Presentacion Arma

Análisis Estadístico de Procesos ARMA

Capítulo 4 de las Notas de Clase

Norman Giraldo GomezEscuela de Estadıstica

Universidad Nacional de Colombia

.

Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 1/17

http://www.unalmed.edu.co/~ndgirald

Contenido

◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.


Contenido


◮ Variograma.


Contenido


◮ Variograma.

◮ Autocorrelación Parcial (FACP).


Contenido


◮ Variograma.


◮ Autocorrelación Parcial Muestral.


Contenido


◮ Variograma.



◮ Programas para Análisis. Pasos del Análisis.


Contenido


◮ Variograma.




◮ Funciones Matlab para análisis de series estacionarias.


Contenido


◮ Variograma.




◮ Funciones Matlab para análisis de series estacionarias.

◮ Ejemplos.


Función de Autocorrelación (FAC) Muestral

◮ Se define un estimador de la función de autocovarianza R(k) de unproceso estacionario en covarianza con base en una muestraX1, . . . , XN , como el estadístico:

R(k) =1

N

N−k∑

j=1

( Xj − X )( Xj+k − X ), k = 0, 1, · · · .




R(k) =1

N

N−k∑

j=1

( Xj − X )( Xj+k − X ), k = 0, 1, · · · .

◮ Se define un estimador de la función de autocorrelaciónρ(k) = R(k)/R(0) como el estadístico

ρ(k) =

∑N−k

j=1( Xj − X )( Xj+k − X )∑N−k

j=1( Xj − X )2

, k = 0, 1, · · · .




R(k) =1

N

N−k∑

j=1

( Xj − X )( Xj+k − X ), k = 0, 1, · · · .

◮ Se define un estimador de la función de autocorrelaciónρ(k) = R(k)/R(0) como el estadístico

ρ(k) =

∑N−k

j=1( Xj − X )( Xj+k − X )∑N−k

j=1( Xj − X )2

, k = 0, 1, · · · .

◮ Propósito: utilizarlos como herramientas para identificación


Variograma

◮ El variograma es un estimador de la fluctuación cuadrática media,V (h) = 2(R(0) − R(h)), dado por el estadístico

V (k) =R(0) − R(k)

R(0) − R(1)=

1 − ρ(k)

1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m


Variograma


V (k) =R(0) − R(k)

R(0) − R(1)=

1 − ρ(k)

1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m

◮ El variograma permite identificar cuándo un proceso Xn esestacionario en covarianza.


Variograma


V (k) =R(0) − R(k)

R(0) − R(1)=

1 − ρ(k)

1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m


◮ La gráfica parece tender a un límite: V (k) ; c, es indicativo de que elproceso es estacionario en covarianza.


Variograma


V (k) =R(0) − R(k)

R(0) − R(1)=

1 − ρ(k)

1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m



◮ La gráfica parece crecer monótononamente: V (k) ր, es indicativo deque el proceso no es estacionario en covarianza.


Variograma


V (k) =R(0) − R(k)

R(0) − R(1)=

1 − ρ(k)

1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m



◮ La gráfica parece crecer monótononamente: V (k) ր, es indicativo deque el proceso no es estacionario en covarianza.

◮ Más técnico: usar pruebas para la hipótesis: Ho : Xn es estacionarioversus H1 : no(Ho).


Autocorrelación Parcial (FACP)

◮ La función de autocorrelación parcial α(k) , k = 1, 2, · · · se definecomo




1. α(1) = Corr( X1 , X2 )




1. α(1) = Corr( X1 , X2 )

2. α( k ) = Corr(Yk , Y1) k ≥ 2, dondeYk = Xk+1 − E( Xk+1 | X2, · · · , Xk ) yY1 = X1 − E( X1 | X2, · · · , Xk )




1. α(1) = Corr( X1 , X2 )

2. α( k ) = Corr(Yk , Y1) k ≥ 2, dondeYk = Xk+1 − E( Xk+1 | X2, · · · , Xk ) yY1 = X1 − E( X1 | X2, · · · , Xk )

◮ La autocorrelación parcial mide la correlación entre X1 y Xk+1

eliminando el efecto de las variables intermedias.


Autocorrelación Parcial Muestral

◮ Si φk = (φk1, φk2, . . . , φkk) es la solución del sistema lineal, parak = 1, 2, · · ·

ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 · · · ρk−1

ρ1 ρ0 ρ1 ρ2 · · · ρk−2

ρ2 ρ1 ρ0 ρ1 · · · ρk−3

......

......

......

ρk−1 ρk−2 ρk−3 ρk−4 · · · ρ0

φk1

φk2

φk3

...

φkk

=

ρ1

ρ2

ρ3

...

ρk

(1)

entonces la función de autocorrelación parcial cumple α(k) = φkk.


Autocorrelación Parcial Muestral

◮ Si φk = (φk1, φk2, . . . , φkk) es la solución del sistema lineal, parak = 1, 2, · · ·

ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 · · · ρk−1

ρ1 ρ0 ρ1 ρ2 · · · ρk−2

ρ2 ρ1 ρ0 ρ1 · · · ρk−3

......

......

......

ρk−1 ρk−2 ρk−3 ρk−4 · · · ρ0

φk1

φk2

φk3

...

φkk

=

ρ1

ρ2

ρ3

...

ρk

(2)

entonces la función de autocorrelación parcial cumple α(k) = φkk.

◮ La función de autocorrelación muestral α(k) se obtiene reemplazandoρj por ρj en el sistema lineal anterior.


Programas para Análisis. Pasos del Análisis.

◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:




⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.





⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.






⊲ SAS, Librerías: ETS







⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.








◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:









⊲ Simulación de procesos ARMA.










⊲ Identificación de los órdenes p y q.











⊲ Estimación del modelo y verificación del ajuste.












⊲ Pronósticos.












⊲ Pronósticos.


Funciones Matlab para análisis de series estacionarias

◮ Funciones para identificación:




⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).





⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).






◮ Funciones para estimación y ajuste:







⊲ armabat: función para identificar la pareja (p,q) que produce el modelo conmenor criterio de información de Akaike (AIC). Es una función escrita porH. Hurd. http://www.stat.unc.edu/faculty/hurd/stat185Data/progdoc.html








⊲ armax: función que estima los parámetros del modelo ARMA(p,q).









⊲ resid: función para calcular los residuos Zn del modelo.










⊲ lbt: función para realizar la prueba de Ljung-Box para determinar si Zn esruido blanco.










⊲ lbt: función para realizar la prueba de Ljung-Box para determinar si Zn esruido blanco.

⊲ compare: función para examinar la calidad de los pronósticos con elmodelo ajustado con el fin de determinar si la elección del modelo fué lacorrecta.


Ejemplo de uso

◮ Para graficar la trayectoria del proceso, la FAC muestral, la FACP mustral y elVariograma se pueden usar las siguientes instrucciones.

figure(1)

subplot(2,2,1), plot(x);

ylabel(’Xn’)

title(’Trayectoria’)

[fac_y,m]=autocorr(x,[],2);

subplot(2,2,2), autocorr(x,[],2)

title(’fac’);

[facp_y, mp] = parcorr(x,[],2);

subplot(2,2,3), parcorr(x,[],2)

title(’facp’);

v = (fac_y(1)-fac_y)/(fac_y(1)-fac_y(2));

subplot(2,2,4), stem(m,v);

grid

title(’Variograma’)Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 9/17

Dentro del Editor Matlab


Ejemplo de Resultados: Media móvil

Caso MA(4): Xn = Zn − 2.3730Zn−1 + 2.4149Zn−2 − 1.2312Zn−3 + 0.2780Zn−4.

0 50 100 150 200 250 300−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20Trayectoria

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Lag

Sam

ple A

utoc

orre

lation

fac muestral

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Lag

Sam

ple P

artia

l Aut

ocor

relat

ions

facp muestral

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Variograma


Ejemplo de Resultados: Autorregresivo

Caso AR(2): Xn = 0.9529Xn−1 − 0.4699Xn−2 + Zn.

0 50 100 150 200 250 300−6

−4

−2

0

2

4

6Trayectoria

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

Lag

Sam

ple A

utoc

orre

lation

fac muestral

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

Lag

Sam

ple P

artia

l Aut

ocor

relat

ions

facp muestral

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Variograma


Ejemplo de Resultados: Autorregresivo con media móvil

Caso ARMA(2,2):Xn = 1.4201Xn−1 − 0.5917Xn−2 + Zn − 0.9529Zn−1 + 0.4699Zn−2.

0 50 100 150 200 250 300−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5Trayectoria

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

Lag

Sam

ple A

utoc

orre

lation

fac muestral

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

Lag

Sam

ple P

artia

l Aut

ocor

relat

ions

facp muestral

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Variograma


Ejemplo Programación en Matlab

clear all;

close all;

x = importdata(’kobe.dat’);

t = (1:size(x,1))’;

figure(1)

subplot(2,2,1), plot(t,x);

title(’Trayectoria ’)

axis tight;

% ajuste

xt = x -mean(x);

% escoge p y q

pvec = [0 1 2 3 4 5 6];

qvec = [0 1 2 3 4];

[mbest,minaic,pbest,qbest]=...

armabat(xt,pvec,qvec);

armapq = armax(xt,[pbest qbest]);

present(armapq)

% parametros significativos

armapq.ParameterVector

armapq.CovarianceMatrix

tcrit = armapq.ParameterVector./...

sqrt(diag(armapq.CovarianceMatrix))


Ejemplo : Datos terremoto de Kobe (Japón)

Caso AR(6,1):

1000 2000 3000

−2

0

2

4x 10

4 Trayectoria

0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

Lag

Samp

le Au

toco

rrelat

ion

fac muestral

0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

Lag

Samp

le Pa

rtial A

utoc

orre

lation

s facp muestral

0 10 20 300

5

10

15Variograma


Resultados: Datos terremoto de Kobe (Japón)

◮ La identificacion arroja p=6, q = 1, es decir un ARMA(6,1), dado por

Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = C(q)e(t)

A(q) = 1 - 2.544 (+-0.01427) qˆ-1 +

3.894 (+-0.03672) qˆ-2 -

4.343 (+-0.05356) qˆ-3 +

3.415 (+-0.05353) qˆ-4 -

1.957 (+-0.03669) qˆ-5 +

0.725 (+-0.01425) qˆ-6

C(q) = 1 + 0.8835 (+-0.00764) qˆ-1

Estimated using ARMAX from data set xt

Loss function 522836 and FPE 525252


Referencias

◮ Guerrero, V. M. (2003). Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas.Thompson.


Documents

Presentacion Arma