Prica o Cvorovima

7/23/2019 Prica o Cvorovima

http://slidepdf.com/reader/full/prica-o-cvorovima 1/16

PRIČA O ČVOROVIMA

Piše: Dr. sc. Zdenko Franić

Tko bi pomislio da će čvorovi osim jedriličarima i ri-barima i čipkaricama biti izuzetno interesantni matemati-čarima, fizičarima, dizajnerima i Internautima

Ozbiljnije bavljenje čvorovim dokumentirano je udogađaju koji se zbio prije skoro 3000 godina. Poljopri-vrednik Gordije, osnivač grada Gordiona i kasnije kraljmaloazijske države Frigije, vrlo je zamršenim čvorom, kojiće (koje li koincidencije) kasnije biti nazvan gordijskimčvorom http://www.gordian.com/companyinfo/legend.

html vezivao volove u jaram na svojim kolima posveće-nim bogu vrhovniku Zeusu. Proročanstvo je reklo da ćeonaj tko taj čvor razmrsi, postati gospodarem Azije. Nje-govom sinu Midi to nije uspjelo, ali se on možda obogatiopokazujući turistima očev čvor, jer legenda kaže da se svešto je Mida dotaknuo pretvaralo u zlato. Nekoliko stoti-na godina kasnije (334. prije Krista) u hram u Gordionu ukojem se kao atrakcija čvor čuvao, naišao je Aleksandar



Makedonski. Susret s čvorom mogao je Aleksandu prou-zročiti stres, pa čak i čvor u želucu, koji može dovesti i dočira ili hernije http://www.mayo.ivi.com/ivi/mayo/9502/

htm/knot_qa.html. No, kako u to doba klinika Mayo jošnije djelovala, Aleksandar nije bio svjestan ozbiljnosti si-tuacije, te je naprosto izvukao mač i presjekao čvor. Nijepoznato kako su na tako neprofesionalno razvezivanje le-gendarnog čvora reagirali antički preteče Međunarodnecehovske udruge vezivatelja čvorova (International Guild

of Knot Tyers) http://www.webshirt.com/IGKT.html, kojaza cilj ima promoviranje proučavanja, znanosti, umjet-nosti i prakse vezivanja čvorova te svega ostalog u svezičvorova. Ipak, Aleksandar je riješio zamršeni zadatak, te

je postao gospodar tadašnjeg poznatog svijeta pronijevšiantičku kulturu sve do Indije. Kasnije je osnovao Aleksan-

driju, tadašnje najveće urbano središte i čuvenu knjižni-cu i tako postao vjerojatno prvi Yuppy. U aleksandrijskojknjižnici, http://www.byu.edu/acd1/ed/InSci/286/Egypt/AlexandriaLibrary.html vjerojatno se moglo naći i štošta očvorovima i Aleksandrovom podvigu, ali ona je nažalostizgorila.

Teorija čvorova

Tko zna kojim bi putem krenula povijest da je sirotiAleksandar bio svjestan kompliciranosti teorije čvorovai neadekvatnosti algoritma kojeg je on primijenio za ra-zvezivanje slavnog čvora. I tako se matematička teorija

čvorova razvila tek u 19. stoljeću, a izuzetno je napredo-vala u posljednjih desetak godina. Jedno od najuzbud-



ljivijih otkrića svakako jest povezanost teoriječvorova i grane fizike koja

proučava fundamentalnesile i elementarne česticeod kojih je izgrađen Sve-mir (string theory) http://www.weburbia.com/pg/knots.html. Iako fizičari-

ma još štošta nije jasnoniti u klasičnoj teorijigravitacije, već su se počeli baviti i kvantnom teorijomgravitacije, možda najtežom zagonetkom cjelokupneznanosti. Naravno, u taj “sveti Gral” moderne znanostiučvorena je i teorija čvorova http://www.weburbia.com/

pg/qugrav.html i http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9410018.Čvorovi izgleda imaju važnu ulogu i u molekularnoj bio-logiji, a i sama dezoksiribonukleinska kiselina (DNA) po-nekad može biti učvorena http://www.sb.fsu.edu/mob/people/sumners.html. Za matematičare čvorovi su za-tvorene krivulje ili “staze” koje se mogu slijediti prstomili vrškom olovke. Njima je čvor matematički objekt, baškao i broj , http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knbkgd.html. Matematičari dakle i za čvorove po-stavljaju slična pitanja, npr. jesu li dva čvora jednaka. Po-stoji tako i nulti čvor (svaki onaj čvor koji nastaje kada sespoje krajevi konopa, bez uvijanja ili zakretanja), postojei prosti čvorovi (baš kao i prosti brojevi, tj. oni koji su dje-

ljivi sami sa sobom). No zanimljivo pitanje jest postoje li i



negativni čvorovi? To bi bilo sjajno; nešto vam se zapetljačvorom Č (npr. parangal ili vezice na cipelama). Umjestootpetljavanja, vi problem riješite teorijski, nakon čega

dodate negativni čvor -Č i sve je u redu, jer, dobili stenulti čvor...Očito je dakle da postoji algebra čvorova. Tosu uostalom još davno prije otkrili i stare Inke.

Quipu, Inke i algebra čvorova

Quipu jest neka vrsta uzlovnog “pisma” kojim suse koristile Inke u Peruu. Služilo je u računske svrhe, kaomnemotehničko sredstvo, te za registriranje različitih do-gađaja i podataka http://www.cs.uidaho.edu/~casey931/seminar/quipu.html. O glavni konopac vezivali su se manji

konopčići različitih boja, od kojih je svaki imao svoje zna-čenje http://fee.unicamp.br/~jorge/quipu.html. Čvorovina pojedinim konopčićima su pak označavali količinu. Tistari Peruanci zaista su bili kontroverzni: imali su ceste, anisu znali za kotač, nisu imali pismo, a imali su zapise. Ži-vjeli su u planinama, a prema teoriji norveškog etnologa

Thora Heyerdahla, neki su od njih naselili Polinezijske oto-ke. Heyerdahl je da bi to dokazao, prije točno pedeset go-dina (1947), organizirao transpacifičku znanstvenu ekspe-diciju od obala Perua do istočne Polinezije http://www.nrk.no/undervisning/heyerdahl/slide01m.html. Prije togamorao je dobrano savladati umjetnost vezanja čvorova.Naime, on i njegova ekipa sagradili su splav Kon Tiki, na-činjenu od laganog balzinog drveta vezanog konopima,



dakle bez uporabe čavala, kojom su se otisnuli od obaleJužne Amerike i otplovili u povijest.

“Brzinski čvorovi”

Splav Kon Tiki nošena strujama i vjetrovima dnevno je prevaljivala šezdesetak nautičkih milja, odnosno, brzina joj je bila oko 2.5 čvorova. Da, čvor je i jedinica za brzinu

koja se posebice rabi u zrakoplovstvu i nautici, a potječeiz vremena kada se brzina broda mjerila dužinom isteklogkonopca; više pogledajte na: http://www.ocean.washin-gton.edu/education/magic/Ipage/happened/10/knots.html. Konopac na čijem je kraju bila poprečno vezenadaščicu, puštan je u more odmotavajući se s vitla, i to u

vremenu od 30 sekundi (1/120 sata) mjerenog pješćanimsatom. Sprava se zvala log. Razmaci na konopcu iznosilisu 15.43m, te su bili su odijeljeni (pomorskim) čvorovima:prvi razmak jedan čvor, drugi dva čvora itd. Kako se došlodo te dužine? Naime, nautička milja jednaka je jednoj luč-noj minuti opsega Zemlje (40000 km). Dakle, 1Nm iznosi

40000:(360X60)=1.852km. Sto dvadeseti dio milje iznosiupravo 15.43m. Nakon 30 sekundi, konopac se izvukaonatrag na brod i broj čvorova na njemu daje brzinu brodau čvorovima, odnosno Nmh-1. Dosjetljivo zar ne? (Anglo-saksonci su, zbog “svojih stopa”, isti proces upražnjavali28 sekundi, a razmak među čvorovima na konopu bio je14.4m). I tako je pomorski čvor koji je zaista nekada i biočvor postao mjera za brzinu (ili točnije za brojanje čvoro-



va na konopcu). Brzina, vrijeme i pozicija broda upisiva-la se u knjigu koja se zvala log book (knjiga zabilješki, tj.brodski dnevnik). Danas to log znači zabilježiti neku rad-

nju. Ne podsjeća li vas to na login, logfile etc...

Pomorski čvorovi

Područje ljudske

djelatnosti u kojem suse čvorovi ponajvišerabili jest vjerojatnopomorstvo, naročito udoba jedrenjaka kada jena brodovima sve vrvilo

od konopa. No, u našojterminologiji tada go-vorimo o uzlovima; čvo-rovi su tek jedna podvr-sta uzlova, dok su ostalenpr. vojevi, pašnjaci, gr-

ljci, kučevi, zapori, rasponice, upletke, pletiva, opleti, itd.Svaka od tih podvrsta sadrži na stotine, možda i tisuće,različitih uzlova, na koje se postavljaju mnogi uvjeti, ovi-sno o namjeni. Svakako, najvažniji uvjeti jesu jednostav-nost vezivanja i sigurnost, a za neke uzlove i mogućnostbrzog odrješivanja. O vještini vezivanja često je ovisila, ai danas u doba rekreativne nautike i “vikend kapetana”,ovisi sigurnost broda i posade. Mnogo je života izgublje-



no nestručnim vezivanjem uzlova, ili uporabom nekoguzla za pogrešnu namjenu. Npr., vrlo rašireni muški uzao(square knot, ili reef knot) http://huizen.dds.nl/~erpprs/

kne/reefk.html jedan je od najsigurnijih (osobito kada sestegne i smoči) spojnih uzlova koji služe za nadoveziva-nje konopa. No, ukoliko su ti konopi različitih promjera ilitvrdoće lako se razveže! Primjeri uzlova koji se koriste upomorstvu, mogu se naći na zaista mnogim mjestima naMreži. Nipošto nemojte propustiti izvrsne animirane gifo-

ve na adresi: http://www.tcmall.com/nauticalknowhow/boating/7_1.htm#knots.

Ribarski i drugi čvorovi

Vrlo slični pomorskim čvorovima jesu ribarski. I njihima sva sila, a rabe se za vezivanje udica, najlona i mre-ža, pogledajte adrese http://www.ao.net/~nautbob/fi-shknot.html, http://www.ozemail.com.au/~fnq/fishing/index.html i http://www.flyfield.com/knots2.html. Među-tim u obitelj ribarskih čvorova spada (koje li inventivno-

sti) i ribarski čvor, http://www.lehighgroup.com/KNOTS.Html, koji je vjerojatno najčvršći način za spajanje finihniti. Lagano se veže, ali izuzetno teško odvezuje. Čvorovise još koriste u planinarstvu http://homepages.iol.ie/~-daveh/knots.html, speleologiji, http://rschp2.anu.edu.au:8080/cave/knot.html na farmama, kirurgiji (za pod-vezivanje i šivanje rana.) itd. Kirurški je čvor http://home.ican.net/~rlundy/Surgeon.html tako popularan da se ko-



risti i u mnogim drugim djelatnostima. Nažalost, čvorovisu povezani i sa samoubojstvima, te izvršenjem smrtnekazne vješanjem. Po čvoru koji se pri tome koristi, nazvan

je i čitav filmski žanr: Hangman’s knot http://www.rou-ghcut.com/rewind/genrenov2.html. U čvorove se vežu ikonjski repovi, pravi foto-strip pogledajte na http://www.al-andalus.com/knot2.html. Valja spomenuti i čvoričanje(knotting) http://204.30.30.10/hac/knots/, te izradu tepi-ha, čija se finoća (i cijena!) određuje količinom čvorova

po kvadratnom centimetru. Tu su i čipke, iako se neke nesamo čvoričaju, već i šivaju kao čuvena paška čipka, bisersredozemnog tekstilnog rukotvorstva http://bagan.srce.hr/etno/tcipka/etnoc.html. U mokrome čvoru ljudi pro-vode znatno vrijeme, a vjerovali ili ne, čvorovi se mogui patentirati. Tako je u SAD u razdoblju od 1976. do 1997.

godine patentirano 336 patenata koji imaju neku vezu sčvorovima. (Naravno i ti se patenti mogu naći na Interne-tu!). Tako je patentirana i nova vrsta čvora koji se koristi ukirurgiji, sprava za vezanje čvorova na balonima... Buditeoprezni i kada vezujete tenisice, možda će vas netko tužitiza kršenje patentnih prava!

Möbiusova ploha

Vratimo se još malo teoriji čvorova. Kao što je spome-nuto, najjednostavniji čvor jest nulti čvor, odnosno zatvo-rena krivulja, kakva je npr. kružnica. Takav je isprva čvor iMöbiusova plohu (Möbius band), nazvana po njemačkom



matematičaru Möbiusu. To je ploha koja nastaje spaja-njem dvaju nasuprotnih stranica pravokutnika, ali tako dasuprotni vrhovi padnu zajedno. Pravokutni list papira pri-

je savijanja u Möbiusovu plohu ima dvije strane, a poslijesavijanja samo jednu. Druga interesantna osobina jest dase Möbiusova ploha, razreže li se uzduž, ne raspada nadva dijela nego i dalje čini cjelinu. Na: http://server2.gre-atlakes.k12.mi.us/UNITEResource/810013077-81ED7D4C.rsrc nalazi se PDF dokument s detaljnim objašnjenjem

Möbiusove plohe i neobično jednostavne, ali sjajne de-mostracije koju možete upriličiti prijateljima ili ukućani-ma. (Mala digresija: ukoliko nemate ili ne želite instaliratiAdobe Acrobar Reader, na http://www.adobe.com/pro-dindex/acrobat/advform.html nalazi se formular u kojise upiše adresa PDF dokumenta koji se želi konvertirati

u HTML dokument. Provjereno je, radi izvanredno. Na ža-lost, slike se (za sada) ne konvertiraju.) Potrebne su vamsamo škare, malo papira i “mušterije” koje će se opkladitida ćete nakon rezanja (ta to je “svima očito”) dobiti dvi-

je trake. Nije li vam fenomen Möbiusove plohe poznatimotiv “prostorno-vremenske petlje” iz mnogih SF priča?Na adresi: http://www.geom.umn.edu/graphics/pix/Spe-cial_Topics/Differential_Geometry/moebius_strip.html nalazi se još jedan prikaz Möbiusove plohe, a na http://www.softlogic.com/pp/torus.html prikazana je jedna odvarijacija (razrada po fazama s pripadnim jednadžbama).Ukoliko pak razrežete traku nastalu rezrezivanjem Möbiu-sove plohe, ovog puta rezultat će biti dvije povezane tra-

ke, odnosno: link.



Linkovi

Link :)) veza, spona, sveza ili karika nije ništa drugo

nego čvor u čvoru. Odnekud poznato? Spajanjem na In-ternet računalo postaje čvor (istina node, a ne knot, razli-ku pogledajte na http://www.onelook.com). Hipertekstu-alni medij kakav je WWW obično sadrži veliki broj linkova,tih potcrtanih (ili nekim drugim načinom označenih) riječiili slika. Svaki takav link veza je s dokumentima na drugimračunalima-čvorovima. Upravo su linkovi ono što WWWčini Mrežom. Kod konopaca, da bi se linkovi “razbili” uposebne čvorove, potreban je radikalni zahvat: rezanje.Kod Interneta to ide mnogo spontanije, koliko li ste samoputa naletili na “mrtav” link. No, i tome ima lijeka. Posjeti-te http://www.biggbyte.com gdje ćete nači izuzetno do-bar Link Checker koji je uz to i freeware! Evo i jedne sjajneadrese s ogromnim brojem linkova na resurse o čvorovi-ma: http://www.earlham.edu/suber/knotlink.html.



Trolisni čvor

Trolisni čvor (trifoil) nazvan je

tako zato što ima tri petlje (tre jepovezan s three tj. 3, a foil jest list). Izaista, trolisni je čvor sličan listu dje-teline (naravne, ne one sretne s četiriili više listova). Trolisni čvor može senačiniti na dva načina (lijevi i desni).Nemoguće je bez rezanja od lijevogoblika trolisnog čvora načiniti desni, što je uspješno imatematički dokazano. Za ostale vrste čvorova, sličan jedokaz prekompliciran. Pravu pravcatu 3-D eksurziju krozunutrašnjost trolisnog čvora (MPEG) naći ćete na http://es.rice.edu/projects/ravl/arch640/showcase.html. Trolistsu uzeli i stručnjaci koji se bave zračenjem za simbol upo-zoravajućeg znaka za zračenje, po jedan list za alfa, betai gama komponentu. Ostale teorije o postanku tog zna-ka pogledajte na http://www.sph.umich.edu/group/eih/UMSCHPS/symbols.html. (Posebno je zgodno poveziva-nje zračenja s japanskom ratnom zastavom!) Naši, domaćizaštitari logotip svog udruženja upleli su pleterom učvo-

renim u čvor. No, o tome malo kasnije.

Usenet

Ako ste pomislli da ljudi na UseNetu ne raspravljaju

o čvorovima, grdno ste se prevarili, trežena newsgrupa jest: news:rec.crafts.knots. Ukoliko ste zainteresirani, do



nje možete doći preko Dejanews, http://www.dejanews.com, budući na CARNetu ove grupe nema. Često postav-ljana pitanja (FAQ) spomenute grupe naći ćete na http://

www.msen.com/~pwmeek/knots/knot-faq.html. Maloambiciozniji sudionici čvoraste grupe nedavno su startaliprojekt međunarodnog rječnika nazivlja čvorova. Ispodsvake slike nanizana su imena na desecima različitih jezi-ka. Priložen je i formular kojim se može poslati ime čvoras naznakom pripadnog jezika. Nažalost, hrvatsko nazivlje

za sada nije zastupljeno. Čvoroljupci, što čekate? Adresa jest http://www.korpegard.nu/jan/knots.html. Glosarijčvorova i svega vezanog uz čvorove naći ćete i na vrlo na-građivanom Ropers Knots Page na adresi http://huizen.dds.nl/~erpprs/kne/kroot.html.

Umjetnički čvorovi

Računalno ostvareni čvorovi, poput fraktalnih slika,mogu biti prelijepi. Neki primjeri vrijedni divljenja nalazese na: http://www.sover.net/~tlongtin/knots/knots.html .

Na adresi: http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributi-ons/scharein/KnotPlot.html jest pak baza podataka s pre-ko 1000 raznih čvorova ostvarenih programom KnotPlot.Evo lijepih grafika za one koji imaju printere u boji. Zbogsvoje ljepote i posebnosti, naročito su interesantni keltskičvorovi koji su ukrašavali ranokršćanske rukopise. Svaka-ko posjetite http://www.abbott.demon.co.uk/knots.html kao ihttp://celtic.stanford.edu/clipart.html gdje ćete naći



primjere keltskih čvorova. Na adresi http://homepage.in-teraccess.com/~dfroula/steve/knots.html čak je i softverza crtanje keltskih čvorova.

Kravate

Tko još ne zna da kravata potječe od Hrvata? No,dalo bi se raspravljati da li je kravata, u 17. stoljeću, za vri-

jeme velikog tridesetogodišnjeg rata (1618 - 1648), koji jetada harao Europom bila znak zapadnoeuropske uljudbeili naprosto upijalo za znoj, posebnim čvorom vezano okovratova hrvatskih vojnika. Oni su, boreći se pod tuđim za-stavama širom ondašnje Europe, stigli i do Pariza. Širokevratne marame na stasitim hrvatskim momcima dopa-

le su se parižankama, te su ljubomorni parižani smjestaprihvatili taj novi modni detalj “a la Croate”. Ostalo jepovijest, koja je u Hrvatskoj zabilježena početkom 1995.godine i na filatelističkim markama http://www.math.hr/stamps/1995/kravata.html. Hrvati su tako kravatama, od-nosno nenasilnim metodama pokorili cijeli civilizirani svi-

jet, više nego Cezar, Đingis Kan i Aleksandar Makedonskizajedno. Prekrasan esej o podrijetlu kravate, autora BarryS. Marjanovicha, svojedobno upućen i u grupe soc.cultu-re.croatia i soc.culture.europe, možete naći, a gdje drug-dje nego na stranicama Željka Lupića :)) http://www.dal-matia.net/croatia/history/cravat/. Ljudi širom svijeta nosesimbol moga naroda. Nose ga blizu srca, između košulje iodijela. Štoviše, on ih grli oko vrata poput dragog prijate-



lja. Tu je i odlican clanak o kravati Domagoja Polegubicaiz Australije na: http://www.dalmatia.net/croatia/history/cravat/tie/origintie.htm. Iako danas živimo u doba Inter-

neta, neki ljudi još uvijek moraju nositi kravate (moždaglede video-konferencija). Štoviše, svako odijelo zahtijevaposebnu kravatu, pa čak i poseban čvor koji je i sam po-stao modni detalj. I baš je vezanje čvorova na kravatamamnogima prava muka. Naravno on-line pomoć s pravimbogatstvom različitih čvorova za kravate može se naći na

mnogim adresama na Internetu npr. http://www.fashio-nmall.com/media/mr/doc/all3.html, http://www.bizweb.com/tie/ i http://members.aol.com/mbastyle/web/neck-tie.html. Izgleda da je čvor imena Windsor trenutno naj-moderniji (ili možda najteži za vezanje). I na koncu, ukoli-ko surfate Internetom u potrazi za kravatama, posjetite i

http://www.galstar.com/%7Eapparel, možda ćete biti na-građeni - kravatom.

Čvorovi na Internetu kod Hrvata

Ono što su keltski čvorovi za Irce, za Hrvate jest pleterhttp://www.st.carnet.hr/os-pujanki/ptica.html. Pleterna or-namentika naziv je za sustav reljefne dekoracije kod kojesu osnovni elementi od jednostavnog uzla preko pleter-nice do kompliciranih motiva mreža. Prevladava u predro-maničkoj arhitekturi u razdoblju od 8 do 11. stoljeća. Najja-ča središta bila su gornja Italija i Hrvatska, naročito u svom

jadranskom pojasu, u kojoj su tako, poput Božjih poljuba-



ca, razasute brojne predromaničke i romaničke crkvice.Pleternoj ornamentici prethodila je pojava pletera u antič-koj, a posebice bizantskoj dekoraciji. Motivi pletera se tako

mogu naći i kao ures mnogih Web stranica u Hrvata. Istotako pleter se pojavljuje u hrvatskim povijesnim, ali i suvre-menim zastavama i grbovima, pogledajte na: http://jagor.srce.hr/~zheimer/flags/descr/index.html. Nadalje, odorehrvatskih vojnika i činovi, http://tomislav.morh.hr/MORH/Pages/visoki_cinovi.html, sadrže u službenim oznakama

hrvatski pleter i druge simbole, koji karakteriziraju kako hr-vatsku kulturu, tako i kulturnu estetiku odijevanja. Od hr-vatskih čvorova, još je zanimljiv učvoreni pleter u logotipuHrvatskog društva za zaštitu od zračenja http://mimi.imi.hr/crpa, koji tako povezuje starohrvatsku kulturnu tradicijus visokom tehnologijom.

I na kraju rasplet sa zapletom

U rasplitanju ove čvoraste teme, ponekad su miješa-ne jabuke i kruške. Naime riječ čvor pokriva zaista široki

spektar pojmova i značenja, pa je u gornjem tekstu biloponekad i namjernog igranja riječima. O interesu interne-tovske populacije za čvorove svjedoči i oko 190 naslovaknjiga o čvorovima koje se mogu nabaviti preko Interne-ta (http://www.amazon.com), te deseci tisuća povratnihinformacija koje su dale popularne tražilice AltaVista iHotBot za riječ knot. Nije niti čudo: dobar čvor katkadaznači spas. Nadajući se da ste se zainteresirali za ovu ne-



običnu problematiku evo spektakularnog raspetljavanjačvora (trikom naravno), kojim možete, kao i Möbiusovomplohom, zadiviti ili u nagorem slučaju samo zabaviti Vaše

društvo: http://www.geom.umn.edu/~strauss/knots/. Aoni zaljubljeni, mogu posjetiti Let’s Get Married! home-page na http://www.nadtech.com/wedding.html, te za-vezati svoj virtualni čvor u cyberspace-u.

Documents

Prica o Cvorovima