PROBABILIDADSeccion 2: Probabilidad 8 Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidad de que gane C. 2.1. Probabilidad Condicionada Ejercicio 26. Supongamos que

ESTADISTICAPROBABILIDAD

Alberto LucenoFrancisco J. Gonzalez

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2. Probabilidad2.1. Probabilidad Condicionada

Soluciones a los Ejercicios

Seccion 2: Probabilidad 3

2. Probabilidad

Ejercicio 11. Describir el espacio muestral de las siguientes experien-cias aleatorias:

a). E1 = Lanzamiento de un dado y anotamos el resultado.

b). E2 = Lanzamiento tres dados y sumamos las puntuaciones.

c). E3 = La duracion de una lampara hasta que se funde.

d). E4 = La resistencia a rotura de unos tubos de aluminio.

e). E5 = Numero de piezas defectuosas de un lote de 5000.

f). E6 = Lanzamiento de dos monedas.

Ejercicio 12. Sean A y B sucesos con P (A) = a, P (B) = b y P (A ∩B) = c. Expresar las probabilidades siguientes en funcion de a, b y c.

P (A ∪B) P (A ∩B) P (A ∪B) P (A ∩B)

Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I


Ejercicio 13. Sabiendo que P (A) = 0,2, P (B) = P (C) = 0,2 yP (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0,1 y P (A ∩ B ∩ C) = 0,05.Calcular la probabilidad de P (A ∪B ∪ C).

Ejercicio 14. El problema de Galileo. Un prıncipe italiano pregunto enuna ocasion al famoso fısico Galileo, ¿por que cuando se lanzan tresdados, se obtiene con mas frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunquese puedan obtener de seis maneras distintas cada una?

Ejercicio 15. Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas.Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad deextraer una bola blanca y, a continuacion, una bola roja:

a). Cuando habiendo extraıdo la primera bola esta es devuelta a laurna para realizar la segunda extraccion.

b). Cuando habiendo extraıdo la primera bola esta no es devueltaa la urna para realizar la segunda extraccion.

Ejercicio 16. Se extrae una carta de una baraja de 40 cartas. Com-probar cuales de los siguientes pares de sucesos son independientes:



a). A = rey B = espadas

b). A = figuras B = espadas

c). A = rey B = figuras

Ejercicio 17. De una baraja de 40 cartas se extrae una al azar y semira. Se repite esta operacion 4 veces. Tenemos que apostar a que la1a es copa, la 2a es oro, la 3a es bastos y la 4a es espadas. Si nos dejanelegir entre reponer o no la carta extraıda, ¿que elegiremos?

Ejercicio 18. El problema del caballero de la Mere. Se considera ge-neralmente 1654 como el ano del nacimiento de la teorıa de probabili-dades: el caballero de la Mere, filosofo y hombre de letras en la cortede Luis XIV, propuso dos problemas al celebre matematico BlaisePascal;

a). ¿Que es mas probable, obtener al menos un seis en cuatro lanza-mientos de un dado, u obtener al menos un doble seis al lanzar24 veces dos dados?



b). Se lanza una moneda varias veces. Por cada “1” obtenido, Arecibe un punto, y por cada “0”, se adjudica un punto B. Ganala apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de sietejugadas, A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se in-terrumpe el juego. ¿Como repartir la apuesta de la manera masequitativa? Las propuestas de Mere dieron lugar a un intercam-bio de correspondencia entre Pascal y Fermat, del que nacieronlos fundamentos de la teorıa de probabilidades.

Ejercicio 19. El problema de las uvas pasas. ¿Cuantas uvas pasasse deben mezclar con 500 gramos de harina para tener una certezadel 99% de que un bollo de 50 gramos contenga al menos una pasa?(Engel, Probabilidad y Estadıstica, Mestral, 1988).

Ejercicio 20. En una habitacion hay una reunion de n personas.¿Cual es la probabilidad de que el cumpleanos de al menos dos per-sonas sea el mismo dıa?

Ejercicio 21. Demostrar que si dos sucesos A y B son independientes,tambien lo son los sucesos complementarios de A y B.



Ejercicio 22. Demostrar:

P (A|B) > P (A) =⇒ P (B|A) > P (B)

Ejercicio 23. Sean dos sucesos A y B, donde P (A) = 0,5 y P (A ∪B) = 0,8. Asignar el valor de P (B) para que:

a). A y B sean incompatibles.

b). A y B sean independientes.

Ejercicio 24. Indicar en cada caso si los sucesos A y B son incom-patibles o independientes:

a). P (A) = 0,2, P (B) = 0,4 y P (A ∪B) = 0,6.

b). P (A) = 0,3, P (B) = 0,5 y P (A ∪B) = 0,65.

c). P (A) = 0,4, P (B) = 0,5 y P (A ∪B) = 0,7.

Ejercicio 25. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Tres ju-gadores A, B y C extraen una bola sin devolucion en este mismo orden.



Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidadde que gane C.

2.1. Probabilidad Condicionada

Ejercicio 26. Supongamos que tenemos 10 urnas: 5 de ellas son detipo U1 y contienen 3 blancas y 3 negras, 3 de ellas son de tipo U2 ycontienen 4 blancas y 2 negras, y el resto son de tipo U3 y contienen1 blanca y 5 negras. Se pide:

a). Probabilidad de que una bola extraıda al azar de una de las 10urnas sea blanca.

b). Probabilidad de que habiendo salido una bola negra, proceda deuna urna del tipo U2.

c). Sabiendo que ha salido una bola negra, ¿de que tipo de urna esmas probable que haya salido?

Ejercicio 27. Alarma Falsa. En cierto lugar se ha instalado un dis-positivo de alarma. Si hay peligro, el dispositivo se pone en funciona-



miento el 99% de las ocasiones. Por otra parte, la probabilidad de quese dispare la alarma espontaneamente es del 0,5 %, y la probabilidadde que una noche haya un intento de robo es 0,1 %. Si una noche de-terminada se oye la alarma, ¿cual es la probabilidad de que sea falsa(no haya peligro)?

Ejercicio 28. Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, Ay B. El primer negocio tiene perdidas en el 25 % de los balances,mientras que el 2o, donde la perspectiva de beneficio es menor, tieneperdidas solo en el 5% de los casos. Se supone que el conjunto deoperaciones es analogo en ambos negocios. Si, analizando el resultadoeconomico de una de las operaciones, se observan perdidas, ¿cual esla probabilidad de que dicha operacion correspondiese al negocio B?

Ejercicio 29. Para la eleccion de las personas de un jurado se dispo-nen de dos urnas. En la 1a hay 10 papeletas con nombres de 6 hombresy 4 de mujeres, en la 2a hay 5 papeletas con nombres de 2 hombresy 3 de mujeres. Alguien cambia una papeleta de la 1a urna a la 2a einmediatamente despues se extrae al azar una papeleta de la 2a urnaque resulta ser nombre de mujer. ¿Cual es la probabilidad de que la



papeleta cambiada contenga un nombre de mujer?

Ejercicio 30. Considerese tres cartas: una con las dos caras negras,otra con ambas caras blancas y la tercera con una blanca y la otranegra. Se elige una carta al azar y se coloca sobre la mesa. La carasuperior resulta negra, ¿cual es la probabilidad de que la cara ocultasea blanca?

Ejercicio 31. Una fabrica de ladrillos suministra estos a buen preciopero el 10 % de ellos son defectuosos. Con objeto de mejorar la calidaddel producto se someten los ladrillos a un ensayo no destructivo antesde su venta. Este ensayo da como buenos el 99 % de los que son buenosy da por malos el 98% de los que son malos.

a). Determinar la probabilidad de que un ladrillo en mal estadosupere el proceso de control de calidad.

b). Determinar la probabilidad de aceptar como bueno un ladrillocualquiera.

c). Determinar la probabilidad de que un ladrillo, que ha sido acep-tado, este en malas condiciones



d). Si el coste estimado por cada ladrillo fabricado en malas condi-ciones es C euros. Determinar el precio maximo que debe pa-garse por ensayo no destructivo para que este sea rentable.

Ejercicio 32. Los almacenes A, B y C, que estan dirigidos por lamisma persona, tienen 50, 75 y 100 empleados, y, respectivamente,el 50 %, 60 % y 70 % de ellos son mujeres. El hecho de que una per-sona sea despedida del trabajo es igualmente probable entre todoslos empleados, independientemente del sexo. Se despide un empleado,que resulta ser mujer. ¿Cual es la probabilidad de que trabajara en elalmacen C?

Ejercicio 33. Dos proveedores A y B entregan la misma mercancıaa un fabricante, que guarda todas las existencias de esta mercancıaen un mismo lugar. Los antecedentes demuestran que el 5% de lamercancıa entregada por A es defectuosa y que el 9 % lo es de B. Aentrega 4 veces mas que B. Si se saca una pieza y no es defectuosa,¿cual es la probabilidad de que la haya fabricado A?

Ejercicio 34. Se disena un dispositivo de frenado para evitar que unToc JJ II J I Volver J Doc Doc I


automovil patine en el que incluye un sistema electronico e hidrauli-co. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas enserie que operan de manera independiente: un sistema electronico, unsistema hidraulico y un sistema mecanico. En un frenado particular,las probabilidades de estas unidades funcionen son aproximadamente0,995, 0,993 y 0,994, respectivamente. Calcular la probabilidad de quesistema frene.

Ejercicio 35. El volumen de produccion diario en tres plantas dife-rentes de una fabrica es de 500 unidades en la 1a, 1000 en la 2a y 2000en la 3a planta. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosasproducidas en las plantas es de 1 %, 0,8 % y 2 %, respectivamente,determinar la probabilidad de que:

a). Extraıda una unidad al azar, resulte no defectuosa.

b). Habiendo sido extraıda una unidad defectuosa, haya sido pro-ducida en la primera planta.

Ejercicio 36. Tres imprentas realizan trabajos para la oficina de pu-blicaciones de la Universidad de Cantabria. La oficina de publicaciones



no negocia una multa contractual por trabajos atrasados, y los datossiguientes reflejan una gran experiencia con estas imprentas.

imprenta fraccion fraccion de tiempoi de contratos con retraso1 0,2 0,22 0,3 0,53 0,5 0,3

Un departamento observa que un pedido tiene mas de un mes deretraso. ¿Cual es la probabilidad de que el contrato se haya otorgadoa la imprenta 3?

Ejercicio 37. Una compania de aviones dispone de 20 pilotos y 15auxiliares de vuelo. Si en cada vuelo viajan como equipo responsable,dos pilotos y tres auxiliares. Se pide:

a). ¿De cuantos equipos distintos dispone la compania para los vue-los?



b). El piloto RX34 tiene a su mujer como auxiliar de vuelo. Si to-mamos un vuelo al azar, ¿cual es la probabilidad de que vaya elmatrimonio en el personal de vuelo?

c). Si elegimos un vuelo al azar, ¿cual es la probabilidad de quevaya RX34 o su mujer en el personal de vuelo?

Ejercicio 38. Una fabrica dispone de 20 transportistas, 45 empleadosde mantenimiento y 5 ingenieros supervisores. La contratacion de todoel personal se divide en fija y temporal. De los transportistas 8 sonfijos; de los empleados de mantenimiento 35 son fijos y de los ingenieros3 son fijos. Si elegimos una persona al azar:

a). ¿Cual es la probabilidad de que tenga un contrato temporal?

b). ¿Cual es la probabilidad de que tenga un contrato temporal yno sea ingeniero?

c). Si elegimos una persona que tiene contrato fijo, ¿cual es la pro-babilidad de que sea un transportista?


Soluciones a los Ejercicios 15

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 11.

a). Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

b). Ω2 = 3, 4, 5, . . . , 18

c). Ω3 = t > 0/t ∈ R

d). Ω4 = r ∈ (Rmin, Rmax)

e). Ω5 = 0, 1, 2, . . . , 5000

f). Ω6 = (C,C); (C,X); (X, C); (X, X)

Ejercicio 11



Ejercicio 12.

a). P (A ∪B) = 1− P (A ∩B) = 1− c

b). P (A ∩B) = P [B − (A ∩B))] = P (B)− P (A ∩B) = b− c

c). P (A ∪B) = P (A) + p(B)− P (A ∩B) = 1− a + c

d). P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− a− b + c

Ejercicio 12



Ejercicio 13.

P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)−P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C) =

= 0,2 + 0,2 + 0,2− 3 · 0,1 + 0,05 = 0,35

Ejercicio 13



Ejercicio 14.

Suman 9 Suman 106-2-1 6 casos 6-2-2 3 casos5-3-1 6 casos 5-4-1 6 casos5-2-2 3 casos 5-3-2 6 casos4-4-1 3 casos 4-4-2 3 casos4-3-2 6 casos 4-3-3 3 casos3-3-3 1 caso 3-6-1 6 casosTotal 25 caso Total 27 casos

P (sumen 9) =2563

= 0,116 P (sumen 10) =2763

= 0, 125

Ejercicio 14



Ejercicio 15.

a). P (BR) =25

35

=625

b). P (BR) =25

34

=620

Ejercicio 15



Ejercicio 16.

a). Sean A = rey B = espadas, son independientes pues,

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=

110

= P (A) =110

b). Sean A = figuras B = espadas, son independientes pues,

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=

310

= P (A) =1240

c). Sean A = rey B = figuras, no son independientes pues,

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=

412

6= P (A) =440

Ejercicio 16



Ejercicio 17. Sea el suceso A = C −O −B − E,

a). Con reposicion

P (A) =1040

· 1040

· 1040

· 1040

b). Sin reposicion

P (A) =1040

· 1039

· 1038

· 1037

Elegiremos lo mas probable, que corresponde al segundo caso, sinreposicion.

Ejercicio 17



Ejercicio 18.

a). Sea el suceso

S = al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dadoluego

S = ningun seis en cuatro lanzamientos de un dadoComo

P (S) =(

56

)4

= 0, 48225 P (S) = 0, 51775

Sea el suceso

T = al menos un doble seis en 24 lanzamientos de dos dadoluego

T = ningun doble seis en 24 lanzamientos de dos dadoComo

P (T ) =(

3536

)24

= 0, 5086 P (T ) = 0, 4914



b). El reparto equitativo corresponde a repartir lo apostado propor-cionalmente a las espectativas que tiene cada jugador de ganara partir de la interrupcion de la partida. Es decir,a A le falta un”1”y a B dos ”0”s. Se puede dar

Gana A si 1− 01 Gana B si 00

Luego

P (A) =12

+14

=34

P (B) =14

Con lo cual deben repartir lo apostado en razon de 3 a 1. Sihubiesen apostado 120 unidades, 90 para A y 30 para B.

Ejercicio 18



Ejercicio 19. Sea el suceso

S = al menos una pasa en un bollo de 50 g.y

S = ninguna pasa en un bollo de 50 g.Como los 500 g. corresponden a 10 bollos de 50 g., la experienciaconsiste en elegir aleatoriamente un bollo de entre 10. La probabilidadde que un bollo cualquiera no sea elegido en n intentos, es

P (S) =(

110

)n

Si exigimos que

P (S) = 1− P (S) = 1−(

110

)n

≥ 0,99 =⇒ n ≥ 44

Ejercicio 19



Ejercicio 20. Sea el suceso

An = al menos dos personas entre n que han nacido el mismo dıay por tanto

An = ninguna persona de las n ha nacido el mismo dıa que otra

P (An) =365 · 364 · 363 · · · (365− n + 1)

365n

Veamos la solucion para algunos valores de n

n P (An) n P (An)5 0,0271 23 0,507310 0,1169 32 0,753315 0,2231 40 0,891220 0,3791 50 0,9704

Ejercicio 20



Ejercicio 21. Sean A y B, independientes, P (A|B) = P (B), entonces

P (B|A) = 1− P (B|A) = 1− P (B) = P (B) (1)De (1) A y B son independientes.

P (A|B) = 1− P (A|B) = 1− P (A) = P (A) (2)

De (2) A y B son independientes.

P (A|B) = 1− P (A|B) = 1− P (A) = P (A) (3)

De (3) A y B son independientes.Ejercicio 21



Ejercicio 22. Sean A y B, con P (A) > 0 y P (B) > 0, entonces

P (A ∩B) = P (A|B) p(B) = P (B|A) p(A)

=⇒ P (A|B)P (A)

=P (B|A)P (B)

> 1

Ejercicio 22



Ejercicio 23.

a). Incompatibles luego P (A ∩B) = 0, y

P (A ∪B) = P (A) + p(B)− P (A ∩B) =⇒ P (B) = 0,3

b). Independientes luego P (A ∩B) = P (A) · P (B), y

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =⇒ P (B) = 0,6

Ejercicio 23



Ejercicio 24.

a). Incompatibles, pues

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =⇒ P (A ∩B) = 0

b). Independientes, pues

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)=⇒ P (A ∩B) = 0,15 = P (A) P (B)

c). Independientes, pues

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)=⇒ P (A ∩B) = 0,2 = P (A)P (B)

Ejercicio 24



Ejercicio 25.

Las probabilidades respectivas de ganar de cada jugador son:

P (GA) =58

+38· 2

7· 1

6=

3656

P (GB) =38· 5

7=

1556

P (GC) =38· 2

7· 5

6=

556

Ejercicio 25



Ejercicio 26. Sea Ui el suceso se elige la urna de tipo Ui, B el sucesose extrae bola blanca y N el suceso se extrae bola negra

a).

P (B) = P (B|U1) · P (U1) + P (B|U2) · P (U2) + P (B|U3) · P (U3)

=36· 510

+46· 310

+16· 210

=2960

b).

P (U2|N) =P (N |U2)P (U2)

P (N |U1)P (U1) + P (N |U2)P (U2) + P (N |U3)P (U3)

=

26· 310

36· 510

+26· 310

+56· 210

=631



c). Analogamente se tiene

P (U1|N) =1531

P (U3|N) =731

luego es mas probable que haya salido de la urna de tipo U1.

Ejercicio 26



Ejercicio 27. Sea R el suceso ”hay peligro”y A el suceso ”suena laalarma”. Los datos son

P (A|R) = 0,99 P (A|R) = 0,005 P (R) = 0,001

Se pide

P (R|A) =P (A|R) · P (R)

p(A|R) · P (R) + p(A|R) · P (R)

=0,005 · 0,999

0,99 · 0,001 + 0,005 · 0,999= 0,83

Es decir, una alarma de alta eficacia con un ındice de peligrosidad pornoche del orden del 0,001 lleva a que la mayorıa de los avisos de lasalarmas sean falsas.

Ejercicio 27



Ejercicio 28. Denotamos por A el suceso operacion con el negocioA y analogamnete para B. Sea D el suceso tener perdidas. Se sabeque P (A) = P (B) = 1/2 , P (D|A) = 0,25 y P (D|B) = 0,05 entonces

P (B|D) =P (D|B) · P (B)

P (D|A) · P (A) + P (D|B) · P (B)

=0,05 · 0,5

0,25 · 0,5 + 0,25 · 0,5=

16

Ejercicio 28



Ejercicio 29. Cuando se pase una papeleta de la urna U1 a la urna U2,esta quedara, si se pasa nombre de hombre como UH = 3 h, 3 m,conP (UH) = 6/10, y si se pasa nombre de mujer como UM = 2 h, 4 m,conP (UM ) = 4/10. La probabilidad pedida es:

P (UM |M) =P (M |UM ) · P (UM )

P (M |UM ) · P (UM ) + P (M |UH) · P (UH)

=23 ·

410

23 ·

410 + 1

2 ·610

=1634

Ejercicio 29



Ejercicio 30.

P (C3|N) =P (N |C3) · P (C3)

p(N |C1) · P (C1) + p(N |C2) · P (C2) + p(N |C3) · p(C3)

P (C3|N) =1 · 1

312 ·

13 + 0 · 1

3 + 1 · 13

=23

Ejercicio 30



Ejercicio 31. Sea D el suceso ”ladrillo en mal estado” y + el sucesoun ladrillo supera el control.

a). P (+|D) = 0,02

b). P (+) = P (+|D) ·P (D)+P (+|D) ·P (D) = 0,02 ·0,1+0,99 ·0,9 =0,893

c). P (D|+) =P (D ∩+)

P (+)=

0,02 · 0,10,893

= 0, 0022

d). De N ladrillos fabricados, el coste asociado a los ladrillos + y Dviene dado por C · P (+∩D) ·N = 0,098 ·C ·N , luego el preciomaximo pmax ·N < 0,098 · C ·N y por tanto pmax < 0,098 · C

Ejercicio 31



Ejercicio 32. Sea M el suceso ”se despide una mujer”

P (C|M) =P (M |C) · P (C)

P (M |A) · P (A) + P (M |B) · P (B) + P (M |C) · P (C)

=0,7 · 100

225

0,5 · 50225

+ 0,6 · 75225

+ 0,7 · 100225

= 0,5

Ejercicio 32



Ejercicio 33.

P (A|D) =P (D|A) · P (A)

P (D|A) · P (A) + P (D|B) · P (B)

=0,95 · 0,8

0,95 · 0,8 + 0,91 · 0,2= 0,806

Ejercicio 33



Ejercicio 34. Al estar en serie y ser independientes el sistema frenasi lo hacen los tres, es decir

P (frene) = 0,995 · 0,993 · 0,994 = 0,98

Ejercicio 34



Ejercicio 35. Sean los sucesos Pi = pieza fabricada por la planta i

P (P1) =17

P (P2) =27

P (P3) =47

y D = defectuosa con

P (D|P1) = 0,01 P (D|P2) = 0,008 P (D|P1) = 0,02

a). P (D) =i=3∑i=1

P (D|Pi)P (Pi) = 0,015, luego P (D) = 0,985

b).

P (P1|D) =P (D|P1)P (P1)

P (D)= 0,094

Ejercicio 35



Ejercicio 36. Sea R el suceso un pedido tiene mas de un mes deretraso y sea Ii el suceso contrato se haya otorgado a la imprenta i

P (I3|R) =P (R|I3) · P (I3)

P (R|I1) · P (I1) + P (R|I2) · P (I2) + P (R|I3) · P (I3)

=0,3 · 0,5

0,2 · 0,2 + 0,5 · 0,3 + 0,3 · 0,5=

1534

Ejercicio 36



Ejercicio 37.

a). Numero de equipos posibles(

202

)(153

)= 86450

b). Sea el suceso R = viaje el marido y sea M = viaje la mujer

P (R ∩M) =

(191

)(142

)86450

= 0,14

c).

P (R ∪M) = P (R) + P (M)− P (R ∩M)

=

(191

)(153

)86450

+

(202

)(142

)86450

− 0,14

= 0, 28

Ejercicio 37



Ejercicio 38. Si disenamos una tabla de doble entrada se obtienenlas probabilidades con facilidad:

Empleado Fijo TemporalTransporte 8 12 20

Mantenimiento 35 10 45Ingeniero 3 2 5

46 24 70

a). P (T ) =2470

b). P (T ∩ I) =2270

c). P (Tr|F ) =846

Ejercicio 38

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PROBABILIDADSeccion 2: Probabilidad 8 Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidad de que gane C. 2.1. Probabilidad Condicionada Ejercicio 26. Supongamos que