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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOI ´ AS (UFG) INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA E ESTAT ´ ISTICA CURSO DE ESTAT ´ ISTICA PROBABILIDADE: VETORES ALEAT ´ ORIOS E TEOREMAS LIMITE VALDIVINO VARGAS J ´ UNIOR GOI ˆ ANIA, 2015

PROBABILIDADE: VETORES ALEATORIOS E TEOREMAS LIMITE

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CURSO DE ESTATISTICA
1.2 Variaveis Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Funcao Caracterstica e Funcao Geradora de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Vetores Aleatorios 13
3.3 Vetores Aleatorios Mistos e Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Vetores Aleatorios Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Vetores Aleatorios Contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Independencia de Variaveis Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Funcoes de Variaveis Aleatorias 28
4.1 Funcoes de Variaveis Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Metodo do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Esperanca de Funcoes de Vetores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Funcao Geradora Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Distribuicoes Condicionais- Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
6 Desigualdades Probabilsticas 55
8 Lei dos Grandes Numeros 64
8.1 Lei Fraca e Lei Forte Forte para v.a.i.i.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2 Lei Fraca e Lei Forte Forte - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 Teorema Central do Limite 67
Captulo 1
Revisao Basica
1.1 Conceitos Basicos de Probabilidade
Definicao 1.1.1. Um modelo probabilstico e uma tripla (,F ,P) onde e o espaco amostral que
consiste dos possveis resultados do experimento, F e uma classe de eventos aleatorios e P e uma
probabilidade. A classe de eventos aleatorios F e uma classe de subconjuntos de satisfazendo:
1. ∈ F ;
3. Se An ∈ F para n = 1, 2, ... entao
∞∪ n=1
An ∈ F .
Definicao 1.1.2. Uma Probabilidade e uma funcao P(.) a valores reais definida em uma classe F de
eventos aleatorios de um espaco amostral , tal que
(A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ∈ F ,
(A2) P() = 1,
(A3) Aditividade enumeravel: para qualquer sequencia A1, A2, ... ∈ F de eventos dois a dois disjuntos:
P
P(Ai).
Definicao 1.1.3. A tripla (,F ,P) e chamada espaco de probabilidade.
Definicao 1.1.4. Seja um espaco amostral equiprovavel, entao
P(A) = |A| ||
, para todo A ∈ F .
Observacao 1.1.1. No caso de finito ou infinito enumeravel, podemos definir a probabilidade na
classe F de todos os subconjuntos de , a qual e usualmente denotada por 2 ou P () (conjunto das
5
partes de ). Neste caso, escrevendo = {ω1, ω2, ...}, associamos a cada ωi, i = 1, 2, ..., um numero
p(ωi) tal que p(ωi) ≥ 0 e ∑∞
i=1 p(ωi) = 1. Para i = 1, 2, ..., p(ωi) e a probabilidade do evento simples
ωi. A probabilidade de um evento A ∈ F e definida por:
P(A) = ∑ ωi∈A
p(ωi).
Definicao 1.1.5. Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade. Sejam A ∈ F e B ∈ F dois eventos
aleatorios tais que P(B) > 0. A probabilidade condicional de A dado que B ocorreu e dada por:
P(A|B) = P(A ∩B)
P(B) .
Teorema 1.1.1. (Teorema da Multiplicacao) Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade. Sejam
A1, A2, . . . , An eventos aleatorios em F tais que P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1) > 0. Entao
P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1 ∩A2) . . .P(An|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1).
Teorema 1.1.2. (Teorema da Multiplicacao Condicional) Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade.
Sejam B,A1, A2, . . . , An eventos aleatorios em F tais que P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An−1) > 0. Entao
P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|B) = P(A1|B).P(A2|A1 ∩B).P(A3|A1 ∩A2 ∩B) . . .P(An|A1 ∩ . . . ∩An−1 ∩B).
Definicao 1.1.6. Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade. Os eventos aleatorios A1, A2, . . . , An
em F sao ditos independentes se e somente se:
P(Ai1 ∩Ai2 ∩ · · · ∩Aik) = P(Ai1).P(Ai2). · · ·P(Aik)
para todo k = 2, 3, 4, · · ·n com ij ∈ {1, 2, 3, · · · , n} para j = 1, 2, · · · k.
Teorema 1.1.3. (Formula da Probabilidade Total) Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade e I um
conjunto enumeravel de ndices. Suponha que os eventos aleatorios Bi, i ∈ I formem uma particao do
espaco amostral , isto e
i)Bi ∩Bj = ∅, ∀i = j;
P(A) = ∑ i∈I
P(A|Bi).P(Bi).
Teorema 1.1.4. (Formula de Bayes) Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade e I um conjunto
enumeravel de ndices. Suponha que os eventos aleatorios Bi, i ∈ I formem uma particao do espaco
amostral . Dado um evento aleatorio A ∈ F temos para todo j ∈ I:
P(Bj |A) = P(A|Bj).P(Bj)∑ i∈I P(A|Bi).P(Bi)
.
Teorema 1.1.5. (Continuidade da Probabilidade) Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade e {An}
uma sequencia de eventos aleatorios em F tal que An ⊂ An+1 para todo n. Se A = limn→∞ An entao
P(A) = lim n→∞
P(An).
De forma analoga, se {An} e uma sequencia de eventos aleatorios em F tal que An+1 ⊂ An para todo
n e A = limn→∞ An entao
P(A) = lim n→∞
1.2 Variaveis Aleatorias
Definicao 1.2.1. Uma variavel aleatoria X em um espaco de probabilidade (,F ,P) e uma funcao
a valores reais definida em , tal que
{X ≤ x} = {ω ∈ : X(ω) ≤ x} ∈ F ;
Definicao 1.2.2. A funcao de distribuicao acumulada de uma variavel X e a funcao F = Fx definida
por
F (x) = P(X ≤ x) = P(ω ∈ : X(ω) ≤ x), x ∈ R.
Propriedades fundamentais de uma funcao de distribuicao:
(F1) F e uma funcao nao-decrescente: x < y, entao F (x) ≤ F (y).
(F2) F e contnua a direita: se xn ↓ x, entao F (xn) ↓ F (x).
(F3) Se xn ↓ −∞, entao F (xn) ↓ 0; se xn ↓ +∞, entao F (xn) ↓ 1.
Observacao 1.2.1. Uma funcao F : R → R que satisfaz (F1), (F2) e (F3) e a funcao de distribuicao
de alguma variavel aleatoria X.
Definicao 1.2.3. Seja X uma variavel aleatoria discreta. A funcao p(x) = P(X = x) e chamada
funcao de probabilidade de X.
Definicao 1.2.4. Seja X uma variavel aleatoria contnua. Entao, existe uma funcao f(x) ≥ 0 tal
que
−∞ f(t)dt, ∀x ∈ R.
A funcao f(x) e chamada funcao de densidade de probabilidade de X.
Observacao 1.2.2. Temos que
i) Se f(x) e densidade de probabilidade de X, entao∫ +∞
−∞ f(t)dt = 1.
ii) Se f(x) e densidade de probabilidade de X, entao
P(a ≤ X ≤ b) =
Definicao 1.3.1. A esperanca (media, valor esperado) de uma variavel aleatoria X e definida por
µX = E(X) = ∑ x
µX = E(X) =
−∞ xf(x)dx, se X e contnua com densidade f.
Observacao 1.3.1. A esperanca esta definida somente quando a soma (integral) e bem definida.
Teorema 1.3.1. Seja X uma variavel aleatoria e h(X) uma funcao de X. Entao
E(h(X)) = ∑ x
E(h(X)) =
−∞ h(x)f(x)dx, se X e contnua.
Definicao 1.3.2. A variancia de uma variavel aleatoria X integravel com esperanca µ e dada por
V ar(X) = ∑ x
V ar(X) =
Proposicao 1.3.1.
V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = E(X2)− µ2.
Definicao 1.3.3. Dizemos que a variavel aleatoria X e integravel se E(X) e finita. Isto e equivalente
a que E(|X|) ≤ ∞.
2.1 Funcao Geradora de Momentos
Definicao 2.1.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao geradora de momentos de X e uma funcao
M : R → R definida por:
M(t) = E(etX), para todo t tal que |E(etX)| < ∞.
Se X e discreta
−∞ etxf(x)dx,
Teorema 2.1.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao geradora de momentos de X satisfaz:
1.
MaX+b(t) = etbMX(at);
3. A funcao geradora de momentos determina a distribuicao. Isso significa que se X e Y sao
variaveis aleatorias tais que MX(t) = MY (t) para |t| < c, onde c > 0 e uma constante, entao
FX(x) = FY (x) para todo x real;
4.
9
Exemplo 2.1.1. Seja X uma variavel aleatoria contnua com densidade
f(x) = 1
b) Calcule Var(X).
a) Encontre a funcao geradora de momentos de X.
b) Calcule P (X = 0) e P (X = 1).
Exerccio 2.1.1. Obtenha a funcao geradora de momentos de X, a media de X e a variancia de X
quando X tiver distribuicao:
b) Geometrica com parametro p.
c) Exponencial com parametro λ.
d) Gama com parametros α e λ.
e) Poisson com parametro λ.
f) Normal com parametros µ e σ2.
2.2 Funcao Caracterstica e Funcao Geradora de Probabili-
dade
Definicao 2.2.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao caracterstica de X e uma funcao φ :
R → C definida por:
φ(t) = E(eitX), t ∈ R.
Se X e discreta
−∞ eitxf(x)dx,
Teorema 2.2.1. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao caracterstica de X satisfaz:
1. |φ(t)| ≤ 1;
2. φ(0) = 1;
φaX+b(t) = etbφX(at);
4. A funcao caracterstica determina a distribuicao. Isso significa que se X e Y sao variaveis
aleatorias tais que φX(t) = φY (t) para todo t real, entao FX(x) = FY (x) para todo x real;
5. Se E(|X|n) < ∞ entao φ possui n derivadas contnuas e
φ (k) X (t) =
x
Em particular,
φ (k) X (0) = ikE(Xk).
Exerccio 2.2.1. Obtenha a funcao caracterstica de X, a media de X e a variancia de X quando
X tiver distribuicao:
b) Geometrica com parametro p.
c) Exponencial com parametro λ.
d) Gama com parametros α e λ.
e) Poisson com parametro λ.
f) Normal com parametros µ e σ2.
Definicao 2.2.2. Seja X uma variavel aleatoria discreta assumindo apenas valores inteiros. A funcao
geradora de probabilidade de X e uma funcao G : [−1; 1] → R definida por:
G(s) = E(sX) = ∑ k
skP(X = k), para todo s ∈ [−1; 1].
Teorema 2.2.2. Seja X uma variavel aleatoria discreta assumindo apenas valores inteiros. A funcao
geradora de probabilidade de X satisfaz:
1. Para a e b reais,
GaX+b(s) = esbGX(as);
3. A funcao geradora de probabilidade determina a distribuicao. Isso significa que se X e Y sao
variaveis aleatorias tais que Gs(t) = GY (s) para s ∈ [−1; 1] entao pX(x) = pY (x) para todo x
real;
∞∑ n=k
n!P(X = n)
s↑1
∞∑ n=k
n!P(X = n)
X(1);
n! .
Exemplo 2.2.1. Obtenha a funcao geradora de probabilidade de X, a media de X e a variancia de
X quando X tiver distribuicao Poisson com parametro λ.
Exemplo 2.2.2. Seja X uma variavel aleatoria com funcao geradora de probabilidade
f(s) = 1− b
1− c − bs
a) A media de X.
b) A variancia de X.
c) A distribuicao de X.
Exerccio 2.2.2. Obtenha a funcao geradora de probabilidade de X, a media de X e a variancia de
X quando X tiver distribuicao:
a) Binomial com parametros n e p.
b) Geometrica com parametro p.
c) Bernoulli com parametro p.
d) Pascal com parametros r e p.
Captulo 3
Vetores Aleatorios
Definicao 3.1.1. Vetor Aleatorio
Um vetor (X1, X2, · · · , Xn) onde Xi e variavel aleatoria para todo i = 1, 2, · · · , n e chamado vetor
aleatorio.
Exemplo 3.1.1. Suponha que jogamos uma moeda tres vezes formando uma sequencias de caras e
coroas. Forme um vetor aleatorio mapeando cada possvel resultado na sequencia em 0 se for cara e
1 se for coroa. Quantas realizacoes do vetor podem ser geradas? Liste elas.
Definicao 3.1.2. Vetor Aleatorio Discreto
Um vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn) e discreto caso todas as variaveis aleatorias Xi, i = 1, 2, · · · , n
sejam discretas.
Definicao 3.1.3. Vetor Aleatorio Contnuo
Um vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn) e contnuo caso todas as variaveis aleatorias Xi, i = 1, 2, · · · , n
−∞ · · · ∫ ∞
para distribuir probabilidade para o vetor em questao.
Observacao 3.1.1. Se n = 2 temos um vetor aleatorio bivariado. No restante da secao consideramos
o caso onde n = 2.
Definicao 3.1.4. Funcao de Distribuicao Acumulada Conjunta
Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao
FX;Y (x; y) = P(X ≤ x;Y ≤ y)
13
e chamada funcao de distribuicao acumulada conjunta do vetor aleatorio (X;Y ) .
Definicao 3.1.5. Funcao de Distribuicao Marginal
Seja (X,Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao
FX(x) = P(X ≤ x)
e chamada funcao de distribuicao marginal de X. Analogamente, a funcao
FY (y) = P(Y ≤ y)
Definicao 3.1.6. Funcao de Probabilidade Conjunta
Seja (X,Y ) um vetor aleatorio discreto bivariado. A funcao
pX;Y (x; y) = P(X = x;Y = y)
e chamada funcao de probabilidade conjunta.
Definicao 3.1.7. Funcao de Probabilidade Marginal
Seja (X,Y ) um vetor aleatorio discreto bivariado. A funcao
pX(x) = ∑ y
pX;Y (x; y)
e chamada funcao de probabilidade marginal de X. Analogamente, a funcao
pY (y) = ∑ x
pX;Y (x; y)
e chamada funcao de probabilidade marginal de Y .
Proposicao 3.1.1. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio discreto bivariado. Para todo B ∈ B2 , vale
P((X,Y ) ∈ B) = ∑
(x,y)∈B
pX;Y (x; y).
Exemplo 3.1.2. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma
urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,
o numero de bolas verdes e vermelhas extradas, determine:
a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .
b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .
c) P(X = 1;Y ≤ 1).
Exemplo 3.1.3. Suponha que 2 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas ver-
des, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos a primira extracao a bola retirada e devolvida
junto com 5 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas verdes e
vermelhas extradas, determine:
a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .
b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .
c) A funcao de distribuicao acumulada do vetor (X,Y ).
d) As funcoes de distribuicao marginais de X e Y .
Exerccio 3.1.1. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e com reposicao de uma
urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,
o numero de bolas verdes e vermelhas extradas, determine:
a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .
b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .
c) P(X = 1;Y ≤ 1).
Exerccio 3.1.2. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma
urna contendo 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas verdes. Se X e Y representam respectiva-
mente, o numero de bolas vermelhas e brancas escolhidas, determine:
a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .
b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .
c) A funcao de distribuicao acumulada conjunta de (X,Y ).
d) P(X ≥ 1;Y ≤ 1).
Exerccio 3.1.3. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e
dada por
0 caso contrario.
a) Obtenha k.
b) Obtenha as funcoes de probabilidade marginal de X e Y .
c) A funcao de distribuicao acumulada do vetor (X,Y ).
d) As funcoes de distribuicao marginais de X e Y .
Exerccio 3.1.4. Suponha que uma urna contenha 6 bolas enumeradas 1,2,3,4,5 e 6. Duas bolas sao
retiradas ao acaso e sem reposicao. Seja X o numero da primeira bola e Y o da segunda bola. Qual
a distribuicao conjunta de X e Y ?
Exerccio 3.1.5. Suponha que 15% das famlias de certa comunidade nao tenham filhos, 20% tenham
1 filho, 35% tenham 2 filhos e 30% tenham 3. Suponha tambem que, em cada famlia, cada filho tenha
a mesma probabilidade (independente) de ser menino ou menina. Suponha que uma famlia dessa
comunidade e escolhida aleatoriamente, Seja B, o numero de meninos, e G, o numero de meninas
nesta famlia. Obtenha:
a) A funcao de probabilidade conjunta do vetor (B, V ).
b) As funcoes de probabilidade marginais de B e de V .
c) As funcoes de distribuicao marginais de B e de V .
Exerccio 3.1.6. Dois dados honestos sao rolados. Determine a funcao de probabilidade conjunta de
X e Y quando:
(a) X e o maior valor obtido em um dado e Y e a soma dos valores;
(b) X e o valor no primeiro dado e Y e o maior dos dois valores;
(c) X e o menor e Y e o maior valor obtido com os dados.
Exerccio 3.1.7. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas sem reposicao de uma urna consistindo em 5
bolas brancas e 8 bolas verdes. Considere Xi = l caso a i-esima bola selecionada seja branca e Xi = O
caso contrario. De a funcao de probabilidade conjunta de
(a) (Xl, X2);
(b) X1, X2, X3).
Exerccio 3.1.8. Sabe-se que um cesto com 5 transistores contem 2 com defeito. Os transistores
devem ser testados, um de cada vez, ate que os defeituosos sejam identificados. Suponha que N1,
represente o numero de testes feitos ate que o primeiro transistor defeituoso seja identificado e N2 o
numero de testes adicionais feitos ate que o segundo transistor defeituoso seja identificado. Determine
a funcao de probabilidade conjunta de N1 e N2.
Exerccio 3.1.9. Considere uma sequencia de tentativas de Bernoulli independentes, cada uma com
probabilidade de sucesso p. Sejam X1, o numero de fracassos precedendo o primeiro sucesso e X2, o
numero de fracassos entre os dois primeiros sucessos. Determine a funcao de probabilidade conjunta
de X1, e X2.
3.2 Vetores Aleatorios Contnuos Bivariados
Definicao 3.2.1. Funcao Densidade Conjunta
Seja (X;Y ) um vetor aleatorio contnuo bivariado. A funcao densidade de probabilidade conjunta,
denotada por fX;Y (xx, y) e definida como a segunda derivada da funcao de distribuicao acumulada
conjunta onde ela existe. Ou seja,
fX;Y (x, y) = ∂2FX;Y (x; y)
∂x∂y
FX;Y (x; y) = P(X ≤ x;Y ≤ y).
Proposicao 3.2.1. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio contnuo bivariado. Para todo B ∈ B2 , vale
P((X,Y ) ∈ B) =
Seja (X;Y ) um vetor aleatorio contnuo bivariado. A funcao
FX(x) = lim y→∞
FX,Y (x, y)
FY (y) = lim x→∞
Definicao 3.2.3. Funcao Densidade Marginal
Seja (X;Y ) um vetor aleatorio contnuo bivariado. A funcao
fX(x) =
e chamada funcao densidade marginal de X. Analogamente, a funcao
fY (y) =
e chamada funcao densidade marginal de Y .
Exemplo 3.2.1. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Obtenha k.
c) Calcule P ( X + Y < 1
2
) .
Exemplo 3.2.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Calcule k.
b) Calcule P(X + Y < 1).
c) Obtenha a funcao de distribuicao acumulada de X e Y .
d) Obtenha cada uma das marginais de X e de Y .
Exemplo 3.2.3. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
b) P(X < y).
c) P(X < a).
Exerccio 3.2.1. Dois componentes eletronicos do sistema de um mssil funcionam em harmonia para
o sucesso total do sistema. Considere X e Y a vida, em horas, dos dois componentes. A densidade
conjunta de X e Y e:
fX,Y (x, y) =
3 80 (x
0, caso contrario.
a) De as funcoes de densidade marginal para as duas variaveis aleatorias.
b) Calcule a probabilidade da vida de pelo menos um desses componentes exceder uma hora.
Exerccio 3.2.2. Suponha que nos selecionaremos um ponto ao acaso de dentro de um crculo com
raio R. Suponha que o centro do crculo denote a origem e defina X e Y como as coordenadas dos
pontos escolhidos. Entao (X,Y ) e uma variavel aleatoria bivariada com densidade conjunta dada por
fX,Y (x, y) =
a) Determine k.
b) Encontre as densidades marginais de X e Y .
c) Encontre a probabilidade de que D, a distancia da origem ao ponto selecionado nao seja maior que
a.
Exerccio 3.2.3. Seja (X,Y ) uma variavel aleatoria bivariada com densidade conjunta
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
Obtenha a densidade marginal de X.
Exerccio 3.2.4. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Determine c.
b) Determine as densidades marginais de X e de Y .
c) Determine a media de X.
Exerccio 3.2.5. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.
b) Determine as densidades marginais de X e de Y .
c) Determine a media de X.
d) Calcule P(X > Y ).
Observacao 3.3.1. Funcao Mista de Probabilidade Conjunta
Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e discreta e Y contnua. Nesse caso, o compor-
tamento probabilstico conjunto das variaveis e dado pela funcao mista de probabilidade conjunta
fX,Y (x, y).
Exemplo 3.3.1. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e discreta e Y contnua. Suponha
que a funcao mista de probabilidade conjunta de X,Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Calcule k.
c) Obtenha a densidade de probabilidade da variavel de Y .
d) Calcule P(X ≤ 2, 0 ≤ Y ≤ 0.5).
e) Calcule a funcao de distribuicao acumulada de X,Y .
Exerccio 3.3.1. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e discreta e Y contnua. Suponha
que a funcao mista de probabilidade conjunta de X,Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Calcule k.
c) Obtenha a densidade de probabilidade da variavel de Y .
d) Calcule P(X ≥ 2, Y ≥ 0.5).
e) Calcule a funcao de distribuicao acumulada de X,Y .
Observacao 3.3.2. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado onde X e Y sao contnuas. Nem sempre
existe uma densidade conjunta para o vetor (X,Y ). Neste caso, temos uma distribuicao singular.
Exemplo 3.3.2. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio uniformente distribudo em G = {(x, y) ∈ [0, 1] ×
[0, 1], x = y}.
a) Quem sao as densidades marginais de X e de Y .
b) Existe uma densidade conjunta fX,Y (x, y) ? Isto e, existe fX,Y (x, y) tal que∫ G
∫ fX,Y (x, y)dxdy = 1?
d) Calcule P ( 0 ≤ X ≤ 1
3 , 1
) .
e) Como seria uma formula para o calculo de P(X,Y ) ∈ B) onde B e um boreliano plano?
Exerccio 3.3.2. Seja (X,Y ) um vetor aleatorio uniformente distribudo em G = {(x, y) ∈ [1, 2] ×
[1, 2], x = y}.
a) Quem sao as densidades marginais de X e de Y .
b) Existe uma densidade conjunta fX,Y (x, y) ? Isto e, existe fX,Y (x, y) tal que∫ G
∫ fX,Y (x, y)dxdy = 1?
d) Calcule P ( 4
) .
e) Como seria uma formula para o calculo de P(X,Y ) ∈ B) onde B e um boreliano plano?
3.4 Vetores Aleatorios Discretos
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio. A funcao
FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) = P(X1 ≤ x1;X2 ≤ x2; · · · ;Xn ≤ xn)
e chamada funcao de distribuicao acumulada conjunta do vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn) .
Observacao 3.4.1. A Funcao de Distribuicao Acumulada Conjunta satisfaz:
1. FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) e nao-decrescente em cada variavel. Por exemplo, e nao-decrescente
em X1 ou seja, se x < y
FX1;X2;··· ;Xn(x;x2; · · · ;xn) ≤ FX1;X2;··· ;Xn(y;x2; · · · ;xn);
2. FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) e contnua a direita em cada variavel. Por exemplo, e contnua a
direita em X1, ou seja, se ym ↓ x1
FX1;X2;··· ;Xn(ym;x2; · · · ;xn) ↓ FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn);
3. ∀i,
lim xi→−∞
e
4. FX1;X2;··· ,Xi,··· ;Xn(x1;x2; · · · , xi · · · ;xn) deve ser tal que
P(a1 < X1 ≤ b1, · · · , an < Xn ≤ bn) ≥ 0,
para toda escolha possvel de a1, b1, · · · , an, bn.
Exerccio 3.4.1. Demonstre que a funcao
F (x, y) =
0 caso contrario.
Definicao 3.4.2. Funcao de Probabilidade Conjunta
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. A funcao
pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) = P(X1 = x1;X2 = x2; · · · ;Xn = xn)
e chamada funcao de probabilidade conjunta.
Definicao 3.4.3. Funcao de Probabilidade Marginal
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto , I = {i1, · · · , in}, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n e
J = {j1, · · · , jn−k}, 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jn−k ≤ n dois conjuntos de ndices com I ∩ J = ∅. A funcao
pXi1 ;··· ;Xik
e chamada funcao de probabilidade marginal de (Xi1 , Xi2 , · · · , Xik).
Proposicao 3.4.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. Para todo B ∈ Bn , vale
P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) = ∑
(x1,x2,··· ,xn)∈B
pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn).
Exemplo 3.4.1. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z)
e dada por
pX,Y,Z(x, y, z) =
k(2x+ 3y + 5z) x = 1, 2 , y = 1, 2 e z = 1 , 2.
0 caso contrario.
a) Obtenha k.
b) Obtenha a funcao de probabilidade marginal conjunta de X e Y .
Exemplo 3.4.2. Considere o experimento retirar tres bolas uma a uma ao acaso e sem reposicao de
uma urna contendo 6 bolas verdes, 3 bolas vermelhas, 2 bolas pretas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis.
Seja (X1, X2, X3, X4, X5) o vetor aleatorio de cinco dimensoes onde X1 e o numero de bolas verdes
retiradas, X2 e o numero de bolas vermelhas retiradas, X3 e o numero de bolas pretas retiradas, X4
e o numero de bolas brancas retiradas e X5 e o numero de bolas azuis retiradas.
a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3, X4, X5)?
b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2, X3, X4, X5.
c) Calcule P(X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0).
Exemplo 3.4.3. Considere o experimento retirar dez bolas uma a uma ao acaso e com reposicao de
uma urna contendo 6 bolas verdes, 3 bolas vermelhas, 2 bolas pretas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis.
Seja (X1, X2, X3, X4, X5) o vetor aleatorio de cinco dimensoes onde X1 e o numero de bolas verdes
retiradas, X2 e o numero de bolas vermelhas retiradas, X3 e o numero de bolas pretas retiradas, X4
e o numero de bolas brancas retiradas e X5 e o numero de bolas azuis retiradas.
a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3, X4, X5)?
b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2, X3, X4, X5.
c) Calcule P(X1 = 5, X2 = 1, X3 = 2).
Exerccio 3.4.2. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas, 3 bolas pretas, 3 bolas azuis,
2 bolas brancas e 3 bolas amarelas. Considere o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao
acaso e sem reposicao. Sejam X1, X2, X3, X4, X5 e X6 o numero de bolas verdes, vermelhas, pretas,
azuis, brancas e amarelas retiradas, respectivamente.
a) Quais sao os possveis valores para o vetor aleatorio X1, X2, X3, X4, X5, X6 ?
b) Calcule P(X1 = 2, X2 = 2, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 0, X6 = 1).
c) Calcule P(X1 = 2).
Exerccio 3.4.3. O proprietario de uma loja de televisores imagina que 45 % dos clientes que entram
em sua loja comprarao um televisor comum, 15% comprarao um televisor de plasma e 40% estarao
apenas dando uma olhada. Se 5 clientes entrarem nesta loja em um dia, qual e a probabilidade de que
ele venda exatamente 2 televisores comuns e 1 de plasma naquele mesmo dia?
Exerccio 3.4.4. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas e 3 bolas amarelas. Considere
o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao acaso e sem reposicao. Sejam X1, X2 e X3 o
numero de bolas verdes, vermelhas e amarelas retiradas, respectivamente.
a) a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3)?
b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2 e de X1, X3 .
c) Calcule P(X1 = 2, X2 = 1, X3 = 2).
d) Calcule P(X1 = 2).
Exerccio 3.4.5. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas e 3 bolas amarelas. Considere
o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2 e X3 o
numero de bolas verdes, vermelhas e amarelas retiradas, respectivamente.
a) a) Qual a distribuicao de (X1, X2, X3)?
b) Encontre as funcoes de probabilidade marginais de X1, X2 e de X1, X3 .
c) Calcule P(X1 = 2, X2 = 1, X3 = 2).
d) Calcule P(X1 = 2).
3.5 Vetores Aleatorios Contnuos
Definicao 3.5.1. Funcao Densidade Conjunta
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. A funcao densidade de probabilidade conjunta,
denotada por fX1;X2;··· ;xn(x1;x2; · · · ;xn) e definida como a n-esima derivada da funcao de distribuicao
acumulada conjunta onde ela existe. Ou seja,
fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) = ∂nFX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)
∂x1∂x2 · · · ∂xn
Definicao 3.5.2. Funcao de Distribuicao Marginal
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. , I = {i1, · · · , ik}, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n e
J = {j1, · · · , jn−k}, 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jn−k ≤ n dois conjuntos de ndices com I ∩ J = ∅. A funcao
FXi1 ;··· ;Xik (xi1 ; · · · ;xik) = lim
∀xj ,j∈J FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)
e chamada funcao de distribuicao marginal de (Xi1 , Xi2 , · · · , Xik).
Definicao 3.5.3. Funcao Densidade Marginal
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. , I = {i1, · · · , ik}, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n e
J = {j1, · · · , jn−k}, 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jn−k ≤ n dois conjuntos de ndices com I ∩ J = ∅. A funcao
fXi1 ;··· ;Xik (xi1 ; · · · ;xik) =
e chamada funcao de probabilidade marginal de (Xi1 , Xi2 , · · · , Xik).
Proposicao 3.5.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. Para todo B ∈ Bn , vale
P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =
fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn)dx1 · · · dxn.
Exemplo 3.5.1. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z) e dada por
fX,Y,Z(x, y, z) =
ke−(ax+by+cz) x > 0 e y > 0 e z > 0
0 caso contrario.
onde a, b e c sao constantes positivas e k e uma constante.
a) Obtenha k.
b) Obtenha as densidades marginais de X , Y e Z.
c) Obtenha a densidade marginal conjunta de X e Y .
Exerccio 3.5.1. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z) e dada por
fX,Y,Z(x, y, z) =
e−(x+y+z) x > 0 e y > 0 e z > 0
0 caso contrario.
a) Obtenha as densidades marginais de X , Y e Z.
b) Obtenha a densidade marginal conjunta de X e Y .
c) Calcule P(X > Y ).
d) Calcule P(Y + Z > 2).
Exerccio 3.5.2. Se o primeiro resultado obtido em um jogo de dados resultar na soma dos dados ser
igual a 4, entao o jogador continua a jogar os dados ate que a soma de 4 ou 7. Se a soma der 4, entao
o jogador vence; se der 7, ele perde. Suponha que N represente o numero de jogadas necessarias ate
que a soma seja 7 ou 4, e que X represente o valor (4 ou 7) da jogada final. N e independente de X?
3.6 Independencia de Variaveis Aleatorias
Definicao 3.6.1. Independencia de Variaveis Aleatorias
Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio. As variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao ditas indepen-
dentes se para quaisquer conjuntos Ai ⊂ R (boreliano), i = 1, 2, · · · , n vale
P(X1 ∈ A1;X2 ∈ A2; · · · ;Xn ∈ An) =
n∏ i=1
FX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =
n∏ i=1
FXi(xi).
Reciprocamente, se existem funcoes F1, · · · , Fn tais que para todo i
lim x→∞
Fi(x) = 1
Fi(xi)
para todo escolha de (x1, · · · , xn) ∈ Rn entao as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes
e FXi = Fi, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Proposicao 3.6.2. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. As variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn
sao ditas independentes se para toda escolha de (x1; · · · ;xn)
pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =
n∏ i=1
pXi(xi).
Exemplo 3.6.1. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e
dada por
pX,Y (x, y) =
1 18 (2x+ y) x = 1, 2 e y = 1, 2.
0 caso contrario.
Verifique se X e Y sao independentes.
Exerccio 3.6.1. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas de uma urna contendo 3 bolas vermelhas, 4
bolas brancas e 5 bolas verdes. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas vermelhas
e brancas escolhidas, determine:
a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .
b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .
c) Se X e Y sao independentes.
Exemplo 3.6.2. Considere um experimento que consiste em lancar duas moedas tres vezes. A moeda
A e honesta, porem a moeda B nao (esta tem P(cara) = 1 4 e P(coroa) = 3
4). Considere uma variavel
aleatoria bivariada (X,Y), onde X denota o numero de caras obtidas da moeda A e Y o numero de
caras obtidas da moeda B.
a) Quais os possveis valores de (X,Y)?
b) Encontre a funcao de probabilidade conjunta de (X,Y).
c) Encontre P(X=Y), P(X > Y) e P(X + Y ≤ 4).
Exerccio 3.6.2. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma
urna contendo 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas verdes. Sejam X e Y respectivamente, o
numero de bolas vermelhas e brancas escolhidas. Verifique se X e Y sao independentes.
Proposicao 3.6.3. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. Se X1, X2, · · · , Xn sao in-
dependentes com densidades fX1 , · · · , fXn entao
fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) = n∏
fXi(xi).
e a densidade conjunta de (X1, X2, · · · , Xn). Reciprocamente, se existem funcoes f1, · · · , fn tais que
para todo i
fi(xi)
para todo escolha de (x1, · · · , xn) ∈ Rn entao as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes
e fXi = fi,∀i = 1, 2, · · · , n.
Proposicao 3.6.4. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. As variaveis aleatorias
X1, X2, · · · , Xn sao ditas independentes se para quase toda escolha de (x1; · · · ;xn)
fX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn) =
n∏ i=1
fXi(xi).
A condicao pode falhar num conjunto de medida de Lebesgue nula.
Exemplo 3.6.3. Seja (X,Y, Z) uma variavel aleatoria trivariada, onde X,Y e Z sao variaveis
aleatorias independentes cada uma com distribuicao uniforme sobre (0,1). Calcule P(Z ≥ XY).
Exemplo 3.6.4. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
Exerccio 3.6.3. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por
fX,Y (x, y) =
3 80 (x
0, caso contrario.
Exerccio 3.6.4. A densidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
Verifique se X e Y sao independentes.
Exerccio 3.6.5. Um homem e uma mulher decidem se encontrar em certo lugar. Se cada um deles
chega independentemente em um tempo uniformemente distribudo entre 12:00 e 13:00, determine a
probabilidade de que o primeiro a chegar tenha que esperar mais de 10 minutos.
Captulo 4
4.1 Funcoes de Variaveis Aleatorias
Proposicao 4.1.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio discreto. Para todo B ∈ Bn , vale
P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) = ∑
(x1,x2,··· ,xn)∈B
pX1;X2;··· ;Xn(x1;x2; · · · ;xn).
Proposicao 4.1.2. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo. Para todo B ∈ Bn , vale
P((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =
fX1;X2;··· ;Xn (x1;x2; · · · ;xn)dx1 · · · dxn.
Proposicao 4.1.3. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio contnuo e Y = g(X1, X2, · · · , Xn).
Defina
Entao
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X1, · · · , Xn) ≤ y) = P((X1, · · · , Xn) ∈ By) =
∫ By
fX1;··· ;Xn (x1; · · · ;xn)dx1 · · · dxn.
Exemplo 4.1.1. Considere Z = X+Y onde X e Y sao variaveis aleatorias Poisson com parametros
λ e µ, respectivamente. Qual e a distribuicao de Z?
Exerccio 4.1.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias binomiais independentes com respectivos parametros
(n, p) e (m, p). Calcule a distribuicao de X + Y .
Exemplo 4.1.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes em (,F ,P). Defina:
M = max{X1, X2, · · · , Xn} e N = min{X1, X2, · · · , Xn}.
29
a) Obtenha a distribuicao de N quando Xi ∼ exp(λ), i = 1, 2, · · · , n.
b) Obtenha E(M) quando Xi ∼ Uniforme(0; 1), i = 1, 2, · · · , n.
Exemplo 4.1.3. Suponha que 4 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma
urna contendo 2 bolas vermelhas, 1 bola branca e 7 bolas verdes. Se X e Y representam respectiva-
mente, o numero de bolas vermelhas e verdes sorteadas, determine:
a) A funcao de probabilidade conjunta de X e Y .
b) As funcoes de probabilidade marginais de X e Y .
c) A esperanca e a variancia de X e de Y .
d) Se X e Y sao independentes.
e) Defina Z = X Y (Z, a fracao entre o numero de bolas vermelhas e verdes retiradas). Calcule a
distribuicao de probabilidade, a esperanca e a variancia de Z.
Exerccio 4.1.2. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria trivariada (X,Y, Z)
e dada por
pX,Y,Z(x, y, z) =
k(2x+ 3y + 5z) x = 1, 2 , y = 1, 2 e z = 1 , 2.
0 caso contrario.
a) Obtenha k.
b) Obtenha a funcao de probabilidade marginal conjunta de X e Y .
c) Obtenha a distribuicao de probabilidade e a esperanca da variavel aleatoria W = X Y .
Exerccio 4.1.3. Suponha que n+m tentativas independentes com probabilidade comum de sucesso p
sejam realizadas. Sejam X o numero de sucessos nas primeiras n tentativas, Y o numero de sucessos
nas m tentativas finais e Z o numero total de sucessos em n+m tentativas.
a) X e Y sao independentes?
b) X e Z sao independentes?
Exemplo 4.1.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias uniformes em (0,1). Encontre a densidade de
probabilidade de Z = X + Y .
Exerccio 4.1.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias uniformes em (0,1). Encontre a densidade de
probabilidade de Z = XY .
2 ). Defina Y = tan(X)
Calcule, se existir, E(Y ).
Exerccio 4.1.5. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao expo-
nencial de parametro 1. Defina Z = X + Y e W = X Y .
a) Encontre a densidade conjunta de (Z,W ) e suas respectivas marginais.
b) Z e W sao independentes?
Exerccio 4.1.6. Sejam X e Y variaveis aleatorias normais padrao independentes. Encontre a den-
sidade de probabilidade de Z = X Y .
Exemplo 4.1.6. Uma corrente I em amperes que flui em uma resistencia de R ohms varia de acordo
com a distribuicao de probabilidade
fI(i) =
0, caso contrario.
Se a resistencia varia, independentemente da corrente de acordo com a distribuicao de probabilidade
fR(r) =
0, caso contrario.
determine a distribuicao de probabilidade para a potencia W = I2R watts.
Exerccio 4.1.7. Um time de basquete jogara uma temporada com 44 partidas. Vinte e seis dessas
partidas serao contra times da divisao A, e 18 contra times da divisao B. Suponha que o time ganhe
cada partida disputada contra um adversario da divisao A com probabilidade 0,4, e ganhe cada partida
disputada contra um adversario da divisao B com probabilidade O,7. Suponha tambem que os resulta-
dos das diferentes partidas sejam independentes. Obtenha um valor aproximado para a probabilidade
de que
(a) o time venca 25 partidas ou mais;
(b) o time venca mais partidas contra times da divisao A do que contra times da divisao B.
4.2 Metodo do Jacobiano
Proposicao 4.2.1. Seja G0 ⊂ Rn e G ⊂ Rn conjuntos abertos e g : G0 → G uma bijecao entre G0 e
G onde
g(x1, · · · , xn) = (g1(x1, · · · , xn), · · · , gn(x1, · · · , xn)) = (yi, · · · , yn).
Entao existe a funcao inversa h = g−1 em G, onde
x1 = h1(y1, · · · , yn), · · ·xn = hn(y1, · · · , yn).
Suponha que existam as derivadas parciais
∂xi
∂yj =
e que elas sejam contnuas em G. Defina o Jacobiano
J((x1, · · ·xn), (y1, · · · , yn)) =
∂yn
. Se J((x1, · · ·xn), (y1, · · · , yn)) = 0 a densidade conjunta de (Y1, · · · , Yn) e dada por
fY1,··· ,Yn(y1, · · · , yn) =
f(h1(y1, · · · , yn), · · · , hn(y1, · · · , yn))|J((x1, · · ·xn), (y1, · · · , yn))|, (y1, · · · , yn) ∈ G
0 caso contrario,
onde f(x1, · · · , xn) e a densidade conjunta do vetor (X1, · · · , Xn).
Exemplo 4.2.1. Sejam T1, T2 e T3 variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao
exponencial de parametro λ. Seja Si = T1 + · · ·+ Ti, i = 1, 2, 3.
a) Determine a densidade conjunta de S1, S2, S3.
b) Determine a densidade de S3.
Exerccio 4.2.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao expo-
nencial com parametro 1.
a) Encontre a densidade de probabilidade de Z = X + Y .
b) Encontre a densidade de probabilidade de W = XY .
c) Calcule P(1 ≤ Z ≤ 2).
d) Verifique se Z e W sao independentes.
Exerccio 4.2.2. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao uni-
formes em (0,1).
a) Encontre a densidade de probabilidade de Z = X + Y .
b) Encontre a densidade de probabilidade de W = XY .
c) Calcule P ( 3
4.3 Esperanca de Funcoes de Vetores Aleatorios
Teorema 4.3.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio e h(X1, X2, · · · , Xn) uma funcao de
(X1, X2, · · · , Xn). Entao se (X1, X2, · · · , Xn) e discreto,
E(h(X1, X2, · · · , Xn)) = ∑ x1
Por outro lado, (X1, X2, · · · , Xn) se e contnuo
E(h(X1, X2, · · · , Xn)) =
−∞ h(x1, x2, · · · , xn)f(x1, x2, · · · , xn)dx1dx2 · · · dxn.
Exemplo 4.3.1. Um acidente ocorre em um ponto X uniformemente distribudo ao longo de uma
estrada com extensao L. No momento do acidente, uma ambulancia esta no ponto Y , que tambem e
uniformemente distribudo ao longo da estrada. Supondo que X e Y sejam independentes, determine
a distancia esperada entre a ambulancia e o local do acidente.
Exerccio 4.3.1. Na fabricacao de uma peca, um eixo cilndrico, com uma secao transversal circular
deve-se encaixar num soquete circular. E sabido que as distribuicoes do diametro do eixo e do diametro
do soquete sao ambas Normais. Para o diametro do eixo a media e de 3,42 cm, com um desvio padrao
de 0,01 cm. Para o diametro de soquete, a media e 3, 47 cm, com um desvio padrao de 0,02 cm.
Suponha que, para efeitos de montagem, as componentes das pecas sao selecionadas ao acaso, e que
eles so se encaixam se a folga estiver entre 0,025 cm e 0,100 cm. Qual a probabilidade do eixo se
encaixar no soquete? Suponha independencia entre os diametros do eixo e do soquete.
Exerccio 4.3.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
Calcule E(XY )
Corolario 4.3.1. Seja (X1, X2, · · · , Xn) um vetor aleatorio. Entao se E(X1+X2+· · ·Xn) faz sentido
E
( n∑
E(Xi).
Exemplo 4.3.2. Considere uma urna contendo 50 bolas vermelhas e 150 verdes. Trinta bolas sao
retiradas da urna ao acaso e sem reposicao Calcule o numero esperado de bolas verdes retiradas.
Exerccio 4.3.3. Considere uma urna contendo 50 bolas vermelhas e 150 verdes. Trinta bolas sao
retiradas da urna ao acaso e sem reposicao Calcule o numero esperado de bolas verdes retiradas.
Exerccio 4.3.4. Suponha que N pessoas joguem os seus chapeus no centro de uma sala. Os chapeus
sao misturados e cada pessoa seleciona um deles aleatoriamente. Determine o numero esperado de
pessoas que selecionam o proprio chapeu.
Exerccio 4.3.5. Suponha que existam N diferentes tipos de cupons de desconto, e que cada vez
que alguem recolha um cupom este tenha a mesma probabilidade de ser de qualquer um dos N tipos.
Determine o numero esperado de cupons que alguem precisa acumular antes de conseguir um conjunto
completo que contenha pelo menos um de cada tipo.
Exerccio 4.3.6. Dez cacadores estao esperando uma revoada de patos. Quando aparece um bando
de patos, os cacadores atiram simultaneamente, mas cada um deles escolhe o seu alvo aleatoriamente,
independentemente dos demais. Se cada cacador atinge o seu alvo de maneira independente com
probabilidade p, calcule o numero esperado de patos que escapam ilesos quando um bando com 10
deles passa voando na frente dos cacadores.
Corolario 4.3.2. Se as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes entao
E
( n∏
E(Xi).
Exemplo 4.3.3. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais que X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(µ).
a) Calcule P(X > Y ).
b) Calcule E(X.Y ).
Exemplo 4.3.4. Uma corrente I em amperes que flui em uma resistencia de R ohms varia de acordo
com a distribuicao de probabilidade
fI(i) =
0, caso contrario.
Suponha que a resistencia varia, independentemente da corrente de acordo com a distribuicao de
probabilidade
fR(r) =
Calcule E(U), onde U = RI e a ddp associada.
Exerccio 4.3.7. Uma corrente I em amperes que flui em uma resistencia de R ohms varia de acordo
com a distribuicao de probabilidade
fI(i) =
0, caso contrario.
Se a resistencia varia, independentemente da corrente de acordo com a distribuicao de probabilidade
fR(r) =
0, caso contrario.
determine a potencia media de W = I2R watts. Isto e calcule E(W ).
4.4 Funcao Geradora Conjunta
Definicao 4.4.1. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias em um espaco de probabilidade (,F ,P)
e t1, · · · , tn numeros reais. A funcao geradora de momentos conjunta dessa variaveis e dadapo
MX1,··· ,Xn(t1, · · · , tn) = E(et1X1+···+tnXn)
desde que a esperanca seja finita para os tj tomados numa vizinhanca de zero.
Exemplo 4.4.1. Suponha que a funcao de probabilidade conjunta de X1, X2 e X3 e multinomial com
parametros n, p1, p2 e p3.
a) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2, X3).
b) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2).
c) Obtenha a funcao geradora de momentos de X1.
d) Calcule E(X1X2).
Exerccio 4.4.1. Uma urna contem 5 bolas verdes, 4 bolas vermelhas e 3 bolas amarelas. Considere
o experimento retirar 5 bolas desta urna uma a uma ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2 e X3 o
numero de bolas verdes, vermelhas e amarelas retiradas, respectivamente.
a) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2, X3).
b) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2).
c) Obtenha a funcao geradora de momentos de X1.
d) Calcule E(X1X2).
Teorema 4.4.1. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes com funcoes geradoras de
momentos respectivas MX1(t), · · · ,MXn(t), entao a funcao geradora de momentos de Sn = X1+ · · ·+
Xn e dada por
Teorema 4.4.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes com funcoes caractersticas
respectivas φX1(t), · · · , φXn(t), entao a funcao caracterstica de Sn = X1 + · · ·+Xn e dada por
φSn(t) = n∏
j=1
φXj (t).
Teorema 4.4.3. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias inteiras independentes com funcoes ge-
radoras de probabilidade respectivas GX1(t), · · · , GXn(t), entao a funcao geradora de probabilidade de
Sn = X1 + · · ·+Xn e dada por
GSn(s) =
GXi(s).
Exemplo 4.4.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Poisson independentes com parametros,
λ1, λ2 · · · , λn, respectivamente. Mostre que Sn = X1 + X2 + · · · + Xn e Poisson com parametro
λ = λ1 + λ2 · · ·+ λn.
Exerccio 4.4.2. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Exponenciais independentes com parametro
comum λ. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao gama com parametros n e λ.
Exerccio 4.4.3. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Gama independentes com parametros
comuns m,λ. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao gama com parametros nm e λ.
Exerccio 4.4.4. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Geometricas independentes com parametro
comum p. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao Pascal com parametros n e p.
Exerccio 4.4.5. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Pascal independentes com parametros
comum r, p. Mostre que Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn tem distribuicao Pascal com parametros nr e p.
Exerccio 4.4.6. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias Normais independentes com parametros
comuns µ, σ2. Encontre a distribuicao de Sn = X1 +X2 + · · ·+Xn. A distribuicao de Sn e conhecida
no caso onde Xi e normal com parametros µi e σ2 i
4.5 Covariancia
Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. A funcao
Cov(X;Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
e chamada covariancia entre as variaveis aleatorias X e Y .
Teorema 4.5.1. Seja (X;Y ) um vetor aleatorio bivariado. Entao
Cov(X;Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ).
Exemplo 4.5.1. Considere uma urna contendo inicialmente sete bolas verdes, duas bolas vermelhas e
uma bola preta. Duas bolas sao retiradas uma a uma de forma aleatoria desta urna segundo o seguinte
processo: apos a primeira retirada, a bola extrada e devolvida junto com cinco bolas de mesma cor.
Sejam X,Y , e Z o numero de bolas verdes, vermelhas e pretas retiradas, respectivamente. Calcule:
a) Cov(X,Y ).
b) Cov(X,Z).
Exerccio 4.5.1. Considere uma urna contendo inicialmente sete bolas verdes, duas bolas vermelhas
e uma bola preta. Tres bolas sao retiradas uma a a uma ao acaso e sem resposicao. Sejam X,Y , e Z
o numero de bolas verdes, vermelhas e pretas retiradas, respectivamente. Calcule:
a) Cov(X,Y ).
b) Cov(X,Z).
Exerccio 4.5.2. Considere uma urna contendo inicialmente sete bolas verdes, duas bolas vermelhas
e uma bola preta. Tres bolas sao retiradas uma a a uma ao acaso e com resposicao. Sejam X,Y , e Z
o numero de bolas verdes, vermelhas e pretas retiradas, respectivamente. Calcule:
a) Cov(X,Y ).
b) Cov(X,Z).
ρ(X;Y ) = Cov(X,Y )
σXσY
e chamada coeficiente de correlacao entre as variaveis aleatorias X e Y .
Observacao 4.5.1. O coeficiente de correlacao satisfaz as seguintes propriedades:
• −1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ 1;
• ρ(X,Y ) = 1 ⇔ P(Y = aX + b) = 1 para algum par a > 0 e b;
• ρ(X,Y ) = −1 ⇔ P(Y = aX + b) = 1 para algum par a < 0 e b.
Exemplo 4.5.2. Suponha que a variavel aleatoria bidimensional (X,Y ) seja uniformemente dis-
tribuda sobre a regiao triangular
T = {(x, y); 0 < x < y < 1}
Calcule o coeficiente de correlacao entre X e Y .
Exerccio 4.5.3. Suponha que a funcao de probabilidade conjunta de X1, X2 e X3 e multinomial com
parametros n, p1, p2 e p3.
a) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2, X3).
b) Obtenha a funcao geradora de momentos conjunta de (X1, X2).
c) Obtenha a funcao geradora de momentos de X1.
d) Calcule E(X1X2).
Teorema 4.5.2. Seja um vetor aleatorio (X1, X2, · · · , Xn). Entao
V ar
Cov(Xi, Xj).
Exemplo 4.5.3. Considere o experimento retirar cinco bolas uma a uma ao acaso e sem reposicao de
uma urna contendo 16 bolas verdes e 4 bolas vermelhas. Seja X o numero de bolas verdes retiradas.
Obtenha Var(X).
Exemplo 4.5.4. Um dado honesto e lancado infinitas vezes independentemente. Sejam X1, X2, · · ·
as variaveis aleatorias definidas por
Xi =
1, se o i-esimo e o (i + 1)-esimo lancamentos resultam em face cinco,
0, caso contrario.
b) Mostre que
0, se j > i+ 1.
c) Seja Sn = ∑n
i=1 Xn. Determine E(Sn) e Var(Sn).
Exerccio 4.5.4. Considere uma urna contendo 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Bolas sao retiradas
uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2, · · · as variaveis aleatorias definidas por
Xi =
1, se a i-esima e a (i + 1)-esima retiradas resultam em bola verde,
0, caso contrario.
Defina Sn = n∑
i=1
Xi. Obtenha E(Sn) e Var(Sn). Quais esses valores quando n = 100?
Exerccio 4.5.5. Considere uma urna contendo g bolas verdes e r bolas vermelhas. Bolas sao retiradas
uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X1, X2, · · · as variaveis aleatorias definidas por
Xi =
1, se a i-esima e a (i + 1)-esima retiradas resultam em bola verde,
0, caso contrario.
Xi. Obtenha E(Sn) e Var(Sn). Qual o significado de Sn ?
Exerccio 4.5.6. Um dado honesto e lancado 100 vezes independentemente. Sejam X1, X2, · · · as
variaveis aleatorias definidas por
Xi =
1, se o i-esimo e o (i + 1)-esimo lancamentos resultam em face menor que 3,
0, caso contrario.
b) Calcule Cov(Xi, Xj).
c) Seja S100 = ∑100
i=1 Xi. Determine E(S100) e Var(S100).
Teorema 4.5.3. Se as variaveis aleatorias X1, X2, · · · , Xn sao independentes entao
V ar
V ar(Xi).
Exemplo 4.5.5. A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar e
uma variavel aleatoria com funcao densidade de probabilidade
f(x) =
0, caso contrario.
Assim que o componente falha, ele e imediatamente substitudo por outro do mesmo tipo. Se Xi
representa o tempo de vida do i-esimo componente utilizado, entao Sn = Σn i=1Xi representa o instante
da n-esima falha. Supondo que as variaveis aleatorias Xi, i ≥ 1, sejam independentes, calcule:
a) E(Sn).
b) Var(Sn).
Exerccio 4.5.7. Considere uma urna contendo duas bolas vermelhas e oito verdes. Dez bolas sao
retiradas da urna ao acaso e com reposicao. Calcule a variancia do numero de bolas verdes retiradas.
Exerccio 4.5.8. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes cada uma com distribuicao
normal de media µ e variancia σ2. Sejam
X = 1
(Xi − X)2
a media amostral e a variancia amostral das variaveis Xi, respectivamente.
a) Calcule Var(X).
b) Calcule E(S2).
Exerccio 4.5.9. Sejam X1, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes com distribuicao comum U [0, 1].
Defina Yn como a media geometrica das X , is, definida por
Yn =
( n∏
b) Encontre a distribuicao de Zn = −2n lnYn.
Exerccio 4.5.10. Considere uma urna contendo sete bolas verdes, uma bola branca e duas bolas
vermelhas. Seis bolas sao retiradas uma a uma da urna ao acaso e com reposicao. Sejam X,Y, Z o
numero de bolas verdes, vermelhas e brancas retiradas, respectivamente. Calcule:
a) A funcao geradora de momentos conjunta de X,Y e Z.
b) Cov(X,Z).
Exerccio 4.5.12. Sejam X1, ..., Xn variaveis aleatorias i.i.d. com densidade comum definida por
f(x) =
0, caso contrario.
Y = − 1
Captulo 5
Distribuicoes Condicionais
dicionais - Caso Discreto
Definicao 5.1.1. Seja X uma variavel aleatoria no espaco de probabilidade (,F ,P) e A ∈ F . A
distribuicao condicional de X dado o evento A e dada por
P(X ∈ B|A) = P([X ∈ B] ∩A)
P(A) para todo boreliano B.
Alem disso, a funcao de distribuicao de X dada o evento A e
FX(x|A) = P(X ≤ x|A) = P([X ≤ x] ∩A)
P(A)
−∞ xfX(x|A)dx se X e contnua
No caso contnuo
fX(x|A) = F ′ X(x|A).
Proposicao 5.1.1. Seja X uma variavel aleatoria no espaco de probabilidade (,F ,P) e A ∈ F e
{An}n∈I uma particao de . Temos
P(X ∈ B) = ∑ n∈I
e
42
Exemplo 5.1.1. Lampadas do tipo i funcionam uma quantidade de tempo aleatorio com distribuicao
exponencial de parametro λi = 1 i , i = 1, 2, · · · , 6. Uma lampada aleatoriamente escolhida e do tipo i
com probabilidade proporcional a i. Suponha que X represente o tempo de vida desta lampada. De-
termine a distribuicao de X, E(X) e VarX.
Exemplo 5.1.2. Suponha uma urna contendo inicialmente 7 bolas verdes e tres bolas vermelhas.
Suponha que 4 bolas sejam retiradas uma a uma ao acaso e sem reposicao. Defina o evento Ai sair
bola verde na i-esima retirada e X a variavel aleatoria que da o numero de bolas verdes retiradas.
Determine:
a)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩A2, E(X | A1 ∩A2) e Var(X | A1 ∩A2).
b)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩AC 2 , E(X | A1 ∩AC
2 ) e Var(X | A1 ∩AC 2 ).
Exerccio 5.1.1. Suponha uma urna contendo inicialmente 7 bolas verdes e tres bolas vermelhas.
Suponha que 4 bolas sejam retiradas uma a uma ao acaso e sem reposicao. Defina o evento Ai sair
bola verde na i-esima retirada e X a variavel aleatoria que da o numero de bolas verdes retiradas.
Determine:
a)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩A2, E(X | A1 ∩A2) e Var(X | A1 ∩A2).
b)A funcao de distribuicao de X dado A1 ∩AC 2 , E(X | A1 ∩AC
2 ) e Var(X | A1 ∩AC 2 ).
Exerccio 5.1.2. Seja X ∼ Uniforme[−1, 1] e A = [X ≥ 0]. Qual a distribuicao condicional de X
dado A?
Exerccio 5.1.3. Lampadas do tipo i funcionam uma quantidade de tempo aleatorio com media
µi = 1 i e desvio padrao σi = 1
i2 , i = 1, 2. Uma lampada aleatoriamente escolhida e do tipo 1 com
probabilidade 0, 6 e do tipo 2 com probabilidade 0, 4. Suponha que X represente o tempo de vida desta
lampada. Determine E(X) e VarX.
Definicao 5.1.2. Funcao de Probabilidade Condicional
Sejam X e Y variaveis aleatorias discretas. A funcao de probabilidade condicional de X dado que
Y = y e definida por
pX|Y (x|y) = P(X = x|Y = y) = pX,Y (x, y)
pY (y) , desde que pY (y) > 0.
Analogamente, a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x e definida por
pY |X(y|x) = P(Y = y|X = x) = pX,Y (x, y)
pX(x) , desde que pX(x) > 0.
Proposicao 5.1.2. Sejam X e Y variaveis aleatorias discretas. Se B ⊂ R entao
P(X ∈ B|Y = y) = ∑ x∈B
P(X = x|Y = y).
Exemplo 5.1.3. Suponha que o numero de pessoas que entram em uma agencia de correio em certo
dia seja uma variavel aleatoria de Poisson com parametroλ. Mostre que, se cada pessoa que entra na
agencia de correio for homem com probabilidade p e mulher com probabilidade 1 − p, entao pode-se
representar o numero de homens e mulheres entrando na agencia por variaveis aleatorias de Poisson
com respectivos parametros λp e λ(1− p).
Exemplo 5.1.4. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e
dada por
0 caso contrario.
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
c) Calcule P(X = 1|Y = 2).
d)Calcule P(Y = 1|X = 2).
Exemplo 5.1.5. Suponha que 3 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas
verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos cada retirada a bola extrada e devolvida
junto com 3 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas verdes e
vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
Exerccio 5.1.4. Se X e Y sao variaveis aleatorias de Poisson independentes com respectivos parametros
λ1, e λ2, calcule a distribuicao condicional de X dado que X + Y = n.
Exerccio 5.1.5. Suponha que 2 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas
verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos a primeira extracao a bola retirada e de-
volvida junto com 5 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas
verdes e vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
Exerccio 5.1.6. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e com reposicao de uma
urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,
o numero de bolas verdes e vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
Exerccio 5.1.7. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma
urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,
o numero de bolas verdes e vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
Exerccio 5.1.8. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e
dada por
0 caso contrario.
Exerccio 5.1.9. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e
dada por
pX,Y (x, y) =
k(2x+ y) x = 1, 2, 3 e y = 1, 2, 3.
0 caso contrario.
onde k e uma constante.
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
c) Calcule P(X = 1|Y = 1).
5.2 Distribuicoes Condicionais- Caso Contnuo
Definicao 5.2.1. Funcao Densidade Condicional
Sejam X e Y variaveis aleatorias contnuas. A funcao densidade condicional de X dado que Y = y
e definida por
fX|Y (x|y) = fX,Y (x, y)
fY (y) , desde que fY (y) > 0.
Analogamente, a funcao densidade condicional de Y dado que X = x e definida por
fY |X(y|x) = fX,Y (x, y)
fX(x) , desde que fX(x) > 0.
Proposicao 5.2.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias contnuas. Se B ⊂ R entao
P(X ∈ B|Y = y) =
fX|Y (x|y)dx.
Exemplo 5.2.1. Suponha que a densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0, caso contrario.
b) X e Y sao independentes?
c) Obtenha a densidade condicional de X dado Y .
d) Calcule P (0 < X < 0, 5|Y = 1).
Exemplo 5.2.2. Seja (X,Y, Z) um vetor aleatorio trivariado. Mostre que
fX,Y,Z(x, y, z) = fZ|X,Y (z|x, y)fY |X(y|x)fX(x).
Exerccio 5.2.1. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Determine c.
b) Determine as densidades marginais de X e de Y .
c) Obtenha a densidade condicional de X dado Y = y.
d) Obtenha a densidade condicional de Y dado X = x.
e) Calcule P (0 < X < 0, 5|Y = 1)
Exerccio 5.2.2. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.
b) Determine as densidades marginais de X e de Y .
c) Obtenha a densidade condicional de X dado Y = y.
d) Obtenha a densidade condicional de Y dado X = x.
e) Calcule P (0 < X < 0, 5|Y = 1)
5.3 Esperanca Condicional- Caso Discreto
Definicao 5.3.1. Esperanca Condicional- Caso Discreto
Sejam X e Y variaveis aleatorias discretas. A esperanca condicional de X dado que Y = y e definida
por
xpX|Y (x|y), desde que pY (y) > 0.
Analogamente, a esperanca condicional de Y dado que X = x e definida por
E(Y |X = x) = ∑ y
ypY |X(y|x), desde que pX(x) > 0.
Exemplo 5.3.1. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y ) e
dada por
0 caso contrario.
b)Calcule E(Y |X).
c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).
d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exemplo 5.3.2. A funcao de probabilidade conjunta de uma variavel aleatoria bivariada (X,Y) e
dada por
pX,Y (x, y) =
k(2x+ 3y) x = 1, 2, 3 e y = 1, 2, 3.
0 caso contrario.
a) Obtenha k.
b) Obtenha as funcoes de probabilidade marginal de X e Y .
c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).
d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exerccio 5.3.1. Suponha que 2 bolas sejam sorteadas uma a uma de uma urna contendo 7 bolas
verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Admita que apos a primeira extracao a bola retirada e de-
volvida junto com 5 bolas de mesma cor. Se X e Y representam respectivamente, o numero de bolas
verdes e vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).
d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exerccio 5.3.2. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e com reposicao de uma
urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,
o numero de bolas verdes e vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).
d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exerccio 5.3.3. Suponha que 5 bolas sejam sorteadas uma a uma ao acaso e sem reposicao de uma
urna contendo 7 bolas verdes, 2 bolas vermelhas e 1 bola preta. Se X e Y representam respectivamente,
o numero de bolas verdes e vermelhas extradas, determine:
a) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de X dado Y = y.
b) Obtenha a funcao de probabilidade condicional de Y dado que X = x.
c) Calcule E(X|Y = 1), E(X|Y = 2) e E(X|Y = 3).
d) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
e) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
5.4 Esperanca Condicional- Caso Contnuo
Definicao 5.4.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias contnuas. A esperanca condicional de X dado
que Y = y e definida por
E(X|Y = y) =
−∞ xfX|Y (x|y)dx.
Analogamente, a esperanca condicional de Y dado que X = x e definida por
E(Y |X = x) =
yfY |X(y|x)dy.
Exemplo 5.4.1. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Calcule P(X < 1|Y = 1).
b) Calcule E(X|Y = 1).
Exemplo 5.4.2. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
b) Calcule P(X ≤ 0, 5|Y = 0, 8).
Exerccio 5.4.1. A densidade de probabilidade conjunta de um vetor aleatorio bivariado e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Calcule E(X|Y = 1) e E(Y |X = 1)
b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exerccio 5.4.2. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Determine c.
b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exerccio 5.4.3. A funcao densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.
b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
Exerccio 5.4.4. Suponha que a densidade conjunta de X e Y e dada por
fX,Y (x, y) =
0, caso contrario.
a) Verifique que esta e de fato uma funcao de densidade conjunta.
b) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x) .
c) Calcule E(X|Y ), E(Y |X), E[E(X|Y )] e E[E(Y |X)].
5.5 Esperanca Condicional- Teoria Basica
Teorema 5.5.1. Princpio da Substituicao para a Esperanca Condicional
Seja h(X,Y ) uma funcao das variaveis aleatorias X e Y . Entao
E(h(X,Y )|Y = y) = E(h(X, y)|Y = y).
Exemplo 5.5.1. Sejam Xi, i = 1, 2 variaveis aleatorias independentes, cada uma com distribuicao
geometrica definida por
onde 0 < p < 1.
b) Determine a distribuicao condicional de X1 dado X1 +X2.
Exemplo 5.5.2. Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva a
um tunel que o levara a sada apos 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um tunel que fara com
que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um tunel que fara com que ele
retorne a mina apos 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador escolhe qualquer uma das
portas com igual probabilidade. Seja T o tempo ate o minerador sair livre. Defina uma sequencia de
v.a.i.i.d. X1, X2, · · · e um tempo N (numero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher
a porta para sada) tal que
T =
Xi
Obs.: Voce pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele
alcancar a liberdade.
[ n∑
] ?
Exerccio 5.5.1. Defina SN = X1 +X2 +X3 + · · ·+XN onde as variaveis aleatorias Xi sao inde-
pendentes e identicamente distribudas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N tem
distribuicao geometrica de parametro p. Encontre a distribuicao de SN .
Exerccio 5.5.2. Suponha que o numero de ocorrencias em um determinado evento siga um processo
de Poisson de taxa λ.
a) Mostre que o tempo entre duas ocorrencias sucessivas tem lei exponencial de parametro λ.
b) Mostre que o tempo entre n ocorrencias sucessivas tem distribuicao gama com parametro λ.
c) Suponha que t nao e um instante na qual houve uma ocorrencia no processo Xt. Defina a variavel
aleatoria W(t) como o tempo ate a proxima ocorrencia. Entao
1. W(t) e independente de t;
2. W(t) tem distribuicao exponencial de parametro λ.
d) Seja Sn o tempo ate a n-esima ocorrencia nesse processo.
1. Suponha que houve uma ocorrencia no intervalo (0; t). Entao S1|Xt = 1 ∼ Uniforme(0; t).
2. Suponha que houveram k ocorrencias no intervalo (0; t). Entao (S1;S2; · · · ;Sk)|Xt = k tem den-
sidade conjunta das estatsticas de ordem correspondentes a k variaveis aleatorias independentes
e uniformemente distribudas no intervalo (0; t).
Corolario 5.5.1. Sejam g(X) e h(Y ) funcoes das variaveis aleatorias X e Y , respectivamente. Entao
E(g(X).h(Y )|Y = y) = h(y)E(g(X)|Y = y).
Teorema 5.5.2. Sejam X e Y variaveis aleatorias tais que E(X) e finita . Entao
E(E(X|Y )) = E(X).
E(X) = ∑ y
E(X|Y = y)P(Y = y).
Por outro lado, se Y e contnua com funcao densidade fY
E(X) =
−∞ E(X|Y = y)fY (y)dy.
Exemplo 5.5.3. Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva a
um tunel que o levara a sada apos 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um tunel que fara com
que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um tunel que fara com que ele
retorne a mina apos 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador escolhe qualquer uma das
portas com igual probabilidade. Seja T o tempo ate o minerador sair livre. Defina uma sequencia de
v.a.i.i.d. X1, X2, · · · e um tempo N (numero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher
a porta para sada) tal que
T =
Xi
Obs.: Voce pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele
alcancar a liberdade. Calcule E(T ).
Exemplo 5.5.4. Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas. A primeira porta leva
a um tunel que o levara a sada apos 2 horas de viagem. A segunda porta leva a um tunel que fara
com que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem. A terceira porta leva a um tunel que fara com
que ele retorne a mina apos 8 horas. Considere que em todo o tempo o minerador nao escolhe uma
porta repetida e que das restantes ele escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade. Seja
T o tempo ate o minerador sair livre. Defina uma sequencia de variaveis aleatorias X1, X2, X3 e um
tempo N (numero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher a porta para sada) tal que
T = N∑ i=1
Xi
Obs.: Voce pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele
alcancar a liberdade. Calcule E(T ).
Exerccio 5.5.3. Suponha que o numero de pessoas que entram em uma loja de departamentos em
determinado dia seja uma variavel aleatoria com media 50. Suponha ainda que as quantias de dinheiro
gastas por esses clientes sejam variaveis aleatorias independentes com media comum de R$ 80,00.
Finalmente, suponha tambem que a quantia gasta por um cliente seja independente do numero total
de clientes que entram na loja. Qual e a quantidade esperada de dinheiro gasto na loja em um dado
dia?
Exerccio 5.5.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias binomiais independentes com parametros n e p
identicos, calcule o valor esperado condicional de X dado que X + Y = n.
Exerccio 5.5.5. Sejam X1, X2, · · · , Xn variaveis aleatorias independentes e identicamente distribudas
tais que
Xi, n = 1, 2, · · ·
e S0 = 0. {Sn, n ≥ 0} e chamado passeio aleatorio simples assimetrico. Sn e a posicao do passeio
no tempo n. Seja N o tempo ate o passeio alcancar a posicao 5 pela primeira vez. Calcule o valor
esperado de N .
P(A) = ∑ y
P(A|Y = y)P(Y = y).
Exemplo 5.5.5. O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vdeo
game e uma variavel aleatoria exponencial de parametro λ. O menino decide que apos terminar a
disputa de cada fase ira lancar um dado honesto e caso saia face cinco ira parar de jogar e iniciar as
tarefas da escola imediatamente. Caso saia face diferente de cinco iniciara uma nova fase. Considere
desprezvel o tempo gasto com os lancamentos do dado. Seja X o tempo ate que o menino inicie as
tarefas escolares. Qual a distribuicao de X?
Exerccio 5.5.6. Considere o seguinte experimento realizado com um dado honesto e uma urna
contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Lanca-se o dado e de acordo com a face
obtida faz se as retiradas na urna. Isto e, se o dado revela face i sao feitas i retiradas uma a uma ao
acaso e com reposicao. Seja X o numero de bolas verdes extradas. Obtenha a distribuicao de X.
Exerccio 5.5.7. Considere o seguinte experimento realizado com um dado honesto e uma urna
contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Lanca-se o dado e de acordo com a face
obtida faz se as retiradas na urna. Isto e, se o dado revela face i sao feitas i retiradas sem reposicao.
Seja X o numero de bolas verdes extradas. Obtenha a distribuicao de X.
Corolario 5.5.3. Seja Y uma variavel aleatoria contnua com densidade fY . Entao
P(A) = ∫ ∞
−∞ P(A|Y = y)fY (y)dy.
Exemplo 5.5.6. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais que X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(µ).
Calcule P(X > Y ).
Exemplo 5.5.7. O numero de e-mails que chegam a um servidor no intervalo de tempo [0, t] dado
em minutos e, para cada t > 0, uma variavel aleatoria Nt com distribuicao de Poisson com parametro
λt. Somente um computador e conectado ao servidor para ler os e-mails recebidos.
a) Dado que tres e-mails chegaram no primeiro minuto, qual e a probabilidade de que exatamente dois
tenham chegado nos primeiros 15 segundos?
b) Se o tempo de vida T desse computador tem distribuicao exponencial de parametro θ. Alem disso,
Nt e T sao independentes para todo t. Obtenha a distribuicao do numero de e-mails lidos ate o com-
putador falhar.
Exerccio 5.5.8. Suponha que num classico entre Goias e Vila Nova a partir do tempo t = 0 torcedo-
res do Goias chegam a bilheteria do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa
λ torcedores por minuto. De forma analoga, torcedores do Vila Nova chegam a bilheteria do Estadio
Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa µ torcedores por minuto. A partir do tempo
t = 0 qual e a probabilidade do primeiro torcedor a chegar ser do Goias?
Exerccio 5.5.9. Seja U uma variavel aleatoria uniforme no intervalo (0, 1), e suponha que a dis-
tribuicao condicional de X dado que U = p seja binomial com parametros n e p. Determine a funcao
de probabilidade de X.
Exerccio 5.5.10. a) Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais que X ∼ Binomial(m, p)
e Y ∼ Binomial(n, p). Mostre que X + Y ∼ Binomial (m+ n, p).
b) Suponha que X e Y sao variaveis aleatorias independentes com distribuicao comum Binomial(n, p).
Mostre que a distribuicao condicional de X dado que X + Y = m e Hipergeometrica (2n, n,m).
Corolario 5.5.4. Seja h(X) e uma variavel aleatoria com media finita, entao
E(h(X)) = E[E(h(X)|Y )].
Exemplo 5.5.8. Defina SN = X1 +X2 +X3 + · · · +XN onde as variaveis aleatorias Xi sao inde-
pendentes e identicamente distribudas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N tem
distribuicao geometrica de parametro p. Encontre a distribuicao de SN .
Exerccio 5.5.11. Defina SN = X1 + X2 + X3 + · · · + XN onde as variaveis aleatorias Xi sao
independentes e identicamente distribudas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N
tem distribuicao Pascal com parametros r e p. Encontre a distribuicao de SN .
Teorema 5.5.3. Seja X uma variavel aleatoria contnua com densidade fX e Y uma variavel aleatoria
discreta. Entao
fX|Y (x|y) = P(Y = y|X = x)
P(Y = y) .fX(x), desde que P(Y = y) > 0.
Exemplo 5.5.9. O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vdeo
game e uma variavel aleatoria exponencial de parametro λ. O menino decide que apos terminar a
disputa de cada fase ira lancar um dado honesto e caso saia face cinco ira parar de jogar e iniciar as
tarefas da escola imediatamente. Caso saia face diferente de cinco iniciara uma nova fase. Considere
desprezvel o tempo gasto com os lancamentos do dado. Seja X o tempo ate que o menino inicie
as tarefas escolares e N o numero de fases disputadas por ele antes de iniciar as tarefas escolares.
Calcule P(N = n|X = x) e E(N |X).
Exerccio 5.5.12. Defina SN = X1 +X2 +X3 + · · ·+XN onde as variaveis aleatorias Xi sao inde-
pendentes e identicamente distribudas com distribuicao comum exponencial de parametro λ e N tem
distribuicao geometrica de parametro p. Calcule P(N = n|Sn = x) e E(N |SN ).
Definicao 5.5.1. Sejam X e Y variaveis aleatorias. A variancia condicional de X dado que Y = y
e definida por
] = E(X2|Y )− (E(X|Y ))
2
Teorema 5.5.4. Sejam X e Y variaveis aleatorias. A variancia condicional satisfaz:
V ar(X) = E[V ar(X|Y )] + V ar[E(X|Y )]
Exemplo 5.5.10. Suponha que o numero de pessoas que chegam em uma estacao de trem em qual-
quer instante t seja uma variavel aleatoria de Poisson com media 20t. Se o primeiro trem chega na
estacao em um instante de tempo que e uniforme mente distribudo ao longo de (0, 10) e independente
do instante de chegada dos passageiros, quais sao a media e a variancia do numero de passageiros que
entram no trem?
Exerccio 5.5.13. Suponha que o numero de pessoas que chegam em uma estacao de trem em qual-
quer instante t seja uma variavel aleatoria de Poisson com media 30t. Se o primeiro trem chega na
estacao em um instante de tempo que e uniforme mente distribudo ao longo de (0, 15) e independente
do instante de chegada dos passageiros, quais sao a media e a variancia do numero de passageiros que
entram no trem?
Teorema 6.0.1. Desigualdade de Markov
Seja X uma variavel aleatoria com P(X ≥ 0) = 1. Entao, para qualquer > 0,
P(X ≥ ) ≤ E(X)
Teorema 6.0.2. Desigualdade de Markov
Seja X uma variavel aleatoria qualquer. Entao, para qualquer > 0 e para todo t > 0,
P(|X| ≥ ) ≤ E(|X|t) t
.
Teorema 6.0.3. Desigualdade de Chebyshev
Seja X uma variavel aleatoria com E(X) < ∞. Entao, para qualquer > 0,
P(|X − E(X)| ≥ ) ≤ V ar(X)
2 .
Exemplo 6.0.1. Suponha que se saiba que o numero de itens produzidos por uma fabrica durante
uma semana seja uma variavel aleatoria com media 50.
(a) O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a producao desta semana seja superior a 75 itens?
(b) Se e sabido que a variancia da producao de uma semana e igual a 25, entao o que se pode dizer
sobre a probabilidade de que a producao desta semana esteja entre 40 e 60?
Exemplo 6.0.2. Seja X uma variavel aleatoria contnua com funcao densidade de probabilidade
f(x) =
0, caso contrario.
i) Calcule E(X) e V ar(X).
ii) Utilizando a desigualdade de Chebyshev, obtenha uma cota superior para
P(|X| ≥ k), onde 0 < k < 1.
56
Exerccio 6.0.1. Seja X uma variavel aleatoria contnua com funcao densidade de probabilidade
fX,Y (x, y) =
0 caso contrario.
i) Calcule E(X) e V ar(X).
ii) Utilizando a desigualdade de Chebyshev, obtenha uma cota superior para
P(X ≥ k), onde 0 < k < 1.
Teorema 6.0.4. Desigualdade de Jensen
Seja h : R → R uma funcao convexa. Se a variavel aleatoria X e integravel, entao
E(h(X)) ≥ h(E(X)).
E(X−1) ≥ p
E[log(X)] ≤ 3.
Teorema 6.0.5. Limitantes de Chernoff
Seja X uma variavel aleatoria qualquer e a uma constante real. Entao
P(X ≥ a) ≤ e−taMX(t) para todo t > 0;
P(X ≤ a) ≤ e−taMX(t) para todo t < 0.
Exemplo 6.0.4. Seja X ∼ Poisson(1). Mostre que:
P(X ≥ k) ≤ e−k
kk , para k > 1.
P(X ≥ 100) ≤ e−5000.
Sejam X e Y variaveis aleatorias com variancias finitas. Entao
|E(XY )| ≤ [E(X2)E(Y 2)] 1 2 .
Teorema 6.0.7. Desigualdade de Holder:
Suponha que p e q satisfazem p > 1, q > 1 e 1 p + 1
q = 1. Sejam X e Y variaveis aleatorias tais que
E(|X|p) < ∞ e E(|Y |q) < ∞ . Entao
E(|XY |) ≤ [E(|X|p)] 1 p [E(|Y |q)]
1 q .
Captulo 7
Teorema 7.1.1. Lema de Borel Cantelli
Seja (,F ,P) um espaco de probabilidade e {An}n≥1 eventos alatorios em F .
a) Se os eventos An satisfazem
∞∑ n=1
b) Se os eventos An sao independentes e satisfazem
∞∑ n=1
Exemplo 7.1.1. Uma moeda honesta e lancada repetidamente, sendo os lancamentos independentes.
Prove que qualquer sequencia finita de resultados ocorre infinitas vezes, com probabilidade 1.
Exemplo 7.1.2. Considere uma sequencia infinita de urnas numeradas por 1,2,·