Presentasi Kelompok 5

MEMAHAMI WATAK DINAMIS SENSOR

Kelompok 5 :1. Nur Hidayat (11306141007)2. Mela Yusvarina (12306141002)3. Dina Nur’aina Arief

(12306141021)

Definisi

Fungsi Transfer suatu sistem linear didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace sinyal output terhadap sinyal input dengan asumsi semua kondisi awal sama dengan nol.

nolawalkondisi

nolawalkondisi

tuL

tyL

sU

sYsG

_

_

)(

)(

)(

)()(

2

Output

Input

Sifat-sifat Fungsi Transfer Fungsi transfer suatu sistem merupakan model matematik yang

mengekpresikan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel output terhadap variabel input.

Fungsi transfer adalah properti dari sistem itu sendiri, tidak bergantung pada input atau fungsi penggerak.

Fungsi transfer memiliki besaran yang diperlukan untuk menghubungkan input dan output. Tetapi tidak memberikan informasi tentang struktur fisik dari suatu sistem. Fungsi transfer dapat sama (identik) dari bentuk fisik yang berbeda.

Jika fungsi transfer sistem diketahui, output atau response dapat dipelajari dari berbagai input yang diberikan. Fungsi transfer memberikan deskripsi menyeluruh mengenai karakteristik dinamik suatu sistem.

3

Fungsi Transfer

)(,

01

11

1

)(,

01

11

1 ......tyoutput

mm

mm

tuinput

nn

nn ububububyayayaya

nolawalkondisi

nolawalkondisi

tuL

tyLsG

_

_

)(

)()(

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

sU

sYsG

nn

nn

mm

mm

4

• Persamaan diferensial suatu sistem yang menghubungkan output dengan input

• Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas (Lihat Transformasi Laplace) dengan kondisi awal sama dengan nol

Fungsi Transfer

Persamaan Karakteristik Persamaan karakteristik suatu sistem (linier)

didefinisikan sebagai denumerator polinomial fungsi transfer sama dengan nol.

0)()( sDsg

)(

)()(

sD

sNsG

5

Note: Stabilitas suatu sistem linier SISO (single-input single-output) ditentukan dengan akar

persamaan karakteristik

Fungsi Transfer

Persamaan Karakteristik

Zero dan PoleSuatu Fungsi Transfer

Fungsi transfer biasanya direpresentasikan dalam bentuk polinomial pecahan sebagai berikut :

))...()((

))...()((

)(

)()(

21

21

n

m

pspsps

zszszs

sD

sNsG

)2)(1(

)3)(1(

)23(

34

)(

)()(

2

2

sss

ss

sss

ss

sD

sNsG

6

• Perhatikan contoh fungsi transfer berikut:

Solusi N(s)=0 disebut zeros (z), karena membuat G(s) bernilai nol. Solusi D(s)=0 disebut poles (p), karena

membuat G(s) bernilai tak berhingga

Memiliki zero pada s=1, s=3 dan pole pada s=0, s= -1, s= -2

Zero dan Poledengan MatLab

MatLab memiliki fungsi built-in “roots” yang dapat digunakan untuk mencari zero dan pole suatu fungsi transfer :

)(

)(

drootspoles

crootszeros

sss

ss

sss

ss

sD

sNsG

23

34

)23(

34

)(

)()(

23

2

2

2

7

• Perhatikan fungsi transfer berikut:

c adalah vektor koefisien numerator fungsi transfer dan d vektor koefisien denumerator

fungsi transfer

>>num=[1 -4 3];

>>den=[1 3 2 0];

>>zeros=roots(num)

>>poles=roots(den)

• Perintah berikut:

zeros =

3

1

poles =

0

-2

-1

Overview

Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya.

Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).

Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.

8

Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s.

Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s.

Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi Laplace

9

Definisi10

sFLtf 1

0

dtetftfLsF stTransformasi Laplace

F(s) dari fungsi f(t)

Inverse Transformasi Laplace

Fungsi f(t) haruslah real dan kontinu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.

Teorema Transformasi Laplace Linieritas

sFsFtftfL

saFtafL

2121

dt

dffsFs

dt

tfdL

fssFdt

tdfL

00

0

22

2

11

dt

s

f

s

sFdttfL

0

ssFtfst

limlim0

ssFtfst 0limlim

sFetfL s

• Differensiasi

• Integrasi

• Nilai awal

• Nilai akhir

• Pergeseran waktu

Contoh:Solusi Persamaan Differensial

s

sYyssYysysYs1

5)(2)0(33)0´(02

tftydt

tdy

dt

tyd523

2

2

)23(

5)(

5)()23(

5)(2332

2

2

22

2

sss

sssY

sssYsss

ssYssYssYs

12

Diberikan persamaan differensial sbb:

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:

Fungsi unit step dari tabel transformasi

Laplace

Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace

Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi

Laplace

)2)(1(

5

)23(

5)(

2

2

2

sss

ss

sss

sssY

2

3

)1(

5)]()2[(

5)2(

5)]()1[(

2

5

)2)(1(

5)]([

2

2

2

1

2

0

ss

sssYsC

ss

sssYsB

ss

ssssYA

s

s

s

)2)(1(

5

)2()1()(

2

sss

ss

s

C

s

B

s

AsY

13

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

14

)2(2

3

)1(

5

2

5)(

ssssY

tt eety 2

2

35

2

5)(

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

Dengan t ≥ 0

Prosedur Solusi persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace

1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.

2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.

3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.

4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.

15

Ekspansi Pecahan Parsial:Review

Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:

)(

)()(

sD

sNsF

))...()((

)()(

21 Nssssss

sNsF

16

• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama

N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s)

denumerator (penyebut) dalam s

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

)(...

)()()(

2

2

1

1

N

N

ss

K

ss

K

ss

KsF

Ki (i=1,…,N) adalah

konstanta yang harus dicari


))...()()...()((

)()]()[(

1121 Niiiiiii

issii ssssssssss

sNsFssK

i

Mnnnnnn ssssss

sNsF

)2...()2()2(

)()(

222

221

22

17

• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks


Mnn

MM

nnnn ss

BsA

ss

BsA

ss

BsAsF

)2(...

)2()2()(

222

2222

122

11

Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:

Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:

Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s


MnnnnnnN ssssssssssss

sNsF

)2...()2()2)()...()((

)()(

222

221

2221

18

• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks


Mnn

MM

nnnn

N

N

ss

BsA

ss

BsA

ss

BsA

ss

K

ss

K

ss

KsF

)2(...

)2()2(

)(...

)()()(

222

2222

122

11

2

2

1

1

Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab

Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):

)()(

)(...

)2(

)2(

)1(

)1(

)(

)(sk

nps

nr

ps

r

ps

r

sD

sN

19

0,

...

...

)(

)(

011

1

011

1

mn

nn

nn

mm

mm

ba

asasasa

bsbsbsb

den

num

sD

sN

• Ekspansi pecahan parsialnya adalah

]...[

]...[

01

01

aaaden

bbbnum

nn

mm

• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya

k(s) adalah direct term

• Perintah

>>[r,p,k]=residue(num,den)

Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term dari ekspansi pecahan parsial

N(s)/D(s)

Contoh

20

133

32

)(

)(23

2

sss

ss

sD

sN

• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:

Solusi dengan MatLab:

>>num=[1 2 3];

>>den=[1 3 3 1];

>>[r,p,k]=residue(num,den)

r = 1.0000 0.0000 2.0000

p = -1.0000 -1.0000 -1.0000

k = []

Ekspansi pecahan parsialnya:

32 )1(

2

)1(

0

)1(

1

)(

)(

ssssD

sN

Tabel:Transformasi Laplace

Kesalahaan Dinamis dalam Sistem Pengukuran

Contoh kesalahan dinamisSistem Pengukuran Suhu secara dinamis.

Gambar diatas menunjukkan pengukuran lengkap suatu sistem yang terdiri dari n elemen. Tiap elemen i mempunyai steady-state ideal dan karakteristik dinamis linear dan dapat ditunjukkan oleh sensitivitas steady-state Ki dan fungsi transfer Gi(s).

∆ 𝑇𝑇 (𝑠 ) 103

1+10− 4𝑠

∆𝑉 (𝑡 )∆𝐸 (𝑡 )

∆ 𝑇𝑀 (𝑇 )

h𝑇 𝑒𝑟𝑚𝑜𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟

25

2,5𝑥 10−5 𝑠2 10−2 𝑠+1𝑒 .𝑚 . 𝑓 𝑣𝑜𝑙𝑡

𝑡𝑟𝑢𝑒𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 measured4 𝑥10−6

1+10𝑠

Dari Fungsi Transfer untuk Pengukuran Sistem

[4.41]Pertama kita cari fungsi transformasi Laplace dari kemudian menggunakan Transformasi Laplace Output Sehingga

[4.42]

Dimana : = invers transformasi Laplace∆𝑂 (𝑡 )=ℒ− 1 [𝐺 (𝑠) ∆ 𝐼 (𝑠 ) ]

Rumus kesalahan dinamis :

[4.43]

[4.44]

Misalnya Pada input 20 . Maka dan

Dengan menggunakan tabel 4.1 dan persamaan [4.30] diperoleh :

Dimana tanda negatif menunjukkan pembacaan yang sangat rendah.

Kesalahan dinamis dari sistem fungsi transfer subyek ke input sinusoidal

Dari gambar [4.9] diperoleh:

[4.47]

Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik :

Dengan input sinyal sistem diberikan oleh persamaan :

Dimana In=bn adalah amplitudo nth frekuensi harmonik nω1.

Dari gambar 4.9 diatas diperoleh sinyal output :

Kita dapat menggunakan prinsip Superposisi, dimana properti dasar sistem linear (misal sistem digambarkan oleh persamaan diferensial linear). Hal ini dapat dituliskan :

Artinya,jika input total sinyal adalah jumlah dari banyaknya gelombang sinus maka output total sinyal adalah jumlah dari respon tiap gelombang sinus.

Bentuk gelombang input dan Komponen Fourier

Perhitungan Kesalahan Dinamis Input Sinyal Periodik

Teknik Kompensasi Dinamis

Dari persamaan [4.55] diperoleh E(t) = 0 untuk sinyal periodik yaitu :

|G( jω1) | = |G( j2ω1) | = . . . = |G( jnω1) | = . . . = |G( jmω1) | = 1arg G( jω1) = arg G( j2ω1) = . . . = arg G( jnω1) = . . . = arg G( jmω1) = 0 [4.59]

Ket : G( jω) = frequency response function arg G( jω1) = ϕ (beda fase)

Dimana m merupakan tingkat tertinggi harmonik signifikan. Untuk sinyal acak dengan frekuensi spektrum kontinu berada antara 0 dan ωMAX , kita memerlukan :

|G(jω)| = 1 dan arg G(jω) = 0 untuk 0 < ω ≤ ω MAX [4.60]

Kondisi diatas menunjukkan teori ideal yang akan sulit direalisasikan dalam praktek. Selain itu, kriteria dalam praktek adalah limit variasi dalam|G( jω)| untuk frekuensi yang diberikan sinyal.

Untuk contoh kondisi0.98 <|G( jω)| < 1.02 untuk 0 < ω ≤ ωMAX [4.61]

Memastikan kesalahan dinamis dibatasi ≈ ±2 persen untuk sinyal yang berisi frekuensi diatas ωMAX/2π Hz (Gambar 4.15)

Kriteria lain yang digunakan adalah luas bidang. Luas bidang dari sebuah elemen atau sistem adalah range frekuensi dimana |G( jω)| > 1/. Jadi luas bidang sistem, dengan respon frekuensi yang ditunjukkan pada gambar 4.15 adalah 0 sampai ωB rad/s.

Sinyal frekuensi tertinggi ωMAX harus kurang dari besarnya ωB. Karena, bagaimanapun, ada reduksi |G( jω)| dalam ωB. Kriteria luas bidang ini tidak terlalu berpengaruh dalam pengukuran lengkap sistem.

Luas bidang biasa digunakan dalam penetapan respon amplifier; reduksi pada |G( jω)| dari 1 sampai 1/ adalah sama dengan perubahan desibel N = 20 log(1/) = −3.0 dB. Tingkat pertama elemen luas bidang berada diantara 0 dan 1/τ rad/s.

Jika sistem gagal untuk bertemu dengan limit spesifikasi pada kesalahan dinamis, misalnya fungsi transfer G(s) tidak memenuhi kondisi [4.61], maka langkah pertamanya adalah mengidentifikasi elemen dalam sistem yang didominasi oleh lingkungan dinamis.

Setelah mengidentifikasi pengaruh elemen sistem, ternyata metode yang paling meningkatkan respon dinamis adalah model/pola/bentuk yang melekat. Dalam hal ini tingkat pertama sensor suhu dengan τ = MC/UA, τ dapat diperkecil dengan memperkecil massa/rasio daerah M/A.

Untuk contoh, digunakan termistor dalam bentuk kepingan tipis. Dalam hal ini tingkat kedua sensor gaya dengan ωn = , ωn dapat diperbesar dengan memperbesar k/m. Contohnya digunakan kekakuan k yang tinggi dan massa m yang rendah. Kenaikan k, bagaimanapun menurunkan sensitivitas steady-state K = 1/k.

Dari langkah kedua dan grafik respon frekuensi kita lihat bahwa nilai perbandingan optimal teredam ξ berkisar 0,7. Nilai ini menjamin ketetapan waktu minimum untuk tingkat respon dan |G( jω)| terdekat dari kesatuan respon frekuensi.

Metode lain adalah kompensasi dinamis loop-terbuka (gambar 4.16). Diberikan sebuah ketidakseimbangan elemen atau sistem Gu(s), elemen kompensasi Gc(s) memperkenalkan ke dalam sistem, seperti keseluruhan transfer fungsi G(s) = GU(s)GC(s) memenuhi kondisi yang diperlukan (untuk contoh persamaan [4.61]).

Jadi, jika rangkaian mendahului/tertinggal digunakan termokopel (gambar 4.16), keseluruhan waktu konstan mereduksi τ2 menjadi |G( jω)| adalah kesatuan akhir terdekat dengan range frekuensi yang lebih luas. Masalah utama dengan metode ini adalah τ dapat berubah dengan koefisien transfer panas U, sehingga mengurangi keefektifan teknik kompensasi.

Metode lain adalah menggabungkan atau mengganti elemen ke dalam sistem loop-tertutup dengan high-gain negative feedback. Contohnya adalah suhu konstan anemometer untuk mengukur kecepatan fluktuasi fluida. Contoh lain adalah loop-tertutup akselerometer ditunjukkan dalam bagan dari diagram blok pada gambar 4.17.

Pemakaian percepatan a dihasilkan dalam gaya inersia ma pada massa seismik. Keseimbangan ini diperoleh dari gaya magnet yang tetap pada arus kumparan yang membawa pengaruh arus balik.

Ketidakseimbangan lain dari gaya dideteksi oleh gaya elastik elemen yang dihasilkan dari sensor posisi menggunakan potensiometer . Output dari tegangan potensiometer adalah amplify, memberikan output arus yang memberi pengaruh arus balik pada kumparan melewati resistor untuk memberikan output tegangan.

Analisis keseluruhan transfer fungsi diagram blok ditunjukkan oleh :

Jika KA mencapai besarnya maka KA KD KF/k >>1 , sehingga fungsi transfer sistem dapat dituliskan dalam bentuk :

Kita lihat bahwa frekuensi natural sistem ωns lebih besar dari gaya elastik elemen itu sendiri. Perbandingan teredam sistem ξs kurang dari ξ, tapi pembuatan nilai ξs

≈ 0.7 dapat diperoleh. Selanjutnya sensitivitas steady-state sistem hanya bergantung pada m, KF, dan R, yang dapat dibuat konstan untuk derajat yang tinggi.

THANK YOU “If you can’t explain it simply, you don’t understand it well

enough”.(Albert Einstein)

Documents

Presentasi Kelompok 5