Probabilidad y estadística

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 4: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Autores: Lic Luis Alberto Garaventa

Mg. María Cristina Kanobel

Año 2014

Unidad 4: Variable aleatoria continua 2

En el módulo 3 hemos definido el término variable aleatoria y clasificamos las variables

aleatorias según su recorrido. Utilizando estos conceptos estudiamos las variables aleatorias

discretas. En este módulo trabajaremos con las variables aleatorias continuas y analizaremos

algunos modelos muy utilizados en distintas disciplinas.

Esperamos que, al finalizar la lectura activa y comprensiva de este módulo, estén en condiciones

de reconocer una variable aleatoria en un experimento aleatorio como así también hallar su

distribución de probabilidades.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Al clasificar las variables aleatorias según su recorrido hemos llamado

variables aleatorias continuas a aquellas cuyo recorrido es infinito numerable,

es decir, intervalos de números reales. Podemos decir también que estas

variables están asociadas a procesos de medición.

En este caso, es imposible asignar una probabilidad a cada uno de los infinitos valores que toma

la variable continua. Para distribuir probabilidades se utiliza una función que mide

"concentración" de probabilidades alrededor de un punto, denominada función de densidad (fd)

y que se denota como f(x).

b

a

1)f x 0

2) f x .dx 1

3)Para cualquier a,b, tal que - a b se cumple que:

P(a x b) f x .dx

ACTIVIDAD

Una consecuencia de la definición anterior es que P(X=0).¿Podría justificarlo?

En vista de la propiedad justificada en la actividad anterior, podemos afirmar que:

Si X es una variable aleatoria continua, se cumple que: P(a x b) P(a x b) P(a x b) P(a x b)

Se dice que X es una variable aleatoria continua, si existe una función f,

llamado función de densidad de probabilidad (fdp) de X que satisface las

siguientes propiedades:


ACTIVIDAD

Sabiendo que k es una constante y considerando que 2kx 0 x 2

f (x)0 x

si

otro

calcule:

a) El valor de c para que f sea función de densidad de la variable X

b) Calcule P(1<x<1,5)

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEAOTRIA CONTINUA

En el módulo 3 hemos definido valor esperado de una variable aleatoria

discreta. De la misma manera, lo haremos para variables aleatorias continuas.

ACTIVIDAD

Calcule el valor medio de la variable aleatoria de la actividad anterior

PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA V.A. CONTINUA

Para el cálculo del valor esperado de una variable continua valen las mismas

propiedades enunciadas para las variables aleatorias discretas:

.

El valor esperado es un operador lineal.

E ( k. X + c) = k. E( X ) + c donde k y c son constantes

La esperanza de una constante es la misma constante.

E(k)= k

Llamamos VALOR ESPERADO de una variable aleatoria continua a la

integral definida E(X) x.f (x).dx

con la condición de que

x .f (x).dx

sea finita


VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Recordemos que

También tengamos en cuenta que la fórmula de cálculo que utilizaremos es:

2 2V(X) E(X ) E (X)

ACTIVIDAD

Calcule la varianza de la variable aleatoria correspondiente a la actividad de la

página 3.

DESVÍO DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

En el módulo anterior afirmamos que, para cualquier variable aleatoria (discreta

o continua):

Llamamos VARIANZA de una variable aleatoria al valor esperado del

cuadrado de la diferencia entre la variable y su valor esperado. Es decir

que:

2V(X) E(X E(X))

Dada una variable aleatoria discreta X y f(x) su función de densidad y

siendo Y = g(X) se define el valor esperado de la variable aleatoria de Y

como:

E ( Y ) = g(x).f (x).dx

Si dos variables aleatorias son independientes entonces el valor esperado

del producto entre ellas es igual al producto de los valores esperados de

dichas variables.

E( X. Y ) = E( X ). E( Y ) si X e Y independientes

El valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma

de los valores esperados de dichas variables.

E( X+Y ) =E( X ) + E( Y )


ACTIVIDAD

Calcule el desvío standard de la variable aleatoria de la actividad de la página 3.

PROPIEDADES DE LA VARIANZA DE UNA V.A. CONTINUA

Las propiedades de la varianza enunciadas para variable aleatoria discreta son

válidas también cuando la variable es continua:

ACTIVIDAD

La cantidad de kilómetros que recorre un camión por viaje contratado es una

variable aleatoria uniforme entre 100 y 500 kilómetros Si la ganancia está dada

por G=0,30X+50 (donde X es la cantidad de kilómetros recorridos) Calcular la

ganancia esperada por viaje.

Llamamos DESVÍO STANDARD a la raíz cuadrada de la varianza

(x) V(X)

La varianza de la suma de dos variables aleatorias X e Y es igual a la suma

de sus varianzas sólo si X e Y son independientes.

V ( X + Y ) = V( X ) + V( Y )

Sean c y k constantes y X variable aleatoria se cumple que:

V ( c. X + k ) = c2. V( X)

Sean C una constante y X una variable aleatoria se cumple que:

V ( c . X ) = c2. V( X )

La varianza de una constante es cero.

V( c ) = 0


FUNCIÓN DE DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Recordemos que:

Esto es:

F: / F(x) P(X x)

Esta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que

un determinado valor x.

Analicemos el siguiente ejemplo:

La duración (en horas) de ciertos viajes está distribuida según

10;2

f (x) 2

0

si x

otro x

Hallaremos la función de distribución acumulada. Es decir: x

F(X) f (x).dx

Esto es: x

0

1F(x) dx

2

Luego:

1F(X) x

2 para x a;b

Entonces:

0

1F(X) x b

2

1

si x 0

si a<x

si x >1

Comparemos las gráficas de f(x) y F(X):

Se llama FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA O

ACUMULATIVA a la función tal que a cada número real le asigna la

probabilidad acumulada hasta dicho valor.

En el caso de las variables aleatorias continuas se calculará como: x

F(x) P(X x) f (t).dt


Observemos que:

<Definición>

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

DE UNA V.A. CONTINUA

f (X)

1

P(X<x)

0 1 x 2 X

F(X)

1

P(X<x)= F(x)

0 1 x 2 X

la función F(X) es continua siendo su valor mínimo 0 y su

máximo 1.

La imagen de la función de distribución para un valor x

representa la probabilidad acumulada hasta x (En cambio, para la

gráfica de f(x), esa probabilidad está representada por el área

debajo de la curva entre 0 y x)

1) F(x) es no decreciente.

2) x

x

lím F(x) 0

lím F(x) 1

3) Si X es variable aleatoria continua F(X) es continua

4) Si X es una variable aleatoria continua y F(x) es derivable

entonces se cumple que dF

f (x)dx


ACTIVIDAD

Deduzca una fórmula para calcular P(x X x ) utilizando F(X) (Recuerde

que: P(a X b) P(X b) P(X a) )

PROPIEDAD

De la actividad anterior se deduce que:

ACTIVIDADES

1. Analizar si la función

22

1

20)(

xx

xXF puede ser función de distribución

acumulada

2.a) Hallar la función de distribución acumulada para la variable X de la Actividad N º 2

b) Hallar F(1,5)¿Qué representa el valor obtenido

c) Calcular P 0 X 1,5 utilizando la F(X) definida en el punto a).

3. La ganancia semanal de un comerciante de autos en unidades de mil dólares se puede

considerar como una variable aleatoria X que tiene una función de densidad dada por:

2 1 x si 0 x 1f (x)

0 en caso contrario

a) Hallar F(x).

b) Utilizarla para determinar la probabilidad de que en cierta semana gane:

i) Menos de 500 dólares

ii) Más de 120 dólares

iii) Entre 300 y 800 dólares

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

P(a<X<b)= P(a<X<b)= P(a<X<b)= P(a<X<b)= F(b) - F(a)

Una variable aleatoria, X, tiene distribución UNIFORME en el intervalo (a; b) si su función de densidad es:

(a;b)

f (x)

1 si xb-a

0 otro x

Unidad 4: Variable aleatoria continua 9 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL NEGATIVA

Gráficamente:

ACTIVIDADES

1. Verifique que la función anterior cumple con las condiciones para ser

función de densidad de una variable aleatoria continua.

2. Halle la función de distribución acumulada de la variable aleatoria uniforme definida

en el intervalo (a; b).

3. a) Calcule el valor esperado de la variable uniforme usando la definición.

b) Calcule la varianza y el desvío de una variable uniforme usando la fórmula de

cálculo de la varianza.

4. En ciertos experimentos, el error cometido al determinar la densidad de una sustancia es

una variable aleatoria distribuida uniformemente entre -0,04 y 0,04. Calcular la probabilidad

de que el error:

a) Sea, en valor absoluto, menor que 0,01.

b) esté comprendido entre 0,001 y 0,002.

c) Sea mayor que 0,03.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL NEGATIVA

Gráficamente:

f(x)

x

f(x)

1

b a

a b X

Una variable aleatoria, X, tiene distribución EXPONENCIAL NEGATIVA de

parámetro si su función de densidad es:

f (x)

- x .e si x 0

0 otro x siendo >0


ACTIVIDADES

1. Verifique que la fórmula anterior corresponde a una función de

probabilidad de una variable discreta.

2. Halle la función de distribución acumulada.

3. a) Calcule el valor esperado de una distribución uniforme usando la definición del

valor esperado.

b) Calcule la varianza usando la fórmula de cálculo.

4. El tiempo que un reloj funciona sin necesidad de ser corregido se considera una

variable aleatoria con distribución exponencial negativa con parámetro

0,001horas)-1.

a) Hallar la probabilidad de que el reloj deba ser corregido antes de las 250 horas de

funcionamiento.

b) Hallar la probabilidad de que el reloj deba ser corregido antes de las 1250 horas de

funcionamiento si lleva 1000 horas si necesidad de ser corregido.

c) Hallar la probabilidad de que el reloj deba ser corregido antes de las 10250 horas de

funcionamiento si lleva 10000 horas de funcionamiento sin ser corregido.

d) Compare los resultados obtenidos en cada uno de los puntos de la actividad anterior.

¿Podría enunciar alguna propiedad general?

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Por ejemplo, para μ= 2 y σ= 0,5 será:

Una variable aleatoria, X, tiene distribución NORMAL de valor medio y

desvío >0 si su función de densidad es:

21 x

21f (x) .e x

2

si -

Unidad 4: Variable aleatoria continua 11 DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD

Es la variable aleatoria con distribución normal cuyo valor medio es = 0 y

desvío = 1. Se simboliza con la letra Z. Es decir que:

La siguiente imagen muestra el gráfico aproximado de la f.d. de la v.a. Z: N( 0, 1) comparado

con la X: N( 2; 0,5) del ejemplo anterior

Los valores que toma la función de distribución de la normal Z: N (0, 1) está tabulada en una

tabla a doble entrada.

Si queremos calcular P(Z<1,25) buscamos F(1,25) de la siguiente forma:

Se puede observar que:

x = es eje de simetría de la función

Hay dos puntos de inflexión en x = - y en x = + .

X = 0 es asíntota horizontal. Esta función no tiene primitiva conocida. Por esta razón no es posible calcular

probabilidades usando integrales.

Z: N ( 0, 1)

Por ser = 0 su gráfica es simétrica respecto del eje y.

El valor = 1 determina que los puntos de inflexión de la curva se

encuentran a una unidad del eje y, es decir en x = -1 y en x = 1.


ACTIVIDAD

Sabiendo que Z tiene distribución normal estándar hallar:

a) P(X 2,52) b) P(X -1,83) c) P(X 2,34)

d) P(X > -0,02) e) P(1,35 < X < 2.53) f) P(-0,73 < X < 1.96)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES UTILIZANDO LA TABLA

NORMAL STANDARD

Para hallar probabilidades en los casos de otras distribuciones normales

X: N( ; ) utilizaremos la siguiente

Supongamos que X:N(10;2) y queremos calcular P(X<12,5)

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,503989 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903 0,468119 0,535856

0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,543795 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495 0,507978 0,575345

0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,583166 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420 0,547758 0,614092

0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,621719 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309 0,587064 0,651732

0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,659097 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822 0,625516 0,687933

0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,694974 0,705402 0,708840 0,712260 0,715661 0,662757 0,722405

0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,729069 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571 0,698468 0,754903

0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,761148 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350 0,732371 0,785236

0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,791030 0,799546 0,802338 0,805106 0,807850 0,764238 0,813267

0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,818589 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977 0,793892 0,838913

1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,843752 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690 0,821214 0,862143

1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,866500 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999 0,846136 0,882977

1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,886860 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958 0,868643 0,901475

1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,904902 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656 0,888767 0,917736

1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,920730 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219 0,906582 0,931888

1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,934478 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792 0,922196 0,944083

1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,946301 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540 0,935744 0,954486

1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,956367 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636 0,947384 0,963273

1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,964852 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258 0,957284 0,970621

1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,971933 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581 0,965621 0,976705

2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,977784 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774 0,972571 0,981691

fórmula de transformación de X a Z:N(0;1)

XZ


Entonces si, en la desigualdad, restamos = 10 en ambos miembros y dividimos por = 2, se

mantiene el sentido, es decir que:

X-10 12,5-10P(X<12,5) = P <

2 2

P(X<12,5) = P (Z < 1,25)

Luego:

P ( Z < 1,25)=F(1,25)

Si buscamos en la tabla normal standard obtendremos que:

P ( Z < 1,25 )=0,894350

ACTIVIDADES

1. Si X tiene distribución normal con =15 y = 3 , hallar:

2. El

tiempo de vida de un instrumento producido por cierta máquina tiene distribución

normal con vida media de 12 meses y desviación estándar de 2 meses. Hallar la

probabilidad de que un instrumento producido por la máquina dure:

a) menos de 7 meses.

b) entre 7 y 12 meses.

3. El diámetro de las barras de acero que produce una máquina tiene distribución normal

con media 2 cm y desviación estándar 0,05 cm. ¿Qué diámetro deberá tener una

arandela para que sólo puedan pasar por ella el 3% de las barras que produce la

máquina?

.

a) P(X 17,93) b) P(X 8,58) c) P( 2,92< X < 23,95)1

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