nX ,..., X ทกตวเทากบ 0 ซงจะเกดขนเมอตวแปรสม Y= 1 2 n1 X (1 X )...(1 X ) เทากบ 1 สงเกต

วา Y สามารถมคาเพยง 0 หรอ 1 เทานน ดงนน P(BC) = P(Y = 1) = E(Y) และจะได

1 2 nP(B) 1 E[(1 X )(1 X )...(1 X )]

1 2

1 2 2

n 11 n i i 1 n

(i ,i ) S

E(X ... X ) E X X ... ( 1) E(X ...X )

สงเกตวา

i iE(X ) P(A ), 1 2 1 2i i i iE(X X ) P(A A ),

1 2 3 1 2 3i i i i i iE(X X X ) P(A A A ),

1 2 n

n

i i i 1 2 n kk 1

E(X X ...X ) E(X X ...X ) P( A )

ดงนน

1 2

1 1 2 2

1 2 3

1 2 3 3

n

k i i ik 1

i S (i ,i ) S

nn 1

i i i kk 1

(i ,i ,i ) S

P(B) P A P(A ) P(A A )

P(A A A ) ... ( 1) P A

26. ทอดลกเตาเทยงตรง 4 ครงเปนอสระกน ให X แทนจานวนครงทลกเตาหงายหนา 1 และ Y แทนจานวน

ครงทลกเตาหงายหนา 2 จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนรวมของ X และ Y

เฉลย

ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจน Yp ของตวแปรสม Y คอ

y 4 y

Y

4 1 5p (y) , y 0,1,...,4

y 6 6

ในการคานวณฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไข X|Yp สงเกตวา เมอกาหนด Y = y ตวแปรสม X คอ

จานวนครงทลกเตาหงายหนา 1 จากการทอดลกเตา 4 – y ครงทเหลอ แตละครงลกเตาสามารถหงายหนา


1,3,4,5 หรอ 6 ดวยความนาจะเปน 1

5 เทากน ดงนน ฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไข X|Yp เปน

ฟงกชนมวลความนาจะเปนทวนามทมพารามเตอร n = 4 – y และ p = 1

5

x 4 y x

X|Y

4 y 1 4p (x | y)

x 5 5

เมอ x และ y เปนจานวนเตมบวกหรอศนยซง 0 x y 4

27. พจารณาคน 2m คนซงเปนคสมรส m คทมชวตอย ณ เวลาทกาหนด สมมตวาเวลาผานไปชวงหนง ความ

นาจะเปนทแตละคนยงมชวตอยเทากบ p เปนอสระกนกบคนอนๆ ณ เวลาทกลาวถงภายหลงน ให A

แทนจานวนคนในกลมดงกลาวทยงมชวตอย และให C แทนจานวนคสมรสทยงมชวตอยทงค จงหา E(C | A a)

เฉลย

ให Xi เปนตวแปรสมทมคา 1 หรอ 0 ขนอยกบวาสามในคสมรสคท i มชวตอยหรอไม และให Yi เปนตว

แปรสมทมคา 1 หรอ 0 ขนอยกบวาภรรยาในคสมรสคท i มชวตอยหรอไม ดงนน m

i ii 1

C X Y

และโดย

ทฤษฎบทคาคาดหวงรวม จะได

m

i ii 1

E C | A a E X Y | A a

1 1mE X Y | A a

1 1 1mE Y 1| X 1,A a P X 1| A a

1 1 1mP Y 1| X 1,A a P X 1| A a

เนองจาก 1 1 1

a 1 aP Y 1| X 1,A a , P X 1| A a

2m 1 2m

ดงนน a 1 a a(a 1)

E C | A a m2m 1 2m 2(2m 1)

สงเกตวา E C | A a ไมขนกบ p

28. จงทวนสอบกฎของคาคาดหวง

X,Yx y

E g(X,Y) g(x, y)p (x, y)

โดยใชกฎเกยวกบคาคาดหวงของฟงกชนของตวแปรสมตวเดยว แลวใชกรณพเศษของฟงกชนเชงเสนทวน

สอบสตร

E aX bY aE(X) bE(Y)

เมอ a และ b เปนคาคงตว


เฉลย

เราสามารถใชทฤษฎบทคาคาดหวงรวมทอนปญหาใหเปนกรณของตวแปรสมตวเดยว

Yy

E g(X,Y) p (y)E g(X,Y) | Y y

Yy

p (y)E g(X, y) | Y y

Y X|Yy x

p (y) g(x, y)p (x | y)

X,Yx y

g(x, y)p (x, y)

สงเกตวา ในสมการทสาม เราใชกฎคาคาดหวงสาหรบฟงกชน g(X, y) ของตวแปร X ตวเดยว

สาหรบกรณฟงกชนเชงเสน ใชกฎคาคาดหวง จะได X,Y

x y

E(aX bY) (ax by)p (x, y)

X,Y X,Yx y y x

a x p (x, y) b y p (x, y)

X Yx y

a x p (x) b y p (y)

aE(X) bE(Y)

29. [กฎการคณสาหรบฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไข]

ให X, Y และ Z เปนตวแปรสมไมตอเนอง

(1) จงแสดงวา X,Y,Z X Y|X Z|X,Yp (x, y,z) p (x)p (y | x)p (z | x, y)

(2) สตรในขอ(1)นสามารถแปลความหมายเปนกรณพเศษของกฎการคณของความนาจะเปนทกลาวใน

บทท 1 ไดอยางไร

(3) จงเขยนกรณทวไปของสตรในขอ (1) สาหรบตวแปรสม n ตว

เฉลย

(1) X,Y,Zp (x, y,z) P X x,Y y, Z z

P X x P Y y, Z z | X x

P X x P Y y | X x P Z z | X x,Y y

X Y|X Z|X,Yp (x)p (y | x)p (z | x, y)

(2) สตรในขอ(1)ขางบนนสามารถเขยนเปน

P X x,Y y, Z z P X x P Y y | X x P Z z | X x,Y y

ซงเปนกรณพเศษของกฎการคณของความนาจะเปน


(3) กรณทวไปของสตรในขอ (1) สาหรบตวแปรสม n ตวคอ

1 nX ,...,X 1 np (x ,..., x )

1 2 1 n 1 n 1X 1 X |X 2 1 X |X ,...,X n 1 n 1p (x )p (x | x )...p (x | x ,..., x )

30. เครองสงสญญาณสง 1 ดวยความนาจะเปน p และสง 0 ดวยความนาจะเปน 1 – p เปนอสระกนกบ

สญญาณทสงกอนหนานน ถาจานวนสญญาณทสงในชวงเวลาทกาหนดมฟงกชนมวลความนาจะเปนปวส

ซองทมพารามเตอร จงแสดงวาจานวนสญญาณ 1 ทสงในชวงเวลาเดยวกนนมฟงกชนมวลความนาจะ

เปนปวสซองทมพารามเตอร p

เฉลย

ให X และ Y แทนจานวนสญญาณ 1 และจานวนสญญาณ 0 ทสงออกจากเครองสงสญญาณตามลาดบ

ให Z = X + Y แทนจานวนรวมของสญญาณ 1 และ 0 ทสงออกจากเครองสงสญญาณ จะได

P X n,Y m P X n, Y m | Z n m P Z n m

n m

n mn m e

p (1 p)n (n m)!

m(1 p)p n e (1 p)e ( p)

n! m!

และจะได m 0

P(X n) P(X n, Y m)

mp n

(1 p)

m 0

(1 p)e ( p)e

n! m!

p n

(1 p) (1 p)e ( p)e e

n!

p ne ( p)

n!

ดงนน X เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร p

31. ระหวางขบรถยนตไปทางานอลสผานแยกสญญาณไฟจราจร 4 จด แตละจดทอลสไปถงมความเปนไปได

เทากนทจะเปนไฟแดงหรอไฟเขยว เปนอสระกนกบจดอนๆ

(1) จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน คาเฉลย และความแปรปรวนของจานวนสญญาณไฟแดงทอลสพบ

ระหวางเดนทางไปทางาน

(2) สมมตวาสญญาณไฟแดงแตละจดทาใหอลสตองหยดรถ 2 นาท จงหาความแปรปรวนของเวลาท

เพมขนในการเดนทางของอลส

เฉลย


(1) ให X แทนจานวนครงทอลสพบกบสญญาณไฟแดงระหวางการเดนทาง X มการแจกแจงทวนามทม

พารามเตอร n = 4 และ p =1

2 คาคาดหวงและความแปรปรวนของ X คอ

1E(X) np 4 2

2

และ 1 1Var(X) np(1 p) 4 1

2 2

(2) เนองจาก ไฟแดงแตละจดทาใหอลสเสยเวลาในการเดนทาง 2 นาท ดงนน เวลาทเพมขนในการ

เดนทางของอลสคอ 2X ซงมความแปรปรวนเทากบ

2Var(2X) 2 Var(X) 4 1 4 (นาท)2

32. ในตอนเชาของแตละวน สวรรณจะกนขนมไขนกกระทา 1, 2, …, หรอ 6 ชนดวยความนาจะเปนเทากน

และเปนอสระกนกบวนกอนๆ ให X แทนจานวนขนมไขนกกระทาทสวรรณกนใน 10 วน จงหาคาเฉลย

และความแปรปรวนของ X

เฉลย

ให Xi แทนจานวนขนมไขนกกระทา (ชน) ทสวรรณกนในวนท i จะไดวา Xi เปนตวแปรสมอสระทม

การแจกแจงยนฟอรมบนเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6} และมฟงกชนมวลความนาจะเปน

iX

1, k 1,2,3,4,5,6

p (k) 6

0, k

ค า อน ๆ ของ

คาเฉลยและความแปรปรวนของ Xi คอ

E(Xi) = 1 1 1

1 2 ... 6 3.56 6 6

22 2 2 2 2

i i i

1 1 1Var(X ) E(X ) E(X ) 1 2 ... 6 (3.5) 2.9167

6 6 6

จานวนขนมไขนกกระทาทสวรรณกนใน 10 วนแทนดวย 10

ii 1

X X

มคาเฉลย

10 10

i ii 1 i 1

E(X) E X E(X ) 10(3.5) 35

ในการหาความแปรปรวนของ X ใหสงเกตวา Xi เปนตวแปรสมอสระ ดงนน

10 10

i ii 1 i 1

Var(X) Var X Var(X ) 10(2.9167) 29.167


33. นโยบายการประเมนบทความวชาการของอาจารยทานหนงเปนททราบกนทวไป แตละบทความจะไดเกรด

A, A-, B+, B, B-, C+ ดวยความนาจะเปนเทากน และเปนอสระกนกบบทความอนๆ คาดวาจะตองสง

บทความใหทานประเมนกฉบบกอนทจะไดผลการประเมนทกเกรดทเปนไปได

เฉลย

เชอมโยงความสาเรจกบบทความวชาการทไดเกรดทยงไมเคยไดรบมากอน ให Xi แทนจานวนบทความ

ระหวางความสาเรจครงท i และความสาเรจครงท i + 1 จะได ให X แทนจานวนบทความทสงใหประเมน

จนกระทงไดผลการประเมนทกเกรดทเปนไปได จะได5

ii 1

X 1 X

และดงนน

5

ii 1

E(X) 1 E(X )

หลงจากไดถง i – 1 เกรดแตกตางกนแลว (ความสาเรจ i – 1 ครง) บทความวชาการแตละฉบบตอจากนน

มความนาจะเปน 6 i

6

ทจะไดเกรดทยงไมเคยไดรบมากอน ดงนน Xi เปนตวแปรสมเรขาคณตทม

พารามเตอร i

6 ip

6

และจะได i

6E(X )

6 i

ดงนน

5 5 5

ii 1 i 1 i 1

6 1E(X) 1 E(X ) 1 1 6 14.7

6 i i

34. สถาพรขบรถยนตไปทางานสปดาหละ 5 วนตลอดทงป (50 สปดาห) และในแตละวนสถาพรมความนาจะ

เปน p = 0.02 ทจะไดรบใบสงปรบเปนอสระกนกบวนอนๆ ให X แทนจานวนใบสงทสถาพรไดรบ

ทงหมดในรอบ 1 ป

(1) จงหาความนาจะเปนทจานวนใบสงคาปรบทสถาพรไดรบเทากบคาคาดหวงของ X

(2) จงประมาณคาความนาจะเปนในขอ (1) โดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซอง

(3) คาปรบตามใบสงปรบแตละใบเทากบ 100 บาท หรอ 200 บาท หรอ 500 บาทดวยความนาจะเปน

0.5, 0.3 และ 0.2 ตามลาดบ และเปนอสระกน จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของจานวนเงนทสถาพร

ตองจายตามใบสงปรบในรอบ 1 ป

(4) สมมต เราไมทราบคาความนาจะเปน p ทสถาพรจะไดรบในแตละวน แตสถาพรไดรบใบสงคาปรบ

5 ใบในรอบ 1 ป เราสามารถประมาณคาของ p โดยใชคาเฉลยตวอยาง

5p 0.02

250

จงหาชวงของคาทเปนไปไดของ p โดยใชขอสมมตวาผลตางระหวาง p กบ p ไมเกน 5 เทาคาเบยงเบน

มาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง

เฉลย


(1) ตวแปรสม X มการแจกแจงทวนามทมพารามเตอร n = 250 และ p = 0.02 คาเฉลยของ X คอ E(X)

= np = 2500.02 = 5 ดงนน ความนาจะเปนทสนใจคอ

P(X = 5) = 5 245250

(0.02) (0.98) 0.17735

(2) ประมาณการแจกแจงความนาจะเปนของ X ดวยการแจกแจงปวสซองทมพารามเตอร = np = 5 จะ

ไดความนาจะเปนทสนใจในขอ (1) เปน

P(X = 5)5e

0.17555!

(3) ให Y แทนจานวนเงนคาปรบตามใบสงปรบในรอบ 1 ป จะได 5

ii 1

Y 50 Y

เมอ Yi แทนจานวนเงน

คาปรบตามใบสงปรบในวนท i ในรอบสปดาหทขบรถยนตไปทางาน และจะได

5

ii 1

E(Y) 50E(Y )

ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ Yi คอ

i

0.98, y 0

0.01, y 100P Y y

0.006, y 200

0.004, y 500

ซงมคาเฉลยทากบ

iE(Y ) 100 0.01 200 0.006 500 0.004 4.20

และความแปรปรวนเทากบ

22

i i i

2 2 2 2

Var(Y ) E Y E(Y )

100 0.01 200 0.006 500 0.004 (4.20)

1322.36

คาเฉลยของ Y เทากบ

5

ii 1

E(Y) 50E(Y ) 5 50 4.20 1050

เนองจาก Yi เปนตวแปรสมอสระ ดงนน ความแปรปรวนของ Y เทากบ

5

2i

i 1

Var(Y) 50 Var(Y ) 5 50 1322.36 330590

(4) ความแปรปรวนของคาเฉลยตวอยางคอ

p(1 p)

250


จากขอสมมตทวา ˆ| p p | มคาไมเกน 5 เทาของคาเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง จะไดวาคาของ

p ทเปนไปไดคอคาของ p ในชวง [0, 1] ซงสอดคลองกบอสมการ

2 25p(1 p)(p 0.02)

250

อสมการนสามารถเขยนในรปแบบ

2275p 35p 0.1 0

ซงเปนจรง กตอเมอ p มคาอยในชวง [0.0025, 0.1245]

35. สมมตวา X และ Y เปนตวแปรสมเรขาคณตทมพารามเตอร p เหมอนกน และเปนอสระกน จงแสดงวา

1P(X i | X Y n) , i 1,...,n 1

n 1

เฉลย

พจารณาการโยนเหรยญอนหนงซาๆและเปนอสระกน โดยมความนาจะเปน p ทเหรยญจะหงายดานหว

เราสามารถแปลความหมาย P(X i | X Y n) เปนความนาจะเปนทเหรยญจะหงายดานหวเปนครง

แรกในการโยนเหรยญครงท i เมอกาหนดใหเหรยญหงายดานหวครงทสองในการโยนเหรยญครงท n นน

คอ ถากาหนดใหเหรยญหงายดานหวครงทสองในการโยนเหรยญครงท n การหงายดานหวครงแรกม

ความเปนไปไดเทากนทจะเกดขนในการโยนเหรยญครงใดๆตงแตครงท 1 ถง n – 1 เขยนแสดงใหรดกม

ขนไดดงน :

เนองจาก P(X i, X Y n) P(X i)P(Y n i)P(X i | X Y n)

P(X Y n) P(X Y n)

และ i 1P(X i) p(1 p) , i 1

และ n i 1P(Y n i) p(1 p) , n i 1

จะไดวา P(X i)P(Y n i) 2 n 2p (1 p) , i 1,..., n 1

0, i


ดงนน สาหรบจานวนเตม i และ j ใดๆในชวง [1,n – 1] เราจะได

P(X i)P(X Y n) P(X j)P(X Y n)


1P(X i | X Y n) , i 1,...,n 1

n 1


36. ให X และ Y เปนตวแปรสมสองตวทมฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม X,Yp (x, y) ให g(X) และ h(Y)

เปนฟงกชนของ X และของ Y ตามลาดบ จงแสดงวา ถา X และ Y เปนอสระกน แลว g(X) และ h(Y)

เปนอสระกนดวย

เฉลย

ให U = g(X) และ V = h(Y) จะไดวา

U,V X,Y{(x,y)|g(x) u,h(y) v}

p (u, v) p (x, y)

X Y{(x,y)|g(x) u,h( y) v}

p (x)p (y)

(เพราะวา X และ Y เปนอสระกน)

X Y{x|g(x) u} {(y|h (y) v}

p (x) p (y)

U Vp (u)p (v)

ดงนน U = g(X) และ V = h(Y) เปนอสระกน


หนาวาง

3 ตวแปรสมทวไป

1. ให X เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [0, 1] พจารณาตวแปรสม Y = g(X) เมอ

1, x 1/ 3

g(x)x 1/ 32,

จงหาคาคาดหวงของ Y โดยใชฟงกชนมวลความนาจะเปนของ Y เปรยบเทยบกบเมอใชกฎการหาคา

คาดหวงของฟงกชน

เฉลย

ตวแปรสม Y = g(X) เปนตวแปรสมไมตอเนอง ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ Y คอ

Y Y Yp (1) P(X 1/ 3) 1/ 3, p (2) 1 p (1) 2 / 3

ดงนน 1 2 5E(Y) 1 2

3 3 3

ถาคานวณโดยใชกฎคาคาดหวง กจะไดผลเหมอนกน คอ

1 1/3 1

X0 0 1/3

5E(Y) g(x)f (x)dx dx 2dx

3

2. [ตวแปรสมลาปลาซ]

ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

|x|Xf (x) e

2

เมอ 0 เปนคาคงตว จงทวนสอบวา Xf (x) เปนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน และ จงหา

คาเฉลยและความแปรปรวนของ X

เฉลย

เหนไดชดเจนวา |x|Xf (x) e 0

2

ดงนน เพยงแสดงวา Xf (x)dx 1

กเพยงพอทจะสรปได

วา Xf (x) เปนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

|x| xX 0

1 1f (x)dx e dx 2 e dx 2 1 1

2 2 2

สงเกตวา x

0e dx 1

ซงเปนสมบตของฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชยลทม

พารามเตอร และเนองจากฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน Xf (x) สมมาตรโดยมแกน y เปนแกน

สมมาตร ดงนน E(X) = 0 นอกจากนน เราม

2 2 |x| 2 x

20

2E(X ) x e dx x e dx

2


สงเกตวา เราใชขอเทจจรงทวา โมเมนตทสองของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลคอ 2

2

ดงนน 22

2

2Var(X) E(X ) E(X)

3. จงแสดงวาคาคาดหวงของตวแปรสมไมตอเนองหรอตอเนอง X สอดคลองกบความสมพนธ

0 0

E(X) P(X x)dx P(X x)dx

เฉลย

สมมตวา X เปนตวแปรสมตอเนอง จะไดวา

X0 0 xP(X x)dx f (y)dy dx

y

X0 0f (y)dx dy

y

X0 0f (y) dx dy

X0

yf (y)dy

สงเกตวาในสมการทสองขางบน เราสลบอนดบของการหาปรพนธโดยเขยน

{(x, y) | 0 x , x y }

ในรปแบบ {(x, y) | 0 x y,0 y }

ทานองเดยวกน เราสามารถแสดงวา

0

X0

P(X x)dx yf (y)dy

รวมความสมพนธขางตนทงสองเขาดวยกน จะได

0

X X0

0 0

P(X x)dx P(X x)dx yf (y)dy yf (y)dy E(X)

ถา X เปนตวแปรสมไมตอเนอง จะได

X0y x

P(X x) p (y)

y

X0

y 0

p (y)dx

y

X0

y 0

p (y) dx

Xy 0

p (y) y

สาหรบสวนทเหลอ เราสามารถอางเหตผลไดในทานองเดยวกนกบกรณตวแปรสมตอเนอง

115 เฉลยโจทยปญหา บทท 3 ตวแปรสมทวไป

4. [กฎคาคาดหวงของฟงกชนของตวแปรสม]

ให X เปนตวแปรสมตอเนองทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน Xf (x) และให g(X) เปนฟงกชน

ของตวแปรสม X จงพสจนวาคาคาดหวงของ g(X) หาไดจากสตร

XE g(X) g(x)f (x)dx

เฉลย

เขยนฟงกชน g ในรปแบบผลตางของฟงกชนทมคาไมเปนจานวนลบสองฟงกชนดงน

g(x) g (x) g (x)

เมอ g (x) max{g(x),0} และ g (x) max{ g(x),0}

ใชผลจากโจทยปญหาขอ 3.

0 0

E g(X) P g(X) t dt P g(X) t dt

พจนแรกในขางขวาของสมการขางบนนเทากบ

X X X0 0 {x|g(x ) t} {t|0 t g(x )}P g(X) t dt f (x)dxdt f (x)dtdx g (x)f (x)dx

โดยหลกแหงความสมมาตร พจนทสองในขางขวาของสมการเทากบ

X0

P g(X) t dt g (x)f (x)dx

รวมผลทไดจากทงสองสมการขางบน จะได

X X XE g(X) g (x)f (x)dx g (x)f (x)dx g(x)f (x)dx

5. พจารณารปสามเหลยมรปหนงและเลอกจดหนงภายในรปสามเหลยมโดยสม (ภายใตการแจกแจง

ยนฟอรม) ให X แทนระยะทางจากจดทเลอกถงฐานของรปสามเหลยม เมอกาหนดสวนสงของรป

สามเหลยม จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X

เฉลย

ให 1A bh

2 เปนพนทของรปสามเหลยมทกาหนดให เมอ b เปนความยาวของฐานและ h คอความ

สงของรปสามเหลยม ลากเสนจากจดทเลอกโดยสมขนานกบฐาน ให xA เปนพนทของรปสามเหลยม

ทเกดขน รปสามเหลยมนมความสงเทากบ h – x และความยาวของฐานเทากบ b(h x)

h

ดงนน 2

x

b(h x)A

2h

สาหรบ x [0, h] จะไดวา

22

xX

A b(h x) / (2h) h xF (x) 1 P(X x) 1 1 1

A bh / 2 h

และ XF (x) 0 สาหรบ x < 0 และ XF (x) 1 สาหรบ x > h


หาอนพนธของฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม XF (x) จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะ

เปนของ X เปน

2X X

2(h x), 0 x h

f (x) F (x) h

0, x


6. มานไปธนาคารเพอถอนเงน และ มโอกาสเทากนทจะพบลกคา 0 หรอ 1 คนทมาถงกอนมาน เวลาท

ใหบรการลกคาทมากอน (ถาม) มการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร จงหาฟงกชนการ

แจกแจงความนาจะเปนสะสมของเวลาทมานรอคอยบรการ

เฉลย

ให X แทนเวลาทมานรอคอยรบบรการ และ Y แทนจานวนลกคาทมาถงกอนมาน สาหรบ x < 0 จะ

ได XF (x) 0 และสาหรบ x 0,

X

1 1F (x) P(X x) P(X x | Y 0) P(X x | Y 1)

2 2

เนองจาก P(X x | Y 0) 1

และ xP(X x | Y 1) 1 e


x

X

1x 0(2 e ),

F (x) 2

0, x

คา อน ๆ ของ

สงเกตวาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมไมตอเนองท x = 0 ตวแปรสม X ไมใชตวแปรสม

ไมตอเนองและไมใชตวแปรสมตอเนอง

7. วนปาลกดอกไปทเปาวงกลมรศม r และมความเปนไปไดเทากนทจะถกจดใดๆบนเปา ให X แทน

ระยะทางจากจดทลกดอกถกเปาถงจดศนยกลางของเปา

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน คาเฉลย และ ความแปรปรวนของ X

(2) เปามวงกลมวงในรศม t จดศนยกลางเดยวกนกบเปา ถา X t วนไดคะแนน S = 1/X ถา X > t

วนไดคะแนน S = 0 จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ S และจงพจารณาวา S เปน

ตวแปรสมตอเนองหรอไม

เฉลย

(1) ขนแรก เราคานวณฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X สาหรบ x [0, r] ,

22

X 2

x xF (x) P(X x)

r r

สาหรบ x < 0, XF (x) 0 และ สาหรบ x > r, XF (x) 1


หาอนพนธของฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม XF (x) จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะ

เปนของ X เปน

2X

2x, 0 x r

f (x) r

0, x


ดงนน คาคาดหวงของ X คอ

2

r

20

2x 2rE(X) dx

r 3

และ 3 2

r2

20

2x rE(X ) dx

r 2

ดงนน ความแปรปรวนของ X คอ

2 2 2

2 2 r 4r rVar(X) E(X ) [E(X)]

2 9 18

(2) วนไดคะแนนเปนจานวนบวกในชวง [1/ t, ) กตอเมอ X t ไมเชนนน ไมไดคะแนน (ได 0

คะแนน) ดงนน สาหรบ s < 0, SF (s) 0, สาหรบ 0 s 1/ t,

SF (s) P(S s) P(วนปาลกดอกถกจดทอยนอกวงกลมวงใน)2

2

t1 P(X t) 1

r

สาหรบ 1/ t s,

SF (s) P(S s) P(X t)P(S s | X t) P(X t)P(S s | X t)

เนองจาก 2 2

2 2

t tP(X t) , P(X t) 1

r r

P(S s | X t) 1 (เนองจาก S = 0 เมอ X > t)

และ

2 2

2

2 2 2

2

t (1/ s)P(1/ s X t) 1rP(S s | X t) P(1/ X s | X t) 1

tP(X t) s t

r

ดงนน 2 2

2 2 2 2 2 2

t 1 t 1P(S s) 1 1 1

r s t r s t

กลาวโดยสรป ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ S คอ

2

S 2

2 2

0, s 0

t0 s 1/ tF (s) 1 ,

r

11/ t s1 ,

s r

เนองจาก SF ไมตอเนองท s = 0 ดงนน ตวแปรสม S ไมใชตวแปรสมตอเนอง


8. พจารณาตวแปรสมตอเนองสองตว Y และ Z ให X เปนตวแปรสมซงเทากบ Y ดวยความนาจะเปน p

และเทากบ Z ดวยความนาจะเปน 1 – p

(1) จงแสดงวาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X คอ

X Y Zf (x) p f (x) (1 p) f (x)

(2) จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลสองดานซงม

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

x

X x

x 0p e ,f (x)

x 0(1 p) e ,

เมอ 0 และ 0 p 1

เฉลย

(1) ใชทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะไดวา

X Y ZF (x) P(X x) p P(Y x) (1 p) P(Z x) p F (x) (1 p) F (x)

หาอนพนธทงสองขาง จะได

X Y Zf (x) p f (x) (1 p) f (x)

(2) พจารณาตวแปรสม Y ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

y

Y

y 0e ,f (y)

y0,


และตวแปรสม Z ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

z

Z

e , z 0f (z)

0, z


สงเกตวา ตวแปรสม –Y และ Z มการแจกแจงความนาจะเปนเอกซโพเนนเชยล ใชฟงกชนการแจก

แจงความนาจะเปนสะสมเอกซโพเนนเชยล จะเหนไดวาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ

Y และ Z คอ

y

Y

y 0e ,F (y)

y 01,

Z z

z 00,F (z)

z 01 e ,

เนองจาก X Y Zf (x) p f (x) (1 p) f (x) และ X Y ZF (x) p F (x) (1 p) F (x) ดงนน

x

X x

pe , x 0F (x)p (1 p)(1 e ), x 0

x

x

pe , x 0

1 (1 p)e , x 0


9. [ตวแปรสมผสม(Mixed Random Variable)]

ในบางสถานการณ ตวแปรสมทใชในตวแบบเชงความนาจะเปนสามารถพจารณาเปนตวแปรสมไม

ตอเนอง Y และตวแปรสมตอเนอง Z ผสมกน หมายความวา คาของ X ไดจากการแจกแจงความนาจะ

เปนของ Y ดวยความนาจะเปน p ทกาหนดให และไดจากการแจกแจงความนาจะเปนของ Z ดวย

ความนาจะเปน 1 – p แลวกลาววา X เปนตวแปรสมผสมและสามารถใชทฤษฎบทความนาจะเปนรวม

หาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X ไดดงน

XF (x) P X x

Y Z

p P Y x (1 p) P Z x

p F (x) (1 p) F (x)

คาคาดหวงของ X นยามคลายกบทฤษฎบทคาคาดหวงรวมโดย

E(X) pE(Y) (1 p)E(Z)

จดจอดแทกซและปายรถประจาทางอยในบรเวณเดยวกนใกลบานนาผง นาผงไปทจดดงกลาว ณ เวลา

ทกาหนด ถามแทกซรออย (เหตการณนเกดขนดวยความนาจะเปน 2/3) นาผงจะใชแทกซ ถาไมม

แทกซจอดรออย นาผงจะรอขนแทกซหรอรถประจาทางคนทมาถงกอน รถแทกซคนถดไปจะมาถงจด

ทนาผงรออยในเวลาทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง 0 ถง 10 นาท ในขณะทรถประจาทางคนถดไป

จะมาถงจดทนาผงรออยในเวลาอก 5 นาทแนนอน จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและ

คาคาดหวงของเวลาทนาผงรอรถ

เฉลย

ให A แทนเหตการณทนาผงขนแทกซหรอขนรถประจาทางหลงจากรอรถ 5 นาท สงเกตวาความนาจะ

เปนทนาผงขนรถประจาทางคนถดไปในเมอนาผงตองรอรถคอ

P(แทกซใชเวลามากกวา 5 นาทจงจะมาถง) = 1

2

เวลาทนาผงรอรถแทนดวย X เปนตวแปรสมผสม ดวยความนาจะเปน

2 1 1 5P(A)

3 3 2 6

X มคาเทากบตวแปรสมไมตอเนอง Y (เวลาทรอคอยเมอมแทกซจอดรออยซงเทากบ 0 หรอเวลาทรอ

คอย 5 นาท รถแทกซกยงไมมาจงใชรถประจาทาง) ซงมฟงกชนมวลความนาจะเปน

Y

2, y 0

3P(A)p (y)

1, y 5

6P(A)

12 y 0,15

3 y 5,15


ความนาจะเปนขางบนนมวธคานวณดงน

Y

P(Y 0, A) 2p (0) P(Y 0 | A)

P(A) 3P(A)

Yp (5) กสามารถคานวณไดในทานองเดยวกน

ดวยความนาจะเปน 1 – P(A) เวลาทนาผงรอรถ X เทากบตวแปรสมตอเนอง Z (เวลาทรอรถไมถง 5

นาท กไดขนแทกซ) ซงมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

Z

1z, 0 5

f (z) 5

0, z


ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X หาไดจากสตร

X Y ZF (x) P(A)F (x) (1 P(A))F (x)

ซงจะได

X

0, x 0

5 12 1 xF (x) , 0 x 5

6 15 6 5

1, x 5

คาคาดหวงของเวลาทรอคอยคอ

5 3 1 5 15E(X) P(A)E(Y) (1 P(A))E(Z) 5

6 15 6 2 12

10. [การจาลองตวแปรสมตอเนอง (Simulating a Continuous Random Variable)]

คอมพวเตอรมชดคาสงยอยทสามารถสรางคาของตวแปรสม U ทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง

[0, 1] เราสามารถใชชดคาสงยอยดงกลาวนสรางคาของตวแปรสมทมฟงกชนการแจกแจงความนาจะ

เปนสะสม F(x) ดงน ถาตวแปรสม U มคา u เราให X มคาเปน x ทสอดคลองกบ F(x) = u ในกรณ

อยางงาย สมมตวา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมทกาหนดใหเปนฟงกชนเพมบนชวง S

ของคาทสนใจ เมอ S ={x|0 < F(x) < 1} เงอนไขนรบรองวา สาหรบ u ใดๆในชวง (0, 1) จะม x คา

เดยวซงสอดคลองกบ F(x) = u

(1) จงแสดงวา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสม X ทสรางขนเทากบฟงกชน

การแจกแจงความนาจะเปนสะสมทกาหนดให

(2) จงอธบายวธสรางคาของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร โดยใชวธการดงกลาว

ขางตน

(3) วธการสรางคาของตวแปรสมทอธบายขางตนสามารถใชสรางคาของตวแปรสมไมตอเนองทมคา

เปนจานวนเตมไดอยางไร

เฉลย


(1) ตวแปรสม X และ U มความสมพนธกนตามสมการ F(X) U เนองจาก F เปนฟงกชนเพม

หมายความวา สาหรบทก x

X ≤ x กตอเมอ F(X) ≤ F(x)

ดงนน

P(X x) P F(X) F(x) P U F(x) F(x)

เมอ อสมการสดทายไดมาจากความจรงทวา U มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1]

(2) ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมเอกซโพเนนเชยลอยในรปแบบ xF(x) 1 e สาหรบ

x ≥ 0 ดงนน ในการสรางคาของ X เราสรางคา u (0,1) ของตวแปรสมยนฟอรม U แลวกาหนดให

X มคาทสอดคลองกบสมการ x1 e u นนคอ ln(1 u)x

(3) ให F เปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสมไมตอเนอง X ทตองการ ให

u (0,1) เปนคาใดๆของตวแปรสมยนฟอรม ก าหนดให u สมนยกบจานวนเตม ux ซง

u uF(x 1) u F(x ) การสมนยนนยามตวแปรสม X ในรปฟงกชนของตวแปรสม U และจะไดวา

สาหรบทกจานวนเตม k

P(X k) P F(k 1) U F(k) F(k) F(k 1)

ดงนน ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X เทากบ F ตามทตองการ

11. ให X และ Y เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และ 1 ตามลาดบ และความแปรปรวน 1 และ 4


(1) จงหา P(X ≤ 1.5) และ P(X ≤ -1)

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Y 1

2

(3) จงหา P(-1 ≤ Y ≤ 1)

เฉลย

(1) X เปนตวแปรสมปกตมาตรฐาน ใชตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน จะไดวา P(X 1.5) (1.5) 0.9332

และ P(X 1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587

(2) ตวแปรสม (Y – 1)/2 ไดจากการลบ Y ดวยคาเฉลย (=1) แลวหารดวยคาเบยงเบนมาตรฐาน(= 2)

ดงนน (Y – 1)/2 มการแจกแจงปกตมาตรฐานและมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

2z /2

(Y 1)/2

1f (z) e

2

(3) ใชตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน

Y 1P( 1 Y 1) P 1 0

2


P( 1 Z 0)

P(0 Z 1)

(1) (0)

0.8413 0.5

0.3413

เมอ Z เปนตวแปรสมปกตมาตรฐาน

12. ให X เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และคาเบยงเบนมาตรฐาน จงใชตารางการแจกแจงปกต

มาตรฐานคานวณความนาจะเปนของเหตการณ {X ≥ k} และ {|X| ≤ k}สาหรบ k = 1, 2, 3

เฉลย

ตวแปรสม Z X / เปนตวแปรสมปกตมาตรฐาน ดงนน

P(X k ) P(Z k) 1 (k)

จากตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน

(1) 0.8413, (2) 0.9772, (3) 0.9986

ดงนน P(X ) 0.1587, P(X 2 ) 0.0228, P(X 3 ) 0.0014

และ เนองจาก

P(| X | k ) P(| Z | k) (k) P(Z k) (k) (1 (k)) 2 (k) 1

ใชตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน เราจะได

P(| X | ) 0.6826, P(| X | 2 ) 0.9544, P(| X | 3 ) 0.9972


13. อณหภมของเมองหนงจาลองไดดวยตวแปรสมปกตทมคาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10

องศาเซลเซยสทงค จงหาความนาจะเปนทอณหภม ณ เวลาทเลอกโดยสมจะนอยกวาหรอเทากบ 59

องศาฟาหเรนไฮต

เฉลย

ให X และ Y เปนอณหภมวดเปนองศาเซลเซยสและองศาฟาหเรนไฮตตามลาดบ ตวแปรสมคนม

ความสมพนธกนตามสมการ X 5(Y 32) / 9 ดงนน 59 องศาฟาหเรนไฮต เทากบ 15 องศา

เซลเซยส

เนองจาก E(X) = X = 10 ดงนน

15 10P(Y 59) P(X 15) P Z P(Z 0.5) (0.5)

10



จากตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน เราม (0.5) 0.6915 ดงนน P(Y 59) 0.6915

14. จงแสดงวา ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน Xf (x) ของตวแปรสมปกตมสมบต Xf (x)dx 1

แนะนา ปรพนธ 2x /2e dx

เทากบรากทสองของ 2 2x /2 y /2e e dxdy

และปรพนธทสอง

สามารถคานวณโดยการแปลงไปสพกดเชงขว

เฉลย

สงเกตวา

2 2 2

2

x /2 x /2 y /21 1e dx e dx e dy

22

2 2(x y )/21

e dxdy2

22

r /2

0 0

1e r dr d

2

(แปลงเปนพกดเชงขว)

2r /2

0e r dr

u

0e du

(เปลยนตวแปร u = r2/2)

u

0e

1

เนองจากปรพนธเปนจานวนบวก ดงนน

2x /21

e dx 12

ใชการแปลง u = (x – )/ จะไดวา

2 2 2(x ) /(2 ) u /2

X

1 1f (x)dx e dx e du 1

2 2

15. เลอกจดหนงโดยสม (ตามการแจกแจงยนฟอรม) ภายในรปครงวงกลม {(x,y)| x2 + y2 ≤ r2, y ≥ 0}

สาหรบบางคาของ r > 0 ทกาหนดให

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของพกด X และ Y ของจดทเลอกได

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y และใชผลทไดคานวณ E(Y)

(3) จงตรวจสอบคาตอบในขอ (2) โดยไมใชฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y คานวณ E(Y)

เฉลย

(1) เนองจาก พนทของอาณาบรเวณรปครงวงกลมเทากบ r2/2 ดงนน ฟงกชนความหนาแนน

นาจะเปนรวมของพกด X และ Y ของจดทเลอกไดคอ


2 2 2

2X,Y

2 2 2

2, (x, y) {(x, y) | x y r , y 0}

f (x, y) r

0, (x, y) {(x, y) | x y r , y 0}

(2) ในการหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y เราหาปรพนธของ fX,Y(x,y) บนชวงของ

คาของ X ทเปนไปได สาหรบคา y ใดๆของ Y คาของ X ทเปนไปไดอยในชวง

2 2 2 2[ r y , r y ]

ดงนน

2 2

2 2

2 2r y

2Y 2

r y

4 r y2 , 0 y r

f (y) dx rr

0, y


และ

r

2 2

2 0

4 4rE(Y) y r y dy

r 3

(การหาปรพนธขางบน ใชวธแทนคา z = r2 – y2)

(3) ในการหา E(Y) ไมจาเปนตองหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y ให D แทน

อาณาบรเวณรปครงวงกลม ใชพกดเชงขว จะไดวา

r

X,Y 20 0(x,y) D

2 4rE(Y) yf (x, y)dxdy s(sin )sdsd

r 3

16. [การประมาณคาคาคาดหวง]

ให Y1 ,…,Yn เปนตวแปรสมอสระทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fY เหมอนกน ให S เปนเซต

ของคาของ Yi ทเปนไปไดทงหมด นนคอ S = {y|fY(y) > 0} ให X เปนตวแปรสมททราบวาม

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fX ซง fX(y) = 0 สาหรบทก y S พจารณาตวแปรสม

nX i

ii 1 Y i

f (Y )1Z Y

n f (Y )

จงแสดงวา E(Z) = E(X)

เฉลย

เนองจาก

X i X

i Y XS S

Y i Y

f (Y ) f (y)E Y y f (y)dy yf (y)dy E(X)

f (Y ) f (y)

ดงนน

n nX i

ii 1 i 1Y i

f (Y )1 1E(Z) E Y E(X) E(X)

n f (Y ) n


17. ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

X

x / 4, 1 x 3f (x)

0, x


และให A แทนเหตการณ {X ≥ 2}

(1) จงหา E(X), P(A), fX|A(x), และ E(X|A)

(2) ให Y = X2 จงหา E(Y) และ Var(Y)

เฉลย

(1) เราม 2 3

3 3

11

x x 27 1 26 13E(X) dx

4 12 12 12 12 6

23 3

22

x x 9 4 5P(A) dx

4 8 8 8 8

X

X|A

f (x), x A

P(A)f (x | A)

0, x A

2x, 2 x 3

5

0, x


และ

33 3

22

2x 2x 54 16 38E(X | A) x dx

5 15 15 15 15

(2) เราม

33

2

1

xE(Y) E(X ) dx 5

4

และ

53

2 4

1

x 91E(Y ) E(X ) dx

4 3

ดงนน

22 291 16Var(Y) E(Y ) E(Y) 5

3 3

18. ตวแปรสม X มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

2

X

cx , 1 x 2f (x)

0, x



(2) ให A แทนเหตการณ {X > 1.5} จงคานวณ P(A) และฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนม

เงอนไขของ Y เมอทราบวา A เกดขน


(3) ให Y = X2 จงคานวณคาคาดหวงมเงอนไขและความแปรปรวนมเงอนไขของ Y เมอทราบวา A

เกดขน

เฉลย

(1) เนองจาก

2

2

1cx dx 1

จะได

22

1

1c 2

x dx

(2) เราม

2

2

1.5

1P(A) 2x dx

3

และ

2

X|A

6x , 1.5 x 2f (x | A)

0, x


(3) เราม

2

2 2 2

1.5E(Y | A) E(X | A) 6x x dx 3

2

2 4 2 4

1.5

37E(Y | A) E(X | A) 6x x dx

4

และ

237 1

Var(Y | A) 34 4

19. อาจารยสตเฟองรายหนงนดหมายใหนกศกษา 2 คนมาพบในเวลาเดยวกน ระยะเวลาทนดหมายเปน

อสระกนและมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมคาเฉลย 30 นาท นกศกษาคนแรกมาตามนดตรงเวลา

แตนกศกษาคนทสองมาชา 5 นาท จงหาคาคาดหวงของเวลาระหวางเวลาทมาของนกศกษาคนแรกและ

เวลาทจากไปของนกศกษาคนทสอง

เฉลย

ให T1 และ T2 แทนเวลาทนกศกษาคนแรกและนกศกษาคนทสองอยกบอาจารย

และ T แทนเวลาระหวางเวลาทมาของนกศกษาคนแรกและเวลาทจากไปของนกศกษาคนทสอง

คาคาดหวงทตองการหาคอ

E(T) = [5 + E(T2)]∙P(T1 ≤ 5) + [E(T1|T1≥ 5) + E(T2)]∙P(T1 > 5) (*)

เราม E(T2) = 30 และอาศยสมบตไรความจาของการแจกแจงเอกซโพเนนเชยล จะไดวา E(T1|T1≥ 5) = 5 + E(T1) =35

และ P(T1 ≤ 5) = 1 – e-5/30

P(T1 > 5) = e-5/30


แทนคาเหลานใน (*) จะได

E(T) = (5+30)∙( 1 – e-5/30) + (35 + 30)∙(e-5/30) = 35 + 30∙ e-5/30 = 60.394 นาท

20. เรมตนจากแทงไมยาวL เราหกแทงไมทจดหนงโดยสม (ตามการแจกแจงยนฟอรม) และเกบแทงไม

ทอนทมจดปลายดานซาย (อกทอนหนงทงไป) ให Y แทนความยาวของแทงไมทอนน แลวหกแทงไม

ทอนทเหลอไวนอกครงหนงโดยวธการเดม ให X แทนความยาวของแทงไมทอนทเหลอจากการหก

ครงทสอง

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของ Y และ X

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ X

(3) จงใช ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ X คานวณ E(X)

(4) จงคานวณ E(X) โดยใชความสมพนธ X = Y∙(X/Y)

เฉลย

(1) เราม fY(y) = 1/ L สาหรบ 0 ≤ y ≤ L และเมอกาหนด Y = y ตวแปรสม X มการแจกแจง

ยนฟอรมบนชวง [0, y] ดงนน fX|Y(x|y) = 1/y สาหรบ 0 ≤ x ≤ y และจะไดวา

X,Y Y X|Y

1 1, 0 x y L

L yf (x, y) f (y)f (x | y)

0, x y

และ คา อน ๆ ของ

(2) เราม

L

X X,Yx

1 1 Lf (x) f (x, y)dy dy ln , 0 x L

Ly L x

(3) เราม

L

X0

x L LE(X) xf (x)dx ln dx

L x 4

(4) เนองจาก เศษสวน Y/L ของแทงไมทอนทเหลอจากการหกแทงไมครงทหนง และ เศษสวน X/Y

ของแทงไมทเหลอจากการหกแทงไมครงทสอง เปนตวแปรอสระ นอกจากนน ตวแปรสม Y กบ X/Y

มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0,L] และ [0, 1] ตามลาดบ ดงนน

X L 1 L

E(X) E(Y)EY 2 2 4

21. เรามแทงไมยาว 1 หนวย พจารณาวธหกแทงไมเปน 3 ทอนโดยใชวธการ 3 วธตอไปน

(1) เลอกจดสองจดบนแทงไมโดยสมและเปนอสระกนโดยใชการแจแจงยนฟอรม และหกแทงไมท

จดสองจดน

(2) หกแทงไมทจดหนงโดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรมแลวหกแทงไมทอนทมจดปลายดานขวาท

จดหนงโดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรม


(3) หกแทงไมทจดหนงโดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรมแลวหกแทงไมทอนทยาวกวาทจดหนง

โดยสมโดยใชการแจกแจงยนฟอรม

สาหรบแตละวธ จงหาความนาจะเปนทแทงไมทงสามทอนประกอบกนเปนดานของรปสามเหลยมได

เฉลย

จนตนาการวาแทงไมเสมอนหนงเปนสวนของเสนตรง กาหนดพกดใหจดบนแทงไมโดยให จด

ปลายทางซายมพกด 0 และจดปลายทางขวามพกด 1 ให X แทนตาแหนงทหกแทงไมครงทหนง และ

Y แทนตาแหนงทหกแทงไมครงทสอง สาหรบวธหกแทงไมวธท (2) เราม X < Y สาหรบวธหกแทง

ไมวธท (1) และวธท (3) เราตงขอสมมตวา X < Y สาหรบกรณท Y < X ใชหลกของความสมมาตร

ภายใตขอสมมต X < Y แทงไมทงสามทอนยาว X, Y – X, และ 1 – Y แทงไมสามทอนนประกอบ

กนเปนรปสามเหลยมได กตอเมอ ผลบวกของความยาวของสองทอนใดๆมากกวาความยาวของทอนท

สาม นนคอ แทงไมประกอบกนเปนรปสามเหลยมได เมอ

X < (Y – X) + (1 – Y) หรอ (Y – X) < X + (1 – Y) หรอ (1 – Y) < X + (Y – X)

เงอนไขเหลานเขยนในรปอยางงายไดเปน

X < 0.5 หรอ Y > 0.5 หรอ Y – X < 0.5

พจารณาวธท (1) สาหรบ X และ Y ทสอดคลองกบเงอนไขเหลาน คอนดบ (X, Y) ตองอยภายใน

รปสามเหลยมทมจดยอด (0, 0.5), (0.5, 0.5) และ (0.5, 1) รปสามเหลยมนมพนท 1/8 ดงนน

ความนาจะเปนของเหตการณทแทงไมสามทอนประกอบกนเปนรปสามเหลยมไดและ X < Y เทากบ

1/8 อาศยหลกของความสมมาตร จะไดวา ความนาจะเปนของเหตการณทแทงไมสามทอนประกอบ

กนเปนรปสามเหลยมไดและ X > Y เทากบ 1/8 เนองจาก เหตการณคนไมเกดรวมกนและเปนผลการ

แบงของเหตการณทแทงไมสามทอนประกอบกนเปนรปสามเหลยมได ดงนน ความนาจะเปนทแทง

ไมสามทอนประกอบกนเปนรปสามเหลยมได เทากบ 1/8 + 1/8 = 1/4

พจารณาวธท (2) เนองจาก X มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] และ Y มการแจกแจงยนฟอรม

บนชวง [X, 1] จะไดวา สาหรบ 0 ≤ x ≤ y ≤ 1,

X,Y X Y|X

1 1f (x, y) f (x) f (y | x) 1

x 1 x 1

ความนาจะเปนของเหตการณทสนใจคอปรพนธของ fX,Y(x,y) บนอาณาบรเวณรปสามเหลยมทม

จดยอด (0, 0.5), (0.5, 0.5) และ (0.5, 1)

1/2 x 1/2 1/2 x 1/2 1/2

X,Y0 1/2 0 1/2 0

1 x 1f (x, y)dydx dydx dx ln 2

1 x 1 x 2

สาหรบวธท (3) ขนแรกพจารณากรณ X < 0.5 ในกรณนแทงไมทอนทยาวกวาหลงจากหกแทงไม

ครงทหนงคอทอนทางขวา ดงนน Y มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [X, 1] เชนเดยวกบวธท (2) และ

ปรพนธขางบนกคอความนาจะเปนทแทงไมทงสามทอนประกอบกนเปนรปสามเหลยมไดและ

X < 0.5 เมอพจารณากรณ X > 0.5 ดวย จะไดวา ความนาจะเปนของเหตการณทสนใจเทากบ


2(-1/2 + ln 2) หรอ -1 + ln 4

22. ใหตวแปรสม X และ Y มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมยนฟอรมบนอาณาบรเวณรป

สามเหลยมทมจดยอด (0,0), (0,1) และ (1,0)

(1) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y

(2) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y

(3) จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนด Y

(4) จงหา E(X|Y = y) และใชทฤษฎบทคาคาดหวงรวมหา E(X) ในพจนของ E(Y)

(5) จงหาคาของ E(X)โดยใชความสมมาตร

เฉลย

(1) ให T แทนอาณาบรเวณรปสามเหลยมมจดยอด (0,0), (0,1) และ (1,0) พนทของ T เทากบ 1/2

ดงนน ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y คอ

X,Y

2, (x, y) Tf (x, y)

0, (x, y) T

(2) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจนของ Y คอ

1 y

Y X,Y0

f (y) f (x, y)dx 2dx 2(1 y), 0 y 1

(3) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนด Y คอ

X,Y

X|Y

Y

f (x, y) 1f (x | y) , 0 x 1 y

f (y) 1 y

(4) สาหรบ y > 1 หรอ y < 0 ไมนยามฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนด

Y เพราะเปนไปไมไดท y จะมคาเหลาน สาหรบ 0 ≤ y < 1 คาเฉลยมเงอนไข E(X|Y = y) หาไดโดย

ใชฟงกชนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขในขอ (3)

1 y

E(X | Y y) , 0 y 12

สาหรบ y = 1, X ตองเทากบ 0 แนนอน ดงนน E(X| Y = 1) = 0 จะเหนไดวาสตรขางบนเปนจรงเมอ

y = 1 ดวย คาคาดหวงมเงอนไข E(X| Y = y) ไมนยามเมอ y อยนอกชวง [0, 1]

อาศยทฤษฎบทคาคาดหวงรวม จะไดวา

1 1

Y Y0 0

1 y 1 1 1 E(Y)E(X) f (y)dy yf (y)dy

2 2 2 2

(5) เนองจากความสมมาตร จะไดวา E(X) = E(Y) ดงนน E(X) = (1 – E(X))/2 และจะได E(X) = 1/3


23. ให X และ Y เปนตวแปรสมสองตวทมการแจกแจงความนาจะเปนยนฟอรมบนอาณาบรเวณรป

สามเหลยมทมจดยอด (0,0), (1,0) และ (0,2) จงคานวณ E(X) และ E(Y) โดยดาเนนการเปน

ขนตอนเชนเดยวกบขอ 22.

เฉลย

ภายใตเงอนไข Y = y ตวแปรสม X มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, (2 – y)/2] และเราจะได

2 yE(X | Y y) , 0 y 2

4

ดงนน อาศยทฤษฎบทคาคาดหวงรวม จะไดวา

2 2

Y Y0 0

2 y 2 1 2 E(Y)E(X) f (y)dy yf (y)dy

4 4 4 4

ทานองเดยวกน ภายใตเงอนไข X = x ตวแปรสม Y มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 2(1 – x)]

และเราจะได

E(Y | X x) 1 x, 0 x 1

ดงนน

1

X0

E(Y) (1 x)f (x)dx 1 E(X)

แกสมการสองสมการขางบนเพอหา E(X) และ E(Y) จะได

E(X) = 1/3 และ E(Y) = 2/3

24. พกด X และ Y ของจดๆหนงเปนตวแปรสมปกตอสระทมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2 ถาจดนน

หางจากจดกาเนดอยางนอย c แลวจงหาฟงกชนความหนาแนนรวมมเงอนไขของ X และ Y

เฉลย

ให C แทนเหตการณ {X2 + Y2 ≥ c2} ความนาจะเปน P(C) คานวณไดโดยใชพกดเชงขว ดงน

2 22r / (2 )

2 0 c

1P(C) re drd

2

2 2r /(2 )

2 c

1re dr

2 2c /(2 )e

ดงนน สาหรบ (x,y) C,

2 2 22

1x y c

X,Y 2X,Y|C 2

f (x, y) 1f (x, y | C) e

P(C) 2

25. ให X1, …, Xn เปนตวแปรสมอสระ จงแสดงวา

n

i ni 1 in 2i 12

ii

i 1

Var XVar(X )

1 1E XE X


เฉลย

เราม

n n n

22i i i

i 1 i 1 i 1Var X E X E(X )

n n22

i ii 1 i 1

E X E(X )

n n22

i i ii 1 i 1

Var(X ) E(X ) E(X )

หารทงสองขางดวย

n2

ii 1

E(X )

จะได

n

i ni 1 in 2i 12

ii

i 1

Var XVar(X )

1 1E XE X

26. พจารณาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชยลสองทาง

x

X x

p e , x 0f (x)

(1 p) e , x 0

เมอ และ p เปนคาคงตวซง > 0 และ p[0,1] จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของ X

เฉลย

วธท 1 คานวณคาคาดหวงโดยใชฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนโดยตรง

XE(X) xf (x)dx

0x x

0x(1 p) e dx xp e dx

1 p p

2p 1

2 2

XE(X ) x f (x)dx

0

2 x 2 x

0x (1 p) e dx x p e dx

2 2

2(1 p) 2p

2

2

ดงนน

2

2

2 2p 1Var(X)


วธท 2 ใชวธการวางเงอนไข

ให A แทนเหตการณ {X ≥ 0}และสงเกตวา P(A) = p เมอ A เกดขน ตวแปรสม X มการแจกแจง

เอกซโพเนนเชยล (ดานเดยว) ทมพารามเตอร เมอ AC เกดขน และ ตวแปรสม –X มการแจกแจง

เอกซโพเนนเชยล (ดานเดยว) ทมพารามเตอร เชนเดยวกน ดงนน

C1 1

E(X | A) , E(X | A )

2 2 2

2

2E(X | A) E(X | A )

และจะไดวา

C CE(X) P(A)E(X | A) P(A )E(X | A )

p 1 p

2p 1

2 2 C 2 CE(X ) P(A)E(X | A) P(A )E(X | A )

2 2

2p 2(1 p)

2

2

ดงนน

2

2

2 2p 1Var(X)

27. ให X, Y และ Z เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม fX,Y,Z

จงพสจนกฎการคณ:


เฉลย

ใชบทนยามของฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข

X,Y,Z

X|Y,Z

Y,Z

f (x, y, z)f (x | y,z)

f (y, z)

และ

Y,Z Y|Z Zf (y,z) f (y | z)f (z)

ดงนน



28. ให X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม fX,Y ถา สาหรบสบเซต

A และ B ใดๆของเซตของจานวนจรง เหตการณ {XA}และ{YB} เปนอสระกน แลว จงแสดงวา

ตวแปรสม X และ Y เปนอสระกน

เฉลย

สาหรบจานวนจรง x และ y ใดๆ เหตการณ {X ≤ x} และ {Y ≤ y} เปนอสระกน ดงนน

FX,Y(x,y) = P(X ≤ x,Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) = FX(x)FY(y)

หาอนพนธทงสองขาง จะไดวา

2

X,Y X,Y X Y X Yf (x, y) F (x, y) F (x) F (y) f (x)f (y)x y x y

ดงนน X และ Y เปนตวแปรสมอสระ

29. ในการผลตเหรยญกษาปณโดยใชเครองปมเหรยญทชารดเครองหนง ความนาจะเปนทเหรยญจะหงาย

ดานหวจงไมใชคาคงตวแตเปนตวแปรสม P ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

p

P

pe , p [0,1]f (p)

0, p


เลอกเหรยญทผลตจากเครองปมเหรยญนโดยสม โยนเหรยญซาๆ ไดผลลพธทเปนอสระกน

(1) จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะหงายดานหว

(2) สมมตวาเหรยญหงายดานหว จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ P

(3) ถาทราบวาเหรยญหงายดานหวจากการโยนเหรยญครงแรก จงหาความนาจะเปนมเงอนไขท

เหรยญจะหงายดานหวในการโยนครงถดไป

เฉลย

(1) ให A แทนเหตการณทเหรยญหงายดานหวจากการโยนเหรยญครงแรก ในการคานวณ P(A) เรา

ใชทฤษฎบทความนาจะเปนรวมกรณตวแปรสมตอเนอง

1 1

2 pP

0 0P(A) P(A | P p)f (p)dp p e dp e 2

(2) ใชกฎของเบส

P

P|A

P(A | P p)f (p)f (p)

P(A)

2 pp e, 0 p 1

e 2

0, p


(3) ให B แทนเหตการณทเหรยญหงายดานหวในการโยนเหรยญครงทสอง เราจะได

1

P|A0

P(B | A) P(B | P p, A)f (p | A)dp

1

P|A0

P(B | P p)f (p | A)dp


1

3 p

0

1p e dp

e 2

30. ให X และ Y เปนตวแปรสมตอเนองทเปนอสระกนและมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fX และ fY

ตามลาดบ และให Z = X + Y

(1) จงแสดงวา fZ|X(z|x) = fY(z – x)

(2) ถา X และ Y มการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร เหมอนกน จงหาฟงกชนความ

หนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนดให Z = z

(3) ถา X และ Y มการแจกแจงปกตทมคาเฉลย 0 และคาเบยงเบนมาตรฐาน X และ Y ตามลาดบ

จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนดให Z = z

เฉลย

(1) P(Z ≤ z|X = x) = P(X + Y ≤ z|X = x) = P(x + Y ≤ z|X = x)

= P(x + Y ≤ z) (X และ Y เปนอสระกน)

= P(Y ≤ z – x)

หาอนพนธทงสองขาง จะไดวา fZ|X(z|x) = fY(z – x)

(2) สาหรบ 0 ≤ x ≤ z,

(z x ) x 2 zZ|X X Y X

X|Z

Z Z Z Z

f (z | x)f (x) f (z x)f (x) e e ef (x | z)

f (z) f (z) f (z) f (z)

เนองจาก fX|Z(x|z) มคาเหมอนกนสาหรบทก x ดงนน การแจกแจงมเงอนไขของ X เมอกาหนด

Z = z คอการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, z] ซงมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน fX|Z(x|z) = 1/z

(3) เราม

2 2 2 2

Y X(z x) / (2 ) x /(2 )Y XX|Z

Z Z Y X

f (z x)f (x) 1 1 1f (x | z) e e

f (z) f (z) 2 2

พจารณาสวนทเปนเลขชกาลง โดยการทาจานวนตรงขามของเลขชกาลงใหเปนกาลงสองสมบรณ จะ

ไดวา

22 2 2 22 2 2X Y X X

2 2 2 2 2 2 2 2 2Y X X Y X Y Y X Y

z(z x) x zx 1

2 2 2 2

ดงนน ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X เมอกาหนด Z = z อยในรปแบบ

22 2 2X Y X

X|Z 2 2 2 2X Y X Y

zf (x | z) c(z) exp x

2

เมอ c(z) ไมขนกบคาของ x และเปนคาคงตวซงทาให

X|Zf (x | z)dx 1

สงเกตวา fX|Z(x|z) ทคานวณไดนเปนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมปกตทมคาเฉลย


2X

2 2X Y

E(X | Z z) z

และความแปรปรวน

2 2X Y

2 2X Y

Var(X | Z z)


หนาวาง

4 หวขอเพมเตมเกยวกบตวแปรสม

1. ถา X เปนตวแปรสมทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [-1, 1] จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ

(1) X

(2) ln | X |

เฉลย

(1) ให Y X จะไดวา สาหรบ 0 y 1 ,

2 2 2YF (y) P(Y y) P X y P y X y y


Yf (y) 2y, สาหรบ 0 y 1

(2) ให Y ln X จะไดวา สาหรบ y ≥ 0,

y y yYF (y) P(Y y) P ln X y P X e P X e 1 e


yYf (y) e , สาหรบ y 0

ดงนน Y เปนตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร = 1

2. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Xe ในพจนของฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X แลว

นาไปใชกบกรณท X มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1]

เฉลย

ให Y = eX เราหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y กอน แลวหาอนพนธจะไดฟงกชน

ความหนาแนนของ Y

XY

P(X ln y), y 0F (y) P(Y y) P(e y)

0, y


ดงนน

X

Y

ddx F (ln y), y 0

f (y)0, y


X1y f (ln y), y 0

0, y



เมอ X มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จะไดวา

Y

1y , 0 y e

f (y)0, y


3. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ 1/3| X | และ 1/4| X | ในพจนของฟงกชนความหนาแนน

นาจะเปนของ X

เฉลย

ให 1/3Y X จะไดวา

1/3 3 3 3 3Y X XF (y) P(Y y) P X y P y X y F (y ) F ( y )

หาอนพนธ จะได

2 3 2 3Y X Xf (y) 3y f (y ) 3y f ( y ) เมอ y > 0

ให W = 1/4

X จะไดวา

1/4 4 4 4 4W X XF (w) P(W w) P X w P w X w F (w ) F ( w )


3 4 3 4W X Xf (w) 4w f (w ) 4w f ( w ) เมอ w > 0

4. รถไฟฟามาถงสถานใกลบานของเทวทกๆ 15 นาท เรมตงแต 6:00 น. (เชา) เทวเดนเขาสถานระหวางเวลา

7:10 น. และ 7:30 น. ณ เวลาในชวงนซงเปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนทกาหนด

ให X แทนเวลา(นาท)ระหวาง 7:10 น. และเวลาทเทวเขามาในสถาน ให Y แทนเวลาทเทวรอคอย

จนกระทงไดขนรถไฟฟา จงคานวณฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y ในพจนของฟงกชน

การแจกแจงสะสมของ X แลวหาอนพนธเพอสรางสตรสาหรบ ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Y

เฉลย

หาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y กอน

Y

0, y 0

P(5 y X 5) P(20 y X 20), 0 y 5F (y)

P(20 y X 20), 5 y 15

1, y 15


X XP(5 y X 5) F (5) F (5 y)

X XP(20 y X 20) F (20) F (20 y)

139 เฉลยโจทยปญหา บทท 4 หวขอเพมเตมเกยวกบตวแปรสม

ดงนน

X X X X

Y

X X

0, y 0

F (5) F (5 y) F (20) F (20 y), 0 y 5F (y)

F (20) F (20 y), 5 y 15

1, y 15


X X

Y X

f (5 y) f (20 y), 0 y 5

f (y) f (20 y), 5 y 15

0, y


5. ให X และ Y เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จงหาฟงกชนการแจกแจง

ความนาจะเปนสะสมและฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ |X – Y|

เฉลย

ให Z X Y จะไดวา

2ZF (z) P X Y z 1 (1 z)

(วาดรปแสดงเหตการณทสนใจในรปสบเซตของรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 1 หนวยแลวคานวณ

พนท) หาอนพนธ จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนทตองการ

Z

2(1 z), 0 z 1f (z)

0, z


6. ให X และ Y เปนพกดคารทเซยนของจดทเลอกโดยสม (ตามการแจกแจงยนฟอรม) ภายในรปสามเหลยม

ทมจดยอด (0, 1), (0, -1) และ (1, 0) จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนของ |X – Y|

เฉลย

ให Z X Y ในการหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z เราหาปรพนธของฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y บนอาณาบรเวณซง X Y z สาหรบคาของ z ท

กาหนดให ในทน เมอ z 0 , ZF (z) 0 , เมอ z 1, ZF (z) 1 และเมอ 0 z 1,

ZF (z) P X Y z, X Y P Y X z, X Y

เหตการณ X Y z, X Y และ Y X z, X Y สามารถแสดงดวยภาพซงเปนสบเซตของอาณา

บรเวณรปสามเหลยมทกาหนดให พนทของสบเซตคนสามารถคานวณไดเปน 2Z Z2 4 และ

2(1 z)14 4


ตามลาดบ และเนองจาก X,Yf (x, y) 1 สาหรบทก (x, y) ในอาณาบรเวณรปสามเหลยมทกาหนดให

ดงนน

2 2

Z

z z 1 (1 z)F (z) z

2 4 4 4


Z

0, z 0

F (z) z, 0 z 1

1, z 1


Z

1, 0 z 1f (z)

0, z


7. เลอกจานวน 2 จานวนโดยสมอยางเปนอสระกนตามการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จงแสดงวา

คาคาดหวงของระยะหางระหวางจานวนทงสองนนเทากบ 1/3

เฉลย

ให X และ Y แทนจานวนสองจานวนนน และให Z = max{X, Y}

สาหรบ z [0,1] จะไดวา

2ZF (z) P Z z P(X z)P(Y z) z

หาอนพนธ จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

Z

2z, 0 z 1f (z)

0, z



1

2Z 0

2E(Z) zf (z)dz 2z dz

3

ระยะหางระหวางคามากทสดของ X และ Y กบจดปลายดานขวาของชวงคอ 1 – Z ซงมคาคาดหวงเทากบ

1 – E(Z) = 1/3 อาศยความสมมาตร เราสามารถแสดงไดวาคาคาดหวงของระยะหางระหวางคานอยทสด

ของ X และ Y กบจดปลายดานซายของชวงเทากบ 1/3 ดงนน คาคาดหวงของระยะหางระหวาง X และ Y

ตองเทากบ 1/3 ดวย

8. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X + Y เมอ X และ Y เปนตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทม

พารามเตอร และเปนอสระกน

เฉลย


สงเกตวา Xf (x) และ Yf (z x) ไมเทากบ 0 เมอ x ≥ 0 และ x ≤ z ตามลาดบ ดงนน ในสตรคอนโวลชน

เราตองหาปรพนธสาหรบ x บนชวง 0 ถง z

z z

x (z x) 2 z 2 zZ X Y 0 0

f (z) f (x)f (z x)dx e e dx e dx ze

9. โรมโอกบจเลยตนดพบกน ณ เวลาหนงทกาหนด แตละคนมาสายอยางเปนอสระกน เวลาทมาสายของ

แตละคนมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร เหมอนกน จงหาฟงกชนความหนาแนนของ

ผลตางของเวลาทมาถงจดนดพบของโรมโอและจเลยต

เฉลย

ให X และ Y แทนเวลาทโรมโอและจเลยตมาถงจดนดพบชากวากาหนด ตามลาดบ สงทเราตองการหาคอ

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X – Y เมอ X และ Y เปนตวแปรสมอสระและมการแจกแจง

เอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร

ขนแรก เราจะคานวณฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมโดยแยกเปน 2 กรณคอ z ≥ 0 และ z < 0

สาหรบกรณ z ≥ 0,

ZF (z) P(X Y z)

1 P(X Y z)

X,Y0 z y1 f (x, y)dx dy

y x

0 z y1 e e dx dy

y (z y)

01 e e dy

z 2 y

01 e e dy

z11 e

2

สาหรบกรณ z < 0, เราสามารถใชวธคานวณทคลายกนกบกรณแรกขางบน นอกจากนน เราสามารถอาง

เหตผลโดยใชความสมมาตร ในกรณน จะไดวา Z = X – Y และ –Z = Y – X มการแจกแจง

ความนาจะเปนเหมอนกน

Z ZF (z) P(Z z) P( Z z) P(Z z) 1 F ( z)

เมอ z < 0, จะได –z > 0 และ

( z) zZ z

1 1F (z) 1 F ( z) 1 1 e e

2 2

รวมกรณท z ≥ 0 และ z < 0 เราจะไดฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z = X – Y เปน


z

Zz

11 e , z 0

2F (z)1

e , z 02

หาอนพนธของ FZ(z) จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Z เปน

z

Zz

e , z 02f (z)

e , z 02

หรอ |z|Zf (z) e , z

2

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนนมชอเรยกวาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชยลสองดาน

(Two-Sided Exponential PDF)หรอฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนลาปลาซ (Laplace PDF)

10. พจารณาปญหาในโจทยขอ 9. แตมขอสมมตวาตวแปรสม X และ Y เปนอสระกนและมการแจกแจง

เอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร และ ตามลาดบ จงหา ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X – Y

เฉลย

วธท 1

ให Z = X – Y เราจะคานวณฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม ZF (z) กอนโดยแยกเปนกรณ

z ≥ 0 และ z < 0

สาหรบ z ≥ 0, เราจะได

ZF (z) P X Y z

1 P X Y z

X,Y0 z y1 f (x, y)dx dy

y x

0 z y1 e e dx dy

y (z y)

01 e e dy

z ( )y

01 e e dy

z1 e

สาหรบกรณ z < 0 เราใชผลจากกรณแรกขางบน


( z) zZ ZF (z) 1 F ( z) 1 1 e e

รวมทงสองกรณเขาดวยกน จะได

z

Zz

1 e , z 0

F (z)

e , z 0

หาอนพนธของ FZ(z) จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

z

Zz

e , z 0

f (z)

e , z 0

วธท 2

ตรงคาของ z ≥ 0 และสงเกตวา Yf (x z) ไมเทากบ 0 เมอ x ≥ z เทานน ดงนน

X Y X Yf (z) f (x)f (x z)dx

x (x z)

ze e dx

z ( )x

ze e dx

z ( )x1e e

xe

ผลทไดสอดคลองกบวธท 1 สาหรบกรณท z < 0 การคานวณคลายกน

11. ให X และ Y เปนตวแปรสมอสระทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

X

1/ 3, x 1,2,3p (x)

0, x


Y

1/ 2, y 0

1/ 3, y 1p (y)

1/ 6, y 2

0, y


จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X + Y โดยสตรคอนโวลชน

เฉลย

ขนแรก สงเกตวา คาของ Z ทเปนไปไดคอจานวนเตมในชวง [1, 5] ดงนน จะไดวา

Zp (z) 0, เมอ z ≠ 1, 2, 3, 4, 5


เราจะคานวณ Zp (z) เมอ z = 1,2,3,4, 5 โดยใชสตรคอนโวลชน

Z X Y X Yx

1 1 1p (1) p (x)p (1 x) p (1)p (0)

3 2 6

Z X Y X Y

1 1 1 1 5p (2) p (1)p (1) p (2)p (0)

3 3 3 2 18

Z X Y X Y X Y

1 1 1 1 1 1 1p (3) p (1)p (2) p (2)p (1) p (3)p (0)

3 6 3 3 3 2 3

Z X Y X Y

1 1 1 1 1p (4) p (2)p (2) p (3)p (1)

3 6 3 3 6

และ Z X Y

1 1 1p (5) p (3)p (2)

3 6 18

12. จงใชสตรคอนโวลชน แสดงวาผลบวกของตวแปรสมปวสซองอสระ 2 ตวทมพารามเตอร และ

ตามลาดบเปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร

เฉลย

คอนโวลชนของฟงชนมวลความนาจะเปนปวสซอง 2 ฟงกชนอยในรปแบบ

fZ(k)=i k i i k ik k

( )

i 0 i 0

e ee

i! (k i)! i!(k i)!

แตเราทราบวา

k k

k i k i i k i

i 0 i 0

k k!( )

i i!(k i)!

ดงนน ฟงกชนมวลความนาจะเปนทตองการคอ

fZ(k)=( ) i k i ( )k

k

i 0

e k! e( )

k! i!(k i)! k!

ซงเปนฟงกชนมวลความนาจะเปนปวสซองทมคาเฉลย

13. ตวแปรสม X, Y และ Z เปนอสระกนและมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] จงหาฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y + Z

เฉลย

ตวแปรสม X, Y และ Z ตางมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1]

X Y Z

1, 0 t 1f (t) f (t) f (t)

0, t


ขนแรก เราจะหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y

ให V = X + Y ใชสตรคอนโวลชน จะได


V X Yf (v) f (x)f (v x)dx

เนองจาก Xf (x) 1 เมอ 0 x 1 เทานน ดงนน

1

V Y0f (v) f (v x)dx

สาหรบ 0 v 1 , จะได

v

V 0f (v) dx v

สาหรบ 1 v 2 , จะได

1

V v 1f (v) dx 2 v

ดงนน

V

v, 0 v 1

f (v) 2 v, 1 v 2

0, v


ขนตอไป เราจะหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y + Z หรอ V + Z

ให W = X + Y + Z = V + Z ใชสตรคอนโวลชน จะได

W V Zf (w) f (v)f (w v)dv

ในการกาหนดลมตของปรพนธ สงเกตวา Vf (v) 0 นอกชวง 0 v 2 และ Zf (w v) 0 นอกชวง

0 w v 1 ดงนนฟงกชนทจะหาปรพนธไมเทากบ 0 ถา

0 v 2 และ w 1 v w

แยกพจารณาเปน 3 กรณ สาหรบ w 1, จะได

2

w w

W V Z0 0

wf (w) f (v)f (w v)dv vdv

2

สาหรบ 1 w 2, จะได

w

W V Zw 1f (w) f (v)f (w v)dv

1 w

w 1 1vdv (2 v)dv

2 21 (w 1) (w 2) 1

2 2 2 2

สาหรบ 2 w 3, จะได

2

2 2

W V Zw 1 w 1

(3 w)f (w) f (v)f (w v)dv (2 v)dv

2

สรปไดวา


2

2 2

W 2

w / 2, 0 w 1

1 (w 1) / 2 (2 w) / 2, 1 w 2f (w)

(3 w) / 2, 2 w 3

0, w


14. อายการใชงานของหลอดไฟสองหลอดแทนดวยตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล X และ Y ทเปนอสระกน

และมพารามเตอร และ ตามลาดบ หลอดไฟทเสยกอนมอายการใชงานเทากบ

Z min{X, Y}

จงแสดงวา Z เปนตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร

เฉลย

สาหรบ z ≥ 0 ใชความอสระของ X และ Y จะไดวา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z อย

ในรปแบบ

ZF (z) P min{X,Y} z

1 P min{X,Y} z

1 P X z, Y z

1 P(X z)P(Y z)

z z1 e e

( )z1 e

ฟงกชนนคอฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร ดงนน

คาตาสดของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร และ คอตวแปรสม

เอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร

15. [ตวแปรสมโคช (Cauchy Random variable)]

(1) ให X เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [-1/2, 1/2] จงแสดงวาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ

Y = tan (X) คอ

Y 2

1f (y) , y

(1 y )

(เรยก Y วา ตวแปรสมโคช)

(2) ให Y เปนตวแปรสมโคช จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X ซงเทากบขนาดของมม

ระหวาง / 2 และ / 2 ซง tan X = Y

เฉลย


(1) ขนแรก เราหา ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y สงเกตวา Y เปนฟงกชนตอเนองของ

X ทมคาเพมขนทางเดยวและมคาระหวาง -∞ และ ∞ เมอ X มคาอยในชวง [-1/2, 1/2] ดงนน จะไดวา

สาหรบจานวนจรง y ใดๆ

1 1Y

1 1F (y) P(Y y) P(tan( X) y) P( X tan y) tan y

2

เมอสมการสดทายไดจากการใชฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมยนฟอรมของ X บนชวง [-1/2, 1/2] ขนตอไป เราหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Y จากการหาอนพนธของ YF โดยใชสตร

1 2d / dy tan y 1/ (1 y ) จะไดวา สาหรบจานวนจรง y ใดๆ

Y 2

1f (y)

(1 y )

(2) คานวณฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X กอน แลวหาอนพนธ จะได ฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนของ X

สาหรบ -/2 ≤ x ≤ /2,

1P(X x) P(tan Y x)

P(Y tan x)

tanx

2

1 1dy

1 y

tan x11

tan y

1

x2

สาหรบ x < -/2 จะได P(X ≤ x) = 0 และสาหรบ x > /2 จะได P(X ≤ x) = 1

หาอนพนธของฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X จะไดฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน

ของ X เปน

X

1, x

f (x) 2 2

0, x


16. [พกดเชงขวของตวแปรสมปกตสองตวทเปนอสระกน]

ให X และ Y เปนตวแปรสมปกตมาตรฐานสองตวทเปนอสระกน คอนดบ (X, Y) สามารถเขยนในรป

พกดเชงขวของตวแปรสม R ≥ 0 และ Θ[0, 2] เมอ

X = R cos Θ, Y = R sin Θ

(1) จงแสดงวา Θ มการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 2] และ R มฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน


2r /2

Rf (r) re , r 0

และ R กบ Θ เปนอสระกน [ตวแปรสม R ทมฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเชนนเรยกวาตวแปรสม

เรยไล(Rayleigh distribution)]

(2) จงแสดงวา R2 มการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร ½

เฉลย

(1) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y คอ

2 2(x y )/2

X,Y X Y

1f (x, y) f (x)f (y) e

2

ขนแรก เราหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ R และ Θ ตรงคา r > 0 และ [0, 2]

และให A เปนเซตของจด (x, y) ทมพกดเชงขว ( r , ) เมอ 0 r r และ 0 สงเกตวาเซต A

เปนเซกเตอรของวงกลมทมรศม r และมม และจะได R,F (r, ) P(R r, ) P (X,Y) A

2 2 2r

(x y )/2 r /2

0 0(x,y) A

1 1e dxdy e rdrd

2 2

เมอสมการสดทายไดจากการแปลงเปนพกดเชงขว ขนตอไป เราหาอนพนธทงสองขาง จะไดฟงกชน

ความหนาแนนนาจะเปนรวมของ R และ Θ

2

2r /2

R, R,

rf (r, ) F (r, ) e , r 0, [0,2 ]

r 2

ดงนน

22

r /2R R,0

f (r) f (r, )d re , r 0

และ

R,

|R

R

f (r, ) 1f ( | r) , [0, 2 ]

f (r) 2

เนองจาก ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข |Rf ของ Θ ไมไดขนอยกบคาของตวแปรเงอนไข R

ดงนน |Rf เทากบฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนไมมเงอนไข f และจะได R, Rf (r, ) f (r)f ( )

ดงนน R และ Θ เปนตวแปรสมอสระ

(2) ให t ≥ 0, จะได

22 r /2 u t/2

t t/2P(R t) P(R t ) re dr e du e

(ใชการเปลยนตวแปร u = r2/2) หาอนพนธทงสองขางจะได

2

t /2

R

1f (t) e , t 0

2


17. สมมตวา X และ Y เปนตวแปรสมทมความแปรปรวนเทากน จงแสดงวา X – Y และ X + Y ไมม

สหสมพนธ

เฉลย

เนองจาก ความแปรปรวนรวมไมเปลยนเมอเราบวกคาคงตวกบตวแปรสม ดงนน เราสามารถตงขอสมมต

วา X และ Y เปนตวแปรสมมคาเฉลย 0 โดยไมเสยความเปนกรณทวไป และจะได 2 2Cov(X Y,X Y) E[(X Y)(X Y)] E(X ) E(Y ) Var(X) Var(Y) 0

(เพราะ X และ Y มความแปรปรวนเทากน) และจะได Cov(X Y, X Y)

(X Y,X Y) 0Var(X Y)Var(X Y)

ดงนน X – Y และ X + Y ไมมสหสมพนธ

18. พจารณาตวแปรสม 4 ตว W, X, Y, Z โดยม

E(W) = E(X) = E(Y) = E(Z) = 0

และ Var(W) = Var(X) = Var(Y) = Var(Z) = 1

สมมตวา แตละคของ W, X, Y, Z ไมมสหสมพนธ จงหาสมประสทธสหสมพนธ (R,S) และ (R,T)

เมอ R = W + X, S = X + Y และ T = Y + Z

เฉลย


2 2Cov(R,S) E(RS) E(R)E(S) E(WX WY X XY) E(X ) 1

และ

Var(R) Var(S) 2

ดงนน

Cov(R,S) 1

(R,S)2Var(R)Var(S)

และเนองจาก

Cov(R,T) E(RT) E(R)E(T) E(WY WZ XY XZ) 0

ดงนน

(R,T) 0

19. สมมตวา ตวแปรสม X มสมบตตอไปน E(X) = 0, E(X2) = 1, E(X3) = 0, E(X4) = 3

และให Y = a + bX + cX2


จงหาสมประสทธสหสมพนธ (X,Y)

เฉลย

ในการคานวณสมประสทธสหสมพนธ Cov(X,Y)

(X,Y)Var(X)Var(Y)

ขนแรก เราคานวณความแปรปรวนรวม

Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)

2 3E(aX bX cX ) E(X)E(Y)

2 3aE(X) bE(X ) cE(X )

b และ

2Var(Y) Var(a bX cX )

2 2 2 2E[(a bX cX ) ] [E(a bX cX )]

2 2 2 2 2(a 2ac b 3c ) (a c 2ac)

2 2b 2c

และเนองจาก Var(X) = 1 จะไดวา

2 2

b(X,Y)

b 2c

20. [อสมการชวารซ (Schwarz Inequality)]

จงแสดงวา สาหรบตวแปรสม X และ Y ใดๆ [E(XY)]2 ≤ E(X2)E(Y2)

เฉลย

สมมตวา E(Y2) ≠ 0 จะได

2

2

E(XY)0 E X Y

E(Y )

2

2 2

22 2

E(XY)E(XY)E X 2 XY Y

E(Y ) E(Y )

2

2 2

22 2

E(XY)E(XY)E(X ) 2 E(XY) E(Y )

E(Y ) E(Y )


2

2

2

E(XY)E(X )

E(Y )

ดงนน [E(XY)]2 ≤ E(X2)E(Y2)

หมายเหต ถา E(Y2) = 0 จะได Y = 0 ดวยความนาจะเปน 1 และจะได E(XY) = 0 และอสมการชวารซ

เปนจรง

21. [สมประสทธสหสมพนธ (Correlation Coefficient)]

พจารณาสมประสทธสหสมพนธ Cov(X,Y)

(X,Y)Var(X)Var(Y)

ของตวแปรสมสองตว X และ Y ทมความแปรปรวนมากกวา 0 จงแสดงวา

(1) | (X,Y) | 1

(2) ถา Y – E|Y| = a[X – E(X)] เมอ a ≠ 0 เปนคาคงตว แลว (X,Y) = 1

(3) ถา (X,Y) = 1 แลวจะมคาคงตว a ซง Y – E|Y| = a[X – E(X)] ดวยความนาจะเปน 1

เฉลย

(1) ให *X = X – E(X) และ *Y = Y – E(Y) ใชอสมการชวารซ จะไดวา

2

2 * *2 2* *

[E(X Y )][ (X, Y)] 1

E(X )E(Y )

ดงนน (X,Y) ≤ 1

(2) สงเกตวา * *Y aX สมมลกบ Y – E|Y| = a[X – E(X)] ถา * *Y aX เมอ a ≠ 0 แลว

* *

2 2* *

E(X aX ) a(X,Y) 1

| a |E(X )E[(aX ) ]

(3) ถา [(X,Y)]2 = 1 จากการคานวณในขอ 20. จะพบวา

2 2

* *2* ** * *2 2

* *

E(X Y )E(X Y )E X Y E(X )

E(Y ) E(Y )

2 2*E(X )(1 ( (X,Y)) )

= 0

ดงนน ตวแปรสม * ** *2

*

E(X Y )X Y

E(Y ) เทากบ 0 ดวยความนาจะเปน 1 และจะไดวา

2

* * ** * *2 2

* *

E(X Y ) E(X )X Y (X,Y)Y

E(Y ) E(Y )

ดวยความนาจะเปน 1 นนคอ


Y – E|Y| = a[X – E(X)] เมอ 1

Var(X)a (X, Y)

Var(Y)


สงเกตวา เครองหมายของคาคงตว a กาหนดไดจากเครองหมายของ (X,Y)

22. พจารณานกเสยงโชครายหนงซงในการเสยงโชคแตละครงเขาชนะหรอแพพนนดวยความนาจะเปน p และ

1 – p เปนอสระกนกบการเสยงโชคครงกอนหนานน เมอ p > 1/2 นกเสยงโชคนยมใชยทธศาสตรของ

เคลลซงแนะนาใหวางเงนพนนเปนเศษสวน 2p – 1 ของรางวลในรอบนน จงคานวณคาคาดหวงของ

รางวลเมอสนสดการเสยงโชครอบท n โดยเรมตนวางเงนพนน x หนวย และใชยทธศาสตรของเคลล

เฉลย

ถารางวลตอนเรมตนของรอบหนงคอ a แลวนกเสยงโชคจะวางเงนพนน a(2p 1) และไดรางวล

a(2p 1) ดวยความนาจะเปน p และเสยพนน a(2p 1) ดวยความนาจะเปน 1 – p ดงนน คาคาดหวง

ของรางวลเมอสนสดรอบนนคอ

2a[1 p(2p 1) (1 p)(2p 1)] a[1 (2p 1) ]

ให kX เปนรางวลเมอสนสดรอบท k จากการคานวณขางตน เราจะได 2

k 1 k kE(X | X ) [1 (2p 1) ]X

ใชกฎการหาคาคาดหวงซา จะได 2

k 1 kE(X ) [1 (2p 1) ]E(X )

และ

21E(X ) [1 (2p 1) ]x

สรปไดวา

2 nnE(X ) [1 (2p 1) ] x

23. ศาสตราจารยทเกษยณจากงานแลวทานหนงยงคงอทศตนมาทสานกงาน ณ เวลาทมการแจกแจงยนฟอรม

ระหวางเวลา 9.00น.ถง 13.00 น.เพอทางานเพยงชนเดยวและออกจากสานกงานเมอเสรจงาน เวลาทใช

ทางานมการแจกแจงเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร (y) 1/ (5 y) เมอ y คอระยะเวลาระหวาง

9.00 น. ถงเวลาทเขามาถงสานกงาน

(1) จงหาคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยใชทางานในวนหนงๆ

(2) จงหาคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยทางานจนเสรจ

(3) ศาสตราจารยมนกศกษาปรญญาเอกในความดแลอยคนหนงซงจะมาพบ ณ เวลาทมการแจกแจง

ยนฟอรมระหวาง 9.00 น. ถง 17.00 น. ถานกศกษามาแลวไมพบศาสตราจารย เขากจากไปและไมกลบมา


พบทานอกในวนนน ถามาแลวพบศาสตราจารย นกศกษาจะปรกษาทานเปนเวลาทมการแจกแจงยนฟอรม

ระหวาง 0 ถง 1 ชวโมง ศาสตราจารยจะใชเวลาทงหมดในการทางานเทาเดมแมจะมนกศกษาเขามาพบ

จงหาคาคาดหวงของระยะเวลาทศาสตราจารยใหกบนกศกษาและคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยออก

จากสานกงาน

เฉลย

(1) พจารณาตวแปรสม 2 ตวตอไปน

X = เวลาทศาสตราจารยใชทางานในวนหนงๆ ซงมการแจกแจงความนาจะเปนเอกซโพเนนเชยลทม

พารามเตอร (y) 1/ (5 y)

Y = ระยะเวลาระหวาง 9.00 น. และเวลาทศาสตราจารยมาถงสานกงาน ซงมการแจกแจงยนฟอรม

ระหวาง 0 และ 4 ชวโมง

สงเกตวา E(Y) = 2 และ

1

E(X | Y y) 5 y(y)

ดงนน

E(X | Y) 5 Y

และคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยใชทางานในวนหนงๆเทากบ

E(X) E[E(X | Y)] E(5 Y) 5 E(Y) 5 2 3 ชวโมง

(2) ให Z เปนระยะเวลาจาก 9.00 น.ถงเวลาทศาสตราจารยทางานเสรจ จะไดวา

Z = X + Y

เราทราบจากขอ (1) วา E(X) = 3 และ E(Y) = 2 ดงนน

E(Z) = E(X) + E(Y) = 3 + 2 = 5

ดงนน คาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยจะออกจากสางานงานคอ 5 ชวโมงหลงเวลา 9.00 น.

(3) นยามตวแปรสมเพมเตมดงน

W = ระยะเวลาระหวาง 9.00 น. และเวลาทนกศกษามาถง ซงมการแจกแจงยนฟอรมระหวาง 9.00 น.

และ 17.00 น.

R = เวลาทนกศกษาปรกษาศาสตราจารย ถาไดพบกบทาน ซงมการแจกแจงยนฟอรมระหวาง 0 และ 1

ชวโมง

T = เวลาทศาสตราจารยใหคาปรกษาแกนกศกษา

และให F แทนเหตการณทนกศกษาพบศาสตราจารย

ในการหา E(T) เราเขยน

C CE(T) P(F)E(T | F) P(F )E(T | F )


ใชขอมลทกาหนดให จะได

E(T | F) E(R) 1/ 2 (คาคาดหวงของตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [0,1])

CE(T | F ) 0 (นกศกษาจากไป ถามาถงแลวไมพบศาสตราจารย)


1

E(T) P(F)E(T | F) P(F)2

สงทเราตองหาคอ P(F)

นกศกษาจะไดพบศาสตราจารย ถานกศกษามาถงระหวางเวลามาและเวลากลบของศาสตราจารย ดงนน

P(F) P(Y W X Y)

สงเกตวา W มคาระหวาง 0 (9.00 น.) และ 8 (17.00 น.) แต X + Y มคาเปนจานวนใดกไดทมากกวา 0

ในทน เหตการณ X + Y มากกวาขอบบนของ W อาจเกดขนได เราสามารถเขยน

P(F) P(Y W X Y) 1 [P(W Y) P(W X Y)]

เราม

4 y

0 0

1 1 14 8 4P(W Y) dwdy

และ

4

Y0P(W X Y) P(W X Y | Y y)f (y)dy

4

Y0P(X W Y | Y y)f (y)dy

4 8

X|Y W Y0 yF (w y)f (w)f (y)dwdy

4 8 w y

x/ (5 y)

0 y 0

1 1 15 y4 8 e dxdwdy

8 y5 y

4

0

12 132 32

(5 y)e dy

หาปรพนธเชงตวเลขได

4

0

8 y5 y(5 y)e dy 1.7584

ดงนน

P(F) P(Y W X Y) 1 [P(W Y) P(W X Y)] 1 0.68 0.32

คาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยใหแกนกศกษาเทากบ

1 12 2E(T) P(F) (0.32) 0.16 ชวโมง = 9.6 นาท

ตอไป เราหาคาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยออกจากสานกงาน ให Z เปนเวลาวดจาก 9.00 น.ถงเวลาท

ศาสตราจารยออกจากสานกงาน ถาศาสตราจารยไมไดใชเวลากบนกศกษา แลว Z เทากบ X + Y แตถา


ศาสตราจารยใชเวลากบนกศกษาแลว Z เทากบ X + Y + R ทงนเพราะศาสตราจารยใชเวลาทางานเทาเดม

ไมวาจะมนกศกษามาพบหรอไม ดงนน

C C CE(Z) P(F)E(Z | F) P(F )P(Z | F ) P(F)E(X Y R) P(F )E(X Y)

ใชผลทคานวณมาแลว

E(X Y) 5

1 112 2E(X Y R) E(X Y) E(R) 5

ดงนน

112E(Z) 0.68 5 0.32 5.16

สรปวา คาคาดหวงของเวลาทศาสตราจารยออกจากสานกงานคอ 5.16 ชวโมงหลงเวลา 9.00 น.

24. สาหรบตวแปรสมไมตอเนองหรอตอเนอง X และฟงกชน g(Y) ใดๆของตวแปรสม Y อกตวหนง

จงแสดงวา E[Xg(Y) | Y] g(Y)E(X | Y)

เฉลย

สมมตวา X เปนตวแปรสมตอเนอง จากกฎคาคาดหวงสาหรบคาคาดหวงมเงอนไขในบทท 3 จะไดวา

X|YE[Xg(Y) | Y y] xg(y)f (x | y)dx

X|Yg(y) xf (x | y)dx

g(y)E[X | Y y]

แสดงวา คา E[Xg(Y) | Y y] และ g(y)E[X | Y y] ของตวแปรสม E[Xg(Y) | Y] และ

g(Y)E[X | Y] เทากนเสมอ ดงนน ตวแปรสมสองตวนเทากน การพสจนในกรณท X เปนตวแปรสมไม

ตอเนองกคลายกน

25. ให X และ Y เปนตวแปรสมอสระ จงใชกฎความแปรปรวนรวมแสดงวา

2 2Var(XY) [E(X)] Var(Y) [E(Y)] Var(X) Var(X)Var(Y)

เฉลย

ให Z = XY ใชกฎความแปรปรวนรวม จะได

Var(Z) Var[E(Z | X)] E[Var(Z | X)]


E(Z | X) E(XY | X) XE(Y)

ดงนน

2Var[E(Z | X)] Var[XE(Y)] [E(Y)] Var(X)


และ 2 2Var(Z | X) Var(XY | X) X Var(Y | X) X Var(Y)

ดงนน

2 2E[Var(Z | X)] E(X )Var(Y) [E(X)] Var(Y) Var(X)Var(Y)

รวมความสมพนธขางตนเขาดวยกน จะไดวา

2 2Var(Z) [E(X)] Var(Y) [E(Y)] Var(X) Var(X)Var(Y)

26. โยนเหรยญทเอนเอยง n ครง ความนาจะเปนทเหรยญจะหงายดานหวแทนดวย q คอคาของตวแปรสม Q

ซงมคาเฉลย และความแปรปรวน 2 ให Xi เปนตวแปรสมแบรนลลทใชจาลองผลลพธของการโยน

เหรยญครงท i (นนคอ Xi = 1 ถาเหรยญหงายดานหวเมอโยนเหรยญครงท i) สมมตวา X1,…, Xn เปน

อสระกนภายใตเงอนไข Q = q ให X แทนจานวนครงทเหรยญหงายดานหวจากการโยน n ครง

(1) จงหา E(Xi) และ E(X) โดยใชกฎการหาคาคาดหวงซา

(2) จงหา Cov(Xi, Xj) และพจารณาวา X1,…,Xn เปนอสระกนหรอไม

(3) จงหา Var(X) โดยใชกฎความแปรปรวนรวมและทวนสอบคาตอบโดยใชความแปรปรวนรวมทหา

ไดในขอ (2)

เฉลย

(1) จากกฎคาคาดหวงซา และความจรงทวา E(Xi|Q) = Q จะไดวา

E(Xi) = E[E(Xi|Q)] = E(Q) =

เนองจาก X = X1 + … + Xn จะไดวา

E(X) = E(X1) + … + E(Xn) = n (2) สาหรบ i ≠ j, เนองจาก Xi และ Xj เปนตวแปรสมอสระภายใตเงอนไข Q = q จะไดวา

E(XiXj|Q) = E(Xi|Q)E(Xj|Q) = Q2

และ

E(XiXj) = E[E(XiXj|Q)] = E(Q2)

ดงนน Cov(Xi, Xj) = E(XiXj) – E(Xi)E(Xj) = E(Q2) – 2 = 2

เนองจาก Cov(Xi, Xj) > 0, ดงนน X1,…,Xn ไมเปนอสระกน

สาหรบ i = j สงเกตวา 2i iX X และจะไดวา

2 2i i iVar(X ) E(X ) [E(X )]

2i iE(X ) [E(X )]

2


(3) ใชกฎความแปรปรวนรวมและความเปนอสระภายใตเงอนไข Q = q ของ X1,…,Xn จะไดวา

Var(X) = E[Var(X|Q)] +Var[E(X|Q)] = E[Var(X1+…+ Xn |Q)] +Var[E(X1+…+ Xn |Q)] = E[nQ(1 – Q)] + Var(nQ) = nE(Q – Q2) + n2Var(Q) = n( – 2 – 2) + n22 = n( – 2) + n(n – 1)2

ในการทวนสอบผลทไดนโดยใชสตรความแปรปรวนรวมในขอ (2) เราเขยน

1 nVar(X) Var(X ... X )

n

i i ji 1 {(i, j)|i j}

Var(X ) Cov(X ,X )

1 1 2nVar(X ) n(n 1)Cov(X ,X )

2 2n( ) n(n 1)

27. [ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมปกตสองตว]

ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมปกตสองตว X และ Y ทมคาเฉลย 0 อยในรปแบบ

q( x,y)X,Yf (x, y) ce

เมอ q(x,y) เปนฟงกชนกาลงสองของ x และ y

2 2

2 2x X Y Y

2

x xy y2

q(x, y)2(1 )

X และ Y เปนคาคงตวทมากกวา 0, เปนคาคงตวทสอดคลองกบอสมการ -1 < < 1 และ c เปน

คาคงตวซงทาให X,Yf (x, y)dxdy 1

(1) จงใชวธทาใหเปนกาลงสองสมบรณ เขยน q(x,y) ในรปแบบ 2 2( x y) y เมอ , , และ

เปนคาคงตวบางคา

(2) จงแสดงวา X และ Y เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2X และ 2

Y ตามลาดบ


(4) จงแสดงวาฟงกชนความหนาแนนมเงอนไขของ X เมอกาหนด Y = y เปนฟงกชนความหนาแนน

ปกต และ จงระบคาเฉลยและความแปรปรวนของ X เมอกาหนด Y = y

(5) จงแสดงวา สมประสทธสหสมพนธของ X และ Y คอ

(6) จงแสดงวา X และ Y เปนอสระกน กตอเมอ X และ Y ไมมสหสมพนธ ( = 0)


(7) จงแสดงวา ความคลาดเคลอนของการประมาณคา E(X|Y) – X มการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลย 0

และความแปรปรวน 2 2X(1 ) และเปนอสระจาก Y

เฉลย

(1) เราสามารถเขยน q(x,y) ในรปแบบ

Q(x,y) = q1(x, y) + q2(y)

เมอ 2

1 2X Y

1 x yq (x, y)

2(1 )

และ

2

2 2Y

yq (y)

2

(2) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ Y คอ

1 2 2 1q (x,y) q ( y) q (y) q (x ,y)Yf (y) c e e dx ce e dx

ใชวธเปลยนตวแปร

X Y

2

x y

u1

จะได

2

1q (x,y) 2 u /2 2X Xe dx 1 e du 1 2

ดงนน

2 2

Yy /(2 )2Y Xf (y) c 1 2 e

สงเกตวา fY คอฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2Y

สาหรบตวแปรสม X กไดผลเหมอนกนเนองมาจากความสมมาตร

(3) คาคงตว 2Xc 1 2 ซงจะทาให fY มสมบต Yf (y)dy 1

ตองเทากบ

Y

1

2 ดงนน

2X

Y

1c 1 2

2


2

X Y

1c

2 1


1 2q (x ,y) q (y)X,Y 2

X Y

1f (x, y) e e

2 1

และ


2q (y)Y

Y

1f (y) e

2

จะได

2

X,Y

X|Y 2 22Y XX

X

Yx yf (x, y) 1

f (x | y) expf (y) 2 (1 )2 1

สาหรบ y ใดๆทตรงคาไว จะไดวาฟงกชน X|Yf ขางบนนเปนฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปร

สมปกตทมคาเฉลย X

Y

y

และความแปรปรวน 2 2X (1 )

หมายเหต ในกรณน เราได X

YE(X | Y y) y

และ X

YE(X | Y) Y

(5) ใชกฎคาคาดหวงและกฎการหาคาคาดหวงซา จะไดวา

E(XY) E[E(XY | Y)]

E[YE(X | Y)]

X

YE Y Y

2X

YE Y

X Y

ดงนน สมประสทธสหสมพนธ (X,Y) เทากบ

X Y X Y

Cov(X, Y) E(XY)(X,Y)

(6) ถา X และ Y ไมมสหสมพนธ แลว = 0 และฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม X,Yf สอดคลอง

กบสมการ

2 2 2 2

X Yx /(2 ) y /(2 )X,Y

X Y

1f (x, y) e

2

2 2 2 2

X Yx /(2 ) y / (2 )

X Y

1 1e e

2 2

X Yf (x)f (y)

ดงนน X และ Y เปนอสระกน

โดยกลบกน ถา X และ Y เปนอสระกน แลว Cov(X,Y) = 0 และจะได (X, Y) = = 0 หมายความ

วา X และ Y ไมมสหสมพนธ

(7) จากขอ (4) เราทราบวา เมอกาหนดเงอนไข Y = y ตวแปรสม X มการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลย

E(X | Y y) และความแปรปรวน 2 2X(1 ) ดงนน เมอกาหนดเงอนไข Y = y ความคลาดเคลอนของ


การประมาณคา X = E(X|Y = y) – X มการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2 2

X(1 ) และฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข

2

2 2X|Y 2 2XX

1 xf (x | y) exp

2(1 )2 (1 )

เนองจาก ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขของ X ไมขนกบคา y ของ Y ดงนน X และ Y เปน

อสระกน และฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไขดงกลาวขางตนเปนฟงกชนความหนาแนน

นาจะเปนไมมเงอนไขของ X ดวย

28. ให X เปนตวแปรสมทมคา 1, 2 และ 3 ดวยความนาจะเปน

P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4 และ P(X = 3) = 1/4

จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X และนาไปใชหาโมเมนตทหนง E(X), โมเมนตทสอง E(X2), และ

โมเมนตทสาม E(X3)

เฉลย

ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X คอ

tX t 2t 3tX

1 1 1M (t) E(e ) e e e

2 4 4


X t 0

d 1 2 3 7E(X) M (t)

dt 2 4 4 4

2

2X t 02

d 1 4 9 15E(X ) M (t)

dt 2 4 4 4

3

3X t 03

d 1 8 27 37E(X ) M (t)

dt 2 4 4 4

29. จงคานวณโมเมนตทสาม E(X3) และโมเมนตทส E(X4) ของตวแปรสมปกตมาตรฐาน X

เฉลย


2t /2

XM (t) e

หาอนพนธท 1, 2, 3 และ 4 เทยบกบ t แลวแทนคา t = 0 จะได

X t 0

dE(X) M (t) 0

dt

2

2X t 02

dE(X ) M (t) 1

dt


33

X t 03

dE(X ) M (t) 0

dt

4

4X t 04

dE(X ) M (t) 3

dt

30. จงคานวณโมเมนตทสาม โมเมนตทส และโมเมนตทหาของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร

เฉลย


XM (t)t

ดงนน

2 3

X X X2 2 3 3 4

d d 2 d 6M (t) , M (t) , M (t) ,

dt ( t) dt ( t) dt ( t)

4 5

X X4 5 5 6

d 24 d 120M (t) , M (t)

dt ( t) dt ( t)

แทนคา t = 0 จะได

3 4 5

3 4 5

6 24 120E(X ) , E(X ) , E(X )

31. ให X เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอศนย สารนและสรศกดหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

ของ X ไดไมตรงกน สารนได te 12(e 1)

XM (t) e สวนสรศกดได

te2(e 1)XM (t) e

(1) จงอธบายวาเพราะเหตใดฟงกชนหนงในสองฟงกชนนจงเปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X ไมได

(2) จงใชฟงกชนกอกาเนดโมเมนตทถกตองหา P(X = 0)

เฉลย

(1) เนองจาก XM (0) ตองเทากบ 1 ฟงกชนทสรศกดหาไดไมมสมบตนจงเปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

ของ X ไมได

(2) ใชฟงกชนทสารนหาไดเปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X จะได

te 1 12(e 1) 2(e 1)

Xt t

P(X 0) lim M (t) lim e e 0.2825

32. จงหาฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง X ซงมฟงกชนกอกาเนดโมเมนตเปน

X

1 2 2 3M (t)

3 2 t 3 3 t

เฉลย


สงเกตวา 2

2 t และ 3

3 t เปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทม

พารามเตอร 2 และ 3 ตามลาดบ ดงนน X

1 2 2 3M (t)

3 2 t 3 3 t

เปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ

ตวแปรสมผสมของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร 2 และ 3 ซงมฟงกชนความหนาแนน

นาจะเปนตอไปน

2x 3x

X

1 22e 3e , x 0

f (x) 3 3

0, x


33. ทมฟตบอลทมหนงกาหนดใหนกฟตบอล 3 คนผลดกนเปนผเตะลกโทษ นกฟตบอลคนท i ม

ความนาจะเปน pi ทจะเตะลกโทษเขาประตไดสาเรจเปนอสระกนกบผลการเตะลกโทษของนกฟตบอลคน

อนๆ ให X แทนจานวนลกโทษทเตะเขาประตไดสาเรจหลงจากนกฟตบอลแตละคนไดเตะลกโทษคนละ

1 ลก จงใช คอนโวลชนคานวณฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X แลวทวนสอบโดยคานวณฟงกชน

กอกาเนดโมเมนตของ X กอนแลวนาไปใชหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X

เฉลย

สาหรบ i = 1, 2, 3 ให Xi เปนตวแปรสมแบรนลลทมคาเปน 1 ถานกฟตบอลคนท i เตะลกโทษเขาประต

ไดสาเรจ เราม X = X1 + X2 + X3 ให i iq 1 p ขนแรก หาคอนโวลชนของฟงกชนมวลความ

นาจะเปนของ X1 และ X2 ไดฟงกชนมวลความนาจะเปนของ Z = X1 + X2

1 2

1 2 1 2

Z

1 2

q q , z 0

q p p q , z 1p (z)

p p , z 2

0, z

คาอน ๆ ของ

ขนตอไป หาคอนโวลชนของฟงกชนมวลความนาจะเปนของ Z และ X3 ไดฟงกชนมวลความนาจะเปน

ของ X = X1 + X2 + X3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

X 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

q q q , x 0

p q q q p q q q p , x 1

p (x) q p p p q p p p q , x 2

p p p , x 3

0, x


ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X คอผลคณของฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Xi, i = 1, 2, 3

t t tX 1 1 2 2 3 3M (t) (q p e )(q p e )(q p e )

เมอกระจายผลคณขางบน และสมประสทธของ kte คอ P(X = k) ตรงกบทเราคานวณโดยใชคอนโวลชน


34. ให X, Y และ Z เปนตวแปรสมอสระ เมอ X เปนตวแปรสมแบรนลลทมพารามเตอร p = 1/3, Y เปน

ตวแปรสมเอกซโพเนนเชยลทมพารามเตอร = 2 และ Z เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร = 3

(1) พจารณาตวแปรสมตวใหม U = XY + (1 – X)Z จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ U

(2) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ 2Z + 3

(3) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Y + Z

เฉลย

(1) สงเกตวา U = Y ถา X = 1 ซงเกดขนไดดวยความนาจะเปน 1/3 และ U = Z ถา X = 0 ซงเกดขนได

ดวยความนาจะเปน 2/3 ดงนน U เปนตวแปรสมผสมและมฟงกชนกอกาเนดโมเมนตเปน

t3(e 1)

U Y Z

1 2 2M (t) P(X 1)M (t) P(X 0)M (t) e

3 2 t 3

(2) ให V = 2Z + 3 จะได

2 t 2 t3t 3t 3(e 1) 3(t 1 e )

V ZM (t) e M (2t) e e e

(3) ให W = Y + Z จะได

t3(e 1)

W Y Z

2M (t) M (t)M (t) e

2 t

35. รานพซซาแหงหนงมพซซาใหลกคาเลอก n ชนดแตกตางกน สมมตวา มลกคา K คนเขามาสงพซซา เมอ

K เปนตวแปรสมทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอ 0 และมฟงกชนกอกาเนดโมเมนต tKKM (t) E(e )

ลกคาแตละคนสงพซซา 1 ชน พซซาแตละชนดมความนาจะเปนทลกคาจะเลอกเทาๆกน และ การเลอก

พซซาของลกคาแตละคนเปนอสระกน จงหาสตรสาหรบคานวณคาคาดหวงของจานวนชนดทแตกตางกน

ของพซซาทลกคาสงซอ

เฉลย

ให X แทนจานวนชนดของพซซาทลกคาสงซอ ให Xi เปนตวแปรสมซงมคาเปน 1 ถามลกคาอยางนอย 1

คนสงซอพซซาชนดท i และมคาเปน 0 ถาไมมลกคาสงซอพซซาชนดท i จะได 1 nX X ... X

ใชกฎการหาคาคาดหวงซา จะได

1 n 1E(X) E[E(X | K)] E[E(X ... X | K)] nE[E(X | K)]

และเนองจากความนาจะเปนทลกคาคนหนงจะไมสงซอพซซาชนดท 1 เทากบ (n – 1)/n จะได

k

1

n 1E(X | K k) 1

n

ดงนน

K

1

n 1E(X | K) 1

n


แทนคา

n 1p

n

จะได

K K K ln pKE(X) nE(1 p ) n nE(p ) n nE(e ) n nM (ln p)

36. ให X เปนตวแปรสมไมตอเนองทมคาเปนจานวนเตมบวกหรอ 0 ให MX(t) ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X

(1) จงแสดงวา Xn

P(X 0) lim M (t)

(2) จงใชผลทไดจากขอ (1) ทวนสอบวา ถา X เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร n และ p แลวจะได

วา P(X = 0) = (1 – p)n และถา X เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร แลวจะไดวาP(X = 0) = e-

(3) สมมตวา ตวแปรสม X มคาเปนจานวนเตมทมากกวาหรอเทากบจานวนเตม k แลวจงหาวธคานวณ

P(X = k) โดยใชฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ X

เฉลย


ktX

k 0

M (t) P(X k)e

เมอ t ทกพจน kte (k 0) เขาใกล 0 ดงนน เราจะได Xtlim M (t) P(X 0)

(2) ในกรณของตวแปรสมทวนาม X ทมพารามเตอร n และ p ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตคอ

t nXM (t) (1 p pe )

พบวา nX

tlim M (t) (1 p) P(X 0)

ในกรณของตวแปรสมปวสซอง X ทมพารามเตอร ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตคอ

t(e 1)

XM (t) e

พบวา Xtlim M (t) e P(X 0)

(3) ตวแปรสม Y X k มคาเปนจานวนเตมบวกหรอ 0 เทานน และมฟงกชนกอกาเนดโมเมนตเปน

tkY XM (t) e M (t)

เนองจาก P(Y = 0) = P(X = k) ใชผลจากขอ (1) จะได tk

Xt

P(X k) lim e M (t)


37. [ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมยนฟอรม]

(1) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมไมตอเนอง X ทมการแจกแจงยนฟอรมบนเซตของ

จานวนเตม {a, a+1, …, b}

(2) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมตอเนอง X ทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [a, b]

เฉลย

(1) ฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X คอ

X

1, k a, a 1,..., b

p (k) b a 1

0, k


ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตคอ

tkX

k

M (t) e P(X k)

b

tk

k a

1e

b a 1

ta b a

tk

k 0

ee

b a 1

ta t (b a 1)

t

e e 1

b a 1 e 1

(2) ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ X คอ

X

1, a x b

f (x) b a

0, x

คา อน ๆ ของ

ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตคอ

tx tb ta

btX

X a

e e eM (t) E(e ) dx

b a t(b a)

38. ณ เวลาหนง จานวนคนเขามาในลฟตหลงหนงมการแจกแจงปวสซองทมพารามเตอร นาหนกของ

แตละคนทเขามาในลฟตเปนอสระกนและมการแจกแจงยนฟอรมระหวาง 100 และ 200 ปอนด

ให Xi แทน 1100 ของนาหนกสวนทเกน 100 ปอนดของคนท i เชน ถาคนท 7 หนก 175 ปอนด แลว

71

100X 75 0.75 ให Y แทนผลบวกของ Xi

(1) จงหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Y

(2) จงใช YM (t) ทหาไดในขอ (1) คานวณคาคาดหวงของ Y

(3) จงทวนสอบคาตอบในขอ (2) โดยใชกฎการหาคาคาดหวงซา


เฉลย

(1) ให N แทนจานวนคนทเขามาในลฟต ซงมฟงกชนกอกาเนดโมเมนต t(e 1)

NM (t) e และให

XM (t) เปนฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสม iX เนองจาก iX มการแจกแจงความนาจะเปน

ยนฟอรมบนชวง [0, 1] ดงนน

t

X

e 1M (t)

t

ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต YM (t) หาไดโดยหาฟงกชนกอกาเนดโมเมนต NM (t) กอน แลวแทน te ดวย

MX(t) จะได

te 1t

X1(M (t ) 1)

YM (t) e e

(2) ใชกฎลกโซหาอนพนธของฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Y เมอ t = 0 จะไดคาคาดหวงของ Y

X[M (t) 1]

Y t 0 X t 0 t 0

d d 1E(Y) M (t) M (t) e

dt dt 2 2

(3) จากกฎการหาคาคาดหวงซา เราจะได

E(Y) E[E(Y | N)] E[NE(X)] E(N)E(X)2

39. จงใชฟงกชนกอกาเนดโมเมนตแสดงวาผลบวกของตวแปรสมอสระ N ตวทมการแจกแจงแบรนลลทม

พารามเตอร p เปนตวแปรสมปวสซอง ถาจานวนตวแปรสมในผลบวกคอ N เปนตวแปรสมปวสซอง

เฉลย

ให N เปนตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร ให Xi, i = 1,…,N เปนตวแปรสมแบรนลลทเปนอสระ

กนและมพารามเตอร p เหมอนกน และให L = X1 +…+ XN

ฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ L หาไดโดยเรมตนจากฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ N ซงกคอ

t(e 1)

NM (t) e

แลวแทน et ดวยฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของ Xi ซงกคอ

tXM (t) 1 p pe

เราจะได

t t(1 p pe 1) p(e 1)

LM (t) e e

จะเหนไดวา LM (t) คอฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร p

5 อสมการและทฤษฎบทลมต

1. นกสถตตองการประมาณคาความสงเฉลย h (เมตร) ของประชากรโดยอาศยตวอยางสมขนาด n คอ

X1, X2, … , Xn เลอกจากประชากร เขาใชคาเฉลยตวอยาง n 1 2 n

1M X X ... X

n

เปน

ตวประมาณคาของ h และประมาณวาคาเบยงเบนมาตรฐานของ Xi เทากบ 1.0 เมตร

(1) n ควรมคาโตเทาใดจงจะทาใหคาเบยงเบนมาตรฐานของ Mn มคาไมเกน 1 เซนตเมตร

(2) n ควรมคาโตเทาใด อสมการเชบเชฟจงจะรบประกนวาคาประมาณตางจาก h ไมเกน 5 เซนตเมตร

ดวยความนาจะเปนอยางนอย 0.99

เฉลย

(1) เราม nM

1

n ดงนน เพอให

nM 0.01 ตองใช n 10,000

(2) เราตองการให nP | M h | 0.05 0.99

ใชขอเทจจรงทวา nh E(M ) และ n

2M

1

n และอสมการเชบเชฟ จะไดวา

n n nP | M h | 0.05 P | M E M | 0.05

n n1 P | M E M | 0.05

2

1/ n1

(0.05)

ดงนน เพอให

2

1/ n1 0.99

(0.05)

เราตองใช n 40,000

2. [The Chernoff Bound]

คาขอบเชอรนอฟใชเปนคาขอบของความนาจะเปนของเหตการณเกยวของกบคาปลายของตวแปรสม


taXP(X a) e M (t)

เปนจรงสาหรบทก a และทก t ≥ 0 เมอ tXXM (t) E(e ) มคาจากดบนชวงเปดทบรรจ t = 0



taXP(X a) e M (t)

เปนจรงสาหรบทก a และทก t ≤ 0


(a)P(X a) e

เปนจรงสาหรบทก a เมอ

Xt 0

(a) Max ta ln M (t)

(4) จงแสดงวา ถา a E(X) แลว (a) 0

(5) จงใชผลจากขอ (3) หาคาขอบของ P(X ≥ a) เมอ X เปนตวแปรสมปกตมาตรฐานและ a > 0

(6) ให 1 2X ,X ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกบ X จงแสดงวา สาหรบ

ทก a > E(X) จะได

n

n (a )i

i 1

1P X a e

n

นนคอ ความนาจะเปนทคาเฉลยตวอยางมากกวาคาเฉลยของตวแปรสม X จานวนหนงมคาลดลงแบบ


เฉลย

(1) กาหนดจานวน a และ t ≥ 0 พจารณาตวแปรสม aY ซงนยามโดย

a ta

0, X aY

e , X a

จะเหนไดวา ความสมพนธ tX

aY e

เปนจรงเสมอและจะได tX

a XE(Y ) E(e ) M (t)

แต ta ta taa aE(Y ) e P(Y e ) e P(X a)

ดงนน taXP(X a) e M (t)

(2) ทานองเดยวกบขอ (1) เรานยาม aY โดย

ta

a

e , X aY0, X a

เนองจาก t ≤ 0 ความสมพนธ tX

aY e

เปนจรงเสมอและจะได tX

a XE(Y ) E(e ) M (t)

169 เฉลยโจทยปญหา บทท 5 อสมการและทฤษฎบทลมต

แต ta ta taa aE(Y ) e P(Y e ) e P(X a)

ดงนน taXP(X a) e M (t)

(3) เนองจากอสมการในขอ (1) เปนจรงสาหรบทก t ≥ 0 จะไดวา

taX

t 0P(X a) min e M (t)

Xta ln M (t )

t 0min e

X

t 0max ta ln M (t )

e

(a )e

(4) สาหรบ t = 0, จะได

XM (0) 1

Xta ln M (t) 0 ln1 0

และ X t 0 X t 0

X

d 1 dta ln M (t) a M (t) a 1 E(X) 0

dt M (t) dt

เนองจาก ฟงกชน Xta ln M (t) มคาเปน 0 และอนพนธเปนจานวนบวกท t = 0 ฟงกชนนตองมคาเปน

จานวนบวกเมอ t เปนจานวนบวกทมคานอยๆ ดงนน บนชวง t ≥ 0, (a) ซงเปนคาสงสดของ

Xta ln M (t) เปนจานวนบวก

(5) สาหรบตวแปรสมปกตมาตรฐาน X เราม 2t /2

XM (t) e ดงนน Xta ln M (t)2t

ta2

ในการหา

คาสงสดของฟงกชนนบนชวง t ≥ 0 เราหาอนพนธซงกคอ a – t และใหมคาเปน 0 แลวแกสมการหาคา

ของ t จะได t = a และจะได 2a

(a)2

นาไปใชสรางคาขอบของ P(X ≥ a)

2a /2P(X a) e

หมายเหต : ในกรณท a E(X) จะได (a) 0 และไดคาขอบทไมนาสนใจคอ

P(X a) 1

(6) ให 1 nY X ... X ใชผลจากขอ (3) จะได

Y

n(na )

ii 1

1P X a P Y na e

n

เมอ Y Yt 0

(na) max nta ln M (t)

และ n

Y XM (t) M (t)

เนองจาก Y Xln M (t) n ln M (t) เราจะได Y X

t 0(na) n max ta ln M (t) n (a)

และ n

n (a )i

i 1

1P X a e

n


สงเกตวา เมอ a > E(X) จะได (a) > 0 [จากขอ (4)] ดงนน ความนาจะเปนทสนใจลดลงแบบ

เอกซโพเนนเชยลเมอเทยบกบ n

3. [Jensen Inequality]

ให f เปนฟงกชนคาจรงทหาอนพนธไดสองครง กลาววา f เปนฟงกชนนน (Convex Function) ถา

อนพนธทสอง f (x) มากกวาหรอเทากบ 0 สาหรบทก x ในโดเมน

(1) จงแสดงวาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนนน axf (x) e , g(x) ln x และ 4h(x) x

(2) จงแสดงวา ถา f หาอนพนธไดสองครงและเปนฟงกชนนนแลวคาประมาณเทยเลอรอนดบทหนง

เปนคาประมาณทตากวาคาจรงของฟงกชน นนคอ

f (a) (x a)f (a) f (x)

(3) จงแสดงวา ถา f มสมบตในขอ (2) และถา X เปนตวแปรสม แลว

f E(X) E f (X)

เฉลย

(1) เนองจาก 2 axf (x) a e 0, 2

1g (x) 0

x และ 2h (x) 12x 0

ดงนน f, g และ h เปนฟงกชนนนทงสามฟงกชน

(2) เนองจากอนพนธอนดบทสองไมเปนจานวนลบ ดงนน อนพนธอนดบทหนงตองเปนฟงกชนไมลด

ใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส จะได

x x

a af (x) f (a) f (t)dt f (a) f (a)dt f (a) (x a)f (a)

(3) เนองจาก มขอสมมตวาอสมการในขอ (2) เปนจรงสาหรบทกคา x ทเปนไปได ของตวแปรสม X เรา

จะได f (a) (X a)f (a) f (X)

แทน a ดวย E(X) แลวหาคาคาดหวงทงสองขาง จะได f E(X) E(X) E(X) f E(X) E f (X)

หรอ f E(X) E f (X)

4. ให p = สดสวนของผสบบหรในประชากรขนาดใหญกลมหนง ในการประมาณคา p อรณเลอกประชาชน

n คนโดยสม ใชสดสวนตวอยาง nn

SM

n เปนตวประมาณคา เมอ nS แทนจานวนผสบบหรในตวอยาง

อรณเลอกตวอยางขนาด n ทเลกทสดซงอสมการเชบเชฟรบประกนวา

nP(| M p | )


เมอ และ เปนจานวนบวกทกาหนดลวงหนา จงหาคาของ n ทไดจากการใชอสมการเชบเชฟในแตละ

กรณตอไปน

(1) คาของ ลดลงครงหนงจากคาเดม

(2) ความนาจะเปน ลดลงครงหนงจากคาเดม

เฉลย

ใชอสมการเชบเชฟ จะไดวา

n 2

p(1 p)P(| M p | )

n

แต 1p(1 p)

4

ดงนน n 2

1P(| M p | )

4n

(1) ถา มคาลดลงครงหนงจากคาเดม เพอใหคาขอบบนของความนาจะเปน 2

1

4nมคาคงตว ขนาด

ตวอยาง n ตองโตขน 4 เทา

(2) ถาจะใหคาขอบบนของความนาจะเปน2

1

4n

ลดลงเปน

2

1

2 2 4n

โดยให มคาคงตว

ขนาดตวอยาง n ตองโตขน 2 เทา 5. ให 1 2X ,X ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [-1, 1] จงแสดงวาลาดบ 1 2Y , Y ,...ใน

แตละกรณตอไปน ลเขาสลมตคาหนง ในความนาจะเปน และจงหาลมตนน

(1) nn

XY

n

(2) nn nY (X )

(3) n 1 2 nY X X ... X

(4) n 1 nY max{X ,...,X }

เฉลย

ในขอ (1), (2) และ (3) เราจะแสดงวา nY ลเขาส 0 ในความนาจะเปน ในขอ (4) เราจะแสดงวา nY ลเขา

ส 1 ในความนาจะเปน

(1) เนองจาก Xn เปนตวแปรสมยนฟอรมบนชวง [-1, 1] ดงนน คาคาดหวงของ X คอ E(Xn) = 0 และ

ความแปรปรวนของ X คอ Var(X) = 1/3 ใชอสมการเชบเชฟ จะไดวา สาหรบ 0 ใดๆ

nn n 2 2

X 1/ 3P | Y | P P X n

n n

จะเหนไดวา nP | Y | 0 เมอ n ดงนน nY ลเขาส 0 ในความนาจะเปน


(2) สาหรบทก 0 เราม

n 1/n 1/n 1/nn n n nP | Y | P | X | P X P X 1

และขางขวาของสมการลเขาส 0 เนองจาก 1/n 1 ดงนน Yn = (Xn)n ลเขาส 0 ในความนาจะเปน

(3) เนองจาก 1 2X ,X ,... เปนตวแปรสมอสระ เราม

n 1 nE(Y ) E X ...E(X ) 0

และ n

n2 2 2n n 1 n 1

4Var(Y ) E Y E X ...E X Var X

12

ดงนน nVar(Y ) 0 เนองจากทก nY มคาเฉลย 0 เหมอนกน จากอสมการเชบเชฟ จะไดวา nY ลเขาส 0

ในความนาจะเปน

(4) สาหรบทก 0 ใชความอสระของ 1 2X ,X ,...จะไดวา

n 1 n 1 nP | Y 1| P max{X ,...,X } 1 P max{X ,..., X } 1

1 nP X 1 ,...,X 1

n

1P(X 1 )

n

12

ดงนน nP | Y 1| 0 เมอ n และจะไดวา Yn ลเขาส 1 ในความนาจะเปน

6. พจารณาลาดบของตวแปรสมสองชด 1 2X ,X ,... และ 1 2Y , Y ,...ซงลเขาสคาคงตวในความนาจะเปน

ให c เปนคาคงตวอกจานวนหนง จงแสดงวา ลาดบของตวแปรสมตอไปนลเขาสลมตทสมนยกนใน


n

n n

n

n

n n

(1) cX

(2) X Y

(3) max{0,X }

(4) | X |

(5) X Y

เฉลย

ให x และ y เปนลมตของ nX และ nY ตามลาดบ

(1) ตรงคา 0 และคาคงตว c ถา c = 0 แลว ncX เทากบ 0 สาหรบทก n และดงนน ncX ลเขาส 0 ใน

ความนาจะเปน ถา c ≠ 0 จะไดวา nP | cX cx | nP | X x || c |

ซงลเขาส 0 ดงนน ncX ลเขา

ส cxในความนาจะเปน

(2) เราจะแสดงวา n nP(| X Y x y |) ลเขาส 0 สาหรบ 0 ใดๆ เนองจาก


n n n n{| X Y x y | } {| X x | / 2} {| Y y | / 2}

จะได n n n nP | X Y x y | P | X x | / 2 P | Y y | / 2

และ n n n n

n n nlim P | X Y x y | lim P | X x | / 2 lim P | Y y | / 2 0

สมการสดทายเปนจรงเพราะ nX และ nY ลเขาส x และ y ในความนาจะเปน ตามลาดบ

(3) ทานองเดยวกน จะเหนไดวา

n n{| max{0,X } max{0, x}| } {| X x | }

เนองจาก nnlim P | X x | 0

จะไดวา nnlim P | max{0,X } max{0, x}| 0

ดงนน nmax{0,X }ลเขาส max{0, x}ในความนาจะเปน

(4) สงเกตวา n n n| X | max{0, X } max{0, X } เนองจาก nmax{0,X }และ nmax{0, X } ลเขาส

max{0, x}และ max{0, x} ในความนาจะเปน ตามลาดบ [ดขอ(3)] จะไดวา n| X |ล เขาส

max{0, x} max{0, x} | x | ในความนาจะเปน

(5) สดทาย เราม

n n n n n nP | X Y xy | P | (X x)(Y y) xY yX 2xy |

n n n nP | (X x)(Y y) | / 2 P | xY yX 2xy | / 2

เนองจาก nxY และ nyX ลเขาส xy ในความนาจะเปนทงค ความนาจะเปนสดทายในนพจนขางบนลเขา

ส 0 ดงนน เพยงแสดงวา ลมตตอไปนเปนจรงกพอ n n

nlim P | (X x)(Y y) | / 2 0

สงเกตวา วธจากดให n n| (X x)(Y y) | มคามากเทากบ / 2 เราตองให n| X x | หรอ n| Y y |

(หรอทงค) มคาอยางนอย / 2 การพสจนสวนทเหลอทาไดทานองเดยวกนกบการพสจนวา n nX Y ล

เขาในความนาจะเปน

7. กลาววา ลาดบ nX ของตวแปรสมลเขาสคาคงตว c ในคาเฉลยของกาลงสอง (Converge in Mean

Square) ถา

2

nlim E (X c) 0

(1) จงแสดงวา ถา nX ลเขาส cในคาเฉลยของกาลงสอง แลว nX ลเขาส cในความนาจะเปน

(2) จงยกตวอยางเพอแสดงวาบทกลบของขอ (1) ไมจรง

เฉลย

(1) สมมตวา nX ลเขาส cในคาเฉลยของกาลงสอง ใชอสมการมารโคฟ จะได


2

2 2n n 2

E[(X c) ]P | X c | P | X c |

หาลมต เมอ n จะได n

nlim P | X c | 0

นนคอ nX ลเขาส c ในความนาจะเปน

(2) พจารณาลาดบของตวแปรสมไมตอเนอง nY ซงมฟงกชนมวลความนาจะเปน

2n

11 ,

y 0n

1P Y y ,

y nn

y0,


สาหรบทก 0 จะไดวา

nn n

1lim P | Y | lim 0

n

นนคอ nY ลเขาส 0 ในความนาจะเปน

แต 2 3nE Y n ลออกสคาอนนต

8. กอนเรมตนเลนรเลตตในกาสโน สมหวงตองการตรวจสอบวาวงลอมความเอนเอยงหรอไม เขาสงเกตการ

หมนวงลอ 100 รอบ ผลลพธทเปนไปไดของแตละรอบคอจานวนตงแต 1 ถง 36 เขานบจานวนรอบท

ผลลพธเปนจานวนค ถานบไดมากกวา 55 เขาจะตดสนวาวงลอไมเทยงตรง สมมตวาวงลอเทยงตรง จง

ประมาณคาความนาจะเปนทสมหวงจะตดสนใจผด

เฉลย

ให S แทนจานวนครงทไดผลลพธเปนจานวนค จะไดวา S เปนตวแปรสมทวนามทมพารามเตอร

n = 100 และ p = 0.5 ดงนน E(X) 100 0.5 50 และ S 100 0.5 0.5 25 5

ใชการแจกแจงปกตประมาณการแจกแจงทวนาม จะไดวา

S 50 55 50

P S 55 P 1 (1) 1 0.8413 0.15875 5

เราสามารถประมาณความนาจะเปนไดแมนยาขนโดยใชการประมาณเดอมววร-ลาปลาซ ซงจะได

S 50 55.5 50

P S 55 P S 55.5 P5 5

1 (1.1) 1 0.8643 0.1357


9. ระหวางแตละวน ความนาจะเปนทระบบปฏบตการของคอมพวเตอรจะลมอยางนอย 1 ครงเทากบ 5%

เปนอสระกนกบวนอนๆ สมศรผดแลระบบตองการทราบวามความนาจะเปนเทาไรทใน 50 วนถดไป

ระบบปฏบตการของคอมพวเตอรจะไมลมอยางนอย 45 วน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทสมศร

สนใจโดยใช

(1) การแจกแจงปกตประมาณการแจกแจงทวนาม

(2) การแจกแจงปวสซองประมาณการแจกแจงทวนาม

เฉลย

(1) ให S แทนจานวนวนทระบบปฏบตการของคอมพวเตอรจะไมลม จะได S เปนตวแปรสมทวนามทม

พารามเตอร n = 50 และ p = 0.95 ดงนน

E(X) 50 0.95 47.5 และ S 50 0.95 0.05 1.54

ใชการแจกแจงปกตประมาณการแจกแจงทวนาม จะไดวา

S 47.5 45 47.5P S 45 P

1.54 1.54

1 ( 1.62) (1.62) 0.9474

เราสามารถประมาณความนาจะเปนไดแมนยาขนโดยใชการประมาณเดอมวร-ลาปลาซ ซงจะได

S 47.5 44.5 47.5P S 45 P S 44.5 P

1.54 1.54

1 ( 1.95) (1.95) 0.9744

(2) ตวแปรสม S มการแจกแจงทวนามทมพารามเตอร n = 50 และ p = 0.95 ดงนน ตวแปรสม 50 – S

(จานวนวนทระบบปฏบตการของคอมพวเตอรลม) มการแจกแจงทวนามทมพารามเตอร n = 50 และ p = 0.05

เนองจากการประมาณการแจกแจงทวนามดวยการแจกแจงปวสซองใหมความแมนยา มขอจากดวา p ม

คานอย และ n มคามาก ดงนนการประมาณจะแมนยากวาเมอกระทากบ 50 – S ดงนน เราจะประมาณ

50 – S ดวยตวแปรสมปวสซองทมพารามเตอร 50 0.05 2.5 ดงนน

k5 5

k 0 k 0

eP S 45 P 50 S 5 P(50 S 5) 0.958

k!

ลองเปรยบเทยบกบความนาจะเปนทแมนตรงซงคานวณจากการแจกแจงทวนามโดยตรง

5

k 50 k

k 0

50(0.05) (0.95) 0.962

k

จะเหนไดวาการประมาณดวยการแจกแจงปวสซองมความแมนยามากกวา ทงนเพราะวาการประมาณ

การแจกแจงทวนามดวยการแจกแจงปกตจะไดคาประมาณทแมนยาเมอ p มคาใกล 0.5 และ n มคามาก ซง

ไมใชกรณน


10. โรงงานแหงหนงผลตหนยนต nX ตวในวนท n เมอ nX เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงเหมอนกน

โดยมคาเฉลย 5 และความแปรปรวน 9

(1) จงประมาณคาความนาจะเปนทจานวนหนยนตทผลตไดทงหมดใน 100 วนนอยกวา 440 ตว

(2) จงหา (คาประมาณ) คามากทสดของ n ซง

1 nP X ... X 200 5n 0.05

(3) ให N คอวนแรกทจานวนหนยนตทผลตไดรวมกนมากกวา 1,000 ตว จงประมาณคาความนาจะเปนท N 200

เฉลย

(1) ให n 1 nS X ... X แทนจานวนหนยนตรวมทงหมดทผลตไดใน n วน สงเกตวา คาเฉลย ความ

แปรปรวน และ คาเบยงเบนมาตรฐานของ nS คอ 5n, 9n และ 3 n ตามลาดบ ดงนน

100P S 440 P S 439.5

100S 500 439.5 500P

30 30

439.5 500

30

( 2.02)

1 (2.02)

1 0.9783

0.0217 (2) เปาหมายคอ nP S 200 5n 0.05 หรอ

nS 5n 200P 0.05

3 n 3 n

ใชการประมาณดวยการแจกแจงปกต จะได

200

1 0.053 n

200

0.953 n

จากตารางการแจกแจงปกต อานได (1.65) 0.95 ดงนน

200

1.653 n

และจะได n 1,632


(3) เหตการณ N 220 (ใชเวลาอยางนอย 220 วนจงจะผลตหนยนตไดรวมกนมากกวา 1000 ตว)

เหมอนกบเหตการณ 219S 1000 (ใน 219 วนแรก ผลตหนยนตไดไมเกน 1000 ตว) ดงนน

219P N 200 P S 1000

219S 5 219 1000 5 219P

3 219 3 219

1 (2.14)

1 0.9838

0.0162

11. ให 1 1 2 2X , Y ,X , Y ,... เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงยนฟอรมบนชวง [0, 1] และให

1 16 1 16(X ... X ) (Y ... Y )W

16

จงหาคาประมาณเชงตวเลขของ

P | W E(W) | 0.001

เฉลย

สงเกตวา W คอคาเฉลยตวอยางของตวแปรสมอสระในรปแบบ i iX Y ทมการแจกแจงเหมอนกน และ

เหมาะสมทจะประมาณดวยตวแปรสมปกต ตวแปรสม i iX Y มคาเฉลยเทากบ 0 และความแปรปรวน

เทากบ 2

12 ดงนน W มคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 2 /12 1

16 96 และจะได

| W | 0.001P | W | 0.001 P 0.001 96 0.001 96

1/ 96 1/ 96

2 0.001 96 1 2 (0.0098) 1 2 0.504 1 0.008

หมายเหต การหาคาตอบของปญหาขอนโดยไมใชตารางการแจกแจงปกตอาจทาไดดงน ให Z เปนตว

แปรสมปกตทมคาเฉลย 0 และคาเบยงเบนมาตรฐาน 1/96 คาเบยงเบนมาตรฐานของ Z นมคาประมาณ

0.1 ซงมากกวา 0.001 ถง 100 เทา ดงนนในชวง [-0.001, 0.001] ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนของ

Z เกอบจะเปนคาคงตว ใชสตร P(z - ≤ Z ≤ z + ) fZ(z)2 เมอ z = 0 และ = 0.001 จะได

Z

0.002P( W 0.001) P 0.001 Z 0.001 f (0) 0.002 0.0078

2 (1/ 96)

12. การพสจนทฤษฎบทเซนทรลลมต

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกนโดยมคาเฉลย 0

และความแปรปรวน 2 เทากน และมฟงกชนกอกาเนดโมเมนต XM (t) ซงมคาจากด เมอ d t d ,

( d เปนจานวนบวก) ให


1 nn

X ... XZ

n

(1) จงแสดงวา n

n

Z X

tM (t) M

n

(2) สมมตวา XM (t) มอนกรมเทยเลอรอนดบท 2 รอบ t = 0 ในรปแบบ

2 2XM (t) a bt ct o(t )

เมอ 2o(t ) เปนฟงกชนทสอดคลองกบ 2

2t 0

o(t )lim 0

t จงหาคาของ a, b และ c ในพจนของ 2

(3) จงใชผลทไดจากขอ (1) และขอ (2) แสดงวา nZM (t) ลเขาสฟงกชนกอกาเนดโมเมนตของตวแปรสม

ปกตมาตรฐาน นนคอ

2

n

t /2Z

nlim M (t) e ,

สาหรบทก t

หมายเหต : ทฤษฎบทเซนทรลลมตเปนผลจากขอ (3) และความจรงทวา ถาฟงกชนกอกาเนดโมเมนต

nZM (t) ลเขาสฟงกชนกอกาเนดโมเมนต ZM (t) ของตวแปรสม Z ซงมฟงกชนการแจกแจงความนาจะ

เปนสะสมทตอเนอง แลวฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมnZF ลเขาสฟงกชนการแจกแจงความ

นาจะเปนสะสมของ Z ในกรณขางบนน ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ nZ ลเขาสฟงกชน

การแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตวแปรสมปกตมาตรฐาน

เฉลย

(1) เนองจาก iX เปนตวแปรสมอสระ จะไดวา

n

n

tZZM (t) E e

n

ii 1

tE exp X

n

i

ntX /( n )

i 1E e

n

X

tM

n

(2) ใชสมบตของฟงกชนกอกาเนดโมเมนต จะไดวา

Xa M (0) 1 , Xb M (0) E(X) 0 ,

และ 2 2

X

1 E(X )c M (0)

2 2 2

(3) ใชผลจากขอ (1) และขอ (2) จะไดวา

n

nn 2 2

Z X 2 2

t bt ct tM (t) M a o

n nn n


แทนคาของ a, b และ c จากขอ (2) ในสมการขางบน จะไดวา

n

n2 2

Z 2

t tM (t) 1 o

2n n

หาลมต เมอ n และใชเอกลกษณ

n

c

n

clim 1 e

n

จะไดวา 2

n

t /2Z

nlim M (t) e

13. พจารณาลาดบของตวแปรสม 2 ชดคอ 1 2X , X ,...และ 1 2Y , Y ,...สมมตวา nX ลเขาส a ดวยความนาจะ

เปน 1 และ nY ลเขาส b ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวา n nX Y ลเขาส a + b ดวยความนาจะเปน 1

และถา nY ไมเทากบ 0 จงแสดงวา n

n

X

Yลเขาส a

bดวยความนาจะเปน 1

เฉลย

ให A (และ B ตามลาดบ) แทนเหตการณทลาดบของคาของตวแปรสม nX (และ nY ตามลาดบ)ไมลเขาส

a (และ b ตามลาดบ) ให C แทนเหตการณทลาดบของคาของ n nX Y ไมลเขาส a + b จะไดวา C A B

เนองจาก nX และ nY ลเขาส a และ b ดวยความนาจะเปน 1 ตามลาดบ จะไดวา P(A) = 0 และ P(B) = 0

และ

P(C) P(A B) P(A) P(B) 0

ดงนน CP(C ) 1 นนคอ n nX Y ลเขาส a + b ดวยความนาจะเปน 1 สาหรบการลเขาของ n

n

X

Yอางเหต

ผลไดในทานองเดยวกน

14. ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกน ให 1 2Y ,Y ,... เปน

ลาดบของตวแปรสมอสระอกชดหนงทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกน สมมตวา iX และ iY ม

คาเฉลยเปนจานวนจากดและ 1 nY ... Y ไมเทากบ 0 จงพจารณาวาลาดบ

1 nn

1 n

X ... XZ

Y ... Y

ลเขาดวยความนาจะเปน 1 หรอไม ถาลเขา จงหาลมต

เฉลย

เราสามารถเขยน nZ อกรปแบบหนงดงน


1 nn

1 n

X ... X / nZ

Y ... Y / n

ใชกฎอยางเขมของจานวนมาก ตวเศษและตวสวนของ nZ ลเขาส E(X) และ E(Y) ตามลาดบ ดวย

ความนาจะเปน 1 ดงนน nZ ลเขาส E(X)

E(Y) ดวยความนาจะเปน 1 (ดโจทยปญหาขอ 13.)

15. สมมตวาลาดบ 1 2Y , Y ,...ของตวแปรสมลเขาสจานวนจรง c ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวาลาดบนลเขา

ส c ในความนาจะเปนดวย

เฉลย

ให C แทนเหตการณทลาดบของคาของตวแปรสม nY ลเขาส c ตามขอสมมต เราม P(C) = 1 ตรงคา

0 และให kA แทนเหตการณ n| Y c | สาหรบทก n k ถาลาดบของคาของตวแปรสม nY ลเขา

ส c แลวจะตองมจานวนเตมบวก k ซงสาหรบทก n k ลาดบของคาเหลานตางจาก c ไมเกน ดงนน ทก

สมาชกของ C เปนสมาชกของ kA สาหรบบางคาของ k หรอกลาวอกนยหนง

kk 1

C A

สงเกตวาลาดบของเหตการณ kA เปนลาดบเพมทางเดยว ( k k 1A A สาหรบทก k) และเหตการณ kA

เปนสบเซตของเหตการณ k{| Y c | } ดงนน

k k kk k k 1lim P | Y c | lim P(A ) P A P(C) 1

(สมการแรกขางบนใชสมบตความตอเนองของความนาจะเปน) และจะไดวา

kklim P | Y c | 0

นนคอ nY ลเขาส c ในความนาจะเปน

16. พจารณาลาดบ nY ของตวแปรสมทมคาไมเปนจานวนลบและสมมตวา

n

n 1

E Y

จงแสดงวา nY ลเขาส 0 ดวยความนาจะเปน 1

หมายเหต: ผลทไดนใชเปนวธแสดงการลเขาดวยความนาจะเปน 1 ในการคานวณคาคาดหวงของ nn 1

Y

มกจะใชสตร

n nn 1 n 1

E Y E(Y )


ขอเทจจรงทคาคาดหวงกบผลบวกของตวแปรสมจานวนอนนตสลบกนไดในกรณของตวแปรสมทมคาไม

เปนจานวนลบนคอทฤษฎบทหลกมลของทฤษฎความนาจะเปนทเรยกวา ทฤษฎบทการลเขาทางเดยว

(Monotone Convergence Theorem) การพสจนทฤษฎบทนอยนอกขอบขายของหนงสอเลมน

เฉลย

สงเกตวาผลบวก nn 1

Y

ตองมคาจากดดวยความนาจะเปน 1 ถา n

n 1

Y

มคาอนนตดวยความนาจะเปนท

มากกวา 0 แลวคาคาดหวงของ nn 1

Y

ตองเปนคาอนนตดวย แตถา ผลบวกของคาของตวแปรสม nY มคา

จากด แลวลาดบของคาของตวแปรสมนตองลเขาส 0 เนองจากความนาจะเปนของเหตการณนเทากบ 1

ดงนน ลาดบ nY ลเขาส 0 ดวยความนาจะเปน 1

17. พจารณาลาดบของตวแปรสมแบรนลล nX และให n np P X 1 เปนความนาจะเปนของผลลพธทเปน

ความสาเรจในการลองท n สมมตวา nn 1

p

จงแสดงวาจานวนผลลพธทเปนความสาเรจมคาจากด


เฉลย

ใช ทฤษฎบทการลเขาทางเดยว (ดหมายเหตในขอ 16.) จะไดวา

n n nn 1 n 1 n 1

E X E(X ) p

ดงนน nn 1

X

ดวยความนาจะเปน 1 สงเกตวาเหตการณ n

n 1

X

กคอเหตการณทมผลลพธท

เปนความสาเรจจานวนจากด

18. [กฎอยางเขมของจานวนมาก (The Strong Law of Large Numbers)]

ให 1 2X ,X ,... เปนลาดบของตวแปรสมอสระทมการแจกแจงความนาจะเปนเหมอนกน และสมมตวา

4iE X จงพสจนวา ลาดบของคาเฉลยตวอยาง 1 n

n

X ... XM

n

ลเขาส ดวยความนาจะเปน 1

นนคอ

1 n

n

X ... XP lim 1

n

เฉลย

เราเรมตนจากกรณทตวแปรสม Xi มคาเฉลย เทากบ 0 ให

n

1iin XS และพจารณา


])X...XX[(E)S(E 4n21

4n

สงเกตวารปกระจายของ (X1 + X2 + … + Xn)4 ประกอบดวยพจนตางๆ ในรปแบบ

lkjikj2i

2j

2ij

3i

4i XXXX,XXX,XX,XX,X

เมอ i j k 1 เนองจากทก Xi มคาเฉลยเปน 0 และเปนอสระกน จะได

0)X(E)X(E)XX(E j3ij

3

i

0)X(E)X(E)X(E)XXX(E kj2ikj

2i

0)XXXX(E lkji

สาหรบ i และ j แตละค 2j

2i XX จะปรากฏอยในพจนตางๆ ในรปกระจาย 6

2

4

พจน ดงนน เมอ

กระจาย 4nS แลวหาคาคาดหวง จะได

)XX(E2

n6)X(nE)S(E 2

j2i

4i

4n

)X(E)X(E)1n(n3nK 2j

2i (Xi และ Xj เปนอสระกน)


2 4 2 2i i i0 V ar(X ) E(X ) [E(X )]

จะเหนไดวา

K)X(E)]X(E[ 4i

22i


4nE(S ) nK 3n(n 1)K


234

4n

n

K3

n

K

n

SE

ดงนน

1n4

4n

1n4

4n

n

SE

n

SE

เปนผลให 4n4n 1

Sn

ดวยความนาจะเปน 1 [เพราะถาผลบวกเปนคาอนนตได (ความนาจะเปนมากกวา

0) แลวคาคาดหวงจะเปนคาอนนต] แตการลเขาของอนกรมสงผลใหพจนท n ลเขาส 0 ดงนน เราสรปไดวา

0n

Slim

4

4n

n



แตถา 4 4n n4

S Snn

ลเขาส 0 แลว nSn

ลเขาส 0 ดวย ดงนน

0n

Sn เมอ n ดวยความนาจะเปน 1

เมอคาเฉลยของ Xi คอ ไมเทากบ 0 เราสามารถใชการอางเหตผลขางบนกบตวแปรสม Xi – จะได

0n

)X(lim

n

1i

i

n


หรอ

n

1i

i

n n

Xlim ดวยความนาจะเปน 1


หนาวาง

185

บรรณนานกรม

1. Bertsekas,D.P. and Tsitsiklis, J. N.. Introduction to Probability Theory. 2e, Athena Scientific, 2008, 528 pages.

2. Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Volume 1; 2e, Wiley, 1991, 704 pages.

3. Ghahramani, Saeed. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. 3e, Prentice Hall, 644 pages.

4. Haigh, John. Probability Models. Springer, 2002, 256 pages.

5. Hogg, Robert V., and Tanis, Elliot. Probability and Statistical Inference. 8e, Prentice Hall, 2009, 648 pages.

6. Lefebvre, Mario. Applied Probability and Statistics. Springer, 2006, 356 pages.

7. Olkin, Ingram , Gleser, Leon Jay, and Derman, Cyrus. Probability Models and Applications. Prentice Hall, 2e 1994, 575 pages.

8. Ross, Sheldon M. First Course in Probability. 8e, Pearson, 2009,552 pages.

9. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. 9e, Academic Press, 2006, 800 pages.

10. Scheaffer, Richard L. and Young, Linda. Introduction to Probability and Its Applications. Duxbury Press, 3e, 2009, 480 pages.

186

ตารางการแจกแจงปกตมาตรฐาน (z0 ) = P(Z < z0)

Z0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

187

ดชนคนเรอง

กฎการคณความนาจะเปน 3 ตวแปรสมปกต 29

กฎการนบ 4 ตวแปรสมปกตมาตรฐาน 29

กฎการหาคาคาดหวงซา 42 ตวแปรสมปวสซอง 15

กฎของเบส 3 ตวแปรสมผสม 34

กฎของเบสกรณตวแปรสมตอเนอง 32 ตวแปรสมไมตอเนอง 13

กฎความนาจะเปนของคอมพลเมนต 2 ตวแปรสมไมมสหสมพนธ 42

กฎความแปรปรวนรวม 42 ตวแปรสมยนฟอรม 28

กฎคาคาดหวงของฟงกชนของตวแปรสม 15,32 ตวแปรสมเรขาคณต 14

กฎอยางเขมของจานวนมาก 53 ตวแปรสมลาปลาซ 33

กฎอยางออนของจานวนมาก 51 ตวแปรสมอสระ 18

การทดลองทวนาม 14 ตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล 28

การทดลองแบรนลล 14 ทฤษฎบทความนาจะเปนรวม 3

การลเขาดวยความนาจะเปน 1 53 ทฤษฎบทคาคาดหวงรวม 32

การลเขาในความนาจะเปน 51 ทฤษฎบทเซนทรลลมต 52

การลเขาในคาเฉลยของกาลงสอง 55 แบบจาลองความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 1 ผลการแบง 3

ความนาจะเปนมเงอนไข 3 ฟงกชนกอกาเนดโมเมนต 42

ความเปนไปได 1 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนสะสม 28

ความแปรปรวน 15,27 ฟงกชนความนาจะเปน 1

ความแปรปรวนของตวแปรสมปกต 29 ฟงกชนความนาจะเปนยนฟอรมไมตอเนอง 2

ความแปรปรวนของตวแปรสมยนฟอรม 28 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปน 27

ความแปรปรวนของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล 28 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนปกต 29

ความแปรปรวนของฟงกชนเชงเสนของตวแปรสม 16 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมารจน 30

ความแปรปรวนรวม 41 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนมเงอนไข 30

ความอสระของตวแปรสม 18,32 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนยนฟอรม 28

ความอสระของเหตการณ 4 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนรวม 30

คอมพลเมนตของเหตการณ 2 ฟงกชนความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชยล 28

คาขอบเชอรนอฟ 53 ฟงกชนมวลความนาจะเปน 13

คาคาดหวง 15,27 ฟงกชนมวลความนาจะเปนทวนาม 14

คาคาดหวงของตวแปรสมปกต 29 ฟงกชนมวลความนาจะเปนแบรนลล 14

คาคาดหวงของตวแปรสมยนฟอรม 28 ฟงกชนมวลความนาจะเปนมารจน 16

คาคาดหวงของตวแปรสมเอกซโพเนนเชยล 28 ฟงกชนมวลความนาจะเปนมเงอนไข 17

คาคาดหวงมเงอนไข 17,31,42 ฟงกชนมวลความนาจะเปนรวม 16

คาเฉลยของฟงกชนเชงเสนของตวแปรสม 16 ฟงกชนมวลความนาจะเปนเรขาคณต 15

คาเบยงเบนมาตรฐาน 15 ยเนยนของเหตการณ 2

แซมเปลสเปซ 1 วธการเดอมววร-ลาปลาซ 52

ตวแปรสม 13 วธจดหม 4

ตวแปรสมตอเนอง 27 วธเรยงสบเปลยน 4

ตวแปรสมทวนาม 14 สมบตของฟงกชนความนาจะเปน 2

ตวแปรสมแบรนลล 14 สจพจนความนาจะเปน 1

188

สตรการคานวณความแปรปรวน 16 อสมการเชบเชฟ 51

เหตการณ 1 อสมการมารโคฟ 51

เหตการณไมเกดรวมกน 2 อนเตอรเซกชนของเหตการณ 2

Documents

Probability -Theory and Problems