Principios TyE

FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

CUADERNO DE EJERCICIOS DE PRINCIPIOS DE TERMODINÁMICA Y ELECTROMAGNETISMO MARTÍN BÁRCENAS ESCOBAR RIGEL GÁMEZ LEAL AGUSTÍN HERNÁNDEZ QUINTERO DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE FÍSICA Y QUÍMICA

PRÓLOGO

Se puede afirmar que el trabajo de un ingeniero es la solución de problemas que aquejan a la sociedad con base en sólidos antecedentes en física, química y matemáticas. Para que ello se pueda lograr es necesario que el estudiante de ingeniería posea, entre otras cosas, habilidades en la resolución de problemas.

Este Cuaderno de Ejercicios de Principios de Termodinámica y Electromagnetismo pretende dotar al alumno de ingeniería ejercicios de la asignatura con resolución, con el objetivo de que pueda aplicar los conceptos vistos en clase y en el laboratorio, para que con ello, adquiera habilidad en la resolución de problemas. Se elaboró tomando como base ejercicios de exámenes colegiados de la asignatura, los cuales se conformaron a partir de propuestas de profesores entusiastas de la asignatura, propuestas que fueron revisadas, adaptadas, integradas y resueltas debidamente. Esta obra se integra con ejercicios de los temas correspondientes al temario vigente de la asignatura. Para cada tema se presentan varios ejercicios con su resolución con el fin de que el alumno verifique la forma de resolverlo y pueda comprobar si obtuvo la respuesta correcta, en caso contrario se recomienda que revise su resolución y si no logra encontrar el error se sugiere que lo consulte con su profesor o utilice el servicio de asesoría. Finalmente queremos expresar nuestro deseo de conocer la opinión de profesores y alumnos que puedan enriquecer el contenido de esta obra. Cualquier comentario, crítica o sugerencia será tomada con agrado con el fin de enriquecer este material, el cual, estamos seguros redundará en beneficio de la comunidad universitaria. Ing. Martín Bárcenas Escobar. M. en I. Rigel Gámez Leal. Ing. Agustín Hernández Quintero. México, D. F., abril de 2012.

ÍNDICE

página

Tema I. Conceptos fundamentales 4

Tema II. Primera ley de la termodinámica 20

Tema III. Segunda ley de la termodinámica 46

Tema IV. Ciclos termodinámicos 64

Tema V. Electromagnetismo 78

Tema VI. Circuitos eléctricos en corriente directa 98

Tema VII. Circuitos eléctricos en corriente alterna 111

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo

Conceptos fundamentales

4 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

TEMA I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Ejercicios resueltos

1. En un tanque, de base circular y radio de 4.5 [dm], completamente lleno, se tienen dos sustancias en

su fase líquida de distintas densidades (1 = 1.5 y 2 = 0.5). La densidad resultante de la mezcla es 800 [kg/m3]. Sabiendo que el volumen del tanque es de 200 litros, determine los volúmenes, en el SI, de cada líquido. Considere que agua = 103 [kg/m3].

VT = 200 [] = 0.2 [m3] ; 1 = 1 agua = (1.5) (103 [kg/m3]) = 1500 [kg/m3] , 2 = 2 agua = (0.5) (103 [kg/m3]) = 500 [kg/m3] ; m = 800 [kg/m3] = m/V m = V VT = V1 + V2 …… (1) ; mT = m1 +m2 , mVT = 1 V1 + 2 V2 …… (2) Despejando de (1): V2= VT – V1 y sustituyendo en (2): m VT = 1 V1 + 2 (VT – V1)

V1 = 21

2mT

-

)-(V

V1 = ]kg/m[)5001500(

][kg/m500)-(800)m (0.23

33

= 0.06 [m3]; V1 = 0.06 [m3]

V2 = (0.2 0.06) [m3] = 0.14 [m3] V2 = 0.14 [m3] 2. Se tiene un tanque de forma rectangular, con aire en su interior con un manómetro conectado (A) el

cual indica una lectura de 85 [kPa], como se muestra en la figura. Dentro de dicho tanque hay otro tanque cilíndrico el cual contiene un gas y tiene conectado otro medidor de presión (B). Afuera hay un barómetro (C) cuyo líquido es mercurio, que indica una altura hbar = 56 [cm]. Determine:

a) La presión absoluta del aire que está en el tanque rectangular. b) La presión absoluta del gas contenido en el tanque cilíndrico. Indique también si el medidor de

presión B funciona como manómetro o como vacuómetro. c) La lectura, en [Pa] que indicaría el medidor B si el tanque cilíndrico se sacara del tanque

rectangular. Indique si en este caso, el medidor B funciona como manómetro o como vacuómetro. g = 9.78 [m/s2] Hg = 132 959 [N/m3] hbar = 56 [cm] PA = 85 [kPa] = 8 [dm] agua 103 [kg/m3] aceite = 0.68




a) P atm = Hg g h bar = Hg h bar = (132 959 [N/m3] )(0.56 [m] ) = 74 457[Pa] ; PA= P aire – P atm ; Paire = P A + P atm = ( 85 000 + 74 457 ) [Pa] ; P aire = 159 457 [Pa]

b) P aire = P a ; P g – P a = ac g (z g – z a)

P g = P a – ac agua g (z g – z a) ; z a = 0 ; z g = P g = P a – ac agua g Pg = (159 457 [Pa] ) – (0.68) (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.8 [m] ) ; Pgas = 154 136.68 [Pa] Como P g < P a , B funciona como vacuómetro.

c) P B = P g – P atm ; P B = (154 136.68 – 74 457) [Pa] ; P B = 79 679.68 [Pa] Como P g > P atm B funcionaría como manómetro.

3. Un tanque cilíndrico para agua ( = 103 [kg/m3]), abierto a la atmósfera en su parte superior,

contiene accidentalmente solo mercurio (Hg = 13.595). En el fondo tiene conectado un manómetro que indica el nivel del líquido e indica “lleno”. Dicho tanque tiene una altura de 85 [cm] en su llenado normal y 40 [cm] de diámetro. Considerando que: la presión ambiente del lugar es 77 [kPa], g = 9.78 [m/s2] y Tamb = 25 [°C], determine para el mercurio contenido en el tanque:

a) La altura que ocupa. b) Su peso. a) Si está lleno de agua: Pman f = a g za ; Pman f = (103 [kg/m3] ) ( 9.78 [m/s2] ) (0.85 [m] ) Pman f = 8 313 [Pa];

Si el contenido es mercurio: Pman f = Hg g zHg ; zHg = g

P

aHg

fman

,

entonces zHg = )s/m[78.9()]m/kg[10)(]1[595.13(

]Pa[3138233

= 0.0625 [m]

b) | W

| = m g ; VHg = ¼ 2 zHg = ¼ (0.4 [m] )2 (0.0625 [m] ) = 7.85693 [m3] m = Hg VHg = (13 595 [kg/m3] ) (7.85693 [m3] ) = 106.8141 [kg] ;

| W

| = ( 106.8141 [kg] ) ( 9.78 [m/s2] ) | W

| = 1 044.6424 [N] 4. El diámetro interno de un tubo en “U”, es de 10 [mm] y contiene mercurio (Hg = 13.622). En la

rama del lado derecho se vierten 20 [cm3] de agua y se espera a que se estabilice el sistema, quedando como se indica en la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas (z), en el SI, entre los dos fluidos en sus superficies libres?




agua = 103 [kg/m3] g = 9.78 [m/s2]

Px = Py ; Pman y = a g La

Va = ¼ d 2 La ; La = 2a

d

V4

; La =

2

35

m01.0

m1024

= 0.2546 [m]

Pman y = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.2546 [m] ) = 2 490.46 [Pa]

Pman x = Hg g LHg = Hg a g LHg ; LHg = g

P

aHg

xman

=

233 s/m78.9m/kg10622.13

Pa46.4902

LHg = 0.0187 [m] ; La = LHg + z ; z = La LHg = (0.2546 [m] ) (0.187 [m] )

z = 0.2359[m] 5. En un recipiente de base cilíndrica, de 1.2 [m] de altura y 80 [cm] de diámetro, se depositan dos

líquidos inmiscibles, como se indica en la figura. La presión atmosférica del lugar es 77 000 [Pa], determine a qué profundidad (z), medida a partir de la superficie libre (z0), la presión absoluta es igual al doble de la presión atmosférica.

1 = 680 [kg/m3] 2 = 13 600 [kg/m3] g = 9.78 [m/s2] Tamb = 22 [°C] = 20 [cm] d = 80 [cm]

Sea S un punto en la superficie libre del líquido 1 y A un punto entre los dos líquidos, entonces: PA – PS = ρ1 g (zA zS); PA = PS + ρ1 g (zA zS);




zA = , zS = 0 ; PA = (77 000 [Pa] ) + (680 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.2 [m] ) =

78 330.08 [Pa] ; como PA < 2 Patm, el punto buscado (x) está debajo de A.

PA – PX = ρ2 g (zA zX); zX = zA A X

2

P P

g

,

zX = (0.2 [m] ) 3 2

(78 330.08 154 000)[Pa]

(13 600 [kg / m ]) (9.78 [m / s ])

= 0.7689 [m]

6. En el laboratorio de esta asignatura, unos alumnos midieron la presión manométrica (Pman) en función de la profundidad (z) en un líquido en reposo, obteniendo la tabla que se muestra. Si la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2] y la presión atmosférica es 56 [cm de Hg], determine, en el SI, para el líquido utilizado:

a) Su densidad relativa. b) Su volumen si la masa de dicho líquido es 1.6 [kg].

z [cm] Pman [Pa]0 0 5 390 10 780 15 1 165

a) Pman = m z + b , m = γ = ρ g , m = dP

dz ; con el método de los cuadrados mínimos, tenemos

que el modelo matemático de Pman = f (z) es:

Pman [Pa] = 7 770 [Pa/m] z [m] + 1 [Pa]; γ = 7 770 [Pa/m] , entonces

ρ = 32

7 770 [Pa / m]794.4785[kg / m ]

g 9.78 [m / s ]

; δL = L

ref

δL = 3

3 3

794.4785[kg / m ]0.7945[1]

10 [kg / m ]

b) ρL = L

L

m

V; VL = L

3L

m 1.6 [kg]

794.4785 [kg / m ]

= 0.002 [m3]




7. Un submarino contiene aire a una presión tal que

permite que la tripulación respire en forma adecuada; se sumerge a una profundidad de 70 [m] como se ilustra. Si hbar = 750 [mm], g = 9.81 [m/s2], la presión atmosférica del lugar es 101 000 [Pa] y la densidad del agua de mar es 1050 [kg/m3], determine:

a) La presión absoluta del aire dentro del submarino. b) La lectura del medidor de presión A e indique si es un

manómetro, un vacuómetro o un barómetro.

a) PS = ρHg g hbar =

PS = (13 600 [kg/m3] ) (9.81 [m/s2] ) (0.75 [m] ) = 100 062 [Pa] b) PA – Patm = – ρa de m g (zA – z0) , PA = Patm – ρa de m g (zA – z0)

PA = (101 000 [Pa] ) – (1 050 [kg/m3] ) (9.81 [m/s2] ) (–70 + 0) [m] = 822 035 [Pa]

Como PS < PA el medidor A funciona como vacuómetro y su lectura sería: LA = PA – PS = (822 035 – 100 062) [Pa] = 721 973 [Pa]

8. En la figura se muestra un tanque que contiene un líquido y, además, aire a presión vacuométrica de

17 000 [Pa], en la parte superior derecha tiene conectado un manómetro, como se muestra en la figura. Sabiendo que la presión absoluta en el fondo del recipiente es 62 438 [Pa] y que la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2], determine:

a) La diferencia de alturas del líquido manométrico, es decir z.

b) El módulo del peso específico del líquido contenido en el tanque. Indique si esta propiedad es intensiva o extensiva.

Patm = 77 000 [Pa] L = 25 [cm] Hg = 13 600 [kg/m3]

a) Pa – Pb = – ρHg g (za – zb) ; Pb = Patm

Pa – Pb = – ρHg g (Δz) = – ρHg g Δz ; a b

Hg

P Pz

g

Pabs a = Patm – Pvac a = (77 000 [Pa] ) – (17 000 [Pa] ) = 60 000 [Pa]

A




3 2

60 000 77 000 Paz

13 600 kg / m 9.78 m / s

= 0.1278 [m]

b) [Pa – Pf ]abs = – L (za – zf) = – L ( L – 0) = – L L ;

L =

a f60 000 62 438 PaP P

L 0.25 [m]

= 9 752 [N/m3] propiedad intensiva

9. Un manómetro diferencial que utiliza agua se encuentra en la pared lateral de un tanque e indica

una diferencia de niveles (z) de 295 [mm] como se indica en la figura. Si un barómetro local indica 750 [mm de Hg] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.8 [m/s2], determine en el SI:

a) La presión absoluta del gas contenido en el tanque. b) La diferencia de niveles que se tendría si en vez de agua

se utilizara aceite ( = 0.86) como fluido manométrico.

Hg = 13 600 [kg/m3] agua = 103 [kg/m3] aceite = 0.86 [1]

a) Patm = Hg g hbar = (13 600 [kg/m3] ) (9.8 [m/s2] ) (0.75 [m] ) = 99 960 [Pa] ;

Pgas Patm = agua g (zg za ) , Pgas = Patm agua g (zg za ) ,

Pgas = (99 960 [Pa] ) (103 [kg/m3] ) (9.8 [m/s2] ) (0.295 0 ) [m] ,

P abs gas = 97 069 [Pa] b) Pgas Patm = aceite g (zg n za n ) , Pgas Patm = aceite agua g (z n ) ,

z n = gas atm

aceite agua

P P

g

=

3 3 2

(97069 99960)[Pa]

(0.86)(10 [kg / m ])(9.8[m / s ])

= 0.343 [m] = 34.3 [cm]

10. Se tiene un tanque cilíndrico con agua abierto a la atmósfera en su parte superior, con un tubo

conectado en el fondo; accidentalmente cae aceite por el tubo quedando como se indica en la figura. Determine:

a) La presión absoluta en el fondo del tanque cilíndrico, es decir en el punto f. b) La altura de aceite (zac).




Patm = 77 000 [Pa] aceite = 0.68 d = 40 [cm] L = 80 [cm] g = 9.78 [m/s2] = 30 [°] agua = 103 [kg/m3]

a)

Pf = ρa g L + Patm;

Pf = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.8 [m] ) + (77 000 [Pa] )

Pf = 84 824 [Pa]

b) PA = PB ; Pabs A = ρa g (½ L) + Patm = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (½) (0.8 [m] ) + (77 000 [Pa] )

Pabs A = 80 912 [Pa] = Pabs B PB – PC = – ρac g (zB – zC)

PB – PC = – ac ρa g (zB – zC); PB – PC = – ac ρa g (– zac); PC = Patm , entonces

B atm

ac 3 3 2ac a

80 912 77 000 [Pa]P Pz

g 0.68 (10 [kg / m ] ) 9.78 [m / s ]

= 0.5882 [m]

11. Se sabe que la presión absoluta más grande en el fondo del mar es de 1.1 108 [Pa]. Una persona

propone medir todas las alturas (Z) con respecto a ese punto. Considere que la densidad del aire de la atmósfera es 1 [kg/m3], que la del agua de mar es 1 030 [kg/m3], suponga además que ambas densidades son constantes y que la aceleración gravitatoria también lo es (g = 9.8 [m/s2] ). Con base en esta referencia propuesta (Z), determine la altura:

a) Del nivel del mar, es decir, donde la presión es 101.325 [kPa]. Exprese el resultado en [km]. b) En la cual la presión absoluta es 90 000 [Pa], exprese el resultado en [km].

Pabs f = 1.1 10 8 [Pa] , Pn – Pf = – ρag mar g (Zn – Zf); Zf = 0

Pn – Pf = – ρag mar g (Zn)

8

n fn 3 2

ag mar

101 325 1.1 10 [Pa]P PZ

g 1 030 [kg / m ] 9.8 [m / s ]

= 10 887.5248 [m]

Zn = 10.8875 [km]

b) Px = 90 000 [Pa] , Pn – Px = ρaire g (Zn Zx); Zn Zx = n x

aire

P P

g

;




Zx = Zn n x

aire

P P

g

= (10 887.52 [m] ) 3 2

101 325 90 000 [Pa]

1 [kg / m ] 9.8 [m / s ]

= 12 043.1323 [m]

Zx = 12.0431 [km] 12. Un balín de hierro, de 2 [cm] de diámetro se coloca dentro de un tanque cúbico lleno con agua

como se muestra en la figura. Si la densidad del hierro es 7 900 [kg/m3] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2], determine:

a) La magnitud de la fuerza de empuje que experimenta el balín. b) El trabajo desarrollado para desplazar el balín 6 [m] hacia el fondo del tanque.

a) Femp = Wfluido desalojado = ma g; ρa = a

a

m

V; ma = ρa Va

Sea Va = Vagua = Vfluido desalojado ; Vb = Vbalín; Femp = ρa Vb g

Femp = (103 [kg/m3] ) (4/3) (0.01 [m] )3 (9.78 [m/s2] ) = 0.041 [N]

b) bW

= mb g = ρb Vb g = (7 900 [kg/m3] ) (4/3) (0.01 [m] )3 (9.78 [m/s2] )

Wb= 0.3236 [N];

calculando la magnitud de la fuerza resultante:

FR = Wb Femp = ( 0.3236 0.041 ) [N] = 0.2826 [N] ;

entonces el trabajo desarrollado por la fuerza resultante es:

2 2

1 2 R R1 1

W F .d F d cos ; 0 ; 1W2 = FR = (0.2826 [N] ) ( 6 [m] ) = 1.6956 [J]

13. Una alpinista lleva un barómetro que marca 95 000 [Pa] en su campamento base. Durante la

escalada toma dos lecturas adicionales: 91 300 [Pa] a 315 [m] y 88 150 [Pa] a 581 [m], ambas alturas con respecto al nivel del campamento base. Estime la densidad del aire a partir del modelo matemático que relaciona las variables involucradas, utilizando la totalidad de las lecturas realizadas. Considere que la densidad media del aire es constante y desprecie el efecto de la altitud sobre la aceleración gravitatoria local de 9.8 [m/s2].

Con la información proporcionada se puede

establecer un modelo matemático que relacione a las variables Pabs = f (z).

Utilizando el método de los cuadrados mínimos, tenemos:

z [m] Pabs [Pa]0 95 000

315 91 300 581 88 150




m = 11.7887 [Pa/m], b = 95 004 [Pa]

entonces, el modelo matemático lineal que relaciona a la presión absoluta en función de la altura es:

Pabs [Pa] = 11.7887 [Pa/m] z [m] + 95 004 [Pa] ;

de acuerdo con la ecuación de gradiente de presión, el significado físico de la pendiente es

m = aire g = aire , por lo que: ρaire = aire

g

, ρaire =

2

11.7887[Pa / m]

9.8[m / s ]

= 1.2029 [kg/m3]

14. Un cuarto hermético a una presión absoluta de 2 veces la presión atmosférica se le ha conectado un

manómetro A. En el interior de este cuarto presurizado se introdujo un tanque cilíndrico el cual contiene un gas y tiene conectado un vacuómetro (B) que indica una lectura de 0.8 [bar]. Considerando que la presión atmosférica del lugar es 1 [bar], determine:

a) La presión absoluta del gas contenido en el tanque cilíndrico en [bar]. b) La lectura que indica el manómetro A. a) Pabs gas = Pabs cuarto LB

Pabs gas = 2 [bar] 0.8 [bar] , Pabs gas = 1.2 [bar]

b) LA = Pcuarto – Patm = 2 [bar] – 1 [bar] , LA = 1 [bar] 5. En la figura se muestra un recipiente que contiene varios

fluidos a 20 [°C]. Si la presión vacuométrica en el punto B es 19 951.2 [Pa] y la aceleración gravitatoria del lugar es g = 9.78 [m/s2], determine:

a) La densidad del fluido desconocido. b) La presión manométrica en el punto D. a) Pman B = 19 951.2 [Pa] , Pman A = 0 [Pa]

Pman B Pman A = L g ( zB zA ) , ρ

ρ .

.

. = 13 600 [kg/m3]

b) PC = PB ; Pman D Pman C = L g ( zD zC )

Pman D = ( 19 951.2 Pa ) (103 [kg/m3] ) ( 9.78 [m/s2] ) ( 0 0.4 ) m = 16 039.2 [Pa]




Ejercicios propuestos 1. En un recipiente esférico cuyo diámetro es de 50 [cm] se tienen confinados 200 [g] de helio a 77

[kPa]. Calcule el volumen específico en [m3/kg] del gas. Respuesta: v = 0.3272 [m3/kg] 2. ¿Cuánto pesa, en [N], el aire contenido en un recinto de 8 [m] de ancho, 12 [m] de largo y 6 [m] de

alto? Considere que la densidad del aire con respecto al agua es de 1.29310 3, para el agua 103 [kg/m3] y que el sistema se encuentra a nivel del mar.

Respuesta W = 7 306.174 [N]

3. Se tienen 633 [m] de un fluido A 79.0A y 500 [g] de un fluido B 82.0B , dichos fluidos

se mezclan de manera miscible. Determine la densidad resultante, en [kg/m3], de la mezcla. Respuesta: = 804.5 [kg/m3] 4. El contenido de un tanque para combustible, cuya capacidad es de 50 [], es del %70 de diesel

88.0diesel , ¿cuál es el peso, en [N], de su contenido? Considere que el tanque se localiza en

Acapulco. Respuesta: W = 302.15 [N]

5. El peso de un globo con aire

324.1

m

kgaire es 880 [mN] en el Distrito Federal, si el diámetro

del globo con aire es de 50 [cm], ¿cuál es la masa, en [g], del globo? Respuesta: m = 8.82 [g] 6. El diámetro interno de un tubo en “U” es de 10 [mm] y contiene mercurio 622.13Hg . En la

rama del lado derecho se vierten 20 [cm3] de agua y se espera a que se estabilice el sistema. ¿Cuál será la diferencia de alturas entre los dos fluidos en sus superficies libres expresada en [cm]?

Respuesta: z = 1.869 [cm] 7. En la figura siguiente se presenta un depósito que contiene tres fluidos “a”, “b” y “c”, las

densidades relativas de los mismos son 89.0 , 1 y 6.13 respectivamente. Las condiciones

ambientales son 77 [kPa], 20 [°C] y 9.78 [m/s2]. Considere para el agua

37.998

m

kg. Establezca la

lectura del instrumento “A” en [kPa] indicando de qué instrumento se trata, manómetro, vacuómetro o barómetro.




Respuesta: PA = 21.033 [kPa], funciona como vacuómetro.

8. Un condensador opera a nivel del mar a 70 [cm de Hg]vac. Dicho equipo se traslada a otro lugar donde su operación se realiza a 50 [cm de Hg]vac. Si la presión absoluta de operación es la misma en ambos lugares, calcule el valor de la presión atmosférica, en [kPa], del segundo sitio.

Respuesta: P = 74.725 [kPa] 9. En un tubo en “U” se tiene mercurio en equilibrio, a una de sus ramas se la agrega una columna de

cm42 de cierto aceite, dicha columna se equilibra con una columna de 2.903 [cm] del mercurio existente. En este equilibrio, ¿cuál es la densidad del aceite con respecto al mercurio?, ¿cuál será la densidad del aceite con respecto a la del agua?

Hg = 13 600 [kg/m3] agua = 1 000 [kg/m3]

Respuestas:

94.0

06912.0

agua

aceite

Hg

aceite

10. Un recipiente cúbico de 1 [m] de arista contiene 400 [] de un fluido ( glicerina = 800 [kg/m3] ),

considerando que el recipiente se encuentra en Tabasco, determine la presión absoluta, en [kPa], en el fondo del recipiente.

Respuesta: P abs = 104.4642 [kPa] 11. Un tubo en “U” cuyo fluido de trabajo es mercurio Hg = 13 600 [kg/m3], está acoplado a un

tanque por una de sus extremos, se sabe que la presión absoluta del gas contenido en el recipiente es de 81 312.6 [Pa]. Indique la lectura, en [cm], que registra el tubo e indique si se trata de un manómetro o de un vacuómetro. El tanque se encuentra a nivel del mar.

Respuesta: z = 15 [cm], es un vacuómetro.




12 Un cilindro de cobre

393.8

dm

kgcu de 4 [cm] de radio y 10 [cm] de altura está apoyado de

manera vertical sobre una superficie plana. ¿Cuánto vale la presión, en [Pa], ejercida sobre la base? Considere las condiciones de 101.325 [kPa], 9.81 [m/s2] y 20 [°C].

Respuesta: Pbase = 8 760.33 [Pa] 13. Un recipiente circular se encuentra en el Distrito Federal. Calcule la presión, en [Pa], en el fondo

de dicho recipiente, si su profundidad es 75 [cm] al llenarse con: a agua 1agua , b mercurio

6.13Hg y c aceite 8.0aceite . Respuestas: a) Pagua = 7 335 [Pa]; b) PHg = 99 756 [Pa]; c) Paceite = 5 868 [Pa] 14. La presión ejercida por una columna de agua de 60 [cm] es igual a la presión que ejerce una

columna de una solución de 50 [cm]. Determine el peso específico, en [N/m3], de la solución. Considere para el ambiente 101.325 [kPa] y 9.81 [m/s2].

Respuesta: solución = 11 772 [N/m2] 15. El diseño de una nueva escala de temperatura es tal, que en condiciones normales del agua, en la

fusión se registran 200 [°lan], mientras que en la ebullición 100 [°lan]. Si la temperatura del cuerpo humano es del orden de los 98 [°F]. ¿Cuál será la lectura en la escala de [°lan]?

Respuesta: L = 163.33 [°lan] 16. ¿A qué temperatura Fahrenheit corresponde una temperatura de 10 [°C]? Respuesta: T = 50 [°F] 17. Un bloque de 10 [kg] se calienta de tal forma que su temperatura se incrementa 60 [°C]. Si a otro

bloque de 30 [kg] del mismo material, se le suministra la misma cantidad de calor que al primero, ¿cuánto se elevará su temperatura, en [K] ?

Respuesta: T = 20 [K] 18. A una elevación de temperatura de 50 [°C] ¿qué elevación corresponde en [°F]? Respuesta: T = 122 [°F] 19. La lectura de un termómetro graduado en [°C] es la tercera parte de la lectura de otro termómetro

graduado en [°F]. ¿Cuál es la lectura en ambas escalas? Respuesta: L = 26.67 [°C]; L = 80 [°F]




20. Un termómetro cuya escala es [°C] marca la misma lectura de otro termómetro cuya escala es [°F], ¿cuál es esa temperatura?

Respuesta: T = 40 21. Se tiene un tanque de 200 [dm3] en la Ciudad de México y se llena con dos líquidos distintos, cuyas

densidades son 1750 [kg/m3] y 780 [kg/m3]; se observa que la densidad resultante es de 950 [kg/m3]. a) Calcule la cantidad, en [kg] y en [m3], que se tiene de cada fluido. b) Calcule el peso de la mezcla.

Respuestas: a) m1 = 61.3404 [kg] ; m2 = 128.6598 [kg]; V1 = 35.0515 [dm3] ; V2 = 164.9485 [dm3];

b) |W|

mezcla= 1858.2 [N]. 22. Un cilindro vertical contiene un gas, el cual se mantiene en el interior mediante un émbolo que se

desliza sin fricción. El émbolo es de 50 [kg] con un diámetro de 17.85 [cm]. Si el ambiente está a 78 [kPa]. ¿cuál es la presión absoluta del gas?

Respuesta: (Pgas) abs= 97 540.8089 [Pa]. 23. Suponga que existe una escala lineal de temperatura (°M) que se define de modo que los puntos de

fusión y de ebullición del agua, a Patm=101.325 [kPa], son 300 y 175, respectivamente. ¿cuántos (°M) corresponden a: 36.5 [°C] y 478.15 [K] ?

Respuestas: 36.5 [°C] equivalen a 254.375 (°M) ; 478.15 [K] equivalen a 43.75 (°M) 24. En 1968 se definió una escala de temperatura llamada "escala práctica internacional"; su finalidad

es facilitar la calibración de los termómetros científicos e industriales. En la lista que sigue se mencionan algunos de los puntos de referencia:

Puntos de referencia ° C °F °R K

Punto triple del hidrógeno 259.34 Punto triple del oxígeno 218.79 Punto de ebullición del oxígeno 182.96 Punto triple del agua 0.01 Punto de ebullición del agua 100.00 Punto de fusión del cinc 419.58 Punto de fusión del antimonio 630.75 Punto de fusión de la plata 961.93 Punto de fusión del oro 1064.43

Tomado de Problemas de Termodinámica, Nuñez F. y González R., Fac. Ingeniería, UNAM (FI/DCB/86-012)




Convierta las temperaturas precedentes en: °F, °R y K.

Puntos de referencia ° C °F °R K Punto triple del hidrógeno 259.34 434.812 24.858 13.81 Punto triple del oxígeno 218.79 361.822 97.848 54.36 Punto de ebullición del oxígeno 182.96 297.328 162.342 90.19 Punto triple del agua 0.01 32.018 491.688 273.16 Punto de ebullición del agua 100.00 212.0 671.67 373.15 Punto de fusión del cinc 419.58 787.244 1246.914 692.73 Punto de fusión del antimonio 630.75 1167.350 1627.914 692.730 Punto de fusión de la plata 961.93 1763.474 2223.144 1235.080 Punto de fusión del oro 1064.43 1947.974 2407.644 1337.58 25. Para elevar una caja de 52 [kg] desde el suelo, un obrero ejerce una fuerza de 190 [N], por una

pendiente de 22° respecto de la horizontal. Cuando la caja se ha movido 3.3 [m], ¿ cuánto trabajo se realizado sobre la caja por el obrero y por la fuerza de gravedad ? Considere que g = 9.8[m/s2].

Respuestas: Wobrero = 629.97 [J] ; Wcampo gravit. = 0 [J] 26. Un cuerpo de masa m= 4.5 [kg] se deja caer desde el reposo y desde una altura h=10.5 [m] sobre el

suelo. ¿ cuál será su rapidez inmediatamente antes de que toque el suelo? Considere que g = 9.8[m/s2].

Respuesta: vf = 14.35[m/s] 27. ¿ Cuál es la volumen de un bloque de plomo, cuya masa es de 540 [kg] si su densidad es de 11 400

[kg/m3] ? Respuesta: V = 0.047 37 [m3] 28. Si la densidad de la gasolina es de 680 [kg/m3], ¿ cuál es su volumen específico ? ¿ cuál deberá ser

la masa contenida en un tanque de 70 litros ? Respuestas: v = 1.4705 10 3 [m3/kg] ; m = 47.6 [kg] 29. En la superficie de una mesa hay un recipiente en forma de cubo de 10 [cm] de lado, totalmente

lleno de benceno. Si se sabe que el recipiente tiene una masa de 100 gramos, ¿ cuál es la presión que ejerce el cubo sobre la superficie de la mesa ?

Respuesta: P = 958.44 [Pa] 30. En la tabla siguiente se muestran algunas densidades a temperatura ambiente ( 20 [°C] ), si se sabe

que la aceleración gravitatoria o intensidad de campo gravitatorio es de g = 9.78 [m/s] y la densidad del agua de 1 000 [kg/m3], complete los valores que se indican en la tabla.




Material densidad [kg/m3]

masa [kg]

densidad relativa

peso [N]

peso específico [N/m3]

volumen específico [m3/kg]

Acero 7 800 1 Aluminio 2 700 2 Bronce 8 700 3 Alcohol 790 4 Benceno 880 5 Mercurio 13 600 6 Aire 1.29 7 CO2 0.76 8 Nitrógeno 1.25 9 Oxígeno 1.43 10 Respuestas:

Material densidad [kg/m3]

masa [kg]

densidad relativa

peso [N] peso específico [N/m3]

volumen específico [m3/kg]

Acero 7 800 1 7.8 9.78 76 284 1.2821104 Aluminio 2 700 2 2.7 19.56 26 406 3.7037104 Bronce 8 700 3 8.7 29.34 85 086 1.1494104 Alcohol 790 4 0.79 39.12 7 726.2 1.2658103 Benceno 880 5 0.88 48.90 8 606.4 1.1364103 Mercurio 13 600 6 13.6 56.68 133 008 7.3529v105 Aire 1.29 7 0.00129 68.46 12.62 0.77519 CO2 0.76 8 0.00076 78.24 7.43 1.3158 Nitrógeno 1.25 9 0.00125 88.02 12.23 0.8000 Oxígeno 1.43 10 0.00143 97.80 13.99 0.6993 31. ¿Cuánto trabajo se requiere para trasladar una caja de 10 [kg] desde la planta baja hasta el 5° piso

de un edificio en la Cd. de México, si la altura de cada piso es de 230 [cm]? Respuesta: W = 1 124.7 [J] 32. ¿Cuánta energía es necesario disipar para detener un automóvil de 800 [kg], si originalmente

viajaba con una rapidez de 100 [km/h]? Respuesta: Ec = 308 641.9753 [J] 33. Se tiene un motor eléctrico para levantar cajas hasta 10 [m] de altura, por ejemplo el motor es capaz

de levantar cajas de 60 [kg] de masa en 30 segundos desde altura cero hasta la altura máxima.




¿Cuanto trabajo desarrolla el motor al elevar cada caja de 60 kg? Si la potencia se define como la energía desarrollada entre la unidad de tiempo, ¿cuál es potencia que desarrolla el

motor?

Respuesta: W = 5 880 [J] ; W =196 [J/s] 34. Se dejan caer 15 [kg] de agua por una tubería, dicha tubería forma un ángulo de 30º con respecto a

la línea horizontal y tiene una longitud total de 100 [m]. Si el agua parte del reposo en t=0 [s], ¿cuál es su rapidez al llegar al final de la tubería? ¿cuál es el cambio en su energía cinética si ha recorrido toda la tubería?

Respuestas: vf=31.32[m/s] ; Ec =7 357.5 [J] 35. ¿Cuál es el cambio de energía interna de un bloque de aluminio de 250 [kg], si pasa de una

temperatura inicial de 40 [ºC] hasta [5ºC] y si su capacidad térmica específica es de 490 [J/(kgK)]?¿El bloque perdió o gano energía? Justifique su respuesta.

Respuesta: U = 4 287 500 [J] ; el bloque perdió energía ya que su temperatura disminuyó.


Primera ley de la termodinámica


TEMA II. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA


1. En un dispositivo cilindro con émbolo carente de fricción, como el que se muestra en la figura, se expanden 200 [g] de un gas desde 0.1 [m3] hasta 0.2 [m3]. La presión absoluta (P) del gas en función de su volumen (V) está dada por el modelo P = A – B V2, donde A y B son constantes y tienen el valor de 1000 y 0.015 respectivamente con ciertas unidades de manera que P está en [bar] y V en []. Determine en unidades del SI:

a) El valor de las constantes A y B del modelo que relaciona a P = f (V). b) La gráfica (v, P) del proceso, en donde v es el volumen específico del gas. c) El trabajo realizado por el gas. 105 [Pa] = 1 [bar] a) m = 200 [g] = 0.2 [kg] ; V1 = 0.1 [m3] ; V2 = 0.2 [m3]

P = A – B V 2 P [bar] = 1 000 [bar] – 0.015 [bar / 2] V []

A = 1 000 [bar]

bar1

Pa105

; A = 100 10 6[Pa]

B = 0.015

62

25

2 m001.0

1

bar1

Pa10bar

; B = 1.5 10 9 [Pa/m6]

b) v = V / m

c) W = 2

1

dVP

W = 2

1

2 dV)BVA( = 2

1

dVA + 2

1

2 dVVB = 2

1

dVA + 2

1

2dVVB

W = A [V]2

1

+ B [ (1/3) V 3] 2

1

= A (V2 – V1)

W = (100 10 6 [Pa] ) (0.2 0.1 [m3] ) + (1/3) (1.5 10 9 [Pa/m6] ) [(0.2 [m3] ) 3 (0.1 [m3] ) 3]

V [m3] P[Pa] 106 v [m3/kg] 0.1 85 0.5 0.12 78.4 0.6 0.14 70.6 0.7 0.16 61.6 0.8 0.18 51.4 0.9 0.2 40 1




W = (10 10 6 [J] ) + (3.5 10 6 [J] ) ; W = 6.5 10 6 [J]

2. Un tanque contiene 125 [] de nitrógeno a 22 [MPa] y 25 [°C]. Se deja escapar lentamente una

parte del gas hasta que llega a la décima parte de la presión original. Sabiendo que el proceso es

isotérmico, que para el nitrógeno R = 0.297 [J/(gK)] y k = 1.4, determine: a) La masa y el volumen específico iniciales del nitrógeno. b) La masa del gas que salió. a) V1 = 125 [] = 0.125 [m3] ; P 1 = 22 [MPa] ; T1 = 25 [°C] = 298.15 [K] = T2

P 2 = (1/10) (22 [MPa] ) = 2.2 [MPa]; R = 0.297 [J/(gK)] = 297 [J/(kgK)] P V = m R T ; P v = R T ;

m1 = 1

11

TR

VP =

)]K[15.298()ΔK)] g [J/(297(

)]m[125.0()]Pa[1022( 36

; m1 = 31.0557 [kg]

v1 = 1

1

P

TR =

)]Pa[1022(

)]K[15.298()ΔK)] g [J/(297(6

; v1 = 4.02510 3 [m3 / kg]

b) m2 = 2

22

TR

VP =

)]K[15.298()ΔK)] g [J/(297(

)]m[125.0()]Pa[102.2( 36

= 3.1053 [kg]

m 1 = m 2 + m s ; m s = m 1 m 2 m s = (31.0557 – 3.1053)[kg] ; m s = 27.9504 [kg]

3. En un conducto, como el que se muestra en la figura, circula un líquido no viscoso de 860 [kg/m3].

Se midió la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, registrándose P1 – P2 = 30.5 [kPa]. Sabiendo que el sistema opera bajo régimen estacionario y que puede considerarse en un proceso adiabático, determine:

a) La rapidez del líquido en el punto 1 en función de la que tiene en el punto 2, es decir v1 = f (v2).

b) La rapidez del fluido en el punto 1, es decir v1. c) El gasto volumétrico que circula por el ducto. Exprese

el resultado en [/min].

g = 9.78 [m/s2] 1 = 2.5 [cm] 2 = ½ 1

a) Sistema: líquido en el conducto en un cierto instante (sistema abierto); G1 – G2 = 0 ; G1 = G2 ; A1v1 = A2v2 ; v1 = (A2/A1) v2 ;

v1 = 221

22

π4

1

π4

1

v

= 2

2

1

2 v

= 2

2

1

121

v

= 22

1 v2 ; v1 = ¼ v2.




b) De acuerdo con la ecuación de Bernoulli: ½ 21v + g z1 + P1 = ½ 2

2v

+ g z2 + P2 como v2 = 4 v1, entonces podemos escribir ½ [ 2

121 )4( vv ] + g ( z1 – z2 ) + ( P1 – P2 ) = 0; despejando la rapidez en 1 tenemos:

v1 = )15(ρ

21

)zz(gρ)PP( 2121

, entonces:

v1 = )15()]m/kg[860(

21

)]m[2.3()]s/m[78.9()]m/kg[860()]Pa[50030(

3

23

; v1 = 0.7456 [m/s]

c) G = A v ; G = ¼ 21 v1 = ¼ (0.025 [m] )2 (0.7456 [m/s] )

G = 0.000366 [m3/s] = 21.9597 [/min]. G = 21.9597 [/min] 4. En un cilindro vertical con un émbolo, se tienen confinados 20 [g]

de un gas ideal como se muestra en la figura. La masa del émbolo es 7 [kg] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2]. El gas está originalmente a 60 [°C], se le proporciona calor y el émbolo se desplaza casiestáticamente 8.9 [cm] hacia arriba, hasta que el fluido alcanza 65 [°C]. Sabiendo que para el gas R = 143 [J/(kgK)], cv = 1430 [J/(kgK)] y k = 1.1, determine:

a) El trabajo de expansión durante el proceso. b) La cantidad de calor suministrada. a) Con base en el diagrama de cuerpo libre del émbolo:

para un proceso casiestático: F = 0,

We + Pamb A – Pg A = 0 ; Pg = ambe P

A

gm

Pg = ]Pa[00077]m[002.0

)]s/m[78.9()]kg[7(2

2

= 111 230 [Pa] ;

sistema: gas ideal en el cilindro (sist. cerrado) Wexp = 2

1

PdV

Wexp = 2

1

dVP = P (V2 – V1) = P A (x) = (111 230 [Pa] ) (0.002 [m2] ) (0.0643 [m] )

Wexp = 14.3042 [Pa]

b) Q + W = U = mu; cv = T

u

; u = cv T ;

Q = m cv T – W = (0.02 [kg] ) (1430 [J/(kgK)] ( 65 – 60 ) °C; Q = 157.3041 [J]




5. En la figura se muestra un tanque esférico, que contiene un gas cuya densidad es 1.39 [kg/m3]. Tiene conectado un manómetro de manera que la inclinación del tubo permite medir diferencias de presiones con mayor exactitud. La diferencia de alturas que indica el medidor es 24 [cm] y la densidad del fluido manométrico es 13 595 [kg/m3]. Si se sabe que para el gas contenido en el tanque: cp = 1.004 [kJ/(kgK)], cv = 0.718 [kJ/(kgK)]; que la presión del lugar es 77.17 [kPa] y la aceleración gravitatoria 9.78 [m/s2], determine, en [°C], la temperatura del gas.

Sistema: gas ideal en el tanque (sist. cerrado). Aplicando la ecuación de gradiente de presión,

tenemos: ( Pgas Pamb )abs = L g ( 0 h ) Pg abs = Pamb + L g ( h ) ; Pg abs = (77 170 [Pa] ) + (13 595 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.24 [m] ) = 109 080.184 [Pa] Para el gas en el tanque tenemos

P v = R T ; de donde T =

R

P

R

vP ; R = cp cv ;

R = (1 004 718 ) [J/(kgK)] = 286 [J/(kgK)] ;

T = )m/kg39.1()])Kkg/(J[286(

]Pa[184.0801093

= 274.3879 [K] ; T = 1.2379 [°C]

6. En un recipiente aislado, se mezclan 400 [g] de agua líquida (cp = 4.186 [J/(gK)] ) a 70 [°C] con

50 [g] de vapor de agua a 100 [°C]. Considerando que el experimento se hace a nivel del mar y que para el agua ebullición = 2 257 [kJ/kg], determine la masa de vapor y la temperatura, en la situación de equilibrio.

Sistema: mezcla en el recipiente (sist. aislado). Q + W = 0 ; como W = 0, entonces Q = 0 QL + QV = 0 ; hipótesis: queda una mezcla de líquido y vapor a la temperatura de ebullición del agua a nivel del mar (100 [°C] ). entonces QL = mL cp (Teb TiL ) ; QV = mVL ebu ; donde mL = masa que originalmente era líquido. mVL = masa que originalmente era vapor y se condensa.

Por lo tanto mL cp (Teb TiL ) mVL ebu = 0 ;

mVL = ebu

iLebPL )TT(cm

=

]kg/J[0002572

]C[)70100()])Kkg/(J[4186()]g[400( = 22.2561 [g] ;

dado que la hipótesis es correcta: Teq = Tebu = 100 [°C]




Sea mVR la masa de vapor resultante: mVR = mV – mVL = (50 – 22.2561 ) [g] = 27 .7439 [g]

7. Se tienen 500 [g] de un gas a 100 [kPa] y 1 [m3] en una esfera elástica; el gas experimenta tres

procesos: el primero de ellos a volumen constante duplicando su presión, durante el segundo, aumenta su volumen al triple, ocasionando que la energía interna aumente en 300 [kJ], manteniendo la presión constante, finalmente el último proceso se realiza adiabáticamente alcanzando la presión inicial del primer estado. El cambio total de la energía interna debido a los tres procesos es de 400 [kJ] y el trabajo neto entregado por el gas es 600 [kJ]. Determine el calor para el primer proceso, indique si lo recibe o lo rechaza el gas.

Sistema: el gas en la esfera elástica (sistema cerrado) Q + W = U 1Q4 + 1W4 = 1U4; 1Q4 = 1Q2 + 2Q3 + 3Q4 3Q4 = 0 ; 1Q2 = 1Q4 2Q3 2W3 + 2Q3 = 2U3 ; 2Q3 = 2U3 2W3

2W3 = 3

2

PdV = P2 (V3 V2) ; P2 = 2 P1 = 2 (100 [kPa] ) = 200 [kPa] ;

V1 = V2 ; V3 = 3V2 = 3( 1 [m3] ) = 3 [m3] ; V2 = 1 [m3] 2W3 = (200 [kPa] ) (3 1 )[ m3] = 400 [kJ] ; 2Q3 = (300 [kJ] ) – ( 400 [kJ] ) = 700 [kJ] por otra parte:

1Q4 = = 1U4 1W4 = (400 [kJ] ) ( 600 [kJ] ) = 1000 [kJ] entonces 1Q2 = (1000 [kJ] ) – (700 [kJ] ) = 300 [kJ]; 1Q2 = 300 [kJ] , de acuerdo con el signo, el gas lo recibe. 8. Una corriente de 9 [kg/s] de un fluido entra a un equipo a 30 [m/s], 13.8 [bar], 0.122 [m3/kg] y una

energía interna específica de 422 [J/g]. Sale del equipo a 140 [m/s], 1.013 [bar], 0.805 [m3/kg] y una energía interna específica de 208 [kJ/kg]. Si la sustancia recibe 4.22 [kJ/s] en su paso por el equipo, ¿cuál es la potencia mecánica que entrega la corriente del fluido?

Sistema: el fluido en el equipo (sist. abierto).

Q + W = m [ec + ep + h] ; considerando que ep = 0 [J/kg], tenemos que

W = m [ec + ep + h] Q ; entonces:




ec = ½ 2

1

2

2 vv = ½ 22 s/m30s/m140. = 9 350

kg

J ;

h = h2 – h1 = (P2v2 + u2) – (P1v1 + u1)

h = [ (1.013105 [Pa] ) (0.805

kg

m3

) + 208 000

kg

J]

– [(13.8105 [Pa] ) (0.122

kg

m3

) + 422 000

kg

J ]

h = – 300 813.5

kg

J ; en consecuencia:

W

= ( 9

s

kg) [ (9 350

kg

J) + ( – 300 813.5

kg

J) ] – (4 220 [W]);

W

= – 2 627.392 [kW]

9. Se dejan caer 12 [kg] de agua por una tubería, que forma un ángulo de 35 [°] con respecto a la línea

horizontal y tiene una longitud total de 100 [m]. Si el agua parte del reposo en t = 0 [s] y la aceleración gravitatoria local es 9.78 [m/s2], determine:

a) El cambio en su energía cinética si ha recorrido toda la tubería. b) La rapidez del agua al final de la tubería. a) Sistema: los 12 [kg] de agua, (sistema cerrado).

a) 1Q2 + 1W2 = 1(ET)2 = 1(EC)2 + 1(EP)2 +1(U)2

suponiendo que: Q2 = 0, 1W2 = 0, T = cte. 1U2 = 0. entonces

1(EC)2 + 1(EP)2 = 0 ; 1(EC)2 = 1(EP)2 = (EP 2 EP 1) = mg (z2 z1)

1(EC)2 = m g h = m g L sen = (12 [kg] )(9.78 [m/s2] )(100 [m] ) sen 35 [°]

1(EC)2 = 6 731.49 [J] b) 1(EC)2 = EC2 EC1 = ½ m [(v2)

2 (v1)2] , como parte del reposo: v1 = 0 [m/s],

1(EC)2 = ½ m (v2)2, v2 =

m

)E(2 2C1 = ]kg[12

)]J[49.7316(2

v2 = 33.495 [m/s]




10. En un ciclo de refrigeración por la compresión de un vapor se utiliza freón 12. El compresor tiene una entrada y una salida de 1.27 [cm] de diámetro. El refrigerante entra al compresor como vapor saturado a – 30 [°C], 0.1 [MPa], 0.1594 [m3/kg], una entalpia específica igual a 174.076 [kJ/kg] y una rapidez de 0.8 [m/s]; sale como vapor sobrecalentado a 0.6 [MPa], 0.0349 [m3/kg] con una energía interna específica igual a 202.164 [kJ/kg]. Considerando que las variaciones de energía cinética y potencial gravitatoria son despreciables, que el compresor es adiabático y que opera bajo régimen estacionario, determine:

a) El gasto másico del refrigerante. b) La potencia que requiere el compresor.

a) m = A v ; A1 = A2 = 4

1 d1

2 = 4

1 ( 0.0127 [m] )2 = 1.2668 10 4 [m2] ;

1m = A1 v1

1v

1 = (1.2668 10 4 [m2] ) (0.8 [m/s] ) (0.1594 [m3/kg]) 1 ;

m = 6.3577 10 4 [kg/s]

b) Sistema: refrigerante en el compresor (sistema termodinámico abierto);

Q

+ W

= m [ec + ep + h] ; ec = 0 ; ep = 0 ; Q

= 0 ;

h2 = u2 + P2v2 = (202.164 [kJ/kg] ) + (0.6 10 6 [Pa] ) (0.0349 [m3/kg] ) = 223.104 [kJ/kg]

W

= (6.3577 10 4 [kg/s] ) [(223.104 [kJ/kg] ) (174.076 [kJ/kg] ) ]

W

= 0.0312 [kW] = 31.2 [W]

11. En un recipiente adiabático se mezclan 200 [g] de hielo a – 15 [°C] con 150 [g] de agua en su fase

líquida a 0 [°C]. El proceso se lleva a cabo a nivel del mar ( Patm = 101 325 [Pa], Tamb = 30 [°C], g = 9.81 [m / s2] ). Considerando que para el agua utilizada: clíquido = 4 186 [J / (kg °C )], chielo = 2 220 [J/(kg°C)] y fusión = 333 [kJ/kg], determine para la situación de equilibrio termodinámico el cociente entre la masa de agua líquida y agua sólida.

Sistema termodinámico: mezcla de agua sólida y líquida en el recipiente adiabático (sistema

cerrado). Hipótesis: queda una mezcla de agua líquida () y sólida (s) a 0 [°C], entonces: mH = 0.2 [kg] (masa que originalmente es hielo a 15 [°C] ), mL = 0.15 [kg] (masa que originalmente es líquido a 0 [°C] );




QH + QL = 0 ; mLS = masa de agua que originalmente era líquido y se solidificó

mH cH (Tfus TiH) – mLS fus = 0 ; mLS = H H fus iH

fus

m c (T T )

;

mLS = (0.2 [kg])(2 220 [J / (kg C)])[0 ( 15)] [ C]

333 000 [J / kg]

= 0.02 [kg]

m = mL – mLS = (0.15 – 0.02) [kg] = 0.13 [kg]

mS = mH + mLS = (0.2 + 0.02) [kg] = 0.22 [kg] , entonces S

m 0.13 [kg]

m 0.22 [kg] = 0.5909 [1]

12. Una masa de 0.5 [g] de nitrógeno (considerado como gas ideal) a una presión de 5 [bar] y con un

volumen de 20 [cm3] se comprime adiabáticamente hasta una presión del doble de la inicial; a continuación se disminuye isométricamente su presión a 8 [bar] y T = 207.46 [°C], determine en el SI:

a) El trabajo en el proceso adiabático. b) El calor en el proceso isométrico. Sistema termodinámico: masa de 0.5 [g] de nitrógeno (sistema cerrado).

a) 1W2 = 2

1PdV ;

entonces, para un proceso adiabático:

1W2 = 2 2 1 1P V P V

k 1

;

k

1 2

2 1

P V

P V

;

1

k1 2

2 1

P V

P V

;

V2 = V1

1

k1

2

P

P

(0.00002 [m3] )

1

1.45 [bar]

10 [bar]

= 0.00001219 [m3] = 1.219 10 5 [m3]

1W2 = 5 5 3 5 5 3(10 10 [Pa])(1.219 10 [m ]) (5 10 [Pa])(2 10 [m ])

1.4 1

= 5.475 [J]

b) 2Q3 + 2W3 = 2U3 ; 2W3 = 0

2U3 = m 2u3 ; cv = u

T

; u = cv T

P2 V2 = m R T2 ; T2 = 5 5 3

2 23

P V (10 10 [Pa])(1.219 10 [m ])

m R (0.5 10 [kg])(296.93 [J / (kg K)])

= 82.1069 [K]

2u3 = cv (T3 – T2) = (742.33 [J/(kgK)] ) (65.69 – 82.1069) [K] = 12 186.76 [J/kg] ,




2Q3 = 2U3 = m 2u3 = (0.510 3 [kg] ) (12 186.76 [J/kg] ) = 6.0934 [J]

13. Una botella de vidrio refractario se cierra herméticamente, conteniendo aire a presión atmosférica

(77 000 [Pa] ) con un volumen de 30 [cm3] y una temperatura de 20 [°C]; en estas condiciones se arroja a una fogata. Considerando que la botella no se dilata por efecto de la temperatura, determine:

a) La presión dentro de la botella cuando su temperatura alcanza los 200 [°C]. b) La cantidad de calor asociada a cada unidad de masa involucrada en el proceso.

a) Sistema termodinámico: aire en la botella (sistema cerrado). P1 = 77 000 [Pa] ; V1 = 30 [cm3] = 0.00003 [m3] = V2 T1 = 20 [°C] = 293.15 [K] T2 = 200 [°C] = 473.15 [K]

a) PV = m R T; V1 = 1

1

m R T

P= V2 V2 = 2

2

m R T

P 1 2

1 2

T T

P P ;

P2 = 2

1

T

TP1 =

473.15 [K]

293.15 [K]

(77 000[Pa]) = 124 279.55 [Pa]

b) 1q2 + 1w2 = 1u2; 1w2 = 0

1q2 = 1u2 = cv (T2 – T1) = (717.3 [J/(kgK)] ) (473.15 – 293.15) [K] = 129 114 [J/kg] 14. Un gas refrigerante entra en un volumen de control, que opera en estado estacionario y régimen

permanente, a través de un tubo con diámetro interno de 1.5 [cm] con una rapidez de 4.53 [cm/s] y tiene un volumen específico de 24.07 [cm3/g]. Sale del volumen de control a través de un tubo con un área transversal circular de 0.35 [cm2] y con una rapidez de 33.2 [m/s]. Determine:

a) El gasto o flujo másico del gas, exprese el resultado en [kg/min]. b) La densidad del gas refrigerante a la salida del volumen de control. a) Sistema: gas refrigerante en un cierto instante en el volumen de control (sistema termodinámico

abierto).

A1 = 1

4π d1

2 = 1

4π (0.015 [m] )2 = 1.7671 10 4 [m2]

balance de masa: 1 2m m m ; además 1m = A1 v1 ρ1 = A1 v1 1v

1

m = (1.7671 10 4 [m2] ) (0.0453 [m/s] ) (0.02407 [m3/kg] ) 1 = 3.3258 10 4 [kg/s]

m = (3.3258 10 4 [kg/s] ) (60 [s]/1[min] ) = 0.019955 [kg/min] ≈ 0.02 [kg/min]

b) 2m = A2 v2 ρ2 ; ρ2 = 2

2 2

m

A = ]s/m[2.33]m[105.3

]s/kg[103258.325

4

= 0.2862 [kg/m3]




15. En un recipiente adiabático se mezclan 190 [g] de vapor de agua a la temperatura de ebullición con el doble de hielo en su punto de fusión. Determine la temperatura de equilibrio y la masa del líquido una vez que se alcanza el equilibrio térmico. Considere: fus = hsf = 79.7 [cal/g], eb = hfg =539.1[cal/g], clíq = 1 [cal/(gC)] , Patm = 101 325 [Pa] y Tamb = 28 [°C].

mH = 2 mV hipótesis: queda una mezcla de líquido y vapor a 100 [°C],

sea mvc = masa de vapor que se condensa.

Q= 0 QH + Qv = 0 mH λfus + mH cL (Teb – Tfus) – mvc λeb = 0

mvc = H fus H L eb fus

eb

m m c (T T )

,

vc

380 [g] 79.7 [cal / g] 380 [g] 1 cal / g C 100 0 Cm

539.1 [cal / g]

= 126.6667 [g]

entonces: mL = mH + mvc = (380 + 126.6667) [g] = 506.6667 [g] y Teq = 100 [°C] 16. Un metro cúbico de un gas ideal se expande al doble de su volumen original casiestáticamente

según la relación P = A V2, donde A = 5 [atm/m6]. Determine: a) La expresión del trabajo asociado al gas, en función de su volumen original; es decir W = f (V1). b) El trabajo de expansión del gas, exprese el resultado en [kJ].

a) P (V) = A V2; A= 5 [atm/m6] 510 [Pa]

1 [atm] = 5 105 [Pa/m6]

W = -22 2 2

2 2 3

11 1 1

1PdV AV dV A V dV A V

3 V2 = 2 V1

W = 3 32 1

AV V

3 = 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

1 1 1A 2V V A 8V V A(7)V

3 3 3

W = 31

7AV

3

b) W = 35 6 375 10 Pa / m 1[m ]

3 = 11.6667 105 [Pam3]

W = 1 166.67 103 [J] = 1 166.67 [kJ]




17. Un sistema termodinámico cerrado se lleva desde el estado “a” al “c” como se muestra en la figura, por la trayectoria “abc” o bien por “adc”. A lo largo de “abc” el trabajo efectuado por el sistema es 350 [J]. A lo largo de “adc” es de 120 [J]. Las energías internas en los cuatro estados son: Ua = 200 [J], Ub = 280 [J], Uc = 650 [J] y Ud = 360 [J]. Determine el calor para cada uno de los procesos siguientes, indicando si el sistema recibe o rechaza calor:

recibe rechaza

a) proceso ab Q = ____________ ( ) ( )

b) proceso bc Q = ____________ ( ) ( )

c) proceso ad Q = ____________ ( ) ( )

d) proceso dc Q = ____________ ( ) ( ) a) aWcT1 = 350 [J] , aWcT2 = 120 [J] ;

Q + W = U ; trayectoria 1 = T1 = a b c , trayectoria 2 = T2 = a d c ;

aQbT1 + aWbT1 = aUb , aWbT1 = 0 , aQbT1 = aUb = Ub Ua

aQbT1 = 280 [J] 200 [J] = 80 [J] , como aQbT1 > 0, entonces el sistema recibe calor.

b) bQcT1 + bWcT1 = bUc , bQcT1 = bUc bWcT1 ,

como aWbT1 = 0 , entonces aWcT1 =bWcT1 = 350 [J] ,

bQcT1 = (Uc Ub) bWcT1 = (650 280 ) [J] ( 350 [J] ) = 720 [J]

como bQcT1 > 0, entonces el sistema recibe calor.

c) aWdT2 + dWcT2= aWcT2 = 120 [J] ; dWcT2 = 0

aWdT2 = aWcT2= 120 [J] ; aQdT2 + aWdT2 = aUd ,

aQdT2 = aUd aWdT2 = (Ud Ua) aWdT2 = (360 200) [J] ( 120 [J] ) = 280 [J]

como aQdT2 > 0, entonces el sistema recibe calor.

d) dQcT2 + dWcT2 = dUc , dWcT2 = 0 , dQcT2 = dUc = Uc Ud ,

dQcT2 = ( 650 360 ) [J] = 290 [J] ,

como dQcT2 > 0, entonces el sistema recibe calor.

recibe rechaza a) proceso ab Q = 80 [J] ( ) ( ) b) proceso bc Q = 720 [J] ( ) ( ) c) proceso ad Q = 280 [J] ( ) ( ) d) proceso dc Q = 290 [J] ( ) ( )




18. En el laboratorio de esta asignatura, un alumno proporcionó energía en forma de calor (Q) a una cantidad de agua líquida, fue midiendo la temperatura (T) que alcanzaba como se muestra en la tabla. Utilizando la totalidad de la información de la tabla, determine:

a) La masa de agua utilizada en el experimento. b) La energía interna que alcanzó el agua si se sabe que cuando su temperatura era 25 [°C] su energía

interna era 25 000 [J].

T [°C] Q [J] 25 0 30 6 698 35 20 10040 26 820

a) Q = m c (T – Ti) = m c T – m c Ti Q = m T + b ; m = m c; mc

m

,

con el método de cuadrados mínimos podemos obtener el modelo matemático lineal que relaciona a Q = f ( T ), entonces:

Q [J] = 1 877.24 [J/°C] T [°C] – 47 605.8 [J], de donde

1 877.24 [J / C]m

4 186 [J / (kg C)]

= 0.4485 [kg]

b) 1Q2 + 1W2 = 1ΔU2 1W2 = 0; entonces 1Q2 = 1ΔU2

de acuerdo con la información de la tabla:

1Q2 = 26 820 [J]; entonces U2 – U1 = 1Q2; U2 = U1 + 1Q2

U2 = (25 000 [J] ) + (26 820 [J] ) = 51 820 [J] 19. En un recipiente de fronteras flexibles, se expande un gas de manera que su presión absoluta es

inversamente proporcional al volumen. Se sabe que originalmente el volumen que ocupa dicho fluido es 0.001 [m3], a una presión de 105 [Pa] y una temperatura de 30 [°C]. Al final del proceso, el gas duplicó su volumen, determine:

a) La presión al final del proceso. b) El trabajo de expansión realizado por el gas, interpretando el signo obtenido.

a) P α 1

V; P =

c

V, c = cte. c = P1 V1 (105 [Pa] ) (0.001 [m3] ) = 100 [Pam3] ,

P2 V2 = c , P2 = 2

c

V , V2 = 2 V1 = 2 (0.001 [m3] ) = 0.002 [m3] ,




P2 = 3

3

100 [Pa m ]

0.002 [m ]

= 50 000 [Pa]

b) 2 2 2

2 2 11 2 1

1 11 1 1

V 2Vc dVW P dV dV c = c Ln V = c Ln c Ln c Ln 2

V V V V

1W2 = (100 [Pa m3]) Ln (2) = 69.3147 [J] el trabajo lo realiza el gas

20. En un recipiente rígido, de 2 [] se tienen 8 [g] de nitrógeno (N2) a una presión absoluta de 3.4

[bar]. Se deja escapar lentamente una cantidad del gas, de manera que la temperatura en el tanque y su contenido no varíe apreciablemente, hasta que la presión es de 2 [bar]. Con base en ello, determine:

a) La temperatura del gas al final del proceso, exprese el resultado en [°C] y en [K]. b) La masa del gas que se dejó salir del recipiente. Exprese el resultado en [g]. a) Vrec = 2 [] = 0.002 [m3] = V1 = V2 , P2 = 2 [bar] = 2 105 [Pa]

1 1 1 N 12P V m R T

5 3

1 11

1 N2

3.4 10 [Pa] 0.002 [m ]P VT

m R 0.008 [kg] 296.93 [J / (kg K)]

T1 = 286.2628 [K] = 13.1128 [°C] b) m1 = mS + m2; mS = m1 – m2

2 2 2 N 22P V m R T

5 3

2 22

N 22

2 10 [Pa] 0.002 [m ]P Vm

R T 296.93 [J / (kg K)] 286.2628 [K]

m2 = 4.7058 10 3 [kg] = 4.7058 [g], mS = ( 8 – 4.7058) [g] = 3.2941 [g] 21. En una planta hidroeléctrica, el agua almacenada presenta un desnivel (L), como se indica en la

figura; a la entrada de la turbina hidráulica se manejan 500 [kg/s] de agua. Determine la potencia que entrega la turbina a un generador si se estima que las pérdidas por fricción son de 30% y el agua sale de dicha turbina con una rapidez de 30 [m/s].

L = 65 [m] g = 9.8 [m/s2]

Sistema: agua en la presa, en el conducto y en la turbina; sistema termodinámico abierto.




En términos de la potencia: Q + W = m (Δec + Δep + Δh) ;

considerando que Q = 0 y Δh = 0 ya que T1 = T2

entonces T

W = m [Δec + Δep] ;

T

W = 2 212 1 2 12m g z z

v v , v1 = 0 [m/s], v2 = 30 [m/s]

T

W = (500 [kg/s] ) [ ½ [(30 [m/s] )2 – (0 [m/s] )2] + (9.8 [m/s2] ) (0 65) [m] ]

T

W = (500 [kg/s] ) ( 187 [m2/s2] ) = 93 500 [W]

genW = 0.7 TW = 0.7 (93 500 [W] ) = 65 450 [W]

22. Un calorímetro, de capacidad térmica específica despreciable, contiene 100 [g] de agua a 20 [°C].

¿Qué cantidad de vapor de agua a 100 [°C] se requiere inicialmente para que quede, al final del proceso, la misma cantidad de agua líquida que de vapor? Considere que el experimento se realiza a nivel del mar.

mL = 100 [g] (masa de agua originalmente líquida a 20 [°C]), TiL = 20 [°C],

como se desea que quede una mezcla de líquido y vapor: Teq = 100 [°C] ;

considerando el contenido del calorímetro dentro de fronteras adiabáticas:

QL + Qv = 0, mL cL (Teb TiL ) mvc eb = 0,

donde mvc = masa de vapor que se condensa;

mL cL (Teb TiL ) = mvc eb ; mvc = mLcL(Teb-TiL)

λeb,

mvc = . / ° °

/ = 0.014844 [kg] = 14.844 [g]

mL final = mL + mvc = ( 100 + 14.844 ) [g] = 114.844 [g],

como mvapor final = mL final , entonces mvapor final = 114. 844 [g], finalmente:

mvapor = mvapor final + mvc = (114.844+14.844) [g] = 129.688 [g]




Ejercicios propuestos

1. En un recipiente de masa despreciable se calientan 104.6 [g] de glicerina, se registran los valores de

la temperatura alcanzada y del calor requerido para lograrlo

T [°C] 10 12 14 16 18 Q [J] 500 990 1550 1999 2500

Con dicha información determine el valor de la capacidad térmica específica de la sustancia en [J/(g°C)]. Respuesta: cglicerina = 2.39 [J/(g°C)]

2. A las condiciones del nivel del mar se tiene un recipiente de paredes rígidas y adiabáticas, en su

interior se tienen 300 [g] de agua a 70 [°C], bajo estas condiciones se le agregan 200 [g] de hielo a 0 [°C]. Establezca la situación de equilibrio (temperatura de equilibrio en [°C] y masa de cada fase en [g] ). Considere para el agua chielo = 2.088 [J/(g°C)], clíquido = 4.186 [J/(g°C)]., fus = hfus = 333.336 [J/g].

Respuesta: Teq = 10.14 [°C], msólido = 0. mlíquido = 500 [g] 3. Al mezclarse 115 [g] de agua a 75 [°C] con 40 [g] de agua a 22 [°C] y sabiendo que cagua = 1

[cal/(gK)], ¿cuál es la temperatura, en [°C], de equilibrio? Respuesta: Teq = 61.32 [°C] 4. Un trozo de 60 [g] de platino ( cPt = 0.031 [cal/(gK)] ) se calienta en un horno de resistencia;

dicho trozo se introduce en un calorímetro de 100 [g] de cobre ( cCu = 0.1 [cal/(gK)] ) que contiene 349 [g] de agua ( cagua = 1 [cal/(gK)] ) a 10 [°C]. La temperatura final en el calorímetro es 15 [°C]. ¿Qué temperatura, en [°C], tenía el platino al sacarlo del horno?

Respuesta: TPt = 980 [°C] 5. En un calorímetro de masa despreciable se mezclan dos litros de agua, uno de ellos a 50 [°C] y el

otro a 90 [°C]. Determine la temperatura final, en [°C], de la mezcla. Considere Patm = 101.325 [kPa], Tamb = 20 [°C], cagua = 1 [cal/(gK)] y vagua = 1 [/kg].

Respuesta: Tfinal = 70 [°C] 6. Mediante una caldera se pretende calentar agua cagua = 1 [cal/(gK)] a razón de 100 [/min] desde

15 [°C] hasta 90 [°C]. Cuántas kilocalorías debe de proporcionar el combustible, si de ellas sólo se aprovechan el %30 .




Respuesta: Qcomb = 25 000 [kcal]

7. En un bloque de hielo que se encuentra a 0 [°C] se ha hecho una cavidad, se introducen en ella 900 [g] de cobre ( cCu = 0.09196 [cal/(gK)] ) a 100 [°C], después que el cobre alcanzó la temperatura del hielo se nota que se tienen 104 [g] de agua líquida. ¿Cuál es el valor de la entalpia de fusión del agua en [cal/g]?

Respuesta: hfus = fus = 79.6312 [cal/g] 8. ¿Qué cantidad de calor, en [kcal], se necesita para fundir 0.7 [kg] de hielo que se encuentran a 0

[°C] a las condiciones del nivel del mar, las cuales son 101.325 [kPa], 9.81 [m/s2] y 20 [°C] ? Considere para el agua Tfus = 0 [°C] y fus = 79.6312 [cal/g].

Respuesta: Q = 5.342 [kcal] 9. Una persona que se encuentra en Mazatlán, pretende bajar lentamente 10 [] de agua una distancia

vertical de 8 [m]. Calcule el trabajo que se realiza en [J]. Respuesta: W = 785 [J] 10. Calcule el trabajo necesario, en [kJ], para acelerar un cuerpo de 2.1 [kg] desde 70 [m/s] hasta 180

[m/s]. Respuesta: W = 28.875 [kJ] 11. Un fluido se encuentra en el interior de un cilindro con émbolo, libre de fricción, a 10 [bar]

ocupando 50 [dm3], se realiza un proceso tal que se alcanzan 80 [dm3] y 1 000 [kPa]. Indique el trabajo, en [kJ], y su dirección.

Respuesta: W = 30 [kJ], sale del sistema

12. Una esfera elástica contiene un gas a 77.17 [kPa] y 20 [°C]; el volumen es proporcional a la

presión durante el proceso. El diámetro inicial es de 0.5 [m] y la esfera duplica su volumen. Calcule el trabajo indicando, en [kJ], indicando si se realiza o se recibe.

Respuesta: W = 7.576 [kJ], se realiza 13. Un gas confinado en un cilindro con émbolo, libre de fricción, se encuentra a 10 [kPa] ocupando

100 []; debido a un calentamiento isobárico el volumen se duplica. A continuación se realiza un proceso isotérmico duplicándose otra vez el volumen. Determine el trabajo, en [kJ], y señale si se hace o se recibe.

Respuesta: Wtotal = 2.39 [kJ], se hace




14. Dentro de un cilindro de un motor de Diesel se tiene 0.59 [g] de aire a 1 [bar], 600 [cm3] y 80 [°C] antes de la compresión. Durante el proceso de la compresión politrópica (n = 1.3) su volumen disminuye hasta la décima parte de su valor inicial. Determine el trabajo en [J] y su dirección.

Respuesta: W = 199.05 [J], entra al sistema 15. El aire contenido en una cámara de llanta sufre un cambio de volumen de 95 [dm3] contra el

ambiente que se encuentra a 77.17 [kPa]. ¿Qué cantidad de trabajo, en [J], se realiza? Respuesta: W = 7 331.15 [J] 16. Hay una sustancia gaseosa confinada en un cilindro con émbolo libre de fricción y acoplado a un

resorte cuya constante es kr = 1 [N/m], al inicio del proceso no actúa el resorte. El diámetro del émbolo es de 10 [cm] y el sistema se encuentra en el Distrito Federal, 77.17 [kPa], 9.78 [m/s2] y 20 [°C]. Calcule el trabajo, en [J], cuándo el émbolo se desplaza 10 [cm] contra el resorte.

Respuesta: W = 60.614 [J] 17. A un gas contenido en un cilindro con émbolo sin fricción se le suministran 105.5 [kJ] en forma

de calor ocasionando una expansión casiestática contra 77.17 [kPa] constantes. Si la energía interna al inicio es la misma que al final, calcule el cambio en el volumen, en [m3], del proceso.

Respuesta: V = 1.37 [m3] 18. Un sistema opera con dos procesos que forman un ciclo. En el primero se reciben 50 [kJ] de calor

y se entregan 80 [kJ] de trabajo. En el segundo se reciben 50 [kJ] de trabajo. Calcule la transmisión de energía en forma de calor, en [kJ], del segundo proceso y su dirección.

Respuesta: Q = 20 [kJ], se entregan 19. Un dispositivo neumático opera de manera constante con una presión de 80 [kPa], el émbolo (con

diámetro de 0.2 [m] ), de dicho dispositivo recorre una carrera de compresión de 20 [cm]. La energía interna del gas contenido en él aumenta 100 [J], determine el calor, en [J] indicando si entra o sale del sistema.

Respuesta: Q = 402.65 [J], el calor sale del sistema 20. El proceso en un sistema cerrado donde se reciben 24 [J] de calor y se entregan 15 [J] de trabajo

da como resultado una energía interna al final de 8 [J], determine al cambio de la energía interna del proceso, en [J] y la energía interna, en las mismas unidades que el cambio anterior, al inicio del proceso.

Respuesta: U = 9 [J], Uinicial = 17 [J]




21. Un gas se encuentra confinado en un cilindro con émbolo y tiene una hélice que opera a 5 [W]. Al inicio el gas tiene 20 [dm3], 20 [°C] y 90 [kPa] pasando al término del proceso politrópico (n=1.25) al doble de su volumen inicial, mientras se le suministran 4 [W] mediante una resistencia. Calcule el cambio de energía interna, en [J], si el tiempo de operación es de 15 minutos.

Respuesta: U = 6 954.45 [J] 22. Un fluido caliente se encuentra en un recipiente rígido. Dicho fluido se va ha enfriar con 100 [kJ]

proporcionados por un agitador. La energía interna inicial del fluido es 800 [kJ] y se disipan 500 [kJ] durante el proceso. Determine el valor de la energía interna final en [kJ].

Respuesta: Ufinal = 400 [kJ] 23. Por una tubería fluye agua (1 000 [kg/m3] ) a 20 [°C], 20 [m/s] y 77.17 [kPa]. Si a la salida se

tiene una velocidad de 80 [m/s], calcule la relación de los diámetros, el de entrada con respecto al de salida.

Respuesta: 2sal

ent

24. Una boquilla reduce su diámetro de 10 [cm] a 2 [cm] y por ella fluye agua a 3 [m/s] constantes.

Calcule la rapidez, en [m/s], del agua a la salida de la boquilla y el gasto volumétrico, en [m3/s].

Respuestas: = 75 [m/s] ; V = 0.0236 [m3/s] 25. Se tiene un recipiente cilíndrico tal que su diámetro es de 2 [m] y su altura de 7 [m]; en él se

presentan dos entradas y dos salidas de V = 3 [dm3/s], m = 4 [kg/s] y V = 2.5 [dm3/s], m = 7 [kg/s] respectivamente. Inicialmente el recipiente contiene 4 [m3] de agua ( 998 [kg/m3] ) ¿El recipiente se llena o se vacía? ¿En cuánto tiempo lo hace (expresado en minutos) ? Considere que las entradas está por la parte superior y las salidas en la inferior.

Respuesta: se vacía en t = 83.574 [min] 26. Se tiene un dispositivo por el que entra y sale agua bajo las condiciones siguientes:

entrada: diámetro de 7.62 [cm], : = 9.144 [m/s], salida 1: V = 0.008496 [m3/s], salida 2: m = 4.377 [kg/s]. Calcule la variación de la masa con respecto del tiempo, en [kg/s], del dispositivo.

Respuesta: ]s/kg[83.28dt

dm




27. Por una tubería circulan 200 [kg/s] de agua. Dicha tubería forma una “T” con un tubo de 5 [cm] de diámetro y otro de 7 [cm] de diámetro. El agua viaja por el tubo de diámetro menor con una rapidez de 25 [m/s]. Calcule la rapidez del flujo de agua, en [m/s], en la tubería de mayor diámetro.

Respuesta: : = 39.213 [m/s] 28. El agua circula a razón de 190 [/min] por una manguera de 3.81 [cm] de diámetro. Si el agua

sale por una boquilla de 1.27 [cm] de diámetro, determine la rapidez, en [m/s], en la boquilla. Respuesta: = 25 [m/s] 29. El agua fluye por una tubería de 10 [cm] de diámetro a 7 [m/s], a lo largo de la tubería se

encuentra una reducción súbita de 7 [cm] de diámetro, ¿cuál es la rapidez, en [m/s], del flujo en esa sección?

Respuesta: = 14.29 [m/s] 30. A través de un tubo de 8 [cm] de diámetro fluye aire a 70 [m/s], 20 [°C] y 200 [kPa].

Considerando para el aire R = 0.287 [kJ/(kgK)], determine el flujo de masa, en [kg/s]. Respuesta: ]s/kg[8364.0m

31. Cierta cantidad de un gas ideal se encuentra dentro de una esfera elástica, la cual se expande

contra el ambiente duplicando su volumen para alcanzar 708 [K]. Si la esfera se encuentra en el D.F., cuyas condiciones son: 77 [kPa] y 9.78 [m/s2], calcule el trabajo realizado, en [kJ], por el gas y su dirección.

Respuesta: W = 6.0984 [kJ], sale del sistema 32. Se tienen 61.6 [g] de un gas ideal ( R = 0.287 [kJ / (kgK)] ) a 99 [kPa] en el interior de un cilindro

con émbolo. Se realiza un proceso “muy lento” de tal forma que su volumen final es un cuarto del inicial con 170 [°C]. Calcule el calor del proceso, en [kJ], y su dirección.

Respuesta: Q = 10.861 [kJ], sale del sistema 33. En un cilindro con émbolo hay 250 [g] de un gas ideal ( Raire = 0.287 [kJ / (kgK)], k = 1.4 )

inicialmente a 6.25 [bar] y 150 [°C]. El gas sufre tres procesos: el primero, isométrico hasta cuadruplicar su presión; el segundo es una expansión politrópica, disminuyendo su presión en un cuarto de la inicial; finalmente, un calentamiento isobárico mediante 612.35 [J/g] al gas, aumentando en 5.1 su volumen inicial. Determine el calor, asociado a cada unidad de masa, total y su dirección, en [J/g].

Respuesta: qtotal = 1 621.8 [J/g]




34. Un tanque de paredes rígidas y de 250 [] de capacidad contiene cierto gas (k = 1.4) a 100 [kPa] y 25 [°C]. Se realiza un proceso tal que la presión al final es 5.1 la presión inicial. Determine el calor del proceso, en [kJ], y su dirección.

Respuesta: Q = 31.25 [kJ], entra al sistema 35. Un globo esférico es llenado con helio RHe = 2.0769 [kJ / (kgK)], hasta alcanzar un diámetro de 6

[cm], 20 [°C] y 200 [kPa]. Calcule la masa, en [kg], del helio así como la cantidad de moles, en [kmol].

Respuesta: m = 37.15 [kg]; n = 9.28 [kmol] 36. En un dispositivo cilindro con émbolo, libre de fricción, se tienen 120 [g] de aire ( Raire = 0.287

[J/(gK)], cv = 0.7175 [kJ/(kgK)] ) a 50 [°C]. Se realiza un proceso adiabático alcanzando 150 [kPa], dicho valor es el doble de la presión inicial. Calcule el trabajo, en [kJ], y su dirección.

Respuesta: W = 1.741 [kJ], entra al sistema 37. Dentro de un dispositivo cerrado se lleva a cabo un proceso politrópico (n=1.23) con 200 [g] de

un gas ideal ( R = 0.287 [J / (gK)], k = 1.4 ) inicialmente a 35 [°C], se sabe que la presión al final es tres veces la inicial. Calcule el calor, en [kJ], y su dirección.

Respuesta Q = 7.454 [kJ], sale del sistema 38. En un recipiente rígido de 200 [] de capacidad se tienen 100 [g] de helio RHe = 2.0769

[kJ/(kgK)], a 350 [kPa]. Debido a una falla se escapa cierta cantidad del gas, tal que, al final el gas dentro del tanque alcanza un tercio de la presión inicial y 561.73 [K]. Determine la masa, en [g], del gas helio que se escapó.

Respuesta: mescapa = 80 [g] 39. Por una tobera adiabática fluyen 5 [kg/s] de agua. A la entrada se tienen 100 [m/s] mientras que

en la salida se tienen 13.07 [kg/m3] y 3 [cm] de diámetro. Calcule el cambio de entalpia específica, en [kJ/kg], en dicho equipo.

Respuesta: h = 141.452 [kJ/kg] 40. Una turbina adiabática que opera con vapor de agua recibe 30 [kg/s] a 15 [MPa], 600 [°C] y una

entalpia específica de 3 582.3 [kJ/kg], el fluido sale de la turbina a 100 [kPa] y 2 675.5 [kJ/kg] de entalpia específica de entalpia específica. Calcule la potencia, en [MW], que entrega la turbina.

Respuesta: W = 27.204 [MW]




41. En la caldera de un ciclo de Rankine circulan 23 700 [kg/h] de agua. A la entrada se tienen 30 [bar], 1.04 [cm3/g] y 417.36 [kJ/kg] de energía interna específica, a la salida 2 804.2 [kJ/kg] de entalpia específica. Si el valor calorífico del combustible es 10.98 [Mcal/kg], calcule el gasto del combustible, en [kg/h], utilizado por la caldera si su eficiencia es del %100 .

Respuesta: m = 1 312.58 [kg/h]. 42. Por una bomba circulan 5 [/s] de agua. A la entrada se tiene para el agua 191.86 [kJ/kg] de

entalpia específica y 0.00101 [m3/kg]. Si la potencia de la bomba es de 60 [kW], calcule la entalpia específica, en [kJ/kg], a la salida del equipo.

Respuesta: hsalida = 203.98 [kJ/kg] 43. Freón 12 fluye por una tubería de 4 [cm] de diámetro, en un punto se tienen, para el refrigerante,

40 [m/s], 40 [°C], 300 [kPa] y 0.068049 [m3/kg]. Debido a la transferencia de calor con los alrededores, en otro punto, corriente abajo, el fluido alcanza 50 [°C]. Considerando que el cambio de entalpia específica entre ambos puntos es de 6.55 [kJ/kg], calcule la potencia calorífica, en [kW], indicando si entra o sale del sistema.

Respuesta Q = 4.84 [kW], entra al sistema 44. Una turbina de aire ( Raire = 0.287 [J / (gK)], k = 1.4 ) produce 35 [kJ/kg] de trabajo. Las

condiciones del aire a la entrada son 300 [kPa], 50 [°C] y 45 [m/s] mientras que en la salida son 100 [kPa], 12 [°C] y 100 [m/s]. Calcule el calor asociado a cada unidad de masa, en [kJ/kg], y su dirección.

Respuesta: q = 0.8165 [kJ/kg], entra al sistema. 45. Se usa un litro de agua a 30 [°C] para hacer té helado, se requiere que el té esté a una temperatura

de 10 [°C]. Determine: a) La cantidad de hielo necesaria, si éste tiene una temperatura de 0 [°C]. b) La masa final de la cantidad de té elaborado. c) El volumen final del té elaborado.

Respuestas: a) m = 0.2224 [kg]; b) m = 1.2224 [kg]; c) V = 1.2224 [dm3] = 1.2224 [] 46. En un cilindro que cuenta con un émbolo, se comprime una sustancia simple compresible desde 15

[dm3] y 110 [kPa] hasta 420 [kPa], según una trayectoria dada por la ecuación P = a V + b, donde a = 37 [MPa/m3].

Obtenga: a) La gráfica del proceso, con las coordenadas adecuadas. b) Haga un análisis de las unidades del producto presión (P) por volumen (V).




x=26 [cm]

d=15 [cm]

c) La cantidad de trabajo en el sistema durante el proceso. d) ¿El sistema recibe o entrega ese trabajo? Justifique su respuesta. Respuestas: a) b) [ P V ]u = [N m] = [J] ; c) W = 2.235 [kJ] ; d) el sistema recibe dado que el gas se comprime. 47. El pistón de la figura tiene un diámetro de 15 [cm] y un peso de 35.6 [N]. Cuando se encuentra a

una distancia x = 26 [cm], la presión en el gas atrapado en el cilindro es 1.01325 [bar]. Si la presión es inversamente proporcional al volumen, calcule el trabajo que se requiere para situar el pistón en x = 6.5 [cm]. Considere que el pistón se mueve sin fricción.

Respuesta: W = + 644.91 [J] 48. Una cierta cantidad de gas ejerce una presión uniforme de 1.35 [bar] (manométricos) sobre un

pistón de 25.5 [cm] de diámetro, haciendo que se desplace 15 [cm]. En un barómetro se lee una columna de 700 [mm] de mercurio, ¿cuánto trabajo realiza el gas?

Respuesta: W = 1749.61 [J]

P = -3.70E+07V + 6.65E+05

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0.0050 0.0070 0.0090 0.0110 0.0130 0.0150 0.0170

P [

Pa]

V [m3]

Presión en función del volumen




49. Por una tubería fluye agua con una rapidez uniforme. En un punto la presión es 25 [kPa] y tiene un diámetro de 8.0 [cm] y en otro punto, 50 [cm] más alto, la presión es 15 [kPa] y diámetro de 4.0 [cm].

a) Encuentre la velocidad del agua en ambos puntos. b) Determine el flujo de masa en la tubería. Respuestas: a) v1 = 0.8242 [m/s] , v2 = 3.2969 [m/s] ; b) m = 4.14 [kg/s] 50. Se emplea una bomba para tomar agua de un lago a razón de 1 [m3/s] y elevar su presión de 120 a

700 [kPa], con el fin de alimentar la tubería principal de los bomberos de una estación cercana al lago. Si la bomba es adiabática y sin fricción, ¿cuál es la potencia necesaria para la bomba?

Respuesta: W = 580 [kW] 51. Un gas está confinado en un cilindro vertical por un émbolo de 2 [kg] de masa y 1 [cm] de radio.

Cuando se le proporcionan 5 [J] en forma de calor, el émbolo se eleva 2.4 [cm]. Si la presión atmosférica es de 105 [Pa] , obtenga:

a) El trabajo realizado por el gas. b) El cambio en la energía interna del gas.

Respuestas: a) W = 1.22 [J] ; b) U = 3.88 [J]

52. Un tanque que contiene 5 [kmol] de H2 a Pman=10105 [Pa] y 303 [K] tiene una válvula de seguridad que abre cuando la presión en el tanque alcanza un valor de Pman=11105 [Pa].

a) ¿Cuál es el volumen del tanque? b) ¿A qué temperatura llegará el hidrógeno cuando se abra la válvula de seguridad? Respuestas: a) V = 11.45 [m3] ; b) T = 330.53 [K] 53. Un gas confinado en un cilindro-émbolo experimenta el proceso representado por la línea recta ac

de la figura, el sistema absorbe 180 [J] de energía en forma de calor. Determine: a) El trabajo realizado por el sistema al pasar de a a c. b) Si Ua=100 [J], cuanto vale Uc. c) El trabajo realizado por el gas cuando regresa a a pasando por b. d) El calor transferido en el proceso c-b-a.




Respuestas: a) W = 150 [J] ; b) Uc = 130 [J] ; c) W = 100 [J] ; d) Q = 130 [J]

54. Determinar la constante particular y el número de moles "n" de los gases siguientes:

gas masa (m) [kg]

masa molecular (M)

[kg/kmol]

constante particular

(Rp) [J/(kgK)]

número de moles (n) [mol]

Hidrógeno H2 1.36 kg 2.01 nitrógeno N2 7.29 kg 28.0 oxígeno O2 15.9 kg 32.0

helio He 11.3 kg 4.0 neón Ne 17.82 kg 20.18

Recuerde que: n=masa/ masa molecular = m/M ; Runiversal = Rparticular M y Runiversal=8 314 [J/kmol K] Respuestas:

gas masa (m) [kg]

masa molecular (M)

[kg/kmol]

constante particular

(Rp) [J/(kgK)]

número de moles (n)

[moles]

Hidrógeno H2 1.36 kg 2.01 4 136.3 676.2 nitrógeno N2 7.29 kg 28.0 296.93 260.4 oxígeno O2 15.9 kg 32.0 259.81 496.9

helio He 11.3 kg 4.0 2 078.5 2 825 neón Ne 17.82 kg 20.18 411.99 883.1

55. Dos moles de gas helio se encuentran a 20 [°C] y P = 200 [kPa]. a) Calcule el volumen del gas. b) Si el gas se calienta a 40 [°C] y su presión se reduce 30%, ¿cuál es el nuevo volumen?

Respuestas: a) V = 24.3724103 [m3] ; b) Vn = 37.1933103 [m3]

100

200

P[kPa]

V [litros] 1 2

a b

c




56. Un cubo de 10 [cm] de lado se llena de oxígeno a 0 [°C] y una atmósfera de presión. A continuación el cubo se sella y se eleva su temperatura a 30 [°C]. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce el gas sobre cada cara del cubo?

F = 1 109.83 [N] 57. Entra agua en una casa por un tubo con diámetro interior de 2.0 [cm] a una presión absoluta de 40

[kPa]. Un tubo de 1.0 [cm] de diámetro interior va al cuarto de baño del segundo piso, 5 metros más arriba. Si la rapidez del flujo en el tubo de entrada es de 1.5 [m/s] calcule, en el cuarto de baño:

a) La rapidez con la que sale el agua. b) La presión con la que sale el agua. c) El flujo volumétrico. Respuestas: a) v1 = 6 [m/s]; b) P2 = 25 925 [Pa]; c) G = 4.7124104 [m3/s] 58. En una cisterna para agua se sabe que entra un flujo de agua de 10 [kg/min] y salen de ésta,

mediante una bomba, 10 [kg/min]. Obtenga: a) El gasto másico en unidades del SI (kg/s). b) El aumento de masa en cada unidad de tiempo. c) La cantidad de masa que se acumula en 15 minutos.

Respuestas: a) m = 0.0217 [kg/s] ; b) m/t = 0.145 [kg/s] ; c) m = 130.5 [kg]

59. En un tanque cilíndrico de oscilación o alivio para gasolina se tiene dos entradas y dos salidas de gasolina; las dos entradas tienen un gasto másico de 1.6 y 2.1 [kg/s]; mientras que las salidas tienen gastos de 1.8 y 1.9 [kg/s] respectivamente. Obtenga:

a) La variación de masa en el tanque de oscilación. (volumen de control). b) Si la entrada de 1.6 kg/s aumenta su flujo a 2.0 kg/s, ¿Cuánta masa se acumula en el tanque en 2

minutos? c) Calcule la altura mínima que debe tener el tanque cilíndrico si se sabe que antes de la variación

indicada en el inciso b), éste contenía 1 000 [kg] de gasolina y un radio de 90 [cm]. La densidad de masa de dicha gasolina es de 968 [kg/m3]

Respuestas: a) m/t = 0 [kg/s] ; b) m = 48 [kg] ; c) hmín = 0.4254 [m]

60. El conjunto de procesos siguiente describen un ciclo, comienza en el punto A. El proceso de A a B

es una reducción de presión a volumen constante. El proceso de B a C es un aumento de volumen a presión constante. El proceso de C a A es una compresión isotérmica. La sustancia de trabajo (sistema) es un gas ideal con n = 0.75 [mol], k = 1.4, cp = 29.1 [J/(molK)] y cv = 20.8 [J/(molK)] . Las presiones absolutas en A y en B son respectivamente: 3.2 [kPa] y 1.2 [kPa]. Si el volumen




inicial, en A, es 0.21 [m3], calcule Q, W y U para cada uno de los tres procesos que forman este ciclo.

Respuestas: Proceso de AB (proceso isométrico): W = 0 ; Q = U 970[J] ; proceso de BC (proceso isobárico): W = 384 [J] ; Q = 1 357 [J] ; U = 973 [J] ; proceso de CA (proceso isotérmico): U = 0 ; Q = W = 622.12 [J].


Segunda ley de la termodinámica


TEMA III. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA


1. Un ingeniero propone una máquina térmica que opera con cierto ciclo, que recibe, de un depósito

térmico a 1200 [K], 834 [kJ] de calor y que rechaza al medio ambiente, a 25 [°C], 275 000 [J] en forma de energía calorífica. Determine:

a) El trabajo que produce la máquina propuesta. b) Si el ciclo es posible o imposible. Justifique su respuesta. c) Si el ciclo satisface la desigualdad de Clausius. Justifique su respuesta. a) 1 200 [K] Qa = 834 000 [J] W Qb = 275 000 [J] 25 [°C] = 298.15 [K] Qciclo + Wciclo = 0 Qa + Qb + W = 0 W = Qa Qb W = (834 000 [J] ) ( 275 000 [J] ) = 559 000 [J]

b) máx = Carnot = 1 – a

b

T

T = 1 –

]K[2001

]K[15.298 = 0.7515

real = aportarquehayquelo

deseasequelo =

|Q|

|W|

a

= ]kJ[834

]kJ[559 = 0.6703

como máx > real, el ciclo sí es posible.

c) T

Q =

a

a

T

Q +

b

b

T

Q =

b

b

a

a

T

Q

T

Q =

]K[15.298

]J[000275

]K[2001

]J[000834 = 227. 36 [J/K]

como T

Q < 0 , el ciclo cumple con la desigualdad de Clausius (se trata de un ciclo irreversible).




2. Se tienen 4 [kg] de un gas ideal, en un dispositivo mecánico, que se comprimen politrópicamente

hasta alcanzar 1/8 de su volumen inicial. La temperatura del fluido compresible se eleva de 150 [°C] a 450 [°C]. Considerando constantes para el gas cp = 1.0393 [J/(gK)] y R = 0.29694 [J/(gK)] determine para el gas:

a) La relación entre su presión inicial y final, es decir P1 / P2. b) El índice politrópico del proceso. c) Su cambio de entropía durante el proceso. a) Sistema: gas ideal en el dispositivo (sistema cerrado); T1 = 150 [°C] = 423.15 [K]; T2 = 450 [°C] = 723.15 [K];

para un gas ideal: 2

22

1

11

TVP

TVP

, de donde

1

2

2

1

2

1

VV

TT

PP

;

como V2 = (1/8) V1, 8

1

V

V

1

2 , por lo tanto

81

]K[15.723]K[15.423

PP

2

1 ; 2

1

P

P = 0.0731 [1]

b) n22

n11 VPVP ;

n

1

2

2

1

VV

PP

; n =

1

2

2

1

V

Vln

P

Pln

=

81

ln

0731.0ln ; n = 1.2577 [1]

c) S = m cp ln 1

2

TT

m R ln 1

2

PP

S = (4 [kg]) (1 039.3 [J/(kgK)] ) ln ]K[15.423]K[15.723

(4 [kg]) (296.94 [J/(kgK)] ) ln 0731.01

S = 879.2917 [J/K] 3. Se mezclan 250 [g] de aluminio, a 85 [°C] con 80 [g] de agua líquida a 21 [°C]. Sabiendo que se

mezclan en un recipiente aislado, que para el aluminio y el agua, cP = 0.91 [J/(gK)] y cP = 4.186 [J/(gK)] respectivamente (ambos valores promedio en este rango de temperaturas), y que la temperatura ambiente es 25 [°C], determine:

a) La temperatura de equilibrio alcanzada por la mezcla. b) Si se verifica el Principio de incremento de entropía en el proceso. a) Sistema: la mezcla en el recipiente aislado (sist. aislado). Q + W = 0 ; como W = 0, entonces Q = 0; mA cA (Teq – TiA) + ma ca (Teq – Tia) = 0 ;

Teq = aaAA

iaaaiAAA

cmcm

TcmTcm

=

Teq = ))]Ckg/(J[4186()]kg[08.0())]Ckg/(J[910()]kg[25.0(

)]C[21())]Ckg/(J[4186()]kg[08.0()]C[85())]Ckg/(J[910()]kg[25.0(




TA = 1073.15 [K]

TB = 298.15 [K]

W

Teq = 46.89 [°C] = 320.04 [K]

b) S =

2

1

2

1 T

QdS ; donde Q = m cp dT

S = 2

1

p

T

dTmc = m cp

2

1 T

dT = m cp [ ln T2 – ln T1 ] = m cp ln

1

2

T

T

SA = (0.25 [kg] ) ( 910 [J/(kgK)] ) ln K15.358

K04.320 = 25.5951 [J/K] ;

Sa = (0.08 [kg] ) ( 4186 [J/(kgK)] ) ln K15.294

K04.320 = 28.2492 [J/K] ;

Ssist aislado = SA + Sa = (25.5951 [J/K] ) + (28.2492 [J/K] ) = 2.6541 [J/K] > 0; cumple con el principio de incremento de entropía.

4. Suponga una máquina térmica que opera con el ciclo reversible de Carnot entre los depósitos de

temperatura T1 = 800 [°C] y T2 = 25 [°C]. Se sabe que utiliza 1.2 [mol] de aire y que durante la expansión isotérmica a la temperatura superior, el volumen que alcanza es el doble del volumen inicial. Considerando que la presión máxima en el ciclo es 1.5 105 [Pa], determine:

a) El calor durante el proceso de la expansión isotérmica. Indique si entra o sale del aire. b) El trabajo neto que entrega el ciclo.

a) 1Q2 + 1W2 = 1U2 ; 1U2 = 0 ; 1Q2 = 1W2

1W2 = n Ru TA Ln 1

2

V

V ;

1W2 = (1.2 [mol] ) (8.314

Kmol

J) (1073.15 [K] ) ln

1

1

V

V2

1W2 = 7 421.25 [J] 1Q2 = ( 7 421.25 [J] ) = 7 421.25 [J] ; entra al sistema.

b) c = A

B

T

T1 = 1 –

]K[15.0731

]K[15.298 = 0.7222

c = A

neto

Q

W; |Wneto| = |QA| = (0.7222) (7 421.25 [J]) = 5 359.43 [J]




TA = 500 [K]

TB = 300.15 [K]

W

QA = 200 [J]

TA

TB = 300 [K]

Wneto

QA

QB

5. Una máquina de vapor tiene una caldera que opera a 500 [K]. El calor cambia el agua líquida a vapor, el cual mueve un pistón. La temperatura de escape es

la del aire ambiente, aproximadamente a 27 [°C]. Determine: a) La eficiencia térmica máxima de esta máquina de vapor. b) El trabajo máximo que puede realizar la máquina, en cada ciclo de operación, si la sustancia de

trabajo recibe 200 [J] de calor del depósito de temperatura alta durante cada ciclo.

a) c = A

B

T

T1 = 1 –

]K[500

]K[15.300 = 0.3997 0.4 [1]

b) c = |Q|

|W|

A

neto ; | Wneto | = c | QA |

| Wneto | = (0.4) (200 [J] ) = 80 [J] o bien

c = A

B

Q

Q1 ;

A

B

Q

Q= 1 – c ; QB = (1 – c ) QA

QB = (1 – 0.4 ) (200 [J] ) = 120 [J]; | QA | = | Wneto | + | QB | ; | Wneto | = | QA | – | QB | | Wneto | = (200 – 120) [J] = 80 [J]

6. La eficiencia térmica máxima, teórica, de un motor, basado en el ciclo reversible de Carnot, es de

30%. Si el motor libera sus gases a la atmósfera, la cual está a una temperatura de 300 [K], determine:

a) La temperatura de la sustancia de trabajo en el cilindro inmediatamente después de la combustión. b) El trabajo que realiza en cada ciclo, si la máquina recibe 837 [J] de la fuente de calor.

a) c = A

B

T

T1 ;

A

B

T

T= 1 c

TA = c

B

1

T

=

3.01

]K[300

; TA = 428.57 [K]

b) QA = 837 [J]

c = |Q|

|W|

A

neto ; | Wneto | = | QA |

|Wneto| = (0.3) (837 [J] ) ; | Wneto | = 251.1 [J]




7. Calcule el cambio de entropía en el plomo cuando 300 [g] de éste se funden a 327 [°C] y una presión atmosférica de 77 [kPa]. La entalpia de fusión del plomo es 24.5 [kJ/kg].

sistema: los 300 [g] de plomo (sistema termodinámico cerrado) ;

T = 327 [°C] = 600.15 [K] ; hfus = 24.5 [kJ/kg] = hsf ; Q = m hfus

1ΔS2 = 2

1 T

Q; T1 =T2 = cte. (cambio de fase) ; 1ΔS2 =

2

1 T

1Q

T

1m hsf

1ΔS2 = ]K[15.600

)]kg/J[50024()]kg[3.0( = 12.2469 [J/K]

8. Un mol de aire ( M = 29 [g/mol] ) considerado como gas ideal se calienta casiestáticamente a

volumen constante, para aumentar su temperatura de 26.85 [°C] a 126 [°C], ¿cuál es el cambio de entropía del gas?

sistema: 1 [mol] de aire (sistema termodinámico cerrado); V1 = V2; T1 = 26.85 [°C] = 300 [K] , T2 = 126 [°C] = 399.15 [K]

1ΔS2 = m cv ln 1

2

T

T + m R ln

1

2

V

V ; n =

M

m; m = n M = (1 [mol] ) (29 [g/mol] ) = 29 [g];

m = 0.029 [kg] ; entonces

1ΔS2 = (0.029 [kg] ) (717 [J/(kgK)]) ln ]K[300

]K[15.399 + (0.029 [kg]) (286.7 [J/(kg.K)] ) ln (1)

1ΔS2 = 5.9375 [J/K] 9. Un kilogramo de agua a 0 [°C] se mezcla con una cantidad igual de agua a 100 [°C] en un

recipiente aislado. Sabiendo que el proceso se realiza en fase líquida y a nivel del mar, determine para la mezcla:

a) La temperatura final. b) El cambio de entropía. a) Sistema: mezcla de agua dentro del recipiente aislado (sistema termodinámico aislado). TiA = 0 [°C] = 273.15 [K] ; TiB = 100 [°C] = 373.15 [K] ;

QA + QB = 0 , mA cA ( Tf TiA ) + mB cB ( Tf TiB ) = 0 , como mA = mB y

cA = cB, tenemos que: ( Tf TiA ) + ( Tf TiB ) = 0 , de donde:

Tf = ½ ( TiA + TiB ) = ½ ( 0 + 100 ) [°C] = 50 [°C] = 323.15 [K]




b) 1S2 = 2

1 T

Q =

2

1 T

dTcm = m c

2

1 T

dT = m c [ ln T ]i

f = m c ( ln i

f

T

T) ; entonces,

para la mezcla:

1S2 = 1S2-A + 1S2-B = mA cA ln iA

fA

T

T + mB cB ln

iB

fB

T

T ;

1S2 = (1 [kg] ) ( 4 186 [J/(kgK)] ) ln ]K[15.273

]K[15.323 + (1 [kg] ) ( 4 186 [J/(kgK)] ) ln

]K[15.373

]K[15.323

1S2 = ( 703.6478 [J/K] ) + ( 602.2142 [J/K] ) = 101.4336 [J/K] 10. Un sistema cerrado contiene 0.1 [kg] de aire como gas ideal a 3 [bar] y 200 [°C], rechaza 7.7

[kJ/kg] de calor al medio ambiente que está a 20 [°C] y realiza un trabajo de 17 500 [J]. Si la presión final del sistema es 15 [bar] y su temperatura es 321 [°C], determine:

a) La variación de entropía específica del aire, en [kJ/(kgK)]. b) La generación total de entropía en el proceso y, con base en ello, indique si es posible o imposible. T1 = 200 [°C] = 473.15 [K], T2 = 321 [°C] = 594.15 [K]. a) Sistema: aire como gas ideal (sistema termodinámico cerrado).

1s2 = cp ln 2

1

T

T R ln 2

1

P

P = (1 004 [J/(kgK)] ) ln

594.15 [K]

473.15 [K] (286.7 [J/(kgK)] ) ln

15 [bar]

3 [bar]

1s2 = (228.6302 [J/(kgK)] ) (461.4258 [J/(kgK)] ) = 0.2328 [kJ/(kgK)]

b) Como 1S2 = 1

2

Q

T

; y 1s2 =

1

2

q

T

,

para el medio ambiente tenemos que:

1s2 = 1 2

amb

q

T ; 1q2 = 7 700 [kJ/kg], entonces:

1s2 = 7 700 [J / kg]

293.15 [K] = 26.2664 [J/(kgK)]

calculando ahora la entropia total (aire y medio ambiente), tenemos:

sT = saire + smedio amb = ( 232.7956 [J/(kgK)] ) + (26.2664 [J/(kgK)] ) = 206.5292 [J/(kgK)] como el aire y el medio ambiente forman un sistema aislado, entonces: ssist.aislado ≥ 0 y en este caso sT < 0 , por lo tanto el proceso es imposible.




11. Se tiene una máquina térmica que opera con una masa de nitrógeno (N2), de acuerdo con el ciclo que se muestra en la gráfica. Si el nitrógeno se comporta como gas ideal y la temperatura en el estado inicial es T1:

a) Determine la temperatura en el estado 3 (T3), en función de la temperatura en el estado inicial (T1). b) Si el ingeniero que diseñó esta máquina afirma que su eficiencia es 0.7, indique, justificando su

respuesta, si esta afirmación es verdadera o es falsa.

V1 = V2; V3 = V4 = 2V1 ; P1 = P4; P2 = P3 = 2P1 a) proceso 12:

1 1 2 2

1 2

P V P V

T T ; V1 = V2; 1 2

1 2

P P

T T ; 1 1

1 2

P 2P

T T

1 2

1 2

T T T1 = 2T

2;

proceso 23:

3 32 2

2 3

P VP V

T T ; P2 = P3; 32

2 3

VV

T T ; V3 = 2V2

2 2

2 3

V 2V

T T ;

2 3

1 2

T T ; T3 = 2T2 como T1 = 2

1T

2, entonces

T2 = 2T1 T3 = 2 ( 2T1 ) = 4 T1; T3 = 4 T1 b) TA = T3; TB = T1 entonces la eficiencia máxima teórica está dada por:

ηT = 1 B

A

T

T = 1 1

3

T

T = 1 1

1

T

4T = 1

1

4 = 0.75 [1]

como ηmáquina = 0.7 y ηmáquina < ηT la afirmación es verdadera.

12. Si una máquina opera con el ciclo de Carnot reversible y se sabe que la presión máxima que alcanza

es el doble de la mínima; el volumen se comprime a la mitad del máximo y dicha máquina opera entre los depósitos térmicos de 800 [°C] y 0 [°C], determine:

a) La eficiencia de la máquina. b) El trabajo que entrega en cada ciclo si recibe 580 [J] del depósito de temperatura alta. a) P1 = 2P3 TA = 800 [°C] = 1073.15 [K]

v1 = (½) v3 TB = 0 [°C] = 273.15 [K]

η = 1 B

A

T

T = 1

273.15 [K]

1 073.15 [K] = 0.7455 [1]




b) |QA| = |Wneto| + |QB| lo que se desea

lo que hay que aportar

neto

A

W

Q ; Wneto = η QA Wneto = (0.7455) (580 [J] ) = 432.372 [J]

13. Una máquina térmica reversible ideal opera en ciclos entre las temperaturas 100 [°C] y la

temperatura del medio ambiente (0 [°C] ). Si se sabe que su eficiencia es de 20% y el calor que recibe es 17 000 [J], determine:

a) La variación de entropía del medio ambiente. b) La eficiencia máxima teórica posible de una máquina que opere entre los depósitos térmicos

indicados.

a) ΔS = B

amb amb amb

QQ 1Q

T T T

η = neto

A

W

Q; Wneto = η QA = (0.2) (17 000 [J] ) = 3 400 [J] |QA| = |Wneto| + |QB|;

|QB| = |QA| |Wneto| |QB| = (17 000 [J] ) – (3 400 [J] ) = 13 600 [J]

ΔS = 13 600 [J]

273.15 [K] = 49.7895 [J/K]

b) η = 1 B

A

T 273.15 [K]1

T 373.15 [K] = 0.268 [1]

14. Una mezcla preparada con 50 [g] de hielo y 50 [g] de agua líquida tiene una temperatura de 0 [°C]

en un calorímetro de paredes adiabáticas. Se adicionan 250 [g] de agua líquida a 45 [°C]. La temperatura ambiente es de 25 [°C]. Determine:

a) La temperatura de equilibrio considerando que el experimento se realiza a nivel del mar. b) El cambio de entropía de la mezcla que originalmente estaba a 0 [°C], es decir de los 50 [g] de hielo

con los 50 [g] de agua líquida. c) El cambio de entropía de todo el contenido del calorímetro. cagua líq = 4186 [J/(kg°C)], chielo = 2 220 [J/(kg°C)], fus = hsf = 334 [kJ/kg] a) hipótesis: queda agua líquida a una temperatura ( 0 Teq 45 ) [°C] mH = 50 [g] = 0.05 [kg] (masa de agua que originalmente era hielo a o [°C] ) mLA = 50 [g] = 0.05 [kg] (masa de agua líquida originalmente a 0 [°C] )




mLB = 250 [g] = 0.25 [kg] (masa de agua líquida originalmente a 45 [°C] )

Q = 0 , mH hsf + (mH + mLA) cL ( Teq Tfus ) + mLB cL ( Teq Ti LB ) = 0

Teq = L H LA fus LB L i LB H sf

L H LA LB

c (m m )T m c T m h

c (m m m )

, Tfus = 0 [°C], Teq = LB L i LB H sf

L H LA LB

m c T m h

c (m m m )

,

sustituyendo:

Teq =

(0.25[kg])(4186[J / (kg C)])(45[ C]) (0.05[kg]) (334000[J / kg])

(4186[J / (kg C)]) (0.05 0.05 0.25)[kg]

Teq = 20.7443 [°C] = 294 [K]

b) 1S2 = 2

1

Q

T

; Smezcla =

2 2S L

1 1

Q Q

T T

, Tfus = 0 [°C] = 273.15 [K] = cte.

Smezcla = 2

S1fus

1Q

T + (mH + mLA ) cL

2

1

dT

T = fus

1

TmH hsf + (mH + mLA ) cL Ln 2

1

T

T

Smezcla = fus

1

TmH hsf + (mH + mLA ) cL Ln eq

fus

T

T =

1

273.15[K] (0.05[kg] ) (334 000 [J/kg] ) +

(0.05 + 0.05) [kg] (4186 [J/(kg°C)] ) Ln 294[K]

273.15[K] = 91.9303 [J/K]

c) Scontenido = Smezcla + Sagua líq. adic. , Sagua líq. adic. = 2

1

Q

T

;

Sagua líq. adic = mLB cL Ln eq

i LB

T

T Ti LB = 45 [°C] = 318.15 [K] ,

Sagua líq. adic = (0.25 [kg] ) (4186 [J/(kg°C)] ) Ln 294[K]

318.15[K] = 82.6141 [J/K]

Scontenido = (91.9303 [J/K] ) + ( 82.6141 [J/K] ) = 9.3162 [J/K] 15. Un matraz con 100 [g] de benceno (C6H6) líquido en su punto de fusión a 5.5 [°C] se pone en

contacto con una mezcla de hielo-agua líquida. El contacto se mantiene hasta que se congela todo el benceno y aún queda la mezcla de agua líquida y sólida. Si se sabe que la entalpia de fusión del benceno es hfus = 126.86 [J/g], determine:

a) La variación de entropía del benceno. b) La variación de entropía del universo. a) sistema: 100 [g] de benceno; sistema termodinámico cerrado. Ti benceno = Tfus benceno = 5.5 [°C] = 278.65 [K] , Tmezcla = 0 [°C] = 273.15 [K]

ΔSb = b

fus b

Q

T

= b

fus b

1 Q

T =

fus b

1

T ( mb λfus b) =

1

278.65 [K][ (100 [g] ) (126.86 [J/g] )]

ΔSb = 45.5266 [J/K]




b) ΔSuniv = ΔSb + ΔSa ; ΔSa = 2 a

1a fus a

Q 1

T T

Qa

Qa = Qb; Qb = mb λfus b = (100 [g] ) (126.86 [J/g] ) = 12 686 [J]

Qa = ( 12 686 [J] ) = 12 686 [J], entonces

ΔSa = 1

273.15 [K](12 686 [J] ) = 46.4433 [J/K]

ΔSuniv = ( 45.5266 [J/K] ) + (46.4433 [J/K] ) = 0.9167 [J/K] ≥ 0 16. Un tanque rígido y adiabático contiene aire a 0.95 [bar] y 27 [°C]. Se tiene un motor exterior que

mueve una hélice ubicada en el interior del tanque, agitando el aire hasta que su presión llega a 1.4 [bar].

a) ¿Cuánto trabajo, asociado a cada unidad de masa, entrega el motor? b) ¿Cuál es la variación de entropía específica del aire? a) sistema: aire en el tanque; sistema cerrado. q + w = Δu; como q = 0, entonces w = Δu

P1 V1 = mRT1; V1 = 1

1

mRT

P; V1 = V2

1 2

1 2

mRTmRT

P P ; 1 2

1 2

T T

P P ; T2 = T1 2

1

P

P

T2 = (300.15 [K] ) 5

5

1.4 10 [Pa]

0.95 10 [Pa]

= 442.33 [K]

Δu = cv ΔT; Δu = cv (T2 – T1) w = cv (T2 – T1) = (717.3 [J/(kg.K)] ) (442.33 – 300.15) [K] = 101 983.07 [J/kg]

b) 1Δs2 = cv Ln 2

1

T

T+ R Ln 2

1

V

V; V1 = V2

1Δs2 = cv Ln 2

1

T

T= (717.3 [J/(kgK)] ) Ln

442.33 [K]

300.15 [K]= 278.15 [J/kgK]

17. Una planta de potencia de vapor con 456 [MW] de potencia neta y un rendimiento térmico del 38%

se refrigera con agua de un río cercano. El gasto másico necesario de agua del río es 6 600 [kg/min] para cada [MW] de potencia generado. Determine:

a) El flujo de calor, asociado a cada unidad de masa, cedido al agua de río. b) El incremento de temperatura del agua del río a su paso por la planta de potencia. a) 1 MWm = 6 600 [kg/min] = 110 [kg/s] , total Tm m = (110 [kg/s] ) (456) = 50 160 [kg/s]

sistema: ciclo de la planta de potencia




n

A

W

Q ; n

A

W

Q

; nA

W 456 [MW]Q

0.38

= 1200 [MW]

A n BQ W Q ; B A nQ Q W = (1 200 [MW] ) – (456 [MW] )

BQ = 744 [MW]; BQ = 744 [MW]

q = Q

m; q =

6Q 744 10 [W]

m 50 160 [kg / s]

= 14 832.5359 [J/kg]

b) Sistema: agua del río, sistema termodinámico abierto.

BQ = 744 [MW] (lo recibe el agua de río)

BQ = m c ΔT; BQ = m c ΔT

ΔT =

6

BQ 744 10 [W]

m c 50 160 [kg / s] 4 186 [J / (kg K)]

= 3.5434 [K] = 3.5434 [°C]

18. Una máquina térmica con ciclo de Carnot, reversible, opera entre un depósito térmico de

temperatura a 726.85 [°C] y otro depósito de temperatura a 26.85 [°C]. Si la máquina térmica recibe 800 [kJ] de calor, determine para cada ciclo que realiza la máquina:

a) Su eficiencia térmica y el trabajo que entrega. b) La variación de entropía en cada proceso. a) TA = 726.85 [°C] = 1 000 [K] TB = 26.85 [°C] = 300 [K]

η = 1 B

A

T

T = 1

300[K]

1000[K]

= 0.7 [1]

η = n

A

W

Q |Wn| = η |QA| = (0.7) (800 000 [J]) = 560 [kJ] , Wneto = 560 [kJ]

b) ΔS = Q

T

;

sea 12: proceso isotérmico a temperatura constante (TA) 23: proceso de expansión adiabática ( Q = 0 ) 34: proceso isotérmico a temperatura constante (TB) 41: proceso de compresión adiabática ( Q = 0 )

entonces: 1ΔS2 = 2 A

1A A

Q Q

T T

; 1ΔS2 =

800 000[J]

1000[K]

= 800 [J/K] ,

los procesos 23 y 41 son adiabáticos reversibles, por lo tanto: 2ΔS3 = 0 y 4ΔS1 = 0 ,




además, sabemos que en un ciclo: ΔSciclo = T

Q= 0, entonces 1ΔS2 + 3ΔS4 = 0 ,

por lo que podemos escribir 3ΔS4 = 1ΔS2 ; 3ΔS4 = 800 [J/K] ;

esta última variación se puede calcular, también, como sigue:

3ΔS4 = 4 B

3B B

Q Q

T T

; por otro lado |QA| = |Wn| + |QB|, entonces

|QB| = |QA| |Wn| = (800 [kJ] ) – (560 [kJ] ) = 240 [kJ]; QB = 240 [kJ]

3ΔS4 = 240 000 [J]

300 [K]

= 800 [J/K]

19. Un tanque rígido contiene aire como gas ideal a 40 [°C] que se agita mediante una hélice, la cual

efectúa 200 [kJ/kg] de trabajo, asociado a cada unidad de masa, sobre el gas hasta que su temperatura llega a 80 [°C]. Determine:

a) El calor, asociado a cada unidad de masa, que se transfiere en el proceso. b) La variación de entropía específica del gas. a) sistema: gas ideal en el tanque rígido (sistema termodinámico cerrado),

T1 = 40 [°C] = 313.15 [K] T2 = 80 [°C] = 353.15 [K]

1q2 + 1w2 = 1Δu2 , 1q2 = 1Δu2 1w2 ,

1Δu2 = cv (T2 T1) = ( 717 [J/(kgK)] ) (353.15 313.15) [K] = 28 680 [J/kg]

1q2 = 28 680 [J/kg] 200 000 [J/kg] , 1q2 = 171 320 [J/kg]

b) 1s2 = 2

1

q

T

=

2v

1

c dT

T = cv ln 2

1

T

T

1s2 = ( 717 [J/(kgK)] ) ln 353.15[K]

313.15[K] 1s2 = 86.1909 [J/(kgK)] )

20. La eficiencia máxima teórica de un motor de gasolina, basada en el ciclo de Carnot, es 30%. Si el

motor libera sus gases a la atmósfera, la cual está a 300 [K] y recibe 8370 [J] de la fuente de calor en cada ciclo, determine:

a) La temperatura del fluido de trabajo inmediatamente después de la expansión isotérmica. b) El trabajo realizado y el calor rechazado, por el motor, en cada ciclo.

a) η = 1 B

A

T

T , TA = BT

1 = TA =

300 [K]

1 0.3 = 428.57 [K]




b) |QA| = |Wneto| + |QB|; η = neto

A

W

Q; |Wneto| = η |QA|

|Wneto| = (0.3) (8 370 [J] ) = 2 511 [J] Wneto = – 2 511 [J] |QB| = |QA| – |Wneto| = (8 370 [J] ) – (2 511 [J] ) = 5 859 [J] QB = – 5 859 [J]

21. Una máquina que utiliza el ciclo de Carnot, recibe 100 [J] de calor de un depósito térmico a 400

[K], realiza trabajo y rechaza calor a otro depósito térmico de 300 [K] en cada ciclo, determine: a) La variación de entropía en los depósitos térmicos. b) La variación de entropía del universo.

a) η = B

A

T1

T =

300 [K]1

400 [K] = 0.25 , η = neto

A

W

Q , |Wneto| = η |QA|

|Wneto| = (0.25) (100 [J] ) = 25 [J] , |QA| = |Wneto| + |QB|; |QB| = |QA| |Wneto| |QB| = (100 [J] ) (25 [J] ) = 75 [J] , entonces

ΔSA = AA

A A

Q Q 100 [J]

T T 400 [K]

, ΔSA = 0.25 [J/K]

ΔSB = BB

B B

Q Q 75 [J]

T T 300 [K]

, ΔSB = 0.25 [J/K]

b) ΔSuniv = ΔSA + ΔSB ; ΔSuniv = 0.25 [J/K] + 0.25 [J/K] , ΔSuniv = 0 [J/K]

22. Un refrigerador tiene un coeficiente de operación de 5. Si recibe 120 [J] de calor de un depósito

térmico en cada ciclo, determine: a) El trabajo que recibe el refrigerador en cada ciclo. b) Si cumple con la desigualdad de Clausius, sabiendo que las temperaturas de los depósitos térmicos

entre los que trabaja son 0 [°C] y 10 [°C]. Justifique matemáticamente su respuesta.

a) η = B

comp

| Q |

| W | Wcomp = B| Q | 120 [J]

5

= 24 [J]

b) 0T

Q

|QB| +|Wcomp| = |QA| |QA| = |QB| + |Wcomp| = (120 [J] ) + (24 [J] ) = 144 [J] ,

TA = 0 [°C] = 273.15 [K] , TB = 10 [°C] = 263.15 [K]

]K[15.273

]J[144

]K[15.263

]J[120

T

Q

T

Q

T

Q

A

A

B

B

= 0.0712 [J/K]

como 0.0712 [J/K] 0, cumple con la desigualdad de Clausius.








1. Una máquina térmica absorbe 360 [J] de calor y realiza un trabajo de 25 [J] en cada ciclo. Encuentre:

a) La eficiencia de la máquina. b) El calor liberado en cada ciclo. Respuestas: a) 0.0694 o 6.94% ; b) 335 [J] 2. Un refrigerador tiene un coeficiente de operación igual a 5. Si el refrigerador absorbe 120[J] de

calor de una fuente fría en cada ciclo, encuentre: a) El trabajo realizado en cada ciclo. b) El calor liberado hacia la fuente caliente. Respuestas: a) 24 [J] ; b) 144 [J] 3. El calor absorbido por una máquina térmica es el triple del trabajo que realiza. ¿Cuál es su

eficiencia térmica? ¿Qué fracción del calor absorbido se libera a la fuente fría? Respuestas: 0.3333 o 33.33% ; 0.6667 o 66.67% 4. Una máquina térmica absorbe 1600[J] de una fuente caliente y libera 1000 [J] a la fuente fría en

cada ciclo. ¿Cuál es la eficiencia de la máquina? ¿Cuánto trabajo se realiza en cada ciclo? ¿Cuál es la potencia de salida de la máquina, si cada ciclo dura 0.3 [s]?

Respuestas: 0.375 o 37.5% ; 600 [J] ; 2 [kW] ó 2000[W] 5. Una máquina de vapor tiene una caldera que opera a 500 [K]. El calor cambia el agua a vapor, el

cual mueve un pistón. La temperatura de escape es la del aire ambiente, aproximadamente 27 [°C]. ¿Cuál es la máxima eficiencia térmica de esta máquina de vapor?

Respuesta: = 0.3997 0.4 6. Determine el máximo trabajo que puede realizar la máquina de vapor anterior, en cada ciclo de

operación, si absorbe 200[J] de calor de la fuente a temperatura alta durante cada ciclo. Respuesta: W = 80[J] 7. La máxima eficiencia teórica de un motor de gasolina, basada en el ciclo de Carnot, es de 30%. Si

el motor libera sus gases a la atmósfera, la cual está a una temperatura de 300[K], ¿cuál es la temperatura en el cilindro inmediatamente después de la combustión?

Respuesta: TA = 429 [K]




8. Si la máquina anterior absorbe 837 [J] de calor de la fuente de calor en cada ciclo, ¿cuánto trabajo realiza en cada ciclo?

Respuesta: W = 251.1 [J] 9. Calcule el cambio de entropía de 2 moles de un gas ideal que realiza una expansión libre a 1 [atm]

de presión y que triplica su volumen inicial. Respuesta: S = 18.3 [J/K] 10. ¿Cuál es la disminución en la entropía de 3 [mol] de gas helio que se enfría a 1 [bar] de presión

desde la temperatura ambiente de 293 [K] hasta una temperatura final de 4 [K]? La cp del helio es 21 [J/mol K].

Respuesta: S = 270.51 [J/K] 11. Un mol de gas Argón ( cv = 12.5 [J/(mol K)] ) se calienta casiestáticamente a volumen constante de

300 [K] a 400 [K]. ¿Cuál es el cambio en la entropía del gas? Respuesta: S = 3.596 [J/K] 12. Un motor de gasolina toma 10 000 [J] de calor y produce 2 000 [J] de trabajo mecánico por ciclo.

El calor se obtiene quemando gasolina, con un calor obtenido por la combustión de alrededor de 50 000 [J/g]. Determinar:

a) La eficiencia térmica del motor. b) El calor que se desecha en cada ciclo. c) La masa de gasolina que se quema en cada ciclo. d) Si el motor ejecuta 25 ciclos cada segundo, calcule la potencia de salida en [W] y en [hp]. e) La cantidad de gasolina que se quema cada segundo y cada hora. Respuestas: a) = 0.2 ó 20% ; b) QB = 8 000 [J] ; c) m = 0.20 [g] ;

d) W = 50 000 [W] = 67 [hp] ; e) m = 5.0 [g/s] = 18 [kg/h] 13. Un refrigerador tiene un coeficiente de operación de = 2.2 [1]. Durante cada ciclo, absorbe 30

[kJ] de calor del depósito con temperatura baja, obtenga: a) El trabajo necesario en cada ciclo. b) La energía en forma de calor que desecha al ambiente en cada ciclo. Respuestas: a) W = 13 600 [J] ; b) QA = 43 600 [J] 14. Calcule el cambio de entropía cuando 300 [g] de plomo se funden a 327 [°C]. La entalpia de fusión

del plomo es 24.5 [kJ/kg].




Respuesta: S= 12.25 [J/K]

15. Una planta de energía eléctrica quema carbón y produce 900 [MW] de potencia eléctrica, opera con

una eficiencia térmica del 35 %. Determine para una hora de operación de la planta: a) La cantidad de calor que entrega el combustible a la sustancia de trabajo del ciclo y la que entrega

dicha sustancia al medio ambiente (depósito térmico de temperatura baja). b) El cambio de entropía del medio ambiente si está a 26 [°C]. Respuestas: a) QA = 9 257.1 [GJ] , QB = 6 017.15 [GJ] ; b) S = 2.0111010 [J/K] 16. La sustancia con la que trabaja un motor

térmico cíclico es aire como gas ideal. El ciclo consiste en dos procesos isobáricos y dos isométricos como se indica en la figura. Si la temperatura en el estado 1 es T1 = 650 [K], determine la eficiencia de un motor de Carnot que opere entre las temperaturas extremas del ciclo.

Respuesta: C = 0.533 [1] 17. En un recipiente aislado, 200 [g] de agua líquida a 0 [°C] y 1.2 [kg] de hielo a 10 [°C] se ponen

en contacto hasta el equilibrio térmico. Calcule el cambio de entropía en el proceso y con base en ello diga si éste es irreversible, reversible o imposible.

Respuesta: Stotal = 1.83 [J/K], el proceso es irreversible 18. Una máquina de Carnot tiene una eficiencia del 55% y realiza 2×104 [J] de trabajo en cada ciclo.

Determine: a) Suponiendo que la máquina expulsa calor a temperatura ambiente, 20 [°C], ¿cuál es la temperatura

de su fuente de calor? b) ¿Cuánto calor extrae la máquina de su fuente de calor en cada ciclo? ¿Cuál es la variación de

entropía del depósito térmico de temperatura alta? Respuestas: a) TA = 651.44 [K] ; b) QA = 36.364 [kJ] ; S = 55.82 [J/K] 19. Un dispositivo neumático opera de manera constante con una presión de 80 [kPa]; el émbolo de

dicho dispositivo tiene un diámetro de 0.2 [m] y recorre una carrera de compresión de 20 [cm]. La energía interna del gas contenido en él aumenta 100 [J], determine la variación de entropía del ambiente si su temperatura es 27 [°C].




Respuesta:S = 2.0078 [J/K] 20. Una máquina de Carnot, cuya fuente de temperatura baja está a 90 [°C], tiene una eficiencia del

40%. Se desea aumentar la eficiencia al 45%. a) ¿Qué temperatura debe tener la fuente caliente si la fría se mantiene constante? b) Con la condición del inciso anterior y si el trabajo que entrega el ciclo es Wneto = 135 [kJ], ¿se

cumple la desigualdad de Clausius? fundamente su respuesta.

Respuestas: a) TA = 333 [K] ; b) ∮δ 0, sí cumple con la desigualdad de Clausius


Ciclos termodinámicos


TEMA IV. CICLOS TERMODINÁMICOS


1. En un ciclo de refrigeración por compresión de un vapor que opera con tetrafluoroetano

(refrigerante R–134a) se sabe que este último entra en el compresor a –10 [°C], 2 [bar] y h = 241 [kJ/kg], sale a 16 [bar] y h = 295 [kJ/kg]. Sabiendo que entra a la válvula de expansión con una entalpia específica de 134 [kJ/kg], determine:

a) Los calores referidos a la unidad de masa en el evaporador y en el condensador-enfriador. b) La potencia del compresor si el gasto másico fue 15 [kg/s]. c) El coeficiente de operación del ciclo. a) Sistema: refrigerante R–134a.

qevap = h1 – h4 = (241 – 134) [kJ/kg]

qevap = 107 [kJ/kg]

qcond = h3 – h2 = (134 – 295) [kJ/kg]

qcond = – 161 [kJ/kg]

b) W = tW ; w = m

W W = w m

mwW compcomp ; por otra parte: qciclo + wciclo = 0 ;

qevap + qcond + wcomp = 0 ; wcomp = – qevap – qcomp

wcomp = – (107 [kJ/kg] ) – ( – 161 [kJ/kg] ) = 54 [kJ/kg] ;

compW (54 000 [J/kg] ) (15 [kg/s] ); compW = 810 000 [W]

c) = aportarquehayquelo

deseasequelo =

|w|

|q|

comp

evap = ]kg/kJ[54

]kg/kJ[107 ; = 1.9815 [1]

2. Una máquina de combustión interna opera con un ciclo de Diesel ideal con aire (R = 287 [J/(kgK)],

k = 1.4). El gas se recibe a 78 [kPa] y 20 [°C], la relación de compresión es 15, la temperatura máxima y la presión máxima alcanzada por el fluido es 1 500 [°C] y 3.456 [MPa] respectivamente, determine, en el SI:

a) El volumen específico del aire al final de la compresión adiabática, es decir su volumen específico mínimo.

b) El calor, referido a la unidad de masa, que se transmite al gas en el proceso a presión constante. c) El calor, referido a la unidad de masa, cedido por el fluido en el proceso a volumen constante.




a) Sistema: aire como gas ideal.

P v = R T ; v1 = 1

1

P

TR

v1 = ]Pa[00078

)]K[15.293())]Kkg/(J[287( = 1.0786 [m3/kg]

r = 2

1

v

v ; v2 =

r

v1 = 15

]kg/m[0786.1 3

; v2 = 0.0719 [m3/kg]

b) 2q3 = cp (T3 – T2) ; para un proceso adiabático: 1

2

1k

2

1

T

T

v

v

;

T2 = T1

1k

2

1

v

v

= T1 ( r )

k – 1 = (293.15 [K] ) (15)1.4 – 1 = 866.017 [K] ;

cP = 1k

Rk

=

14.1

)]Kkg/(J[287(4.1

= 1 004.5 [J/(kgK)] ;

2q3 = (1 004.5 [J/(kgK)] ) (1 773.15 – 866.017 ) [K] ; 2q3 = 911 215.13 [J/kg]

c) 4q1 = cv (T1 – T4) = k

cp (T1 – T4) ;

3

33

2

22

T

vP

T

vP ; v3 =

32

322

PT

TvP ; como P2 = P3, entonces

v3 = 2

32

T

Tv =

)]K[017.866(

)]K[15.7731()]kg/m[0719.0( 3

= 0.1472 [m3/kg] ;

para un proceso adiabático: 3

4

1k

4

3

T

T

v

v

; T4 = T3

1k

4

3

v

v

; como v1 = v4 :

T4 = (1 773.15 [K] ) 14.1

3

3

]kg/m[0786.1

]kg/m[1472.0

= 799.4 [K]

entonces:

4q1 = 4.1

)]Kkg/(J[5.0041 ( 293.15 – 799.4 ) [K] ; 4q1 = – 363 234 [J/kg]

3. En un ciclo de Rankine básico, como el que se

muestra en la figura, se sabe que el agua entra en la caldera a 75 [bar] y una entalpia específica de 174.18 [kJ/kg]; entra en la bomba a 0.08 [bar], 1.0084103 [m3/kg] y 41.51 [°C], entra en la turbina como vapor saturado y seco (v = 0.025445 [m3/kg], u = 2575.15 [kJ/kg]). La turbina produce 118.15 [kJ/kg]; determine, sin despreciar el trabajo en la bomba:




a) El calor, referido a la unidad de masa, que se le proporciona al agua en la caldera. b) El trabajo, referido a la unidad de masa, que entrega el ciclo. a) Sistema: agua como sustancia de trabajo en el ciclo de Rankine. qsum = h1 – h4 ; h1 = u1 + P1v1 h1 = (2 575.15 [kJ/kg] ) + (75105 [Pa] ) ( 0.025445 [m3/kg] ) = 2 765.99 [kJ/kg] ; qsum = (2 765.99 – 174.18) [kJ/kg] qsum = 2 591.81 [kJ/kg] b) wneto = wturbina + wbomba ; wbomba = v3 (P4 – P3) wbomba = (1.0084103 [m3/kg] ) (75105 – 8 000 ) [Pa] = 7.5549 [kJ/kg] wneto = (– 118.15 + 7.5549 ) [kJ/kg] wneto = – 110.595 [kJ/kg] 4. Se tiene un ciclo reversible de Otto, en un motor que opera con 0.004 [kg] de aire como gas ideal.

Se sabe que la presión máxima en el ciclo es 18 [bar] y su temperatura máxima 750 [K]. El volumen al inicio de la compresión adiabática es 0.0019 [m3] y la temperatura 20 [°C], determine:

a) La temperatura y el volumen al final de la compresión. b) La variación de entropía del inicio de la compresión hasta que alcanza la presión máxima.

a) P3 V3 = m R T3 ; V3 =

3

3

P

TRm ;

V3 =]Pa[1018

)]K[750(Kkg

J7.286)]kg[004.0(

5

; V2 = 4.7783 10 4 [m3]

1

2

1k

2

1

T

T

V

V

; T2 = T1

1k

2

1

V

V

= (293.15 [K] )

14.1

4107783.4

0019.0

T2 = 509.1911 [K]

b) 1S3 = 1S2 + 2S3 ; 1S2 = 0 ;

2S3 = m cv ln 2

3

T

T + m R ln

2

3

V

V ; ln

2

3

V

V = 0 ;

2S3 = ( 0.004 [kg] ) (717

Kkg

J) ln

][.

][

K19509

K750 ; 1S3 = 1.1106 [J/K]

5. Suponga una máquina térmica que opera con un ciclo de Otto el cual funciona con aire como gas

ideal. El gas entra (estado 1) a 100 [kPa] y 26 [°C], la relación de compresión, es decir, V1/V2 = 12




y la temperatura máxima que alcanza es 1850 [°C]. Considerando el ciclo como reversible, determine:

a) La variación de entropía especifica entre el estado que corresponde al inicio de la compresión

adiabática y el que corresponde a la temperatura máxima alcanzada por el aire. b) La eficiencia máxima que se podría tener si, entre los depósitos térmicos del problema, el ciclo que

se utiliza es el de Carnot. Sistema: aire como gas ideal. T1 = 26 [°C] = 299.15 [K] T3 = 1 852 [°C] = 2 123.15 [K]

a) 1S3 = cv ln 1

3

T

T + R ln

1

3

V

V ; V2 = V3

1S3 = cv ln 1

3

T

T + R ln

1

2

V

V

1S3 = (717 [J / (kgK)] ) ln K15.299

K15.1232 + (286.7 [J / (kgK)] ) ln

12

1 ; 1S3 = 692.69 [J / (kgK)]

b) = A

B

T

T1 =

3

1

T

T1 =

K15.1232

K15.2991 ; = 0.8591 [1]

6. En el cilindro de un motor que opera con el ciclo reversible de Diesel en la compresión adiabática,

la mezcla aire-combustible se comprime a 1/15 de su volumen inicial. Si la presión inicial (estado 1) es 100 [kPa] y su temperatura inicial es de 27 [°C], determine en el SI:

a) La temperatura y la presión al final de la compresión. b) El trabajo de compresión, suponiendo que el volumen inicial es 1 litro.

a) 1

2

P

P=

k

2

1

V

V

; P2 = P1

k

2

1

V

V

;

P2 = (100103 [Pa] )

4.1

2

2

V

V15

; P2 = 4 431 265 [Pa] ;

1

2

T

T=

1k

2

1

V

V

, T2 = T1

1k

2

1

V

V

;

T2 = (300.15 [K] )

4.1

2

2

V

V15

; T2 = 886.6962 [K] ;




b) 1W2 = 1k

VPVP 1122

; V1 = 1 [ ] = 0.001 [m3] ; V2 =

15

]m[001.0 3

=

6.666710-5 [m3];

1W2 =

14.1

]m[001.0]Pa[100000]m[10666.6]Pa[2654314 335

;

1W2 = 488.5479 [J] 7. Para el ciclo del problema anterior, se sabe que su eficiencia es de 0.38 y que el trabajo neto que

entrega es de 200 [J]. Si la masa del gas es 44 [g], determine: a) La cantidad de calor que recibe el aire en el proceso isobárico. b) El cambio de la entropía y el de la entropía específica del gas durante la compresión adiabática.

a) = aportarquehayquelo

deseasequelo ; entonces =

|Q|

|W|

recibido

neto ;

| Qrecibido | = 38.0

|W| neto = 38.0

]J[200 | Qrec | = 526.316 [J]

b) como la compresión es adiabática y el ciclo es reversible, todos sus procesos son reversibles. Por lo

tanto los procesos adiabáticos involucrados son isoentrópicos, es decir:

S12 = 0 y s12 = 0 8. En un ciclo de Rankine básico, el agua entra en la turbina a 25 [bar] y sale a 1 [bar], entra en la

bomba con una densidad de 103 [kg/m3] como líquido saturado y en la caldera recibe 2 000 [kJ/kg]. Si la eficiencia del ciclo es 0.3, determine el trabajo, asociado a cada unidad de masa, de la bomba y de la turbina. Considere que ambos equipos son adiabáticos y que las variaciones de energía cinética y potencial gravitatoria son despreciables.

Sea nuestro sistema el agua en la bomba (sistema termodinámico abierto) :

sabemos que en la bomba: 3q4 + 3w4 = 3[ec + ep + h]4 ; considerando que

3q4 = 0 ; 3ec 4 = 0 ; 3ep 4 = 0 , tenemos

3w4 = h4 – h3 = (u4 + P4v4) – (u3 + P3v3) = u4 – u3 + P4v4 – P3v3 ;

3w4 = 3u4 + v3 (P4 – P3) ; como: T3 = T4 , entonces 3u4 = 0 ,

3w4 = v3 (P4 – P3) = (0.001 [m3/kg] ) (25 1) 105 [Pa] = 2 400 [J/kg] ,

wbomba = 2.4 [kJ/kg] ;

sea nuestro sistema el agua en el ciclo:




|w T| = |w neto| + |w B| ; = sum

n

q

w wn = qsum = (0.3) (2 000 [kJ/kg] ) = 600

[kJ/kg] ;

|w T| = (600 [kJ/kg] ) + (2.4 [kJ/kg] ) = 602.4 [kJ/kg]; wturbina = 602.4 [kJ/kg]

9. Un ciclo de Diesel que funciona con aire, en un ciclo reversible, tiene una relación de compresión r.

El gas tiene una temperatura de 26 [°C] al inicio de la compresión adiabática y, al final de la misma, llega a 611 [°C] y 0.5 [m3/kg]. Si después de la expansión isobárica la temperatura que alcanza el fluido es 2 500 [°C], determine para dicha expansión:

a) El volumen específico final del gas. b) El cambio de entropía específica.

a) P v = R T ; P2 =

]kg/m[5.0

K15.884)]Kkg/(J[7.286

v

RT3

2

2 = 506 971.61 [Pa] = P3 ;

v3 =

]Pa[61.971506

K15.7732)]Kkg/(J[7.286

P

RT

3

3 =1.5683 [m3/kg]

b) 2s3 = cv Ln 2

3

2

3

v

vLnR

T

T

2s3 = (718 [J/(kgK)] ) Ln ]K[15.884

]K[15.7732 + (286.7 [J/(kgK)] ) Ln

]kg/m[5.0

]kg/m[5683.13

3

2s3 = 820.7547 [J/(kgK)] + 327.7381 [J/(kgK)] = 1 148.4928 [J/(kgK)]

10. En un ciclo de Rankine se sabe que la turbina desarrolla trabajo en cada unidad de masa de 521.8 [kJ/kg] cuando la entalpia específica del vapor a la entrada es 2 675.8 [kJ/kg]. La presión del agua a la entrada de la caldera es 1 100.32 [kPa] y en ella recibe una cantidad de calor, asociado a cada unidad de masa, de q = 2 592.2 [kJ/kg]. Si la presión y el volumen específico del agua en la entrada de la bomba son 2.34 [kPa] y 0.001 [m3/kg] respectivamente, determine:

a) El trabajo neto, asociado a cada unidad de masa, que entrega el ciclo. b) La entalpia específica de la sustancia de trabajo cuando entra al condensador y la eficiencia del

ciclo. a) Sistema: agua en el ciclo de Rankine.

wT = 521.8 [kJ/kg] ; qsum = 2 592.2 [kJ/kg] h1 = 2 675.8 [kJ/kg]




P4 = 1 100.32 [kPa]

P3 = 2.34 [kPa] ; v3 = 0.001 [m3/kg] = v4 wB = v3 (P4 – P3) = (0.001 [m3/kg] ) (1 100.32 – 2.34) 103 [Pa]

wB = 1 097.98 [J/kg] = 1.097 [kJ/kg] ;

|wT| = |wneto| + |wB|; |wneto| = |wT| – |wB| = (521.8 – 1.097) [kJ/kg]

|wneto| = 520.703 [kJ/kg] wneto = – 520.703 [kJ/kg]

b) wT = h2 – h1; h2 = wT + h1 h2 = ( – 521.8 [kJ/kg] ) + (2 675.8 [kJ/kg] )

h2 = 2 153.99 [kJ/kg] ;

η = |q|

|w|

sum

neto = 520.703 [kJ / kg]

2 592.2 [kJ / kg]= 0.2009 [1]

11. Con el equipo de la práctica de laboratorio del ciclo de

refrigeración por compresión de un vapor, el cual se muestra en la figura, unos alumnos utilizaron alcohol en vez de agua cuya capacidad térmica específica es c = 2 428 [J/(kg°C)]. Los datos que midieron del alcohol se encuentran en la tabla. Sabiendo que el equipo estuvo operando 5 [min], determine:

a) La potencia del compresor. b) El coeficiente de rendimiento (o de desempeño) del equipo

de refrigeración utilizado.

En el evaporador: En el condensador:Tinicial = 20 [°C] Tinicial = 20 [°C] Tfinal = 12 [°C] Tfinal = 33 [°C] m = 3 [kg] m = 3 [kg]

t = 5 [min] = 300 [s] ; en el evaporador: Qevap = malc. calc. T = (3 [kg] ) (2 428 [J/(kg°C)]) (1220) [°C] = 58 272 [J] (lo entrega el alcohol)

Qcond = malc. calc. T = (3 [kg] ) (2 428 [J/(kg°C)]) (3320) [°C] = 94 692 [J] (lo recibe el alcohol) Sea el sistema el refrigerante utilizado en el ciclo, entonces:

Qevap = 58 272 [J] (lo recibe el refrigerante)

Qcond = 94 692 [J] (lo entrega el refrigerante)




Qciclo + Wciclo = 0 ; Qevap + Qcond + Wcomp = 0 ;

Wcomp = – Qevap – Qcond = – (58 272 [J] ) – ( – 94 692 [J] ) = 36 420 [J]

comp

comp

W 36 420 [J]W 121.4 [W]

t 300 [s]

b) = evap

comp

Q 58 272 [J]

36 420 [J]W = 1.6 [1]

12. Un ciclo de Diesel reversible funciona con aire considerado como gas ideal, el cual entra a 77 000

[Pa] y 21 [°C]. La relación de compresión es 15 y la temperatura máxima que alcanza es 2000 [°C], determine en el proceso isobárico:

a) La presión del aire. b) La variación de entropía específica. a) T1 = 21 [°C] = 294.15 [K], T3 = 2 000 [°C] = 2 273.15 [K]

P2 = P1

k

1

2

v

v

= P1 rk = (77 000 [Pa] ) (15)1.4 = 3 412 074.37 [Pa] = 3 412.074 [kPa]

b) 2Δs3 = cp Ln 3

2

T

T R Ln 3

2

P

P como P3 = P2; Ln 3

2

P

P= Ln (1) = 0

2Δs3 = cp Ln 3

2

T

T; 2 2 1 1

2 1

P V P V

T T ; T2 = 2 2 1

1 1

P V T

P V; r = 1

2

V

V

T2 = 2 1 2

1 1

P T V.

P V = 2 1

1

P T 1.

P r =

3 412 074.37 [Pa] 294.15 [K]

77 000 [Pa] 15= 868.9711 [K]

2Δs3 = (1 003.7 [J/kg.K]) Ln 2 273.15 [K]

868.9711 [K] = 965.17 [J/(kgK)]

13. En el diagrama se muestra un ciclo ideal y reversible

de Brayton que utiliza aire. La relación de presiones es de 5 y la temperatura a la entrada de la turbina es T3 = 900 [°C]; se sabe que la presión y la temperatura del aire a la entrada del compresor son P1 = 10 5 [Pa] y T1 = 40 [°C] respectivamente. Determine para el ciclo:

a) El volumen específico del aire a la entrada y a la salida del quemador. b) El trabajo, asociado a cada unidad de masa, que recibe el compresor.




a) T3 = 900 [°C] = 1 173.15 [K] ; T 1 = 40 [°C] = 313.15 [K]

rp = 2

1

P

P P2 = rp P1 P1 v1 = R T1;

v1 = 1

51

286.7 [J / kg K] 313.15 [K]RT

P 10 [Pa]

= 0.8978 [m3/kg] ;

k

1 2p

2 1

v Pr

v P

1

1 kp

2

vr

v

; v2 =

1

1

kp

v

r

=

3

1

1.4

0.8978 [m / kg]

5 = 0.2844 [m3/kg]

P2 = P3 = 5 (105 [Pa] ) = 5 105 [Pa]

P3 v3 = R T3 v3 =

35

3

286.7 J / kg K 1 173.15 [K]RT

P 5 10 [Pa]

= 0.6727 [m3/kg]

b) 1w2 = 2

1

Pdv = 2 2 1 1P v P v

k 1

= 5 3 5 3(5 10 [Pa])(0.2844[m / kg]) (10 [Pa])(0.8978[m / kg])

1.4 1

1w2 = 131 050 [J/kg] 14. En un ciclo de Diesel reversible, que utiliza aire, la relación de compresión es de 20 y el calor

transferido al fluido, en cada ciclo, es 1 800 [kJ/kg]. Si al inicio del proceso de compresión las condiciones del fluido son 15 [°C] y 0.1 [MPa], determine:

a) El volumen específico mínimo del fluido en el ciclo. b) La presión al inicio de la expansión adiabática.

a) r = 1

2

v

v; v2 = 1v

r; P1 v1 = R T1

v1 = 1

61

286.7 [J / (kg K)] 288.15 [K]RT

P 0.1 10 [Pa]

= 0.8261 [m3/kg]

v2 = 30.8287 [m / kg]

20= 0.0413 [m3/kg]

b) P3 = P2 ; k

1 2

2 1

v P

v P

; ( r )k = 2

1

P

P

P2 = P1 r k = (0.1 106 [Pa] ) (20)1.4 = 6.6289 [MPa]

15. En un ciclo de Rankine, se tiene la información del diagrama. Sabiendo que el gasto másico que

utiliza el ciclo es 4.5 [kg/s], determine la eficiencia del ciclo.




P1 = 20 [bar]

P2 = 0.1 [bar] h1 = 2 800 [kJ/kg] h2 = 1 934.2 [kJ/kg] h3 = 200 [kJ/kg] h4 = 206.7 [kJ/kg]

η = neto

sum

|

| q |

| w; wneto = wT + wB

sistema: agua en la turbina; sistema termodinámico abierto; 1 2m m m

1q2 + 1w2 = 1Δec2 + 1Δep2 + 1Δh2 ; 1q2 = 0 , 1Δec2 = 0 , 1Δep2 = 0 , 1w2 = h2 – h1 = (1 934.2 – 2 800 ) [kJ/kg] = – 865.8 [kJ/kg] , wT = – 865.8 [kJ/kg]

sistema: agua en la bomba; sistema termodinámico abierto; 3 4m m m

3q4 + 3w4 = 3Δec4 + 3Δep4 + 3Δh4 ; 3q4 = 0 , 3Δec4 = 0 , 3Δep4 = 0 ,

3w4 = h4 – h3 = (206.7 200) [kJ/kg] = 6.7 [kJ/kg] , wB = 6.7 [kJ/kg]

entonces: wneto = ( 865.8 [kJ/kg] ) + (6.7 [kJ/kg] ) = 859.1 [kJ/kg], sistema: agua en la caldera, sistema termodinámico abierto; 4 1m m m

4q1 + 4w1 = 4Δec1 + 4Δep1 + 4Δh1 ; 4w1 = 0 , 4Δec1 = 0 , 4Δep1 = 0 ,

4q1 = h1 – h4 = (2 800 [kJ/kg] ) – (206.7 [kJ/kg] ) = 2 593.3 [kJ/kg] , qsum = 2 593.3 [kJ/kg]

η = 859.1 [kJ / kg]

2593.3 [kJ / kg]= 0.3313 [1]

16. En la práctica de Ciclo de refrigeración por compresión de un vapor realizada en el laboratorio de

esta asignatura, un alumno obtuvo la información que se indica en la tabla. Sabiendo que el compresor estuvo funcionando 10 minutos, determine el coeficiente de rendimiento del refrigerador.

evaporador:

sustancia c [J/(kg°C)] m [kg] Tfinal [°C] Tinicial [°C] agua 4 186 2 12 17

condensador:

sustancia c [J/(kg°C)] m [kg] Tfinal [°C] Tinicial [°C] agua 4 186 2 30 24

en el evaporador tenemos

Qevap = cagua magua (ΔT)agua = (4 186 [J/(kgK)] ) (2 [kg] ) (12 – 17) [°C] = – 41 860 [J] ,




en el condensador tenemos

Qcond = cagua magua (ΔT)agua = (4 186 [J/(kgK)]) (2 [kg] ) (30 – 24) [°C] = 50 232 [J] ;

de acuerdo con lo anterior, para el refrigerante podemos escribir:

Qevap = 41 860 [J] y Qcond = – 50 232 [J]

por otra parte Qciclo + Wciclo = 0, entonces Qevap + Qcond + Wcomp = 0

Wcomp = Qevap Qcond = ( 41 860 [J] ) – ( 50 232 [J] ) = 8 372 [J] ;

β = evap evap

comp comp

Q Q

W W

; β =

41 860 [J]

8 372 [J] = 5 [1]


1. En los dos primeros procesos del ciclo de Otto se sabe que: a) al inicio de la compresión adiabática

se tienen 95 [kPa], 17 [°C] y 2.2 [dm3] con k = 1.4; b) en el calentamiento isométrico se reciben 3.6 [kJ] y c) se presenta una relación de compresión de 8 , determine el cambio de la energía interna, en [kJ], del conjunto de procesos.

Respuesta: U = 4.28 [kJ] 2. Un ciclo de refrigeración utiliza refrigerante R134a. La temperatura del refrigerante en la salida

del evaporador es 20 [°C] y en la del condensador es 40 [°C]. Se sabe además que el refrigerante circula a razón de 0.03 [kg/s]. En la tabla se muestran algunas propiedades de la sustancia de trabajo para los estados termodinámicos que se indican. Con base en ello determine, en el SI, los flujos energéticos asociados a cada unidad de masa en cada uno de los procesos, así como el coeficiente de operación, o rendimiento, de la máquina.

1 h1 = 386.1 [kJ/kg] s1 = 1.7395 [kJ/(kgK)]

2

P2 = 1 017 [kPa] T2 = 47.7 [°C] s2 = 1.7395 [kJ/(kgK)] h2 = 428.4 [kJ/kg]

3 h3 = 256.5 [kJ/kg] Respuestas: 1q2 = 0 , wcomp = 42.3 [kJ/kg] ; qcond = 171.9 [kJ/kg] , 2w3 = 0 ;

3q4 = 0 , 3w4 = 0 ; 4w1 = 0 , qevap = 129.6 [kJ/kg] ; = 3.064 [1]




3. En un ciclo de Diesel reversible, que opera con aire como gas ideal, se sabe que la relación de compresión es de 20 y que el calor suministrado al fluido es qsum = 1 800

[kJ/kg]. En la tabla se muestran algunas propiedades termodinámicas del fluido en diferentes estados. Con base en ello, determine:

a) Las propiedades termodinámicas que faltan en la tabla. b) La eficiencia térmica del ciclo.

estado presión [MPa] volumen específico [m3/kg] temperatura [K] 1 0.1 288.2 2 3 6.6289 2 748.1 4

Respuestas: a)

estado presión [MPa] volumen específico [m3/kg] temperatura [K] 1 0.1 0.8263 288.2 2 6.6289 0.0413 955.22 3 6.6289 0.1189 2 748.1 4 0.4392 0.8263 1265.82

b) η = 0.61 [1] 4. Un ciclo de Brayton ideal opera con aire entre las temperaturas extremas de 37.8 [°C] y 704 [°C].

La presión al inicio de la compresión adiabática es 103.42 [kPa] y al final de la misma la temperatura es 551.334 [K]. Considerando el aire como gas ideal determine para el fluido:

a) El volumen específico al final de la compresión adiabática. b) El cambio de entropía específica en la combustión isobárica. Respuestas: a) v2 = 0.2059 [m3/kg] ; b) 2s3 = 574.42 [J/(kgK)] 5. Un ciclo de Otto tiene una relación de compresión de 8. En el proceso de admisión, el aire entra con

una presión de 98 [kPa] y una temperatura de 29 [°C]. Si el aire se puede analizar como gas ideal, determine:

a) La presión y la temperatura del gas al final de la compresión adiabática. b) Si la temperatura máxima del aire es 1 800 [°C], ¿cuál es el calor, asociado a cada unidad de masa,

proporcionado al fluido de trabajo?




Respuestas: a) P2 = 1 801.159 [kPa] , T2 = 694.16 [K] ; b) 2q3 = 988.736 [kJ/kg]

6. Un ciclo de Otto ideal monocilíndrico de cuatro tiempos y 60 [mm] de diámetro de pistón está

limitado por los volúmenes V1 = 480 [cm³] y V2 = 120 [cm³], y por las presiones absolutas siguientes: P1 = 0.1 [MPa], P2 = 0.7 [MPa], P3 = 3.5 [MPa] y P4 = 0.5 [MPa]. Si consideramos que la sustancia de trabajo es aire como gas ideal, determine:

a) El diagrama de la presión en función del volumen, P = f (V) y la relación de compresión. b) La temperatura del fluido al final de la compresión, si la temperatura al final del rechazo de calor al

medio, a volumen constante, es 35 [°C]. c) La masa de aire. d) La variación de entropía en el proceso de la compresión.

Respuestas: a) r = 4 [1] b) T2 = 536.52 [K] ; c) m = 0.5433 [g] ; d) 1∆S2 = 0 [J/K]

7. Una planta termoeléctrica utiliza un ciclo de Rankine, opera con una presión y una temperatura a la salida de la caldera de 6 [MPa] y 500 [°C] respectivamente, una presión de 7.384 [kPa] en el condensador y un volumen específico de 10 3 [m3/kg] a la salida de este último. Si el trabajo que entrega la turbina, en cada unidad de masa, es 1 279.358 [kJ/kg], determine:

a) El trabajo, asociado a cada unidad de masa, que entrega el ciclo. b) La cantidad de calor, en cada unidad de masa, suministrada al ciclo si la eficiencia del mismo es

39.19%.

Respuestas: a) wneto = – 1 273.3654 [kJ/kg] ; b) qsum = 3 249.21 [kJ/kg]

8. Un ciclo de Diesel ideal que funciona con aire tiene una relación de compresión de 10.7; en el

proceso de admisión el aire entra con una presión de 85 [kPa] y una temperatura de 20 [°C]. Si al final de la combustión isobárica la temperatura es 2 000 [°C], determine:

a) La presión y la temperatura al final de la compresión adiabática. b) La variación de entropía específica en el proceso de admisión de combustible.

Respuestas: a) P2 = 2 347.2331 [kPa] , T2 = 754.8479 [K] ; b) s = 1 104.2104 [J/(kg·K)]




9. En un ciclo de refrigeración por compresión de vapor, la sustancia de trabajo tiene a la salida del

compresor una presión de 686.5 [kPa], la diferencia de entalpias específicas en el evaporador es 114.9311 [kJ/kg] y en el compresor es 31.25 [kJ/kg], calcule:

a) El coeficiente de operación del ciclo de refrigeración. b) La cantidad de calor que se cede al ambiente en cada unidad de masa. Interprete el signo de este

flujo energético. c) El diagrama del ciclo en las coordenadas (v, P). Respuestas: a) = 3.6778 [1] ; b) qcond = 146.1811 [kJ/kg], el signo negativo indica que es una

energía que entrega la sustancia de trabajo; c)


Electromagnetismo


TEMA V. ELECTROMAGNETISMO


1. Se tiene una carga puntual, Q = 5 [C] ubicada en el origen, como se muestra en la figura. Se

coloca un electrón (qe = – 1.6 10 – 19 [C] ) en el punto A, de coordenadas (3,4) [cm]. Sabiendo que el arreglo está en el vacío, determine:

a) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. b) El vector campo eléctrico en el punto A debido a la carga

puntual Q. c) El trabajo para trasladar casiestáticamente al electrón del

punto A al punto B (3,0) [cm].

0 = 8.8510 – 12 [C2/(Nm2)]

a) rr

QqkF 2

OA

ee

; j54

i53

)4()3(

)4,3()0,0(|r|

rr

22OA

OA

| eF

| = (9109 [(Nm2) / C2] ) 2

619

)]m[05.0()]C[105()]C[106.1(

= 2.88 10 – 12 [N]

eF

= (2.88 10 – 12 [N] ) ( j54

i53 ) ; eF

= [pN])j2.304i1.728( ˆˆ

b) e

eA q

FE

; AE

= ]C[106.1

]N[10)j304.2i728.1(19

12

;

C

N))(10j14.4i(10.8E 6

Aˆˆ

c) AWB = qe VBA ; VBA =

AB0 r

1

r

1Q

4

1;

VAB = (9109 [(Nm2) / C2] ) (510 – 6 [C] )

]m[05.01

]m[03.01

= 600 000 [V]

AWB = ( 1.6 10 –19 [C] ) (600 000 [V] ) ; AWB = 0.096 [pJ] 2. En la figura se muestra un solenoide de 5000 vueltas, cuyo eje

coincide con el “x” y un conductor recto largo, que es paralelo al eje “y” y que pasa por el punto B. Si por el solenoide circula una corriente de 2 [mA] y por el conductor recto 20 [A], determine:

a) El vector campo magnético en el punto P. Exprese el

resultado en [T]. b) La fuerza de origen magnético (magnitud y dirección)

que experimentaría un electrón que pasa por el punto

P con una velocidad de v

= 103 i [m/s] y la


Electromagnetismo


aceleración que esta fuerza le produce al electrón. Considere para este inciso que no

hay corriente eléctrica en el solenoide.

N = 5000 qe = 1.6 10 19 [C] A = 3.14103 [m2] me = 9.1 10 31 [kg] P (7.5, 0, 0) [cm] 0 = 410 7 [Wb /(Am)] B (17, 0, 0) [cm]

a) PB

= PSB

+ PCB

;

PSB

= )i(Ni SS0

= )i(]m[15.0

)5000()]mA[002.0()]mA/(Wb[(104( 7

= – 83.7758 )i( [T] ;

PCB

= )k(a2

iC0

= )k()]m[095.0(2

)]A[20()]mA/(Wb[(104( 7

= 42.1053 )k( [T]

por lo tanto:

PB

= ( – 83.7758 i + 42.1053 k ) [T]

b) Pem BqF

v ;

mF

= ( – 1.6 1019 [C] ) [( – 10 3 i ) [m/s] (42.1053 k ) [T] ] (10 –6 )

mF

= – 6.7367 1021 j [N] ; mF

= me a

;

e

m

m

Fa

=

]kg[101.9

]N[j107367.631

21

a

= – 7.403 109 j [m/s2]

3. En la figura se muestra una espira contenida en el plano “xz” de radio de 3 [cm] y con centro en el

origen del sistema de referencia; a 3 [cm] de la espira se halla un conductor con corriente el cual está ubicado en el plano “yz” y pasa por el eje “y” en el punto M (0,3,0) [cm] y otro conductor con igual corriente que el anterior que pasa por el punto N (5,0,0) [cm].

a) Determine el vector campo magnético en el origen debido a las corrientes en los conductores. b) Indique en un diagrama el sentido de la corriente inducida que se tendría en un resistor conectado

entre los puntos A y B de la espira, si el conductor 2, con corriente, se desplazara en el sentido positivo del eje “x”, manteniéndose paralelo al eje “z”. Justifique su respuesta. a = 3 [cm] i c = 12 [A] M (0,3,0) [cm] N (5,0,0) [cm]

a) 2Oc1OcO BBB

;


Electromagnetismo


)i(a2

iB

1

c01Oc

)i()]m[03.0(2

)]A[12())]mA/(Wb[104(B

7

1Oc

1OcB

= – 80 i [T] ;

)j(a2

iB

2

c02Oc

= )j(

)]m[05.0(2

)]A[12())]mA/(Wb[104( 7

= 48 j [T] ;

OB

= ( – 80 i + 48 j ) [T]

b) De acuerdo con la ley de Faraday : ind = – dt

d b , si

se aleja el conductor entonces 0dt

d b

y habría

diferencia de potencial inducida entre los puntos A y B. De acuerdo con el Principio de Lenz:

Va > Vb por lo tanto la corriente inducida circularía como se indica en el diagrama.

4. Se tienen dos cargas puntuales (Q1 y Q2) formando un dipolo como se indica en la figura. Determine, en el origen del sistema de referencia:

a) El vector campo eléctrico. b) La fuerza que actúa en un electrón al colocarlo en el origen. Q1 = 2 [C]; A ( 2,0 ) [m] Q2 = 2 [C]; B (1,0 ) [m]

a) 2O1OO EEE

; 12AO

1

001 r

r

Q

4

1E ˆ

; ir1

ˆˆ ;

1OE

2

29

C

mN109

im2

C1022

6ˆ

][

][ = 4 500 i

C

N ; 22

BO

2

002 r

r

Q

4

1E ˆ

; ir2

ˆˆ ;


Electromagnetismo


2OE

2

29

C

mN109

im1

C1022

6ˆ

][

][

= 18 000 i

C

N

OE

C

Ni00018i5004 ˆˆ = 13 500 i [N/C]

b) e

e0 q

FE

; eF

= qe 0E

; eF

= ( 1.61019 [C] ) (13 500 i

C

N)

eF

= 2.161015 i [N]

5. En la figura se muestra un solenoide largo de sección transversal circular y núcleo de aire, en él

circula una corriente de 22 [A]. a) Si el punto P se halla contenido en el eje del solenoide, determine el vector campo magnético en el

punto P. b) Al aumentar la corriente eléctrica en el solenoide, aumenta el flujo magnético que enlaza al

inductor de N2 vueltas. Se sabe que dicho flujo aumenta a razón de 15 [mWb] en cada segundo [s] y con ello, la magnitud de la diferencia de potencial entre a y b es |Vab| = 16 [mV]. Calcule la corriente eléctrica inducida que circularía por el resistor R = 8 [] indicando su sentido en el esquema.

Ns = 3500 vueltas S = 40 [cm]

a) pB

= Bp ( i ) ; Bp = s

sso iN

; Bp =

m4.0

A225003mA

Wb104 7

= 0.2419 [T]

pB

= 0.2419 i [T]

b) |Vab| = R i ; i = R

|V| ab = ][8

]V[016.0

= 0.002 [A] ; i = 2 [mA]


Electromagnetismo


como el flujo magnético está aumentando, entonces dt

d >

0 ; de acuerdo con el Principio de Lenz se tiene que : Va > Vb, en consecuencia:

6. En la figura se muestran dos conductores contenidos en el plano xy. Si la corriente eléctrica i1 = 20

[A] y la corriente i2 = 30 [A], determine: a) El vector campo magnético en el origen del sistema

de referencia. b) La fuerza de origen magnético que experimentaría un

electrón al pasar por el origen con una velocidad de

105 i [m/s]. A ( 0, 4, 0 ) [cm] B ( 0, 0, 4 ) [cm]

a) 0B

= 01B

+ 02B

; 01B

=

kˆ

a2

i

1

10 =

kˆ

]m[04.02

A20)]mA/(Wb[104 7

01B

= 110-4 k [T] = 100 k [T] ;

02B

=

kˆ

a2

i

2

20 =

kˆ

]m[04.02

A30)]mA/(Wb[104 7

; 02B

= 1.510-4 k [T] = 150 k [T] ;

0B

= 50 k [T]

b) eF

= qe 0Bv

; eF

= ( 1.61019 [C] ) [ (105 i ) [m/s] ( 50 k ) (106) [T] ] ;

eF

= ( 1.61019 ) (105) (50) (106) [ i k ] [N] ; eF

= 810-19 )jˆ

( [N]

eF

= 810-19 )jˆ

( [N]

7. En la figura se muestran dos cargas eléctricas

puntuales. Determine, para la carga puntual 2: a) La fuerza eléctrica que experimenta. q1 = 5 [C] b) La energía potencial que tiene. q2 = 3 [C]


Electromagnetismo


a) tan 30° = a

6 ; a =

30tan

]cm[6 = 10.3923 [cm] ;

rAB = 2222 ])cm[6(])cm[3923.10(])cm[6(a ; rAB = 12 [cm] = 0.12 [m] = rBA

rr

qq

4

1F

2AB

21

021 ;

BA

BA

r

rr ; BAr (10.3923, 0) [cm] – (0, 6) [cm] ;

BAr (10.3923 iˆ

6 jˆ

) [cm]; ]cm[12

]cm[)jˆ

6iˆ

3923.10(r

r = 0.866 iˆ

0.5 jˆ

;

21F (9109 [(Nm2)/C2])2

66

)]m[12.0(

)]C[103)(]C[105( ( 0.866 i

ˆ 0.5 j

ˆ )

21F (9.375 [N] ) (0.866 iˆ

0.5 jˆ

) = (8.1188 iˆ

4.6875 jˆ

) [N]

b) VB = 2

2q

q

U ; VB =

AB

1

0 r

q

4

1

= (9109 [(Nm2)/C2])

]m[12.0

)]C[105( 6 = 375 000 [V]

Uq2 = q2 VB = ( 3106 [C] ) (375 000 [V] ) = 1.125 [J]

8. En la figura se muestra un conductor muy largo que

coincide con el eje “z” y que transporta una corriente eléctrica ic. Se sabe que el campo magnético en el punto

A es AB

= 0.34 iˆ

[mT], determine: a) La magnitud y sentido de la corriente en el conductor. b) La fuerza que experimentaría una partícula alfa ( q = 2 |qe| )

al pasar por el punto A con una velocidad de

(8 iˆ

+ 6 jˆ

) (106) [m/s].

a) AB = BA ( iˆ

); BA = a2

ic0

; ic =

))]mA/(Wb[104(

)]T[1034.0)(]m[05.0)(2(Ba27

3

0

A

ic = 85 [A]

para que AB = BA ( iˆ

), la corriente tiene que circular como se indica en la figura:


Electromagnetismo


b) F = qα v AB ; F = (2) |qe| [(8 iˆ

+ 6 jˆ

) ( 0.34 iˆ

)] (106) (103) [N]

F = (2) |qe| [( 2.04) ( kˆ )] (103) [N] = 2 (1.6 1019 ) (103) (2.04) k

ˆ [N]

F = 6.528 1016 kˆ

[N]

P3 v3 = R T3 ; P3 = 3

3

v

TR =

]kg/m[1325.0

)]K[1609.885()])Kkg/(J[7.286(3

= 1 915 288 [Pa]

9. En la figura se muestra una bobina, de 500 vueltas cuya resistencia

es 1 []. Se sabe que el flujo magnético que la atraviesa está dado por la expresión (t) = 0.004 + 50 t, donde está en [Wb] y t en [s]. Determine, para t = 0.02 [ms]:

a) La diferencia de potencial Vab. b) La corriente inducida al conectar entre a y b un resistor de R = 4 [].

Indique en un esquema su sentido. a) De acuerdo con la Ley de Faraday:

|| = td

dN

= N ]s[t]s/Wb[50]Wb[004.0

td

d = N ]s/Wb[50 = (500) ( 50 [Wb/s] )

|| = 25 000 [V], de acuerdo con el Principio de Lenz:

Va Vb , Vab 0, entonces Vab = 25 [kV] b) Req = R + Rb = ( 4 + 1 ) [], |Vab| = Req i ,

i = eq

ab

R

V =

][5

]V[00025

= 5 [kA] ; como Va Vb, entonces

10. Se desea construir un solenoide, se dispone de un núcleo ferromagnético cilíndrico, de 30 [cm] de

longitud, cuya permeabilidad magnética es = 716.2 0 y área transversal de 1 [cm2], determine: a) El número de vueltas requerido para que la magnitud del campo magnético en el punto medio y en

el eje del solenoide sea B = 90 [T] al hacer circular una corriente eléctrica de 10 [A]. b) Si la inductancia del solenoide anterior es L, ¿cuánto valdría la inductancia nueva si se duplica el

número de vueltas? justifique algebraicamente su respuesta. a) A = 1 [cm2] = 10 4 [m2] ,


Electromagnetismo


para un solenoide largo, en un punto de su eje y en su punto medio, el campo magnético

está dado por: B =

iN, de donde: N =

i

B

=

i2.716

B

0

=

)]A[10()])mA/(Wb[104(2.716

)]m[3.0()]T[90(7

N = 2 999.9885 [vueltas] 3 000 [vueltas]

b) Lo = i

No = ABi

No = AiN

i

N oo

=

AN 2o

; como Nn = 2 No , tenemos que:

Ln =

AN 2n

=

A)N2( 2o

=

AN4 2o

= 4 Lo ; Ln = 4 Lo

11. En la figura se muestra una carga puntual (Q) colocada en el

punto P en una región de vacío. Si el campo eléctrico en el

punto A es AE

= 135106 j [N/C], determine: a) El vector fuerza eléctrica que actuaría sobre un electrón

colocado en el punto A. b) El valor de la carga puntual Q (magnitud y signo).

a) eA

e

FE

q

, Aee EqF

= ( 1.610 19 [C] ) ( 13510 6 [N/C] j ) = 2.16 10 11 j [N]

eF

= 21.6 j [pN]

b) como AE

= EA j , entonces: Q < 0 ; A 2 20 PA PA

Q Q1E k

4 r r

;

2A PAE r

Qk

|Q| = ])C/)mN[(109

)]m[02.0()]C/N[10135(229

26

= 610 6 [C] ; Q = 6 [C]

12. En la figura se muestra un conductor recto y largo que coincide con el eje “x” por el cual fluye una

corriente eléctrica. Si el campo magnético en el punto A es B

= 200 )kˆ

( [T], determine: a) La corriente eléctrica, en magnitud y sentido, que

circula por el conductor recto. b) El vector campo eléctrico en el punto B debido a un

electrón que se colocara en el origen. Considere para este inciso que no está el conductor.


Electromagnetismo


a) AB 200 k [ T]

como A AB B k

entonces

la corriente eléctrica circula en el conductor en sentido del eje “x” negativo.

BA = 0i

2 a

; i = 6

A7

0

2 (0.04 [m]) 200 x 102 aB

4 x 10 [Wb / A m]

= 40 [A]

b) eB 2

0 0B

q1E j

4 r

;

19

9 2 2B 2

1.6 10 [C]E 9 10 (N m ) / C j

0.04 [m]

7BE 9 10 j [N / C] 0.9 j [ N / C]

13. En la figura se muestran dos conductores rectos

muy largos, paralelos al eje “y”. Si se sabe que el campo magnético en el punto A debido a la corriente eléctrica que circula en el conductor 2 es:

A2B

= 150 k [T], determine:

a) El vector campo magnético en el punto B. b) La fuerza magnética que experimentan cuatro

metros del conductor 1. A (1, 0, 0) [cm] B (2, 0, 0) [cm] C (3, 0, 0) [cm] i1 = 12 [A] i2 = 15 [A]

a) B B1 B2B B B

;

7

0 1B1

1

4 10 Wb / A m 12 AiB k k

2 a 2 0.01 m

= 240 k T ;

7

0 2B2

2

4 10 Wb / A m 15 AiB k k

2 a 2 0.01 m

= 300 k T ;

BB 540 k T

b) 12 1 1 12F i x B ; i1 = 12 [A]; 1 4 j m

A2 12B B 150 k T

; 612F 12 A 4 j m 150 k 10 T

612F 12 A 4 m 150 T 10 j k

312F 7.2 10 N i ; 12F 7.2 i mN


Electromagnetismo


14. Dos conductores rectos largos, paralelos entre sí y perpendiculares al plano xy

transportan corrientes eléctricas; el primer conductor pasa por el punto A ( 0, 5 ) [cm] y el segundo

por el punto B ( 4,0 ) [cm]. Si el vector campo magnético en el origen es 0B

= ( 8 i 16 j )

[T], determine: a) Las corrientes eléctricas en cada conductor. Indique

en un esquema su sentido. b) La fuerza magnética que experimentan 8 [m] del

conductor 1 al colocarlo paralelo al 2 de manera que pase por el origen.

a) O O1 O2 O1 O2ˆ ˆB B B B i B j

0B

= ( 8 i 16 j ), por lo tanto: BO1 = 8 [μT] y BO2 = 16 [μT] ;

BO1 = 0 1

OA

i

2 r

, i1 = OA O1

0

2 r B

= 6

7

2 0.05 [m] 8 10 [T]

4 10 [Wb / (A m)]

,

i1 = 2 [A] (entra a la hoja)

B02 = 0 2

OB

i

2 r

; i2 = OB O2

0

2 r B

= 6

7

2 0.04 [m] 16 10 [T]

4 10 [Wb / (A m)]

,

i1 = 3.2 [A] (sale de la hoja)

b) 12 1 1 12F i B ; i1 = 2 [A] , 1

ˆ8 k [m] ; 6

12 O2 O2ˆ ˆB B B j 16 10 [T] j

612

ˆ ˆF 2 [A] 8(k) [m] 16 10 [T] j

, 12ˆF 0.256 i [mN]

15. En la figura se muestra una bobina de 2500 vueltas inmersa en un campo magnético. Se sabe que la

intensidad de este último varía de manera que el flujo magnético disminuye a razón de 5 [mWb] cada segundo. Determine:

a) La diferencia de potencial inducida Vab. b) La potencia que disipa un resistor de 2.5 []

al conectarse entre los puntos a y b.

a) d 0.005 [Wb]

dt 1 [s]

= 0.005 [Wb/s]

dN

dt

= | 2 500 ( 0.005 [Wb/s] )| = 12.5 [V], de acuerdo con el Principio de Lenz:


Electromagnetismo


Va < Vb ; Vab < 0 , Vab = 12.5 [V]

b) 22

2 abe

12.5 [V]VW R i

R 2.5 [ ]

eW 62.5 [W]

16. En la figura se muestra un solenoide largo de 6 250 vueltas. a) Determine la corriente eléctrica (i) que debe circular para que el campo magnético en el punto C

(ubicado en el centro del solenoide) sea: cB

= 0.25 i [T]. Indique en el esquema su sentido.

b) Si al acercar un imán, como se indica, la diferencia de potencial inducida es vab < 0 [V], ubique en

la figura el polo magnético norte de dicho imán.

a) CB

= 0 si N

( i ) , | CB

| = 0 si N

, i = C

0 s

B

N

i = 2

7

(0.25[T]) (10 ) (10 [m])

(4 10 [Wb / (A m)]) (6250)

= 10 [A] , i = 10 [A]

b) Si vab = va vb < 0, entonces va < vb ; la corriente inducida circularía entrado al solenoide por el nodo a.

Si acercamos el polo norte del imán al solenoide, el flujo que genera dicho imán se incrementa en el sentido negativo del eje x. De acuerdo con el Principio de Lenz, el flujo inducido circularía de manera que se oponga al aumento de flujo del imán, es decir, genera una diferencia de potencial vab negativa. Por lo tanto el polo norte magnético del imán es el que está más próximo al solenoide.


Electromagnetismo


17. En la figura se muestran dos cargas eléctricas puntuales, determine: a) El vector campo eléctrico en el origen

debido únicamente a la carga Q1. b) La energía potencial eléctrica que tiene la

carga Q2. Q1 = 8 [C] Q2 = 12 [C]

a) 1O1 AO2

0 OA

Q1Ê r

4 r

, AO

AOAO

rr

r

, 2 2AOr 1 [m] 2 [m] 5 [m]

;

AOr 0,0 [m] 1, 2 [m]

AOˆ ˆr 1,2 [m] i 2j [m]

AO

ˆ î 2 j [m]r

5 [m]

;

69 2 2

01 2

8 10 [C] 1 2ˆ Ê 9 10 (N m ) / C i j5 55 [m]

O1ˆ Ê 6 439.86 i 12 879.75 j [N / C]

b) UQ2 = Q2VB (VB)Q1 = 1

0 AB

Q1

4 r; (VB)Q1 =

69 2 2

8 10 [C]9 10 (N m ) / C

4 [m]

(VB)Q1 = 18 000 [V]; UQ2 = ( 12 10 6 [C] ) (18 000 [V] ) = 0.216 [J]

18. Un electrón es lanzado con una velocidad de 2 106 i [m/s] en una región entre dos placas cargadas como se indica en la figura. Si la diferencia de potencial aplicada entre dichas placas es de 12 [V], determine:

a) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre

el electrón. b) El vector campo magnético necesario para

que el electrón pase entre las placas sin desviación.

d = 2.5 [cm]


Electromagnetismo


a) eFE

q

eF q E

, como E = cte., entonces

E = ABV

d E =

12[V]

0.025[m] = 480 [V/m] , E

= 480 j [V/m]

entonces: eF

= ( 1.6 10 19 [C] ) ( 480 j [N/C] ) = 7.68 10 17 j [N] ; eF

= 76.8 j [aN]

b) m eF F

, 18m ˆF 76.8 10 j[N]

; mF q B

para que m mˆF F ( j)

y como ˆ(i)

, entonces ˆB B( k)

para una carga negativa;

entonces: mF q B q B sen

, de acuerdo con la figura =90 [°]

Fm=|q| ν B 18

m19 6

F 76.8 10 [N]B

q (1.6 10 [C]) (2 10 [m / s])

= 2.4 10 4 [T]

ˆB 240 k [ T]

19. En la figura se muestra una carga puntual negativa Q = 6 [C] ubicada en el punto P ( 2, 4 ) [cm].

Determine: a) El vector campo eléctrico en el punto A ( 1, 0 ) [cm]. b) Las coordenadas del punto B, en el eje de las abscisas, en el

que su potencial es 1.35 [MV].

a) AP2

AP0A r

Q

4

1E

r

; ;

r

rr

AP

APAP

)]0,1()4,2[(rAP

[cm]

]cm[)4,3(rAP

, ]m[05.0]cm[5]cm[43r 22AP

;

;5

j4i3rAP

)ji(

)m05.0(

C106)109(E 5

453

2

6

CmN9

A 2

2

, ji6.21E 5

453

CMN

A

CN6

A 10j28.17i96.12E

b) BP0

B r

Q

4

1V

,

BPB r

QkV ,

V1035.1

C106109

V

Qkr 6

6

CmN9

BBP

2

2

r BP = 0.04 [cm], entonces el punto B tiene como coordenadas: B(2,0) [cm]


Electromagnetismo


20. Dos placas con carga eléctrica se hallan como se muestra en la figura. La magnitud

de la densidad superficial de cada placa es | | = 8.85 [nC/m2] y la distancia entre ellas es de 5 [cm]. Con base en ello, determine:

a) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual q = 10 9 [C] colocada entre las dos placas.

b) La diferencia de potencial aplicada entre las dos placas, es decir VAB.

d = 5 [cm]

a) q

FE

e

,

EqFe , j1085.8

1085.8jE

2

2

2

mNC12

mC9

0

CNj1000E

, entonces CN9

e j1000C10F

, ]N[j10F 6e

= j [µN]

b)

cos|d||E|dEVA

B

A

B

AB ; α = 180 [°] , cos α = 1 ; d = dy ;

A

B

A

B

AB dyE)1)(dy(EV ; )yy(EyEV BAABAB

VAB = E ( yB yA) = E d = ( 1 000 [V/m] ) ( 0.05 [m] ) = 50 [V]


Electromagnetismo


x [cm]

y [cm]

1 2 3 4

3 2 1

q1

q2


1. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de las cargas que se muestra en la figura.

q1 = +16106 [C]

q2 = 32106[C] k = 9109 [(Nm2)/C2]

Respuestas: ]N[)j92.1051i56.4741(F1

; ]N[)j92.1051i56.4741(F2

2. Las cargas y las coordenadas de dos partículas cargadas localizadas en el plano xy son: q1= + 3.0

10 6 [C], x = 3.5 [cm], y = 0.50 [cm] y q2 = 4.0 10 6 [C], x = 2.0 [cm], y = 1.5 [cm]. a) Encuentre la fuerza sobre la carga q2. b) ¿En dónde se debería colocar una tercera carga q3 = +4.0 10 6 [C] para que la fuerza total sobre

q2 fuese cero?

Respuestas: a) ]N[)j18.6i34(F2

; b) se debe colocar en x = 7.33 [cm], y = 1.33 [cm]. 3. Una bolita cargada (q2) pende de un hilo ligero en la forma indicada en la

figura. La bolita tiene una carga q2 de 0.075 [C]. Se mantiene fija una carga q1 de 0.125 [C]. A partir de estos datos y de las dimensiones señaladas en la figura calcule el peso de la bolita si la aceleración gravitatoria del lugar es de 9.78 [m/s2].

Respuesta: |W|

bolita = 2.343 10 4 [N]


Electromagnetismo


d d

q2 q1 q3

4. Calcule la energía potencial electrostática necesaria para formar el sistema de tres

cargas puntuales que se muestra en la figura. (d=50 [cm] ) q1= 2 [nC] q2= 3 [nC] q3= 4 [nC] Respuesta: Ue = 2.52 10 7 [J] 5. Calcule la energía potencial del sistema de cuatro

cargas puntuales q1 = 2 [nC], q2 = 4 [nC], q3 = 8 [nC], q4 = 3 [nC], situadas en los puntos (1, 0), (0, 1), (0, 1), (1, 0) [m], respectivamente en el plano xy, como se muestra en la figura.

Respuesta: Ue = 145.5 10 9 [J] 6. Se tiene una distribución de tres cargas puntuales q1 = 2

[nC], q2 = 4 [nC], q3 = 8 [nC], situadas en los puntos (1, 0), (0, 1), (0, 1) [m], respectivamente en el plano xy, como se muestra en la figura. Calcule:

a) El potencial eléctrico en el punto A (1, 0) [m]. b) La energía potencial eléctrica de una carga de prueba de 3

[nC] si se colocara en el punto A. c) El trabajo realizado para llevar dicha carga de prueba desde

A hasta B (2,1) [m]. Respuestas: a) VA = 16.5 [V] ; b) Ue = 49.4 10 9 [J] ; c) AWB = 3.3 10 9 [J] 7. Un conductor de longitud L = 3 [m] está situado en una región del espacio en donde existe un

campo magnético dado por kBj2.0B z

[T]. Sabiendo que sobre dicho conductor el campo B

ejerce una fuerza dada por k3.0j75.0F

[N] determine la intensidad de corriente I que circula por el conductor y la componente z del campo magnético (BZ).

Respuestas: I = 0.5 [A] , Bz = 0.5 [T]


Electromagnetismo


8. El conductor de la figura transporta una corriente I = 25 [A], si se sabe que la permeabilidad magnética del cubo mostrado es 410-7 [Wb/(Am)] y tiene como longitud en su arista 100 [cm]. ¿ Cuál es el valor de la magnitud campo magnético B en los puntos indicados?

Respuesta: |B|

= 1010-6 [T] = 10 [T]. 9. En la figura se representa esquemáticamente un

solenoide con L = 18 [cm], el radio de las espiras que se muestran es de 1.2 [cm]. Si se tienen 1 100 espiras

muy juntas ¿ Cuál es el valor del vector B

en el centro y en los extremos del eje de dicho solenoide, si la corriente eléctrica I = 2.5 [A]?

Respuestas:

En el centro del solenoide B

= 0.1920 i [T] ; en los extremos B

= 0.0960 i [T] 10. Aplicando la ley de inducción de Faraday, encuentre la magnitud del voltaje inducido (fem

inducida) en una bobina con 10 espiras y que tiene un área de 120 [cm2], si ésta se encuentra entre los polos de un imán cuyo campo magnético es uniforme y cuya magnitud aumenta a razón de 0.02 [T/s].

Respuestas Vxy = 2410-4 [V] = 2.4 [mV]. 11. En la figura se muestran dos conductores muy largos y paralelos sobre el plano xy, en el aire, los

cuales transportan las corrientes eléctricas indicadas. Determine: a) La distancia b, tal que en el punto P el

campo magnético sea cero. b) La fuerza de origen magnético que

experimentan 2.5 [m] del conductor 1.

i1 = 60 [A] i2 = 80 [A] = 45 [cm]


Electromagnetismo


Respuestas: a) b = 0.1929 [m] ; b) 1F

= 5.3333 i [mN] 12. En la figura se muestran dos inductores (A y B). Considerando que el interruptor S se encuentra

cerrado, indique en un diagrama el sentido de la corriente que circula por el resistor R2 así como qué punto está a mayor potencial (“a” o “b”), si:

a) El inductor B se acerca al inductor A. b) Los inductores permanecen fijos, pero R1 aumenta de valor. Respuestas: a) “b” está a mayor potencial que “a” b) “a” está a mayor potencial que “b” 13. En la figura se muestran cuatro cargas puntuales negativas cuyo valor absoluto en magnitud de cada

una es |Q|, colocadas en el vacío.

a) La magnitud del vector campo eléctrico en el origen del sistema de referencia, se encuentra en la opción:

A) 0

Q

( 2) a B) 0 C)

0

Q

2 a

D) 2

0

Q

2 a

b) El potencial eléctrico en el origen del sistema de referencia es:

A) 0 B) 2

0

Q

( 2) a

C) 0

Q

( 2) a

D) 0

Q

( 2)

Respuestas: a) opción B ; b) C


Electromagnetismo


14. Dos conductores paralelos se encuentran colocados en el plano “xy”, como se muestra en la figura. Ambos transportan corriente eléctrica. Si el campo magnético en el punto P, debido a las corrientes

en ambos conductores es PˆB 0.8k[ T]

, determine:

a) El valor de la corriente que circula en el conductor 2. Indique en el esquema su sentido. b) La fuerza de origen magnético que experimenta una carga q = – 5 [pC] al pasar por el punto P con

una velocidad 6 ˆv 2 10 i[m / s]

. i1 = 2 [A] = 25 [cm] Respuestas: a) 2i 3 A ,

b) m ˆF 8 j pN

15. Un solenoide de 4 000 vueltas, con núcleo de aire, tiene una longitud de 10 [cm] como se

muestra en la figura. Si el punto C está justo en el eje de dicho solenoide y en su parte central, determine:

a) La corriente que tendría que circular en el solenoide para que el campo magnético en el punto C

fuese cB

= 136 i [mT]. Indique en el diagrama el sentido de dicha corriente.

b) La diferencia de potencial Vab inducida si se sabe que el imán se acerca al solenoide de manera que la variación uniforme de flujo magnético es 0.027 [Wb/s]. Indique qué punto estaría a mayor potencial.

Respuestas: a) i = 8.5 [A] , b) abV 108 V y el punto a está a mayor potencial.


Electromagnetismo


16. Una espira cuadrada de 20 [cm] de lado se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme de 0.045 [T]. Determine el flujo a través de la espira si el plano de ésta y las líneas de campo magnético forman un ángulo de 60 [°].

Respuesta: = 1.5588 [mWb]


Circuitos eléctricos en corriente directa


TEMA VI. CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE DIRECTA


1. En el laboratorio de Principios de Termodinámica y Electromagnetismo, un alumno construye un capacitor de placas planas y paralelas (C1) y arma el circuito que se muestra. Considerando que los interruptores permanecen abiertos y que la inductancia mutua entre los solenoides es despreciable, determine:

a) La potencia que disipa el resistor R1. b) La capacitancia que indicaría un medidor RCL al conectarse entre los nodos “c” y “b”, así como la

inductancia que marcaría al conectarse entre los nodos “e” y “b”. 1 = 20 [V], 2 = 4 [V], R1 = R2 = 1 [k], R3 = 220 [], C2 = 23.5 [pF], L1 = L2 = 9.4 [mH], L3 = 33 [mH], para el capacitor C1: A = 6.25 10 4 [m2] d = 0.1 [mm] 0 = 8.85 10 12 [C2/(Nm2)] a) Aplicando ley de voltajes de Kirchhoff, tenemos: R1 i + 2 + R3 i + R2 i – 1 = 0

i = 321

21

RRR

= ][)22010001000(

]V[)420(

= 7.2072 [mA] ;

Q R1 = R1 i 2 =(1000 [] ) ( 7.2072 10 3 [A] )2

Q R1 = 0.0519 [W]

b) C1 = ]m[101.0

)]m[1025.6()])mN/(C[1085.8(

d

A3

2422120

C1 = 55.3125 [pF] ; Ceq ce = 21

21

CC

CC

=

5.233125.55

)5.23()3125.55(

[pF]

Ceq ce = 16.4929 [pF]

Leq de = L12 + L3 ; L12 = 21

21

LL

LL

=

4.94.9

)4.9()4.9(

[mH] = 4.7 [mH]

Leq de = (4.7 + 33) [mH] Leq de = 37.7 [mH]




2. Para el circuito eléctrico que se muestra, determine: a) Las corrientes eléctricas indicadas. b) La energía que disipa el foco durante una hora. 1 = 2 = 12 [V] R1 = R2 = 100 [] R3 = R4 = 2 [] Rf = 6 []

a) Aplicando LCK en el nodo a : i1 – i2 – i3 = 0 [A].......... (1) Aplicando LVK en la malla I : 2 + R4 i2 + R3 i1 – 1 + R1 i1 = 0 (R1 + R3) i1 + R4 i2 = 1 – 2 (102 [] ) i1 + (2 [] ) i2 = 0 [V]……(2) Aplicando LVK en la malla II : 2 + R4 i2 – Rf i3 – R2 i3 = 0 – R4 i2 + (Rf + R2) i3 = 2 – ( 2 [] ) i2 + (106 [] ) i3 = 12 [V] …….(3)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3): i1 = 2.14 [mA] ; i2 = – 109.01 [mA] ; i3 = 111.15 [mA]

b) Q = Q t = ( 6 [] ) (111.15 3 [A] )2 ( 3 600 [s] ) Q = ( 0.0741 [W] ) ( 3 600 [s] ) = 266.8567 [J] 3. Se tienen dos circuitos eléctricos, determine: a) Para el circuito A la energía que almacena el conjunto de capacitores. circuito A

= 15 [V] C1 = 20 [F], C2 = C3 = 10 [F]




b) Para el circuito B la corriente eléctrica que circula por la fuente .

= 24 [V] circuito B R1 = 60 [] R2 = R3 = 30 []

a) C2 y C3 están en paralelo, por lo tanto: C23 = C2 +C3 ; C23= ( 10 + 10 ) [F] = 20 [F] ; C1 y C23 están en serie, entonces:

Ceq = 231

231

CC

CC

=

2020

)20)(20(

[F] = 10 [F] ;

en consecuencia

U = ½ Ceq 2abV = ½ (10106 [F] ) (15 [V] )2 = 1.125 [m J]

b) R2 y R3 están en serie, por lo tanto:

R23 = R2 + R3 ; R23 = ( 30 + 30 ) [] = 60 [] ; como R1 y R23 están en paralelo:

Req = 231

231

RR

RR

=

6060

)60)(60(

= 30 [] ;

entonces:

= Req if ; if = eqR

=

][30

]V[24

= 0.8 [A] if = 0.8 [A]

4. Para los circuitos que se muestran, determine la energía que almacena cada arreglo.

a) C1 = 30 [F] , C2 = 20 [F] , C3 = C4 = 80 [F] ;

VAB = 24 [V] b) L1 = 20 [mH] , L2 = L3 = 10 [mH] ,

L4 = 25 [mH] ; I = 8.5 [A]




a) C34 = 3 4

3 4

80 80C C[ F]

C C 80 80

= 40 [F]; C234 = C2 + C34

C234 = (20 + 40) [F] = 60 [F]; CAB = 1 234

1 234

30 60C C[ F]

C C 30 60

= 20[F]

U = (½) CAB VAB2 = ½ (20 10-6 [F] ) ( 24 [V] )2 = 5.76 [mJ]

b) L23 = 2 3

2 3

L L (10)(10)[mH]

L L 10 10

= 5 [mH]; LAB = L1 +L23 + L4

LAB = (20 + 5 + 25) [mH] = 50 [mH] U = (½) LAB I2 = (½) (50 10 3 [H] ) (8.5 [A] )2 = 1.8063 [J] .

5. En la figura se muestra un circuito eléctrico, el cual consta de 4 resistores y una fuente de fuerza

electromotriz, determine: a) La diferencia de potencial Vbc. b) La energía que entrega la fem en 10 [min] = 13.5 [V] R1 = R2 = 10 [] R3 = R4 = 22.5 []

a) R12 = 1 2

1 2

R R

R R =

(10)(10)

10 10[] = 5 [] ; R34 = (22.5+22.5) [] = 45 [] ;

Vbc = R4 iR4 , iR4 = iR3 = iR34 , Vac = = R34 iR34 ,

iR34 =

34

13.5[V]

R 45[ ]

= 0.3 [A] = iR4 ,

Vbc = (22.5 [] ) (0.3 [A] ) = 6.75 [V] b) U = eW (t) , eW = i , U = i (t) ,

i = iR12 + i R34 , = Vac = R12 iR12 , iR12 = 12R

=

13.5[V]

5[ ] = 2.7 [A]

i = (2.7 + 0.3) [A] = 3 [A] , U = ( 13.5 [V] ) (3 [A] ) ( 1060 [s] ) = 24.3 [kJ] 6. En el circuito eléctrico que se muestra, la corriente eléctrica i1 = 0.39 [mA]. Con la información

proporcionada, determine: a) El valor de la fuente 2. b) La diferencia de potencial Vab.




1 = 70 [V] 3 = 80 [V] R1 = 2 [k] R2 = 4 [k] R3 = 3 [k]

a) Aplicando el principio de conservación de la energía en la malla externa:

1 R1i1 3 + R2i2 = 0 , R2 i2 = 3 + R1i1 1

i2 = 3 1 1 1

2

R i

R

i2 = 3(80[V]) (2000[ ]) (0.39 10 [A]) (70[V])

4000[ ]

= 2.695 [mA] ;

aplicando el principio de conservación de la carga en el nodo “a”:

i1 + i2 – i3 = 0 , i1 + i2 = i3 i3 = (0.39 + 2.695) [mA] = 3.085 [mA] ; aplicando el principio de conservación de la energía en la malla de la izquierda:

1 R1i1 R3i3 2 = 0 , 2 = 1 R1i1 R3i3

2 = (70 [V] ) (2 000 [Ω] )(0.3910 3 [A] ) – (3 000 [Ω] )(3.08510 3 [A] ) = 59.965 [V] 2 = 59.965 [V] b) Vab + R1i1 1 = 0 , Vab = 1 R1i1 = (70 [V] ) – (2 000 [Ω] )(0.3910 3 [A] ) Vab = 69.22 [V] 7. Para la conexión de capacitores que se muestra se sabe que la energía que almacena todo el arreglo

es 0.81 [mJ] y la diferencia de potencial Vad = 18 [V], determine: a) El valor del capacitor C1. b) La carga eléctrica en los capacitores C3 y C4. C2 = 3 [F] C3 = 4.5 [F] C4 = 9 [F]

a) 21T ad ad2U C V ,

3T

ad 2 2ad

2 U 2(0.81 10 [J])C

V (18[V])

= 5 [F]




3 434

3 4

C C (4.5)(9)C [ F]

C C (4.5 9)

= 3 [F] , ad 34 12C C C

C12 = Cad C34 = ( 5 [F] ) ( 3 [F] ) = 2 [F] ,

1 212

1 2

C CC

C C

de donde 12 2

112 2

C CC

C C

1(2) (3)

C [ F] 6[ F](2) (3)

, C1 = 6 [F]

b) Q3=Q4 ; Q

CV

, Q = C V, Q 34 = C 34 V ad.

Q34 = ( 3 106 [F] ) ( 18 [V] ) = 5.4 10 5 [C] ; Q3 = Q4 = 54 [C] 8. En el circuito eléctrico que se muestra se sabe que la

diferencia de potencial entre A y B es 15 [V]. Con la información adicional que se indica, determine:

a) La corriente eléctrica i2. b) La energía que entrega la fuente 2 en 5 minutos, al

resto del circuito. 1 = 10 [V] R1 = 1 [] R2 = 2 [] R3 = 100 []

a) AB 3 3V R i , AB3

3

V 15[V]i 0.15[A]

R 100[ ]

aplicando el principio de conservación de la energía en la malla de la izquierda:

1 AB 1 1V R i 0 , 1 1 1 ABR i V ,

1 AB1

1

V (10 15)[V]i 5 A

R 1[ ]

de acuerdo con el principio de conservación de la carga en el nodo A:

1 2 3i i i , 2 3 1i i i (0.15[A]) ( 5[A]) 5.15 A

b) 2 2

E P t ; 2 22P i , de acuerdo con el principio de conservación de la energía

en la malla de la derecha, tenemos: 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2R i R i 0, R i R i

2 (100[ ])(0.15[A]) (2[ ])(5.15[A]) 25.3 V ; 2P (25.3V)(5.15A) 130.295 W

la energía que entrega la 2 es: 2E (130.295[W])(60)(5)[s] 39 088.5 J




9. Para la conexión de resistores que se muestra, determine: a) La corriente eléctrica que entrega la fuente . b) La potencia eléctrica que disipa el resistor R4. = 7.5 [V] R1 = 25 [Ω]

R2 = 70 [Ω] R3 = 20 [Ω] R4 = 30 [Ω] R5 = 80 [Ω]

a) R24 = R2 +R4 = (70 + 30) [Ω] = 100 [Ω] , R35 = R3 +R5 = (20 + 80) [Ω] = 100 [Ω]

][50][100100

)100(100RR

RRR

3524

3524be

, ][75][)5025(RRR be1ae

ε = Rae iε ][75

]V[5.7

Ri

ae

iε = 0.1 [A]

b) Vbe = Rbe iε = (50 [Ω] ) (0.1 [A] ) = 5 [V] , Vbe = R24 i24

]A[05.0][100

]V[5R

Vi

24

be4R

, 2

4R44R iRP

PR4 = (30 [Ω] ) (0.05 [A] )2 PR4 = 0.075 [W] 10. Para el circuito eléctrico que se muestra se sabe que la potencia del motor es Pm = 16.9044 [W], con

base en ello y en la información proporcionada, determine: a) Las corrientes eléctricas indicadas. b) La diferencia de potencial que mediría un voltímetro entre el punto A y C, es decir VAC. 1 = 3 [V] 2 = 24 [V] R1 = 10 [] R2 = R4 = 3 [] R3 = R5 = R6 = 2 [] Vmotor = 12 [V] = Vm




a) Pm = 16.9044 [W] , Pm = Vm i3 ; ]A[4087.1V12

W9044.16

V

Pi

m

m3

ε2 R5 i2 R6 i3 Vm R2 i3 = 0 , R5 i2 = ε2 ( R2 + R6 ) i3 Vm ,

5

m36222 R

Vi)RR(i

2

)V12()A4087.1()23()V24(i2 = 2.4783 [A]

i1 + i2 i3 = 0 i1 = i2 i3 = (2.4783[A] ) (1.4087[A] ) = 1.0696 [A] b) VAC ( R4 + R3 )i1 ε1 = 0 , VAC = ε1 + ( R4 + R3 ) i1 = ( 3V ) + ( 2 + 3 ) Ω (1.0696A ) VAC = 8.348 [V]





1. El conductor de la figura, tiene una resistencia eléctrica de 0.2 [] y tiene aplicada una diferencia de potencial de 100 [mV], ¿ cuál es el valor de la corriente eléctrica que circula por él ? Si el material del alambre es aluminio (Al= 2.83x10-8 [ m]), ¿cuál es el diámetro del alambre?

Respuestas: I = 0.5 [A] ; = 0.7352 [mm] 2. Se cuenta con tres resistores cuyos valores de resistencia son, R1 = 100 [], R2 = 220 [] y R3 =

330 []. Las potencias máximas de cada resistor son iguales P1 = P2 = P3 = 0.5 [W]; con base en esta información, obtenga lo que pide a continuación:

a) Si se conectaran todas en serie, ¿cuál sería el valor del resistor equivalente? b) Si se conectaran todas en paralelo, ¿cuál sería el valor del resistor equivalente? c) Si se conectaran todas en serie y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos,

¿cuál sería el valor de la diferencia de potencial en cada resistor? d) Si se conectaran todas en paralelo y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos

¿cuál sería el valor de la corriente eléctrica en cada resistor? e) ¿Algún resistor elevaría excesivamente su temperatura por las condiciones indicadas en el inciso c)

o en d) ?, es decir, ¿se sobrepasa la potencia de 0.5 [W] en algún resistor? Respuestas: a) Req = 650 [], b)Req = 56.8966 [], c) V1 = 1.5385 [V], V2 = 3.3846 [V], V3 = 5.0769 [V], d) i1 = 0.1 [A], i2 = 0.04545 [A], i3 = 0.030303 [A], e) solamente el resistor R1 en el inciso d) sobrepasa su potencia, Pdisip = 1 [W] 3. Se cuenta con tres capacitores cuyos valores de capacitancia son C1 = 100 [F], C2 = 220 [F] y C3

= 330 [F]. Obtenga lo que pide a continuación: a) Si se conectaran todos en serie, ¿cuál sería el valor del capacitor equivalente? b) Si se conectaran todos en paralelo, ¿cuál sería el valor del capacitor equivalente?




c) Si se conectaran todos en serie y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en

los extremos, ¿cuál sería el valor de la diferencia de potencial en cada capacitor? d) Si se conectaran todos en paralelo y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos

¿cuál sería el valor de la carga almacenada en cada capacitor? Respuestas: a) Ceq = 58.8966 [F] , b) Ceq = 650 [F] , c) V1 = 5.6897 [V], V2 = 2.5862 [V], V3 = 1.7241 [V], d) Q1 =110 3 [C], Q2 = 2.210 3 [C], Q3 = 3.310 3 [C] 4. Se cuenta con tres inductores cuyos valores de inductancia propia son, L1 = 100 [mH], L2 = 220

[mH] y L3 = 330 [mH]. Obtenga lo que pide a continuación: a) Si se conectaran todos en serie, ¿cuál sería el valor del inductor equivalente? b) Si se conectaran todos en paralelo, ¿cuál sería el valor del inductor equivalente? c) Si se conectaran todos en serie y se aplica una corriente i (t) = (10 t +3) [A] ¿ cuál sería el valor de

la diferencia de potencial en cada inductor y en los extremos de la conexión? d) Si se conectaran todos en paralelo y se tiene una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos

¿cuál sería el valor de la corriente eléctrica de 0 a t, en cada inductor? Respuestas: a) Leq = 650 [mH] , b) Leq = 58.8966 [mH] c) V1 = 1.0 [V], V2 = 2.2 [V], V3 =3.3 [V] ; Vad = 6.5 [V] d) i1 (t) = 100 t [A], i2 (t) = 45.4545 t [A], i3 (t) = 30.3030 t [A] 5. En la figura se representa esquemáticamente un

capacitor de placas planas paralelas, con un área de placas A = 255 [cm2] y una distancia de separación entre placas de d = 0.18 [mm], si la permitividad eléctrica del medio es 0 = 8.8510-12 [C2/(Nm2)], ¿cuál es su valor de capacitancia en farad?, ¿cuál es la energía almacenada U si Vab = 12 [V]?

Respuestas: C = 1.253810-9 [F] ; U = 0.090310-6 [J] 6. En la figura se muestra un solenoide con una longitud = 23 [cm] y un diámetro de 2.5 [cm]. Si la

permeabilidad magnética del medio es 0 = 4 107 [Wb/(Am)] y el número de espiras es de 760, ¿cuál es el valor de su inductancia en henry? Si la I = 2.5 [A], ¿cuál es la energía magnética U almacenada?




R=20 E = 9 V

r []

a

b

R=50 E = 12 V

0.5

Respuestas: L = 1.5491103 [H]; U = 4.8409103 [J] 7. El voltaje de fem es E =9 [V], si al conectar una resistencia de

20 [] circula una corriente 0.4 [A] ¿Cuál es el valor del voltaje Vab? ¿Cuál es el valor de la resistencia interna de la fem?

Respuestas: Vab = 8.0 [V], r = 2.5 [] 8. Para el circuito eléctrico con la fuente de fem de

12 [V], calcule: a) La corriente eléctrica que circula en el circuito. b) La energía que entrega la fuente de fem real en

30 minutos. a) I = 0.2376 [A], b) U = 5081.85 [J] 9. Para el circuito eléctrico que se muestra en la

figura, obtenga las corrientes y los voltajes en cada resistor, si R1 = 100 [], R2 = 220 [], R3 = 330 [] y R4 = 150 []; =9 [V].

10. Para el circuito eléctrico que se muestra en la

figura, obtenga las corrientes y los voltajes en cada resistor, si R1 = 120 [], R2 = 220 [], R3 = 100 [] y R4 = 150 []; =24 [V].




11. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las corrientes y los voltajes en cada resistor, si R1 =120 [], R2 = 220 [], R3 = R4 = 330 [] y R5 = 150 [] ; =12 [V].

12. En el circuito que se muestra en la figura, la diferencia de potencial VAB es 12 [V], determine: a) La capacitancia equivalente entre los puntos A y B. b) La energía que almacena el capacitor 2. C1 = 3 [nF] C2 = 1 [nF] C3 = 6 [nF] C4 = 2 [nF] Respuestas: a) CAB = 1.2 [nF] ; b) U2 = 11.52 [nJ] 13. En el circuito con capacitores que se muestra, se sabe que VAB = 4.5 [kV], determine:

a) La capacitancia equivalente entre los puntos A y B. b) La carga eléctrica almacenada en el capacitor C2. C1 = 12 [F] C2 = C3 = 3 [F] C4 = 2 [F]

Respuestas: a) ]F[3

4CAB ; b) Q2 = 3 [mC]

14. En el laboratorio de esta asignatura, con un medidor RLC, un grupo de alumnos midió el valor del

resistor y del inductor equivalentes entre los puntos A y C en los circuitos que se muestran. Se conocen los datos de algunos elementos eléctricos; con base en ello determine el valor de los elementos eléctricos faltantes.




RAC = 80 [Ω] LAC = 7.5 [mH] R1 = 5 [Ω] L1 = 5 [mH] R2 = 100 [Ω] L3 = 3.75 [mH] Respuestas: R3 = 300 [Ω] , L2 = 15 [mH]


Circuitos eléctricos en corriente alterna


TEMA VII. CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE ALTERNA


1. En la figura se muestra un circuito de corriente alterna donde v(t) = 12 sen (t) [V]. Determine: a) La corriente i(t) que circula por el resistor R1. b) El voltaje eficaz que se le aplica al resistor R2.

f = 60 [Hz] R1 = 1.15 [k] R2 = 1 [k] R3 = 4.8 [k]

a) R23 = 32

32

RR

RR

=

]k[)8.41(

)]k[8.4()]k[1(

= 0.8276[k] ,

Req = R1 + R23 = 1.9776 [k]

Req = 1 977.6 []

v (t) = Req i (t), i (t) = eqR

)t(v =

][6.9771

)t(sen12

= 6.068 103 sen (t) [A]

i (t) = 6.068 sen (t) [mA] b) vR2 = vR3 = vR23 = R23 i (t),

vR2 (t) = (827.6 [] ) ( 6.068 103 sen (t) [A] ) = 5.0219 sen (t) [V],

Vef = 2

Vmáx = 2

]V[0219.5 = 3.551 [V]

2. En la figura se muestra una bobina de 85 vueltas y el flujo magnético que la atraviesa varía de

acuerdo con la gráfica mostrada. De acuerdo con lo anterior, determine en el intervalo 0 t π/2 : a) La diferencia de potencial inducida entre los puntos a y b, es decir vab (t). b) La corriente eléctrica eficaz que circula por el resistor R. Indique en un diagrama su sentido.




(t) = 5 sen (t) [mWb]

= 2 π f = 120 π [rad/s], f = frecuencia f = 60 [Hz] R = 28 []

a) ab

dv N

dt

; (t) = 5 sen (ωt) [mWb] = 0.005 sen (ωt) [Wb]

d d d0.005 sen( t) 0.005 cos( t) [ t]

dt dt dt

= 0.005 ω cos (ωt)

|vab| = | N [0.005 ω cos (ωt)] | = (0.005) N ω cos (ωt) [Wb/s]

|vab| = (0.005) (85) (120 π) cos (120 π t) [Wb/s] = 160.2212 cos (120 π t) [V]

|vab| = 160.2212 cos (ωt) [V] ; de acuerdo con el Principio de Lenz:

vb > va; entonces vab < 0 vab = 160.2212 cos (ωt) [V]

b) |vab| = R i ; i (ωt) = abv ( t) 160.2212 cos ( t)[V]

R 28 [ ]

i (ωt) = 5.7222 cos (ωt) [A] ; Ip = 5.7222 [A] ,

Ief = pI 5.7222 [A]

2 2 = 4.0462 [A]

3. Para el circuito que se muestra, determine en el

resistor equivalente entre los puntos a y b: a) La corriente i (t). b) El valor eficaz de la diferencia de potencial y de la

corriente.




vab (t) = √2 (100) cos ( t ) [V] , f = 60 [Hz] R1 = R2 = R3 = 100 [Ω]

a) R R R ; R Ω R 50Ω

R 100 50 Ω 150Ω v t R i t

i t √

Ω i t 0.9428 cos t A

b) V√

√

√100 V V V 100 V

I√

.

√0.6667 A I I 0.6667 A A

o bien : V R I I

Ω I I A





1. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las diferencias de potencial, en función del tiempo, en cada resistor, si

R1= 100 [], R2 = 220 [], R3 = 330 [] y R4 = 150 []; v (t) = 13 sen 120t [V]. Respuestas:

VR1 (t) = 1.625 sen 120t [V] VR2 (t) = 3.575 sen 120t [V] VR3 (t) = 5.363 sen 120t [V] VR4 (t) = 2.438 sen 120t [V] 2. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las corrientes eléctricas, en función

del tiempo, en cada resistor, si R1 = 120 [], R2 = 220 [], R3 = 100 [] y R4 = 150 [] ; v (t) = 162.6 sen 377 t [V]. Respuestas: iR1 (t) = 0.48 sen 377t [A] iR2 (t) = 0.15 sen 377t [A] iR3 (t) = 0.33 sen 377t [A] 3. Si en el circuito eléctrico que se muestra el voltaje eficaz Vab=9 [V], obtenga la corriente i(t), en

función del tiempo y la diferencia de potencial Vac(t), si R1= 4 [], R2 = 8 [], R3 = 8 [] y Vac(t)=Vp cost; f=50 [Hz] Respuestas: i (t) = 4.7729 cos 314.16t [A] Vac (t) = 50.9117 cos 314.16t [V]




4. En el circuito eléctrico que se muestra el voltaje entre c y d es tsen37762 , obtenga la corriente i(t) y el voltaje v(t), en función del tiempo, y el voltaje eficaz entre a y b (Vab), si

R1= 4 [], R2 = 3 [], R3 = 10 [], R4 = 5 [] Respuestas:

i (t) = tsen3778.12 [A]

Vac (t) = tsen3776.182 [V] Vab=7.2 [V]

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