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Primera Actividad-Primer Periodo (2015-II) (1)

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investigacion de operaciones, actividad 1, universidad

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  • Primera actividad primer periodo 2015-2

    Docente: Jorge Moreno Donoso

    1. Con base en la lectura del contenido en la plataforma e investigacin en la Bibliografa y otras fuentes:

    a. Haga un breve recuento de la historia de la investigacin de operaciones

    La Investigacin de Operaciones o Investigacin Operativa es una disciplina donde las primeras actividades formales se dieron en Inglaterra en la Segunda Guerra Mundial, cuando se encarga a un grupo de cientficos ingleses el diseo de herramientas cuantitativas para el apoyo a la toma de decisiones acerca de la mejor utilizacin de materiales blicos. Se presume que el nombre de Investigacin de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo de cientficos estaba llevando a cabo la actividad de Investigar Operaciones (militares). Una vez terminada la guerra las ideas utilizadas con fines blicos fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad del sector civil. Una de las reas principales de la Investigacin de Operaciones es la Optimizac in o Programacin Matemtica. La Optimizacin se relaciona con problemas de minimizar o maximizar una funcin (objetivo) de una o varias variables, cuyos valores usualmente estn restringidos por ecuaciones y/o desigualdades. Hoy en da el uso de modelos de optimizacin es cada vez ms frecuente en la toma de decisiones. Este mayor uso se explica, principalmente, por un mejor conocimiento de estas metodologa en las diferentes disciplinas, la creciente complejidad de los problemas que se desea resolver, la mayor disponibilidad de software y el desarrollo de nuevos y mejores algoritmos de solucin. Un modelo de Investigacin de Operaciones requiere necesariamente de una abstraccin de la realidad, adems de identificar los factores dominantes que determinan el comportamiento del sistema en estudio. En este sentido, un modelo es una representacin idealizada de una situacin real o un objeto concreto.

    b. Quien desarrollo el algebra de matrices y un breve recuento de su desarrollo

    Cayley, Arthur (1821-1895), matemtico britnico, cuya aportacin ms importante a las matemticas es la teora de los invariantes algebraicos. Naci en Richmond (Surrey) y

  • estudi en el King's College y en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de su carrera, mientras se dedicaba al estudio y a la prctica del derecho, realiz alguno de sus descubrimientos matemticos ms brillantes. En 1857 desarroll el lgebra de matrices. Es considerado como el tercer escritor ms prolfico de matemticas, siendo slo superado por Euler y Cauchy. Hizo importantes contribuciones en la Teora de curvas y superficies, en la geometra analtica, en la teora de los determinantes y el desarrollo de la teora de los invariantes. En 1863 fue profesor de matemticas puras en Cambridge. Sus trabajos en geometra cuatridimensional, proporcionaron a los fsicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teora de la relatividad.

    c. Que es la investigacin de operaciones

    La investigacin de operaciones o investigacin operativa o investigacin operacional (conocida tambin como teora de la toma de decisiones o programacin matemtica) (I.O.) es una rama de las matemticas que consiste en el uso de modelos matemticos, estadstica y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigacin de operaciones permite el anlisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cmo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximizacin de los beneficios o la minimizacin de costos. a investigacin de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la direccin y en la administracin de grandes sistemas de hombres, maquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial cosiste en desarrollar un modelo cientfico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propsito es el ayudar a la gerencia a determinar cientficamente sus polticas y acciones.

    d. Cual es el impacto de la investigacin de operaciones

    La Investigacin de Operaciones ha tenido un impacto impresionante en le mejoramiento de las organizaciones alrededor del mundo, ya que ha hecho aportaciones significativas al incremento en la productividad en la economa de muchos pases.

    Actualmente son 30 los miembros de la IFORSC (International Federation of Operational Research Societies), y cada pas a su vez, cuenta con su propia sociedad de Investigacin de Operaciones. Sin duda, el impacto de la investigacin de operaciones continuar aumentando. Por ejemplo, al inicio de la dcada de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sera el rea profesional clasificada como la tercera de ms rpido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronostic tambin que, para el ao 2005, habra 100 000 personas trabajando como analistas de investigacin de operaciones.

  • e. Cul es el riesgo de la aplicacin de la investigacin de operaciones Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolucin de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes tcnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los mtodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los mtodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un mtodo especfico. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodologa para resolver los problemas, as como los fundamentos de las tcnicas de solucin para de esta forma saber cundo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

    f. Cules son las limitaciones de la investigacin de operaciones 1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solucin. 2. La mayora de los modelos slo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos mltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema prctico, debido a que los mtodos de enseanza y entrenamiento dan la aplicacin de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeos para razones de ndole prctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinin muy simplista e ingenua sobre la aplicacin de estas tcnicas a problemas reales. 4. Casi nunca se realizan anlisis costo-beneficio de la implantacin de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantacin de un modelo. 5. No interpretar muy bien los datos requeridos relacionados con el area de las matemticas y sus afines. Es decir encontrarse con la realidad de que no existe teora preexistente y se presente un complejo camino matemtico para lograr las formas deseadas que solucionen la cuestin determinada. 6. La falta de reas interdisciplinares, nos referimos a una investigacin que busque en disciplinas diferentes aspectos necesarios requeridos en un tema enmarcado en otra rea del conocimiento.

  • 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a) 4x 5 = 7y 9

    4x 7y= 4

    a. 5x = 3y +6

    5x-3y=6 Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el

    mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    4 -7 -4

    5 -3 6

    Dividamos 1-simo por 4

    1 -1.75 -1

    5 -3 6

    de 2 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 5

    1 -1.75 -1

    0 5.75 11

    Dividamos 2-simo por 5.75

    1 -1.75 -1

    0 1 44/23

    de 1 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por -1.75

    1 0 54/23

    0 1 44/23

    Resultado:

    x1 = 54/23

    x2 = 44/23

  • b) x 1 = 2.(y + 6)

    X-2y = 13

    a. x + 6 = 3.(1 2y) x + 6y= -3

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    1 -2 13

    1 6 -3

    de 2 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 1

    1 -2 13

    0 8 -16

    Dividamos 2-simo por 8

    1 -2 13

    0 1 -2

    de 1 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por -2

    1 0 9

    0 1 -2

    Resultado:

    x1 = 9

    x2 = -2

    c) 3x (9x + 2y) = 4y (2x +9y) -4x -11y=0

    4x (3y + 7) = 5y 47 4x -8y= -40

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

  • -4 -11 0

    4 -8 -40

    Dividamos 1-simo por -4

    1 2.75 0

    4 -8 -40

    de 2 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 4

    1 2.75 0

    0 -19 -40

    Dividamos 2-simo por -19

    1 2.75 0

    0 1 40/19

    de 1 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por 2.75

    1 0 -110/19

    0 1 40/19

    Resultado:

    x1 = -110/19

    x2 = 40/19

    d) 2(x + 5) = 4(y 4x) 2x + 10= 4y 16x 18x 4y = -10 10(y x) = 11y 12x 10y 10x = 11y 12x 2x y = 0

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    18 -4 -10

    2 -1 0

    Dividamos 1-simo por 18

    1 -2/9 -5/9

    2 -1 0

    de 2 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 2

    1 -2/9 -5/9

    0 -5/9 10/9

  • Dividamos 2-simo por -5/9

    1 -2/9 -5/9

    0 1 -2

    de 1 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por -2/9

    1 0 -1

    0 1 -2

    Resultado:

    x1 = -1

    x2 = -2

    e)

    72

    1

    112

    3

    yx

    yx

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    1.5 1 11

    1 0.5 7

    Dividamos 1-simo por 1.5

    1 2/3 22/3

    1 0.5 7

    de 2 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 1

    1 2/3 22/3

    0 -1/6 -1/3

    Dividamos 2-simo por -1/6

    1 2/3 22/3

    0 1 2

    de 1 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por 2/3

    1 0 6

    0 1 2

    Resultado:

    x1 = 6

    x2 = 2

  • 3 Disponiendo de las siguientes matrices

    A= 4 2 -1 B= 4 3

    -5 10 -2 3 1

    -5 8

    C= 6 3 1 D= 2 3

    3 -4 5 -1 -2

    1 -1 -2

    E= 1 0 -3 Y F= 2 -3

    -2 0 0 4 1

    3 4 2

    a. De ser posible calcule:

    27 6 a. AB

    20 -21

    1 38 -10

    b. BA 7 16 -5 -60 70 -11

    b. Determinar:

    a. AB+FD

    27 6 7 12 231 384

    AB= + FD= = 20 -21 7 10 -7 30

    a. A(BD)

    5 6 12 69

    A= 4 2 -1 * BD = 5 7 = -5 10 -2 18 -31 -11 102

  • c. Desarrollar

    a. A2 * B == NO es posible realizar A2

    b. C E*(E C)

    5 3 4 -5 -3 -4 -32 17 -19 C E = 5 -4 5 * E C = -5 4 -5 = 5 -6 20 -2 -5 -4 2 5 4 27 -34 17

    c. D2 * A

    1 0 4 2 -1 -6 22 -5

    D2 = * A = = 0 1 -5 10 -2 -8 46 -11

    4 Problemas a resolver utilizando matrices

    a) 1.- Un recipiente A contiene 9 litros de vino y 3 de agua; otro recipiente B contiene 12 litros de vino y 18 de agua. Cuntos litros deben sacarse de cada recipiente, para obtener una mezcla de 7 litros de vino y 7 litros de agua?

    Recipiente A: 9v + 3a=12 Litros (/3) v=75% a=25%

    Resulta: 3v + 1a= 4 Litros Recipiente B: 12v + 18a = 30 Litros (/3) v=60% a=40%

    Resulta: 4v + 6a = 10 Litros

    Entonces si necesito 7 litros de agua y 7 litros de vino tengo que sacar: 4 litros de A contienen (3v + 1a)

    10 litros de B contienen (4v + 6a)

  • b) 2.- En un experimento sobre la nutricin, un bilogo desea preparar una dieta especial para los animales de experimentacin. Necesita una mezcla de

    alimentos que, entre otras cosas, contenga 20 onzas de protena y 6 de grasa. Est en condiciones de comprar mezclas de alimentos con la siguiente composicin

    20a+10b=20 2a+6b=6 la multiplico por -10

    20a+2b=20 -20a-60b=-60

    0 - 58b=-40 b=40/58

    b=0.69 aproximadamente

    2a+6(0.69)=6 2a=6-4.14 a=1.86/2

    a=0.93 aproximada mente

    5 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de eliminacin de gauss y Jordn

    a) 2x + y z = 5

    x 2y 2z = 4

    3x + 4y + 3z = 3

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el

    mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    2 1 -1 5

    1 -2 -2 4

    3 4 3 3

    Se divide el 1-simo por 2

    1 0.5 -0.5 2.5

    1 -2 -2 4

    3 4 3 3

    Mezcla Protena

    (%)

    Grasa

    (%)

    A 20 2

    B 10 6

  • De 2; 3 filas se sustrae la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 1; 3

    1 0.5 -0.5 2.5

    0 -2.5 -1.5 1.5

    0 2.5 4.5 -4.5

    Se divide 2-simo por -2.5

    1 0.5 -0.5 2.5

    0 1 0.6 -0.6

    0 2.5 4.5 -4.5

    De 1; 3 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por 0.5; 2.5

    1 0 -0.8 2.8

    0 1 0.6 -0.6

    0 0 3 -3

    Dividamos 3-simo por 3

    1 0 -0.8 2.8

    0 1 0.6 -0.6

    0 0 1 -1

    De 1; 2 filas sustraigamos la 3 lnea, multiplicada respectivamente por -0.8; 0.6

    1 0 0 2

    0 1 0 0

    0 0 1 -1

    Resultado:

    x = 2

    y = 0

    z = -1

  • b) 3x 2y + 4z = 6 2x + 3y 5z = - 8 5x 4y + 3z = 7

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    3 -2 4 6

    2 3 -5 -8

    5 -4 3 7

    Dividamos 1-simo por 3

    1 -2/3 4/3 2

    2 3 -5 -8

    5 -4 3 7

    de 2; 3 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 2; 5

    1 -2/3 4/3 2

    0 13/3 -23/3 -12

    0 -2/3 -11/3 -3

    Dividamos 2-simo por 13/3

    1 -2/3 4/3 2

    0 1 -23/13 -36/13

    0 -2/3 -11/3 -3

    De 1; 3 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por -2/3; -2/3

    1 0 2/13 2/13

    0 1 -23/13 -36/13

    0 0 -63/13 -63/13

    Dividamos 3-simo por -63/13

    1 0 2/13 2/13

    0 1 -23/13 -36/13

    0 0 1 1

    De 1; 2 filas sustraigamos la 3 lnea, multiplicada respectivamente por 2/13; -23/13

    1 0 0 0

    0 1 0 -1

    0 0 1 1

    Resultado:

    x = 0

    y = -1

    z= 1

  • c)

    X1 + 7 X2 - 3 X3 = -20 3 X1 - X2 - 2 X3 = 72

    2X1 - X2 - 10 X3 = 8

    Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan

    1 7 -3 -20

    3 -1 -2 72

    2 -1 -10 8

    De 2; 3 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 3; 2

    1 7 -3 -20

    0 -22 7 132

    0 -15 -4 48

    Dividamos 2-simo por -22

    1 7 -3 -20

    0 1 -7/22 -6

    0 -15 -4 48

    De 1; 3 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por 7; -15

    1 0 -17/22 22

    0 1 -7/22 -6

    0 0 -193/22 -42

    Dividamos 3-simo por -193/22

    1 0 -17/22 22

    0 1 -7/22 -6

    0 0 1 924/193

    De 1; 2 filas sustraigamos la 3 lnea, multiplicada respectivamente por -17/22; -7/22

    1 0 0 4960/193

    0 1 0 -864/193

    0 0 1 924/193

    Resultado:

    x1 = 4960/193

    x2 = -864/193

    x3 = 924/193

  • 6 Hallar la inversa de las matrices A y B utilizando Eliminacin de Gauss

    Jordn

    A= 1 3 1

    3 -4 5

    1 -1 -2

    1 3 1 | 1 0 0 13 5 19

    A= 3 -4 5 | 0 1 0 = 11 -3 -2 |A|=47

    1 -1 -2 | 0 0 1 1 4 -13

    0.28 0.11 0.40

    A-1 0.23 -0.06 0.00

    0.00 0.09 -0.28

    B= 1 -6 0

    2 -2 -1

    1 -3 -5

    1 -6 0 | 1 0 0 7 -30 6

    B= 2 -2 -1 | 0 1 0 = 9 -5 1 |B|= - 47

    1 -3 -5 | 0 0 1 -4 -3 10

    -0.15 0.64 -0.13

    B-1 -0.19 0.11 0.00

    0.09 0.06 -0.21