Primera Actividad-Primer Periodo (2015-II) (1)

Primera actividad –primer periodo 2015-2

Docente: Jorge Moreno Donoso

1. Con base en la lectura del contenido en la plataforma e investigación en la Bibliografía y otras fuentes:

a. Haga un breve recuento de la historia de la investigación de operaciones

La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa es una disciplina donde las primeras actividades formales se dieron en Inglaterra en la Segunda Guerra Mundial, cuando se encarga a un grupo de científicos ingleses el diseño de herramientas cuantitativas para el apoyo a la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Se presume que el nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo de científicos estaba llevando a cabo la actividad de Investigar Operaciones (militares). Una vez terminada la guerra las ideas utilizadas con fines bélicos fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad del sector civil. Una de las áreas principales de la Investigación de Operaciones es la Optimizac ión o Programación Matemática. La Optimización se relaciona con problemas de minimizar o maximizar una función (objetivo) de una o varias variables, cuyos valores usualmente están restringidos por ecuaciones y/o desigualdades. Hoy en día el uso de modelos de optimización es cada vez más frecuente en la toma de decisiones. Este mayor uso se explica, principalmente, por un mejor conocimiento de estas metodología en las diferentes disciplinas, la creciente complejidad de los problemas que se desea resolver, la mayor disponibilidad de software y el desarrollo de nuevos y mejores algoritmos de solución. Un modelo de Investigación de Operaciones requiere necesariamente de una abstracción de la realidad, además de identificar los factores dominantes que determinan el comportamiento del sistema en estudio. En este sentido, un modelo es una representación idealizada de una situación real o un objeto concreto.

b. Quien desarrollo el algebra de matrices y un breve recuento de su desarrollo

Cayley, Arthur (1821-1895), matemático británico, cuya aportación más importante a

las matemáticas es la teoría de los invariantes algebraicos. Nació en Richmond (Surrey) y

estudió en el King's College y en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de su carrera, mientras se dedicaba al estudio y a la práctica del derecho, realizó alguno de sus descubrimientos matemáticos más brillantes. En 1857 desarrolló el álgebra de matrices. Es considerado como el tercer escritor más prolífico de matemáticas, siendo sólo superado por Euler y Cauchy. Hizo importantes contribuciones en la Teoría de curvas y superficies, en la geometría analítica, en la teoría de los determinantes y el desarrollo de la teoría de los invariantes. En 1863 fue profesor de matemáticas puras en Cambridge. Sus trabajos en geometría cuatridimensional, proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teoría de la relatividad.

c. Que es la investigación de operaciones

La investigación de operaciones o investigación operativa o investigación operacional (conocida también como teoría de la toma de decisiones o programación matemática) (I.O.) es una rama de las matemáticas que consiste en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos. a investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, maquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial cosiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.

d. Cual es el impacto de la investigación de operaciones

La Investigación de Operaciones ha tenido un impacto impresionante en le mejoramiento de las organizaciones alrededor del mundo, ya que ha hecho aportaciones significativas al incremento en la productividad en la economía de muchos países.

Actualmente son 30 los miembros de la IFORSC (International Federation of Operational Research Societies), y cada país a su vez, cuenta con su propia sociedad de Investigación de Operaciones. Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.

e. Cuál es el riesgo de la aplicación de la investigación de operaciones Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

f. Cuáles son las limitaciones de la investigación de operaciones 1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución. 2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales. 4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo. 5. No interpretar muy bien los datos requeridos relacionados con el area de las matemáticas y sus afines. Es decir encontrarse con la realidad de que no existe teoría preexistente y se presente un complejo camino matemático para lograr las formas deseadas que solucionen la cuestión determinada. 6. La falta de áreas interdisciplinares, nos referimos a una investigación que busque en disciplinas diferentes aspectos necesarios requeridos en un tema enmarcado en otra área del conocimiento.

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 4x – 5 = 7y – 9

4x – 7y= – 4

a. 5x = 3y +6

5x-3y=6 Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el

método de eliminación de Gauss-Jordan

4 -7 -4

5 -3 6

Dividamos 1-ésimo por 4

1 -1.75 -1

5 -3 6

de 2 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 5

1 -1.75 -1

0 5.75 11

Dividamos 2-ésimo por 5.75

1 -1.75 -1

0 1 44/23

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -1.75

1 0 54/23

0 1 44/23

Resultado:

x1 = 54/23

x2 = 44/23

b) x – 1 = 2.(y + 6)

X-2y = 13

a. x + 6 = 3.(1 – 2y)

x + 6y= -3

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

1 -2 13

1 6 -3


1 -2 13

0 8 -16


1 -2 13

0 1 -2

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -2

1 0 9

0 1 -2

Resultado:

x1 = 9

x2 = -2

c) 3x –(9x + 2y) = 4y – (2x +9y)

-4x -11y=0

4x – (3y + 7) = 5y – 47 4x -8y= -40


-4 -11 0

4 -8 -40

Dividamos 1-ésimo por -4

1 2.75 0

4 -8 -40


1 2.75 0

0 -19 -40


1 2.75 0

0 1 40/19

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 2.75

1 0 -110/19

0 1 40/19

Resultado:

x1 = -110/19

x2 = 40/19

d) 2(x + 5) = 4(y – 4x) 2x + 10= 4y – 16x 18x – 4y = -10

10(y – x) = 11y – 12x

10y – 10x = 11y – 12x 2x –y = 0


18 -4 -10

2 -1 0


1 -2/9 -5/9

2 -1 0


1 -2/9 -5/9

0 -5/9 10/9

Dividamos 2-ésimo por -5/9

1 -2/9 -5/9

0 1 -2

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -2/9

1 0 -1

0 1 -2

Resultado:

x1 = -1

x2 = -2

e)

72

1

112

3

yx

yx


1.5 1 11

1 0.5 7

Dividamos 1-ésimo por 1.5

1 2/3 22/3

1 0.5 7


1 2/3 22/3

0 -1/6 -1/3


1 2/3 22/3

0 1 2

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 2/3

1 0 6

0 1 2

Resultado:

x1 = 6

x2 = 2

3 Disponiendo de las siguientes matrices

A= 4 2 -1 B= 4 3

-5 10 -2 3 1

-5 8

C= 6 3 1 D= 2 3

3 -4 5 -1 -2

1 -1 -2

E= 1 0 -3 Y F= 2 -3

-2 0 0 4 1

3 4 2

a. De ser posible calcule:

27 6 a. AB

20 -21

1 38 -10

b. BA 7 16 -5 -60 70 -11

b. Determinar:

a. AB+FD

27 6 7 12 231 384

AB= + FD= = 20 -21 7 10 -7 30

a. A(BD)

5 6 12 69

A= 4 2 -1 * BD = 5 7 =

-5 10 -2 18 -31 -11 102

c. Desarrollar

a. A2 * B == NO es posible realizar A2

b. C – E*(E – C)

5 3 4 -5 -3 -4 -32 17 -19 C – E = 5 -4 5 * E – C = -5 4 -5 = 5 -6 20 -2 -5 -4 2 5 4 27 -34 17

c. D2 * A

1 0 4 2 -1 -6 22 -5

D2 = * A = = 0 1 -5 10 -2 -8 46 -11

4 Problemas a resolver utilizando matrices

a) 1.- Un recipiente A contiene 9 litros de vino y 3 de agua; otro recipiente B contiene 12 litros de vino y 18 de agua. ¿Cuántos litros deben sacarse de cada recipiente, para obtener una mezcla de 7 litros de vino y 7 litros de agua?

Recipiente A: 9v + 3a=12 Litros (/3) v=75% a=25%

Resulta: 3v + 1a= 4 Litros Recipiente B: 12v + 18a = 30 Litros (/3) v=60% a=40%

Resulta: 4v + 6a = 10 Litros

Entonces si necesito 7 litros de agua y 7 litros de vino tengo que sacar: 4 litros de A contienen (3v + 1a)

10 litros de B contienen (4v + 6a)

b) 2.- En un experimento sobre la nutrición, un biólogo desea preparar una dieta especial para los animales de experimentación. Necesita una mezcla de

alimentos que, entre otras cosas, contenga 20 onzas de proteína y 6 de grasa. Está en condiciones de comprar mezclas de alimentos con la siguiente composición

20a+10b=20 2a+6b=6 la multiplico por -10

20a+2b=20 -20a-60b=-60

0 - 58b=-40 b=40/58

b=0.69 aproximadamente

2a+6(0.69)=6 2a=6-4.14 a=1.86/2

a=0.93 aproximada mente

5 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de gauss y Jordán

a) 2x + y – z = 5

x – 2y – 2z = 4

3x + 4y + 3z = 3

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el

método de eliminación de Gauss-Jordan

2 1 -1 5

1 -2 -2 4

3 4 3 3

Se divide el 1-ésimo por 2

1 0.5 -0.5 2.5

1 -2 -2 4

3 4 3 3

Mezcla Proteína

(%)

Grasa

(%)

A 20 2

B 10 6

De 2; 3 filas se sustrae la 1 línea, multiplicada respectivamente por 1; 3

1 0.5 -0.5 2.5

0 -2.5 -1.5 1.5

0 2.5 4.5 -4.5

Se divide 2-ésimo por -2.5

1 0.5 -0.5 2.5

0 1 0.6 -0.6

0 2.5 4.5 -4.5

De 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 0.5; 2.5

1 0 -0.8 2.8

0 1 0.6 -0.6

0 0 3 -3


1 0 -0.8 2.8

0 1 0.6 -0.6

0 0 1 -1

De 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por -0.8; 0.6

1 0 0 2

0 1 0 0

0 0 1 -1

Resultado:

x = 2

y = 0

z = -1

b) 3x – 2y + 4z = 6 2x + 3y – 5z = - 8 5x – 4y + 3z = 7


3 -2 4 6

2 3 -5 -8

5 -4 3 7


1 -2/3 4/3 2

2 3 -5 -8

5 -4 3 7

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 2; 5

1 -2/3 4/3 2

0 13/3 -23/3 -12

0 -2/3 -11/3 -3

Dividamos 2-ésimo por 13/3

1 -2/3 4/3 2

0 1 -23/13 -36/13

0 -2/3 -11/3 -3

De 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -2/3; -2/3

1 0 2/13 2/13

0 1 -23/13 -36/13

0 0 -63/13 -63/13


1 0 2/13 2/13

0 1 -23/13 -36/13

0 0 1 1

De 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 2/13; -23/13

1 0 0 0

0 1 0 -1

0 0 1 1

Resultado:

x = 0

y = -1

z= 1

c)

X1 + 7 X2 - 3 X3 = -20 3 X1 - X2 - 2 X3 = 72

2X1 - X2 - 10 X3 = 8


1 7 -3 -20

3 -1 -2 72

2 -1 -10 8

De 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 3; 2

1 7 -3 -20

0 -22 7 132

0 -15 -4 48


1 7 -3 -20

0 1 -7/22 -6

0 -15 -4 48

De 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 7; -15

1 0 -17/22 22

0 1 -7/22 -6

0 0 -193/22 -42


1 0 -17/22 22

0 1 -7/22 -6

0 0 1 924/193

De 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por -17/22; -7/22

1 0 0 4960/193

0 1 0 -864/193

0 0 1 924/193

Resultado:

x1 = 4960/193

x2 = -864/193

x3 = 924/193

6 Hallar la inversa de las matrices A y B utilizando Eliminación de Gauss

Jordán

A= 1 3 1

3 -4 5

1 -1 -2

1 3 1 | 1 0 0 13 5 19

A= 3 -4 5 | 0 1 0 = 11 -3 -2 |A|=47

1 -1 -2 | 0 0 1 1 4 -13

0.28 0.11 0.40

A-1 0.23 -0.06 0.00

0.00 0.09 -0.28

B= 1 -6 0

2 -2 -1

1 -3 -5

1 -6 0 | 1 0 0 7 -30 6

B= 2 -2 -1 | 0 1 0 = 9 -5 1 |B|= - 47

1 -3 -5 | 0 0 1 -4 -3 10

-0.15 0.64 -0.13

B-1 -0.19 0.11 0.00

0.09 0.06 -0.21

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