probabilidad (i)

1

ESTADSTICA

UNIDAD 2

PROBABILIDADES (I)

2

Conceptos bsicos de probabilidad

Principios bsicos:

La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (xito)

Un evento simple no puede descomponerse

El conjunto de resultados posibles del experimento se denomina espacio muestral

La suma de las probabilidades en el espacio muestra es 1

Si se repite un experimento un gran nmero de veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente:

( ) En

P EN

3

Conceptos bsicos de probabilidad

Eventos compuestos (conjunto de dos o ms eventos):

La unin de A o B contiene elementos de A o de B

La interseccin de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B

CUL ES SU SIGNIFICADO?

4

Probabilidad

Introduccin:

Diferencia entre experimento determinstico y aleatorio (estocstico).

Determinstico. Se obtiene el mismo resultado, con condiciones experimentales similares

La cada de un cuerpo

Aleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares.

Tiempo de vida de un componente elctrico

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Conceptos relacionados

con experimentos aleatorios:

Variable aleatoria. Es el nombre que se le da a la caracterstica (s) de inters observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras maysculas. Pueden ser Continuas o Discretas.

Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles valores que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito.

Evento. Puede ser uno o una combinacin de los valores que toma una variable aleatoria

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Espacio Muestral

Constituido por todos los posibles resultados de un experimento.

Para el lanzamiento de una moneda es (C,E).

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Espacio muestral no finito

El tiempo transcurrido (en microsegundos) entre dos picos vecinos de un electrocardiograma

= : < <

17

Al espacio muestral se le denomina evento cierto o seguro, porque siempre ocurre.

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ALGEBRA DE EVENTOS

= . . = AC BC

LEYES DE D MORGAN

CUL ES SU SIGNIFICADO EN TRMINOS DE OCURRENCIA DE EVENTOS?

35

44

Probabilidad histrica o frecuencial

Una forma de saber el comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comport en el pasado.

Note que si un experimento se realiz un gran nmero de veces, N, y se observ que n veces suceda el evento A, entonces n/N es un estimacin razonable de la proporcin de tiempos que el evento A suceder en el futuro. Para un gran nmero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporcin como la probabilidad del evento A.

P EventoAn

NN( ) lim

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Ejemplo

pro

babili

dad d

e c

ara

s

n 0 500 1000

0

.5

1

en los 1900-s , Karl Pearson lanz una moneda 24 000 veces y obtuvo 12 012 caras, dando una proporcin de 0,5005.

Definicin Clsica de Probabilidad.

La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relacin del nmero de respuestas en favor de A, y el nmero total de resultados posibles en un experimento.

P EventoAFavorable A

Total resultados( )

#

#

Note que para las dos definiciones dadas de probabilidad sta ser un nmero entre 0 y 1.

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Ejemplo 1. Se observa si 3 artculos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v).

S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral .

Asociada con este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}

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Probabilidades de Eventos

1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos entonces

n

i

i

n

i

iEPEP

11

)(

Resultados

1. Si A B entonces P(A) P(B)

2. Si P(Ec)=1-P(E)

3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)

4. Si B1B2Bn = S entonces

n

i

iBEPEP

1

)()(

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Ejemplo:

Datos (N=20):

650 740 760 810 850 850 880 900 930 930 950 960

960 980 980 980 1000 1000 1000 1070

El experimento:

Seleccionamos al azar un numero ?

Cul es S?

Sea E el evento en el que elegimos el 1000?

P(E) =

Sea E el evento l numero es menor o igual a 760.

P(E) =

P(Ec) =

50

Sea E1 el evento en el cual elegimos 1000 y E2 es el

evento en el cual elegimos un numero menor o igual a

760.

P(E1E2) =

Sea E1 el evento en el cual elegimos 850 y E2 sea el

evento el cual obtenemos un numero menor a 880.

P(E1E2) =

Leyes de probabilidades

1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de que no suceda A es:

P A P A( ) ( ) 1

2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o el evento B es

P A o B P A P B( ) ( ) ( )

Para el caso de dos eventos A y B que no son mutuamente excluyentes.

P A o B P A P B P AyB( ) ( ) ( ) ( )

A las dos ecuaciones se les conoce como Leyes de Adicin de Probabilidades

3. Ley de probabilidad condicional

Sean A y B dos eventos en un experimento tal que la ocurrencia de B influye en la ocurrencia de A. Entonces la probabilidad de que ocurra A cuando B ya ocurri es

P A BP A B

P B( / )

( )

( )

4. Independencia.

Dos eventos A y B se dice que son independientes si

P A B P A( / ) ( )

o de otra forma si

P A B P A P B( ) ( ) ( )

Resultado clave en Estadstica!!!

54

Ejemplo

Maquina1 Maquina 2 Maquina3

Proporcin de

defectuosos

0.01 0.02 0.005

Numero

producido

200 250 350

Si Ud. recibe un embarque de 800 fusibles de una planta de produccin con la

cantidad y calidad dada en la tabla. Si usted aleatoriamente selecciona uno de esos

fusibles cual es la probabilidad que este funcione?

S={(M1D), (M1N), (M2D), (M2N),

(M3D), (M3N)}

P(N) = P(M1N) + P(M2N) + P(M3N) = P(N| M1)P(M1) + P(N| M2)P(M2) +

P(N| M3)P(M3)

= (10.01)0.25 + (10.02) 0.3125 +

(10.005) 0.4375 = 0.989

55 Independencia

El evento A y B son independientes si

P(A|B) = P(A)

P(AB)=P(A) P (B)

Ejemplo:

En el ejemplo anterior suponga que se selecciona una pieza de

cada mquina. Cul es la probabilidad de que ninguna falle?

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Reglas de la probabilidad

Ley de la Adicin

Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:

Ley de la Multiplicacin

probabilidad que ambos A y B ocurran es

Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y

P(AB)P(B)P(A)B)orP(A

A)P(A)|P(BB)P(B)|P(AP(AB)

P(A)P(B)P(AB)

57 PROBABILIDAD TOTAL

Si A1,,An son eventos mutuamente excluyentes, y exhaustivos, entonces

n

i 1ii ))P(AA|P(BP(B)

n

i 1ii )P(A)A|P(B

A)P(A)|P(BP(B)

A)P(A)|P(BB)|P(A

B

Ai

REGLAS DE BAYES

-_= CUL ES EL SIGNIFICADO DE ESTAS EXPRESIONES

B es un evento definido en el espacio muestral

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Hay 3 carreteras para ir de la ciudad A a la ciudad B. Por datos estadsticos

se sabe que las probabilidades de que ocurran accidentes en stas son

1/20, 1/30 y 1/25, respectivamente. Adems, se sabe que los viajeros tienen

preferencia por la carretera II, por la que transita la mitad de los vehculos,

mientras que la otra mitad transita en cantidades iguales por las carreteras I

y III.

Determine la probabilidad de que:

a) Ocurra un accidente en un viaje.

b) Si ocurri un accidente, haya sido en la carretera I.

EJEMPLO

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