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Onde
si definisce onda una perturbazione che si propaga.
Non si ha propagazione di materia ma solo di
energia
onde meccaniche (mezzo)
onde elettromagnetiche
(vuoto, c = 299792458 m/s)
Onde Meccaniche → perturbazione
attraverso un mezzo
onde trasversali: la perturbazione è perpendicolare alla direzione di propagazione
onde longitudinali: la perturbazione è parallela alla direzione di propagazione
L’onda ha una forma periodica sia in spazio che in tempo
Onda periodica (sinusoidale)
Ogni punto della corda oscilla verticalmente nella direzione y con un moto armonico.
Se l’onda si propaga con velocità v e la forma dell’impulso resta uguale, dopo un tempo t si ha che ciascun elemento della corda posto in x assume la stessa posizione verticale y che un elemento posto in x-v·t assumeva al tempo t=0
( ) ( )0,v, txytxy −=
In generale la funzione d’onda per un impulso in moto verso destra (x>0):
( ) ( )txftxy −= v,
Se invece l’impulso si propaga verso sinistra (x<0):
( ) ( )txftxy += v,
caratteristiche della onde: , T,
y = f(x,t) onda unidimensionale
: la minima distanza tra 2 punti che oscillano
concordemente rispetto alla posizione di
equilibrio
T: il tempo minimo necessario
perché la perturbazione si ripeta
T = 1/ f
frequenza (), ampiezza (A) e fase () dell’onda dipendono dalla sorgente
lunghezza d’onda () e velocità di propagazione (v) dipendono anche dal mezzo
( )
( )txfy
txfy
v
v
+=
−= onda progressiva
onda regressiva
( )xfy = profilo dell’onda
dt
dx=v
velocità dell’onda
o velocità di fase
Fronti d’onda e raggi
fronte d’onda: luogo geometrico dei punti che vibrano in fase
superficie d’onda
✓onde circolari
✓onde rettilinee
✓onde sferiche
✓onde piane
in un mezzo omogeneo e isotropo la direzione di
propagazione è sempre perpendicolare al fronte d’onda
raggi
s
raggi
s
Onda periodica (sinusoidale)
Legame tra le grandezze caratterizzanti l’onda periodica:
• periodo (T) e frequenza (f) sono caratteristiche dell’onda, dipendono cioè solo dalla sorgente.
• lunghezza d’onda (), velocità (v) ed ampiezza (A) dipendono non solo dalla sorgente ma anche dal mezzo nel quale l’onda si propagaT
f1
=
v=f
T
=v
Funzione d’onda:
( )
−= txsenAtxy v
2),(
( )
−=
−= tfxsenAtfxsenAtxy
2
22),(
Tf
22 ==
frequenza angolare:
2=k
numero d’onda:
( ) ( )tkxAtxy −= sin,
energia trasmessa dxdm = ( ) ( )tkxAtxy −= sin,
moto armonico dell’elemento dx nella posizione x
ymmaykFel
2−==−= ydt
yda 2
2
2
−==
)(sin2
1
2
1
2
1 222222 tkxAdxymykdUel
−===
)(cos2
1
2
1v
2
1 222222 tkxAdxydxmdK −===
22
2
1AdxdKdUdE =+= 22
2
1Au
dx
dE== v
2
1 22 APdt
dE==
si definisce onda una perturbazione che si propaga.
Non si ha propagazione di materia ma solo di
energia
( ) ( )0,v, txytxy −=
22
2
1AdxdKdUdE =+=
vd
p
rS
PI
2
2 2
1
4
P ===
In un mezzo isotropo → onde sferiche
24
P
rS
PI
== Intensità di un’onda
I decresce con il quadrato della distanza
v2
1 22 AP =24
P
rS
PI
==
Se l’intensità di un terremoto è1x106 W/m2 a 100 Km, quale sarà l’intensità a 50 Km?
24
P
rS
PI
==
P della sorgente costante
2
22
2
2
11
1
4
P
4
P
rS
PI
rS
PI
==
==
2
1
2
2
2
1
r
r
I
I=
266
2
2
1002
50
2
10050 /10410)50(
)100(mWI
r
rIKm
Km
KmKm ===
onde riflesse e onde trasmesse in una corda
F=v
ITR AAA =+
BABA vv salto di fase di 180°
senza variazione di faseBABA vv
Le onde sonore:
Le onde sonore sono onde meccaniche longitudinali che si propagano nei mezzi comprimibili o elastici.
Le particelle del mezzo subiscono spostamenti avanti e indietro rispetto alle posizioni di equilibrio creando variazioni di densità e di pressione, quindi zone di compressione seguite da zone di rarefazione.
Frequenze rivelabili dall’orecchio umano: 20-20000 HzInfrasuoni: < 20HzUltrasuoni: >20000 Hz
La velocità di propagazione del suono è diversa a seconda del mezzo in cui il suono si propaga:
Aria (20°C): 344 m/sAcqua (20°C): 1482 m/sAcciaio: 5940 m/s
onde sonore
( )tkxPPm
−= sin ( )tkxssm
−= cos
mmsvP =
= 90
onde di
pressioneonde di
spostamento
B=v
VV
PB
−= v = 343 m/s
nell’aria (20°C)
24
P
rS
PI
== v
2
1 22APdt
dE==
Da 1 W/m2 a 10-12 W/m2
0
log10I
IdB =
decibel
Se in una strada il livello del suono è di 50 dB, quale è l’intensità del suono?
0
log10I
IdB =
0
log1050I
I=
275125
0 /10101010 mWII −− ===
…e se mi avvicino di 10 volte alla strada, di quanto aumenta l’intensità?
22
2
10
11
4
P
=
==
rI
rS
PI
vd
p
rS
PI
2
2 2
1
4
P ===
Ivdp 2=
Se f=1GHzCon v=340 m/s (aria)o v=1450 m/s (acqua)
fT
==v
Si ottiene = 300 nm e 1500 nm
Direzionalità del fascio!
Applicazioni:• Diatermia• Terapia dei calcoli• Odontoiatria (rimozione tartaro o devitalizzazione• Oculistica (cataratta)• Chirurgia vascolare• Cura dei tumori
xeII −= 0 Legge di Beer-Lambert
Assorbimento dipende del materiali
L’effetto Doppler:
Effetto che si verifica ogniqualvolta si ha un moto relativo tra la sorgente dell’onda ed un osservatore: la frequenza percepita dall’osservatore è diversa da quella che caratterizza la sorgente.La differenza tra la frequenza percepita e quella della sorgente dipende dalla velocità relativa tra sorgente ed osservatore
Effetto Dopplermoto relativo fra
sorgente e rivelatore
v,,0v fs →=
v,,0v fR →=
−=
−==
−=
SS
S
fTT
f
TT
vv
v
vv
v
'
v'
vv'
=
S
Rffvv
vv'
fT
==v
fv
vvvvvf RR
+=
+==
''
sorgenteeosservatorff Oo →
+=
v
vv
eosservatorsorgenteff o →
=
sv-v
v
v=velocità di propagazione dell’ondavO=velocità dell’osservatorevS=velocità della sorgente
Esempi: - ecodoppler- red shift
movimentoineosservatoresorgenteff o
+=
s
o
v-v
vv
se S e R si allontanano f’ < f
se S e R si avvicinano f’ > f
Un’onda sonora da 5000 Hz è emessa da una sirena. L’onda si riflette su una barca che si muove a 10 m/s verso la sorgente.Quale è la frequenza dell’onda riflessa?
+=
v
vv' Rff Percepita dalla barca
−=
S
ffvv
v'''
Onda riflessa percepita dalla sirena
Hzf 5150340
104035000' =
+=
Hzf 530610403
3405150'' =
−=
Effetto Doppler
Esercizi
Un’onda di lunghezza d’onda di 0.6 m percorre su una corda una distanza di 8 m in 0.05 s. Calcolare la sua velocità e la sua frequenza
sms
m
t
x/160
05.0
8v ==
=
Hzm
smf 7.266
6.0
/160v===
Esercizi
Determinare la lunghezza d’onda della luce gialla sapendo che la sua frequenza è pari a 5 1014 Hz
nms
sm
f600
10.5
/103v114
8
=
==−
Esercizi Un’auto della polizia con una sirena a 1000 Hz si muove a 90 km/h. Calcolare la frequenza del suono quando (1) la macchina si avvicina all’ascoltatore fermo e (2) quando si allontana dall’ascoltatore fermo
sm /344v =
eosservatorsorgenteff o →
=
sv-v
v
sms
mhkm /25
3600
100090/90vs ===
Hzf o 4.107825-344
3441000 =
=
Hzf o 2.93225344
3441000 =
+=
Esercizi
Un fischietto che hai sempre usato per richiamare il tuo cane emette un suono con frequenza pari a 21 kHz. Il cane tuttavia ultimamente ignora il segnale. Per capire se il fischietto è ancora funzionante, visto che l’orecchio umano può percepire suoni con frequenze fino a 20 kHz, è necessario l’aiuto di un amico che usi il fischietto mentre tu ti muovi in motorino. In che direzione è necessario andare (verso l’amico o in senso opposto) e con quale velocità minima per capire se il fischietto è effettivamente ancora funzionate? (si consideri la velocità del suono in aria di 344 m/s)
Per percepire una frequenza di almeno 20 kHz è necessario allontanarsi dalla sorgente. La velocità minima deve essere tale da:
−=
m/s344
v/4432120 Osm
kHzkHz
smkHzkHz
kHzsmsmo /1621
21
20/443/443v
=−= hkm/58
Principio di sovrapposizione
la perturbazione in un punto in cui si
sovrappongono due o più onde dello stesso
tipo è, istante per istante, uguale alla somma
delle perturbazioni che le singole onde
produrrebbero in quel punto separatamente
oltre la regione di sovrapposizione
le onde proseguono indisturbate
teorema di Fourier
una qualsiasi funzione periodica può essere
espressa come la somma di più funzioni
sinusoidali (espansione in serie di Fourier)
interferenzaconsideriamo la sovrapposizione di 2 onde tali che:
➢vibrano nella stessa direzione,
➢hanno la stessa frequenza (sincrone)
➢hanno differenza di fase costante (coerenti)
( )tkxAy −= sin1
( ) −−= tkxAy sin2
( ) ( ) −−+−=+= tkxAtkxAyyy sinsin21
+
−=+
2sin
2cos2sinsin
bababa
−−
=
2sin
2cos2
tkxAy
principio di sovrapposizione
ampiezza
termine oscillatorio
interferenza costruttiva
interferenza distruttiva
,...2,1,02 == nn
( ) ,...2,1,012 =+= nn
( ) ( )tkxAtxy −= sin2,
( ) 0, =txy
differenza di fase e differenza di cammino
:2: r=
2=r
Se due onde uni-dimensionali sinusoidali con la stessa ampiezza massima e stessa frequenza si propagano in verso opposto, dalla loro sovrapposizione si origina un'onda stazionaria
L'argomento della funzione y non è del tipo kx±wt perciò l'onda y non si propaga ed è detta stazionaria.
( )tkxAy −= sin1 ( )tkxAy += sin2
)cos()sin(221 tkxAyyy =+=
Onde Stazionarie
ampiezza
termine oscillatorio
F=v
fT
==v
)cos()sin(221 tkxAyyy =+=
La lunghezza d'onda in aria della luce verde di massima efficienza ottica è 0 = 550 nm. Determinare la sua frequenza f;
fT
==v smc /103v 8==
Hzc 14
9
8
104.510550
103f =
==
−
Un’onda è descritta dall’espressione: y = Asen (kx −wt )con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w = 3.62 rad/s . Determinare la lunghezza d’onda , la frequenza e la velocità dell’onda
Scrivere l’espressione di un’onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo dell’asse x con le seguenti caratteristiche ymax = 80cm, = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0.
( ) ++= tkxAy sin mcmA 8.080 ==
185.78.0
22 −=== mk
6322
2==== f
T=0