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ENERGIA ELECTRICA
Dos conductores cualesqueira separados por un aislante (o un vacio) forman un capacitor
Inicialmente cada conductor tiene una carga neta de cero y la transferencia de electrones de un conductor a otro significa cargar el capacitorcargar el capacitor, de tal manera que los dos conductores tendran cargas de igual magnitud pero signo opuesto, y la carga neta del capacitor en conjunto sigue siendo de cero.
En los diagramas de circuitos, los capacitores se representan mediante cuanquiera de estos dos simblos:
ENERGIA ELECTRICA
Las lineas verticales simbolizan los conductores y las lineas horizontales los alambres a los que se conectan estos conductores y que sirven para cargar el capacitor cuando estos se “conectan” a una bateria. Un vez establecida la carga Q en los conductores, se desconecta la bateria.
Al cargar los conductores se establece una diferencia de potencial V en el capacitor que es exactamente igual al voltaje de la bateria.
El campo eléctrico en cualquier punto entre la región de los conductores es directamente proporcional a la magnitud de la carga Q en cada conductor, y la diferencia de potencial entre las cargas tambien es proporcional a Q
““Si se duplica la magnitud de Q en cada conductor, se duplica la densidad de carga en Si se duplica la magnitud de Q en cada conductor, se duplica la densidad de carga en cada punto, el campo eléctrico en cada punto y la diferencia de potencial entre los cada punto, el campo eléctrico en cada punto y la diferencia de potencial entre los
conductores”conductores”
ENERGIA ELECTRICA
Sin embargo, la relación entre la carga Q y la diferencia de potencial V no cambia (ambos se duplican), a esto se le llama CAPACITANCIA y se denota como:
VQ
VQ
Cba
,
los indices a,b indican a los dos conductores que forman el capacitor y el valor de ΔV es siempre positivo
La unidad de capacitancia es el farad ( F ) y de acuerdo a esta ecuación un farad es igual a un coulomb por volt, osea:
)/C( 1 1 VF
( la capacitancia siempre se escribe en cursivas para no confundir con el coulomb )
““Cuanto mas grande es la capacitancia, mayor es la carga Q de cualquiera de los Cuanto mas grande es la capacitancia, mayor es la carga Q de cualquiera de los conductores con una diferencia de potencial Vconductores con una diferencia de potencial Va,ba,b ( (ΔΔV), y en consecuencia mayor es la V), y en consecuencia mayor es la
energía almacenada en el capacitorenergía almacenada en el capacitor””
(recordar que V es la energía eléctrica por unidad de carga)(recordar que V es la energía eléctrica por unidad de carga)
La capacitancia es una medida de la capacidad de almacenar energía electrica en un La capacitancia es una medida de la capacidad de almacenar energía electrica en un capacitor y su valor depende de la forma y tamacapacitor y su valor depende de la forma y tamaño de los conductores asño de los conductores así í como de la como de la naturalezanaturaleza del aislante que los separa.del aislante que los separa.
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Ejemplo de un capacitor de placas paralelas separadas por un “vacio”
Antes de conectar a una bateria el capacitor no presenta carga alguna. Al momento de la conexión la bateria establece un campo eléctrico entre los cables conectores.La conexión al polo negativo de la bateria promueve el movimiento electronico hacia la placa por la fuerza electrica que experimentan los electrones debido al campo eléctrico generado por la bateria. Este movimiento continua hasta que la placa, el cable y la bateria tiene el mismo potencial. Una vez alcanzado este equilibrio, no hay diferencia de potencial entre la placa y la terminal negativa, por tanto no existe campo electrico en el cable y el movimiento electronico se detiene. La placa tiene ahora una carga negativa.El proceso similar ocurre en la placa positiva, ahora los electrones de mueven de la placa hacia el cable y en esta configuración final la diferencia de potencial entre las placas y los polos de la bateria es la misma.
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“Un capacitor clasificado como de 4pF, significa que puede almacenar 4 pC de carga por cada volt de diferencia de potencial entre los dos conductores que lo conforman. Por ejemplo, si una bateria de 9 V se conecta a un capacitor, uno de los conductores terminará con una carga neta de -36 pC y el otro con una carga neta de +36 pC”
Calculo de la capacitancia
Si el capacitor esta separado por un “vacio”, consideramos la magnitud de la carga Q y resolvemos el potencial por alguno de los métodos conocidos y despues usamos la formula de la capacitancia: C = Q/ΔV
Si la geometría del capacitor es simple el calculo de C puede ser sencillo
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Capacitancia de un conductor esferico aislado con carga Q y radio R.Si suponemos que el segundo conductor que forma el capacitor es una esfera hueca de radio infinito podemos calcular la capacitancia del conductor esférico de la siguiente manera:
RQ
kV El potencial del conductor esferico es:
como en el infinito V=0
entonces para el capacitor formado por las dos cargas esfericas (una hueca y otra concentrica) la capacitancia es la de una carga esferica aislada:
keR
RkQQ
VQ
C
/
“La capacitancia de una carga esférica aislada es proporcional a su radio e independiente de la carga sobre la esfera y de la diferencia del potencial eléctrico”
RC 04por lo tanto:
ENERGIA ELECTRICA
Capacitancia de un conductor de placas paralelas o capacitor de placas paralelas.
La capacitancia es proporcional al area (la carga se distribuye sobre las placas al conectar a una fuente de enegía electrica)La capacitancia es inversamente proporcional a “ d ” (la carga eléctrico entre las placas aumenta al disminuir la distancia entre ellas, si esta distancia aumenta disminuye la carga electrico)
Si las placas están muy cercanas, en comparación con su longitud y espesor, entonces E es uniforme entre ellas, y como la densidad superficial de carga es σ =Q/A:
AQ
Eplacas00
como E es uniforme:A
QdEdVplacas
0
entonces:AQd
QV
QC
0/
por lo tanto:
dA
C 0
Capacitancia de conductores cilindricos ó capacitores cilindricos.
ENERGIA ELECTRICA
Consiste de un conductor solido cilindrico de radio “a” y longitud “ l ” rodeado de una cascara cilindrica coaxial de radio “b” .Para calcular la capacitancia debemos suponer que el cilindro sólido tiene carga +Q y la cascara coaxial (con espesor despreciable ) carga – Q.
Si a y b son pequeños en comparación con “l” podemos despreciar los efectos de los extremos del capacitor.
E es perpendicular al eje de los cilindros y se confina a la region entre ellos (entre a y b, en naranja), la diferencia de potencial entre los cilindros conductres es:
b
a
ba rdEVV
El campo electrico (calculado a partir de la ley de Gauss) de una distribucion de carga cilindrica con densidad de carga lineal (λ=Q / l ) es:
rE
02
1
Como E está a lo largo de “r” (de la vista superior del capacitor) entonces la integral es:
ENERGIA ELECTRICA
b
a
b
a
ba rdr
rdEVVV02
ab
V ln2 0por lo tanto:
Sustituyendo en la formula de la capacitancia y considerando que la densidad de carga lineal es λ=Q / l , entonces la carga es Q=λl , y por tanto:
ab
l
ab
lV
QC
ln
2
ln2
0
0
la capacitancia es: ab
lC
ln2 0
la capacitancia por unidad de longitud para un capacitor cilíndrico es:
ablC
ln2 0
ENERGIA ELECTRICA
Capacitancia de conductores esféricos ó capacitores esféricos.
Consiste de una cascara esférica conductora de radio “b” con carga negativa (-Q) y un pequeño conductor concéntrico de radio “a” y carga positiva (+Q).
El campo eléctrico de una distribución de carga esferica es radial y esta dado por:
el campo se encuentra entre las esferas (entre a y b) y por ley de, Gauss sólo la esfera interna contribuye con este campo, además como la expresion de E es la de una carga puntual aislada, entonces el potencial sera el de una carga puntual aislada para cada conductor (simetria):
204
1rq
E
por lo tanto, sustituyendo en la expresión de la diferencia de potencial:
ababQ
baQ
bQ
aQ
VV ba
0000 411
444
RQ
kV
abab
VQ
C
04sustituyendo en la expresión de capacitancia:
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Combinación de capacitores.
a)Combinación en paralelo de dos capacitoresb)Diagrama de un circuito eléctrico para dos capacitores en paraleloc)La capacitanca equivalente
Cequivalente=C1+C2
“Las diferencias de potencial indiviuales a traves de los capacitores conectados en paralelo son todas las mismas y son iguales a la diferencia de potencial aplicado a traves de la combinación”
Es frecuente encontrar combinacion de capacitores en un circuito electrico, los simbolos usados en circuitos para los capacitores y las baterias se muestran en la figura.
Capacitores en paralelo.
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Capacitores en paralelo.
En la conexión en paralelo de capacitores, los electrones se transfieren entre los cables conectados a las placas, cargando positivamente a unas y negativamente a las otras. La fuente de energía para la transferencia de carga es la energia química almacenada en la batería, la cual se transforma en energía potencial eléctrica a taves de la separación entre las placas.
El flujo de carga termina cuando el voltaje a traves de los capacitores es igual al voltaje de la bateria, en ese momento los capacitores alcanzan su carga máxima.
“la carga total de los capacitores conectados en paralelos es la suma de las cargas individuales, la carga total almacenada por los capacitores es ”
Q = Q1 + Q2+ Q ……..( 1 )Como los voltajes que cruzan los capacitores son los mismos, la carga que estos acarrean es :
Q1 = C1 ΔV , Q2 = C2 ΔV ……… Qn = Cn ΔV Si se desea reemplazar los capacitores por uno equivalente, de capacitancia Cequivalente el efecto de esta capacitancia en el circuito debe ser el mismo que la combinación de los capacitores reemplazados. es decir : Q = Ceauivalente ΔV
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Capacitores en paralelo.
sustituyendo esta relación en (1), la definición de la carga total para un arreglo en paralelo, y considerando que las cargas individuales se deben al mismo voltaje aplicado tenemos
Cequivalente ΔV = C1 ΔV + C2 ΔV+ ……+ Cn ΔVCequivalente =C1 + C2 + C3 +……+ Cn
“La capacitancia equivalente del arreglo en paralelo es mayor que cualquier de las capacitancias individuales”
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Capacitores en serie.
a)Combinación en serie de dos capacitores.b)Capacitor equivalente para un arreglo en serie
(1/Cequivalente ) = (1/C1)+(1/C2)
“La carga electrica sobre los capacitores conectados en serie es la misma”
En el arreglo en serie de capacitores, al momento de la conexion con la bateria, los electrones se transfieren entre los cables conectados a las placas de los extremos del arreglo, cargando positivamente a una y negativamente a la otra. El sentido de la carga en las placas dependera de como sea la conexión con la bateria. En el caso mostrado de la figura, todas las placas a la derecha tendran carga negativa de acuerdo a la posición de los polos en la bateria. Las placas de en medio se conectan por medio de cables que permiten el flujo de carga para completar el circuito.
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El voltaje ΔV que cruza las terminales de la bateria y se transfiere al circuito, se divide entre los capacitores.
ΔV=ΔV 1+ ΔV2+….+ΔVn ………. ( 2 )“La diferencia de potencial total a traves de cualquier número de capacitores conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial a traves de cada capacitor individual”
Un capacitor equivalente que tenga el mismo efecto que los capacitores conectados en serie, despues de ser cargado completamente debera tener una carga positiva de un lado y una negativa de otro. Aplicando la ecuación de capacitancia en el capacitor equivalente:
ΔV=Q/Cequivalente
Como la carga en cada capacitor es la misma ( Q=CΔV ), entonces la diferencia de potancial a traves de cada uno es:
ΔV1 = (Q/C1 ) , ΔV2= (Q/C2 ) , ΔVn = (Q/Cn )Sustituyendo en (2), ecuación que muestra que la diferencia de potencial en la bateria se distribuye en los capacitores con cargas iguales, y considerando que ΔV=Q/Cequivalente entonces:
(Q/Cequivalente ) = (Q/C1 ) + (Q/C2 ) + …….+ (Q/Cn )
Capacitores en serie.
ENERGIA ELECTRICA
Capacitores en serie.
Cancelandon la carga de la expresión anterior llegamos a la relación:
1/Cequivalente = 1/C1 + 1/C2 +…….+1/C3
“El reciproco de la capacitancia equivalente de una combinación en serie de capacitores es la suma de los reciprocos de las capacitancias individuales”
ENERGIA ELECTRICA
De la definición de potencial en función del trabajo: Vq
W Energía almacenada en un capacitor cargado.
Entonces: VqW
dqCq
VdqdW
El trabajo requerido para cargar el capacitor de q=0 hasta q=Q es:
CQ
qdqC
dqCq
WQQ
21 2
00
Entonces, la energía almacenada en un capacitor cargado (terema trabajo y energía):
22
21
21
21
21
2VCVVCVQ
CQ
QC
QU
2
21
VCU
“Energia almacenada en un capacitor independientemente de su geometría”
Energía almacenada en un capacitor de placas paralelas
20
220
21
21
EAddEd
AU
202
1EAdU
Densidad de energía en un campo eléctrico
202
1EU E
