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Onde si definisce onda una perturbazione che si propaga. Non si ha propagazione di materia ma solo di energia onde meccaniche (mezzo) onde elettromagnetiche (vuoto, c = 299792458 m/s) Onde Meccaniche perturbazione attraverso un mezzo

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Onde

si definisce onda una perturbazione che si propaga.

Non si ha propagazione di materia ma solo di

energia

onde meccaniche (mezzo)

onde elettromagnetiche

(vuoto, c = 299792458 m/s)

Onde Meccaniche → perturbazione

attraverso un mezzo

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onde trasversali: la perturbazione è perpendicolare alla direzione di propagazione

onde longitudinali: la perturbazione è parallela alla direzione di propagazione

L’onda ha una forma periodica sia in spazio che in tempo

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Onda periodica (sinusoidale)

Ogni punto della corda oscilla verticalmente nella direzione y con un moto armonico.

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Se l’onda si propaga con velocità v e la forma dell’impulso resta uguale, dopo un tempo t si ha che ciascun elemento della corda posto in x assume la stessa posizione verticale y che un elemento posto in x-v·t assumeva al tempo t=0

( ) ( )0,v, txytxy −=

In generale la funzione d’onda per un impulso in moto verso destra (x>0):

( ) ( )txftxy −= v,

Se invece l’impulso si propaga verso sinistra (x<0):

( ) ( )txftxy += v,

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caratteristiche della onde: , T,

y = f(x,t) onda unidimensionale

: la minima distanza tra 2 punti che oscillano

concordemente rispetto alla posizione di

equilibrio

T: il tempo minimo necessario

perché la perturbazione si ripeta

T = 1/ f

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frequenza (), ampiezza (A) e fase () dell’onda dipendono dalla sorgente

lunghezza d’onda () e velocità di propagazione (v) dipendono anche dal mezzo

( )

( )txfy

txfy

v

v

+=

−= onda progressiva

onda regressiva

( )xfy = profilo dell’onda

dt

dx=v

velocità dell’onda

o velocità di fase

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Fronti d’onda e raggi

fronte d’onda: luogo geometrico dei punti che vibrano in fase

superficie d’onda

✓onde circolari

✓onde rettilinee

✓onde sferiche

✓onde piane

in un mezzo omogeneo e isotropo la direzione di

propagazione è sempre perpendicolare al fronte d’onda

raggi

s

raggi

s

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Onda periodica (sinusoidale)

Legame tra le grandezze caratterizzanti l’onda periodica:

• periodo (T) e frequenza (f) sono caratteristiche dell’onda, dipendono cioè solo dalla sorgente.

• lunghezza d’onda (), velocità (v) ed ampiezza (A) dipendono non solo dalla sorgente ma anche dal mezzo nel quale l’onda si propagaT

f1

=

v=f

T

=v

Funzione d’onda:

( )

−= txsenAtxy v

2),(

( )

−=

−= tfxsenAtfxsenAtxy

2

22),(

Tf

22 ==

frequenza angolare:

2=k

numero d’onda:

( ) ( )tkxAtxy −= sin,

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energia trasmessa dxdm = ( ) ( )tkxAtxy −= sin,

moto armonico dell’elemento dx nella posizione x

ymmaykFel

2−==−= ydt

yda 2

2

2

−==

)(sin2

1

2

1

2

1 222222 tkxAdxymykdUel

−===

)(cos2

1

2

1v

2

1 222222 tkxAdxydxmdK −===

22

2

1AdxdKdUdE =+= 22

2

1Au

dx

dE== v

2

1 22 APdt

dE==

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si definisce onda una perturbazione che si propaga.

Non si ha propagazione di materia ma solo di

energia

( ) ( )0,v, txytxy −=

22

2

1AdxdKdUdE =+=

vd

p

rS

PI

2

2 2

1

4

P ===

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In un mezzo isotropo → onde sferiche

24

P

rS

PI

== Intensità di un’onda

I decresce con il quadrato della distanza

v2

1 22 AP =24

P

rS

PI

==

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Se l’intensità di un terremoto è1x106 W/m2 a 100 Km, quale sarà l’intensità a 50 Km?

24

P

rS

PI

==

P della sorgente costante

2

22

2

2

11

1

4

P

4

P

rS

PI

rS

PI

==

==

2

1

2

2

2

1

r

r

I

I=

266

2

2

1002

50

2

10050 /10410)50(

)100(mWI

r

rIKm

Km

KmKm ===

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onde riflesse e onde trasmesse in una corda

F=v

ITR AAA =+

BABA vv salto di fase di 180°

senza variazione di faseBABA vv

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Le onde sonore:

Le onde sonore sono onde meccaniche longitudinali che si propagano nei mezzi comprimibili o elastici.

Le particelle del mezzo subiscono spostamenti avanti e indietro rispetto alle posizioni di equilibrio creando variazioni di densità e di pressione, quindi zone di compressione seguite da zone di rarefazione.

Frequenze rivelabili dall’orecchio umano: 20-20000 HzInfrasuoni: < 20HzUltrasuoni: >20000 Hz

La velocità di propagazione del suono è diversa a seconda del mezzo in cui il suono si propaga:

Aria (20°C): 344 m/sAcqua (20°C): 1482 m/sAcciaio: 5940 m/s

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onde sonore

( )tkxPPm

−= sin ( )tkxssm

−= cos

mmsvP =

= 90

onde di

pressioneonde di

spostamento

B=v

VV

PB

−= v = 343 m/s

nell’aria (20°C)

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24

P

rS

PI

== v

2

1 22APdt

dE==

Da 1 W/m2 a 10-12 W/m2

0

log10I

IdB =

decibel

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Se in una strada il livello del suono è di 50 dB, quale è l’intensità del suono?

0

log10I

IdB =

0

log1050I

I=

275125

0 /10101010 mWII −− ===

…e se mi avvicino di 10 volte alla strada, di quanto aumenta l’intensità?

22

2

10

11

4

P

=

==

rI

rS

PI

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vd

p

rS

PI

2

2 2

1

4

P ===

Ivdp 2=

Se f=1GHzCon v=340 m/s (aria)o v=1450 m/s (acqua)

fT

==v

Si ottiene = 300 nm e 1500 nm

Direzionalità del fascio!

Applicazioni:• Diatermia• Terapia dei calcoli• Odontoiatria (rimozione tartaro o devitalizzazione• Oculistica (cataratta)• Chirurgia vascolare• Cura dei tumori

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xeII −= 0 Legge di Beer-Lambert

Assorbimento dipende del materiali

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L’effetto Doppler:

Effetto che si verifica ogniqualvolta si ha un moto relativo tra la sorgente dell’onda ed un osservatore: la frequenza percepita dall’osservatore è diversa da quella che caratterizza la sorgente.La differenza tra la frequenza percepita e quella della sorgente dipende dalla velocità relativa tra sorgente ed osservatore

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Effetto Dopplermoto relativo fra

sorgente e rivelatore

v,,0v fs →=

v,,0v fR →=

−=

−==

−=

SS

S

fTT

f

TT

vv

v

vv

v

'

v'

vv'

=

S

Rffvv

vv'

fT

==v

fv

vvvvvf RR

+=

+==

''

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sorgenteeosservatorff Oo →

+=

v

vv

eosservatorsorgenteff o →

=

sv-v

v

v=velocità di propagazione dell’ondavO=velocità dell’osservatorevS=velocità della sorgente

Esempi: - ecodoppler- red shift

movimentoineosservatoresorgenteff o

+=

s

o

v-v

vv

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se S e R si allontanano f’ < f

se S e R si avvicinano f’ > f

Un’onda sonora da 5000 Hz è emessa da una sirena. L’onda si riflette su una barca che si muove a 10 m/s verso la sorgente.Quale è la frequenza dell’onda riflessa?

+=

v

vv' Rff Percepita dalla barca

−=

S

ffvv

v'''

Onda riflessa percepita dalla sirena

Hzf 5150340

104035000' =

+=

Hzf 530610403

3405150'' =

−=

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Effetto Doppler

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Esercizi

Un’onda di lunghezza d’onda di 0.6 m percorre su una corda una distanza di 8 m in 0.05 s. Calcolare la sua velocità e la sua frequenza

sms

m

t

x/160

05.0

8v ==

=

Hzm

smf 7.266

6.0

/160v===

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Esercizi

Determinare la lunghezza d’onda della luce gialla sapendo che la sua frequenza è pari a 5 1014 Hz

nms

sm

f600

10.5

/103v114

8

=

==−

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Esercizi Un’auto della polizia con una sirena a 1000 Hz si muove a 90 km/h. Calcolare la frequenza del suono quando (1) la macchina si avvicina all’ascoltatore fermo e (2) quando si allontana dall’ascoltatore fermo

sm /344v =

eosservatorsorgenteff o →

=

sv-v

v

sms

mhkm /25

3600

100090/90vs ===

Hzf o 4.107825-344

3441000 =

=

Hzf o 2.93225344

3441000 =

+=

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Esercizi

Un fischietto che hai sempre usato per richiamare il tuo cane emette un suono con frequenza pari a 21 kHz. Il cane tuttavia ultimamente ignora il segnale. Per capire se il fischietto è ancora funzionante, visto che l’orecchio umano può percepire suoni con frequenze fino a 20 kHz, è necessario l’aiuto di un amico che usi il fischietto mentre tu ti muovi in motorino. In che direzione è necessario andare (verso l’amico o in senso opposto) e con quale velocità minima per capire se il fischietto è effettivamente ancora funzionate? (si consideri la velocità del suono in aria di 344 m/s)

Per percepire una frequenza di almeno 20 kHz è necessario allontanarsi dalla sorgente. La velocità minima deve essere tale da:

−=

m/s344

v/4432120 Osm

kHzkHz

smkHzkHz

kHzsmsmo /1621

21

20/443/443v

=−= hkm/58

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Principio di sovrapposizione

la perturbazione in un punto in cui si

sovrappongono due o più onde dello stesso

tipo è, istante per istante, uguale alla somma

delle perturbazioni che le singole onde

produrrebbero in quel punto separatamente

oltre la regione di sovrapposizione

le onde proseguono indisturbate

teorema di Fourier

una qualsiasi funzione periodica può essere

espressa come la somma di più funzioni

sinusoidali (espansione in serie di Fourier)

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interferenzaconsideriamo la sovrapposizione di 2 onde tali che:

➢vibrano nella stessa direzione,

➢hanno la stessa frequenza (sincrone)

➢hanno differenza di fase costante (coerenti)

( )tkxAy −= sin1

( ) −−= tkxAy sin2

( ) ( ) −−+−=+= tkxAtkxAyyy sinsin21

+

−=+

2sin

2cos2sinsin

bababa

−−

=

2sin

2cos2

tkxAy

principio di sovrapposizione

ampiezza

termine oscillatorio

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interferenza costruttiva

interferenza distruttiva

,...2,1,02 == nn

( ) ,...2,1,012 =+= nn

( ) ( )tkxAtxy −= sin2,

( ) 0, =txy

differenza di fase e differenza di cammino

:2: r=

2=r

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Se due onde uni-dimensionali sinusoidali con la stessa ampiezza massima e stessa frequenza si propagano in verso opposto, dalla loro sovrapposizione si origina un'onda stazionaria

L'argomento della funzione y non è del tipo kx±wt perciò l'onda y non si propaga ed è detta stazionaria.

( )tkxAy −= sin1 ( )tkxAy += sin2

)cos()sin(221 tkxAyyy =+=

Onde Stazionarie

ampiezza

termine oscillatorio

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F=v

fT

==v

)cos()sin(221 tkxAyyy =+=

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La lunghezza d'onda in aria della luce verde di massima efficienza ottica è 0 = 550 nm. Determinare la sua frequenza f;

fT

==v smc /103v 8==

Hzc 14

9

8

104.510550

103f =

==

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Un’onda è descritta dall’espressione: y = Asen (kx −wt )con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w = 3.62 rad/s . Determinare la lunghezza d’onda , la frequenza e la velocità dell’onda

Scrivere l’espressione di un’onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo dell’asse x con le seguenti caratteristiche ymax = 80cm, = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0.

( ) ++= tkxAy sin mcmA 8.080 ==

185.78.0

22 −=== mk

6322

2==== f

T=0