SVEUČIL IŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I

BRODOGRADNJE

POSLIJEDIPLOMSKI DOKTORSKI STUDIJ STROJARSTVA

KVALIFIKACIJSKI ISPIT

PRIMJENA MCMC METODE U PRAĆENJU I PREDVIĐANJU STANJA SUSTAVA

STIPE PERIŠIĆ

Split, travanj 2019

Sadržaj

1. Uvod ..................................................................................................................... 1

2. Metode praćenja stanja ......................................................................................... 6

3. Bayesova analiza ................................................................................................ 11

3.1. Bayesova analiza pomoću konjugiranih priora .............................................. 11

3.2. Bayesova analiza u procjeni modela s više parametara i izbor modela .......... 13

4. Markov Chain Monte Carlo metoda ................................................................... 15

4.1. Monte Carlo integracija .................................................................................. 15

4.2. Markovljev lanac u kontekstu MCMC ........................................................... 16

4.3. Metropolis algoritam ...................................................................................... 17

5. Obrada podataka pomoću MCMC metode ......................................................... 23

5.1. Pregled literature vezane za procjenu parametara modela MCMC metodom 23

6. Procjena preostalog životnog vijeka................................................................... 39

6.1. Pregled literature vezane za procjenu preostalog životnog vijeka.................. 42

7. Tablični pregled literature .................................................................................. 54

8. Zaključak ............................................................................................................ 57

Literatura ...................................................................................................................... 58

Sažetak .......................................................................................................................... 63

Popis oznaka i kratica ................................................................................................... 64

1

1. UVOD

S vremenom, zahtjev za sigurnim radom tehničkih sustava sve je veći i formalne kontrole rizika po ljude i okoliš su češće. Značajka sustava na kojoj se temelji navedeno je pouzdanost. Zbog uvođenja novih funkcija, složenost tehničkih sustava posljednjih godina značajno se povećala, čime analiza pouzdanosti postaje zahtjevnija. Načelno rješenje ovog problema može se pronaći kroz nekoliko pristupa.

Jedan od najjednostavnih je koristiti izrazito kvalitetne (bolji materijali, predimenzioniranost itd.) i skupe komponente. Dodavanjem jedne ili više komponenti u paralelnu vezu također se može povećati pouzdanost. Dodana komponenta ne mora biti identična, ali mora obavljati istu funkciju. Značajka je paralelne konfiguracije da sustav nije ispravan tek onda kada je određeni broj komponenti u vezi neispravan. Takvi sustavi se nazivaju zalihosni ili redudantni. Kako je izraz redundancija uvriježen u inženjerskoj praksi, isti će se koristiti u daljnjem tekstu. Problem s redundancijom je što složeni sustavi postaju složeniji. Isto tako pouzdanost se može povećati jednostavnim pregledom. Na taj način unosi se dodatna informacija o sustavu, koja se može iskoristiti u kontekstu uvjetne pouzdanosti. Nešto više informacija o navedenom može se promaći u literaturi [1]. Ako je nadzor (pregled) sustava konstantan, u tom slučaju radi se o tehničkoj dijagnostici, a navedeno je jednim dijelom tema ovog rada. Efikasan način osiguravanja zadovoljavajuće razine pouzdanosti kroz čitavi period eksploatacije moguć je samo ako se sustav održava. Prema definiciji održavanje je “kombinacija svih tehničkih, administrativnih i menadžerskih postupaka tijekom vijeka trajanja nekog elementa s ciljem zadržavanja ili vraćanja elementa u stanje u kojem može izvoditi zahtijevanu funkciju” [2].

Kako bi se postupak održavanja učinkovito proveo, prije svega potrebno je predvidjeti vrijeme kvara. Pri tomu, bitno je jasno definirati pojmove kao što su pouzdanost i kvar, jer kada su pojmovi nespretno definirani, koncepti i razmišljanje su nejasni, komunikacija je dvosmislena, a djelovanje, najblaže rečeno, nije optimalno [3]. S obzirom na pregledanu literaturu, pouzdanost ima nekoliko naizgled vrlo sličnih definicija. Kao primjer navodi se definicija prema standardu [2], a koja je korištena i u [3], gdje je pouzdanost definirana kao „Sposobnost objekta (sustav, podsustav, sklop, komponenta itd.) da zahtijevanu funkciju izvodi u zadanim uvjetima unutar zadanog vremenskog intervala“. Često je sporan termin zahtijevana funkcija, pa je zbog toga bitno razlikovati pojmove kao što su greška, kvar i neispravnost. Greška je razlika između mjerene i stvarne (teorijske ili specificirane) veličine indikatora tehničke ispravnosti. Sustav još nije u kvaru jer se mjerena veličina nalazi unutar dopuštenog odstupanja. Kvar predstavlja trenutak (događaj) kada je mjerena veličina prešla dopuštenu granicu. Neispravnost je stanje u kojem se komponenta nalazi zbog događaja kvara. Sve navedeno može se vidjeti na slici 1.1, a jasno je da komponenta (ili sustav) ne može biti u kvaru, nego samo u ispravnom i nesipravnom stanju.

2

Slika 1.1 Odnos greške, kvara i neispravnosti

Posebno pitanje je kako postaviti granicu prijelaza iz jednog u drugo stanje. Na slici 1.1 granice su postavljene u obliku preddefiniranog praga (eng. threshold). Kvar se dogodi onda kada indikator ispravnosti prvi put dosegne preddefiniranu razinu. Ovo je najjednostavniji i ujedno najčešći način definiranja kvara. Prema autorima [4] ako se dovoljno dobro poznaje mehanizam kvara, u nekim slučajevima moguć je postaviti i drugačiji kriterij.

Bez obzira na sustav, izvjesno je da će se kvar dogoditi. Međutim kako je kvar slučajna varijabla čiji trenutak unaprijed nije poznat, za njegovu procjenu potrebno je koristiti statistički model. Tako npr. ako se dvije iste komponente, istodobno puste u rad u jednakim radnim uvjetima, gotovo sigurno kvar se neće desiti u istom trenutku. Procjena kvara može dobiti na tri načina: na temelju pretpostavljenog [5],[6], ili ispitivanjem utvrđenog [7] modela životnog vijeka; na temelju zabilježenih kvarova; na temelju stanja (eng. health1).

Sve tri procjene trebale bi biti nedeterminističke odnosno prikazane preko funkcije gustoće vjerojatnosti (eng. Probability Density Function - PDF). Čest je slučaj, a pogotovo u inženjerskoj praksi, ovaj model izraziti nešto drugačije i to u obliku funkcije pouzdanosti (eng. reliability function) ili funkcije učestalosti kvarova (eng Failure Rate Function - FRF). Potonji oblik posebno je zanimljiv jer otkriva dodatnu informaciju, odnosno fazu životnog vijeka, kao što su „uhodavanje“, „trošenje“ i „korisni životni vijek“. Navedeno se može dodatno iskoristiti u procesu odlučivanja. Nešto više o ulozi modela vjerojatnosti i statistike unutar održavanje može se pronaći u literaturi [3], [8] i [1]. Dakle, poznajući model pouzdanosti (distribuciju) moguće je predvidjeti trenutak kvara, a temeljem toga mogu se planirati postupci vezani za održavanje, koji osim same radnje održavanja mogu uključivati i nabavku doknadnih dijelova, prihvat novih poslova, procjenu rizika i ostalo. Logično što je procjena bolja (sigurnija), planiranje je bolje, što u konačnici smanjuje vrijeme i troškove samog održavanja.

Kako je već spomenuto svrha održavanja je osigurati zadovoljavajuću razinu pouzdanosti kroz čitav životni vijek, a razlikuju se tri osnovna tipa održavanja: korektivno, preventivno i održavanje po stanju. Najjednostavniji postupak održavanja je korektivno održavanje. Temeljna značajka ovog tipa održavanja je zamjena komponente tek nakon što se kvar dogodio. Time je komponenta u potpunosti iskorištena, što predstavlja dobru stranu ovog

1 U ovom radu korišteni su hrvatski izrazi prema standaru [2]

3

postupka održavanja. Loša strana je potreba velikog broja doknadnih dijelova, a radnja održavanja izvodi se tek onda kada se kvar dogodi. Ovime je eliminirana mogućnost planiranja, što remeti poslovne planove.

Preventivni postupak održavanja uključuje procjenu trenutka kvara te je time povoljniji sa stajališta planiranja. Planirana zamjena izvodi se u unaprijed definiranom trenutku, bez obzira na stanje komponente, prije nego se kvar pojavi. Kako je trenutak zamjena komponente definiran na osnovi distribucije kvara proizišle iz čitave populacije sličnih ili istih komponenti, tako postoji realna mogućnost da se kvar dogodi i prije planirane zamjene. Ukoliko se dodatno želi smanjiti rizik, tada se zamjena mora vršiti češće, pa u tom slučaju postoji opasnost i od kvara zbog učestalih radnji održavanja. Isto tako negativna strana ovog postupka održavanja je činjenica da komponente nisu u potpunosti iskorištene, pa za složene sustave ovakav oblik održavanja postaje ekonomski upitan. Postupak održavanja po stanju, uključuje uporabu opreme za nadziranje (eng. monitoring). Nadzor može biti kontinuiran, ali efikasniji nadzor ostvaruje se u diskretnom obliku. Temeljem vrijednosti proizišlih iz nadzora detektira se stanje sustava, a potom se vrši procjena preostalog životnog vijeka (eng. Remaining Useful Life - RUL). Životni vijek se najčešće izražava u obliku distribucije, koja je samo još jedan od model kvara karakterističan upravo za ovaj postupak održavanja. Navedena se distribucije dalje može koristiti u svrhu optimiranja samog postupka održavanja (npr. traženje optimalnog vremena preventivne akcije) ili procjene rizika. Rizik je definiran kao kombinacija vjerojatnosti i posljedice [9]. Često je posljedica mjerena u obliku troška, pa je u tom slučaju kriterij troška isto što i kriterij rizika. U odnosu na prethodni preventivni postupak održavanje po stanju je kompleksnije ali daje bolje predviđanje (unosi se dodatna informacija) i komponente su u potpunosti iskorištene. Loša je strana što je potrebno imati sustav za nadzor, što početno ovaj postupak čini skupljim. Ovakav vid održavanja se u engleskoj literaturi naziva Condition-Based Maintenance ili akronimom CBM, te će se dalje razmatrati upravo ovaj oblik održavanja.

Prema preglednoj literaturi iz ovog područja [4] i [10], može se zaključiti da se održavanje po stanju sastoji od dvije međusobno ovisne cjeline tj. radi se o dijagnostici i prognostici. Dijagnostika se često spominje u kontekstu greške (ili kvara) odnosno izolacije i identifikacije iste onog trenutka kada se dogodi, dok se prognostika spominje u kontekstu predviđanja preostalog životnog vijeka. Odnosno, održavanje po stanju ne može se sagledavati isključivo kao dijagnostika ili prognostika nego se jedno oslanja na drugo.

U hrvatskoj je literaturi čest naziv tehnička dijagnostika. Pod tim terminom podrazumijeva se dijagnoza (prvenstveno) ali i prognoza, što djeluje zbunjujuće s obzirom na to da je dijagnoza samo jedan dio održavanja po stanju. Prema navedenome, može se konstatirati da naziv tehnička dijagnostika u hrvatskom jeziku odgovara održavanju po stanju u anglosaksonskom. Često stvara zabunu i termin prediktivno održavanje, međutim to je zastarjeli naziv koji je zamijenio održavanje po stanju [11].

4

Slika 1.2 Procedura odlučivanja prema striktnom RCM-u [1]

Na slici 1.2 prikazan je dijagram toka striktnog pouzdanosti usmjerenog održavanja (eng. Reliability centered Maintenance - RCM), odnosno proces izbora postupka održavanja s obzirom na moguće posljedice. Ovaj postupak odlučivanja primjenjuje se onda kada postoji značajna opasnost po ljude i okoliš, odnosno kada je rizik na prvom mjestu (npr. zrakoplovna industrija, nuklearna postrojenja i dr.). Kao što se može vidjeti, pitanje održavanja po stanju (tehničke dijagnostike) postavlja se vrlo rano, što upućuje na veliku važnost ove strategije. Ako ne postoji izravna ugroza ljudi i okoliša, može se primijeniti i tzv. nepotpuni RCM koji koristi ista načela i elemente kao i striktni. Odlučivanje prema RCM-u, u nekim se slučajevima naziva i optimiranje, detaljnije se može naći u literaturi [12] i [13].

Primjena postupaka održavanja po stanju posljednjih se godina znatno povećala, a za to postoje ekonomski i tehnološki razlozi koji su potaknuti uskim profitnim maržama, visokim troškovima održavanja i povećanjem složenosti i automatizacije postrojenja. Ovime je omogućeno sredstvo za postizanje visoke raspoloživosti i smanjenje zakazanih i neplaniranih prekida proizvodnje [12]. Osnovni i dodatni koraci koji u potpunosti čine ovu strategiju održavanja vidljivi su na slici 1.3.

5

Slika 1.3 Podjela na osnovne korake održavanja po stanju [10]

Daljnji tekst ovog rada organiziran je na sljedeći način. U poglavlju 2 opisat će se osnovne metoda praćenja stanja, a u poglavlju 3 ukratko će se objasniti Bayesova analiza. U poglavlju 4 dan je kratak opis Markov Chane Monte Carlo (MCMC) metode. U poglavljima 5 i 6 nalazi se pregled literature vezane za obradu podataka pomoću MCMC metode odnosno, procjenu preostalog životnog vijeka. U poglavlju 7 dan je tablični prikaz pregledanih literatura razvrstanih po nekoliko kriterija.

6

2. METODE PRAĆENJA STANJA

Stanje sustava (eng. health) procjenjuje se temeljem vrijednosti indikatora tehničke ispravnosti (senzora). Izbor senzora nije jednostavan i ovisi o sustavu koji se prati, a često je slučaj, u svrhu bolje procjene, za isti sustav koristiti nekoliko različitih. Vrijednosti koje definiraju stanje sustava nazivaju se još i dijagnostički podaci ili signal, a u nekim literaturama ([14]) i parametri učinkovitosti (eng. performance parameters). Podaci o stanju sustava su raznovrsni, pa tako mogu uključivati podatke o vibracijama, akustične podatke, podatke analize ulja, temperaturu, tlak, vlagu itd.[4].

U svakom slučaju unutar podataka najčešće se kriju neke fizikalne veličine kao što su akceleracija, sila, tlak i dr. Izlazna veličina gotovo svih senzora je napon, koji je potrebno dodatnom obradom (kalibracijom) konvertirati u veličinu od interesa. Da bi neka veličina bila prihvatljiva kao dijagnostička, treba zadovoljiti uvjete jednoznačnosti, osjetljivosti i stabilnosti. Dodatno same veličine koje se prate, mogu se svrstati u direktne i indirektne s tim da su dominantne indirektne. Za direktne, stanje sustava može se u potpunosti odrediti iz prikupljenih informacija, a za indirektne, stanje sustava je nekako povezano s indikatorom ali potpuna identifikacija stanja nije moguća, stoga je potrebna dodatna obrada podataka. Na primjer, praćenja propagacija pukotine bi predstavljalo direktnu informaciju dok bi indirektna informacija bila praćenje vibracija nekog stroja.

Na slici 2.1 prikazani su česti oblici dijagnostičkih podataka za pojedine tipove strojeva kao primjera sustava. Može se primijetiti kako su podaci za vibracije najviše zastupljeni.

Slika 2.1 Najčešći dijagnostički parametri za različite sustave [14]

Kako je već spomenuto praćenjem neke vrijednosti detektira se stanje sustava na temelju čega se radi procjena preostalog životnog vijeka, ali isto tako moguće je utvrditi, ili barem suziti moguće uzroke neispravnosti, što je prikazano na slici 2.2.

7

Slika 2.2 Dijagnostički signal i mogući uzrok neispravnosti [14]

Detaljan opis nekih metoda i tehnika praćenja stanja može se pronaći u literaturi [14] dok se detaljni principi rada indikatora tehničke ispravnost mogu pronaći u [15]. Očito prema slikama 2.1 i 2.2 izbor senzora ovisi o sustavu koji se prati, ali isto tako cijena samog sustava nazora može biti ograničenje pri izboru. Kako se ovdje u pravilu radi o procjeni temeljem koje se donose odluke, npr. kada obaviti zamjenu dotrajalih komponenti, u tom slučaju često je moguće s jeftinijim nadzorom doći do sličnog ili istog zaključka kao kada bi se koristio skuplji sustav.

Osim prognoze i dijagnoze, koje predstavljaju ključne korake održavanja po stanju, potrebno je poduzeti i neke dodatne radnje, koje prethode glavnim koracima. Spomenute dodatne radnje uključuju prikupljanje podataka (eng. data acquisition) i obradu podataka (eng. data processing), što je prikazano na slici 2.3. Prikupljanje podataka podrazumijeva i pročišćavanje signala. Kako je u svakom signalu prisutan šum ali i smetnje, potrebno ih je eliminirati. Osim toga mogući su i pogrešni signali uzrokovani greškom senzora. Naravno o kvaliteti dijagnostičkih podataka ovisi procjena stanja i preostalog životnog vijeka, pa se može tvrditi da je ova radnja ključna za kvalitetnu procjenu.

Slika 2.3 Koraci unutar održavanja po stanju[4]

Nakon čišćenja slijedi obrada podataka. Postoji čitav niz metoda obrade podataka, ali prema [4] mogu se svrstati u tri kategorije:

Jedinstvena vrijednosti (Value type): analiza ulja, temperatura, tlak, vlažnost itd. Valni oblik (Waveform type): vibracije, akustika i slično Multidimenzionalan oblik (Multidimensional type): termografija, radiografija

itd.

8

Zadnja dva oblika nazivaju se i obrada signala (eng. signal processing). Dodatno valni podaci mogu se podijeliti na vremensku, frekvencijska i vremensko-frekvencijsku obradu. Unutar dijagnostike fokus je uglavnom na ovim obradama signala.

Na slici 2.4 vidljive su tri razine obrade signala. Gornji red predstavlja neobrađeni signala, srednji red frekvencijsku , a donji red vremensku analizu. Analizirani su momenti savijanja jedne konstrukcije izložene djelovanju bure trajanja 6 sati (lijevo) i djelovanju juga od tri sata (desno). Podaci su podijeljeni u segmente od jednog sata. Za svaki segment, izračunat je spektar opterećenje.

Slika 2.4 Frekvencijska i vremenska obrada signala za buru (lijevo) i jugo (desno)[7]

U zadnjem redu slike 2.4 jasno se vidi, kako unatoč djelovanju istog vjetra, opterećenje nije uvijek isto.

9

Vremenska obrada signala može biti vrlo jednostavna i često se koristi u obliku greške korijena srednjeg kvadrata (RMSE). Ovakav pristup popularan je iz razloga jednostavnosti. Jedan od načina obrade vremenskog signala je vremensko sinkrono usrednjavanje (TSA), a detalji se mogu pronaći u literaturi [16] i [17]. Također vrlo zanimljiva vremenska obrada je i random dekrement tehnika (RDT). Omogućava izvlačenje signala iz sustava bez poznavanja ulaza. Ova karakteristika je potencijalno zanimljiva u kontekstu održavanja po stanju, jer u tom slučaju nema potrebe zaustavljati sustav kako bi se procijenilo isto. Detalji ove tehnike mogu se pronaći u literaturi [18] i [19]. Nedostatak ove tehnike je što pretpostavlja pobudu u obliku bijelog šuma.

Frekvencijska analiza, temeljena na brzoj Fourierovoj transformaciji (FFT), u pravilu je najčešće korištena analiza obrade podataka. Temeljna značajka ove obrade je mogućnost izoliranja frekvencija od interesa. Međutim prema [4] i [20] ograničenje frekvencijske analize je pri nestacionarnom valnom signalu. Upravo zbog toga ova metoda je nadograđena tzv. kratkotrajnom Fourierovoj transformacijom (eng. Short-Time Fourier transform - STFT). Ideja koja stoji u pozadini ove analize je podijeliti ukupni signal na kratke segmente nad kojim će se primijeniti klasična Fourierova transformacija. Krajnji rezultat je u obliku spektrograma. Na slici 2.5 prikazan je slučaj jednog valjnog ležaja, gdje je su vidljiva tri različita stadija, odnosno gornji panel prikazuje signal kada ležaj funkcionira ispravno, srednji i donji panel prikazuju signal neispravnog ležaja.

Slika 2.5 Primjena FFT-a u detekciji kvara valjnog ležaja [14]

10

Najčešće korištena vremensko-frekvencijska analiza je valična transformacija (eng. wavelet transform). U radu [21] i [22] istu su primijenili pri detekciji oštećenja ležaja, dok su u literaturi [23] i [24] detektirali oštećenje na zupčaniku mjenjačke kutije. Posebno je zanimljiv rad [25] gdje analizira ploču načinjenu od kompozitnog materijala. Temeljem valične transformacije i senzora u vidu piezoelektričkog filma detektira ne samo oštećenje nego i mjesto udarca. Što se tiče valične transformacije dodatne informacije vezane za ovu metodu mogu se pronaći u radu [20] , gdje je dan pregled ove metode s posebnim naglaskom na dijagnostiku.

11

3. BAYESOVA ANALIZA

U kontekstu identifikacije parametara nekog modela i predviđanja budućih događaja neizostavna je Bayesov analiza. Prednost je ove analize nad klasičnim dobro predviđanje iz jako malog broja podataka. Temelji se na kombinaciji priora i funkcije vjerodostojnosti. Prior predstavlja distribuciju nekog parametra bez dokaza (podatka), dok funkcija vjerodostojnosti predstavlja model koji ovisi isključivo o dokazima. Upravo ova konfiguracija omogućava ažuriranje (učenje) i konvergenciju ka "stvarnoj" vrijednosti. Brzina konvergencije ovisi o prior distribuciji, pa se zbog toga često ugrađuju tzv. ekspertna mišljenja. Detalji o utjecaju ekspertnog mišljenja na izbor modela mogu se pronaći u [26]. Konačan rezultat analize uvijek je u obliku distribucije koja se naziva posterior. Time je izražena nesigurnost u procjenu. Klasične statističke metode (npr. maksimum funkcije vjerodostojnosti), rezultat daju u obliku jednog broja (eng. point estimate), a nesigurnost se izražava u obliku intervala povjerenja.

Budući da je analiza vrlo efikasna i omogućava „učenje“, ima široku primjenu i može se pronaći u svim granam znanosti, počevši od matematike (statistika), umjetne inteligencije, identifikacije parametara sustava, stohastičkog filtriranja, itd.

3.1. Bayesova analiza pomoću konjugiranih priora

Konjugirani priori predstavljaju najjednostavniji ali ujedno i najefikasniji oblik Bayesove analize. Više detalja može se pronaći u literaturi [3] i [27], dok dodatno, naprednije teme mogu se pronaći u literaturi [28]. Konkretno opći oblik Bayesove formule prikazan je izrazom 3.1

01

0

( | ) ( )|( | ) ( )

f xxf x d

θ θθθ θ θ

(3.1)

gdje su :

1 | x θ posterior distribucija

0 θ prior distribucija ( | )f x θ funkcija vjerodostojnosti (eng. likelihood function) θ vektor nepoznatih parametara

U izrazu 3.1 brojnik predstavlja tzv. pridruženu funkciju gustoće vjerojatnosti, dok nazivnik ovisno o literaturi ima različito nazivlje kao što su marginalna gustoća vjerojatnosti, marginalna vjerodostojnost (eng. marginal likelihood) i normalizacijska konstanta. Potonji će se koristiti u ovom radu iz razloga što najbolje opisuje ulogu nazivnika, odnosno nazivnik normalizira pridruženu funkciju gustoće vjerojatnosti kako bi posterior bio distribucija.

Proces ažuriranja shematski je prikazan na slici 3.1. Jasno je kada nema podataka, mjerodavni rezultat je prior. Onog trenutka kada se pojavi prvi podatak X1 „ubaci“ se u funkciju vjerodostojnosti koja zajedno s priorom čini prvi posterior ��(�|�). Kada se pojavi drugi podatak, prethodna posterior distribucija postaje prior, te sa novom funkcijom vjerodostojnosti tvori novi posterior ��(�|�). Postupak se ponavlja kako podaci dolaze, odnosno ažurira se vjerovanje o nekom parametru.

12

Slika 3.1 Bayesov proces ažuriranja [3]

Ukoliko su prior i funkcija vjerodostojnosti posebnog oblika (odabranog), tada je moguće dobiti potpuno analitičko rješenje za posterior distribuciju. Takav izbor distribucija vidljiv je u tablici 3.1 i naziva se konjugirani prior. U tom slučaju računanje se odvija jako brzo jer postoje jednostavni analitički izrazi, što u konačnici znači da će se i odluke donijeti također brzo. Neki parovi konjugiranih priora vidljivi su u tablici 3.1. Ovaj popis nije potpun ali bez obzira na to, konjugiranih priora ima jako malo, i uglavnom su ograničeni na jednodimenzionalne probleme, iako postoje i višedimenzionalni, u tom slučaju gotovo se uvijek koristi normalna distribucija.

Tablica 3.1. Odgovarajuće distribucije i konjugirani priori [27]

Distribucija uzoraka Konjugirani prior Binomna (π) Beta

Eksponencijalna (λ) Gama Gama (�) Gama

Multinominalna (π) Dirichlet Multivarijatna normalna (μ,Ʃ) Normalna inverzna wishart

Negativna binomna (π) Beta Normalna (μ,��poznat) Normalna Normalna (��, � poznat) Inverzna gama

Normalna (μ, ��) Normalna inverzna gama Pareto (β) Gama

Poisson (λ) Gama Uniformna (0, β) Pareto

Ako nema zadovoljavajućeg konjugiranog priora, ili se radi o višedimenzionalnom modelu, tada u izrazu 3.1 poseban problem predstavlja normalizacijska konstanta. U tom slučaju potrebno je izvršiti višedimenzionalnu integraciju. Kako ne postoji analitičko rješenje, potrebno je koristiti numeričke metode od kojih je najčešća Markov Chane Monte Carlo (MCMC ) metoda. Više detalja o ovoj metodi nalazi se u poglavlju 4.

13

3.2. Bayesova analiza u procjeni modela s više parametara i izbor modela

Unutar Bayesova okvira osim same procjene parametara moguć je i izbor modela. Zbog toga je izraz 3.1 dodatno proširen za ovisnosti o modelu, pa je opći oblik u tom slučaju prikazan izrazom 3.2.

01

0

( | , ) ( | )| ,( | , ) ( | )

f xxf x d

θ θθθ θ θ

(3.2)

Kako se u ovom radu Bayesova analiza značajnom dijelom korisit u kontekstu procjene paramatara dnamičkih modela, bitno je naglasiti kako uglavnom svi autor za funkciju vjerodostojnosti koriste normalnu distribuciju, prikazanu izrazom 3.3. Ovime je donekle pojednostavljena i unificirana analiza. Ovaj model je opravdan zbog pretpostavke da se greška, odnosno odstupanje mjerene vrijednosti i modela, odvija upravo prema normalnoj razdiobi, što praktički odgovara modelu šuma koji je prisutan u svim senzorima.

22 1/21 2

1 ˆ( | , ) (2 ) exp ( )2

Nn n nf x x x

θ θ (3.3)

Gdje je :

�� set mjerenih podataka ���(�) odziv modela θ vektor nepoznatih parametara σ standardna devijacija ℳ model

Ponekad pri procjeni više parametara, postoji mogućnost da funkcija vjerodostojnosti nema jedinstveno rješenje što je pokazano u literaturi [29], a vidljivo je na slici 3.2. U tim slučajevima opet bitnu ulogu ima prior distribucija, i pravilnim odabirom istog može se doći do jedinstvenog rješenja.

Slika 3.2 Funkcija vjerodostojnosti bez jedinstvenog rješenja[29]

14

Što se tiče izbora modela postoji nekoliko metoda unutar Bayesova okvira. Bayes faktor (BF) predstavlja omjer marginalne vjerodostojnosti (normalizacijske konstante) dvaju modela. Detaljnije o ovoj metodi i načinu uzorkovanja iz već generiranih slučajnih brojeva može se pronaći u [30]. Ograničenje navedene metode je što se mogu uspoređivati samo dva modela. Isto tako Bayesian information criterion (BIC) [31] metoda se može koristiti za usporedbu modela, ali i češće je u upotrebi Deviance Information Criterion (DIC) [32]. Navedena dva kriterija jako su slična i „kažnjavaju“ model s više parametara. DIC se češće koristi pogotovo u kombinaciji sa MCMC metodom. Više detalja o navedenim kao i drugim metodama usporedbe modela može se pronaći u [28].

Reversible Jump Markov Chane Monte Carlo (RJMCMC) metoda je proširenje MCMC metode i također se koristi u svrhu izbora modela. Za razliku od prethodnih, krajnji rezultat je u obliku vjerojatnost pojedinog modela, i često se prikazuje u obliku histograma, a jedan takav prikazan je slikom 3.3. Detaljno objašnjenje ove metode može se pronaći [33], a literatura pisana na hrvatskom jezik za ovu problematiku je [26].

Slika 3.3 Tipičan prikaz rezultata izbora modela RJMCMC metodom [26]

15

4. MARKOV CHAIN MONTE CARLO METODA

Markov Chane Monte Carlo (MCMC) metoda je zasnovana na uzorkovanju slučajnih brojeva iz ciljane distribucije (stvarne), kako bi se dobilo konačno rješenje. Što je veći broj uzoraka, potencijalno veća je i točnost. Kao što to i samo ima ukazuje sastoji se od Monte Carlo integracija (MC) i Markovljevih lanaca (eng. Markov Chain - MC). Uloga Markovljevih lanaca je pronaći i uzorkovati iz ciljane distribucije.

Ova metoda spada u složene numeričke metode, a preporučeno je koristiti samo onda kada je dimenzionalnost problema velika, odnosno kada imamo 3 ili više varijabli integriranja. U ovom poglavlju će se ukratko pokazati što je to MCMC metoda s posebnim naglaskom na Metropolisov algoritam uzorkovanja. Prije toga, s obzirom na to da je MCMC proširenje Monte Carlo integracija, prvo će ukratko biti prezentirana Monte Carlo integracija kako bi se ukazala razlika.

4.1. Monte Carlo integracija

Generalna je ideja Monte Carlo (MC) integracije uzorkovati nezavisne i identično distribuirane uzorke iz ciljane distribucije, te ih onda koristiti kao aproksimacija iste [34]. Ova metoda temeljena je na statističkom očekivanju, pa se može zapisati relacija kako je to prikazano izrazom 4.1. Vidljivo je da se za veliki broj uzoraka integral može zamijeniti sumom, što u biti predstavlja Monte Carlo integraciju. Što je veći broj uzoraka (N) veća je točnost integracije.

1

1( ) ( ) ( ) [ ] ( )b b N

N

ia a

I h x dx h x p x dx E I h XN

(4.1)

Gdje je:

( )p x distribucija slučajne varijable x (ciljana distribucija) ( )h x funkcija od interesa ( )h X funkcija od interesa na mjestu uzorkovanih vrijednosti N ukupan broj uzoraka

Iako je metoda dosta jednostavna, značajno se komplicira kada se ne zna distribucija ( )p x , odnosno distribucija iz koje se uzorkuje. U tom slučaju postoji nekoliko metoda, a dvije

najjednostavnije su uzorkovanje odbijanjem (eng. rejection sampling) i uzorkovanje po važnosti (eng. importance sampling).

Uzorkovanje odbijanjem prikazano je na slici 4.1. Uzorkuje se iz neke predložene distribucije, skalirane za koeficijent M, tako da se u potpunosti obuhvati ciljana distribucija

( )p x . Tada se predlažu vrijednosti iz predložene distribucije q(x), a potom se računa omjer predložene distribucije i ciljane distribucije za predložene vrijednosti. Ako je taj omjer vrlo blizu ili jednak broju jedan vrijednost se prihvaća u suprotnom odbije. Naravno omjer se uspoređuje s vrijednosti uzorkovane iz uniformne distribucije. Ova procedura naziva se prihvati ili odbij.

16

Slika 4.1 Procedura uzorkovanja odbijanjem [34]

Nedostatak ove metode je velik broj odbijanja samim time je i neefikasna.

Uzorkovanje po važnosti numerički je nešto efikasnija u odnosu na prethodnu metodu, a bit je prikazan izrazom 4.2.

1

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) [ ]( ) ( )

b b NN

ia a

h x p x q x h X p XI h x p x dx dx E Iq x N q X

(4.2)

Prema uzorkovanju po važnosti moguće je uzorkovati iz neke predložene distribucije ( )q x ako se originalan produkt unutar integrala ( ( ) ( )h x p x ) podijeli s istom tom distribucijom.

Tada se očekivana vrijednost može izračuna kao suma razlomka originalnog umnoška i predložene distribucije u uzorkovanim vrijednostima iz distribucije ( )q x . Omjer ( ) ( )p x q x se naziva koeficijent važnosti (eng. importance weight). Nešto detaljnije o ovim metodama može se naći u literaturi [34].

4.2. Markovljev lanac u kontekstu MCMC

Dosad navedene metode imaju problem kod višedimenzionalnih integracija. U tom je slučaju jako teško pronaći prihvatljivu predloženu (eng. proposal) distribuciju. Osim toga numerički su neefikasne s obzirom na veliki broj odbacivanja uzoraka. Stoga, rješenje navedenom je MCMC metoda. Ova metoda koristi Markovljeve lance za tzv. slučajnu šetnju (eng. random walk), što omogućuje pronalazak i uzorkovanje iz ciljane distribucije. U kontekstu MCMC metode Markovljev lanc se nalazi unutar algoritma uzorkovanja kao što je Metropolis, Metropolis Hasting, Gibbsov, simulirano žarenje i druge uglavnom modificirane verzije prvo spomenute.

Markovljev lanac je stohastički proces koji radi sekvencijalno (eng. temporally), prelazeći iz jednog stanja u drugo �� → �� → �� → ⋯. Sastoji se od tri elementa:

Vektora stanja x koje lanac može imati Operatora tranzicije 1( | )t tp x x koji definira vjerojatnost prelaska iz stanja ��u ���� Distribucija početnog stanja za t=0

Zove se bezmemorijski jer tranzicija ovisi samo o posljednjem stanju nikako o prethodnim. Navedeno se naziva Markovljevo svojstvo, i prikazano je izrazom 4.3, a upravo ovo svojstvo osigurava konvergenciju.

1 1( | ) ( | )t t t tp x x p x x (4.3)

17

Bitno svojstvo koje operator tranzicije mora posjedovati je stacionarnost, odnosno da vrijedi jednakost vjerojatnosti prelaska iz t u 1t i obrnuto (eng. detailed balance).

4.3. Metropolis algoritam

Jedan od najčešćih i najjednostavnijih algoritama uzorkovanja je Metropolisov algoritam. Kako su ostali popularni algoritmi uglavnom modificirane verzije ovog, neće se ulaziti u detalje ostalih.

Bitno je naglasiti i razlučiti tri ključna termina, a to su:

Ciljana distribucija ( )p x (eng. target distribution) Predložena distribucija 1( | )t tq x x (eng. proposal distribution) Vjerojatnost prihvaćanja � (eng. acceptance probability)

Ciljana distribucija je ona distribucija iz koje se direktno ne može ili je jako teško uzorkovati. Zato se uvodi predložena distribucija iz koje je jednostavno uzorkovati, ali uzorci nisu uvijek zadovoljavajući stoga ih je potrebno evaluirati. Zbog toga je uvedena mjera koja se naziva vjerojatnost prihvaćanja �. Kriterij prihvaćanja predložene vrijednosti može se sažeti u izraz 4.4.

* 1min 1, ( ) / ( )tp x p x (4.4)

Prema ovom algoritmu (i svim ostalim), kreće se iz početne vrijednosti 0x . Zatim se predlaže vrijednost *x iz predložene distribucije * 1( | )tq x x . Sam odabir predložene distribucije posebna je problematika i ovdje se neće detaljnije proučavati. Ako predložena vrijednost *x ima veliku vjerojatnost prihvaćanja tada se ista i prihvaća i proglašava trenutnom *tx x , u suprotnom predložena vrijednost *x se možda odbaci. Ukoliko se predložena vrijednost odbaci prethodni uzorak postaje trenutni odnosno 1t tx x . Na ovaj način pretražuje se cijeli prostor. Ovaj se postupak ponavlja najčešće nekoliko tisuća puta kako bi se došlo do ciljane distribucije. Načelni dijagram toka Metopolisovog algoritma prikazan je na slici 4.2.

18

Slika 4.2 Dijagram toka uzorkovanja Metropolis algoritmom

Na slici 4.3 shematski je prikazan način uzorkovanja, gdje je vidljivo da se uvijek uzima bolja predložena vrijednost. Ponekad se lošija predložena vrijednost prihvati (korak t=5). Tako je omogućeno pretraživanje cijelog prostora, u suprotnom lanac bi konvergirao ka maksimumu ciljane distribucije.

19

Slika 4.3 Shematski prikaz uzorkovanja pomoću Metropolis algoritma

Može se zaključiti, kako Metropolisov algoritam omogućuje efikasno uzorkovanje iz ciljane distribucije. Za to koristi Markovljev lanac. Tako dobivene vrijednosti koriste se u kontekstu Monte Carlo integracije kako bi se procijenila očekivana vrijednost, što sve skupa čini MCMC metodu.

Ukoliko je broj uzoraka dovoljno velik, utoliko se pomoću ovog algoritma može jako dobro aproksimirati ciljana distribucija. Međutim na krajnji rezultat bitno utječe predložena distribucija odnosno parametri predložene distribucije što je prikazano na slici 4.4. Vidljivo je da je ciljana distribucija bimodalna. Za malu vrijednost parametra predložene distribucije MCMC metoda ne prepoznaje drugi (manji) mod, dok za veliku vrijednost parametra predložene distribucije dugo stoji u jednom stanju jer su predložene vrijednosti „van“ područja definicije ciljane distribucije, odnosno imaju jako malu vjerojatnost u predloženim točkama. Dobrim odabirom parametra predložene distribucije postiže se da lanac jako brzo konvergira, i uzorkuje iz stvarne (ciljane) distribucije. Kako je već spomenuto izbor parametara predložene distribucije nije jednoznačan, te ovisi od problema do problema, a detaljniji opis ove metode može se pronaći u literaturi [34].

20

Slika 4.4 MCMC pristup za različite parametre predložene distribucije [34]

Loša je strana Metropolisova algoritma u tome što se mora koristiti isključivo simetrična distribucija. Ovo je dosta ograničavajuće jer često je slučaj ciljane distribucije definirane samo na pozitivnoj strani. Tada se koriste neki drugi algoritami uzorkovanja, npr. Metropolis-Hasting, Gibbsov ili tzv. simulirano žarenje. Najčešći odabir je Metropolis-Hasting algoritam, koji u odnosu na Metropolisov algoritma ima drugačije definiranu vjerojatnost prihvaćanja �, dok su ostali koraci identični. Jedan tipičan prikaz MCMC metode može se vidjeti na slici 4.5, gdje je potrebno svega 100-tinjak iteracija kako bi se „dohvatila“ ciljana distribucija. Ovdje se treba napomenuti kako je uvijek potrebno odbaciti jedan dio početnih uzoraka, što se naziva uhodavanje (eng. burn in). Obično se odbaci prvih 5 - 10% uzoraka. Nakon toga, ako je sve u redu, algoritam uzorkuje samo iz ciljane distribucije.

21

Slika 4.5 Tipičan prikaz MCMC uzorkovanja

U ovom dijelu će se ukratko pojasniti i RJMCMC metoda. Navedena je metoda proširenje klasične MCMC metode i koristiti se u svrhu izbora modela što može poslužiti kao svojevrsni indikator ispravnosti. Čest je slučaj da oštećenje uzrokuje promjenu modela npr. linearnog u nelinearni. U pregledanim radovima RJMCMC metoda u ovom kontekstu se ne koristi.

Značajno pojednostavljen dijagram toka može se vidjeti na slici 4.6. Grana 1 dijagrama odgovara MCMC, a grana 2 odnosi se na izbor modela (u ovom slučaju dva modela). Prije početka analize potrebno je odrediti broj skokova (brojSkok), i vjerojatnost skoka (vjerojatnostSkok). Često se dodjeljuje podjednaka vjerojatnost svakom modelu, što znači ako su dva modela u pitanju vjerojatnost skoka je ½.

Generiranjem slučajnog broja i usporedbom s vjerojatnošću skoka definira se aktivnost koja će se izvršiti u svakoj iteraciji. Ako se radi ažuriranje, ono se izvodi kako je to prethodno opisano pomoću MCMC metode. Ukoliko se ide na promjenu modela, u tom slučaju računa se vjerojatnost prihvaćanja modela (A) koja se temelji na funkciji vjerodostojnosti modela. Ako se lanac nalazi u modelu I tada se računa vjerojatnost prihvaćanja modela II i obrnuto. Konačan prihvat modela (prihvatiSkok) utvrdi se kada se usporedi sa slučajnom vrijednošću. Ovaj korak je nešto složeniji ali analogan s kriterijem prihvaćanja vrijednosti u MCMC metodi, odnosno izrazom 4.4. Postupak se ponavlja sve dok se ne ispuni unaprijed definiran broj iteracija (brojSkok)

22

Slika 4.6 Dijagram toka RJMCMC metode

23

5. OBRADA PODATAKA POMOĆU MCMC METODE

U prikupljenim su podacima gotovo uvijek prisutni šum, klizanje (zbog promjene temperature), smetnje i utjecaj okoline što je gotovo nemoguće ili je jako teško eliminirati. Ovo predstavlja prvu razinu nesigurnosti. Druga razina nesigurnosti vezana je za izbor modela. Prethodno je posebno zanimljivo u kontekstu dijagnostike, jer ponekad detekcija promjene modela može biti indikator neispravnosti. Navedeno se odnosi na slučaj kada sustav zbog greške ili kvara pređe iz linearnog u nelinearni. Najčešća je tehnika za identifikaciju parametar i obradu signala brza Fourierova transformacija (FFT), koja spada u determinističku tehniku. Međutim zbog utjecaja nesigurnosti navedena metoda može unijeti značajnu pogrešku pri identifikaciji parametara. Inženjerska dinamika temeljena je na pretpostavci da su deterministički modeli u velikoj mjeri prikladni za modeliranje i predviđanje ponašanja sustava. Međutim, od nedavno se počelo prilagođavati činjenici da nesigurnost igra važnu ulogu u strukturalnoj analizi sustava [35]. Isključivi deterministički način gledanja na identifikaciju parametara sustava, ponekad uključuje intervale povjerenja ali takav pristup opet dovodi do procjene parametara sustava u oblike jedne jedinstvene vrijednosti (eng. point estimator). Iako je takav pristup nedvojbeno opravdan i omogućuje identifikaciju parametara sustava u mnogim zahtjevnim inženjerskim problemima, ipak ne zadovoljava u potpunosti činjenicu da određeni skup izmjerenih podataka može biti u skladu s nizom različitih modela (parametara). Dakle robustan pristup procjeni parametara, kao i odabir modela, može se formulirati na temelju Baysova teorema [35].

U kontekstu uvodnog poglavlja, procjena parametara nekog modela, direktno ne spada u dijagnostiku, ali identificiranje parametara i praćenje istih, te zaključivanje o stanju sustava za vrijeme eksploatacije definitivno spada u dijagnostiku. Može se tvrditi da je procjena parametara sustava prvi i nužni korak u dijagnostici, i u tom kontekstu je pisano ovo poglavlje. U anglosaksonskoj literaturi, navedeno se još naziva i nadzor stanja sustava (Structural Health Monitoring - SHM). Prema autorima [36], nadzor (monitoring) sustava je inženjerska disciplina čiji je zadatak zaključiti u kakvom stanju je sustav temeljem mjerenih signala koji su instalirani na sustavu. U ovom poglavlju pokazat će se nekoliko znanstvenih članaka vezanih uglavnom za procjenu parametara sustava. Podaci su maskirani određenim šumom. Procjena parametar odnosit će se na mehaničke sustave, najčešće drugog reda, ali isto vrijedi za bilo koji drugi sustav. Potencijalne su prednosti Bayesove formulacije: procjena u obliku distribucije parametra, a ne samo vrijednost parametra; predviđanja se mogu izvesti integriranjem svih parametara u skladu s podacima, u ovisnosti o distribucijama; može se izračunati vjerojatnost određenog modela , što dovodi do načelnog načina odabira modela [35]. Ovdje treba naglasiti da se parametri modela mogu procijeniti i metodama optimizacije ali prema literaturi [37] Bayesov pristup nudi puno robusniji pristup.

5.1. Pregled literature vezane za procjenu parametara modela MCMC metodom

Autori Worden i Hensman u literaturi [35] koriste Bayesovu analizu, i MCMC metodu kako bi na generiranim podacima dvaju nelinearnih modela detektirali parametre. Modeli su poznati Duffing oscilator, (nelinearna diferencijalna jednadžba drugog reda) prikazan izrazom 5.1, i Bouc-Wenov model histereze (Bouc–Wen hysteresis model). U radu daju usporedbu modela pomoću DIC kriterija.

33 ( )my cy ky k y x t (5.1)

24

Analizirani slučaj Duffing oscilator prikazan je na slici 5.1 , gdje je vidljiva pobuda model a odziv je prikazan u obliku pomaka. Detektirani parametri modela prikazani su na slici 5.2.

Slika 5.1 Podaci za Duffling oscilator [35]

Kako autori navode procjena parametara je zadovoljavajuća, iako navode malu pristranost u procjeni.

25

Slika 5.2 Procjena parametara pomoću MCMC metode Duffling oscilatora [35]

Slična je analiza provedena i za drugi spomenuti model. Međutim, zbog sažetosti rezultati su izostavljeni. Model se uspoređivao s linearnim pomoću DIC kriterija. Tvrde kako je ovaj usporedni kriterij dobar je osim usporedbe u nekim slučajevima se može smatrati i linearizacijom zbog toga što „kažnjava“ model s puno parametara. Zaključuju kako Bayesov pristup nudi prirodan pristup procjeni nesigurnosti parametara i jednostavnu usporedbu i detekciju sitnih razlika između modela. Slične stvari na istom matematičkom modelu rade i autori Worden i Becker u literaturi [38] ali za razliku od prethodnog u ovoj se literaturi uvodi i osjetljivost.

Green u literaturi [39] provodi identifikaciju parametar na eksperimentalnom nelinearnom modelu. Navedeni se model može opisati izrazom za Duffing oscilator 5.1, ali za razliku od prethodnih autora korišteni su eksperimentalni podaci nelinearnog uređaja za prikupljanje energije. Varirao je prigušenje, odnosno koristio je tri različita modela prigušenja, viskozno, Columbovo i hiperbolično tangentno prigušenje. Za razliku od ostalih, koristio je novu metodu uzorkovanja, nazvanu „Data Annealing“, što je u biti modificirana verzija simuliranog žarenja i navodi bržu konvergenciju. Rezultati viskoznog modela prikazani su na slici 5.3, dok su ostali rezultati ostalih modela izostavljeni zbog sažetosti.

26

Slika 5.3 Identificirani parametri nelinearnog model s viskoznim prigušenjem [39]

[1]Usporedba rezultata vidljiva je u tablici 5.1, ono što je zanimljivo, uspoređivao je modele pomoću dva različita kriterija, srednja kvadratna greška (MSE) i Deviance Information Criterion (DIC). Očito je da je po oba kriterija viskozni model najbolji.

Tablica 5.1 Usporedba modela [39]

Međutim, bitno je naglasiti kako Columbovo i Hiperbolno prigušenje ima istu vrijednost po MSE ali bitno različitu po DIC kriteriju. Razlog tome je što DIC kriterij „kažnjava“ model s više parametara. U literaturi [40] radi slične stvari, ali se model uspoređuje pomoću Bayes faktora. Autori Green i Maskell u literaturi [41] koriste metodu Sekvencijalnog Monte Carla (SMC), gdje koristi metodu uzorkovanja po važnosti i uvodi novi pojam "resempliranja". Ovaj algoritam koristi isključivo kako bi izbjegao opetovano analiziranje cijelog seta podataka. Kao ogledni prvi primjer naveli su sustav s dva stupnja slobode gibanja, a identificirani parametri prikazani su na slici 5.4, uz napomenu da je prikazana srednja vrijednost parametra u ovisnosti o iteracijama.

27

Slika 5.4 Identificirani parametri linearnog sustava [41]

Ista analza provedena je i na nelinarnom primjeru, radi se opet o sustavu s dva stupnja slobode gibanja opisanih jednadžbom 5.1 , a rezultati su prikazan na slici 5.5.

Slika 5.5 Identificirani parametri nelinearnog sustava [41]

Zaključuju kako je prezentirana metoda efikasna kada se set podataka za procjenu konstantno povećava.

Posebno je zanimljivo korištenje MCMC metode u rekonstrukciji sile, Aucejo i dr. u literaturi [42], navode kako je jako malo literature na ovu temu, te pokušavaju temeljem Bayesova teorema detektirati silu, odnosno mjesto djelovanja iste. Za to koristi MCMC metodu,

28

s Gibbs-ovim algoritmom za uzorkovanje. Prema standardnoj Bayesovoj analizi razvijaju model, koji je u konačnici prikazan izrazom 5.2.

1

, , , | | , | , | , |R

n sr r n n sr r sr r sr sr sr rr

p F g X p X F p g p F g p p q

(5.2)

Izvod i detaljnije objašnjenje pojedinog parametra mogu se naći u navedenoj literaturi, ali je očito da je u model uključen veliki broj parametara. Autor metodu primjenjuje na numeričkom primjeru i naposljetku eksperimentalnom, prikazanog na slici 5.6.

Slika 5.6 Eksperimentalni postav (lijevo), mjesto djelovanja sile (desno[42]

Rješenje je prikazano na slici 5.7, gdje je vidljiva dobra detekcija mjesta djelovanja sile. Autori navode kako je problem ove metode kada se pobudna sila poklopi s vlastitom frekvencijom ploče, u tom slučaju identifikacija postaje problematična.

Slika 5.7 Detektirano mjesto djelovanja sile [42]

U poglavlju 3, spomenuto je kako se uglavnom kao funkcija vjerodostojnosti koristi normalna distribucija. Mali problem može nastati kada se odstupanje modela i podataka ne može modelirati normalnom distribucijom, ili kada je marginalna funkcija vjerodostojnosti funkcija velikog broja parametara. U tom slučaju klasična Bayesova analiza postaje jako kompleksna. Stoga u literaturi [43] spominje aproksimacijski Bayesov izračun (ABC), gdje definiraju funkciju vjerodostojnosti na jednostavniji način, pomoću preddefiniranog praga, i za to predlaže algoritam. Rezultati se mogu vidjeti na slikama 5.8 i 5.9, gdje se može vidjeti usporedba nekoliko modela. Ne postoji eksperimentalna potvrda modela.

29

Slika 5.8 Usporedba modela prema ABC metodi [43]

Modeli koji uspoređuju su prikazani izrazom 5.3 i 5.4, gdje je jasno da su oba modela nelinearna.

31 3: ( )my cy ky k y f t (5.3)

3 52 3 5: ( )my cy ky k y k y f t (5.4)

Identificirani parametri prikazani su na slici 5.9

Slika 5.9 Procjena parametara prema ABC metodi [43]

30

Temeljem provjere na različitim numeričkim primjerima, autori zaključuju kako su prednosti navedene metode lakša implementacija, generalizirani pristup, i jednostavnija usporedba više modela.

Schön i dr. u literaturi [44] koriste sekvencijalni Monte Carlo pristup, odnosno koriste tehniku iz stohastičkog filtriranja kako bi detektirali (naučili) parametre sustava. Metodu su demonstrirali na jednostavnom primjeru drugog reda, s jednim stupnjem slobode gibanja koji je vidljiv na slici 5.10 gdje je primjetno jako puno šuma.

Slika 5.10 Simulirani podaci sustava s jednim stupnjem slobode [44]

Detektirani parametri mogu se vidjeti na slici 5.11, a sama procjena parametara s obzirom na šum više je nego zadovoljavajuća.

Slika 5.11 Simulirani podaci sustava s jednim stupnjem slobode [44]

Autori, Boulkaibeti i dr. u literaturi [45] demonstriraju drugačiju metodu uzorkovanja, dakle modificiraju metodu hibridnog Monte Carla (HMC) i novu metodu nazivaju zasjenčeni Hibridni Monte Carlo (SHMC), te istu primjenjuju na FEM analizi, u zaključku navode kako je metoda efikasno uzorkuje, ali ne navode u usporebu MCMC.

Behmanesh i dr. u literaturi [46] u radu pokušavaju detektirati parameter sustava, kao što su modovi vibriranja, vlastita frekvencija i dr. i temeljem metode konačnih elemenata pokušavaju predvidjeti oštećene stvarne konstrukcije.

31

Autori Abdessalem i dr. [47] u radu ne procjenjuju parametre nekog modela kao što su to prethodni autori radili, ali vrlo sličnu analizu rade ako bi procijenili vjerojatnost detekcije (probability of detection-POD ) ultrazvučnog senzora. Svi testovi bez razaranja imaju određenih nesigurnosti vezanih za materijal koji se ispituje, dimenzije defekta i samog procesa ispitivanja, pa stoga koriste Bayesovu analizu i MCMC metodu. Provjera se izvodi na numeričkom modelu, gdje je simulirana pukotina određenih dimenzija. Na slici 5.12 se vidi analizirani slučaj i jedan tipičan signal ultrazvučnog ispitivanja. Treba napomenuti da su autori osim dimenzija pukotine varirali i položaj sonde kao i nagib pukotine.

Slika 5.12 Prikaz analiziranog slučaja (lijevo) i tipičan odziv (desno) [47]

Na slici 5.13 shematski prikazuju analizu koja je provedena, dakle koriste isključivo uniformne priore, a dobiveni rezultati prikazani su na slici 5.14.

Slika 5.13 Bayesova analiza provedena u radu [47]

Slika 5.14 Rezultati analize za duljinu i širinu pukotine [47]

32

Slično ovoj analizi dalje uključuju i parametre sonde (vertikalni i horizontalni nagib), i temeljem toga računaju osjetljivost i konačno daju vjerojatnost detekcije. Autori zaključuju kako je metoda potencijalno dobra, ali istu treba provjeriti na eksperimentalnim podacima.

Autori Wan i Ren [48] koriste Bayesovu analizu kako bi procijenili parametre sustava, te za to koriste MCMC metodu. Međutim kako sustav može imati puno parametara tada koriste dodatnu analizu, tj. eliminiraju neke parametre manje važnosti. Za to koriste metodu globalne osjetljivosti na bazi varijance (eng. variance-based global sensitivity analysis). Unutar MCMC koristi adaptivni Metropolisov algoritam uzorkovanja. Metoda je prvo primijenjena na jednostavnom FEM modelu aluminijske ploče (slika 5.15). Prvo je napravljena analiza osjetljivosti gdje je „izbačen“ jedan parametar (slika 5.16), te su u konačnici Bayesovom analizom procijenjeni parametri modela, što se može vidjeti na slici 5.17

Slika 5.15 MKE model aluminijske ploče i pripadajuće vlastite frekvencije f1=34.6 Hz

i f2=96 Hz [48]

Sa slike 5.16 vidljivo je da modul smicanja ima najmanji utjecaj na konačni rezultat stoga je izostavljen iz analize.

Slika 5.16 Eliminacija parametara metodom globalne osjetljivosti a) za f1 i b) za f2

(E-modelu elastičnosti, T-debljina ploče, G- modelu smicanja) [48]

Na slici 5.17 prikazani su detektirani parametri, uz napomenu da se radi o normiranom prikazu, tako da distribucija parametra mora biti grupirana oko 1 ako se radi o dobroj identifikaciji.

33

Slika 5.17 Parametri modela temeljem Bayesove analize i MCMC metode [48]

Konačna ocjena vidi se kada se usporedi eksperimentalna (MKE) vrijednosti frekvencije i procijenjena, što je prikazano na slici 5.18.

Slika 5.18 Usporedba eksperimentalnog modela i modela temeljem Bayesove analize i

MCMC metode a) za f1 i b) za f2 [48]

Istu analizu provode i na puno kompleksnijem modelu. Radi se o pješačkom mostu, a podatci su dobiveni mjerenjem. Grafički prikaz rezultat (reduciranje varijabli i MCMC konvergencija) je izostavljen jer koriste 6 parametra, ali konačni rezultati su prikazani u tablici 5.2.

34

Tablica 5.2 Rezultati analize za duljinu i širinu pukotine [48]

Zaključuju kako prikazani rezultati pokazuju da je reduciranje modela opravdano jer se

ne gubi na točnosti a značajno se smanjuje vrijeme računanja.

Conde i dr. u radu [49] koriste Bayesovu analizu za inverzni problem detekcije parametara i stanja sustava. Sustav koji proučavaju je stari pješački most, a podaci koje koriste su dimenzije mosta (slika 5.19). Temeljem izmjerenih vrijednosti pomoću Bayesove analize i MKE detektiraju navedene parametre kao i samo stanje (oštećenje) mosta. Usporedno s Bayesovom analizom isti problem rješavaju i optimizacijom.

Slika 5.19 Prikaz korištenih varijabli , crnom bojom stvarno stanje, crvenom bojom

jedna od mogućih kombinacija rješenja [49]

Kako postoji veliki broj parametara sustava, i kako je za svaku iteraciju potrebno rješavati MKE model, klasični postupak je spor, stoga uvode zamjenski Gaussov proces . Što se tiče prior distribucije, obzirom na mali broj informacija koriste uniformnu distribuciju. Koriste veliki broj iteracija (100000) a potrebno vrijeme računanja na osobnom računalu iznosi 19 sati. Rezultati dobivenih parametara su vidljivi na slici 5.20, a isti se odnose na dimenzije naznačene slici 5.19.

35

Slika 5.20 Identificirani parametri modela (isprekidana linija predstavlja prior) [49]

Na slici 5.21 može se vidjeti razlika dviju metoda, u odnosu na original konstrukciju, te je prema ovom rezultatu vidljivo da nema pretjerano velike razlike između metoda.

Slika 5.21 Usporedba greške prema RMS, za odabrane koordinate između Bayesove

analize i optimiranja [49]

36

Međutim autori naglašavaju bitnu razliku, između ove dvije metode, a to je da rezultat Bayesove analize daje čitav raspon lako mogućih rješenja, što odražava nesigurnost procjene, dok s druge strane optimiranje daje rješenje kao jedan skup vrijednosti koji minimizira određenu funkciju cilja. Nadalje postoje i dodatni izvori nesigurnosti koji nisu uzeti u obzir optimizacijom kao npr. terenska mjerenja ili MKE model a koji se indirektno mogu uzeti u obzir Bayesovom analizom.

Slična analiza je rađena na matematičkom i stvarnom laboratorijskom modelu u svrhu prezentiranja istraživačkog rada na poslijediplomskim doktorskom studiju strojarstva. Tako se na slici 5.22 mogu vidjeti detektirani parametri jednog mehaničkog sustava drugog reda. Stvarni parametri sustava su m=2 kg; k=1000 N/m, i c=1 Ns/m; što znači da je faktor relativnog prigušenja ζ=0.00112. Na pripadajući analitički odziv dodan je šum modeliran normalnom distribucijom s parametrima �(0, σ = 0.005). Temeljem takvog signala bilo je potrebno procijeniti parametre sustava kao i odziv istog.

Slika 5.22 Detektirani parametri

Detektirani parametri sustava vidljivi su na slici 5.22, a primjetno je minimalno odstupanje isključivo zbog velikog šuma na prikazanog na slici 5.23, gdje je vidljiv i rekonstruiran odziv (crvena boja).

37

Slika 5.23 Odziv sustava i rekonstrukcija

Ista analiza je provedena i na eksperimentalnom laboratorijskom modelu, a rezultati su vidljivi na slici 5.24 dok je na slici 5.25 prikazan i rekonstruirani signal.

Slika 5.24 Detektirani parametri stvarnog sustava

Ovdje se mora napomenuti kako je u ovom primjeru primarno bilo utvrditi prigušenje. Iz prikazanih rezultata sa slika 5.24 i 5.25 očito je da je rekonstrukcija i detekcija ostalih parametara više nego zadovoljavajuća.

38

Slika 5.25 Rekonstrukcija odziva sustava

39

6. PROCJENA PREOSTALOG ŽIVOTNOG VIJEKA

Procjena preostalog životnog vijeka (RUL) ključan je korak u održavanju po stanju, a temelj je za planiranje radnje održavanja i sigurnost. Ova mjera pouzdanosti slučajna je varijabla, i ovisi o starosti, radnim uvjetima i informacijama dobivenim putem nadzora [50]. Ukoliko iz nekog razloga ne postoji informacija indikatora, tada se distribucija preostalog životnog vijeka može odrediti prema izrazu 6.1, uzimajući u obzir samo vrijeme rada komponente (starost). Nešto više o ovom načinu procjene može se pronaći u [51]. U istoj literaturi postoji i veza s funkcijom učestalosti kvarova, jer kako autor tvrdi, distribucija preostalog životnog vijeka nudi puno više informacija, ali u praksi je još uvijek učestalija upravo navedena funkcija.

( )( | ) ( )

( )t

t t tf t xf x Y f x

R t

(6.1)

Gdje je ( )tf t x funkcija gustoće vjerojatnosti u trenutku tt x , a ( )R t funkcija pouzdanosti u trenutku t . Ovakav oblik procjene je dobar, ali bolja procjena se ostvaruje kada se u model unosi dodatna informacija najčešće pomoću tehničkog indikatora. U tom slučaju, postupak se matematički bitno komplicira. Postoje razne metode procjene preostalog životnog vijeka. Najosnovnije su prikazane na slici 6.1.

Slika 6.1 Glavni modeli procjene preostalog životnog vijeka [10]

Najjednostavniji oblik procjene preostalog životnog vijek, a koji uzima u obzir informacije prikupljene tehničkim indikatorom, jednostavna je analiza trenda [10]. Ista se može vidjeti na slici 6.2. Metoda se temelji na unaprijed definiranom pragu (ili pragovima), te se temeljem prikupljenih podataka radi ekstrapolacija kako bi se utvrdio preostali životni vijek.

40

Slika 6.2 Procjena preostalog životnog vijka pomoću analize trenda [10]

Navedena analiza je jednostavana i numerički nije zahtjevna ali je značajno limitirana ukoliko se trebaju uključiti dodatne analize, kao što je analiza rizika i/ili optimalno vrijeme preventivne akcije. U tom slučaju potrebna je distribucija preostalog životnog vijeka. Temeljem distribucije moguće je sagraditi optimalni model, a jedan takav, prikazan je izrazom 6.2. Radi se o modelu baziranom na trošku.

1

1

1 10

( ) ( | )( )

( ) 1 ( | ) ( | )i i

f p i i i p mt t

i i i i i i i i i

c c p t t I c icC t

t t t p t t I xp x y dx

(6.2)

gdje su fc , pc i mc prosječne cijene korektivnog održavanja, preventivnog održavanja i nadzora. Brojnik predstavlja ukupan trošak, koji čine cijena korektivnog postupka, preventivnog postupka i nadzora, dok nazivnik predstavlja vrijeme. Detaljnije ovaj model odluke može se pronaći u [12] i predstavlja samo jednu moguću primjena distribucije preostalog životnog vijeka. Grafički model 6.2 prikazan je na slici 6.3, gdje je jasno vidljivo da se između dva nadzora neće uvijek pojaviti minimum.

41

Slika 6.3 Optimalno vrijeme akcije održavanja [12]

Kako je vidljivo na slici 6.1 postoji čitav niz metoda, ali u ovom će radu naglesak biti isključivo na onim vezanim za Bayesovu analizu. Razlog je ovome je potreba zadržati se unutar jednog matematičkog okvira, tj. svu procjenu, koja uključuje procjenu parametara modela, izbor modela i predviđanje odraditi unutar Bayesove analize. Prema slici 6.4. razlikuje se nekoliko postupaka koji se uglavnom odnose na stohastičko filtriranje.

Slika 6.4 Podjela metoda procjene RUL-a prema podacima [50]

42

6.1. Pregled literature vezane za procjenu preostalog životnog vijeka

Procjena preostalog životnog vijeka prema literaturi [52] podrazumijeva sljedeće četiri pretpostavke :

sustava se nadzire redovito i u diskretnim vremenskim intervalima postoje dva perioda, gdje je prvi od nove komponente do trenutka kada je uočen

defekt, i drugi od trenutka defekta do kvara. Drugi dio se još naziva i „delay time“. Ova dva perioda statistički su neovisna

pragovi odnosno „threshold“ treba postaviti tako da prilikom nadziranja sustava bude jasno definirana granica defekta, odnosno početka druge faze.

Informacija o stanju yi dobivena u trenutku ti, za vrijeme druge faze slučajna je varijabla ovisna samo o preostalom životnom vijeku xi

Posljednja pretpostavka govori kako nagli porast vrijednosti podatka o promatranom stanju sustava nastaje dijelom zbog skraćivanja životnog vijeka sustava do kojeg je došlo zbog prikrivene greške. Analizirani podaci prikazani su na slici 6.5. Radi se o šest ležajeva a podaci su korijena kvadrata srednje vrijednosti (RMS) akceleracije. Vidljive su dvije karakteristične faze životnog vijeka. U prvoj je signal relativno ravan, a u drugoj naglo raste. Prezentirana metoda vrijedi samo kada se ležaj nalazi u drugoj fazi životnog vijeka.

Slika 6.5 Tipičan signal indikatora stanja [52]

Prvotno je potrebno odrediti prag koji označava prijelaz iz prve u drugu fazu, kako bi se moglo krenuti s procjenom preostalog životnog vijeka. Polazna točka izvoda je Bayesov izraz, a detaljan izvod može se pronaći u navedenoj referenci. Dodatne informacije za isti model mogu se pronaći i u referenci [12]. Konačan rekurzivni izraz za procjenu distribucije preostalog životnog vijeka prikazan je izrazom 6.1.

43

1 1 1

1 1 10

( | ) ( | )( | )( | ) ( | )

i i i i i i ii i

i i i i i i i i

p y x p x t t Ip x Ip y x p x t t I dx

(6.1)

Ako se krene od prvog nadzora stanja, izraz 6.1 prelazi u jednostavniji oblik, prikazan izrazom 6.2

0 0

0 00

1 1 0

1 1 0 1

( | ) ( | )( | )( | ) ( | )

i ip y x p x Ip x I

p y x p x I dx

(6.2)

gdje su:

it trenutno vrijeme nadzora stanja od nastanka oštećenja ležaja ix preostali životni vijek ležaja u trenutku ti iy označava vrijednost tehničkog indikatora ispravnosti u trenutku ti Ii={yi, yi-1, yi-2 … y1} označava skup vrijednosti tehničkog indikatora ispravnosti

do trenutku ti ( | )i ip x y označava PDF preostalog životnog vijeka ( | )i ip y x označava PDF vrijednosti tehničkog indikatora ispravnosti

Navedeni izrazi predstavljaju opće izraze, a „ubacivanjem“ distribucije u model, konkretno Weibullove distribucije, moguće je doći do konačnog analitičkog izraza za distribuciju preostalog životnog vijeka, te je ista prikazana izrazom 6.3.

( )

( )

1( )1

1( )1

0

1( )( )

1)

|

(

i i kC x t ti i k

i i k

i i kC x t ti i k

i i k

x t yiA Be

i i C x t tki i x t yi

A Bei ii C x t tk

x t e eA Bep x I

x t e e dxA Be

(6.3)

Ovako definiran rekurzivni izraz za procjenu preostalog životnog vijeka provjeren je na šestom ležaju (slika 6.5). Dobivene distribucije prikazane su na slici 6.6. Isti autor sličnu analizu provodi i u radu [53], a za razliku od prethodne literature, koristi primjer indukcijskih peći, uz odabranu normalnu distribuciju funkcije vjerodostojnosti i Gamma distribucija priora.

44

Slika 6.6 Procjena preostalog životnog vijeka [52]

U pregledanim znanstvenim radovima ovog autora, često se spominje i Gamma-Gamma model kao dobar izbor modela. Međutim, nigdje se ne navodi gotov izraz, a pogotovo izvod tog modela. U svrhu prezentacije istraživačkog rada na poslijediplomskom studiju strojarstva izveden je Gamma-Gamma model, koji je je prikazan izrazom 6.4.

( )

( )

1( )1

1( )1

0

1( )

1|( )

( )

kC x t ti i ki i

i i k

kC x t ti i ki i

i i k

yix t A Be

i i C x t tki i yi

x t A Bei i C x t tk

i

x t e eA Bep x I

x t e e dxA Be

(6.4)

Treba napomenuti kako je ova kombinacija potencijalno zanimljiva zbog fleksibilnosti gamma distribucije. Distribucije preostalog životnog vijeka kao i predviđeni trenutak kvara u ovisnosti o stanju indikatora vidljivi su na slici 6.7. Ukoliko se navedene distribucije uključe u izraz 6.2, uz poznavanje cijena pojedinog postupka održavanje, moguće je definirati optimalno vrijeme preventivne ranje.

45

Slika 6.7 Procjena preostalog životnog vijeka Gamma modelom

Navedena metoda spada u polustohastičku metodu, jer uvodi dodatnu determinističku informaciju. Ta informacija se odnosi na skraćeni životni vijek, odnosno u trenutnom nadzoru preostali životni vijek skraćen je točno za razliku između trenutnog i prethodnog nazora. Također uvodi koncept plivajućih parametara što potencijalno skraćuje analizu. Bitno je naglasiti da parametre modela predviđa odvojeno od preostalog životnog vijeka i to čini pomoći metode maksimalne vjerodostojnosti. Dobar pregled polustohastičkih metoda procjene preostalog životnog vijeka može se pronaći u literaturi [54].

Isti autor na istom primjeru provodi sličnu analizu i u [55]. Za razliku od [52], gdje je prelazak u fazu značajne degradacije označio jednostavno s predefiniranim pragom, ovdje to čini pomoću dodatne distribucije. Dodatno slična analiza istog autora nalaze se u [56], samo sada istu provodi na ulju brodskih motora. Proces oštećenja (degradacija) vidljiv je na slici 6.8 , međutim mora se napomenuti kako kriterij kvara ovdje nije jasno definiran.

Slika 6.8 Proces kontaminacije ulja metalnim česticama [56]

46

Rezultati se mogu vidjeti na slici 6.9, te je jasno kako je stvarni životni vijek dobro obuhvaćen distribucijom preostalog životnog vijeka.

Slika 6.9 Procjena preostalog životnog vijek za ulje brodskog motora [56]

Autor Carr i Wang u radu [57] koriste sličnu analizu prethodnim ali s razlikom što uvode i izbor moda oštećenja. Isti autori u radu [58] uspoređuju metodu definiranu u [52] s „proportional hazard“ metodom. Te zaključuju kako jedna i druga metoda daju zadovoljavajuće predviđanje. Usporedni rezultati vidljivi su na slici 6.10.

Slika 6.10 Procjena preostalog životnog vijeka pomoću „proportional hazard“

metodom (lijevo) i stohastičkog filtera (desno) [58]

47

Myötyri i dr. u radu [59] kao primjer koriste propagaciju pukotine. Kako bi predvidjeli preostali životni vijek koriste stohastičko filtriranje, odnosno izraz 6.3.

0

( | ) ( | )( | )( | ) ( | )

, m tt

m d t

dt

t

p y x p x Hp yx Hp y x p x H dx

(6.3)

Gdje je ( | )dt tp x H uvjetna distribucija procesa, a �� informacija tehničkog indikatora sve do posljednjeg trenutka. Kao primjer uzet je Paris-Erdogan model propagacije pukotine, te su istog randomizirali, tj. učinili stohastičkim. Skok je diskretan i uvijek pozitivan. To je omogućeno diskretnim Markovljevim procesom. Na slici 6.11 može se vidjeti prikaz predviđenih putanja pukotine. Jasno je što je veći broj nadzora predviđanje je bolje. To se očituje tako što su predviđene (moguće) putanje u tom slučaju puno uže (manja devijacija).

Slika 6.11 Predviđene putanje pukotine za slučaj, bez podataka, s pet podataka i s

jednim podatkom tehničkog indikatora [59]

Na slici 6.12 prikazana je distribucija preostalog životnog vijeka, i očito je da je za veći broj podataka distribucija predviđanja uža, što odražava određenu veću sigurnost procjene u usporedbi s distribucijom s manjim brojem podataka (nazora). Autori ne spominju koje su distribucije koristili za predviđanje.

48

Slika 6.12 Preostali životni vijek za slučaj bez podataka, s jednim i pet podataka

tehničkog indikatora [3]

Slično istraživanje rade i autori Lassen i dr [60], gdje također koriste Markovljeve modele za modeliranje propagacije pukotine.

Gebraeel i dr. u radu [61] su prezentirali dva načina pomoću kojih se može modelirati signal. U oba slučaja radi se o eksponencijalnom modelu, izraz 6.4. U prvom slučaju koeficijenti su modelirani kao slučajna varijabla, te je na sve to dodana greška modelirana pomoću normalne distribucije. Na ovakav način simulirano je ponašanje nekog signala najčešće signala na ležaju. Prvi model naziva se model slučajne greške (eng. random error model) a drugi model Brownian greške ( eng. Brownian error model). Simulirane se putanje mogu vidjeti na slici 6.13.

2

( ) exp ( )2i iS t t

(6.4)

Dalje u radu pomoću Bayesove analize pokušavaju odrediti parametre modela, a potom preostali životni vijek.

Slika 6.13 Tipični modeli signala a) pomoću distribucije greške b) pomoću Brownian

gibanja [61]

Normalnu distribuciju koriste za modeliranje funkcije vjerodostojnosti. Istu koriste i kao i prior za parametre β i θ. Konačno može se uspostaviti veza sa posterior distribucijom, koja je prikazana izrazom 6.5 gdje je 1... | ,Kf L L funkcija vjerodostojnosti, a ( ) i ( ) su priori nepoznatih parametara. Nakon uvrštavanja navedenih distribucija dobije se gotovi analitički oblik posteriora koji je ovdje izostavljen zbog sažetosti.

49

1 1, | ... ... | , ( ) ( )K Kp L L f L L (6.5)

Za fazu predviđanja koristi aproksimacijske formule, temeljene na kumulativnoj gustoći vjerojatnosti, što čini ovu metodu jednostavnom i efikasnom što se tiče vremena računanja. Isto kao i autor rad [52] metodu koristi samo onda kada se signal nalazi u drugoj fazi (značajna degradacija). Metoda je provjerena na stvarnim podacima ubrzanog testa za 34 valjna ležaja. Za sve ležajeve rezultate daje tablično što će se zbog sažetosti ovdje preskočiti. Grafički prikazuje jedan tipični rezultat koji se može vidjeti na slici 6.14. Na spomenutoj slici vidljiva je usporedba model slučajne greške (idd), model Brownian greške (BM) i klasične procjene (CNU). Na istoj slici, kvadrat označava gornju granicu (95%), trokut označava donju granica (5%), a krug označava medijan, dok x označava stvaran kvar. TA označava stvaran životni vijek. Zaključuje kako Brownian model (BM) daje bolje rezultate nakon što je izračunao grešku koje uzima u obzir i širinu distribucije preostalog vijeka

Slika 6.14 Rezultati predviđanja za valjni ležaj [61]

Gebraeel u radu [62] radi slične stvari, kao i u [61], uz razliku da umjesto neovisnosti parametara procesa sada koristi pretpostavku da su parametri ovisni. Metodu provjerava na stvarnim izmjerenim podacima, radi se o vibracijama na valjnom ležaju, a rezultat se može vidjeti na slici 6.15, gdje je prikazan proces ažuriranja u ovisnosti o nadzoru, koji je izveden u trenutku 10%, 30%,50%,70% i 90% stvarnog vremena kvara. Vidljivo je kako vrijeme odmiče distribucija preostalog životnog vijeka se pomiče u lijevo i postaje uža.

Slika 6.15 Predviđanje preostalog životnog vijeka za valjni ležaj u ovisnosti o

podacima indikatora [62]

50

Chen i Tsui u radu [63] su iskoristili model prezentiran u [61], simulirali su ponašanje ležaja prema izrazu 6.4, te su sam model nadogradili s procjenom točke prelaska iz faze bez degradacije u fazu sa značajnom degradacijom. Koriste normalnu i χ2 inverznu distribuciju (konjugirani prior), kako bi se izbjeglo sporo vrijeme računanja. Ovaj model potencijalno bolje pogađa preostali životni vijek, što su i prezentirali na simuliranim podacima. Dakle kako bi provjerili metodu, simulirali su podatke za 25 ležaja. Rezultati predviđanja za prvu i drugu fazu životnog vijeka vidljivi su na slici 6.16.

Slika 6.16 Predviđanje preostalog životnog vijeka 25 ležaja a) za prvu fazu

degradacije na 75% od točke prelaza i b) za drugu fazu degradacije na 75% od kvara [63]

Na slici 6.17 prikazana je usporedba modela. Plavom bojom prikazan je model navedenih autora dok je crvenom isprekidanom linijom prikazan model iz [61]. Autori zaključuju kako njihova metoda nudi bolje predviđanje.

Slika 6.17 Preostalog životnog vijeka ležaja za drugu fazu degradacije a) 75% od

kvara i b) 90% od kvara [63]

Deloux i dr. [64] u radu su predložili izbor strategije održavanje temeljem informacija proizišlih iz održavanja po stanju. Modeliraju dva moda oštećenja, tj. osim starenja uključuju i iznenadni šok sustava. Kao model odluke koriste poznati CPUT model, odnosno trošak. Do sada spomenuta literatura koristi klasični Bayesov pristup, a autori Wang i dr. u literaturi [65]

51

razvili su metodu temeljenu na Kalmanovu filteru. Degradaciju modeliraju pomoću tzv. Brownian gibanja.

Autori Liu i Zio [66] procjenjuju preostali životni vijek za više zavisnih komponenti, odnosno kada degradacija jedne komponente utječe na drugu. Koristili su Monte Carlo integraciju i stohastičko filtriranje kako bi procijenili preostali životni vijek. Na slici 6.18 vidljiv je prikaz pouzdanosti. Prikupljanjem informacija pouzdanost postaje strmija (analogno s uskim PDF-om), i praktički se jako lijepo slaže sa stvarnim kvarom označenim s plavim kvadratom.

Slika 6.18 Pouzdanost sustava s obzirom na nazor [66]

Na slici 6.19 prikazana je distribucija preostalog životnog vijeka, gdje je vidljivo da se procjena jako dobro slaže sa „stvarnim“ kvarom.

Slika 6.19 Procjena preostalog životnog vijka [66]

52

Autori Sun i dr. [67] predviđaju preostali životni vijek na razini sustava, točnije kao primjer koriste plinsku turbinu (avionski motor). Tvrde da nema fizikalne veličine koja u potpunosti odražava stanje takvog sustava, te se koristi više podataka kako bi odredili stanje sustava. Za isto koriste oznaku indeks zdravlja (eng. Health Index-HI). Prema tom indeksu postavljen je i prag kvara. Potpuno ispravno stanje iznosi 1, a trenutak kvara je kada se dosegne vrijednost 0. Podaci su stvarni, radi se o eksperimentu koji je provela NASA na deset motora. Na slici 6.20 mogu se vidjeti podaci stanja za motor 7 i 10.

Slika 6.20 Indeks stanja motora 7 i 10 [67]

Za predviđanje preostalog životnog vijeka koriste Bayesovu analizu, odnosno stohastičko filtriranje, a ista se može vidjeti na slici 6.21 .

Slika 6.21 Procjena preostalog životnog vijeka za motor 4 (lijevo) i 10 (desno) [67]

Detaljniji se prikaz predviđanja može vidjeti na slici 6.22, gdje je očito da je korištena MCMC metoda.

53

Slika 6.22 Previđanje preostalog životnog vijeka za motor br.10 [67]

54

7. TABLIČNI PREGLED LITERATURE

U ovom poglavlju, prije zaključke, dan je pregled literature prikazan tablicom 7.1. Organizirana je prema terminima kao što su Bayesova analiza, MCMC, usporedba modela, obrada signala itd. Iako u samom radu nije istaknuto, u tablici je naveden i eksperiment. Razlog tome je što će se u nastavku istraživanja napraviti usporedba eksperimenta s drugim autorima U tablici se nalazi pripadajuća numeracija literature, ime prvog autora i godina izdavanja, a potpune informacije nalaze se u listi referenci.

Tablica 7.1 Pregled literature

1. P

ouzd

anos

t- op

ćeni

to

2. B

ayes

ova

anal

iza

3. M

CM

C

4. M

C

5. M

arko

vlje

v m

odel

6. P

aram

etri

mod

ela

7. D

ijagn

ostik

a

8. C

BM

9. R

UL

10. U

spor

edba

mod

ela

11. R

JMC

MC

12. A

naliz

a si

gnal

a

13. E

kspe

rimen

t i i

spiti

vanj

e

Prvi Autor God

[1] Barle 2008 [2] HRN 2017 [3] Rausand 2004 [4] Jardine 2006 [5] Grubišić 2015 [6] Barle 2011 [7] Barle 2012 [8] Ebeling 1996 [9] Rausand 2014 [10] Sikorska 2011 [11] ISO 2012 [12] Kobbacy 2008 [13] Nowland 1978 [14] Czichos 2013 [15] Fraden 2003 [16] Braun 2011 [17] Miao 2013 [18] Ibrahim 1977 [19] Huang 1999 [20] Peng 2003 [21] Lin 2003 [22] Baydar 2003

55

1. P

ouzd

anos

t- op

ćeni

to

2. B

ayes

ova

anal

iza

3. M

CM

C

4. M

C

5. M

arko

vlje

v m

odel

6. P

aram

etri

mod

ela

7. D

ijagn

ostik

a

8. C

BM

9. R

UL

10. U

spor

edba

mod

ela

11. R

JMC

MC

12. A

naliz

a si

gnal

a

13. E

kspe

rimen

t i i

spiti

vanj

e

Prvi Autor God

[23] Al-Badour 2011 [24] Rubini 2001 [25] Gaul 1998 [26] Dobrota 2017 [27] Barle 2010 [28] Ando 2010 [29] Yuen 2010 [30] Chib 2001 [31] Ernst 2012 [32] Spiegelhalter 2014 [33] Green 1995 [34] Andrieu 2003 [35] Worden 2012 [36] Worden 2018 [37] Worden 2018 [38] Worden 2012 [39] Green 2015 [40] Green 2015 [41] Green 2017 [42] Aucejo 2018 [43] Abdessalem 2017 [44] Schön 2018 [45] Boulkaibet 2015 [46] Behmanesh 2015 [47] Abdessalem 2018 [48] Wan 2015 [49] Conde 2018 [50] Si 2011 [51] Banjevic 2009 [52] Wang 2001 [53] Wang 2000 [54] Wang 2011

56

1. P

ouzd

anos

t- op

ćeni

to

2. B

ayes

ova

anal

iza

3. M

CM

C

4. M

C

5. M

arko

vlje

v m

odel

6. P

aram

etri

mod

ela

7. D

ijagn

ostik

a

8. C

BM

9. R

UL

10. U

spor

edba

mod

ela

11. R

JMC

MC

12. A

naliz

a si

gnal

a

13. E

kspe

rimen

t i i

spiti

vanj

e

Prvi Autor God

[55] Wang 2007 [56] Wang 2012 [57] Carr 2010 [58] Carr 2007 [59] Myötyri 2006 [60] Lassen 2002 [61] Gebraeel 2005 [62] Gebraeel 2006 [63] Chen 2013 [64] Deloux 2009 [65] Wang 2018

[66] Zio 2017 [67] Sun 2012

57

8. ZAKLJUČAK

Praćenjem parametara nekog sustava, stvorena je osnova za dijagnostiku, a uključivanjem tih vrijednosti u predviđanje preostalog životnog vijeka omogućen je postupak (strategija) održavanje po stanju. Samo održavanje po stanju inicijalno je skuplje, ali je pouzdanost i raspoloživost sustava velika. Isto tako održavanje se izvodi samo onda kada je to stvarno potrebno. U ovom je radu pregledno prikazana Bayesova analiza u kontekstu procjene stanja sustava i preostalog vijeka trajanja.

Kod takvih modela javlja se velika dimenzionalnost. Budući da ne postoji jednostavno analitičko rješenje moraju se koristiti numeričke metode. U ovom radu naglasak je na MCMC metodi. Ova metoda je efikasna i brzo konvergira ka rješenju. Dobra konvergencija leži u algoritmu uzorkovanja kao što je Metropolisov algoritam. Zbog nekih ograničenja koje ima navedeni algoritam razvijeni su i drugi, kao što su Metropolis-Hasting ili Gibbsov algoritam. Postoje radovi koji se samo bave izborom i prilagodbom algoritama uzorkovanja, a u ovom radu opisan je najjednostavniji, odnosno Metropolisov algoritam.

Analize zasnovane na Bayesovim tehnikama, imaju čitav niz prednosti. Prva se odnosi na prilagodbu modela podacima kojima se raspolaže. Nadalje Bayesova analiza, svojstveno nesigurnost izražava pomoću distribucije i konačno, može se uspoređivati i birati između više modela različite dimenzionalnosti.

Na temelju prikazane literature, Bayesova analiza predstavlja logičan izbor pri procjeni preostalog životnog vijeka. Prije svega, podaci tehničkog indikatora će se ažurirati, a s kvalitetom i količinom podataka, procjena će biti bolja. Temeljem toga moguće je kontrolirati rizike bilo materijalne bilo po ljude i okoliš. Isto tako izbor i kontrola nekih radnih parametara sustava u eksploataciji omogućava vođenje sustava.

58

LITERATURA

[1] J. Barle; „Pouzdanost u funkciji održavanja tehničkih sustava“, Split: FESB Sveučilište u Splitu, 2008.

[2] HRN EN 13306:2017, Održavanje - Nazivlje u održavanju, 2017

[3] M. Rausand , A. Hoyland; „ System Reliability Theory: Models, Statistical Methods, and Applications“, Wiley-Blackwell, 2004.

[4] A. K. S. Jardine, D. Lin , D. Banjevic; „A review on machinery diagnostics and prognostics, Mechanical Systems and Signal Processing“ , 1483–1510, 2006.

[5] V.V. Grubišić , J. Barle,; „Procedure for the Service Strength Approval of the Drillship Derrick“, Rad Hrvatske akademije znanosti i umjetnosti, vol., br. 521=17, pp. 51-62, 2015

[6] J. Barle , V.V.Grubisic, F. Vlak;“ Failure analysis of the highway sign structure and the design improvement“, Engineering Failure Analysis, 18 (3), pp. 1076-1084, 2011

[7] J. Barle, P. Đukić, D. Ban, ;„Verification of Number of Cycles for Fatique Life Estimation of Wind-Sensitive Structures“ , 7th ICCSM, pp. 233-234, 2012

[8] C. Ebeling, ;„An Introduction To Reliability and Maintainability Engineering“, McGraw-Hill Science, 1996.

[9] M. Rausand; „Reliability of Safety-Critical Systems: Theory and Applications, and Applications“, Wiley-Blackwell, 2014

[10] J. Sikorska, M. Hodkiewicz i L. Ma; „ Prognostic modelling options for remaining useful life estimation by industry“, Mechanical Systems and Signal Processing, pp. 1803-1836, 2011.

[11] ISO 13372:2012(en), Condition monitoring and diagnostics of machines-Vocabulary, 2012

[12] K. Kobbacy ,D. Murthy; „Complex system maintenance handbook“, London: Springer-Verlag, 2008.

[13] F. S. Nowland , H. F. Heap; „Reliability centered maintenance“, Dolby Access Press, 1978.

[14] H. Czichos; „ Handbook of Technical Diagnostics“, Berlin: Springer-Verlag , 2013.

[15] J. Fraden; „Handbook of modern sensors: Physics, Design and Applications“, Springer, ISBN 0-387-00750-4, 2003

[16] S. Braun; „The synchronous (time domain) average revisited“, Mechanical Systems and Signal Processing, pp. 1087-1102, 2011.

[17] Q. Miao, C. Tang, W. Liang , M. Pecht; „Health assessment of cooling fan bearings using wavelet-based filtering“, Sensors , pp. 274-291, 2013.

59

[18] S. Ibrahim; „Random decrement technique for modal identification of structures“, Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 14, no. 11, pp. 696-700, 1977.

[19] C. Huang, C. Yeh; „Some properties of randomdec signatures“, Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 13, no. 3, pp. 491-507, 1999.

[20] Z.K. Peng, F.L. Chu; „Application of the wavelet transform in machine condition monitoring and fault diagnostics: a review with bibliography“, Mechanical Systems and Signal Processing, 18, pp. 199–221, 2004

[21] J. Lin, M.J. Zuo; “Gearbox fault diagnosis using adaptive wavelet filter“, Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 17 (6), no.6 pp. 1259-1269. 2003

[22] N. Baydar, A. Ball; „ Detection of gear failures via vibration and acoustic signals using wavelet transform“,Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 17, no. 4, pp. 787–804, Jul. 2003.

[23] F. Al-Badour, M. Sunar, L. Cheded, “Vibration analysis of rotating machinery using time–frequency analysis and wavelet techniques”, Mechanical Systems and Signal Processing., vol. 25, no. 6, pp. 2083–2101, 2011.

[24] R. Rubini, U. Meneghetti; „Application of the envelope and wavelet transform analyses for the diagnosis of incipient faults in ball bearings“, Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 15, no. 2, pp. 287–302, 2001

[25] L. Gaul , S. Hurlebaus; „Identification of the impact location on a plate using wavelets“, Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 12, no. 6, pp. 783–795, 1998.

[26] Đ. Dobrota; „Modeliranje distribucije priora u analizi kvarova brodskih hidrauličkih uređaja“, Doktorska disertacija, FESB Sveučilište u Splitu, 2017

[27] J. Barle, D. Ban , M. Ladan; „Maritime component reliability assessment and maintenance using Bayesian framework and generic dana“, Proceedings of the International Workshop Advanced Ship Design for Pollution Prevention, pp. 181-188, 2010.

[28] T. Ando; „Bayesian Model Selection and Statistical Modeling“, New York: Taylor and Francis Group, 2010.

[29] K.-V. Yuen; „Bayesian method for structural dynamics and civil engineering“, Singapore: John Wiley & Sons, 2010.

[30] S. Chib , I. Jeliazkov; „Marginal Likelihood From the Metropolis–Hastings Output“, Journal of the American Statistical Association , vol. 96, no. 453, pp. 270-281, 2001.

[31] E. Wit, E. v. d. Heuvel , J.-W. Romeijn; „All models are wrong...’: an introduction to model uncertainty“, Statistica Neerlandica , vol. 66, no. 3, 2012.

[32] D. J. Spiegelhalter, N. G. Best, B. P. Carlin ,A. van der Linde; „The deviance information criterion: 12 years on“, Journal of the Royal Statistical Society Series B (Methodological) , vol. 76, no. 3, pp. 485-493, 2014.

60

[33] P. J. Green; „Reversible jump MCMC computation and Bayesian model determination“, Biometrika,vol. 82, pp. 711–732, 1995.

[34] C. Andrieu, N. De Freitas, A. Doucet ,M. I. Jordan;“An introduction to MCMC for machine learning“, Machine Learning, no. 50, pp. 5-43, 2003.

[35] K. Worden ,J. Hensman; „Paramiter estimation and model selection for a class of hysteretic system using Bayesian inference“, Mechanical Systems and Signal Processing, pp. 153-169, 2012.

[36] K. Worden ,E. Cross; “On switching response surface models, with applications to the structural health monitoring of bridges“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 98, pp. 139-156, 2018.

[37] K. Worden, R. Barthorpe, E. Cross, N. Dervilis, G. Holmes, G. Manson, T. Rogers; „On evolutionary system identification with applications to nonlinear benchmarks“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 112, pp. 194-232, 2018.

[38] K. Worden ,W. Becker; „On the identification of hysteretic systems. Part II: Bayesian sensitivity analysis and parameter confidence“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 29, pp. 213-227, 2012.

[39] P. Green; “Bayesian system identification of a nonlinear dynamica system using a novel variant of simulated annealing“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 52-53, pp. 133-146, 2015.

[40] P. Green, E. Cross ,K. Worden; „Bayesian system identification of dynamical systems using highly informative training dana“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 56, pp. 109–122, 2015.

[41] P. Green i S. Maskell, Estimating the parameters of dynamical systems from Big Data using Sequential Monte Carlo samplers, Mechanical Systems and Signal Processing, br. 99, pp. 379-396, 2017.

[42] M. Aucejo ,O. De Smet; „On a full Bayesian inference for force reconstruction problems“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 104, pp. 36-59., 2018.

[43] B. A. Abdessalem, N. Dervilis, D. Wagg, K. Worden; „Model selection and parameter estimation in structural dynamics using approximate Bayesian computation“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 99, pp. 306-325, 2017.

[44] T. Schön, A. Svensson, L. Murray, F. Lindsten; „Probabilistic learning of nonlinear dynamical systems using sequential Monte Carlo“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 104, pp. 866-883, 2018.

[45] I. Boulkaibet, L. Mthembu, T. Marwala, M. Friswell, S. Adhikari; „Finite element model updating using the shadow hybrid Monte Carlo technique“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 52, pp. 115-132, 2015.

[46] I. Behmanesh, B. Moaveni, G. Lombaert, C. Papadimitriou; „Hierarchical Bayesian model updating for structural identification“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 64, pp. 360-376, 2015.

61

[47] A. Ben Abdessalem,F. Jenson,P. Calmon; „Quantifying uncertainty in parameter estimates of ultrasonic inspection system using Bayesian computational framework“, Mechanical Systems and Signal Processing, no. 109,pp. 89-110, 2018

[48] H.-P. Wan, W.-X Ren; „Stochastic model updating utilizing Bayesian approach and Gaussian process model“, Mechanical Systems and Signal Processing, vol.70,no 71, pp. 245-268,2016

[49] B. Conde, P. Eguía, G.E. Stavroulakis, E. Granada; „Parameter identification for damaged condition investigation on masonry arch bridges using a Bayesian approach“, Engineering Structures no. 172 pp. 275–284, 2018

[50] X.-S. Si, W. Wang, C.-H. Hu , D.-H. Zhou; „Remaining useful life estimation - A review on the statistical data driven approaches“, European Journal of Operational Research, vol. 1, no. 213, pp. 1-14, 2011.

[51] D. Banjevic; „Remaining useful life in theory and practice“, Metrika, 2009

[52] W. Wang; „A model to predict the residual life of rolling element bearings given monitored condition information to date“, IMA Journal of Management Mathematics, vol. 13, no. 1, pp. 3-16, 2002.

[53] W. Wang, A.H. Christer; „Towards a general condition based maintenance model for a stochastic dynamic system“, Journal of the Operational Research Society, vol. 51, no.2, pp. 145-155, 2000

[54] W. Wang; „Overview of a semi-stochastic filtering approach for residual life estimation with applications in condition based maintenance“, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part O: Journal of Risk and Reliability, 225 (2), pp. 185-197, 2011

[55] W. Wang; „A two-stage prognosis model in condition based maintenance“, European Journal of Operational Research, vol. 182, no. 3, pp. 1177-1187, 2007

[56] W. Wang, B. Hussin, T. Jefferis; „A case study of condition based maintenance modelling based upon the oil analysis data of marine diesel engines using stochastic filtering“, International Journal of Production Economics, vol. 136, no. 1, pp. 84-92, 2012

[57] M.J. Carr, Wang, W; „Modeling failure modes for residual life prediction using stochastic filtering theory“, IEEE Transactions on Reliability, pp. 346-355, 2010

[58] M.J. Carr, Wang, W; „A case comparison of a proportional hazards model and a stochastic filter for condition-based maintenance applications using oil-based condition monitoring information“, Journal of Risk and Reliability, 222 , 2007

[59] E. Myötyri, U. Pulkkinen, K. Simola; „Application of stochastic filtering for lifetime prediction“, Reliability Engineering and System Safety, vol. 2, no. 91, pp. 200-208, 2006.

[60] T. Lassen, J.D. Sørensen: „ A probabilistic damage tolerance concept for welded joints Part 1: Data base and stochastic modelling“, Marine Structures, 15 (6), pp. 599-613, 2002

62

[61] N. Gebraeel, M. Lawley, R. Li, J. Ryan; „Residual-life distributions from component degradation signals: A Bayesian approach“, IIE Transactions (Institute of Industrial Engineers), 2005.

[62] N. Gebraeel; „Sensory-updated residual life distributions for components with exponential degradation patterns“, IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, 2006.

[63] N. Chen, K.L Tsui; „Condition monitoring and remaining useful life prediction using degradation signals: Revisited“, IIE Transactions (Institute of Industrial Engineers), 45 (9), pp. 939-952, 2013.

[64] E. Deloux, B. Castanier, C. Bérenguer; „Predictive maintenance policy for a gradually deteriorating system subject to stress“, Reliability Engineering and System Safety, vol. 94, no. 2, pp. 418-431, 2009.

[65] D. Wang, K-L. Tsui; „Brownian motion with adaptive drift for remaining useful life prediction: Revisited“; Mechanical Systems and Signal Processing; 99, pp. 691-701., 2018

[66] J. Liu, E. Zio; „System dynamic reliability assessment and failure prognostics“, Reliability Engineering and System Safety, 160, pp. 21-36, 2017

[67] J. Sun, H. Zuo, W. Wang, M.G. Pecht: „Application of a state space modeling technique to system prognostics based on a health index for condition-based maintenance“, Mechanical Systems and Signal Processing, 28, pp. 585-596, 2012

63

SAŽETAK

Bayesova analiza i MCMC metoda koriste se tek posljednjih godina u procjeni parametara sustava, pogotovo nelinearnih. Unutar ovog okvira osim procjene parametara, koja je uvijek u obliku distribucije, moguć je izbor i redukcija modela

Navedena analiza ima široku primjenu, i nalazi se u gotovo svim granama znanosti, a u ovom radu prikazana je u kontekstu strojarstva, točnije procjene parametara sustava i procjene preostalog životnog vijeka. Jedno i drugo ključni su koraci u postupku održavanja po stanju, a u radu su sistematično i pregledno prikazane najvažnije reference. Također prikazani su različiti stadiji identifikacije parametara od značaja. Rad je podijeljen u nekoliko cjelina, u uvodnoj cjelini prikazani su osnovni pojmovi i definicije te je dat širi kontekst same uloge održavanja po stanju. Zatim je definirana uloga sustava za nadziranje. U sljedeće dvije cjeline dat je kratak osvrt na osnovne teoretske principe vezane za Bayesovu analizu i MCMC metodu, a potom je dan pregled značajnijih radova vezanih za procjenu parametara sustava. Uglavnom svi navedeni autori metodu koriste u kontekstu identifikacije parametara nelinearnih sustava, uz smanjivanje dimenzionalnosti. Najčešće se mogu pronaći simulirani podaci (sintetički), dok je vrlo malo radova zasnovano na podacima dobivenim ispitivanjem i eksperimentom.

U zadnjoj cjelini prezentirani su radovi vezani za procjenu vijeka trajanja. Tu se uglavnom koristi Bayesova analiza kao jedan o načina stohastičkog filtriranja. U radu je prikazano kako se ova analiza može primijeniti u kontekstu troškova i rizika.

64

POPIS OZNAKA I KRATICA � Vjerojatnost prihvaćanja 1 | x θ Posterior distribucija

0 θ Prior distribucija θ Vektor nepoznatih parametara BF Bayes faktor BIC Bayesian information criterion

CBM Održavanje po stanju (eng. Condition-Based Maintenance)

DIC Deviance Information Criterion FFT Brza Fourierova transformacija (eng. Fast Fourier Transformation) MC Monte Carlo integracija MCMC Markov Chane Monte Carlo MTTF Srednje vrijeme rada do kvara (eng Mean Time To Failure)

RCM Pouzdanosti usmjereno održavanje (eng. Reliability centered Maintenance)

RDT Random dekrement tehnika (eng. random decrement technique)

RJMCMC Reversible Jump Markov Chane Monte Carlo

RMSE Greške korijena srednjeg kvadrata (eng. Root Mean Square Error)

RUL Preostali životni vijek (eng. Remaining Useful Life).

SHM Nadzor stanja sustava (eng. Structural Health Monitoring)

TSA Vremensko sinkrono usrednjavanje (eng. Time-domain synchronous averaging),

( | )f x θ Funkcija vjerodostojnosti (eng. likelihood function)

( )p x Ciljana distribucija (eng target distribution)

1( | )t tq x x Predložena distribucija (eng. proposal distribution)

*x Predložna vrijednost 0x Početna vrijednost