Priestor a transformacie - hornad.fei.tuke.sk · Vychádza z predstavy, že najvýznamnejšou časťou telesa sú jeho hraničné elementy ako napr. hrany alebo povrch, ktorý tvorí

PRIESTOR a TRANSFORMÁCIE

doc. Ing. Branislav Sobota, PhD.

Katedra počítačov a informatiky

FEI TU Košice

© 2016

Systémy Virtuálnej Reality

KPI FEI TU Košice SVR - Priestor a transformácie 2

Priestor


Priestor a sústavy

„Dajte mi pevný

bod a ja pohnem

zemeguľou.“

Archimedes

287-212 pred Kr.

Syrakúzy


Rozmer (dimenzia) priestoru

• Číselný

• Nečíselný

• topologická

• Hausdorffová

• fraktálna

• dimenzia sebepodobnosti

• kapacitná dimenzia

• Informačná

• dimenzia rotácií

• ...


Rozmer (dimenzia) priestoru

• Celočíselný (topologický) rozmer (0,1,2,3,4 ....), celočíselná metrika

• Neceločíselný rozmer (2.6 a pod.)


Hausdorfova dimenzia

Táto dimenzia sa vytvára pomocou kružníc

opísaných nad príslušným objektom, pričom

rozmer predstavuje počet priesečníkov. Ich

počet sa najčastejšie vyjadruje pomocou

logaritmov.

Hausdorffova dimenzia je zovšeobecnením

pojmu topologická dimenzia. V prípade, že sa

jedná o jednoduché geometrické objekty, tak

dimenzia topologická sa rovná dimenzii

Hausdorffovej



AyyxdXxA ,,

Nech X je kompletný metrický priestor s metrikou d. Pre všetky

podmnožiny A množiny X a ε >0, definujeme ε-okolie A takto:

Pre ľubovoľnú podmnožinu A a B je Hausdorffová dimenzia definovaná takto:

znázornenie ε-okolia množiny A

ABBABAh inf,



Inak je možné Hausdorffovu dimenziu definovať aj takto: Nech K je dĺžka

celkového počtu N(ε) úsečiek dĺžky ε, ktoré sú potrebné k aproximácii

(pokrytí) krivky. Pre dĺžku K platí vzťah:

K = N(ε) ε D ; kde D je Hausdorffova dimenzia

Ak budeme dĺžku úsečky ε neustále skracovať, potom platí:

K = lim N(ε) εD = lim εD / ε

Pre D > 1 je dĺžka K nekonečná, ak je D < 1 potom K = 0

Takto je Hausdorffova dimenzia neceločíselná a vyjadruje mieru členitosti.



Krivky ktoré majú všade deriváciu sú hladké a ich

topologická dimenzia sa rovná Hausdorffovej

Existujú objekty, pre ktoré je K = 1 ale D je neceločíselné,

prípadne celočíselné ale vyššie. Tieto objekty nemôžeme merať v ich topologickej dimenzii. Dĺžka takýchto

objektov, ktoré majú topologickú dimenziu 1 je nekonečná, pričom ich plocha je

nulová. Napr. pre tieto krivky, ktoré zaplňujú celú plochu, je ich topologická

dimenzia rovná jednej a Hausdorffova dvom. Je dokázané, že miera členitosti

objektov závisí od presnosti merania.

Okolo nás sa nachádzajú objekty, ktoré sú pre nás bežné ale ich

Hausdorffova dimenzia je rôzna od dimenzie topologickej, napr.

mozog má Hausdorffovú dimenziu rovnú 2,76; povrch pľúc 2,17;

pobrežie zemepisných útvarov 1,26


Rozmer objektov (topologicky)

• 0-rozmerný objekt (bod)

• 1-rozmerný objekt (priamka, úsečka)

• 2-rozmerný objekt (plocha)

• 3-rozmerný objekt (teleso)

Všetky geometrické objekty, sa dajú spojitou transformáciou previesť na vyššie

uvedené objekty ak majú rovnakú topologickú dimenziu

Všetky geometrické objekty, môžu reprezentovať vyššie uvedené objekty, ak

majú rovnakú alebo nižšiu topologickú dimenziu


Popis a reprezentácia objektov

Pri spracovaní objektov sú zaujímavé dve hľadiská :

• popis objektu

• reprezentácia objektu

Pre modelovanie telies sú používané tri základné spôsoby popisu:

• hraničná reprezentácia a jej štruktúrovaná

derivácia B-rep

• konštruktívna geometria telies (CSG)

• vypočítavanie obsadených častí priestoru



• systémy založené na množine bodov – mračná bodov (Points clouds)

• systémy založené na drôtovom modely (Wire Frame Model)

• systémy založené na povrchovom modely modely (Surface Model)

• systémy založené na objemovom modely (Solid Model)

0

1

2

3



0 1

2 3


Hraničná reprezentácia

Vychádza z predstavy, že najvýznamnejšou časťou telesa sú

jeho hraničné elementy ako napr. hrany alebo povrch, ktorý

tvorí hranicu medzi hmotou telesa a okolitým priestorom.

Hraničné plochy môžeme deliť na časti rovín, analytické

plochy a na špeciálne parametrické plochy.

Najjednoduchšia metóda popisu hranice telies spočíva v stanovení hrán a

vrcholov na povrchu telesa (drôtový model).

Môže byť nejednoznačná


Hraničná reprezentácia

základné elementy

kombinované elementy

0 1 2

01 12

02

Formát:

podľa implementačnej potreby,

najčastejšie binárny alebo

textový


B-Rep metóda

B-REP (Boundary Representation) definuje objekt svojím

povrchom. Povrch je zložený zo stien, ktoré sa môžu

vzájomne dotýkať iba na spoločných hranách, pričom každá

hrana je orientovaná (dá sa jednoznačne určiť, či sa jedná o

vnútornú, alebo vonkajšiu hranu).

Objekt je reprezentovaný dynamickou údajovou štruktúrou

nazývanou Winged Edge Structure, zloženou zo štyroch

druhov uzlov:

• vrchol,

• hrana,

• stena ,

• teleso.


Rozšírená hranová (winged-edge) štruktúra

B-Rep metóda


Je definovaná abstraktnou údajovou štruktúrou: strom

• Listy stromu definujú jednotlivé atomárne elementy, z

ktorých sa následne objekt skladá

• Uzly stromu definujú operácie medzi atomárnymi

elementami/objektami a/alebo prípadne vzniknutými

subobjektami na danej úrovni stromu (zjednotenie, rozdiel,

prienik)

• Hrany stromu definujú transformácie atomárnych elementov

a/alebo subobjektov vstupujúcich do rodičovského uzla

• v Koreni stromu je už definovaný celý objekt

Konštruktívna geometria telies CSG - Construktive Solid Geometry


+

_

+

_

T T

T

T

T

5

4

3

2 1 +

_

+

_

T T

T

T

T 5

4

3

2 1

v ýsledný

tvar

A B

CSG reprezentácia


A

B

CSG reprezentácia


CSG reprezentácia

-

+

+

_

T T

T

T

T

5

4

3

2 1

B +

_

+

_

T T

T

T

T

5

4

3

2 1

A


Reprezentácia virtuálneho sveta


Virtualizačný

reťazec

Virtualizačný reťazec a slučka interakcie

Slučka interakcie

VR systému


Hierarchia programovej implementácie VR systému


elementy virtuálneho sveta

objekt k vstup n

Virtuálny svet

Zoznam máp a terénov

Zoznam objektov senzorov

Zoznam statických objektov (napr. budovy)

Negrafické dáta (text, zvuk, video, atď.)

mapa, terén 1

mapa, terén 2

mapa, terén i

...

senzor 1

senzor 2

senzor j

...

objekt 1 vstup 1

objekt 2 vstup 2

... ...

vzťah 1

vzťah n

Reprezentácia virtuálneho sveta - elementy


Reprezentácia virtuálneho sveta - vlastnosti

objekt k vstup n

Virtuálny svet

Zoznam máp a terénov

Zoznam objektov senzorov

Zoznam statických objektov (napr. budovy)

Negrafické dáta (text, zvuk, video, atď.)

mapa, terén 1

mapa, terén 2

mapa, terén i

...

senzor 1

senzor 2

senzor j

...

objekt 1 vstup 1

objekt 2 vstup 2

... ...

vzťah 1

vzťah n


Reprezentácia virtuálneho sveta - vzťahy


Popisné prostriedky

• deskriptívne prostriedky pre popis

virtuálneho priestoru, objektov, scén (VRML (Virtual Reality Modeling Language), OpenInventor, XML)

• skriptovacie prostriedky pre popis

transformácií virtuálnych priestorov,

objektov, scén (RUBY, Python, LUA, XML)

http://www.w3.org/MarkUp/VRML/ ,

http://www.ruby-lang.org/en/ , http://www.python.org/ , http://www.lua.org/


Súradnicové sústavy - typy

• Karteziánska súradnicová sústava

• Polárna (3D - sférická) súradnicová sústava

B[vB, B]

počiatok súradnicovej sústavy

x

y

B

xB

yB BvB

B

polárne súradnice bodu B:pravouhlé karteziánske súradnice bodu B:

B[xB, yB]



• Disfenoid

semi-os x symetrická o uhol α

semi-os y symetrická o uhol α

v "α - rovine" (t,u)

semi-os z symetrická o uhol α

v "α - rovine" (u,v)

semi-os ξ symetrická o uhol α

v "α - rovine" (t,v)

semi-os η symetrická o uhol α

v "α - rovine" (s,v)

semi-os ζ symetrická o uhol α

v "α - rovine" (s,t).

α



• Disfenoid

(s,t,u,v) a (x,y,z, ξ, η, ζ)


Dualita priestorov a ich sústav

Z hľadiska použitého typu sústavy je

možné príslušnú transformáciu z hľadiska jej

vonkajšieho prejavu v rôznych sústavách

vnímať rozdielne.

Rôzne manipulácie toho istého objektu je možné

jednoduchšie popísať použitím inej sústavy a vyjadrením

transformácie medzi týmito sústavami

x

y

B

xB

yB B vB

B


Súradnicové sústavy

• USS - Univerzálna (Používateľská, Globálna)

Súradnicová Sústava

• SSO - Súradnicová Sústava Objektu

• NSS - Normalizovaná Súradnicová Sústava

• SSZ - Súradnicová Sústava Zariadenia

• SSC - Súradnicová Sústava kamery

• SST – Súradnicová Sústava Textúry


Súradnicové sústavy

y

z

x

USS

z

x

y

kamera

(oko)

SSZ

SSC

xo

yo

zo

objekt

SSO

priemetňa


Transformácie

T O O’

Lineárne

Nelineárne

• Lineárne

• Nelineárne


Zobrazovacie transformácie

• Globálna (geometrická) transformácia GT,

• Pohľadova transformácia PT,

• Zobrazovacia (premietacia) transformácia ZT


Transformačné zobrazovacie reťazce

USS NSS SSZSSO

ZT

GT

2D


Transformačné zobrazovacie reťazce

3D

USS NSS SSZSSO

PT

ZTSSC

GT

USS NSS SSZSSO

ZT

GT

2D

3D


Homogénne súradnice

Y

X

W

y x

O

1

P ’

P


Homogénne súradnice

0),(.

0),,(

WakYXsmer

WakW

Y

W

X

WYX

3D pre

2D pre

,,,,,

,,,

alebo ,,,,,

,,,

wzyxw

z

w

y

w

x

wyxw

y

w

x

wzyxzwywxw

wyxywxw


Geometrické transformácie

3D v

2D v

,,',','

,','

zyxzyx

yxyx

T

T


Geometrické transformácie

• zrkadlenie

• zmena mierky

• posunutie

• skosenie

• otočenie

Afinné transformácie


Aplikácia transformácií v zobrazovacom reťazci

a 2a

1x

2x

d

1x d 2

2x

1280px

96

0p

x

1x

640px

48

0p

x

2x

USS NSS SSZSSO

PT

ZTSSC

GT


Implementácia geometrických

transformácií

• implementácia pre vektorové objekty

• implementácia pre rastrové objekty


Rozmiestnenie parametrov transformačných

matíc

Otočenie

Posunutie

Priem

ety

Skosenie

Skosenie


Zrkadlenie


Posunutie

O

px

x

ByB

y’B

B’

USS

y

py

xB x’B

X’ = X + ΔX

Y’ = Y + ΔY

...


Zmena mierky - zväčšenie


Zmena mierky - zväčšenie 1. vypočíta sa predpokladaný nový rozmer (NR) rastra

2. určí sa celočíselná a desatinná časť koeficientu zmeny mierky

3. vykoná sa test, či desatinná časť koeficientu zmeny mierky je väčšia ako 0.5.

4. určí sa pomocný výpočtový nový priamy koeficient (PK). Tento nový koeficient je buď totožný s celočíselnou časťou koeficientu zmenu mierky (ak desatinná časť koeficientu zmeny mierky M bola 0.5) alebo je o 1 vyčší (ak desatinná časť koeficientu zmeny mierky M bola > 0.5). Potom nový korekčný koeficient (KK) je určený presne opačne ako priamy koeficient.

5. následne sa vypočíta veľkosť rozmeru rastra (CR), ak by bol koeficient zmeny mierky len celá časť M.

6. zistí sa celočíselný rozdiel (Δ) medzi výpočtovým novým rozmerom a celočíselným rozmerom aby sa zistilo, koľko bodov je nutné ešte doplniť.

7. vypočíta sa korekčný krok (CK) (z originálneho počtu krokov t.j. originálneho rozmeru), ktorý bude určovať, kedy sa vykoná zmena celočíselného koeficientu zmeny mierky o 1 (+ alebo – podľa toho či nebola alebo bola desatinná časť koeficientu zmeny mierky > 0.5), teda kedy sa vlastne použije korekčný koeficient KK.

8. nakoniec sa vykoná konečné priradenie celočíselnej štandardnej (priamej) hodnoty koeficienta zmeny mierky a celočíselného korekčného koeficienta v jednotlivých krokoch.


Zmena mierky – zväčšenie (príklad)

10 15 22

33

x 2,2

nový rozmer (NR) originálny rozmer (OR)

20

30

x PK 0,2 < 0,5 priamy koeficient (PK) = 2

korekčný koeficient (KK) = 3

celočíselný rozmer (CR)

Δx = | NRx - CRx | = 33 – 30 = 3 Δy = | NRy - CRy | = 22 – 20 = 2

CKx = int (ORx / Δx ) = int (15 / 3) = 5 CKy = int (ORy / Δy ) = int (10 / 2) = 5

1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 6 2 7 2 8 2 9 2 10 3 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 33


Zmena mierky – zväčšenie (príklad)

10 15 28

42

x 2,8

nový rozmer (NR) originálny rozmer (OR)

30

45

x PK 0,8 > 0,5 priamy koeficient (PK) = 3

korekčný koeficient (KK) = 2

celočíselný rozmer (CR)

Δx = | NRx - CRx | = |42 – 45| = 3 Δy = | NRy - CRy | = |28 – 30| = 2

CKx = int (ORx / Δx ) = int (15 / 3) = 5 CKy = int (ORy / Δy ) = int (10 / 2) = 5

1 3 2 3 3 3 4 3 5 2 6 3 7 3 8 3 9 3

10 2 2 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 42


Zmena mierky - zmenšenie

farba sa dá získať viacerými spôsobmi:

• spriemernením bodov obdĺžnika alebo použitím mediánovej funkcie.

• zistí sa početnosť výskytu farieb v obdĺžniku a vyberie sa tá farba, ktorá sa vyskytuje najčastejšie. Ak je výskyt farieb rovnaký, vyberie sa farba podľa iného pravidla alebo ľubovoľná z vyskytujúcich sa farieb.

• vyberie sa farba, ktorá sa vyskytuje najmenej krát.

• vyberie sa farba ľavého horného bodu obdĺžnika


Zmena mierky - zmenšenie


Skosenie

O x

B yB = y’B

B’

USS

y

xB x’B O x

B

xB x’B

B’

USS

y

yB

y’B

O x

B

xB = x’B

B’

USS

y

yB

y’B

skosenie v smere osi y skosenie v obidvoch smeroch skosenie v smere osi x

x

z

y

x

z

y

x

z

yskosenie v smere osi x

vzhľadom na os y skosenie v smere roviny xy

skosenie v smere osi x

vzhľadom na os z


Skosenie

xO

B’y B


Rotácia (Otočenie)

O

B

yB

y’BB’

USS

x

y

x’B x’

y’

xB


Otočenie rastrových objektov

• Priame otáčanie - Otočenie s interpoláciou

medziľahlých bodov

• Spätné otáčanie - Otočenie s interpoláciou

všetkých bodov

Transformácia

Hľadanie dier

Transformácia

Spätná transformácia

na určenie farby


Rotácia (dve metódy otáčania)

• otáčanie definované Eulerovými uhlami

a reprezentované všeobecnými

transformačnými maticami.

• otáčanie definované Eulerovým teorémom

a reprezentované quaterniónmi. Leonhard Euler

KPI FEI TU Košice SVR - Priestor a transformácie 59 KPI FEI TU Košice 59

Rotácia okolo všeobecnej priamky

KPI FEI TU Košice SVR - Priestor a transformácie 60 KPI FEI TU Košice 60

Rotácia okolo všeobecnej priamky

111 POaObOObOaP TTTTTTT


Rotácia a strata stupňa voľnosti

Je ťažké predvídať ako sa postupné rotácie okolo

základných osí navzájom ovplyvnia. (maticová

reprezentácia Eulerových uhlov má prirodzenú

jedinečnosť v parametrizácii) Je možné vytvoriť

takú postupnosť rotácií, že vo výslednej rotácii

sa stratí jeden stupeň voľnosti. Táto situácia sa

nazýva gimbal lock (strata stupňa voľnosti).

Gimbal lock je pojem

prevzatý z leteckého

a vesmírneho priemyslu, kde

sa používajú gyroskopy

(vytvárajú umelý horizont)


Priestor rotácií (Eulerov teorém)

α

O O‘

l

Zobrazenie orientácie a následnej rotácie

3', ROO 3Rl

,

l

sú dve orientácie. Potom existuje os

a uhol otočenia

taký, že O prejde na O’ ak je otočený o uhol okolo osi


Priestor rotácií

Týmto sú teda uvedené orientácie a rotácia. Je potrebné

rozlišovať medzi týmito pojmami. Orientácia objektu v R3 je

daná bežným vektorom (poloha voči stredu súradnicovej

sústavy). Rotácia (otočenie) je definovaná osou a uhlom

otočenia. Je potrebné si zapamätať, že výsledok konštatuje

existenciu, ale nie jedinečnosť takéhoto uhla a osi.

α

O O‘

l


Popis rotácie

Pre popis rotácie (otočenia ) nasledovaného

prípadnou zmeny mierky sú potrebné štyri

čísla (W. R. Hamilton, 1843 ) :

• jedno číslo popisuje veľkosť zmeny mierky,

• jedno veľkosť uhla (v stupňoch), o ktorý sa bude otáčať, a

• posledné dve čísla označujú rovinu, v ktorej sa bude vektor otáčať

W.R.Hamilton


Quaternióny

z = a + bi komplexné číslo z

z´ = a - bi opačné číslo k číslu z

22 ba z'zz veľkosť (absolútna hodnota) čísla z

násobenie dvoch komplexných čísel

izziz

iz21

2

1

21212121

22

11abbabbaa

ba

ba

Quaternióny (W. R. Hamilton, 1843 ) sú rozšírením komplexných čísel.


Quaternióny

Komplexné číslo (s,i,j,k): s – reálna zložka,

i,j,k – imaginárne zložky

i * i = -1 j * j = -1 k * k = -1

Rotácia je nahradená násobením quaterniónov

i * j = -j * i = k

j * k = -k * j = i

k * i = -i * k = j

1222 ijkkji


Quaternióny

Opačné číslo a veľkosť quaterniónu sa hľadá tak isto ako pri komplexných číslach:

q = w + xi + yj + zk

q´ = -q = w - xi -yj – zk

2222 zyxw q'qq

Inverzná hodnota (prevrátená hodnota) quaterniónu je definovaná

podľa nasledujúceho vzťahu:

q -1 = q´/ (q * q´ )

Quaternióny sú asociatívne: (q1 * q2) * q3 = q1 * (q2 * q3)

Quaternióny nie sú komutatívne: q1 * q2 q2 * q1

q -q

q q -1


Quaternióny

Quaternióny môžeme zapísať niekoľkými spôsobmi:

• ako lineárnu kombináciu 1, i, j a k

• ako vektor štyroch koeficientov v tejto lineárnej kombinácii

• ako skalár pre koeficient 1 a vektor pre koeficienty z

imaginárnej časti

q = w + xi +yj +zk = [ x, y, z, w ] = (s, v) kde s=w a v=[x, y, z ]


Quaternióny

2v1v1v2v2v1v2q1q

2v2q

1v1q

2.1,.2.1,2

,1 sssss

s

zzyyxxwww

wzxyyxzwz

xzwyzxywy

yzzywxxwx

wzyx

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqq

21212121

21212121

21212121

21212121

....q

....q

....q

....q

,,,

21 qqq

Ak máme potom dva vektory zapísané v tvare (s, v), môžeme

napísať výsledok ich násobenia nasledovne:

pri zápise druhým spôsobom po roznásobení dostaneme jednotlivé zložky:


Quaternióny a rotácia

Bod B[xB,yB,zB] v priestore je možné reprezentovať pomocou quaterniónu B = (0, B).

Potom požadovanú rotáciu vypočítame pomocou tejto rovnice: Botočený = qBq-1

Ak vychádzame z druhého spôsobu zápisu, tak transformačná matica rotácie Q

quaternióna q bude mať nasledujúci tvar a aplikuje sa ako matica otočenia.

1000

02212222

02222122

02222221

22

22

22

yxxwyzywxz

xwyzzxzwxy

ywxzzwxyzy

Q


Quaternióny – nevýhody a výhody

Nevýhody quaterniónov

• Quaternióny reprezentujú iba rotáciu

• Vzťahy popisujúce quaternióny vyzerajú komplikovane

Výhody quaterniónov

• Zreteľná geometrická interpretácia

• Nezávislosť od súradnicového systému

• Kompaktná reprezentácia

• Nestráca sa stupeň voľnosti (gimbal lock)

• Jednoduchá kompozícia rotácií

Jedinou skutočnou výhodou maticovej reprezentácie je možnosť

reprezentovať všetky ostatné transformácie.

OTÁZKY ?

© 2016 KPI FEI TU Košice

Documents

Priestor a transformacie - hornad.fei.tuke.sk · Vychádza z predstavy, že najvýznamnejšou časťou telesa sú jeho hraničné elementy ako napr. hrany alebo povrch, ktorý tvorí