Probabilit©s - Exercices corrig©s avec rappels de cours

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Le calcul des probabilités n’intervient pas uniquement, comme semble le croire une tradition tenace, pour le calcul des chances de gagner ou de perdre dans des jeux de hasard : lancement de dés, jeux de cartes, courses de chevaux, loterie nationale, etc. Il est vrai qu’à l’origine le développement de la théorie des probabilités est dû, en grande partie, aux calculs sur les jeux de hasard, mais par la suite, probabilités, lois de probabilités, lois statistiques ont été développées pour introduire les statistiques décisionnelles, à savoir : échantillonnages, distributions, estimations, etc. Ce livre est ainsi une introduction au livre sur les statistiques décisionnelles puisqu’il renferme tous les chapitres que doit connaître un étudiant avant d’aborder les statistiques décisionnelles, à savoir : les calculs sur les probabilités, les variables aléatoires discrètes et continues, les lois de probabilités et les lois statistiques de variables discrètes et continues.

Text of Probabilit©s - Exercices corrig©s avec rappels de cours

  • Adil ELMARHOUM Mohamed DIOURI

    PROBABILITES Exercices corrigs avec rappels de cours

  • COLLECTION SCIENCES TECHNIQUES ET MANAGEMENT

    PROBABILITES Exercices corrigs avec rappels de cours

    Tous les droits sont rservs Dpt lgal N 2003/0049

    I.S.B.N. 9954-409-41-6 Premire dition 2003

    Deuxime dition 2008 Troisime dition 2014

    Les livres de la collection Sciences et Techniques sont dits par les Instituts suprieurs du Gnie Appliqu

    IGA de Rabat, Marrakech, Fs, El Jadida et Settat.

  • DEDICACE

    Pour que la mmoire demeure Lorsquune me pleure une autre me

    M D

  • SOMMAIRE

    LIMINAIRE 7

    CH. 1. PROBABILITES 9

    1.1. Dfinitions. 9

    1.2. Notion dexclusivit 10

    1.3. Notion dindpendance. 11

    1.4. Thorme de Bayse. 12

    1.5. Enonces des exercices dapplication. 13

    1.6. Solutions des exercices. 15

    CH. 2. VARIABLE ALEATOIRE. 27

    2.1. Dfinitions. 27

    2.2. Distribution de probabilit. 28

    2.3. Couple de variables alatoires. 29 2.4. Esprance mathmatique. 31

    2.5. Ingalit de Bienaym Tchebychev. 33

    2.6. Enoncs des exercices dapplication. 33

    2.7. Solutions des exercices. 36

    CH. 3. ANALYSE COMBINATOIRE ET CALCUL DES PROBABILITES.

    54

    3.1. Permutations. 54 3.2. Arrangements. 54 3.3. Combinaisons. 55 3.4. Enoncs des exercices dapplication. 56 3.5. Solutions des exercices dapplication. 59

  • CH. 4. LOIS DE PROBABILITE DISCRETES. 78 4.1. Loi Bernoulli. 78 4.2. Loi Binomiale. 78 4.3. Loi Polynomiale. 79 4.4. Loi Hypergomtrique. 80 4.5. Loi Hypergomtrique gnralise. 81 4.6. Loi de Poisson. 81 4.7. Enoncs des exercices dapplication. 82 4.8. Solutions des exercices dapplication. 85

    CH. 5. LOIS DE PROBABILITE CONTINUES. 99 5.1. Loi normale. 99 5.2. La loi Khi deux de Pearson. 101 5.3. La loi de Student. 102 5.4. La loi de Fisher Snedecor. 103 5.5. Enoncs des exercices dapplication. 104 5.6. Solutions des exercices dapplication. 107

    CH. 6. CONVERGENCE DES LOIS DE PROBABILITE LOIS DES GRANDS NOMBRES.

    122

    6.1. Convergence en probabilit. 122 6.2. Convergence en loi probabilit. 122 6.3. Enoncs des exercices dapplication. 124 6.4. Solutions des exercices dapplication. 126

    TABLES STATISTIQUES 140

    BIBLIOGRAPHIE 163

  • 7

    LIMINAIRE

    Le calcul des probabilits nintervient pas uniquement, comme semble le croire une tradition tenace, pour le calcul des chances de gagner ou de perdre dans des jeux de hasard : lancement de ds, jeux de cartes, courses de chevaux, loterie nationale, etc. Il est vrai qu lorigine le dveloppement de la thorie des probabilits est d, en grande partie, aux calculs sur les jeux de hasard, mais par la suite, probabilits, lois de probabilits, lois statistiques ont t dveloppes pour introduire les statistiques dcisionnelles, savoir : chantillonnages, distributions, estimations, etc.

    Ce livre est ainsi une introduction au livre sur les statistiques dcisionnelles puisquil renferme tous les chapitres que doit connatre un tudiant avant daborder les statistiques dcisionnelles, savoir : les calculs sur les probabilits, les variables alatoires discrtes et continues, les lois de probabilits et les lois statistiques de variables discrtes et continues.

    Nous avons conu ce livre linstar de ce que nous avons fait pour notre livre sur la statistique descriptive : chaque chapitre commence par de brefs rappels de cours suivis dnoncs des exercices dapplication et se termine par les solutions proposes.

    Tant ltudiant que les professeurs pourront ainsi trouver :

    - Le premier, loccasion pour sentrainer, autant quil veut, et prparer, dans de meilleures conditions ses examens en probabilits ;

    - Le second, un ensemble important dexercices dapplication pour illustrer son cours sur les probabilits.

  • 8

    En effet ltudiant et le professeur savent que la meilleure faon dapprendre et de faire apprendre une matire repose essentiellement sur la qualit et la quantit des cas pratiques tudis.

    Adil ELMARHOUM Professeur chercheur

    Mohamed DIOURI Fondateur de lIGA.

    Casablanca, mars 2014 .

  • Probabilits. 10. Probabilits

    9

    CHAPITRE 1 PROBABILITES

    1.1. DEFINITIONS.

    1.1.1. Exprience et vnement alatoires.

    La dfinition de la probabilit est lie aux notions dexpriences et dvnements alatoires.

    Une exprience est dite alatoire lorsquon ne peut en prvoir exactement le rsultat, du fait que tous les facteurs qui dterminent ce rsultat ne sont pas matriss.

    Un vnement alatoire est un vnement qui peut se raliser ou ne pas se raliser au cours dune exprience alatoire.

    Exemples :

    - Le jet dun d numrot de 1 6 est une exprience alatoire car le rsultat du jet est imprvisible. Lvnement avoir une face paire du d est un vnement alatoire car le rsultat du jet peut tre impair comme il peut tre pair.

    - Le choix dune personne dans un groupe dindividus contenant des hommes et des femmes est une exprience alatoire car le rsultat du choix est imprvisible. Lvnement choisir une femme est un vnement alatoire car la personne choisie peut tre une femme comme elle peut tre un homme.

    1.1.2. Dfinition classique de la probabilit.

    Si au cours dune exprience alatoire on peut dnombrer tous les vnements possibles, et si pour chaque vnement on peut dterminer le nombre de cas favorables la ralisation dun vnement alatoire quelconque A, on dfinit classiquement la probabilit de lvnement A comme tant le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.

    possibles cas de Nombrefavorables cas de Nombre)A(p =

    Cette dfinition montre que la probabilit est toujours comprise entre 0 et 1. 0 p 1

    La probabilit de tout vnement qui doit ncessairement se raliser au cours dune exprience alatoire est gale 1, il sagit dun vnement certain.

  • Probabilits. 10. Probabilits

    10

    P(vnement certain) = 1

    La probabilit de tout vnement qui ne peut pas se raliser au cours dune exprience alatoire est nulle, il sagit dun vnement impossible.

    P(vnement impossible) = 0

    1.2. NOTION DEXCLUSIVITE.

    1.2.1. Evnements exclusifs.

    Deux vnements alatoires dune mme exprience alatoire sont dits exclusifs ou incompatibles sils ne peuvent pas se raliser simultanment.

    Si deux vnements alatoires A et B sont exclusifs alors :

    p(A ou B) = p(A) + p(B) et p(A et B) = 0

    Si deux vnements alatoires A et B ne sont pas exclusifs alors :

    p(A ou B) = p(A) + p(B) p(A et B)

    1.2.2. Evnements mutuellement exclusifs.

    Plusieurs vnements alatoires associs une mme exprience alatoire sont dits mutuellement exclusifs ou mutuellement incompatibles sils sont exclusifs deux deux.

    Si k vnements A1, A2, , Ak sont mutuellement exclusifs alors :

    p(A1 ou A2 ou ou Ak) = p(A1) + p(A2) + + p(Ak)

    Si trois vnements alatoires A, B, et C ne sont pas mutuellement exclusifs alors :

    p(A ou B ou C) = p(A) + p(B) + p(C) p(A et B) p(A et C) p(B et C) + p(A et B et C)

    1.2.3. Evnements complmentaires.

    Plusieurs vnements alatoires associs une mme exprience alatoire sont dits totalement exclusifs ou complmentaires sils sont exclusifs deux deux et si lun deux doit ncessairement se raliser.

    Si k vnements A1, A2, , Ak sont complmentaires alors :

    p(A1 ou A2 ou ou Ak) = p(A1) + p(A2) + + p(Ak) = 1

  • Probabilits. 10. Probabilits

    11

    1.3. NOTION DINDEPENDANCE.

    1.3.1. Probabilit conditionnelle.

    Considrons le cas de plusieurs expriences alatoires simultanes ou successives.

    Soient deux vnements alatoires A et B non ncessairement exclusifs. La probabilit conditionnelle de lvnement A sous la condition B, est la probabilit de ralisation de lvnement A, lors dune exprience, sachant que lvnement B est dj ralis, lors dune exprience simultane ou antrieure. Elle est dsigne par :

    )B(pB)et p(A )B/A(p =

    Soient deux vnements alatoires A et B non ncessairement exclusifs. La probabilit conditionnelle de lvnement B sous la condition A, est la probabilit de ralisation de lvnement B, lors dune exprience, sachant que lvnement A est dj ralis, lors dune exprience simultane ou antrieure. Elle est dsigne par :

    )A(pB)et p(A )A/B(p =

    Cette dfinition conduit la formule de probabilit compose :

    P(A et B) = p(A) p(B/A) = p(B) p(A/B)

    On peut gnraliser cette formule plusieurs vnements. Ainsi pour trois vnements A, B, et C :

    P(A et B et C) = p(A) p(B/A) p(C/A et B)

    1.3.2. Evnements indpendants.

    Deux vnements A et B sont indpendants si la probabilit de voir se raliser lvnement A ne dpend pas de la ralisation ou de la non ralisation de lvnement B. La probabilit de voir se raliser lvnement B ne dpend pas de la ralisation ou de la non ralisation de lvnement A.

    p(A) = p(A/B) = p(A/non B)

    p(B) = p(B/A) = p(B/non A)

    Deux vnements A et B sont donc indpendants si :

    p(A et B) = p(A) p(B)

  • Probabilits. 10. Probabilits

    12

    Plusieurs vnements A1, A2, , Ak sont indpendants si :

    p(A1 et A2 et et Ak) = p(A1) p(A2) p(Ak)

    L'indpendance de plusieurs vnements deux deux n'entrane pas ncessairement l'indpendance de l'ensemble des vnements.

    1.4. THEOREME DE BAYSE.

    Soient E1, E2, , Ek, une srie de k vnements alatoires totalement exclusifs. chacun de ces vnements correspond une information initiale qui permet dvaluer priori les probabilits p(E1), p(E2), , p(Ek).

    p(E1) + p(E2) + + p(Ek) = 1

    Soit A un vnement quelconque pour lequel on connat priori les probabilits conditi